Upload
others
View
16
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ������ ��� � ����� � ��� ��� ��������� ���-���� �� ���������� ���� ������������: ���� � � ��, ������������, � ���� ��� ��� �� �� �� �������� ����� ����(�.�. � �����) ��� � ��������, � ����� � ��� ������� � ���-����� �, � ��� ����� � �� ��� ��� ��������� � � �� ��-� �����, �.�. �� � ���� � ����� � � ������� �� ��� ����-����� Riemann ��� ��� ������� �� � �� �� ������� —� ���� ����, �� �����������— �� ����������� � ��� ��� � �� ������ �� �� ������ �������.
5.1Yπολογισµός όγκων µε διατµήσεις • Στερεά εκ περιστροφής:Kυκλικές διατοµές • Στερεά εκ περιστροφής: ∆ακτυλιοειδείςδιατοµές
!�� E���� 4.3, ����� ��� 3, ����������� �� ���� ���������� ������� �� � � ��� «�� �» �� ��� ��������� ��������� ���������� ��� ������ �� ���������, ��� �����"�� ������������� ��� ������� Riemann. A� ���� � ����� ��� ���-� � �� ��� �� � ���, �� ��� ����� ��������� �� ���� ��������� �� ��� ������� ����������.
T��� ���� � ���� �� ����������� �� ���� ��� � ������������ � � ��, � �����������.
Yπολογισµός όγκων µε διατµήσεις#�� � ����� �� ����������� �� ���� �� � � �� �� !����-�� 5.1. H ����� �� � � �� � ��� ��� �� x �� �������� [a, b] ��� ��� ����� R(x) �$���� A(x) . A� � A ��� ��� ��� ���������� x ������� �� ������� �� ���� �� � � �� �� ����������,��� �������� � �� ���������.
,
381
5 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων
5.1 Yπολογισµός όγκων µε διατµήσεις και περιστροφή γύρω από άξονα
%���� R(x ). E�$���� ������ A(x).
a
x
b x
ΣΧΗΜΑ 5.1 A� � �$���� A(x)�� ������ R(x) ��� ��� ����������� �� x ������� ������������� �� ���� ��� � �� ������������� �A(x) ��� a ��� b.
,
%�� ������ � [a, b] � ���������� ������ �x �� «��$��� »� «�� �» � � � �, ���� �� ��$�� ��� ���$�� &���, � ��� ����� � ��� �"��� x �� ��� �� ��� ��� ��. H k-�� ���, � ����� � -��� � � �"� �� ������ ��� ������� ��� � xk�1 �� xk �� � -����� ���� ���� � �� ������� ��� � �� � �"� �� ���� �������� �� �� $��� � ����� R(xk) (!���� 5.2).
O ����� �� ��������� ���
Vk � �$���� $���� � �&�� � A(xk) � �x
T� �������
Vk � A(xk) � �x
���� ���� �� ���� �� � � ��.T� �������� � � ��� ���� ��� ������� Riemann �� ������-
��� A(x) �� ������ [a b] , ����� � � ��� � �� ��� ��� �� ����� �� �����, ��������� �� $ ������ � ���� ���� � ���� ������� � ���������� ��� ��� � � ��� ��� �� �� ���� ��������.
'� �� ��������� �� ��� ���� ������� �� "��:
Παράδειγµα 1 Όγκος πυραµίδας
M� �������� �&��� 3 m �� ������ $��� �� ���� 3 m. H ��-��� �� ��������� � ������� x m ��� �� ������ �� ��� ��� ������ �� ���� x m. B� � �� ���� �� ���������.
Λύση
Bήµα 1: ��� ����. !� ������ �� �������� � �"��� ���� ������ �"��� x �� ������ �� ���� �� �"����, �� ����� ������ �� ���� ����� (!���� 5.3).
Bήµα 2: ������ ��� A(x) . H ����� � ���� x ��� ��� �������� ���� x m, � �$����
A(x) � x 2.
,
��
.
,
382 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων
EKTO! K*IMAKA!
E��� ���� xk –1
R (xk ) xk
R(xk).
xk–1
xk x
���� ��������������$�� ��
E��� ����
H $��� �� ��������� ��� � �����
ΣΧΗΜΑ 5.2 M ������� �� «����»��� «��$���» ��� � � � � � ��� �� xk�1 �� xk . +��� � ����� � �������� ��� ���� �-��� � ��� �� � � ��.
Oρισµός Όγκος στερεούO ����� � � �� � ����� �� ����������� �$���������� A(x) ��� x � a ��� x � b ���� � � ������������ ��������� A ��� a ��� b,
V � .� b
a A(x) dx
Πώς υπολογίζουµε όγκους µε τη µέθοδο των διατµήσεων
Bήµα 1. ����������� �� ����� ��� ��� ������ ������� ���.
Bήµα 2. B ������ ��� ������ ��� A(x) .
Bήµα 3. B ������ �� ��� ����������.
Bήµα 4. O����������� �� �������� A(x), �� �� $���� �� ����.
ΣΧΗΜΑ 5.3 O ������ ����������� �� ����� ������ 1 ��� ������.
03
3xx
x
3
x (m)
T���� �����
CD-ROM∆ικτυότοπος
Bήµα 3: ��� ����������. O ����� � ������ � ����� ���x � 0 ��� x � 3.
Bήµα 4: O����������� ��� �� !��� ��� ����.
� 9 m3
Παράδειγµα 2 Tο θεώρηµα του Cavalieri
T� � ����� �� Cavalieri ��� �� � � � � ��� ����� ��� �&���� ������� �$��� ������ � ��� �&��, ������$����� ����������� (!���� 5.4). A�� �� � ������ ��� �� ����� �� �����,�� ��� � �������� �$���� ������ A(x) ��� �� � ������[a b] ��������� �� � ��� � � �.
Παράδειγµα 3 Όγκος σφηνοειδούς βαθµίδας
%�� ��� �� ������ ���� ������� ������ 3, ���������� ������� � ����� �� $������ ��� ���� � �� !���� 5.5. T� ��� ��� �� ��� ��� � ��� �"��� �� ���������. T� ���� ��� ����� � ���� ��� ����� 45� �� ����� �� ���������. Y����-��� �� ���� �� ����� ���� $�������.
Λύση
Bήµα 1: ��� ����. !� ������ � ����� �� $������ �� ���-�� ������ �� ���� ����� ��� � ��� �"��� x (!���� 5.5).
Bήµα 2: ������ ��� A(x) . H ����� �� x ��� ��� �������� ��-������������� �$����
Bήµα 3: ��� ����������. O ������� � ������ � ����� ���x � 0 ��� x � 3.
Bήµα 4: O����������� ��� �� !��� ��� ����.
V � � b
a A(x) dx � � 3
0 2x�9 � x2 dx
,
V � � 3
0 A(x) dx � � 3
0 x2 dx � x
3
3�3
0
3835.1. Υπολογισµός όγκων µε διατµήσεις και περιστροφή γύρω από άξονα
Βιογραφικά στοιχεία
Bonaventura Cavalieri(1598-1647)
CD-ROM∆ικτυότοπος
ΣΧΗΜΑ 5.4 T� "����� ��� Cavalieri: T� � � � ��� ����� �����������. M��� � �� � �� � �’ ��� ����������� ��� ���$ ���������.
xx
x
y
45°
3
30
9 � x2x, �
2 9 � x2 √
√
ΣΧΗΜΑ 5.5 H ����� ��� $�������� ����� ������ 3,�� ������ ��� � ��� �"���x . O ������ ��� �����������������������.
b
a
/� � ���� ������� � ��� ��� ��
/�� ����
A(x) = (�&��)(�����) = (x) (2����9 – x2)= 2x����9 – x2 �������� ����� �.
= 18 ��$��� ����� �
Στερεά εκ περιστροφής: Kυκλικές διατοµέςH ���� �� ������� �� � ����� �� ����� �� ����� � � � �� �������. ���� �� ��� ����� ��� � � � �� ������ � ���-�� ����� � � �� � ������ �� ��� ��� ������ ���� ��� �"�-� �. T� ���� ��� ����� � ����� � ��� ��� � ������� �� �-$���� ������ A(x) .
T���, � ���� ����� �� � � �� � � ������ ��� � ����"��� � �������, ��� ���� ������ ������ R(x) �� �$����
A(x) � �(�����)2 � �[R(x)]2.
'� �� ���� ���, � ���� ������ ������� ��� �� ��� �� ���������� �� ���. A��������� � ��� ����� �����.
Παράδειγµα 4 Στερεό εκ περιστροφής (Περιστροφή ως προςτον άξονα x)
T� ����� ��� � ��� � � ��� �� ������� y � , 0 � x � 4, ���� �"��� x � ����� � �� ���� �� �"��� x ����������� ���� � �. B� � �� ���� ��.
Λύση !� ������ � �����, �� ���� �����, �� � ������� -�� � � � � � ������� (!���� 5.6). O ����� ���� �
R(x) = ÷x
= � �4
0 x dx = � x2
—2
G4
0= �
(4)—2
= 8� ��$��� ����� �.
!� ��� �� ����� ���, �"���� � ������� � � ��� � �"����x , ����� � ������� ���������� �� ����� � � ����� : O�������-���� �� ������ �(�����)2, � �������� ��� �����������.
Παράδειγµα 5 Στερεό εκ περιστροφής (Περιστροφή ως προςτην ευθεία y � 1)
B� � �� ���� �� � � �� ��� ����� � � ��������� ������ �� �� �� y � 1 � ����� ��� ����� � ��� �� y � ����� � �� � � y � 1, x � 4.
Λύση !� ������ � �����, �� ���� �����, �� � ������� -�� � � � � � ������� (!���� 5.7). O ����� �� ���� �
R(x) = ÷x – 1 � � 4
1p ��x � 1 � 2
dx
V � � 4
1 p[R(x)]2 dx
�x
� � 4
0 p[�x
]2 dx
V � � b
a p[R(x)]2 dx
�x
� 0 � 23
(9)3 / 2
� �23
(9 � x2)3 / 2�3
0
384 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων
;���� u � 9 � x 2,du � �2x dx , ������������ ,�� �������� ��� �� ���� x .
x
y
0 4
y � √ x
√ x
√ x
x
R(x) �
(�)
x
y
y �
0
($)
4
R(x) � √ x
x
ΣΧΗΜΑ 5.6 T� ����� (�) �� �� � � ($) �� ����� ������ 4.
= � C x2—2
– 2 •2
—3
x3/2 + xG4
1=
7�——6
��$��� ����� �.
'� �� $���� �� ���� ��� ����� � �� � ����&��� �� ������ �"��� y ��� ����� ��� � ��� � � ��� �� �"��� y �� �� ��-����� x � R( y) , c � y � d ��������� �� ��� ������ ���� � � x�� ���� �� y . !�� � ������ ���, � ������ ����� �� �$�-���
A( y) � �[�����]2 � �[R(y)]2 .
Παράδειγµα 6 Περιστροφή ως προς τον άξονα y
B� � �� ���� �� � � �� ��� ����� � �� � ����&��� ������ �� �"��� y � ����� ��� � ��� � � ��� �� �"��� y �� ����� ������� x � 2 y 1 � y � 4.
Λύση !� ������ � �����, �� ���� �����, �� � ������� -�� � � � � � ������� (!���� 5.8). O ����� ���� �
R(y) = 2—y
= 3� ��$��� ����� �
� p � 4
1 4y 2
dy � 4p ��1y�
4
1 � 4p �3
4�
� � 4
1 p �2
y�2
dy
V � � 4
1 p[R(y)]2 dy
, /
,
� p � 4
1 �x � 2�x � 1 � dx
3855.1. Υπολογισµός όγκων µε διαρµήσεις και περιστροφή γύρω από άξονα
x
y
0
y � √ x
x
1
1y � 1
(�)
4
R(x) � √ x � 1
ΣΧΗΜΑ 5.7 T� ����� (�) �� �� � � ($) �� ����� ������ 5.
y
y � 1
(x, √ x )
0
x
($)
1
4
y � √ x
R(x) � √ x � 1
1
x
(x, 1)
Eύρεση όγκων για κυκλικές διατοµές (µέθοδος των δίσκων)
Bήµα 1. ����������� �� �� � ��� ! ������ �� �������� ��� ���R(x) .
Bήµα 2. T������ ����� ��� R(x) ��� ���������������� �� �
Bήµα 3. O����������� �� �� $���� �� ���o.
.
x
y
0 2
4
y
1
(�)
x � 2–y
R(y) � 2–y
x
y
0
2
4
1
($)
x � 2–y
R(y) � 2–y
2–y
, y
y
ΣΧΗΜΑ 5.8 T� ����� (�) �� � � � � ($) �� ����� ������ 6.
CD-ROM∆ικτυότοπος
Παράδειγµα 7 Περιστροφή ως προς κατακόρυφο άξονα
B� � �� ���� �� � � �� ��� ����� � �� � ����&��� ������ �� �� �� x � 3 � ����� ��� � ��� � � ��� �� ����$���x � y2 � 1 �� ��� �� �� �� x � 3.
Λύση !� ������ � �����, �� ���� �����, �� � ������� -�� � � � � � ������� (!���� 5.9). O ����� ���� �
R(y) = 3 – (y2 + 1) = 2 – y2
Στερεά εκ περιστροφής: ∆ακτυλιοειδείς διατοµέςA� � � ��� ��� �� ����� � � ��� �� ����� � � �� �"���� �������, � � � � � �������� �� �� ��� ���� �������� ( ��� «�����») (!���� 5.10). O ��� � ��� �"��� � -������� ������ ��� ������� ������ �� �� ������� �����.O ����� � ��� ����� �������� ���
E"� ��� �����: R(x)
E�� ��� �����: r(x)
T� �$���� ��� ������� �������� ���
A(x) � �[R(x)]2 � �[r(x)]2 � �([R(x)]2 � [r(x)]2 ) .
Παράδειγµα 8 ∆ακτυλιοειδής διατοµή (Περιστροφή ως προςτον άξονα x)
T� ����� ��� ����� � ��� �� ������� y � x 2 � 1 �� �� �� ��y � �x � 3 � ����� � �� ���� �� �"��� x . B� � �� ���� ��� � �� � � �������.
� p �4y � 43
y 3 � y 5
5��2
��2
� p ��2
��2 [4 � 4y 2 � y 4] dy
� ��2
��2 p[2 � y 2]2 dy
V � ��2
��2 p[R(y)]2 dy
386 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων
R(y) � 3 � (y2 � 1)
� 2 � y2
x
y
0 1
√ 2 (3, √ 2)
3
– √ 2x � y2 � 1
(3, – √ 2)
(�)
y
R(y) � 2 � y2
x
y
01
√ 2
53
– √ 2
($)
x � 3
y
x � y2 � 1
ΣΧΗΜΑ 5.9 T� ����� (�) �� �� � � ($) �� ����� ������ 7.
y
0a
y = R(x)
y = r(x)
b x
0
y
xx
0
y
x
y = R(x)
y = r(x)
x
ΣΧΗΜΑ 5.10 O ������ �� � � �� � � ������� �� ��� ������� ������, �� �����, � �� ����������� A(x) dx ������ � ����� �� �������� ������� ��’ �, ������� �� ���.b
a
= 64� 215
��$��� ����� �.
Λύση
Bήµα 1: !� ������ � ����� ����� �� ��� ��������� ���� ���� ����� ��� � ��� �"��� � ������� (�� !���� 5.11, � �-�������� ���� ��� ������).
Bήµα 2: B������� � ��� ����������� ������������� � ��-� ����� � x �� ��� ��� ���� �� �������� � � ������������� (!���� 5.11).
Bήµα 3: B������� �� "� ��� �� �� �� ��� ����� �� ��-���� ���� ������ ��� ����� � ��� � ��������� ���� ����� � ����� � �� ���� �� �"��� x . (!� !���� 5.12 �� ����-� � �����, ���� � �� � � ��� �������� �� � ��� ������ ��� ����� �.) O ���� � ���� ������� ������� ���� ����� �� �� ����� ������� �� ����� �� ���������������� ��� �� �"��� � �������.
E"� ��� �����: R(x) � �x � 3
E�� ��� �����: r(x) � x 2 � 1
Bήµα 4: Y���������� � ���������� �����.
'� �� �� �� ����� � � �� ��� ����� � ��� �� � ����-�� �� ���� �� �"��� y , ����������� �� ��� ��������, ���������������� �� ���� y ��� �� ���� x.
� � 1
�2 p(8 � 6x � x2 � x4) dx
� � 1
�2 p((�x � 3)2 � (x2 � 1)2) dx
V � � b
a p([R(x)]2 � [r(x)]2) dx
x � �2, x � 1
(x � 2)(x � 1) � 0
x2 � x � 2 � 0
x2 � 1 � �x � 3
3875.1. Υπολογισµός όγκων µε διατµήσεις και περιστροφή γύρω από άξονα
x
y
0
y � �x � 3
x
y � x2 � 1
1
–2
(1, 2)
(–2, 5)
r(x) � x2 � 1
R(x) � �x � 3
%����������������
ΣΧΗΜΑ 5.11 T� ����� ������� ������ 8, ���������� � ��� ��� ������������� ��� � ��� �"���� �������. ? �� � �������� ������ �� ���� �� �"��� x , � ��������� ���� ����� �� ���� � ��� ���������������.
O ��� ��� $����� ��$���� 2 �� 3
Y&����� �� �������� �����������
y
R(x) � �x � 3
r(x) � x 2 � 1
(�2, 5)
(1, 2)
#������������ �������E"� ��� �����: R(x) � �x � 3E�� ��� �����: r(x) � x2 � 1
x
ΣΧΗΜΑ 5.12 H �� ��� �� � "� ��� ����� �� ����������� ����� � ��� � ������������� �� !������ 5.11.
Πώς βρίσκουµε όγκους στερεών µε δακτυλιοειδείς διατοµές
Bήµα 1. ����������� �� �� �, ��"�� ��� ��� ��"����� �������� �� �������� ��� � ��� ��"��� ���� �$��� ���������. K����� ����� � ����� �, � ��������� ���� �� �����& �� ���� ������ �� ����� �� ������� ��� � � ��.
Bήµα 2. B ������ �� ��� ����������.
Bήµα 3. B ������ ��� �$������ ��� ��� �������� ��� �� ��� ��-���� �� ��� ������ �� ��"����� �����.
Bήµα 4. O�����������, �� �� $���� �� ���o.
= � 8x – 3x2 – x3
3 – x5
5 –2
1
= 117�5
��$��� ����� �.
T� �$���� �� �������� ����R2 � �r2 .
r
R
Παράδειγµα 9 ∆ακτυλιοειδής διατοµή (περιστροφή ως προςτον άξονα y)
T� ����� ��� ����� � ��� �� ����$��� y �x 2 �� �� �� ��y � 2x �� ���� ������� � ����� � �� ���� �� �"��� y .B� � �� ���� �� ������� ��� � � ��.
Λύση
Bήµα 1: !� ������ � �����, ����� �� ��� ��������� ���� ���� ����� ��� � ��� �"��� � �������, � ������ ��� � ��-���� ��� ��� � �"���� y (!���� 5.13).
Bήµα 2: H �� �� �� � ����$��� ������ �� ��� �� y �0 �� y �4, ��� � ��� ����������� ��� c � 0 �� d � 4.
Bήµα 3: O ���� � �� �������� ��� ����� � ��� � ������������� ��� R(y) � , r ( y) � y 2 (!����� 5.13 �� 5.14).
Bήµα 4: O����������� �� �� $���� �� ����:
AΣΚΗΣΕΙΣ 5.1
� � 4
0 p ���y�
2
� �y2�
2
� dy
V � � d
c p([R(y)]2 � [r(y)]2) dy
/ �y
388 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων
ΣΧΗΜΑ 5.13 T� �����, � ��������������, �� � ���� � ���������� �� ����� ������ 9.
ΣΧΗΜΑ 5.14 H ������ �������� ��� ����� � ��� � ��������� ���� �� !���� 5.13.
O ��� ��� $����� ��$���� 2 �� 3
0
2 x
x � √ y
R(y) � √ y
y
4
y
r(y) �y–2
x �y–2
x
y
0 2
4
%�
��
�� �
����
���
��
�
r(y) �y–2
(2, 4)
���.y � 2x
x �y–2
x � √ y���.
y � x2
R(y) � √ y
y
Eµβαδά διατοµών!� A���� � 1 �� 2, $� � ���� ��� �� � �$����A(x) �� ������ �� � � �� ��� ��� ��� � ����"��� x .
1. T� � � � � �� � �"� ������ ��� ������ ��� -� �� �"��� x �� ��� �� x � �1 �� x � 1. ! �� �� � ���� �, � ��� � ��� �"��� x ������ ��� � �� � ����� ��� � ������� y � ���� � ������� y � .
(�) O ������ ��� ������� ����� ��� ������� ��� ���� ��� � ��� �� xy .
x
0
x2 � y2 � 1y
1–1�1 � x2
�1 � x2
= � y – y 2
40
4
dy = � y 2
2 – y 3
12 0
4
= 83
��$��� ����� �.
(�) O ������ ��� ������ � $�� � ��� � ����� ��� �� xy .
(�) O ������ ��� ������ � ��������� ���� ��� �� ��� �� xy . (T� ����� �� ����������� ������� ���� � �� � ����� ���� ����.)
(�) O ������ ��� ���� ��� ������ � $�� ���� � ��� �� ��� �� xy .
2. T� � � � � �� � �"� ������ ��� ��� ��� ���� �"��� x �� ��� �� x � 0 �� x � 4. O ��� ���� �"��� x ������ �� � � �� � ����� ����� ����$��� y � � ��� �� ����$��� y � .
(�) O ������ ��� ������� ����� ��� ������� ��� ���� ��� � ��� �� xy .
(�) O ������ ��� ������ � $�� � ��� � ����� ��� �� xy .
(�) O ������ ��� ������ � ��������� ���� ��� �� ��� �� xy .
(�) O ������ ��� ���� ��� ������ � $�� ���� � ��� �� ��� �� xy .
Yπολογισµός όγκων µε διατµήσειςB� � ��� ������ �� � � �� �� A���� � 3-10.
3. T� � � � � �� � �"� ������ ��� ������ ��� ��� �"��� x �� ��� �� x � 0 �� x � 4. O ��� ���� �"��� x ������ �� � � �� ��� ������ � ��������� ��� � ����� ��� �� ����$��� y �� ��� �� ����$��� y � .
4. T� � � � � �� � �"� ������ ��� ������ ��� ��� �"��� x �� ��� �� x � �1 �� x � 1. O ��� ���� �"��� x ������ �� � � �� ��� ������� ��-��� � �������� ��� � ����� ��� �� ����$���y � x 2 ��� �� ����$��� y � 2 � x 2 .
5. T� � � � � �� � �"� ������ ��� ������ ��� ��� �"��� x �� ��� �� x � �1 �� x � 1. O ��� ���� �"��� x ������ �� � � �� ��� ������ � $�� � ��� � ����� ��� � ������� y �� ��� � ������� y � .
6. T� � � � � �� � �"� ������ ��� ������ ��� ��� �"��� x �� ��� �� x � �1 �� x � 1. O ��� ���� �"��� x ������ �� � � �� ��� ������ � ��������� ��� � ����� ��� � ������� y �� ��� � ������� y � .
7. H $��� �� � � �� ��� � ����� � �"� �� �����-��� y � �� �� �������� [0, �] ��� �"���x . O ��� � ��� �"��� x ������ �� � � �� ���
(�) ���� ��� ������ � $�� � ��� � ����� ����� �"��� x ��� �� �������, ���� ���� � �������
(�) ������ � $�� � ��� � ����� ��� �� �"�-�� x ��� �� �������.
8. T� � � � � �� � �"� ������ ��� ������ ��� ��� �"��� x �� ��� �� x � �� 3 �� x � � 3. O ��-� � ��� �"��� x ������ �� � � �� ���
(�) ������� ����� � �������� ��� � ����� ����� ������� y � tan x ��� �� ������� y � sec x
(�) ������ � $�� � ��� � ����� ��� �� ��-
/ /
x
y
0
y � 2√sin x �
2�sin x
�1 � x2�1 � x2
�1 � x2�1 � x2
x
0
y � 2 � x2
y
y � x2
2
�x�x
x
x � y2
y
4
x
x � y2
y
4
�x�x
x
0
x2 � y2 � 1
y
1–1
x
0
x2 � y2 � 1 y
1–1
�2
x
y
01
x2 � y2 � 1–1
3895.1. Υπολογισµός όγκων µε διατµήσεις και περιστροφή γύρω από άξονα
����� y � tan x ��� �� ������� y � sec x
9. T� � � � � �� � �"� ������ ��� ������ ��� ��� �"��� y �� ��� �� y � 0 �� y � 2. O ��� ���� �"��� y ������ �� � � �� ��� ������� ��-��� � �������� ��� � ����� ��� �� �"��� y��� �� ����$��� x � .
10. H $��� �� � � �� ��� � ������� ������ �� 1. O ��� � ��� �"��� y ������ �� � � �� �-�� ���� �� �������� ������ � � ��� ��� �� �-�� �� �� ������.
11. Ένα σπειροειδές στερεό #�� ������ ������ s � ��� ��� �� ��� � ��� �� �� L M� ������ �� -������� ���� ��� �� �� L M ������ � -������ ��� ����� h �� �� L �� �������� �� �������� �� ����� ���� � �� �� L, ������-��� �� ��� ���� � �� �� � �� ����� � (����� ��������) �� ����� � ������.
(�) N� $� � � � ����� �� �����.
(�) Mάθετε γράφοντας ����� �� ��� � ����� �� ��������� ���� � � ������� ��� ����; A������ �� ������� ���.
12. Mάθετε γράφοντας #�� � � � � �� � �"� ��������� ������ ��� � �� �"��� x �� ��� �� x � 0 ��x � 12. O ������ ��� ������� ����� � ����-���� ��� � ����� ��� �� �� �� y � x 2 ��� �� �� �� y � x ���� ���� � �� �������� �����. E"�-��� �� ���� ���� � � � � ��� �� ��� ���� � �� ���� ������ ���� ������ $���� 3 �� �&��� 12.
Στερεά εκ περιστροφής: Kυκλικές διατοµές!� A���� � 13-16, $� � �� ���� �� � � �� ��� ��-��� � �� � ����&��� � �������� ����� �� ������ ���� �"���.
13. � ������ �� ���� �� �"��� x
14. � ������ �� ���� �� �"��� y
15. � ������ �� ���� �� �"��� y
16. � ������ �� ���� �� �"��� x
!� A���� � 17-22, $� � ��� ������ �� � � �� ����������� �� � ����&��� �� ���� �� �"��� x � ��-��� ��� �������� ��� � �� � � �� � ������ � ���������.
17. y � x 2, y � 0, x � 2 18. y � x 3, y � 0, x � 2
19. y � , y � 0 20. y � x � x 2, y � 0
21. y � , 0 � x � � 2, y � 0, x � 0
22. y � sec x y � 0, x � �� 4, x � � 4
!� A���� � 23 �� 24, $� � �� ���� �� � � �� �������� � �� � ����&��� � ���� ����� �� ������ �� �� ��� ��� �.
23. T� ����� ���� �� ���� ������� �� ����-� � ���� � ��� �� �� �� y � , ���� � ��� ��������� y � sec x tan x �� " ��� ��� ��� �� �"�-�� y . D"���� � ������� ��� � �� �� y � .
24. T� ����� ���� �� ���� ������� �� ����-� � ���� � ��� �� �� �� y � 2, ���� � ��� ��������� y � 2 sin x 0 � x � � 2, �� " ��� ��� ����� �"��� y . D"���� � ������� ��� � �� �� y �2 .
!� A���� � 25-30, $� � ��� ������ �� � � �� ����������� �� � ����&��� �� ���� �� �"��� y � ��-
/ ,
�2 ,
�2
/ / ,
/ � cos x
�9 � x2
x
y
0
y � sin x cos x
�–2
x
y
0
1x � tan �–
4y
x
y
0 3
2
x � 3y/2
x
y
0 2
1
x � 2y � 2
x12
y
x–2
y � x
y �
0
/
, . .
x
y
01
x2 � y2 � 1
y 2x2
�5 y 2
.
390 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων
CD-ROM∆ικτυότοπος
��� ��� �������� ��� � �� � � �� � ������ � ���������.
25. T� ����� � ��� � � ��� � x � , x � 0, y ��1, y � 1
26. T� ����� � ��� � � ��� � x � x � 0, y � 2
27. T� ����� � ��� � � ��� � x � , 0 � y �� 2, x � 0
28. T� ����� � ��� � � ��� � x � , �2 �y � 0, x � 0
29. x � 2 ( y � 1) , x � 0, y � 0, y � 3
30. x � ( � 1) , x � 0, y � 1
Στερεά εκ περιστροφής: ∆ακτυλιοειδείςδιατοµές!� A���� � 31 �� 32, $� � ��� ������ �� � � ����� �������� �� � ����&��� � ������������������� �� ���� �� ���� �"���.
31. D"���� x
32. D"���� y
!� A���� � 33-38, $� � ��� ������ �� � � �� ����������� �� � ����&��� �� ���� �� �"��� x � ��-��� ��� �������� ��� � �� � � �� � ������ � ���������.
33. y � x y � 1, x � 0
34. y � 2 , y � 2, x � 0
35. y � x 2 � 1, y � x � 3
36. y � 4 � x 2, y � 2 � x
37. y � sec x y � , �� 4 � x � � 4
38. y � sec x y � tan x x � 0, x � 1
!� A���� � 39-42, $� � �� ���� �� � � �� ��� ��-��� � �� � ����&��� � ���� ����� �� ���� ���"��� y.
39. T� ����� � ��� � � ��� ������ � ������� � ��-� �� (1, 0) , (2, 1) , �� (1, 1)
40. T� ����� � ��� � � ��� ������ � ������� � ��-� �� (0, 1) , (1, 0) , �� (1, 1)
41. T� ����� ���� �� ���� ������� �� ����� -� ���� � ��� �� ����$��� y � x2, ���� � ��� ���"��� x , �� � � "�� ��� �� �� �� x � 2.
42. T� ����� ���� �� ���� ������� �� ����-� � " ��� ��� ��� �� ����� x 2 � � 3, � � -"�� ��� �� �� �� x � , �� ���� � ��� �� �-� �� y � .
!� A���� � 43 �� 44, $� � �� ���� �� � � �� �������� � �� � ����&��� �� ���� �� ���� �"���� ����� ��� ��� �.
43. T� ����� ���� �� ���� ������� �� ����-� � ���� � ��� �� ������� y � x 2, ���� � ����� �"��� x , �� � � "�� ��� �� �� �� x � 1. D"�-��� � ������� ��� � �� �� x � �1.
44. T� ����� ���� �� � � �� ������� �� ����-� � ���� � ��� �� ������� y � �x 3, ���� � ����� �"��� x , �� " ��� ��� ��� �� �� �� x � �1.D"���� � ������� ��� � �� �� x � �2.
Όγκοι στερεών εκ περιστροφής45. B� � �� ���� �� � � �� ��� ����� � �� � �-
���&��� �� ���� �� ���� �"��� � ����� �������� � ��� �� ������� y� �� � �� � � y �2 �� x � 0.
(�) � ������ �� ���� �� �"��� x .
(�) � ������ �� ���� �� �"��� y .
(�) � ������ �� ���� �� �� �� y � 2.
(�) � ������ �� ���� �� �� �� x � 4.
46. B� � �� ���� �� � � �� ��� ����� � �� � �-���&��� �� ���� �� ���� �"��� � ����������� ��� ����� � ��� � �� � � y � 2x y � 0, ��x � 1.
(�) � ������ �� ���� �� �� �� x � 1.
(�) � ������ �� ���� �� �� �� x � 2.
47. B� � �� ���� �� � � �� ��� ����� � �� � �-���&��� �� ���� �� ���� �"��� � ����� �������� � ��� �� ����$��� y �x 2 �� �� �� �� y �1.
(�) � ������ �� ���� �� �� �� y � 1.
(�) � ������ �� ���� �� �� �� y � 2.
(�) � ������ �� ���� �� �� �� y � �1.
48. E� ����� �� �������� ����������, $� � ������ �� � � �� ��� ����� � �� � ����&��� ������� ����� ��� �� ������� � ��� �� (0, 0) ,(b, 0) , (0, h), �� ����
(�) �� �"��� x
(�) �� �"��� y .
Θεωρία και εφαρµογές49. Όγκος σπείρας O ������� ������ x 2 � y2 � � �-
���� � �� ���� �� �� �� x � b (b � a) ����������� ��� � � � ������� ��������� ��� ��� ����� �. B� � �� ���� ��. (Y�����$�:dy � � 2, ���� � ���������� ��� � � ��� ����� �$���� ��������� ������ ������ a )
50. Όγκος ενός µπωλ T� ����� ��� ���� ���� � �� ����-�� � �� � ����&��� �� ���� �� �"��� y � ������ �������� y � x 2 2 ��� y � 0 ��� y � 5.
(�) B� � �� ���� �� ����.
/
. / a 2
a�a �a 2 � y 2
a 2
,
�x
�3�3
y 2
, ,
/ / �2 ,
�x
,
x
y
0 1
x � tan y
�–4
x
y
0
y � 1
�–2
�–2
–
y � √ cos x
y 2 / �2y
/
� cos (py / 4)
/
�2 sin 2y
,y 3 / 2
�5 y 2
3915.1. Υπολογισµός όγκων µε διατµήσεις και περιστροφή γύρω από άξονα
CD-ROM∆ικτυότοπος
(�) Συναφείς ρυθµοί A� � ������ � ���� � � ��, ���-��� ��� �� ����� 3 ��$��� ������� ��������� � � ��� ��, ���� ������� �� �� $��� ������ �� � ��� ��� � � �� �� $���� 4 ����-� � ������;
51. Όγκος ενός µπωλ
(�) #�� �������� ���� ������ a � ��� � �� � $���� h B� � �� ���� �� � ��� ���� ������.
(�) ������ � �"�� ! ��� �� ���� ������������ ������ 5 m ��� $���� �, ��� � �� � ����� 0,2 m3 sec . ���� ������� ����� � ������ �� � ��� �� ���� ��� � � �� �� $�-��� 4 m;
52. Mάθετε γράφοντας E"���� ��� �� ��������� �� ������� �� ���� ��� � � �� � � ��������� � ������ � ��� �� � � �� ��� ������� �� ��� ����� ��������� ���� �� �"��� � ����-��� ��� �� �� ���� ��� $���� � ���$�� ������� � � � �.
53. Όγκος ηµισφαιρίου F��� �" �� ��� V � (2 3)�R3 ������� ��������� ������ R, ����������� � ���-��� �� � � ������ � � �� ����� ������� ��-������� ������ R �� �&��� R, ��� �� ����� �����-���� ���� � � � ���� ������ ���� ������ $����R �� �&��� R, ���� ���� � �� �������� �����.
54. Συµφωνία τύπων όγκων O ��� ����� ��� ��������-��� ��� �� ����� ������ ��������� � ������ �������� ����� ��� ��� ��� ������ ��� �� �� ���, ��� �� ����� � �������� �� �� ���������� ������ � ��� ����� ���.
(�) '� ����� ���, � �" � �� � ����&��� ������ �� �"��� x � ����� ��� � ��� � � ��� �������� y � �� �� �"��� x , ��� ��-��� � �� � � � ������, � � ���� �� �������� �������� ��� ���� �� �������� ������� ��� ����� ��� (4 3)�a3, �� �� � .
(�) M � ������ �� ������ ������� $� � ������ �� ����� ������� ����� �&��� h �� ���-��� $���� r
55. Σχεδιάζοντας ένα wok !�� �� ��� � � � �� ����� ���wok ( ���� ������� � ���� ���� ������), ����� ����� ��������� ���� � � ����$��. M ���� � ����� � ��������� ���� ���� � ���-� � �� �� ��� ��� wok ��������� � �����3 L, �� �� ��� $���� 9 cm �� ����� $���� 16 cm.'� �� $ $��� � , ����� � � wok ��� ��� � -� � � � �������, �� ������ �� ���� �������� � ����������. M ����$ � ��� �������� ��-����, ����� ���� $���� ; (1 L � 1000 cm3.)
56. Σχεδίαση βαριδίου εκκρεµούς !�� �� ��� � � � �� -����� ��� �� ������� (����������) $������ ��� ����, $����� � ����� 190 g. A������� ���� ��� � ����� �� � � �� � � ���������� ���� � �� �������� �����. B� � �� ������ $������. A� � ���� ������ � ���� � �������� ���� � �� ������� 8,5 g cm3, ���� ����-� � $����� (� ����$ � ��� ����������);
57. Max-min H �"� ��� ������� y � sin x 0 � x � � � -����� � �� ���� �� �� �� y � c 0 � c � 1, ��-������� � � � � ��� ���� � �� ��� �� �����.
(�) B� � �� �� �� c ��� ������� � �� ������ � � ��. ���� ��� � ������ �����;
(�) '� ��� �� �� c �� ������ [0, 1] � ���-�� �� � ����� �� � � ��;
(�) Mάθετε γράφοντας ������� ������ �� ���� ��� � �� ������� �� c ���� �� 0 � c � 1 ������� � � ���� �� � ��� ������ �� � c. T������ � ����� �� � � �� ����� � c �����-���� � ��� � ������ [0, 1]; E��� ��� ���� -��� �� ��� ����� ���&�; A������ � ���-��� � ���.
y = sin x
y
c
0y = c
x�
,
, , ,
y (cm)
x (cm)
y �
06
x—12
36 � x2√
/
x (cm)
y (cm)
x2 � y2 � 162 � 256
–1
9 cm $����
0
–7
–16
.
/
�a 2 � x2
R
√R2 h2
Rh
h
h–
/
/
.
392 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων
T
58. Eφεδρική δεξαµενή καυσίµου !� ��� �� � ���� � -"�� �� �������� ��� ���� � �� ���� �� � ������ �� ���� � "�� �� �������� ��� ��������,�� ��� �� ��"�� �� ����� ������ ��. M ���� � ����� � ��������� �� �� ������, ��-���� �� ��� �� � "�� �� � ����� �� �-��� �� ��� ����� � � ��������� �� �������y � 1 � (x 2 16) , �4 � x � 4, �� ���� �� �"��� x (������ � ��� � m).
(�) ���� �� ��� � �������� �� � "�� ��� � ��$�� ���� (� ��������� ��� ��$��� ��-���);
(�) #�� ��$�� ���� ���� 1000 ����. A� � ���-� �� ���� 0,85 km �� ��� ���� ��������, �- ���� ������ km (� ����$ � ��� km) ������ � �� � �" � ���� �� � � �� �����-��� �� � ����� � "�� ���;
59. ∆οχείο ;����� �� ������� �� ���� ��� �������� ��� �������, � ���� ���� �� ��� ������ -���, ���� ������, � ���� ������. M ���� � �&���� ��� ��� �� � $������� ��� � 6 cm. K��������������� �� ������ �� �� ������ �� ��$���� � �������� � ���� � �� ��� ��� (� cm), � ����� ��� ��������� ������� �� ����cm. (K��������� � � ��� � ��� ����� ����-���� � ��� �� ��� ���� ���� � ���.)
���������
5,4 10,84,5 11,64,4 11,65,1 10,86,3 9,07,8 6,39,4
(�) B� � � �$��� �� ������ ��� ���������� �������� � ���� �.
(�) E����� �� ���� �� ��� ��� �� ������������ ���� y �� ������ [0, 6] .
(�) ���� ���� � ���������� ������� ������� ������ �� ��� ���� � n � 12.
(�) Mάθετε γράφοντας ���� ���� � ����������������� ����� �� ������ Simpson � n � 12.��� ��� � ��� ���� ���� � ��� � � � -���� ��; A������ �� ������� ���.
60. Eκτόπισµα ιστιοφόρου ���� ����� �� $���� �� ������ � ��� ��� ����� ��� ������, ��� ������ �� ����� ������ � 10 ������ ����������, � -��� � �$���� ������ A(x) �� $�������� ��-���� �� ������� � ��� ��� �� ��������, ��
����������� �� ������ Simpson �� �� ���-���� �� �� �� ������������ �� A(x) ��� ������ ���� � ���� �� ������ �������. O ������-��� ������� ������ � ��� � ��� ����� ����«�������» 0 ��� 10, ���� ������� � ��� �� ��-������, �� � ������ ����� Pipedream, ����«����» (� «���������», ���� ���������� ��G�-��) ��� ���� � ��. T� ����� �� �����������(������� � �"� �������� ������) ��� h � 0,77m.
(�) E���� �� ���� �� ������ ��� � ���( ������) �� Pipedream, � ����$ � ��� ��$-��� �����.
������� B��� ���� �������� (m2 )
0 01 0,12 0,363 0,734 1,135 1,416 1,57 1,38 0,869 0,310 0
(�) T� � ������ �� ������ ��������� � ������-�� � ��, �������� 1025 kg/m3. ���� ��� � ������ (� kg) �� Pipedream; (O � ��� ���������� ��� � $$��� Skene’s Elements of YachtDesign �� Francis S. Kinney (Dodd, Mead, 1962.)
(�) Πρισµατικοί συντελεστές O �������� ��� � ���������� ��� � ����� �� ��������� ���� ������ ��� �������� � ����� �� �&�� ��� � ������ �� ������ ������� �� $��� ��� � � �-$���� �� ������ $�������� ������ �� ���-����. T� ���� �� ������ ����� ������������ � ��� ��� ��������� ��� 0,51 ��� 0,54.B� � �� ������� ��� � �� �� Pipedream,�� � ����� ������ �� ����� 7,7 m �� � �����$������� ����� �� �$���� 1,5 m2 (���!���� 6).
6
0
/
3935.1. Υπολογισµός όγκων µε διατµήσεις και περιστροφή γύρω από άξονα
–1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Yπολογισµός όγκων µε κυλινδρικούς φλοιούς • O τύπος των φλοιών
Y���� ����� ���� ����� ���������� ����� � � �� � � �-������, ��� ���$��� ������� � � ���� � �� ���� � � �"�-��� � ������� ��� ��� �� ��� �"��� ��� � ��� � «�����»������ �����������. A�� �� ��������� ��� ������ � ��� � -��, ��������� ������ � ��� ��������� ����� (� �����) ������ ��������� � ���� ��� ����, ����� ������� ��� �� �"�-�� � ������� ���� � �"�, ���$�� ���� � ������ ��� ������.
Yπολογισµός όγκων µε κυλινδρικούς φλοιούςA������ � ��� ����� ��� ������ � ��� ��������� ����� ���� �� �� �� ����� ��� � � ��.
Παράδειγµα 1 Eύρεση όγκου µε χρήση φλοιών
T� ����� ��� � ��� � � ��� �� �"��� x �� ��� �� ����$���y � f (x) � 3x � x 2 � ����� � �� ���� �� �� �� x � �1 ����-����� ��� � � � (!����� 5.15 �� 5.16), �� ������ �� �� ������.
Λύση A� ������������ �� �� ������������ �� ���� y �� ��-� ������ ������� �, ���� � � ��� ����� �� ������ � ��� �-�� ����$���� "����� � ����� ��� �� ��� � x ������� ��y. ('� �� � � ������ , ��������� �� �������� �� ���������������� ������ � �� ������.) '� �� ������������ �� ���� x, �� ���� �� ������������� ���������� ������, ��������� � «��$��� » � � � � ��� ���� ����� �� ����.
Bήµα 1: A�� �� �������� � � �� ����� �� ���� (���� ��-$��� ������� � ��� � � ������), ��������� ���������������� �� "��. M � ������ ��������� (��������� ��� �"���� �������) ������ �� ������ ��� �� � � �� ���� ��� �� ��� ����. +�"�� ��� �� ���� �������� ��� ����. K�-��� ��$��� ����� ��� �������� ����, � �� ��� ��������,������ � ������ ��� ���� �� (� ���� �� ���) ���� �� �� ��� �� � � ��, �.�.�. O ���� � �� ��������� ������ ��-"�����, �� � �&� ��� ���������� � � �������� �� ����$����:��� ���� ��� ��� � �������� �����, �� ����� ��������� ��-� (!���� 5.17). K�� ����� �� ����� �x H ����� �� ���� � -����� � (1 � xk), �� � �&�� �� ��� � ����� 3xk � xk
2 .
Bήµα 2: A� " ���"��� �� ������� ��� $���� � �� ��� �� xk
�� �� �������� �� ��� ��, �� ������ (��’ �����) �� ����-���� ����� ������ �x (!���� 5.18). H �� ��� � ���� � ����������� ��� 2� � ����� � 2�(1 � xk), ��� ��� �� � ����� ��� ����� �� ���� �� ��������� ������. !�� ���, � ����� ��(�� ���) ��������� �������� ��� ��� � � �� ���
����� � �&�� � �����
2�(1 � xk) � (3xk � xk2 ) � �x.
Bήµα 3: A� ��������� ��� ������ �� ������� �������������� �� ������ 0 � x � 3, ������ ��� ������� Riemann� 2�(xk � 1)(3xk � xk
2 ) �x A� ��� ������ � ��� ����� � ������x l 0, ������ � ����������
.
DV
.
394 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων
x
D"����� �������
x � �1
y � 3x � x2
y
1 2 3–2 –1 0
(!� ����� � Mathematica)
–1
–2
1
2
D"����� �������
x � �1
0 3
y
x
3
y
0 xkx
ΣΧΗΜΑ 5.15 '����� ���������� ������ �� ����� ������ 1,��� �� � ������.
ΣΧΗΜΑ 5.16 T� ����� ��!������ 5.15 � ����� � ������ �� �� �� x � �1 ������-����� ��� � � � «���». T������ ������ ����������� ��� ��� ����� �� �"��� x ,��� � ��� �"��� � �������.(����� ��� 1)
ΣΧΗΜΑ 5.17 A�������� � �������������� ������, ��� �������� � �"�. K�� �����$���� � �� ���� xk � �"� 0�� 3 �� �� ����� �x .(����� ��� 1)
5.2 Mοντέλα όγκων µε χρήση κυλινδρικών φλοιών
= 45�2
��$��� ����� �.
O τύπος των φλοιώνY����� � � �������� � ���������� ����� �� !������5.19 �� ���� ���� ��������� �"���, �� �� ���������� � � -� �. M������ �� ������� �� ���� �� � � �� ���� ��������� ����� � �������� ��������������� � ����� ������� ��� ��������� P �� �������� [a b] ��� ����� �� ��� �� ��� ��������. T� ���� ���� ����� �������� �� �� ����� �xk ���&�� f(ck) , ���� ck ��� � ����� �� $���� �� ����������. #��� � -�� ���� ���� ��� �� � � ����� �� ����� ��� ����� � ���� � ��� ��� �� �������� ���� �
�Vk � 2� � ���� ����� ����� � �&�� ����� � �����.
���� ������� �� ���� �� � � �� ���������� ��� ������ ������� ��� �������� ��� � n �������� �� �������� P:
V �Vk
T� ��� �� ���������� ���� ����� ´P´ l 0 ��� �� ���� ��� � ��:
= ‡b
a 2�
����� �&��( ) ( ) dx.����� �����
V � lim´P´l0
� DVk
.�n
k�1
,
� 2p �23
x3 � 32
x2 � 14
x4�3
0
� 2p � 3
0 (2x2 � 3x � x3) dx
� � 3
0 2p(3x2 � 3x � x3 � x2) dx
V � � 3
0 2p(x � 1)(3x � x2) dx
3955.2. Μοντέλα όγκων µε χρήση κυλινδρικών φλοιών
E�� ��� � ���� � � 2 Ø ����� = 2 (1 + xk) ∆x
∆x � �����l � 2�
� �
(1 + xk)
A���� = 1 + xk
h � (3xk – xk2)
(3xk – xk2)
ΣΧΗΜΑ 5.18 +���� � � ��������� ���� �������� ������ �� " ������� �� ��� ��, ��� ������ ��� (� �����)�������� �������� ��� �� � � �. (����� ��� 1)
Βιογραφικά στοιχεία
A�������(287 �.X.- 212 �.X.)
CD-ROM∆ικτυότοπος
0
x
y = f (x)
a
b
Q&������������ = f(ck)
ck
xk
∆xk
xk�1
K����������"���� � �������
ΣΧΗΜΑ 5.19 O ����� �������� � ��� � k-����������.
Παράδειγµα 2 Kυλινδρικοί φλοιοί που περιστρέφονται ως προςτον άξονα y
T� ����� ��� ����� � ��� �� ������� y � , �� �"��� x , ���� �� �� x � 4 � ����� � �� ���� �� �"��� y �� �� ����-��� ��� � � �, �� ������ �� �� � �����.
Λύση
Bήµα 1: !� ������ � ����� ����� �� ��� ��������� ���� ���� ����� �������� ���� �� �"��� � ������� (!���� 5.20).!�� ����� �� ����� � ����� �� ���������� ������ (����-�� � �&�� �� �����) �� �� ������� ��� �� �"��� � ����-��� (����� �����). T� (�� ����) «�����» �� ���������� ��-���� ��� � ����� �� ����� dx ('� �������� ������, � ���-�� ���� � �� !���� 5.21.)
Bήµα 2: B������� � ��� ����������� �� � � �$��� ������ x(��� ����� ��� ��� a � 0 ��� b � 4) �� ������� � ��������-�� ����� � � $��� � �� ���� �� �����:
Bήµα 3: O����������� �� �� $���� �� ����:
= 2� ‡b
ax3/2dx – 2� C 2—
5 x5/2G
4
0
– 128�
��$��� ����� �.5
V � � 4
0 2p(x)(�x) dx
� � 4
0 2p(x)(�x) dx .
.
�x
396 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων
T���� ��� ������ ��� ��� ���� �� ��� ��������� ����O ����� �� � � �� ��� ����� � ��� �� � ������ �� ������������� �"��� �� ������ ��� � ��� � � ��� �� �"��� x�� ��� � ������ �������� ��� ��� ���� ��������� y �f (x) � 0, 0 � a � x � b ���� � ,
x
y
0 4
y � √ x2
A���� �����
Q&�������
%����� �����������
x
f (x) � √ x
x
����� ����� � dx
y
x
–4
y � x
2
x
0%����������������
A���� �����
4
(4, 2)x
x � Q&�� �����
√
√
ΣΧΗΜΑ 5.20 T� �����, ������ � �� �����, �� ������� ����������� ������� ������ 2.
ΣΧΗΜΑ 5.21 O ����� ��� ����� � ��� � ��������� ���� ��!������ 5.20.
= ‡b
a 2�
����� �&��( ) ( ) dx.����� �����V
= ‡b
a2�
����� �&��( ) ( ) dx����� �����
V
M��� ���, ������������ ����������� �"�� � � ����-���. A� ����� �������� �"�� �, ��������� ����� � x � � y .
Παράδειγµα 3 Kυλινδρικοί φλοιοί που περιστρέφονται ως προςτον άξονα x
T� ����� ��� ����� � ��� �� ������� y � , �� �"��� x , ���� �� �� x � 4 � ����� � �� ���� �� �"��� x �� �� ����-��� ��� � � �, �� ������ � ����� �� ��.
Λύση
Bήµα 1: !� ������ � �����, ����� �� ��� ��������� ���� ���� ����� ��������� ���� �� �"��� � ������� (!���� 5.22).!�� ����� �� ����� � ����� �� ���������� ������ (����-�� � �&�� �� �����) �� �� ������� ��� �� �"��� � ����-��� (����� �����). T� (�� ����) «�����» �� ���������� ��-���� ��� � ����� �� ����� dy ('� ������ �������� ������,� ����� ������ � �� !���� 5.23· ���� ����� �� ����� � � ��� �������� ��� �� ������ ���$������.)
Bήµα 2: B������� � ��� ����������� �� � � �$��� ������ y(��� ����� ��� ��� 0 ��� 2) �� ������� � ���������� ������ � $��� � �� ���� �� �����:
Bήµα 3: O����������� �� �� $���� �� ����:
= 2� C2y2 – y4
—4
G2
0 = 8� ��$��� ����� �.
V � � 2
0 2p(y)(4 � y 2) dy
� � 2
0 2p(y)(4 � y 2) dy.
.
�x
3975.2. Μοντέλα όγκων µε χρήση κυλινδρικών φλοιών
x
y
0 4
x � y22
y
(4, 2)
4 � y2
Q&�� �����
A���� �����y
���������� � dy
%�
��
����
����
���
��
Q&�� �����
A���������
y
y
x
y � x
4 � y2
(4, 2)
2
0
4y
√
ΣΧΗΜΑ 5.22 T� �����, ������ � �� ����� �� ������� ����������� ������� ������ 3.
ΣΧΗΜΑ 5.23 O ����� �������� � ��� � ������������� �� !���� 5.22.
Πώς εφαρµόζουµε τη µέθοδο των φλοιών
A� "���� �� ����� �� �"��� � ������� (������� �����������), � $���� ��� ���������� �� �� �����-���� � ������ ��� � "��.
Bήµα 1. ����������� �� �� �, ��"�� ��� ��� ��"����� �������� � ����� �������� ��� �"��� � �������. ������-����� ��� ����� � ����� �� ���������� ������ (�&�������), �� ������� �� ��� �� �"��� � ������� (���-�� �����) �� � ����� �� �����.
Bήµα 2. B ������ � ��� ����������� �� � � �$��� ��-���� �� ������� � ���������� �����.
Bήµα 3. O����������� � ���� �� 2p (����� �����) (�&�������) �� ���� � � �$��� ������ (x � y), �� �� $���� �� ����.
= ‡b
a2�
����� �&��( ) ( ) dx����� �����V
!� A���� � 1-6, ������ � ������ �� ����� �� ��$� � ��� ������ �� � � �� ��� �������� � �� � -������ �� ��������������� ������ �� ���� �� ��-�� ���� ����� �� �"���.
1. 2.
3.
4.
5. � ������ �� ���� �� �"��� y
6. � ������ �� ���� �� �"��� y
Περιστροφή ως προς τον άξονα yE������ � ������ �� ����� �� �� $� � ��������� �� � � �� ��� �������� �� � ����&��� ������ �� �"��� y � ����� ��� �������� ��� � �����-� � �� � �� � � ��� ������ �� A���� � 7-14.
7. y � x y � �x 2, x � 2
8. y � 2x y � x 2, x � 1
9. y � x 2, y � 2 � x x � 0, �� x � 0
10. y � 2 � x 2, y � x 2, x � 0
11. y � 2x � 1, y � , x � 0
12. y � 3 (2 ) , y � 0, x � 1, x � 4
13. #�� f(x) �
(�) % �" � xf(x) � sin x 0 � x � �
(�) B� � �� ���� �� � � �� ��� ����� � �� � -����&��� � �������������� ����� �� ������ �"��� y .
14. #�� g(x) �
(�) % �" � xg(x) � (tan x)2, 0 � x � � 4.
(�) B� � �� ���� �� � � �� ��� ����� � �� � -����&��� � �������������� ����� �� ������ �"��� y .
Περιστροφή ως προς τον άξονα xE������ � ������ �� ����� �� �� $� � ��������� �� � � �� ��� �������� �� � ����&��� ������ �� �"��� x � ����� ��� �������� ��� � �����-� � �� � �� � � �� F���� �� 15-22.
15. x � , x � �y y � 2
16. x � , x � �y y � 2 y � 0
17. x � 2y � , x � 0 18. x � 2y � , x � y
19. y � �x � , y � 1 20. y � x y � 2x y � 2
21. y � , y � 0, y � x � 2
22. y � , y � 0, y � 2 � x
Περιστροφή ως προς οριζόντιες ευθείες!� A���� � 23 �� 24, ������ � ������ �� ������� �� $� � ��� ������ �� � � �� ��� �������� ��� ����&��� � �������������� ����� �� ���� �� ���� ���� ����� �� �"���.
�x
�x
, ,
y 2y 2
, ,y 2
,�y
�–4
x
y
0
y �
tan2 x——–x , 0 � x ≤
0, x � 0
�–44–�
/
�( tan x)2 / x,
0,0 � x � p / 4x � 0
x
y
0 �
1
y �
sin x——x , 0 � x � ≤
1, x � 0
. ,
�( sin x) / x ,1,
0 � x � px � 0
�x /
�x
,
/ ,
/ ,
x
y
0
y � √
3
5 x3 � 9
9x————
x
y
0
x � √ 3
√ 3
1
y � √x2 � 12
3
x
y
0 3
x � 3 � y2
y � 3 √ √
2
x
y
0 2
x � y2
y � 2√√
x
y
0 2
2 y � 2 � x2—4
x
y
0 2
1
y � 1 � x2—4
398 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων
AΣΚΗΣΕΙΣ 5.2
23. (�) O �"���� x
(�) H �� �� y � 1
(�) H �� �� y � 8 5
(�) H �� �� y � �2 5
24. (�) O �"���� x
(�) H �� �� y � 2
(�) H �� �� y � 5
(�) H �� �� y � �5 8
Σύγκριση µεταξύ της µεθόδου τωνδακτυλιοειδών διατοµών και της µεθόδουτων φλοιώνY������� � ��� ����� ����������� ��� ������� ������� ��� �� � ����� �� ������ ��� ��������� �� ���� �� �����, �� �� �� �� �� � � ����� ����� � �� � � ����&��� �� ���� �������"���. A��� ��� � � ���$��� ����. '� ����� ���,��� � �������� ��� ����� �� ���� �� �"��� y ������������� ������ � �� ������, ���� �� ���-��������� �� ���� y ���� ���� � �� ��� ��� ��-��� � ����� � ������� �� ����������� �������������� �� y ! �� � � ���� �, � ������� ������� ��� ���� �� ������������ �� ���� x . % �- �� �� � A���� � 25 �� 26.
25. Y������� �� ���� �� � � �� ��� ����� � ��� ����&��� ������� �� ���� ��� �"��� ��� -������� (���. x �� y) � ����� ��� ����� � ���� ������ � y � x �� y � x 2, � ����� �� � �����
(�) �� �����
(�) �� ������ ��� ������.
26. Y������� �� ���� �� � � �� ��� ����� � ��� ����&��� � ������ ����� ��� ����� ���� � �� � � 2y � x � 4, y � x �� x � 0 ,
(�) �� ���� �� �"��� x, � � ������ �� ������ -��� ������
(�) �� ���� �� �"��� y, � � ������ �� �����
(�) �� ���� �� �� �� x � 4, � � ������ �� �����
(�) �� ���� �� �� �� y � 8, � � ������ �� ����-�� ��� ������.
Eπιλέγοντας µεταξύ δακτυλιοειδών διατοµώνκαι φλοιών!� A���� � 27-32, �������� ��� ������ �� � � ����� �������� �� � ����&��� �� ���� ��� ������-��� ���� �"�� � � ����� ��� ������. X��������� ������ � �� ������ � ������, �, ��� � ��� ������� � ����� ��.
27. T� ������ ����� �� ������� � ��� �� (1, 1), (1,2), �� (2, 2), �� � ����� � �� ����
(�) �� �"��� x (�) �� �"��� y
(�) �� �� �� x � 10/3 (�) �� �� �� y � 1
28. T� ����� ����� � ��� � ������ � y � , y � 2,x � 0, �� � ����� � �� ����
(�) �� �"��� x (�) �� �"��� y
(�) �� �� �� x � 4 (�) �� �� �� y � 2
29. T� ����� ���� �� ���� ������� �� ����-� � ��� �� ������� x � y � �� �� �"��� y , ��� ����� � �� ����
(�) �� �"��� x (�) �� �� �� y � 1
30. T� ����� ���� �� ���� ������� �� ����-� � ��� � x � y � , x � 1, �� y � 1, �� � �-���� � �� ����
(�) �� �"��� x (�) �� �"��� y
(�) �� �� �� x � 1 (�) �� �� �� y � 1
31. T� ����� ����� � ��� � y � �� y � x 2 8, ��� ����� � �� ����
(�) �� �"��� x
(�) �� �"��� y
32. T� ����� ����� � ��� � y � 2x � x 2 �� y � x , ��� ����� � �� ����
(�) �� �"��� y
(�) �� �� �� x � 1
33. T� ����� ���� �� ���� ������� �� ����-� � ���� � ��� �� ������� y � 1 x " ��� -��� ��� �� �� �� x � 1 16, �� ���� � ��� �� �-� �� y � 1. T� ����� ��� � ����� � �� ���� ���"��� x . Y������� �� ���� �� ������� ��� � -� ��, � �����
(�) �� � ����� �� ������ ��� ������
(�) �� � ����� �� �����.
34. T� ����� ���� �� ���� ������� �� ����-� � ���� � ��� �� ������� y � , " ��� -��� ��� �� �� �� y � 1 4, �� ���� � ��� �� �-� �� y � 1. T� ����� ��� � ����� � �� ���� ���"��� y. Y������� �� ���� �� ������� ��� � -� ��, � �����
(�) �� � ����� �� ������ ��� ������
(�) �� � ����� �� �����.
/
1 /�x
/
,1/4 /
/ �x
y 3
y 3
�x
,
.
.
x
y
x �
2
(2, 2)
10
y2—2
2x �
y4—4
y2—2
�
/
x
y
0
1 x � 12(y2 � y3)
1
/
/
3995.2. Μοντέλα όγκων µε χρήση κυλινδρικών φλοιών
Eπιλέγοντας µεταξύ κυκλικών δίσκων,δακτυλιοειδών διατοµών και φλοιών35. T� ����� ��� ���� � �� ����� ���� � �� � �-
���� � �� ���� �� �"��� x, �� �� ������ � ���� � �. �� � ��� � � ������ ���������� ������� �� � � �� ���� (������� ������, ������- ��� ������ � �����) ���� � �� ���������-� ; ���� ����������� ���� �� �������� � ��� � ������; E"���� .
36. T� ����� ��� ���� � �� ����� ���� � �� � �-���� � �� ���� �� �"��� y �� �� ������ � ���� � �. �� � ��� � � ������ ���������� ������� �� � � �� ���� (������� ������, ������- ��� ������ � �����) ���� � �� ���������-� ; ���� ����������� ���� �� �������� � ��� � ������; A������ � ������ � ���.
x
y
1
1
y � x2
–1
0
y � – x4x
y
0 1
1
x � y2
x � 3y2 � 2(1, 1)
–2
400 Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων
Ένα ηµιτονοειδές «κύµα» • Mήκος λείας καµπύλης • Όταν ηdy dx παρουσιάζει ασυνέχειες • ∆ιαφορικές συντοµογραφίες• Παραµετρικός τύπος µήκους τόξου
���� ���� �� ������� ���������� � � ���� � � ���� ���������� Grand Canyon; ��� �� ���� ���� �������� � ��-��� ������������ ��� �� ��� ����� ���� �� ������ ������ � ������� �����; '� �� ��������� � ���� ����� �����-�, ���� �� ������� �� ����������� ���� ��������.
Ένα ηµιτονοειδές «κύµα»���� ����� �� � ������� �� ����� ���� ������ �� !������5.24;
H ������� ����� �� ������ ������ ������ � �� � � ����� �����, ��� �� y � sin x ���� � 2� A��� ���� ����� �� � ���� ����� ��� �������; M ���� ����, �� �������� ��� �� ���� ���� �� �������� �� 0, �� « ����� » �� ������� ��� ��-��� �� �"��� x, ���� ��� ��� �� �� ����� � ���� ����;
Παράδειγµα 1 Mήκος ηµιτονοειδούς καµπύλης
���� ����� �� � ������� y � sin x ��� x � 0 ��� x � 2� ;
Λύση A������ �� ����� ��� � ����������, �������-��� �� ������� ��� ����� ������ ���� ��� �� ���� � � ��-��� ����. %�� ������ ����� � [0, 2�] � ���������� �������, �� � ����� �� �������� (��� � ��� «�"�») � ��� ��������� �� ��� �� ��� ���������. #�, ��� �"� �� ������� � � � ��������� ���� ��� ��� � ���� ��, �� ���� ����� �� �"�� �� ���� � �� ���� ��� � ��������� ��� ������ �� ���������� ������.
T� !���� 5.25 � ��� � ��������� ���� ��� ���� ���� �
.
/
5.3 Mήκη καµπυλών στο επίπεδο
[0, 2�] �� [–2, 2]
ΣΧΗΜΑ 5.24 ! �� � �����, ������ �� ����� ������������ ��� � ���� �� ��2� .