Проектна задача по преметот математика на тема:

СОУ „ВАНЧО ПРКЕ“ - ВИНИЦА

Изработила: Камелија Апостолова II-4

Професор:Елена Петровска

  Под вектор се подразбира секоја величина која во себе носи информација за количество (квантитет) и квалитет.

Векторот е насочена отсечка од рамнината или просторот.

Сите вектори во математиката се разгледуваат во рамките на теоријата на векторски простори, која пак сама по себе е дел од линеарната алгебра.

Елементи на вектор

Претставување на векторите

 Множеството од сите полиноми со реални коефициенти со степен не поголем од некој природен број n претставува векторски простор, па следствено секој полином претставува вектор.

Претставувањето на полиномот, на пример, како вектор е невозможно со насочена отсечка. Затоа се применуваат други, поапстрактни, методи кои важат за сите вектори подеднакво.

Геометриско претставување на векторите

Векторите како насочени отсечки во рамнината или просторот може да ги разгледуваме само во ограничен број случаи. Така во реалниот Евклидов простор, а тоа е просторот како што човекот го восприема, векторите може да ги нацртаме како стрекли.

Ова може да го направиме и во рамнината (две димензии) и во просторот (три димензии).

Аналитичко претставување на векторите

База е најмалото линеарно независно множество такво што сите вектори од просторот можеат да се претстават како комбинација на елементите од базата. Така ако во рамнината воведеме правоаголен Декартов координатен систем, и избереме два вектора такви што секој од нив лежи на различна координатна оска и двата за почеток го имаат координатниот почеток, тогаш овие вектори чинат база за дводимензионалниот реален Евклидов простор - рамнината. 

 Слично е и за просторот, само што во тој случај ќе имаме три такви вектори. Нека земеме вектор од рамнината и нека векторите и  ја чинат базата за просторот.

Тогаш постојат реални броеви (скалари)    така што важи:

Тие реални броеви ги нарекуваме координати на векторот во однос на базата и запишуваме:

што всушност претставува аналитички (координатен) запис за векторот кој го избравме.

Операции со вектори

1. Собирање на вектори

Собирањето на геометриските вектори (насочените отсечки) се врши на следниов начин: треба да се пресмета збирот на векторите    и  . За таа цел

постапуваме вака: го нанесуваме векторот    со почеток во некоја избрана точка (при ова ги запазуваме насоката и должината на векторот!), а потоа во крајната точка на векторот   (при врвот) го нанесуваме векторот   (исто така запазувајќи ги неговите насока и должина). Векторот   кој има почеток во почетната точка (почетокот на  ) и крај во последната точка (врвот на  ) се вика збир на векторите   и   и се бележи исто како и кај скаларите:

o Ако векторите се зададени аналитички т.е. координатно, тогаш собирањето се врши „по координати“. Нека се дадени векторите (во општ случај со n-координати):

и

тогаш за збирот имаме:

За собирањето на вектори важат:

• комутативност:

• асоцијативност:

2. Одземање на вектори

Одземањето на вектори се извршува на ист начин како и собирањето, така што разликата на векторите    и    е всушност збир на векторот   и векторот  . Истото важи и за векторите зададени во координатна форма:

ако се зададени векторите:

Ако на векторот    му го додадеме неговиот спротивен вектор:  , тогаш се добива:

Вака добиениот вектор (кој е збир на било кои два спротивни вектори) се нарекува нулти вектор. Овој вектор во однос на сите операции со вектори се однесува како и нулата во однос на сите операции со скалари, па може да кажеме дека нултиот вектор во векторскиот простор ѝ соодветствува на нулата во скаларното поле. За да не се меша (во ознаката) со скаларната нула, се бележи со големо о - 

3. Множење на вектори

Кога се множат вектори често настанува следнава забуна: множењето вектори се меша со множењето на вектор со број (т.е. скалар). Множењето на вектор со скалар се врши на следниов начин:

Ова геометриски може да го толкуваме на следниот начин: векторот     ја има истата насока како и векторот  , со таа разлика што има должина (модул) за k пати поголема (или помала, ако k<1) од него.

„Вистинското“ множење на вектори во математиката се нарекува векторски производ на вектори и се бележи со симболот . Околу дефиницијата и оперирањето со векторските производи, видете на соодветната статија. Векторскиот производ на два вектори: е вектор кој е нормален на обата вектора и истовремено има модул:

 и

каде со е означен аголот меѓу почетните вектори, а со и се означени нивните модули, додека неговиот координатен облик е:

Постои и друг начин на множење вектори, т.н. скаларно множење на вектори (скаларен производ), но при скаларно множење на два вектори се добива резултат скалар (од таму и името) што, математички значи дека операцијата не е затворена во однос на векторскиот простор, т.е., на некој начин, не е добро дефинирана. Скаларниот производ се бележи со точка: . Скаларниот производ на истите два вектора изнесува:

или