MATEMTICAS IVCuadernillo de actividades de aprendizajeASIGNATURACuadernillo de Actividades deAprendizaje Autora: Secretara de Educacin Pblica. Mxico, junio de 2010. Subsecretara de Educacin Media Superior. Direccin General del Bachillerato DCA, DSAISBN: En trmite Derechos Reservados ASIGNATURACuadernillo de Actividades deAprendizaje Secretara de Educacin Pblica. Mxico, enero de 2011. Subsecretara de Educacin Media Superior. Direccin General del Bachillerato DCA, DSAISBN: En trmite Derechos Reservados Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IVDentro del marco de la Reforma Educativa en la Educacin Bsica y Media Superior, la Direccin General del Bachilleratoincorpor en su plan de estudios los principios bsicos de la reforma integral de la Educacin Media Superior (RIEMS), cuyos propsitos son consolidar la identidad de este nivel educativo en todas sus modalidades y subsistemas que permitan, adems, una educacin pertinente para los estudiantes que les posibiliten establecer una relacin entre la escuela y su entorno,acorde con los contextos social, histrico, cultural y globalizado en el que actualmente vivimos.La asignatura de Matemticas I se incluye dentro del campo de conocimiento fsicomatemtico. Entre los propsitos formativos de este campo se encuentran el desarrollo de conocimientos, habilidades y actitudes que te permitan como estudiante interpretar de manera refexiva y crtica el quehacer cientfco, valorar su importancia actual y futura, as como tomar conciencia del impacto social, econmico y ambiental del desarrollo tecnolgico.Elestudiodeestaasignatura,medianteeldesarrollodeconceptos,mtodosyprocesoslgicos,tepermitiradquirirlos elementos bsicos para efectuar el anlisis de la relacin funcional entre dos variables, indispensable para la explicacin de fenmenos y la resolucin de problemas en distintos campos del conocimiento.El estudio de las Matemticas te brinda, como estudiante de bachillerato, la oportunidad de desarrollar diversas formas de pensamiento y diferentes tipos de razonamiento, y a utilizar distintos lenguajes y formas de representacin simblica, tiles para tu desarrollo y madurez intelectual, as como para la comprensin e interpretacin de tu realidad personal y social. Al cursar la asignatura de Matemticas I, aprendiste a transitar de las operaciones numricas, de la Aritmtica al lenguaje general del Algebra; en Matemticas II, incorporaste el estudio de los conocimientos geomtricos; y en Matemticas III, conjugaste los aspectos anteriores mediante el estudio de la Geometra Analtica, es decir, aprendiste a transitar de las formas algebraicas a las representaciones geomtricas y viceversa.Al estudiar los conceptos de variacin y aproximacin ligados a la idea de funcin; la asignatura de Matemticas IV tiene entre sus propsitos desarrollar en ti un pensamiento fexible al constatar que la Matemtica tambin admite el titubeo, el error y la aproximacin, adems de la formalidad, el rigor y la exactitud; posibilitar que desarrolles distintas formas de comunicacin oralyescrita,expresandotusideasmediantediversasrepresentacionesgrfcasointerpretandoydescribiendoprocesos; utilizarselpensamientocrticoalelaborargrfcaseidentifcarlasdiferentesformasdevariacinfuncionalalmodelar situaciones; valorars la utilidad del trabajo colaborativo en equipos y en el grupo, lo mismo que la importancia del respeto por las opiniones de los dems al participar en actividades grupales, y por ltimo, desarrollars una actitud de aprecio hacia el trabajo cientfco, particularmente de la Matemtica, al aplicar las competencias para la modelacin y resolucin de problemas de diversos mbitos.En el Bloque I aprenders cmo se establecen las caractersticas matemticas que defnen las relaciones entre dos magnitudes, enfatizando las de carcter funcional; en el Bloque II se distinguen y describen diferentes tipos de funciones matemticas, as como operaciones y transformaciones algebraicas y geomtricas entre ellas; en los Bloques III, IV, y V se realiza un estudio comparativo de las funciones polinomiales hasta el grado cuatro, se profundiza el anlisis de las caractersticas de los modelos lineales y cuadrtico, y se desarrollan procedimientos numricos, algebraicos y geomtricos para la obtencin de ceros polinomiales; en el Bloque VI se revisa el comportamiento de las funciones racionales y la existencia de posibles asntotas. En los Bloque VII y VIII se estudian, respectivamente, las funciones exponencial y logartmica, y las funciones peridicas.Para facilitar su manejo, todos los Cuadernillos de Actividades de Aprendizaje estn estructurados a partir de cuatro secciones en cada bloque de aprendizaje: Qu voy a aprender? Se describe el nombre y nmero de bloque, las unidades de competencia a desarrollar, as como una breve explicacin acerca de lo que aprenders en cada bloque.Desarrollandocompetencias.Enestaseccinsesealanlasactividadesdeaprendizajeparadesarrollarlascompetencias sealadas en el programa de estudios, para lo cual es necesario tu compromiso y esfuerzo constantes por aprender, ya que se implementan actividades que tendrs que ir realizando a lo largo del curso: en forma individual, en binas o parejas, en equipos o en forma grupal. Dichas actividades van enfocadas a despertar en ti el inters por investigar en diferentes fuentes, para que desarrolles habilidades y destrezas que propicien tu aprendizaje. Qu he aprendido? En esta seccin te presentamos actividades de consolidacin o integracin del bloque que te permitirn verifcar cul es el nivel de desarrollo de las competencias que posees en cada bloque de aprendizaje. PresentacinAlolargodelCuadernillopodrsencontrarsealadas,atravsdevietas,estrategiasdeorganizacindeltrabajoode evaluacin como los siguientes:Quiero aprender ms. En esta seccin la consulta de diversos fuentes de informacin actualizadas, que son importantes para complementar y consolidar lo aprendido. Es por ello que encontrars varias sugerencias de estos materiales, los cuales sern el medio a travs del cual podrs investigar y descubrir otros asuntos y tpicos por aprender.Comopodrsdartecuenta,acabamosdepresentarteunpanoramageneraldelaasignatura,elenfoqueconstructivistay lascaractersticasdelosCuadernillosde Actividadesde Aprendizaje. Ahoraslofaltaquetinicieselestudioformalde Matemticas III, para lo cual te deseamos: MUCHO XITO !Trabajo en parejaCoevaluacinTrabajo en equipoAutoevaluacinTrabajo en grupoPotafolios de evidenciaIdeas o sugerencias Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IVBloque I Reconoce y realiza operaciones con distintos tipos de funciones.Bloque II Aplica funciones especiales y transformaciones de grfcas.Bloque III Emplea funciones polinomiales de grado cero, uno y dos.Bloque IV Emplea funciones polinomiales de grados tres y cuatro.Bloque V Emplea funciones polinomiales factorizables.Bloque VI Emplea funciones racionales.Bloque VII Aplica funciones exponenciales y logartmicas.Bloque VIII Emplea funciones peridicas.ndice6172937425060696Hay muchas situaciones que se representan en la prctica en las que el valor de una cantidad depende del valor de otra. En particular, el salario de una persona puede depender del nmero de horas trabajadas; la produccin total de una fbrica puede depender del nmero de mquinas que se utilicen; el volumen del espacio ocupado por un gas a presin constante depende de la temperatura absoluta del gas; la resistencia de un cable conductor de energa elctrica de longitud fja depende del dimetro, entre otros.EnesteprimerBloquereconocersunarelacinounafuncinapartirdesudescripcinnumrica,grfcaoalgebraica. Obtendrs el dominio y el rango de una relacin o funcin, en representaciones diversas.Obtendrs la imagen de un elemento del dominio a partir de la regla de correspondencia. Determinars el tipo de funcin con que se est trabajando y utilizars sus caractersticas especfcas.Resolvers operaciones con funciones y utilizars la nocin de funcin en situaciones cotidianas relacionadas con magnitudes. Qu voy a aprender ?RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONESBloque IUNIDAD DE COMPETENCIAConstruye e interpreta modelos algebraicos y grfcos, aplicando relaciones funcionales entre magnitudes para representar situaciones y resolver problemas tericos o prcticos de su vida cotidiana y escolar, que le permitan comprender y transformar su realidad. Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicacin de modelos funcionales en el contexto de las situaciones reales o hipotticas que describen. Interpreta diagramas y textos que contienen smbolos propios de la notacin funcional. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IV7RELACIN Y FUNCINLas magnitudes que caracterizan un fenmeno dado pueden quedar completamente determinadas por los valores de otras. Estas interdependencias fueron las que dieron origen al concepto de funcin porque gran parte de los fenmenos que se observan en la naturaleza se pueden relacionar unos con otros a travs de correspondencias.Investigademaneraindividualenlasfuentesdeinformacinatualcance,lossiguientesconceptosyescrbelosendonde corresponde.Toma en cuenta que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.Desarrollando competenciasBLOQUE UNO8Se tienen cuatro maneras posibles para representar una funcin o una relacin:-Verbalmente (con una descripcin en palabras)-Numricamente (con una tabla de valores)-Visualmente (con una grfca)-Algebraicamente (con una forma explcita) Forma equipos de trabajo y expliquen mediante un mapa conceptual o cuadro sinptico, las principales caractersticas y diferencias de una funcin y una relacin. Menciona cmo se obtiene el dominio y rango de una funcin. Una vez concluido el mapa, compartan puntos de vista con el resto del grupo con la fnalidad de complementar sus respuestas y enriquecer sus competencias.Forma equipos y contesten las siguientes preguntas concernientes a funciones y relaciones.1.- Observa el siguiente conjunto de pares ordenados ( )( )( )( ) { }1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 A =Es funcin o relacin?Por qu?Cul es su Dominio?Cul es su Rango?Qu tipo de representacin tiene?2.- Dada la siguiente grfcaEs funcin o relacin?Por qu?Cul es su Dominio?Cul es su Rango?Qu tipo de representacin tiene? Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IV93.- Toma en cuenta la siguiente tabla y contesta.Es funcin o relacin?Por qu?Cul es su Dominio?Cul es su Rango?Qu tipo de representacin tiene?4.- De acuerdo con la siguiente expresin algebraica, contesta:3 y x = +Es funcin o relacin?Por qu?Cul es su Dominio?Cul es su Rango?Qu tipo de representacin tiene?Al fnalizar, de manera aleatoria, seleccionen a alguno (a) de sus compaeros (as) para que vaya anotando las respuestas en el pizarrn, recuerden que pueden participar activamente, complementando en caso de ser necesario, las respuestas.BLOQUE UNO10CLASIFICACIN DE FUNCIONESLas funciones pueden clasifcarse de diversas maneras, en parejas investiguen cada una de las siguientes clasifcaciones y anoten lo que se les pide.Alfnalizarenplenariacompartelainformacinelaboradaenlaactividadanterior,yatravsdeunalluviadeideas, elaboren una defnicin grupal, de cada uno de los conceptos. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IV11LGEBRA DE FUNCIONES.Sepuedencombinardosfuncionesfygparaformarnuevasfuncionesmediantelaadicin,sustraccin,multiplicaciny divisin de los valores de una funcin. Por ejemplo, si tenemos las funciones:( ) 2 1 fx x = + y 2( ) 2 g x x = +Podemos formar una nueva funcin con la adicin 2 2( )( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 3 f g x fx g x x x x x + = + = + + + = + +De donde adems podemos encontrar su dominio, el cual estara defnido por la interseccin de los dominios de las funciones originales, as el dominio de la nueva funcin estara dado por todos los nmeros reales. Forma equipos y encuentren las nuevas funciones que se obtienen de la sustraccin, multiplicacin y divisin, usando las dos funciones del ejemplo anterior. Al terminar comparen sus repuestas con el resto del grupo.SUSTRACCIN( )( ) ( ) ( ) f g x fx g x = =MULTIPLICACIN( )( ) ( ) ( ) fg x fx g x = =DIVISIN( )( )( )f fxxg g x| |= = |\ .Existe otra manera de combinar dos funciones para obtener una nueva funcin. El procedimiento se llama composicin, porque la nueva funcin se compone de las dos funciones originales. Dadas dos funciones f y g, se defne como la composicin de la funcin f con la funcin g, a la funcin denotada porf g o(lase f composicin g), cuya regla de correspondencia es ( )( ) [ ] ( ) f g x f g x = oBLOQUE UNO12Para obtener la regla de correspondencia de la funcinf g o , segn la defnicin anterior, basta con sustituir la funcin g en la variable independiente de la funcin f.Asporejemplo,seanlasfunciones 2( ) 4 1 y( ) fx x g x x = = ,entonces,laregladelafuncinf g o seobtiene mediante la siguiente sustitucin.( )( ) [ ] ( ) f g x f g x = oPor lo que( )( ) f g x f x (= o , entonces( )( ) 4 1 f g x x = oDe acuerdo con lo anterior, en parejas escribe en el parntesis de la columna de la derecha que corresponda a la regla de correspondencia de la composicin indicada.21( ) 1( )( )1fx x g x x h xx= + = =1.- ( )( ) ........() f g x = o a)21 x +2.- ( )( ) ........() g h x = o b) 1 x +3.- ( )( ) ........() hg x = o c) 11 x 4.- ( )( ) ........() g f x = o d) 22 x +5.- ( )( ) ........() f h x = o e)1xf) 11 x g)1 x +Una vez que tengan elaborada su actividad, intercambien sta con sus compaeros de clase, de tal manera que cada pareja revise una distintaa la que elabor. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IV13MODELADO DE FUNCIONESUn modelo matemtico describe un hecho o fenmeno del mundo real, como las ondas que se crean en un estanque al caerle una piedra o el calcular el nivel de lluvia que ha cado en determinado tiempo, y adems nos permite entenderlos de una mejor manera.La mayora de las funciones describen comportamientos de fenmenos o caractersticas de problemas que involucran a mltiples variables. Sin embargo, muchas veces existen formas de expresar todas las variables en trminos de una sola a fn de simplifcar su anlisis.El proceso de modelado de funciones es el siguiente:1. Leer claramente el problema e identifcar la funcin buscada.2. Hacer un dibujo que muestre las caractersticas por modelar.3. Anotar los datos del problema y establecer las frmulas que son conocidas.4. Expresar todas las variables en trminos de la variable pedida a travs de un manejo algebraico.5. Expresar el comportamiento de la funcin en trminos de la variable pedida.Es importante mencionar que un modelo matemtico no es completamente exacto con problemas de la vida real, de hecho, se trata de una idealizacin.Hayunagrancantidaddefuncionesquerepresentanrelacionesobservadasenelmundoreal.Lossiguientesejemplos muestran algunos casos tpicos de modelaciones a travs de funciones, forma equipos de trabajo y encuentren una funcin que nos ayude a modelar el problema propuesto.1) Expresar el rea A de un terreno rectangular como funcin de la base b, si se sabe que su permetro es de 100 cm.BLOQUE UNO142) Se dispone de una cartulina cuadrada 40 cm de lado y se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. Expresar el volumen de la caja en funcin del lado del cuadrado recortado x.Haciendo una fgura, se tiene:Una vez fnalizada la actividad anterior elaboren sus conclusiones, mismas que van a presentar al resto del grupo, comenten sus diferencias para enriquecer el tpico revisado.1. Barnett, R. (2000). Preclculo: funciones y grfcas (4ta ed.). Mxico: McGraw Hill Interamericana.2. Larson, R. (1996). lgebra. Mxico: Publicaciones Cultural.3. Leithold, L. (2000). Matemticas previas al Clculo (3ra ed.). Mxico: Oup-Harla.4. Ortiz, F. (2005). Matemticas IV. Bachillerato General. Mxico: Publicaciones Cultural.5. Ruiz J. (2005). Preclculo: funciones y aplicaciones. Matemticas IV. Mxico: Publicaciones Cultural.6. Stewart, J. (2000). Preclculo. Mxico: International Thomson Editores.7. Sullivan, M. (1997). Preclculo. Mxico: Prentice-Hall Hispanoamericana.SITIOS EN INTERNET Colegio de Matemticas ENPhttp://prepa8.unam.mx/colegios/mate/pdf/m61unidad01.pdf [Consulta: 26/09/2010] Universidad Michoacana de San Nicols de Hidalgohttp://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/funciones.htm [Consulta: 26/09/2010] Divisin de Ciencias Bsicas, Facultad de ingeniera. UNAMhttp://dcb.f-c.unam.mx/CoordinacionesAcademicas/Matematicas/CalculoDiferencial/Composicion.pdf[Consulta: 26/09/2010]Fuentes de informacin Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IV15Formen equipos de trabajo y de cada funcin que les presentamos a continuacin encuentren la operacin indicada, y determinen el dominio, rango, su grfca y clasifcalas como continuas, discontinuas, inyectivas, suprayectivas o biyectivas. 2( ); ( ) 2 5 fx x g x x = = +a) f+gb) f-gc) fgd) f/ge) fgf) gfUna vez que terminen, presntenlos ante el resto del grupo a manera de exposicin, utiliza material de apoyo para una mejor presentacin y en plenaria comenten sus opiniones acerca del trabajo que realizaron sus compaeros; recuerden que es un ejercicio de retroalimentacin para mejorar el desempeo acadmico de cada uno.Asigna 3 puntos si consideras que fue excelente, 2 puntos si fue Bueno y un punto si fue Defciente. reas de Mejora PuntosUso correcto de trminos y conceptos Claridad en la presentacin del ejercicio asignado.Manejo de expresiones matemticasElaboracin de material didctico Participacin de todo el equipoSi obtuvieron:13 a 15 puntosMuy Bien! Contina con ese aprovechamiento y aprendizaje que has obtenido hasta el momento.10 a 12 puntosBien!Hasconseguidounniveldeaprendizajeaceptable,esfurzateunpocomsyobtendrselmximodetu aprovechamiento.Menos de 10 puntosAdelante! Necesitas dedicarle ms tiempo de estudio a los tpicos presentados en el Bloque, concntrate en los puntos bsicos para que puedas desarrollar posteriormente los ms complejos.Qu he aprendido?BLOQUE UNO16HISTORIA DE LAS FUNCIONES Mientras que el clculo diferencial e integral surgi en el siglo XVII, el concepto de funcin vino a conocerse un siglo despus, y el lmite, entendido de una manera formal y rigurosa, slo a fnales del siglo XIX. Esto difere de la forma como se presenta actualmente el clculo, en donde primero se ensean funciones, luego limites y fnalmente derivadas o integrales. En la obra Introductio in Analysis Infnitorum, Leonhard Euler intenta por primera vez dar una defnicin formal del concepto de funcin al afrmar que: ``Una funcin de cantidad variable es una expresin analtica formada de cualquier manera por esa cantidad variable y por nmeros o cantidades constantes. Como puede observarse, esta defnicin diferedelaqueactualmenteseconoce,puessieteaosdespus,enelprlogodelasInstituciones, clculodiferencial,afrm: Algunascantidadesenverdaddependendeotras,sialsercombinadaslas ultimas las primeras tambin sufren cambio, y entonces las primeras se llaman funciones de las ltimas. Esta denominacin es bastante natural y comprende cada mtodo mediante el cual una cantidad puede ser determinada por otras. As, si x denota una cantidad variable, entonces todas las cantidades que de-penden de x en cualquier forma estn determinadas por x y se les llama funciones de x. En la historia de las matemticas se le dan crditos al matemtico suizo Leonhard Euler(1707-1783) por precisarelconceptodefuncin,ascomoporrealizarunestudiosistemticodetodaslasfunciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales; sin embargo, el concepto mismo de funcin naci con las primeras relaciones observadas entre dos variables, hecho que seguramente surgi desde los inicios de la matemtica en la humanidad, con civilizaciones como la babilnica, la egipcia y la china. Antes de Euler, el matemtico y flosofo francs Ren Descartes (1596-1650) mostr en sus trabajos de geometra que tena una idea muy clara de los conceptos de ``variable y ``funcin, realizando una clasifcacin de las curvas algebraicas segn sus grados, reconociendo que los puntos de interseccin de dos curvas se obtienen resolviendo, en forma simultnea, las ecuaciones que las representan. FUENTE: http://www.gfc.edu.co/estudiantes/anuario/2001/sistemas/sergio/node2.html [Consulta: 15/12/2010]Quiero aprender ms Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IV17En este Bloque II continuars con el estudio de las funciones, obtendrs la relacin inversa de una funcin y determinars si esta es tambin una funcin. Utilizars las funciones valor absoluto, idntica, constante y escalonadas, para describir relaciones entre algunas variables.Y construirs grfcas y ecuaciones de funciones, aplicando traslaciones y refexiones a las grafcs de otras funciones. APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRFICASBloque IIUNIDAD DE COMPETENCIAConstruye e interpreta modelos algebraicos y grfcos, aplicando propiedades de funciones inversas, constantes, idnticas, valor absoluto y escalonadas, para representar situaciones y resolver problemas, tericos o prcticos, de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad.Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicacin de modelos funcionales, en el contexto de las situaciones reales o hipotticas que describen.Utiliza transformaciones de grfcas para la visualizacin de las representaciones algebraicas y geomtricas de las funciones. Qu voy a aprender ?18BLOQUE DOSFUNCIONES INVERSASEn el Bloque I aprendiste las funciones Inyectivas (uno-uno), las cuales son aquellas que poseen tambin Inversa. Forma parejas e investiguen en la Bibliografa que tengan a su alcance o en Internet los siguientes conceptos.*Funcin Inversa*Transformacin de una funcin a su inversa.*Representacin algebraica de una funcin inversa.*Representacin grfca de una funcin inversa.Al fnalizar en plenaria comparte la informacin elaborada en la actividad anterior, y a travs de una lluvia de ideas, elaboren una defnicin grupal, de cada uno de los conceptos.Realiza la siguiente actividad en equipos y contesta lo que se te pide.1.- Dadala funcin( ) 52xfx = Desarrollando competencias10.010.0 -10.0-10.0 Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IV19Cul es la expresin algebraica que representa su inversa?La grfca de la izquierda corresponde a las grfcas de la funcin original y su inversa?Por qu?En qu punto se cortan la funcin original y su inversa?2.-Dada la siguiente funcin ( )2f x x = Cul es la expresin algebraica que representa su inversa?Observa las grfcas de la funcin y su inversa juntas. Cul corresponde a la funcin original y cul a su inversa?En qu punto o puntos se intersecan las funciones?20BLOQUE DOS3.- Dada la funcin 2( ) 3 fx x = Cul es la expresin algebraica que representa su inversa?Grafca la funcin original y su inversa. Determina en qu puntos se cortan las funciones.Intercambiensusrespuestasconsuscompaerosdeclase,detalmaneraquecadaequiporeviseun ejercicio distintoal que elabor.Una vez que terminen de revisarlo, en plenaria comenten sus opiniones acerca del trabajo que realizaron suscompaeros;recuerdenqueesunejercicioderetroalimentacinparamejorareldesempeo acadmico de cada uno. FUNCIONES ESPECIALESRecuerda que en el Bloque I aprendiste lo que eran las funciones algebraicas, dentro de las cuales existen algunas con caractersticas especiales y que son tambin de las ms usadas. Forma equipos de trabajo e investiguen cada una de las siguientes funciones.-Valor Absoluto-Constante-Identidad-EscalonadasPresenta la informacin recabada en un informe y tambin en forma de exposicin, para presentarla ante el resto del grupo. Utiliza material de apoyo como cartulinas, papel bond, rotafolios, marcadores, entre otros. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IV21Al fnalizarsus exposicionesdebernllevar a cabo unejercicio deretroalimentacin,elaborenunarbricaqueles permita evaluar ysealar las reas de mejora de cada uno de los equipos, para que puedan trabajar sobre ellas. Completa el siguiente cuadro con lo expuesto por tus compaeros (as).FUNCIN DEFINICIN EJEMPLO GRFICAVALOR ABSOLUTOCONSTANTEIDENTIDADESCALONADA22BLOQUE DOSTRANSFORMACIONES GRFICAS DE LAS FUNCIONESAl aplicar ciertas transformaciones a una grfca de una funcin dada, podemos obtener las grfcas de ciertas funciones relacionadas y, de este modo, reducir el trabajo al trazar esas grfcas.En primer lugar, consideraremos las TRASLACIONES que provocan desplazamientos horizontales y verticales.Toma en cuenta las siguientes funciones y su representacin grfca. Analzalas y contesta las preguntas.Qu es la parte que tienen en comn?En que diferen cada una de las funciones?Cmo afecta las diferencias a su grfca?Cmo afecta el signo en la grfca? Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IV23Ahora analiza las siguientes funciones que provocan desplazamientos horizontales.Qu es la parte que tienen en comn?En que diferen cada una de las funciones?Cmo afectan las diferencias a su grfca?Cmo afecta el signo en la grfca?Cundo una funcin se desplaza verticalmente y cundo horizontalmente?De qu dependen los desplazamientos?24BLOQUE DOSConsideremos ahora las transformaciones deALARGAMIENTO yREFLEXIN.Considera las siguientes funciones y sus grfcas Qutienen en comn?En que diferen cada una de las funciones?Cmo afectan las diferencias a su grfca?Cmo afecta el coefciente en la grfca? Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IV25Analiza la siguiente grfca, que presenta una refexin.Cul es el eje donde se produce la refexin?Por qu se produjo la refexin?Como te habrs dado cuenta, en todas las funciones usadas tenan en comn la funcin y=x2, de esta forma conociendo el comportamiento de una funcin bsica, puedes encontrar la grfca de otras funciones si consideras los coefcientes y signos que la afectan. 1. Barnett, R. (2000). Preclculo: funciones y grfcas (4ta ed.). Mxico: McGraw Hill Interamericana.2. Larson, R. (1996). lgebra. Mxico: Publicaciones Cultural.3. Leithold, L. (2000). Matemticas previas al Clculo (3ra ed.). Mxico: Oup-Harla.4. Ortiz, F. (2005). Matemticas IV. Bachillerato General. Mxico: Publicaciones Cultural.5. Ruiz J. (2005). Preclculo: funciones y aplicaciones. Matemticas IV. Mxico: Publicaciones Cultural.6. Stewart, J. (2000). Preclculo. Mxico: International Thomson Editores.7. Sullivan, M. (1997). Preclculo. Mxico: Prentice-Hall Hispanoamericana.SITIOS EN INTERNET Matebrunca DOCUMENTO EN PDF EN EL CUAL SEEXPLICA LA FUNCIN INVERSAhttp://www.matebrunca.com/Contenidos/Matematica/Funciones/funcioninversa.pdf[Consulta: 26/09/2010] La pizarra de Rubn http://www.rujimenez.es/joomla15/docs/funciones_matccssI/operaciones_con_funciones.html[Consulta: 26/09/2010] Mathbas http://mathbas.com/funciones.html#23 [Consulta: 26/09/2010]Fuentes de informacin26BLOQUE DOSA continuacin presentamos una serie de ejercicios para que los resuelvas de manera individual.De acuerdo con las siguientes funciones determina los siguientes puntos.*Encuentra su inversa *Grafca la funcin original y su inversa juntas*Identifca cul es la funcin bsica que da origen a las dems.*Determina en cada funcin si sufri una traslacin, alargamiento o refexin con respecto a la funcin origen. 2 53 3 1 42xy x y x y y x = + = = + = +Al terminar intercambia tus resultados con algn compaero y asigna un punto por cada respuesta correcta.Si obtuviste de 13 a 16 puntos Excelente!Has aprendido el concepto de funcin inversa, su representacin grfca y el manejo correcto de los elementos para hacer transformaciones de funciones.Si obtuviste de 9 a 13 puntos Bien! Tienes la idea principal del concepto de funcin inversa, continua estudiando el tpico para que alcancesun aprendizaje mayor.Si obtuviste 8 o menos puntos A mejorar! Retoma de nueva cuenta el tpico, recuerda que de los errores se aprende.FUNCIONES COMPUESTASEn ocasiones es necesario que en un mismo plano cartesiano podamos grafcar varias funciones, por ejemplo:Qu he aprendido?Quiero aprender ms Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IV27Cada una por s misma es funcin, pero agrupadas, es decir, considerndolas todas a la vez, no lo son, pues para cada valor de la variable, corresponden 4 valores diferentes.Por ejemplo a x=-2, corresponde y=2, y=4, y=8, y y=10. Sin embargo, a partir de ellas podemos construir lo que se llama una funcincompuestaformadaporvariasexpresionesalgebraicas.Paraesto,esnecesariodividirelejexenintervalos consecutivos, por ejemplo:Los intervalos que muestra la ilustracin quedaron defnidos por (.-4), (-4,-1), (-1,3) y (3, ). Observa que los nmeros -4, -1 y 3 no se estn considerando en ningn intervalo y ello es necesario, por eso, defniremos los intervalos como: (.-4], (-4,-1), [-1,3] y (3,).En cada uno haremos vlida slo una funcin, por ejemplo:En (.-4] hacemos vlida En (-4,-1)hacemos vlida

En [-1,3] hacemos vlida

En (3,)hacemos vlida

28BLOQUE DOSEn cada intervalo borramos las grfcas no vlidas y dejamos slo el trazo de una, esto garantiza que a cada valor de x, slo corresponder uno de y.Es importante analizar qu pasa con los lmites de los intervalos, es decir, con x=-4, x=-1 y x=3. Podemos observar que en x=-4 es vlida la funcin y para evaluar sustituimos f (-4) = .(-4)+3=1 y el punto queda defnido como (-4,1).Sabemos que a cada valor de la variable debe corresponderle slo uno de la funcin, en (-4,0), representamos un espacio vaco con un hueco como se muestra en la ilustracin de abajo:La expresin algebraica de esta funcin se representa por:Las funciones compuestas son muy usadas en cursos posteriores de Matemticas, te sugerimos que las estudies y busques ms informacin en tu Centro de Estudios o en Internet. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IV29A lo largo de tu vida estudiantil has trabajado con nmeros, los cuales has podido sumar, restar, multiplicar, dividir e incluso, sacar radicales y potencias; pero al cursar secundaria y ahora que cursas educacin media superior, te diste cuenta de que podas realizar operaciones con letras y nmeros a la vez, a lo cual le llamamoslgebra.EspecfcamenteenMatemticasIestudiastelospolinomiosenunasolavariable, aprendiste a realizar operaciones con ellos e incluso, los usaste para resolver algunos problemas prcticos. Posteriormente en Matemticas III estudiaste algunos tpicos de Geometra Analtica, la cual se basa en un sistema de ejes coordenados.Mencionamos lo anterior; ya que en este bloque estudiaremos las funciones polinomiales, que se basan enpolinomiosyqueanalizaremosdesdelaperspectivadelageometraanaltica,haciendousodel concepto de funcin que ya abordaste en la unidad anterior.En este Bloque III reconocers las funciones polinomiales en su forma general y en sus expresiones particulares. Distinguirs el grado, el coefciente principal y el trmino constante de una funcin polinomial.Representars las grfcas de funciones polinomiales de grados cero, uno y dos. Explicars por qu las funciones constante, lineal y cuadrtica constituyen casos particulares de las funciones polinomiales de grados cero, uno y dos, respectivamente.Finalmente aplicars modelos lineales y cuadrticos para la resolucin de problemas.EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS CERO, UNO Y DOSBloque IIIUNIDAD DE COMPETENCIAConstruye e interpreta modelos polinomiales aplicando las propiedades de las funciones polinomiales de grados cero, uno y dos, para representar situaciones que involucran tasas nulas razones de cambio promedio o constante, y la obtencin de valores ptimos, para resolver problemas tericos o prcticos de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad.Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicacin de modelos polinomiales, en el contexto de las situaciones reales o hipotticas que describen. Interpreta tablas, grfcas, diagramas y textos con informacin relativa a funciones polinomiales. Qu voy a aprender ?30BLOQUE TRESFUNCIONES POLINOMIALESSiunafuncinfestdefnidapor 0 12211... ) ( a x a x a x a x a x fnnnnnn+ + + + + =donde na a a ,..., ,1 0son nmeros reales ( 0 na ) y n es un entero no negativo, entonces, f se llama una funcin polinomial de grado n.En parejas investiguen en las fuentes de informacin a su alcance o en Internet, los siguientes conceptos y escrbelos en tu cuaderno.* Grado de un polinomio* Funcin constante* Funcin lineal* Funcin cuadrtica * Funciones crecientes* Funciones decrecientes* Ecuacin de la recta* Parbola* Completar Trinomio Cuadrado PerfectoComopodrsobservar,variosdelosconceptosyaloshasaprendidoenestemismoCuadernillooenCursosanteriores, especfcamente Matemticas III. La Funcin ConstanteDe manera aleatoria, seleccionen a alguna de las parejas para que vayan anotando en el pizarrn las respuestas que resuelven el siguiente cuestionario, recuerda que puedes participar activamente, complementando en caso de ser necesario, las respuestas.La funcin Constante es una funcin polinomial de grado________________, es decir, es de la forma f(x)=_____________, donde a, es una_______________. De acuerdo con la siguiente grfca sagitalDesarrollando competenciasSu Dominio est representado por:Su Rango est representado por: Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IV31La funcin constante f(x)=atiene como dominioy como RangoLa grfca de una Funcin Constante est representada por una Lnea , que corta al eje Y en .La funcin constante es una de las funciones ms sencillas que existen y la representacin de las funciones polinomiales mas bsica.FUNCIN LINEALContinuando con las funciones polinomiales, la siguiente en cuanto a grado que debes estudiar y aprender sus caractersticas, es la funcin lineal. En matemticas III estudiaste la ecuacin de la recta, que est ligada a la Funcin Lineal.EsunafuncinpolinomialdegradoUNOytienelaforma( )1 0f x a x a = + ,donde10 a ;laprincipalcaractersticaes que su grfca es una recta y, adems, cuando se presenta una tabla de una funcin lineal, sta posee la caracterstica de que cuando la variable va creciendo de uno en uno, la funcin aumenta o disminuye de manera constante. Dicho en otras palabras, su razn de cambio es constante. Esta razn de cambio es a lo que le llamamos pendiente. De forma general, la expresin analtica de la funcin lineal ser( ) f x mx b = + , donde m es la pendiente o la constante de crecimiento o decrecimiento, y b es la ordenada al origen o valor de la funcin cuando la variable vale cero.Enequiposinvestiguenlascaractersticasdelafuncinlinealcomosuinterseccinconlosejes,la interpretacindesupendiente,surepresentacingrfcaysusaplicacionesensituacionesreales. Al fnalizar, en plenaria comparte la informacin recabada en la actividad anterior, y a travs de una lluvia de ideas, elaboren una defnicin grupal, de cada uno de los conceptos.Formen equipos de trabajo y resuelvan los siguientes problemas donde se aplica la Funcin lineal.1.- Mi ta Anita, que vive en Durango, tiene una cocina econmica y quiere saber el costo total por la produccin de cierto nmero de tamales; sabiendo que el costo fjo por la produccin diaria es de $220 a lo cual debe agregar $2.00 por cada tamal adicional.a) Culsera la expresin analtica que representara esta situacin?b) Cuntostamales tendr que elaborar para que el costo neto de cada tamal sea de $3.00?32BLOQUE TRES2.- En una fbrica de dulces de leche, un cierto tipo de dulce tiene como funciones de costo y venta: C(x)=4x+360 y V (t) = 10x, respectivamente. Justifca las respuestas:a) En un mismo plano cartesiano, traza las dos grafcas.b) Cules el costo inicial de produccin?c) Cuntosartculos se deben producir como mnimo para que no haya perdidas (ganancia=Venta- costo)?d) Cules el costo por producir 120 elementos?e) Cuntose obtiene por vender 120 elementos?f) Para obtener una ganancia de 60,000 unidades de dinero, Cuntoselementos se deben vender?3.- Una funcin lineal esta expresada mediante la tabla incompleta:a) Completa la tabla.b) La funcin es creciente o decrecientec) Cules el valor de la pendiente o constante de crecimiento o decrecimiento?d) Cules el valor de la interseccin con el eje de las ordenadas?e) Determina la expresin analtica de dicha situacin.f) Traza la grfca.FUNCIN CUADRTICALa funcin cuadrtica, es una funcin polinomial de grado DOS, y tiene la forma ( ) 12 02f x a x a x a = + + , donde20 a . La principal caracterstica es que su grafca es una parbola vertical; donde el dominio y el rango son los reales; la ecuacin de una funcin cuadrtica se acostumbra expresarse como:( )2f x ax bx c = + +Para grafcar una funcin cuadrtica basta con tabular la funcin, dndole valores arbitrarios a x y as obtener los de f(x). Todas las parbolas son simtricas con respecto a una lnea recta llamada eje de simetra o eje focal; el punto donde se cruza el eje focal y la curva (parbola) es llamado foco, como ya se haba visto en Matemticas III (recordemos que los elementos que defnen por completo una parbola son 6: vrtice, foco, eje focal, directriz, lado recto y parmetro). Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IV33La funcin cuadrtica tiene una forma Estndar, sta nos sirve para identifcar claramente el vrtice de la parbola y algunos otros elementos; con ello se nos facilita la grafcacin de la misma. Esta forma se obtiene a partir de( )2f x ax bx c = + +mediante el procedimiento de completar cuadrados perfectos (el cual aprendiste en Matemticas III) quedando:( ) ( )2- f x a x h k = +Donde (h, k) es el vrtice de la parbola y el eje de simetra es x=h. adems si a es positivo entonces se trata de una parbola que abre hacia arriba y si a es negativo entonces se trata de una parbola que abre hacia abajo.AdemspodemosobtenertambinlospuntosquecortanalejeXsitomamoslafuncincuadrticacomounaecuacin cuadrtica como lo aprendiste en Matemticas I.Como te habrs dado cuenta, la funcin cuadrtica se relaciona de muchas formas con conceptosaprendidos anteriormente.Forma equipos de trabajo y llena el cuadro segn se pide y, de acuerdo con los datos que te proporciona la forma estndar de la funcin cuadrtica. Al terminar presenten sus resultados y su grfcaa manera de exposicin ante el resto del grupo.No olviden que al fnalizar las exposiciones pueden llevar a cabo un ejercicio de retroalimentacin, elaboren una lista de cotejo para evaluar las exposiciones. Al igual que la funcin lineal, la funcin cuadrtica tambin tiene innumerables aplicaciones, ya que sta puede ser el resultado de modelar cierta situacin, en el Bloque I ya viste cmo modelar funciones para resolver problemas. 34BLOQUE TRESEnparejasresuelvanlossiguientesproblemas,dondedebernmodelarunafuncincuadrticaparaposteriormente encontrar el resultado pedido.1.- Un jugador golpea una pelota de beisbol a una altura de 6 ft sobre el nivel del suelo, a una velocidad de 100 ft/s. La trayectoria de la pelota est defnida por la funcin cuadrtica:( )2 0.0064 2 6 f x x x = + +en donde f(x) es la altura que alcanza la pelota y X la distancia desde home, Cules la altura mxima alcanzada por la pelota?2.- Un fabricante de accesorios para bicicletas tiene costos diarios de produccin por:( )2700 - 4 0.5 C x x x = +en donde C(x) es el costo total en pesos y X el nmero de unidades producidas. Cuntas unidades debe producir diariamente para obtener un costo mnimo?Al terminar intercambien sus respuestas con sus compaeros de clase, de tal manera que cada pareja revise un resultado distinto al que elabor. Garca, L. (2005). Matemticas 4 Bachillerato. Mxico: ST Editorial. Hostetler, R. (2003). lgebra. Mxico: McGraw-Hill. Ruiz J. (2005). Preclculo: funciones y aplicaciones. Matemticas IV. Mxico: Publicaciones Cultural.SITIOS EN INTERNET MatebruncaDOCUMENTO EN PDF SOBRE EL TPICO DE FUNCIN CUADRTICAhttp://www.matebrunca.com/Contenidos/Matematica/Funciones/funcion-cuadrat-teoria.pdf[Consulta: 26/09/2010] La pizarra de Rubn http://www.rujimenez.es/joomla15/docs/funciones_matccssI/operaciones_con_funciones.html[Consulta: 26/09/2010] Mathbas http://mathbas.com/funciones.html#23[Consulta: 26/09/2010]Fuentes de informacin Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IV35Ahora ests listo para aplicar lo que aprendiste a lo largo de este bloque, y reafrmar el aprendizaje adquirido; para ello desarrolla los siguientes ejercicios en equipos de trabajo. Al terminar lleven a cabo la autoevaluacin que se solicita.1.- Compr una bicicleta en $2,600. Si su valor se deprecia linealmente cada ao un 15%, Culser el valor de la bicicleta despus de 5 anos?2.- La compaa Nazareno-Sebastin y Asociados se dedica a la fabricacin de radios, segn los datos del departamento de produccin indican que el costo fjo es de $10,600, y por cada radiorreceptor que produzcan el costo es de $95. Cules el costo de producir 500 radiorreceptores?3.- Don Ramn, que vive en Suchil, Durango, quiere cercar un corral rectangular de 600 metros de permetro. Qudimensiones producirn un mximo de superfcie encerrada?4.- La trayectoria de un clavado es 21 13( ) 88 8fx x x = + +en donde f(x) es la altura en pies y x la distancia horizontal desde el extremo del trampoln Cules la altura mxima del clavado?REAS DE MEJORABUENO REGULAR MEJORABLE CMOPUEDO MEJORARReconozco las caractersticas principales de una funcion lineal.Reconozcotodaslascaractersticasde una funcion cuadrtica.Hagounusocorrectodesuselementos para resolver problemas.Realizogrfcasdefuncioneslinealesy cuadrticas de manera correcta.Qu he aprendido?36BLOQUE TRESEl concepto de funcin tal y como hoy en da es conocido y desarrollado en los cursos bsicos de matemtica, surgi hasta el siglo XVIII, a diferencia del clculo diferencial e integral que encontr su gnesis un siglo antes, lo cual difere de la forma clsica en cmo se presenta actualmente el clculo, donde primero se ensean funciones, luego lmites y fnalmente derivadas e integrales. Sin dejar de lado los refuerzos respectivos.

El primer matemtico que intenta dar una defnicin formal del concepto de funcin fue famoso y reconocido matemtico e investigador en esta rea Leonhard Euler; al afrmar: Una funcin de cantidad variable es una expresin analtica formada de cualquier manera por esa cantidad variable y por nmeros o cantidades constantes las cuales nos permiten generalizar y generalmente las representamos mediante letras o smbolos. En la historia de las matemticas se le da crditos al matemtico suizo Leonhard Euler por precisar el concepto de funcin, as como por realizar un estudio sistemtico de todas las funciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales; sin embargo, el concepto mismo de funcin naci con las primeras relaciones observadas entre dos variables, hecho que surgi desde los inicios de la matemtica en la humanidad, con civilizaciones como la griega, la babilnica, la egipcia y la china.Como aprendiste en este Bloque, una de las funciones ms importantes es la funcin cuadrtica.Una funcin cuadrtica es una expresin asociada a movimientos de partculas en cuya trayectoria describen una parbola o a eventos de la vida real en cualquier mbito que tienen comportamiento similar. Aqusemuestranalgunosejemplosgrfcosdemovimientosparablicosyquesepuedenrepresentarmatemticamente mediante una funcin cuadrtica.

Quiero aprender ms Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IV37En el Bloque III aprendiste acerca de las funciones polinomiales, con grados cero, uno y dos, en este Bloque IV continuars con el aprendizaje de las funciones polinomiales, pero ahora de grado tres y cuatro.Establecers similitudesen el comportamiento de las grfcas de las funciones polinomiales de grado impar (uno y tres) y entre las grfcas de las funciones de grado par (dos y cuatro). Realizars bosquejos de las grfcas de funciones polinomiales de grados tres y cuatro.Determinars las intersecciones con el eje X de las grfcas de ecuaciones factorizables. Aplicars las propiedades de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro en la resolucin de problemas.EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADO TRES Y CUATROBloque IVUNIDAD DE COMPETENCIAConstruye e interpreta modelos polinomiales aplicando las propiedades de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro, para representar situaciones y resolver problemas tericos o prcticos de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad.Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicacin de modelos polinomiales, en el contexto de las situaciones reales o hipotticas que describen. Interpreta tablas, grfcas, diagramas y textos con informacin relativa a funciones polinomiales. Qu voy a aprender ?38BLOQUE CUATROLa funcin cbica, es una funcin polinomial de grado TRES y tiene la forma ( )3 23 2 1 0f x a x a x a x a = + + + , donde3a 0 , de manera anloga es la funcin de grado CUATRO( )4 3 24 3 2 1 0f x a x a x a x a x a = + + + +donde 4a 0 ; el dominio y rango de estas funciones son los reales.Para tratar este tpico el grupo se dividir en equipos de manera equitativa y elegirn uno de los dos tpicos:a) Funcin cubica o de grado tres.b) Funcin de grado cuatro.Las exposiciones debern contener los siguientes puntos.Defnicin de la funcinForma estndar de la funcinSimilitudes que guardan con las de grado uno y dosIntersecciones con el ejeXAnlisis de su grfca (cuando crecen y decrecen)Aplicacin a problemas tericos o prcticos.Uso de material didctico.Despus de cada exposicin, el grupo asignara una califcacin que va desde 6 (defciente) hasta 10 (excelente) al equipo expositor,quedependerdevarioselementos,sealandolospuntosdemejoraquepuedentenersuscompaeroscon respecto a las exposiciones y presentaciones que realicen.Recuerden que es un ejercicio de retroalimentacin para mejorar el desempeo acadmico de cada uno.reas de mejora Califcacin Manejo de informacin adecuada del tpico expuestoClaridad en las explicacionesParticipacin de todo el equipoUso de material didctico adecuadoDesarrollando competencias Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IV39Si el equipo obtuvo 40 Puntos merece el reconocimiento de todo el grupo por su gran aprovechamiento y aprendizaje.Si el equipo obtuvo de 33 a 39 puntos merece una felicitacin por su trabajo, deber esforzarse un poco ms para alcanzar su mximo aprovechamiento.Si el equipo obtuvo menos de 32 puntos merecen ser alentados a que estudien con ms ahnco otra vez los conceptos del Bloque, para que logren un aprendizaje pleno.1. Garca L. (2005). Matemticas 4 Bachillerato. Mxico: ST Editorial.2. Hostetler, R. (2003). lgebra. Mxico: McGraw-Hill.3. Ruiz J. (2005). Preclculo: funciones y aplicaciones. Matemticas IV. Mxico: Publicaciones Cultural.SITIOS EN INTERNET Matebrunca LLEVA A UN DOCUMENTO EN PDF SOBRE DERIVACIN IMPLCITAhttp://www.matebrunca.com/Contenidos/Matematica/Calculo/derivacion-implicita.pdf[Consulta: 26/09/2010] La pizarra de Rubn http://www.rujimenez.es/joomla15/docs/funciones_matccssI/operaciones_con_funciones.html[Consulta: 26/09/2010] Mathbas http://mathbas.com/funciones.html#23[Consulta: 26/09/2010]Fuentes de informacin40BLOQUE CUATROEl Bloque IV ha fnalizado, por lo que debes ver el nivel de aprovechamiento acerca de las funciones de grados tres y cuatro. Resuelve los siguientes ejercicios de manera individual, despus de haber concluido la actividad intercambia tus respuestas con otro (a) compaero (a) y lleven a cabo el ejercicio de coevaluacin del fnal.1.- Acontinuacinsepresentalagrfcadelafuncincbica ( )3f x x = ,conbaseenelladeterminalagrfcadelas siguientes funciones:( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )33333)4) 4)4) 4) 1 4a f x xb f x xc f x xdf x xe f x x= += = += = + 2.- Se requiere construir una caja abierta de lmina cuadrada de 20 pulgadas, cortando cuadros iguales en las esquinas y doblando hacia arriba, (toma como referencia la siguiente fgura).Qu he aprendido? Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IV41a) Verifca que el volumen de dicha caja lo determina la funcin( )2 3400 80 4 Vx x x x = +b) Cul es el dominio de defnicin de esta funcin?c) Traza la grfca y determina el valor de la x (altura de la caja) para la cual el volumen es el mximo.Una vez terminadas las actividades anteriores asigna 3 puntos si consideras que fue Excelente, 2 puntos si fue Bueno y un punto si Necesito mejorar. reas de Mejora PuntosUso correcto de trminos y conceptos Claridad en la resolucin del ejercicio asignado.Manejo de expresiones matemticas.Elaboracin de grfcas de manera correcta.Obtencin de resultados correctos13 a 15 puntosMuy Bien! Contina con ese aprovechamiento y aprendizaje que has obtenido hasta el momento.10 a 12 puntosBien!Hasconseguidounniveldeaprendizajeaceptable,esfurzateunpocomsyobtendrselmximodetu aprovechamiento.Menos de 10 puntosAdelante! Necesitas dedicarle ms tiempo de estudio a los tpicos presentados en el Bloque, concntrate en los puntos bsicos para que puedas desarrollar posteriormente los ms complejos.Es importante que comprendas en un sentido amplio, la conexin que existe entre la expresin analtica (ecuacin) de una funcin o relacin y su grfca, por ello en la asignatura de Matemticas III y en este bloque, se ha trabajado en el anlisis de la correspondencia que existe entre los elementos de una representacin y otra.Para hacer exploraciones sobre la relacin entre los dos tipos de representaciones, existen algunos programas computacionales diseadosparagrafcarecuacionesautomticamente.Laventajaensuusoradicaenqueoptimizatiempos,esposible variar los parmetros de las ecuaciones y observar las modifcaciones que sufre su representacin grfca; para que logres reconocer la implicacin que tiene cada uno de ellos y la manera en que ambas representaciones estn relacionadas, te invitamos a que visites las siguientes pgina donde se presenta un texto que te expone el uso de grafcadores en la enseanza de de la matemtica.http://redenlaces.ucv.cl/coordinadores/seminarios/S07/Aprendiz/Desarrollo/Marco%20Teorico.pdf [Consulta: 15/12/2010]Quiero aprender ms42Bienvenido(a) al Bloque V, despus de haber aprendido las propiedades bsicas delas funciones, ahora determinars si un binomio de la forma x-a, es factor de un polinomio, sin necesidad de efectuar la divisin. Obtendrs en forma abreviada el cociente y el residuo de la divisin de un polinomio entre un binomio x-a.Obtendrs los ceros y las grfcas de funciones polinomiales factorizables. Explicars la Prueba del cero racional, el Teorema fundamental del lgebra y el Teorema de la factorizacin lineal. Finalmente aplicars las propiedades de las funciones polinomiales en la resolucin de problemas. Qu voy a aprender ?EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES FACTORIZABLES.Bloque VUNIDAD DE COMPETENCIAConstruye e interpreta modelos polinomiales aplicando las propiedades de los ceros de las funciones, para representar situaciones y resolver problemas, tericos o prcticos, de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad.Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicacin de modelos polinomiales, en el contexto de las situaciones reales o hipotticas que describen.Interpreta tablas, grfcas, diagramas y textos con informacin relativa a funciones polinomiales factorizables. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IV43Hasta el momento sabes obtener las races o soluciones de las ecuaciones lineales y cuadrticas, as como los respectivos ceros de dichas funciones. A continuacin estudiaremos algunas propiedades de funciones de grado igual o mayor que 3, en relacin con sus ceros o las races de sus ecuaciones correspondientes, con el propsito de hacer su representacin grafca ms fcil.Forma parejas e investiguen en la bibliografa que tengan a su alcance o en Internet el Teorema del Factor y Teorema del Residuo y completen el siguiente cuadro.TEOREMA DEL FACTOR TEOREMA DEL RESIDUODESCRIPCINEJEMPLOAl fnalizar en plenaria comparte la informacin elaborada en la actividad anterior, y a travs de una lluvia de ideas, elaboren una defnicin grupal, de cada uno de los conceptos.Desarrollando competencias44BLOQUE CINCODIVISIN SINTTICAPara simplifcar un poco el procedimiento de la divisin de polinomios utilizaremos la divisin sinttica (proceso abreviado de aquella), tpico que tal vez viste en lgebra de Matemticas I; pero si no fue as, aqu veremos algunos ejemplos, ya que en el proceso para determinar los ceros de una funcin polinomial recurrimos al Teorema del Residuo y, por lo tanto, a la divisin de un polinomio entre un binomio de la forma x - r.Para ilustrar el procedimiento de la divisin sinttica, resolveremos un ejemplo haciendo hincapi en que esta divisin slo se aplica a divisiones con polinomios de una sla variable donde el divisor es de la forma x-r.Procedimiento de la divisin sinttica (Regla de Ruffni)a. El dividendo debe estar ordenado de forma decreciente.b. En el primer rengln se ponen slo los coefcientes del dividendo, sustituyendo por cero las potencias faltantes entre un trmino y otro del polinomio.c. A la derecha del ltimo elemento del dividendo se escribe el simtrico de r separado por una lnea vertical.d. Se traza una lnea horizontal que separa al segundo y tercer rengln.e. El primer trmino del dividendo se escribe como el primer trmino del tercer rengln.f. Despus se multiplica el primer trmino del tercer rengln por el divisor y el producto resultante se escribe en el segundo rengln y en la columna dos.g. Se suman los trminos de la segunda columna y el valor resultante se multiplica por el divisor, ponindose dicho resultado en la tercera columna.h. Este proceso se sigue hasta sumar los elementos de la ltima columna del divisor.i. Los coefcientes que quedan en el tercer rengln, son los coefcientes del cociente, y el ltimo elemento del tercer rengln es el residuo.Ejemplo:Usando la divisin sinttica, encuentra el cociente y el residuo de: x4 - 3x+5 entre x+4Por lo tanto, el cociente es el polinomio x3 - 4x2 + 16x 67 y el residuo es 273 Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IV45Forma equipos de trabajo y resuelvan los siguiente ejercicios. Al terminar intercambien sus respuestas con otros equipos con el fn de comparar respuestas y conocer sus reas de mejora en el tpico.1) ( ) ( )3 223 5 72 x x entre x + 2) ( ) ( )51 1 x entre x + +3) 4 3 22 210 11 103 x x x x entre x + + + +4) 382 x entre x + +Ceros de funciones PolinomialesEl cero en una funcin f es un valor x para el cual f(x)=0. Por ejemplo el cero de la funcin f(x)=x - 5 se halla en x=5, porque si sustituimos este valor en la funcin, sta ser igual a cero; de igual manera si tenemos f(x)=x2 - 4x+3, los valores x=3 y x=1 son ceros en la funcin cuadrtica anterior. En otras palabras, los ceros de una funcin son las races (los puntos por donde cruza la grfca al eje de las x; estos valores los puedes encontrar factorizando la funcin o aplicando la ecuacin general para resolver ecuaciones de segundo grado).Pero para aquellas funciones polinmicas de grado mayor a 3, es ms conveniente usar la factorizacin o la divisin sinttica para poder visualizar sus races o ceros.Adems se cuenta con diversos teoremas que te ayudan a identifcar ciertas caractersticas de las races que posee un polinomio, como el siguiente:Teorema fundamental del algebra: Toda ecuacin polinomial de grado n1 tiene al menos una raz, real o compleja.Investiga los siguientes teoremas relacionados con las races de funciones polinomiales.Teorema de las n races:Teorema de las races complejas:46BLOQUE CINCOEn compaa de otro (a) alumno (a), contesten las preguntas concernientes al siguiente ejercicio, que tienen que ver con los Teoremas que investigaste en la actividad anterior.Encuentra las races racionales de la funcin polinomial ( )3 24 16 9 36 f x x x x = + +Qu teorema puedes aplicar para conocer cules seran las posibles races racionales?Si los factores del trmino independiente son { } 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 y los factores del coefciente principal son {1,2,4 } Cules y cuantasserian las probables races de esta funcin polinomial? .Realiza la divisin sinttica con algunasde las races probables.Teorema de las races racionales:Cul fue su residuo?Es raz de la funcin?Cul fue su residuo?Es raz de la funcin?Cul fue su residuo?Es raz de la funcin?Cul fue su residuo?Es raz de la funcin? Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IV47Es necesario continuar probando mas posibles races?Por qu?Cul es el Teorema que aplicas para poder dar respuesta a la pregunta anterior?Como ya conocemos las races de la funcin, stas nos ayudarn a construir la grfca. Contamos con los puntos (-4,0), (-1.5, 0), (1.5, 0). Ahora slo hay que tabular con algunos valores intermedios entre estos puntos y adems obtener el punto por donde cruza al eje de las ordenadas (cuando x=0). Por lo tanto la grfca que obtendremos ser: En equipos encuentren los ceros polinomiales de las siguientes funciones, determinen si son reales o complejos y elaboren su grfca.a) 3 2( ) 2 - 2 - 4 fx x x x =b) 4 2( ) - 3 - 28 fx x x =Una vez fnalizada la actividad anterior elaboren sus conclusiones, mismas que van a presentar al resto del grupo, comenten sus diferencias para enriquecer el tpico revisado.48BLOQUE CINCO Garca L. (2005). Matemticas 4 Bachillerato. Mxico: ST Editorial.Hostetler, R. (2003). lgebra. Mxico: McGraw-Hill.Ruiz J. (2005). Preclculo: funciones y aplicaciones. Matemticas IV. Mxico: Publicaciones Cultural. SITIOS EN INTERNET MatebruncaDOCUMENTO EN PDF SOBRE OPERACIONES CON POLINOMIOShttp://www.matebrunca.com/Contenidos/Matematica/algebra/algebra-opera-polinomio.pdf La pizarra de Rubn http://www.rujimenez.es/joomla15/docs/funciones_matccssI/operaciones_con_funciones.html[Consulta: 26/09/2010] Mathbas http://mathbas.com/funciones.html#23[Consulta: 26/09/2010]Has fnalizado el Bloque V y retomaremos las funciones polinomiales, sus teoremas y grfcas.Forma equipos de trabajo y de las siguientes funciones polinomiales determinen su grfca, races y variacin de la misma.Al terminar presenten sus resultadosen forma de exposicin ante el resto del grupo.a)( )3 2331212 f x x x x = +b) 3 2( ) -4 -11 30 fx x x x = +c) 3 2( ) -4 -4 fx x x x = +d) 4 3 2( ) - -1 fx x x x x = + +e) 4 2( ) -17 4 fx x x = +Fuentes de informacinQu he aprendido? Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IV49Elijan de manera aleatoria a los equipos que expondrn sus resultados (un equipo por funcin) y lleva a cabo la siguiente actividad de evaluacin.REAS DE MEJORABUENO REGULAR MEJORABLE CMOPUEDO MEJORARConocen y aplican los teoremas de los ceros polinomiales.AplicanelteroemadelResudioydel Factor.Usanladivisionsintticademanera correcta.Realizanlagrfcadelafuncinde manera correcta.Regla de los signos de Descartes RenDescartesencontrunmtodoparaindicarelnmeroderacespositivasenunpolinomio. Esta regla dice lo siguiente: El nmero de races reales positivas de un polinomio f(x) es igual al nmero de cambios de signo de trmino a trmino de f(x).Hay que recordar que los polinomios los tenemos que escribir en orden decreciente conforme al grado de cada trmino.Por ejemplo el polinomio Tiene un cambio de signo, del segundo al tercer trmino, por lo tanto tiene una raz positiva. Tiene dos cambios de signo, tiene dos races positivas Tiene dos races positivas No tiene cambios de signo, por lo tanto no tiene races reales positivas.Quiero aprender ms50En este Bloque VI expresars una funcin racional mediante polinomios que carecen de factores comunes. Determinars el dominio de defnicin de una funcin racional.Determinars si una funcin racional posee asntotas horizontales, verticales u oblicuas y las obtendrs en caso afrmativo. Elaborars la grfca de una funcin racional auxilindote, cuando existan, de sus asntotas. Finalmente aplicars las funciones racionales en la resolucin de problemas. Qu voy a aprender ?EMPLEA FUNCIONES RACIONALESBloque VIUNIDAD DE COMPETENCIAConstruye e interpreta modelos con funciones racionales, aplicando razones entre funciones racionales para representar situaciones y resolver problemas tericos o prcticos de su vida cotidiana y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad.Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicacin de modelos racionales, en el contexto de las situaciones reales o hipotticas que describen. Interpreta tablas, grfcas, diagramas y textos con informacin relativa a funciones racionales. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IV51En este Bloque VI revisaremos las funciones racionales, es decir, aquellas formadas por el cociente de dos polinomios, su variacin grfca para valores de x lejos del origen, y valores de x muy cercanos a los puntos donde el polinomio denominador se hace cero, es decir, alrededor de los puntos donde la funcin racional no est defnida.Para iniciar con el aprendizaje de este Bloque investiga las defniciones y conceptos de funcin racional, asntotas horizontales y asntotas verticales, cmo se obtiene el dominio de defnicin de una funcin racional y su representacin grfca. Al fnalizar en plenaria comparte la informacin elaborada en la actividad anterior, y a travs de una lluvia de ideas, elaboren una defnicin grupal, de cada uno de los conceptos.Veamos algunos ejemplos de funciones racionales con su dominio y un bosquejo de sus grfcas.Ejemplo 1.( )2211x xh xx x+ += +En este caso el dominio de la funcin h es:2 -{ | - 1 0 }hD x x x = + = RYaque,2 4 0 b ac < , se sigue que el polinomio 21 x x +no se anula y por tanto ( ) ,hD= = RYsu grfca quedara:Desarrollando competencias52BLOQUE SEISEjemplo 2.( )2211x xh xx x +=+ +En este caso su dominio es: Por lo tanto Tiene asintotas?Y su grfca es: Ejemplo 3.( )( )( )( )211 1xh xx x+=+ Cul es su dominio?De acuerdo con su dominio tiene o no asntotas?Observa su grfca y podrs observar que se formaron uno huecos Qusignifcan estos?Qu tipo de asntota se forma?Cmo se comporta la funcin antes y despus de la asntota?xy12 34 56 78 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -112-2-134 Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IV53Ejemplo 4.A la grfca de la izquierda le corresponde la funcin ( )( )( )( )6 4 14 25 2 3xh xx x+=+ +Cul es su dominio?Tiene asntotas y si las tiene donde estan ubicadas?Qu tipo de asntotas son las que se observan?APLICACIONES DE LAS FUNCIONES RACIONALESDiversos campos emplean funciones racionales para describir los procesos que se dan en la naturaleza o en la vida diaria.En distintos mbitos se pueden encontrar variaciones de tipo inverso, como lo es el tiempo que le lleva a un estanque llenarse considerando el nmero de llaves iguales que lo llenan. Por ejemplo:Una llave llena un estanque, digamos de agua, en 36 horas, dos llaves en 18 horas, 3 llaves en 12 horas, 4 llaves en 9 horas, 6 llaves en 6 horas. Una representacin analtica est dada por la siguiente expresin36 xy =donde y es el nmero de llaves y x es el tiempo en horas empleado.54BLOQUE SEISObserva que al aumentar el tiempo el nmero de llaves disminuye y si aumenta el nmero de llaves el tiempo disminuye. En nuestro caso, 36 se ha mantenido constante.Decimosentoncesquelasdoscantidadessoninversamenteproporcionales.Unagrfcamuestralaformaenqueestn variando las cantidades.Este tipo de variacin se puede ver como un caso particular de la funcin racional:kyx=Con k la constante de variacin y como asntotas los ejes coordenados.Veamos otro ejemplo.A un paciente se la aplica un medicamento y su concentracin en el torrente sanguneo despus de t horas est dado por:( )20.21tC tt=+Con C en miligramos por centmetro cubico. Interpretemos la asntota de la funcin racional dada. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IV55De acuerdo a la funcin y su grfca contesta.Tiene asntotas?Dnde estn y de qu tipo son sus asntotas?Por el contexto del problema A qu conclusin puedes llegar? Como te habrs dado cuenta, las funciones racionales tambin tienen aplicaciones en la vida diaria, te invitamos a que busques ms ejemplos de cmo se pueden aplicar estas funciones en tu escuela, hogar o en tu comunidad. Garca L. (2005). Matemticas 4 Bachillerato. Mxico: ST Editorial. Hostetler, R. (2003). lgebra. Mxico: McGraw-Hill. Ruiz J. (2005). Preclculo: funciones y aplicaciones. Matemticas IV. Mxico: Publicaciones Cultural. SITIOS EN INTERNET Matebruncahttp://www.matebrunca.com/Contenidos/Matematica/Funciones/funcioninversa.pdf[Consulta: 26/09/2010] La pizarra de Rubn http://www.rujimenez.es/joomla15/docs/funciones_matccssI/operaciones_con_funciones.html[Consulta: 26/09/2010] Mathbas http://mathbas.com/funciones.html#23[Consulta: 26/09/2010]Fuentes de informacin56BLOQUE SEISFelicidades!HasterminadoelBloque VI,aplicatuaprendizajesobrefuncionesracionalespararesolverlossiguientes ejercicios en parejas.Al terminar elijan de manera aleatoria a alguna parejas para que pasen al pizarrn a exponer su procedimiento y resultado.1.- Determinar el dominio, corte con el eje X (si lo hay) y todas las asntotas existentes en cada una de las funciones racionales:2.- La concentracin de cierto medicamento en un paciente t horas despus de la inyeccin est dada por:( )232 1tC tt=+ donde0 4 t Qu he aprendido? Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IV57Donde C se mide en miligramos por centmetro cbico. Determine cuando aumenta y disminuye la concentracin.3.- Durante una epidemia de infuenza, la proporcin de la poblacin baja en defensas que fue infectada, est dada por:2( )2 tP tt=+Para cul valor de t es p mxima? 4.- El costo C en la produccin de n artculos es( )2 0.2105 C n n n = + + . Calcular el nmero de artculos que deben producirse para obtener el costo promedio mnimo por unidad.El costo promedio es dado por:Ccn=Una vez que terminen de revisarlos, en plenaria comenten sus opiniones acerca del trabajo que realizaron sus compaeros, recuerden que no es una crtica, ms bien es un ejercicio de retroalimentacin que tiene como fn mejorar el desempeo acadmico de cada uno, para la evaluacin del ejercicio pueden elaborar una lista de cotejo.Asigna 3 puntos si consideras que fue excelente, 2 puntos si fue Bueno y un punto si fue Defciente. reas de Mejora PuntosUso correcto de trminos y conceptos Claridad en la presentacin del ejercicio asignado.Manejo de expresiones matemticasElaboracin de material didctico Participacin de todo el equipo13 a 15 puntosMuy Bien! Contina con ese aprovechamiento y aprendizaje que has obtenido hasta el momento.10 a 12 puntosBien!Hasconseguidounniveldeaprendizajeaceptable,esfurzateunpocomsyobtendrselmximodetu aprovechamiento.Menos de 10 puntosAdelante! Necesitas dedicarle ms tiempo de estudio a los tpicos presentados en el Bloque, concntrate en los puntos bsicos para que puedas desarrollar posteriormente los ms complejos.58BLOQUE SEISASNTOTAS CURVILNEASEn la descomposicin en fracciones de la funcin3 2211x xx+ ++obsrvese que el cociente produce como resultado una suma de funciones( )211xxx+ ++, donde el primer sumando es la asntota 1 x + y el segundo, la fraccin propia 21xx+ Ntese la situacin al igual que presenta la funcin ( )323 62x xx ++ donde al realizar el cociente, el resultado es el trmino 3x.En ambos ejemplos el cociente es un polinomio de grado uno y la asntota slo se encuentra en el primero de ellos, pues en el otro la fraccin propia no existe.A estas asntotas se les conoce como asntotas rectilneas donde r(x) es de la forma( )( )( )( )( )p x s xax bq x q x= + +Con ( )( )s xq xcomo fraccin propia.Paraelcasodeasntotascurvilneasder(x)asntotasquenorepresentanpolinomiosdeprimergrado,serequierequelos polinomios cumplan con la desigualdad n - m>1. Adems de la existencia de la fraccin propia, la existencia de la asntota como un polinomio necesariamente de grado 2.Veamos algunos ejemplos de asntotas curvilneas donde se cumpla n - m>1, es decir, n - m1Quiero aprender ms Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IV59Ejemplo 1.321( ) (1 ) r x x xx= + +As se tiene que: 322 321( ) (1 )5 1

r x x xxx x xx= + + + += Asntota curvilnea 31, 5, 2 y x x n m = + = =Asntota vertical0 x =Ejemplo 2.( ) ( )4 231 11x x xr x x xx x + += + + =Asntota curvilnea 3y x x = + ,4, 1 n m = =Asntota vertical0 x =Obsrvese que el polinomio y la Asntota se cortanxy12 341234-1 -2 -3 -4-1-2-3-460Como recordars, en el Bloque I aprendiste que haba diversos tipos de funciones entre los cuales se encontraban las funciones trascentes, entre las cuales se encuentran las Funciones exponenciales y logartmicas que trataremos en este Bloque. Explicars por qu una funcin exponencial es creciente o decreciente. Obtendrs el valor inicial y el factor de crecimiento de una funcin exponencial. Utilizars la funcin exponencial natural para modelar situaciones que involucran al nmero e.Construirs la funcin logartmica como la inversa de la funcin exponencial. Trabajars con logaritmos y resolvers ecuaciones exponenciales y logartmicas. Reconocers situaciones que pueden modelarse mediante funciones exponenciales y logartmicas y aplicar stas para hallar su solucin. Qu voy a aprender ?APLICA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS.Bloque VIIUNIDAD DE COMPETENCIAConstruye e interpreta modelos exponenciales y logartmicos aplicando las propiedades de crecimiento y decrecimiento propias de estas funciones, para representar situaciones y resolver problemas tericos o prcticos, de su vida cotidiana o escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad.Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicacin de modelos racionales en el contexto de las situaciones reales o hipotticas que describen.Interpreta tablas, grfcas, diagramas y textos con informacin relativa a funciones exponenciales y logartmicas. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IV61Las funciones exponenciales estn presentes en una gran variedad de fenmenos. Las encontramos, por ejemplo, en la forma en que se reproduce la llamada marea roja, que consiste en una gran coleccin de billones de protozoos que se multiplican a gran velocidad, afectando a muchas especies marinas. No te has enfrentado alguna vez a algn tipo de expresin matemtica parecida a28x=donde es necesario determinar el valor de x cuando esta es un exponente? Por lo general, habrs resuelto ecuaciones de primero y segundo grado, pero no cuando la variable es un exponente; comnmente te enfrentabas a despejes tales, que cuando la variable est multiplicando pasa dividiendo o si esta sumando pasa restando o viceversa, y hasta te han dicho que cuando existe un exponente entero pasa como la raz. Si ahora tratas de despejar x de la expresin anterior, puedesobtener con ello su valor?Para poder entender cuestiones como las anteriores, es necesario que aprendas las funciones exponenciales y logartmicas. Renete en equipos de trabajo y elijan alguno de los tpicos que mencionamos a continuacin, los cuales debers investigar y presentarlos ante el resto del grupo, adems de elaborar un informe por escrito para que lo incluyas en tu portafolios de evidencias.1.- FUNCIN EXPONENCIALDefnicin Dominio y RangoForma de su grfca Comportamiento de la grfca de acuerdo con su baseComportamiento de la grfca de acuerdo al signo de su exponenteFuncin exponencial naturalRelacin que guarda con la Funcin Logaritmo Aplicaciones en la vida cotidiana (Inters compuesto, depreciacin, crecimiento de poblaciones, etc.)Desarrollando competencias62BLOQUE SIETE2.- FUNCIN LOGARITMO Defnicin Dominio y RangoForma de su grfca Funcin Logaritmo naturalComportamiento de la grfca de acuerdo con su baseAplicacin en la vida cotidiana (Inters compuesto, depreciacin, crecimiento de poblaciones, etc.)4.- Ecuaciones Exponenciales y LogartmicasCambio de la forma exponencial a la forma logartmica.Las 4 Propiedades de los Logaritmos.Ejemplos de solucin de ecuaciones exponencial y logartmica.Para realizar sus exposiciones, deber participar todo el equipo, pueden utilizar el pizarrn, cartulinas, papel Bond, rotafolios, Plumones, marcadores, entre otros o cualquier material que les ayude a explicar mejor el tpico.Al terminar cada exposicin, completa los siguientes cuadros con la informacin correspondiente. Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IV6364BLOQUE SIETEDespus de las exposiciones, lleven a cabo un ejercicio de retroalimentacion, sealando los puntos de mejora para mejorar sus presentaciones. Por eso te sugerimos que al exponer tus compaeros (as) completes el siguiente cuadro.Garca L., (2005), Matemticas 4 Bachillerato. Mxico: ST Editorial.Hostetler, R. (2003). lgebra. Mxico: McGraw-Hill.Ruiz J. (2005). Preclculo: funciones y aplicaciones. Matemticas IV. Mxico: Publicaciones Cultural.Sullivan, M. (1997). Preclculo. Mxico: Prentice-Hall Hispanoamericana. SITIOS EN INTERNET Matebruncahttp://www.matebrunca.com/Contenidos/Matematica/Funciones/expo-log-aplicac.pdf[Consulta: 26/09/2010] La pizarra de Rubn http://www.rujimenez.es/joomla15/docs/funciones_matccssI/operaciones_con_funciones.html[Consulta: 26/09/2010] Mathbas http://mathbas.com/funciones.html#23[Consulta: 26/09/2010]Fuentes de informacin Cuadernillo de actividades de aprendizaje / Matemticas IV65ElBloque VIIhaterminadoydebesponerapruebalascompetenciasdesarrolladassobrefuncionesexponencialesy logartmicas sus propiedades y sus resoluciones.De manera individual contesta lo que se pide.I. Elige la respuesta correcta.1. Ladiferencia que existe entre las funciones polinomiales y las exponenciales es?a) No hay diferencias.b) Siempre crecen las polinomiales.c) Las exponenciales, por lo general, crecen o decrecen de modo rpido.d) Las exponenciales son parbolas y las polinomiales son lneas rectas.2. Quocurre al acercarse los valores de x al infnito en una funcin exponencial que decrece?a) Deja de existir la funcin.b) Desaparece la funcin.c) La funcin se vuelve, tambin, infnita.d) El valor de la funcin se aproxima a cero.3. Qu ocurre al acercarse los valores de x al infnito en una funcin exponencial que crece?a) Deja de existir la funcin.b) Desaparece la funcin.c) La funcin se vuelve, tambin, infnita.d) El valor de la funcin se aproxima a cero.4. Las funciones exponenciales slo crecen cuando su base:a) Es cero.b) Es mayor que la unidad.c) Es igual a la unidad.d) Es negativa.5. Las funciones exponenciales slo decrecen cuando su base:a) Adopta un valor mayor que cero y menor que la unidad.b) Es mayor que la unidad.c) Es igual a la unidad.d) Es negativa.Qu he aprendido?66BLOQUE SIETEII. Estudia cada aseveracin y califcala como falsa (F) o verdadera (V) segn corresponda:1. Para x = 0, la funcin toma el valor 1: f(0) = b = 1()2. Para x = 1, la funcin toma el valor a: f(1) = b = b()3. La funcin exponencial es positiva para cualquier valor de x: f(x )>0. ()4. Si la base de la potencia es mayor que 1, b>1, la funcin exponencial es creciente.()5. Si la base de la potencia es menor que 1, b