Embed Size (px)
Citation preview
5 CÁCH TÍNH THANH CHỊU UỐN PHẲNG
Mặt phăng tải trọng
Lớp trung hòấ^ Đường Vung hòa
Hinh 5,1
5.1. KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA
Thanh chịu uốn là bài toán thưòng gặp trong thiết kế công trình. Thanh chịu uốr. còn được gọi là dầm. Trong thực tế, các thanh chịu uốn thường có tiết diện đối xứng qua một trục. Do đó, trong phạm vi bài giảng này ta chỉ nghiên cứu bài toán thanh có ít nhất một trục đối xứng, giả sử là trục y, trục thứ hai \u ôn g góc với trục y và đi qua trọng tâm của tiết diện g ọ i là trục X.
Mặt phẳng chứa tải trọng gọi là mặt phẳng tèi trọng (hình 5.1). Giao tuyến của mặi phẳng tải trọng với các tiết diện ngang gọi là đường tải trọng. Khi X y chịu UỖI, trục thanh thay đối, hình thành đường cong. Ta gọi mặt uốn là mặt chúa đưòng cong của trục thanh sau khi chịu uốn, Khi mặt uốn trùng với mặt ohẳng tải trọng, ta gọi là ưôn p/ìắnq
Khi t'ên tiết diện thanh chỉ có một thành phần mômen uốn M,. (hoặc M,,) như trưcng hợp đoạn BC trên hình 5.2, ta gọi là thanh chịu uốn thuần túy phắng. Nếu trên tiết diện thanh tồn tại đồng thời các thành phần mômen uốn M, và M,., ta gọi là thanh chịu uốn thuần túy xiên.
Khi t'ên tiết diện thanh tồn tại thành phần mômen uốn M, và lực cắt (hoặc M ya Q J như trường hợp đoạn AB, CD trên hình 5.2, ta gọi là thanh chịu Líối' ngang phẳng. Nếu tồn tại đồng thời các thành phần mômen uốn M^, Q ., ị4y, Q^, ta gọi là thanh chịu uốn ngang xiên.
5.2. ÚNG SUẤT TRONG THANH CHỊU UỐN THƯẦN TÚY
5.2.1 Quan sát thực nghiệm và giả thiết
Xét coạn thanh chịu uốn thuần túy, chẳng hạn đoạn BC trên hình 5.3. Để quan sá: biến dạng của thanh, trước khi thanh chịu lực ta vạch các đường
129
thẳng song song với trục thanh biểu thị các thớ dọc và các đường vuông góc với trục thanh biểu thị các tiết diện.
pA Ịb
pc Ị D
Pa PaM
Hình 5.2
Sau khi chịu lực, thanh bị biến dạng, ta thấy: các đường kẻ song song với trục thanh trở thành các đường cong tạo thành các cung tròn đồng tâm; các đưòìig kẻ vuông góc với trục thanh vẫn thẳng và vuông góc với trục thanh; các góc vuông giữa các đưcfng kẻ vẫn được bảo toàn. Các thớ ở một phía (phía dưới) bị dãn, còn ở phía khác (phía trên) bị nén lại. Các thớ càng xa trục thì càng bị dãn hoặc nén nhiều. Để chuyển từ miền có các thớ bị dãn sang m iền có các thớ bị nén, tồn tại m ột lórp gồm các thớ không bị dãn hoặc bị nén (hình 5.1) gọi là lớp trung hòa. Giao tuyến của lớp trung hòa với tiết diện ngang gọi là đườní^ trưng hòa.
Trên cơ sở đó ta đề ra các giả thiết:
1} Trước và sau biến dạng, tiết diện thanh vẫn plìắng và vuông góc với trục thanh (giả thiết Bemoulli).
2) Các thớ dọc trục thanh không ép lên nhau hoặc đẩy xa nhau. Do đó có thẻ bỏ qua các thành phẩn ưng suất pháp trên các mặt song song với trục thanh.
3) Khi các biến dạng nhỏ, tồn tại một lớp các thớ dọc trục thanh có chiều dài không đổi, gọi là lớp trung hòa. Giao tuyến của lớp trung hòa với tiết diện ngang là một đưòrng thẳng gọi là đườniỊ trung hòa.
5.2,2. C ông thức tính ứng suất
Xét phân tố thanh có chiều dài dz như trên hình 5.4. Gọi:
dẹi - góc hợp thành giữa hai tiết diện của phân tố sau biến dạng;p - bán kính cong của lớp trung hòa;X - đường trung hòa trên tiết diện.
130
Biến dạng dài tỷ đối theo phươns : lại điểm cách đường trung hòa một khoảng cách y đươc xác định như sau;
E. -ciịh - ah _ (p + y ) ( I ẹ - p(J(p _
ah pcỉẹ(5.1)
p
Từ các giả thiết dã nêu la thấy các ímg suất: r = 0; CTj = cr, = 0. Do đó, lại điểm đang xét chì tồn tại ơ. =ơ. Theo định luật Hooke:
V
0ơ - E s - = E — .
p(5.2)
Từ lién hệ giữa các thành phần nội lực với ứns suất đã lập trong mục 4.5, chưcíng mờ đầu, trong trường hợp này ta có:
N , ^ ị c T . d A = 0 ; (5.3)
\ x . ơ , d A = 0 ; (5.4)
M , = ^ ị y . ơ . d A . (5.5)
Thay (5.2) vào (5.3) và (5.4) với chú V ElpMỉ hằng số trên tiết diện, ta tìm (lược hai điều kiện;
Ký hiệu:
y.clA = 0:
5 = \ỵ.clA ' J| •
x . x M = 0:
(5.6)
(5.7)
và gọi là mômen tĩnh của tiết diện đối với trục A, ta có:
Ằ’, - 0 ,
Điều kiện (5.7) dùng để xác định vị trí của tiỊic trung hòa. Trong mục 5.3 ta sẽ tìm hiểu cách xác định và sẽ thấy điều kiện (5.7) được thỏa mãn khi trục .V đi qua trọng tâm của tiết diện và được gọi là írục trung tâm.
(5.8)Ký hiệu: = x.y.dA
và gọi là inômen quán tính ly tâm của tiết diện đối với hệ trục xy, ta có:
= 0. (5.9)
Trong mục 5.3 ta sẽ tìm hiểu cách xác định 4, và sẽ thấy điều kiện (5.9) được thỏa mãn khi hệ trục ,vv là các trục quán tính chính, trung tâm. Nếu tiết
131
diện có trục đối xứng là trục y còn trục X đi qua trọng tâm của tiết diện thì điều kiện (5.9) được thỏa mãn.
Thay (5.2) vào (5.5), ta có:E
Ký hiệu:
= y.ơ.dA = — y 'd A .JA p M
4 = í r d A .JA
(5.10)
(5.11)
và gọi là mômen quán tính của tiết diện đối với trục trung hòa ,v, ta c ó :
1 _
p ~ Eỉ[ ■psuy ra; (5.12)
Trong mục 5.3 ta sẽ tìm hiểu cách xác định 4 . Tích số Eĩx được g(ỌÌ là độ cứng chống uốn đối với trục trung hòa X của thanh
Thay (5.12) vào (5.2), ta được:
ơ = y \ (5.13)
trong đó:
M . - mômen uốn tại tiết diện cần xét;
4 - mômen quán tính của tiết diện đối với trục trung hòa x;
y - khoảng cách theo phương trục _y từ trục trung hòa đến điểm cần tìm ứng suất.
5.2.3. Biểu đồ ứng suất, trị sô lớn nhất của ứng suất
Từ công thức (5.13) ta thấy ứng suất pháp tỷ lệ bậc nhất với khoảng cách từ trục trung hòa đến điểm cần tìm ứng suất. Theo chiều cao tiết diện, biểu đồ ứng suất pháp là đường thẳng, bằng không tại đường trung hòa và có giá trị cực trị tại hai mép tiết diện như trên hình 5.5.
Gọi yf. và y„ là tung độ của mép chịu kéo và chịu nén của tiết diện, trị số cực trị của ứng suất pháp bằng:
M^max
M
w
ĩsẺ}1 %0
I n
maxHinh 5 .5
(5.14)x .k
132
trong đó, ta lấy dấu công khi tìm cr„,,,,, iấy ciấu trừ khi tìm ơ;„„.
/ ... ICác đại lượng: J ^ (5, 15)
-V*là các đặc trưng hình học của tiết diện, gọi là mômcn chống uốn (xem 5.3).
5.3. CÁC ĐẶC TRUNG HÌNH HỌC CỦA TIÊT DIỆN
Xét tiết diện có hình dạng bất kỳ, chọn hệ tọa độ xOy bất kỳ trong mặt phẳng tiết diện (hình 5.6). Gọi X, V là tọa độ của phân tố vô cùng bé M, dA là diện tích của phân tố M. Ngoài diện tích đã quen thuộc, tiết diện còn có các đặc trưng hình học như sau;
5.3.1. M ôm en tĩnh
Mômen tĩnh s của tiết diện đối với trục A hoặc y là tích phân:
5,.= y.cỉA, Ịcm'^] ; 5,.= \x.dA, ịcin^ . (5.16)
. Vc
~í( yo tỉ
3 y Xc
X------- ►
Hình 5.6 Hình 5.7
Mômen tĩnh có thế dương, âm hoặc bằng khòng. Khi mômen tĩnh đối với một trục bằng không thì trục đó đựơc goi là trục trung tâm. Giao điểm của hai trục trung tâm là trọng tấm của tiết cliệri. Kgiíợc lại, nếu hệ trục Cx,.y,. (hình 5.7) đi qua trọng tâm của tiết diện thì hệ trục đó là hệ trục trung tâm và có các mômen tĩnh tương ứng bằng khống.
Như vậy, ta có thế lập công thức xác định tọa độ >'( của trọng tâm tiết diện theo hệ tọa độ X, >’ chọn bất kỳ (hình 5.7). Gọi x,„ y„ là tọa độ của phân tố M đối với hệ trục c.v„>’„ từ hình 5.7 ta có sự liên hệ giữa các tọa độ của phân tò' M như sau;
X = ,v„+ .V,,' ,v = + V,.
Thay các liên hệ này vào (5.16) với chú ý là các mômen tĩnh và Sy bằng không , ta có:
133
s,, = [ ỵ.ciA = [ ( v„ + y^.)dA = [ y J A + j y^.ilA - 5 + V,.A = y^A\J-í J4 JỊ Jl
Ị» >
(-Y, + .Y ỵ/A = X dA + -V, í//l = S y + x^A - x .A', Jí Jị • os .= x.dA =
Suy ra; >v=A A
(5.17))
Ngược ỉại, nếu biết trọng tâm của tiết diện ta có thể xác định mômen ũnh của tiết diện đối với hệ trục ,v, y bất kỳ:
S, = a,.A. (5.18)
5.3.2. M òmen quán tính đỏi với một trục
Mômen quán tính 7 của tiết diện đối với trục ,v hoặc y là tích phân:
/..= y ' . dA , Lcm'^]; /..= x ' .dA , \cm^\. (5.19)ÌA - J - í
Mômen quán tính luôn luôn dương.
5.3.3. M ômen quán tính cực
Mômen quán tính cực của tiết diện đối với cực 0 là tích phân;
ỉ = \ ỵ . d A , [ c m \ \ (5.20)
với /9 là khoảng cách từ phàn tố M đến cực o.Vì / r = .r + y' nên;
l ^ ^ = \ { x - + ỵ - ) d A = I, + ỉ,. (5.21)•ín '
Mômen quán tính cực luôn luôn dương.
5.3.4. M ỏmen quán tính ly tâm
Mômen quán tính ly tâm của tiết diện đối với hệ trục Oxy là tích phân;
/ Ị-V>y//Í, cm (5.22)
Mômen quán tính ly tâm có thể dương, âm hoặc bằng không. Khi mômen quán tính ly tâm đối với một hệ trục nào đó bằng không thì hệ trục đó đựơc gọi là hệ trục quán tính chính, Hệ trục quán tính chính đi qua trọng tâm của tiết diện được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm.
Với tiết diện có một trục đối xứng: một trực quán tính chính trung tâm trùng với trục đối xứng; trục quán tính chính trung tâm thứ hai vuông góc với trục đối xứng và đi qua trọng tâm của tiết diện.
134
Ỵ
Y
b
5.3.5.Công thức chuyển trục song song
Trong thực hành ta thường gặp bài toán sau; Giả sử đã biết các đặc trưng h m h học của tiết diện đối với hệ truc ớ.vv, cần tìm các đặc trinig hình học của tiết diện đối với hệ trục mới CAY. Hệ trục mới CXY có thể chuyển dời son g song hoặc xoay so với hệ trục OxY. Do chỉ xét bài toán thanh chịu uốn có tiết diện đối xứng đối với một trục nên ta không cần lập công thức xoay triic mà chỉ cần lập công thức chuyên trục sone song.
Gọi h là tọa độ của gốc 0 và gọi X, Y là tọa độ của phân tố M trong hệ tọa độ c x y (hình 5.8). Giữa các toa đó X. Y và các tọa độ X, y của phân tố M trong hệ tọa độ Oxy có các liên hệ;
X = x + a; Y - y + b
Thay các liên hệ này vào các biểu thức định nghĩa ta có:
4 = \ Y ' . cỉA = \ { y + h Ý .c lA = [ ỵ \ c l A + \ h ' . d A + ị l b . y . í ỉ A ;Ja •!■(' J-1 ỎA
hay: IX = A + t>'A + 2 h .s , .
Tương tự, ta có;
/, = \Ỵ\dA = l . aA^ 2 a.s,.J/J
~ Ẩ Y .d A = + cibA -^ũ.Sy.J-Í
Trường hợp khi Ơ-VV là hệ trục trung tâm:
= S . = 0 ; nên:/,. = ỉ , + h^A :
ỉy = ỉy + Ơ^A ;
hy = An + «^^4.
5.3.6. Đặc trư ng hình học của một vài hình đưn giản
*Hìĩih chữ nhật
Giả sử tiết diện có dạng hình chữ nhật với bề rộng là b, ch iều C£0 là lì (hình 5.9), Hai trục ,v. V là các trục đối xứng
mên là C.ÍC trục quán tính chính trung tâm. Cần tìm các m ôm en
qiuán tírh chính trung tâm và mônien chống uốn đối với trục trung hèa .V của tiết diện.
Chọr, phân tố dA là dải chữ nhật có tung độ V, song song Víới trục V, bể rộng là b, chiều cao dy. Ta có: dA = h.dy . Thay vào công thức địịnh nghĩa của 4 ta có;
y
ĩ) »1
.— —-
Xa X
Hỉnh 5.8
(5.23)
X0y''dy
yHình 5.9
135
„ ổ' 168Tim vị trí trọng tâm c theo (5.17); V, = - — = « l,91cm.
88Tim mômen quán tính chính trung tâm, dối với trục A' đi qua trọng tâm c, vuông góc với trục y, Vận dụng công thirc (5.23):
2.16'Đối với hình 1:1 =
Đối với hình 2 : 1 =
12
12.2 '
12
+ 1,91'.16.2 =799,4062 cm^
+ 5,09\ 12.2 = 629,7944 cm’'.
Đối với toàn tiết diện: /, = 2x799,4062 + 629,7944 = 2228,6068 cm^
* Xác định ứng suất cr„„„ và ơ;,„„tại các điểm có 6,09 cm; ỵi.= 9,91cm:
M^max -
4.10'I
M
2228,6068
4.10'* min
6,09 * 1093,06N/cm-<[cr]k; (đạt)
9,91 « -1778,69 N/cm-<[fr]n,- (đạt)2228,6068
V í dụ 5.2. Vận dụng bảng số liệu thép hình trong Phụ lục 1, xác định số hiệu thép hình chữ I cho tiết diện dầm chịu mòmen uốn thuần túy M = J6 kNm. Cho biết: [ơ]k=[cr]„ = 10 kN/cml
Theo điểu kiện bền (5.33), ta có;
... _ 16.10- , w > = — - — = 160 cm .
[fj] 10
Từ bảng số liệu thép hình chữ I trong Phụ lục 1, ta chọn số hiệu I1 8 a có =159 c m \ Kết quả thấp hơn yêu cầu với sai số;
160-15959
100 =0,63% < 5%, được phép.
5.5. ỨNG SUẤT TRONG THANH CHỊU UỐN NGANG PHẲNG
5.5.7. Q uan sát thực nghiệm
1 ^1
........y
/ 1t
/ /ỉ.
r ^ ,■
Trên bề mặt của thanh chịu uốn ngang pháng ta Ppl kẻ các đường vuông góc và song song với trục
©m iM Ì @
Ke cac aương vuong goc vã song song VỚI trục i ^thanh như đã thực hiện trong trường hỢỊD uốn thuầntúy (hình 5.11). Sau khi chịu lực ta thấy; các đường Hình 5.11
138
song song với trục trở thành những đườiig cong tròn đồng tâm; các đưòng vuông eóc với trục khòiiíĩ còn sons song \'ới nhau, không thẳng, không vuông góc với trục thanli mà trơ thành nhĩmc đường coníi; các góc vuông thay đổi.
Khi thanh chịu uốn ngang, lực cắl gáy ra các ứng suất tiếp phân bố không đồLi theo chiều cao tiẽì d iệ n , biến d a n g trươt không đều làm cho t iế t diện bị
vênh, không còn pháng. Giá thiết tiết diện phẳng không còn đúng.
5.5.2. ứ n g suất pháp
Từ những quan sát nêu trên, khi chịu uốn ngang tiết diện của thanh bị vênh, không còn phắim. Tuv nhiên, vì độ vênh này thường rất nhỏ nên thường được bỏ qua, lức là vẫn chấp nhận giả thiết tiết diện phẳng khi lập công thức ứng suất pháp. Như vậy, công Ihức tính ứng suất pháp khi uốn ngang cũng có dạii2 tương tự như khi uốn thuần túy (5.13):
A/„cr = V;
Ý nghia của các đại lượng như đã giài thích đối với công thức (5.13).
5.5.2. ứ n g suất tiếp
Để trình bày được đơn giản, trước tiên ta xét trường họfp thanh có tiết diện hình chữ nhật. Giả sử cần lập cônạ thức ứng suất tiếp trên tiết diện 1-1, tại điểm nằm trên đường Ali song song vứi trục ,v, có tung độ là (hình 5.12a, b).
Hình 5.12Nhận xét: điểm /4 và B ở mép liết diện nên thành phần r_, song song với
trục X bằng không. Tliật vậy, nếu r., ^ 0 thì iheo tính chất đối ứng của các ứiig suất tiếp (xem mục 3.1, chương 3), thành phần r,- phải tồn tại. Điều này không thể xảy ra vì trên inặt ngoài không có ứng suất. Như vậy, tại A yầ B chỉ tồn tại thành phần ứng suất tiếp song song với trục ỵ;
Giả thiết: ứng sitấí liếp tại các điểm trên điữrng AB hướng theo phương của lực cắt vâ phùn hổđén theo chiểu nụing tiết diện. Giả thiết này phù hợp với khi tiết diện có dạng hình chữ nhật hẹp.
139
Để lập công thức tính ứng suất tiếp, ta xét một phân tố thanh có c hiều dài dz (hình 5.12c) và tách một phần của phân tố thanh bằng một mặt cắt song song với mặt Oxz (hình 5 .12d). Ký hiệu diện tích của phần mặt cắt bị tách là A,. (đọc là diện tích cắt) và chiều rộng của đoạn AB là b, (đọc là bề rộng tại vị trí bị cắt).
Trên phần bị tách, ngoài các ứng suất tiếp còn có:
• Các ứng suất tiếp Ty trên mặt song song với mặt Oxz. Theo tính chất đối ứng của các ứng suất tiếp % bằng T y với chiều như trên hình 5 .12d.
• Các ứng suất pháp trên hai tiết diện 1-1 và 2-2 (trên hình 5.12d không vẽ các ứng suất này) được xác định theo công thức (5.13) như sau:
M + dM7 V ■
Điểu kiện cân bằng của phần bị tách dưới dạng hình chiếu lên trục 2 có dạng:
y.dA -M . + d M
I
Sau khi biến đổi, ta được: =
d M
-y.dA + Ty. .b ,dz = 0
dM ^ , , 1 d M ,v.dA = —
I^b^.dz' I d zy.dA
%
Nhưng: = Q và y.dA = s ị là mômen tĩnh của phần diên tíchdz
bị tách A,. đối với trục trung hòa X. Do đó;
I h X C(5.34)
Đó là công thức tính ứng suất tiếp khi uốn ngang phẳng do D.I. lurapski đề xuất.
Sau đây ta tìm hiểu quy luật phân bố của ứng suất tiếp theo chiều cao của một số tiết diện thưòfng gặp.
* Tiết diện chữ nhật (hình 5.13)
Khi tiết diện có dạng hình chữ nhật với chiều rộng b, chiều cao /ỉ, để tìm ứmg suất tiếp tại điểm có tung độ cách trục trung hòa là y, ta có:
aj b)
ì ề'•max
Hinh5J3
140
h . = h: /,. =bhl i — .V7 •
.h :
=í / ' b.
1----- y v + - -----V’ 'J ; 2 7 ' /
Theo (5.34); =6Ổ,
btr
h- 2 ----------V' (5.35)
Sự phân bố ứng suất tiếp theo chiều cao tiết diện là đường cong bậc hai (hình5.13b).
3Ổ,Khi _y = ớ, ta có: r = r max 2A(5.36)
* Tiết diện chư I (hình 5.14)
• Trên bản cánh: ứng suất tiếp r , trên các bản cánh có phương và chiều như trên hình 5.14b. Thực ra còn có thành phần r., song rất nhỏ nên không xét đến. Giá trị ứng suất tại k tìm theo công thức D.I. lurapski với các số liệu như sau:
Q y i h - t )h . = t; A^.=í.ĩj: 5 , = = t!] 2-r.v =
2 2 2/, V-
Do đó, ứng suất tiếp biến thiên theo hàm bậc nhất như trên hình 5.14b.ộ ,h b
Giá tri lớn nhất khi rị = b/2 : r_ , niax = ^— •4/^,
• Trên bản bụng: ứng suất tiếp r.,, trên bản bụng có phương và chiều như trên hình 5.14c. Giá trị img suất tại m tìm theo công thức D.I. lurapski với các số liệu như sau:
( h ^ í i 2 \ lì 7XỈ + (h—d)j,' s t = ::— y -
J 2 2
=h 1
VAV /l A ' Ĩ I A
- d khi y <(lỉ ~t) 12: h = h khi V >(li - t ) 12.
(5.37)
Do đó, ứng suất tiếp r., biến thiên theo hàm bậc hai như trên hình 5.14c. Tại các điểm tiếp giáp giữa bản bụng và bản cánh biểu đồ ứng suất có bước nhảy do đại lượng có sự thay đổi đột ngột từ d đến b.
141
Để lập công thức tính ứng suất tiếp, ta xét một phân tố thanh có chiều dài dz (hình 5.12c) và tách một phần của phân tố thanh bằng một mặt cắt song song với mặt Oxz (hình 5,12d). Ký hiệu diện tích của phần mặt cắt bị tách là A,. (đọc là diện tích cắt) và chiều rộng của đoạn AB là b, (đọc là bề rộng tại vị trí bị cắt).
Trên phần bị tách, ngoài các ứng suất tiếp T y còn có:
• Các ứng suất tiếp trên mặt song song với mặt Oxz. Theo tính chất đối ứng của các ứng suất tiếp % bằng T ỵ y với chiều như trên hình 5.12d.
• Các ứng suất pháp trên hai tiết diện 1 - 1 và 2-2 (trên hình 5.12d không vẽ các ứng suất này) được xác định theo công thức (5.13) như sau:
= .v; =+ dM I
y
Điều kiện cân bằng của phần bị tách dưới dạng hình chiếu lên trục z có dạng;
■ 4c /y.cỉA -
M . + d M/
-y.dA + Ty..b^.dz = 0
„ 4....... _ dhđ^ 1 d MSau khi biên đỗi, ta được: v,„= — — y.dA = — ------y.dA
Nhưng: = Q vàM,dz
bị tách A,. đối với trục trung hòa X . Do đó:
y.dA = Sỵ là mômen tĩnh của phần diện tích
l A(5.34)
Đó là công thức tính ứng suất tiếp khi uốn ngang phẳng do D.I. iurapski đề xuất.
Sau đây ta tìm hiểu quy luật phân bố của ứng suất tiếp theo chiều cao của một số tiết diện thường gặp.
* Tiết diện ch ữ nhậ t (hình 5.13)
Khi tiết diện có dạng hình chữ nhật với chiều rộng b, chiều cao h, để tìm ứmg suất tiếp tại điểm có tung độ cách trục trung hòa là y, ta có:
a)c
y_3 í A Bh"
y//////A(//
■max
■zy
Hình 5.13
140
h . - b; [_ =12
; / i ,=h----- V1 h :
K =( h ^ t r 1
------V h . v + - - - r !u ■ ; l ' 2 9 ■ ^V ~ y
Theo (5.34);6Ở,
bìr
' h- : ---- y4 '
(5.35)
Sự phân bố ứng suất tiếp theo chiều cao tiết diện là đường cong bậc hai (hình5.13b).
3Ổ,Khi y ^ O , ĩ â có: r.,,, = r^iax =2A
(5.36)
* Tiết diện chữ I (hình 5.14)
• Trên bản cánh: ứng suất tiếp r_, trên các bản cánh có phưong và chiều như trên hình 5.14b. Thực ra còn có thành phần r., song rất nhỏ nên không xét đến. Giá trị ứng suất tại k tìm theo công thức D.I. Turapski với các số liệu như sau:
Q y { h - t ), _ A cí' . h - t _ lĩ - íb . = t: A ^ ì . ìt. = tì]— —21
7-
Do đó, ứng suất tiếp biến thiên theo hàm bậc nhất như trên hình 5.14b.Q,hb
Giá trị lớn nhất khi ĩ] = b/2 : — .4/v
• Trên bản bụnị’’. ứng suất tiếp r , trên bản biing có phương và chiều như trên hình 5.14c. Giá trị ứng suâì tại m tìm theo công thức D.I. lurapski với các số liệu như sau;
(ỵ - \- - y
=
xl + (b-d).í; =T - > ' 2 2
Ỉ.As: =
2L.hX 'C- y (5.37)
h . = d khi y < ( h ~ t ) l 2 ; h . = h khi y > ( h - t ) l 2 .
Do đó, ứng suất tiếp r. , biến thiên theo hàm bậc hai như trên hình 5.14c. Tại các điểm tiếp giáp giữa bản bụng và bản cánh biểu đồ ứng suất có bước nhảy do đại lượng h . có sự thay đổi đột ngột từ d đến b.
141
Giá trị lớn nhất của xảy ra khi V = 0.
max
íạ Ú(Ọ
ổì]
Hình 5.15
* Tiết diện tròn (hình 5.15)
ứng suất tiếp tại hai điểm biên A ,c của đường AC song song với trục X phải hướng theo phưcíng tiếp tuyến với A đường tròn tại A và c . Do tính đối xúfng, ứng suất tiếp tại B có phương theo trục y. Gọi K là giao điểm của hai đườiigtiếp tuyến vối đường tròn tại A và c . Giả thiết ứniị suất tiếp tại điểm hất kỳ trên đường ABC có p ìm m g đi qua K; thành phần ứiiíị suất phùn hô' đẻ litrên dường ABC và được xác dinh iheo cônỊị thức D.I. lurapski.
Để tìm ứng suất tiếp tại các điểm trên đường ABC cách trục trung hòa là
y ta cần xác định mômcn tĩnh s ị của hình viên phàn có tọa độ góc là a.
Muốn vậy, ta xét một phân tố diện tích là phẩn gach gạch trên hình 5.15b, cách trục trung hòa là ĩ] tương ứng với tọa độ góc ọ. Từ hình 5.15b, ta có:7 = rsinạ>: d ĩj = rc o sẹ d ọ : h =2 rcosợ). Do đó:
rỢĨỈ2 -x Ợĩ n 2t]4A - rs in ọ .lr Qosẹ.r Qosọ.dq) ~ 2 r cos (p,d{cos(p) .
h hs , =
Kết quả: s l = —r^cos'^a ' 3
zyDo đó' _ 2r^cos^a _ Q\ 2 2 _ Q\ , 2 2 ,ư o ao; ------ II----- _ ——r cos a = — '-~ịr - y ) (5.38)
Sỉ
Ta thấy, ứng suất tiếp biến thiên theo hàm bậc hai như trên hình 5.15c.
úhg suất tiếp lớn nhất xảy ra tại điểm nằm trên trục trung hòa:
142
^ rv ,m a x_ a y -^gy
i / , .(5.39)
5.6.ĐIỀU KIỆN BỂN KHI UỐN N(ỈAN(Ỉ PHẲNC
} hi kiểm tra bền thanh chịu uốn ngang phẳng, ngoài ảnh hưởng của LÍng suất pháp ta cần xét đến ảnh hưởng của ứng suất ticp.
Cần kiếm tra tại các tiết diện nguy hiểm và tại các điểm nguy hiểm tương ứng Sự phá hoại có thể phát sinh do riêng ứng suất pháp, do riêng ứng suất tiếp và cũng có thể do cả ứng suất pháp và ứng suất tiếp gây ra.
S6.L Kiểm tra tại phân tỏ chí chịu ứng suất pháp
Cần kiểm tra tại các tiết diện có trị số mômen uốn dương và mômen uốn âm ớn nhất. Tương tự như (5.30), (5.31) và (5.33), ta có điều kiện bền:
• Với vật liệu dòn:ơ <max — L ^ J ả- ơ min < ơ (5.40)
Fhi kiếm tra điều kiện bển với ứng suất nén ta lấy giá trị tuyệt đối của ứiigsuất vì < 0 .
Với vật liệu déo, [ơ\ị. = \crị^ =[ơ\ nên ta có:cr (5.41)
56.2. Kiểm tra tại phân tô chỉ chịu ứng suất tiếp
Cần kiểm tra tại tiết diện có trị sô lưc cắt lớii nhất, tại phân tố nằm trên trụcưung hòa. Ta có điều kiện bển:
r „ „ , < [ r ] . (5.42)
Ciá trị [x| thường được xác định như sau:
• ix] = [ơl/2 theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất [xem 3, 4 |, hoặc
• t] = [ơ l/V 3 theo thuyết bền thế nãng biến đổi hình dáng [xem 3, 4].
56.3. Kiểm tra tại phân tô có cả ứng suất pháp và ứng suất tiếp
ơ n kiểm tra tại tiết diện có trị sô' lực cắt và mómen uốn đồng thời cùng lớn, ại phân tô' có cả ứng suất pháp và ứng suất tiếp cùng lớn (thưcmg ở tại vị trí 0 bề rộng thay đổi đột ngột. Ta có điều kiện bền mô tả qua ứng suất tưofriỊ đương như sau:
143
theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất [xem 3, 4],
ơ , đ = Vcr^ + 4 r^ < [ơ
hoặc theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng [xem 3, 4
ơ,(3= < [ơ;
(5.43)
(5.44)
V í dụ 5.3. Xét hệ có kích thước và chịu lực như trên hình 5.16. Kiểm tra các điều kiện bền (5.41); (5.42); (5.44) khi chọn tiết diện dầm là thép hình chữ IN " 24a. Cho biết: [ơ]=15 kN/cm-; [x] = [ a ] / s
Theo TCVN 1655-75 (xem Phụ lục) thép hình IN " 24a (hình 5.17) có các số liệu như sau: h - 24 cm ; b - 125 cm; d = 0,56 cm; t =0,98 cm;
4 = 3800 cm''; Wj.= 317 cm^; mômen tĩnh của nửa tiết diện đối với trục JC/ = 178 cm^. íOkN 20 kN
37.537,5
Ự1:e
m , 2 m32,5 kN
®7,5
Sau khi xác định các phản lực tại A và D ta vẽ được các biểu đồ lực cắt và mômen uốn như trên hình 5.16.
• Kiểm tra phân tố chỉ chịu ứng suất pháp: íại tiết diện C; 45 kNm. Do đó, theo (5.41) ta có:
^ 45.10^w , 317
= 14,20 kN/cm^ (đạt).
• Kiểm tra phản tố chỉ chịu ứng suất tiếp: tại tiết diện A: Q,„^,= 37,5 kN. Do đó, theo (5.34) và (5.42) ta có;
_ Q y S ' _ 37,5.178 „ 2^rmx ^ -----= 3,14kN/cm .
L .b . 3800.0,56
(kNm)
f=1,25Hình 5.16
Tj =
max
3800.0,
: = 8,66 kN/cm“. Ta thấy:V3 s
< [r ] (đạt).
• Kiểm tra phán tố cố cả ứng suất pháp và ứng suất tiếp tương đối lớn: tại phân tố I , nơi tiếp giáp giữa bản bụng và bản cánh trên tiết diện c có = 45kNm; Q = 12,5 kN (hình 5.17).
a) b) c)
1------ msx
'max
Hình 5.17
144
45,10- ( 24_ ^.v _(J = Vi =
3800 V 2-0,98 = 13,Ơ8 kN/cm‘;
V 2 y
5 í ‘ = í , - | > í = 1 7 8 - ! ^24 1- ^ - 0 , 9 8 =144 cm ^
V - y
=QvSr 12 5 144 T
, = 0,845 kN/cmlI,h^ 3800.0,56
Theo (5.44):
ơ,d= + 3 r “ = V l3,08“ +3.0,845- = 13,16 kN/cm ' < [ơ] (đạt)
Về nguyên tắc ta cần kiểm tra tại hai tiết diện B va c song nếu thực hiện tương tự đối với tiết diện B thì tìm được giá trị Ơ,J nhỏ hơn.
5.7. ÚNG SUẤT CHÍNH VÀ QUỶ ĐẠO ÚNG SUẤT CHÍNH
Trong nghiên cứu về trạng thái ứng suất, người ta đã chứng minh được là: tại một phân tố bất kỳđược là: tại một phân tô bât kỳ p - "của vật thể chịu lực luôn có thể __tìm được ba mặt phẳng vuông góc ^vởì nhau, trên các mặt dó chỉ tồn tại ứng suất pháp, còn thành phẩn ứng suất tiếp bằng không (hình 5.18). Các mật đó gọi là mặt chính. Phương pháp tuyến của các mặt chính gọi là phương chính, úhg suất pháp tác dụng trên các mặt đó gọi là lùig suất chính. Các ứng suất chmli đạt giá trị cực đại trong các mặt phẳng tương ứng và được ký hiệu là cr,,(T,,crj với quy ước xếp thứ tự như sau: ơị>Ơ2>ƠỊ.
Trên tiết diện của dầm chịu uốn ngang phẳng (hình 5.19), xét 5 phân tố dọc theo chiều cao của dầm kết hợp với các biểu đồ ứiig suất ta thấy:
• Phân tố a, e ở mép trên và mép dưới chỉ chịu ứng suất pháp. Tại e, phân tố bị kéo a, = Ơ2 = ơ ị= 0; phương chínhtheo Ơ Ị là phưong 1 dọc trục thanh; phương chính theo ƠỊ là phương vuông góc với trục thanh.
\ ©© -
145
• Phân tố c trên trục trung hòa chỉ chịu ứng suất tiếp. Nếu thực hiện các mặt cắt nghiêng ta sẽ tìm được các mặt cắt chính với;Ơ-/ = ơ-,= 0; ƠJ =-T„„,. Haiphưoìig chính / và i nghiêng 45° so với trục thanh (hình 5.19).
• Phân tô' ò, d chịu ứng suất pháp và ứng suất tiếp.
Nếu thực hiện các mặt cắt nghiêng ta sẽ tìm được các ứng suất chính ơ,; Ơ2 = 0; Ơ J . và các mặt chính với: Hai phương chính / và i vuông góc và nghiêng so với trục thanh theo một góc xác định (hình 5.19).
Vì ơ, và ƠJ luôn trái dấu nên tại một phân tố bất kỳ luôn tồn tại một phương chính kéo và một phương chính nén. Nếu vẽ các đường liên tục với các phương chính kéo làm tiếp tuyến thì sẽ được một họ đường gọi là quỹ đạo íùig suất chính kéo (đường liền nét trên hình 5.20a). Nếu lấy các phưcíng chính nén làm tiếp tuyến thì sẽ được một họ đường trực giao với họ đường trên gọi là quỹ đạo úng suất chính nén (đường đứt nét trên hình 5.20a).
Quỹ đạo ứng suất chính cho ta biết cách bố trí vật liệu đúng chỗ. Ví dụ, với dầm bêtông cốt thép chịu tải trọng phân bố đều như trên hình 5.20b, do thép là vật liệu chịu kéo tốt nên cần đặt cốt thép theo phưoìig quỹ đạo ứng suất chính kéo như trên hình 5.20b.
BÀI TẬP CHƯƠNG V
v . l - V.3 [2 và 12|. Tim tọa độ trọng tâm và xác định mômen quán tính chính trung tâm cho các tiết diện trên hình v . l - V.3,
5cm
15 cm
Hình v . l Hình V.2 Hình V.3
146
l 220mm 1-80x80x8 21-80x80x8 ĩb 0,2,b
w
A=12,3cm' l,=73,4cm^
H ìn h V.4
30.16 mm
H ìn h V.5
ũib
Hình V.6 Hình V.7V.4 - V.5 [2]. Vận dụng các bảng thép hình trong Phụ lục, tìm tọa độ
trọng tâm và xác định mômen quán tính chính trung tâm cho các tiết diện ghép trên hình v.4a - V.5. Theo bảng 3 trong Phụ lục, các số liệu cần thiết cùa thép góc cánh đều 80x80x8 như trên hình v.4b.
V .6 - V.7 [12]. Vẽ biểu đồ ứng suất tiếp khi các tiết diện trên hình V .6 - V.7 chịu lực cắt Q.
V.8 . Kiểm tra điểu kiện bền cho dầm gỗ có tiết diện chữ nhật (hình V.8 ). Cho biết: fơ] = 0,20 kN/cm‘
V.9. Xác định giá trị lớn nhất của các ứng suất pháp khi kéo, khi nén và ứng suất tiếp trong dầm chịu tải trọng như trên hình V.9. , I2cm
25 kNm 50 kNm
1----- ;----- ^ 151 cm
H in h V .8
f4kNm 9kN
n ' . .líD . Im
H in h v ,9 U '
4 cm
cm
V.IO. [2; 5] Kiểm tra các điều tokN/mkiện bển cho hộ trên hình V. 10. khi A H i i I H Ltiết diện dầm là thép hình IN°36. ^ 2 m
Cho biết: U.-I. T/f/iH ìn h V.IO
[a] =15 kN/cm"; [x] = [a]/V 3 . Theo Phụ lục, thép hình IN °36 có các số liệu: / ỉ = 36 cm ; b = 145 cm; d = 0,75 cm; t =1,23 cm; Ị =13380 cm'*;
= 743 cm'\ mômen tĩnh của nửa tiết diện đối với trục x: = 423 cm \
v . l l . [12]. Xác định kích thước b của tiết diện dầm chịu tải trọng nhưtrên hình V. 11 theo điều kiện bền tại điểm có ứng suất pháp lớn nhất. Chobiết: [ơ] =10 kN /cm l
V.12. [ 12]. Xác định đưòfng kính d của tiết diện dầm chịu tải trọng nhưtrên hình V.12 theo điều kiện bển tại điểm có ứng suất pháp lớn nhất. Chobiết: [ơj = 4,5 kN /cm l
147
í,2kN
0,5 m 0.5 Ib3b/2
Hình V .Il
lổkN1 6 kN
H ình V .I2
5 kN/m |6 kN ị i, 'l, ị 1 ị ị ịT Ì í
1 m
4kN3b
6kN/mỊ l Ị Ĩ U ,
mj 3m
4kN\ ' " Ặ
3b/2
H ìn h V.13 H ình V .I4
V.13 - V.14. Xác định kích thước b của tiết diện dầm chịu tải trọng như trên các hình V.13, V.14 theo điều kiện bền tại điểm có ứng suất pháp lớn nhất. Tiếp đó, tìm ứng suất tiếp lớn nhất. Cho biết: [ơ]=10 kN /cm l
V.15. Xác định số hiệu thép hình của tiết diện ghép trong dầm chịu tải trọng như trên hình V.15 theo điều kiện bền tại điểm có ứng suất pháp lớn nhất. Tiếp đó, tìm ứng suất tiếp lớn nhất. Cho biết: [ơ]=10 kN/cm^
íOkN
2[N°?
5kN/m
r t T T T
2 m 2m
M M
c _ c2m J. 2m
12cmcm
H ình V .I5 H ình V .I6
V.16. Xác định giá trị cho phép của M tác dụng trên dầm (hình V.16). Cho biết: [ơ] = 10 k ĩí /cm l
V.17. 112]. Xác định giá trị cho phép của tải trọng p tác dụng trên dầm (hình V.17). Cho biết: [ơ] = 16 kN/cITl^
V.18. [12]. Xác định giá trị cho phép cùa chiều dài / của dầm trên hình V.18 theo điều kiên bền tại điểm có ứng suất pháp lớn nhất. Tiếp đó, tưofng ứng với giá trị / tìm được, kiểm tra điểu kiện bền tại phân tố có ứng suất tiếp lớn nhất và tại phân tố có cả ứng suất pháp và ứng suất tiếp cùng tưomg đối lớn, Cho biết: [ ơ j = 4 kN/cm^ [ ơ j = 15 kN/cml
IN“20.4kN/m 120x20 rrm
/260>í0mm
Hình V.I7 Hình V.18
148
BÀ I T Ậ P LỚ N SỐ 1
Tính hệ ghép tĩnh định
Thứ tự thực hiện:1. Xác định các tải trọng để tính (hệ số vượt tải // = 1,1 chung cho các loại tải
trọng).
2. Xác định các phản lực gối tựa.
3. Vẽ các biểu đồ mômen uốn» lực cắt, lực dọc.4. Chọn tiết diện cho phần hệ m-n. Cho biết: hệ m-n có [ơ]=15 kN/cm"và được
làm bằng thép hình I,có kể đến trọng lượng bản thân của hệ. Nếu kết quả tìm được vượt quá các số liệu trong bảng 1 của phụ lục thì có thể ghép hai hoặc nhiều dầm I và xem nội lực được phân bố đều cho các dầm.
5. Vẽ các biểu đồ ứng suất pháp, ứiig suất tiếp tại các tiết diện nguy hiểm trên hộ đã chọn
Các số liệu tính toán: cho trên các bảng sau:
S ố liệu hình học (m) S ố liệu tải trọng
r . r h h a b T.T Pi(kN)
P2(kN)
P3(kN)
Ợi(kN/m)
Ợ2
(kN/m)
M(kNm)
a ^ 16 4 2 4 1 40 0 40 30 30 100b 16 4 2 5 2 40 0 30 30 25 120c 18 5 2 6 3 40 30 0 30 25 140d 18 5 3 4 4 40 40 0 30 30 120e 20 6 3 5 5 30 0 30 30 20 140f 20 6 3 6 6 30 0 40 30 20 100
©
Sơ đồ hệ và tải trọng
149
. Q2 ĩ v í Q Í n i B
P3
. . . . .
ễ00 DM.
, V 2 . -Q
A 4
/777
/TTỨTT/7W7T l .a
©
P3
/77W7
4m i I ị 1 3
150
![[Revit] Family dầm hộp uốn cong](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/587287fb1a28ab36118b45c5/revit-family-dam-hop-uon-cong.jpg)
