5 Dinamika Materijalne Tacke

Predavanja iz predmeta Mehanika II, Prof. dr R. Slavkovi 1

NEKI POSEBNI SLUAJEVI KRETANJA MATERIJALNE TAKE

SLOENO (RELATIVNO) KRETANJE MATERIJALNE TAKE

Prenosno kretanje je obrtanje oko ose

Prenosno kretanje je ravno

Prenosno kretanje je translatorno

Uslovi relativne ravnotee

Zakon o promeni kinetike energije take pri relativnom kretanju


x

y

s

rv

O

MNB

N

T

B m

FCin

NN

Fpin

F

B

A

FRa

z

O1

SLOENO (RELATIVNO) KRETANJE TAKE

Diferencijalna jednaina kretanja take u odnosu na nepokretni koordinatni sistem:

wa

i FFamrrr +=

),,( zyxa &&&&&&ra

na FF

rr,...,1

aRFr

- apsolutno ubrzanje take,

- aktivne sile,

- rezultanta aktivnih sila.

Kretanje take u odnosu na pokretni sistem referencije koji se kree na proizvoljan nain naziva se relativno kretanje take.

BNw NNFFrrrr ++=


Crp aaaarrrr ++=

rpC varrr = 2

wa

iCrp FFaaamrrrrr +=++ )(

Cpwa

ir amamFFamrrrrr +=

- relativno ubrzanje,

- prenosno ubrzanje (ubrzanje take M na telu nosau)

- Koriolisovo ubrzanje.C

p

r

a

aa

rrr

- prenosna ugaona brzina (to je ugaona brzina obrtanja tela nosaa, odnosno koordinatnog sistema , , u odnosu na x, y, z.

- relativna brzina taker

p

vrr

x

y

s

rv

O

MNB

N

T

B m

FCin

NN

Fpin

F

B

A

FRa

z

O1


Diferencijalna jednaina kretanja materijalne take glasi:

pin

p amFrr =

rpCin

C vmamFrrrr == 2

inC

inpw

air FFFFam

rrrrr +++=

Ako se uporede jednaine i moe se zakljuiti:Sve jednaine i zakoni mehanike za relativno kretanje take dobijaju se na isti nain kao i jednaine za apsolutno kretanje, ako aktivnim silama koje deluju na taku (kao rezultat uzajamnog dejstva izmeu take i drugih materijalnih tela) pridodamo jo i prenosnu silu i Koriolisovu silu inerciije.

wa

i FFamrrr += inCinpwair FFFFam

rrrrr +++=

inpFr

inCFr - prenosna inercijalna sila

- Koriolisova inercijalna sila

Ako su:

x

y

s

rv

O

MNB

N

T

B m

FCin

NN

Fpin

F

B

A

FRa

z

O1


Obino je u zadacima poznat oblik relativne putanje (AB na slici), i zakon kretanja take du putanje s = s(t).

inCB

inpBB

aiB

inCN

inpNN

aiN

k

inpT

aiT

FFNFB

FFNFRsmN

FFFsmT

+++=+++=

+=

0:

:

:2&

&&

Projektovanjem jednaine na pravce tangente, normale i binormale relativne putanje, dobijaju se jednaine::

inC

inpw

air FFFFam

rrrrr +++=

Rk poluprenik krivine relativne putanje

x

y

s

rv

O

MNB

N

T

B m

FCin

NN

Fpin

F

B

A

FRa

z

O1


Prva od jednaina predstavlja diferencijalnu jednainu relativnog kretanja.

22BN NNNF +==

NB NNFFF 2121 +=+=

inCB

inpBB

aiB

inCN

inpNN

aiN

k

inpT

aiT

FFNFB

FFNFRsmN

FFFsmT

+++=+++=

+=

0:

:

:2&

&&

Iz drugih dveju jednaina odrediti sile NN, NB i silu trenja prema ve datim izrazima:

Fr

Posle odreivanja zakona relativnog kretanja s = s(t), mogu se odrediti sile NN, NBu svakom poloaju take.

Ako je trenje izmeu take i nosaa zanemarljivo, tj. F = 0, onda je prva od jednaina nezavisna od ostalih i njeno integraljenje daje zakon relativnog kretanja s = s(t).


Relativno kretanje take kada je prenosno kretanje obrtanje oko ose

inC

inpw

air FFFFam

rrrrr +++=&Rvr =&&RarT =

2&RarN =

2sin

sin

ppN

ppT

Ra

Ra

== &

rpC varrr = 2

)(sin2 rprpC vvarr


Intenziteti inercijalnih sila su:

inC

inpN

inpTBNr FFFNNGam

rrrrrrr +++++=

inC

inpNB

inpNNrN

inpNrT

FFN

FNGmr

FGma

++=+==

0

sincos

cos)2

cos(

cos2

sin

sin2

&

&

pin

C

pin

pN

pin

pT

mRF

mRF

mRF

===

Projektovanjem vektorske diferencijalne jednaine

na ose pokretnog prirodnog koordinatnog sistema, dobijaju se jednaine:

srv

M

NB

N

T

B

m

FCin

NN

FpTin

R

A

FpNin

G

p

p.O


Konano je:

cos2sin0

sincos

cossinsin222

2

&&&&&

RmmRN

mRNmgmR

mRmgmR

ppB

pN

p

++=+=

=

cossin)(sin 20++= tRg

dtd

p&&

inC

inpNB

inpNNrN

inpNrT

FFN

FNGmr

FGma

++=+==

0

sincos

cos)2

cos(

cos2

sin

sin2

&

&

pin

C

pin

pN

pin

pT

mRF

mRF

mRF

===

Iz prve jednaine, integraljenjem dobija se zavisnost s = s(t).

Ako je prenosno obrtanje jednako ubrzano, tako da je , gde je 0poetna vrednost p, prva jednaina je oblika:

0 += tpp &

Poto su ovde tri promenljive: , , t - ne moe se izvriti integraljenje.&


Meutim, ako je , ( ), onda je jednaina oblika:

dRgd p

+= cossinsin 2&&

cos2sin0

sincos

cossinsin222

2

&&&&&

RmmRN

mRNmgmR

mRmgmR

ppB

pN

p

++=+=

=

constp = 0=p&

ime se promenljive i razdvojene.&

Integraljenjem )(t =

Sile NN, NB kojima telo deluje na taku odreuju se iz druge i tree jednaine


Relativno kretanje take kada je prenosno kretanje ravno

2

2

12

1 RvmRmRmamaF op

oMp

inp ====

&122 RRvmvmF orp

inC ==

inC

inpr FFNGam

rrrrr +++=

Taka mase m se kree po krunom glatkom lebu u disku koji se kotrlja bez klizanja po horizontalnoj ravni.

Brzina sredita diska je .constv =0r

Intenzitet prenosne inercijalne sile je:

Intenzitet Koriolisove inercijalne sile je:

Diferencijalna jednaina relativnog kretanja je:

T

Fpin

P

N

G

1RR

O

p

mMFC

in

v0 vr

M0


dRgd sin

1

=&&

11

2 cos21 C

Rg += &

10,0 R

vro== &( )

= cos1212

121

20

Rg

Rvr&

sin1 GmR =&&

sin1R

g=&&&&1RarT =

Projektovanjem jednaine na pravac tangente dobija se:inCin

pr FFNGamrrrrr +++=

pri emu je:

Prenosno kretanje u ovom sluaju nema uticaja na relativno kretanje, jer se u diferencijalnoj jednaini relativnog kretanja ne pojavljuje prenosna inercijalna sila.

Integraljenjem se dobija:

vr0 relativna brzina take u poloaju M0.

T

Fpin

P

N

G

1RR

O

p

mMFC

in

v0 vr

M0


inC

inp FFNGmR ++= cos21 &

&& 10220

12

1 2cos RRvm

RvmRmgmRN +++=

( ) ( )

+++

= cos12122coscos1

212

121

20

10

12

20

121

20

1 Rg

RvR

RvR

Rvg

Rg

RvRmN rr

01

=+ Rg&&

)sin()cos( 21 tCtC +=

1Rg=

1

0201 , R

vCC ro=== &

Projektovanjem jednaine na pravac normale dobija se sila meusobnog dejstva izmeu take i diska, kao funkcija ugla :

inC

inpr FFNGam

rrrrr +++=

Ako je ugao mali tako da je jednaina postaje diferencijalna jednaina malih oscilacija:

sin sin1R

g=&&

ije je reenje:

moe se odrediti N = N(t).

T

Fpin

P

N

G

1R

R

O

p

mMFC

in

v0 vr

M0


Relativno kretanje take kada je prenosno kretanje translatorno

20Rap =

inC

inpr FFFNGam

rrrrrr ++++=

Ako je prenosno kretanje translatorno, onda je p = 0 , a ubrzanja svih taaka tela su ista u datom trenutku vremena.

Krivaje OA i CB zglobnog etvorougla OABC obru se konstantnim ugaonim brzinama 0 = const.Poluga AB vri krivolinijsku translaciju, ubrzanje svake take poluge je isto i iznosi:

Neka se du poluge AB moe kretati prsten mase m i neka je koeficijent trenja izmeu prstena i poluge = const.Treba nai zakon relativnog kretanja x = x(t) i silu izmeu prstena i poluge.

Diferencijalna jednaina rela-tivnog kretanja je:

FpinN

G

0R R

A B

y

xarM

CO

Fap ap

ap

0


sin0

cosin

p

inp

FNG

FFxm

++=+=&&

Projektovanjem jednaine na ose x i y dobija se:inCin

pr FFFNGamrrrrrr ++++=

0,0 == inCp Fr

Iz jednaine (2) dobija se:

)2()1(

sin20mRmgN =

Ako se pretpostavi da je , onda je N > 0 za svako .20Rg >Sila trenja je NF =

t0 =

FpinN

G

0R R

A B

y

xarM

CO

Fap ap

ap

0


cossin 2020 mRmRmgxm ++=&&[ ])cos()sin( 0020 ttRgx ++=&&

0,0,0,0 vxxt ==== &

[ ] 1000 )sin()cos( CttRgtx +++= & 001 RvC +=[ ] 00000 )sin()cos( vRttRgtx ++++= &

Tada se jednaina moe napisati u obliku: cosinpFFxm +=&&

Poetni uslovi:

Integracijom se dobija:

[ ] 200002 )()cos()sin(21 CtvRttRgtx ++++= RC =2[ ])cos()sin(1)(

21

00002 ttRtvRgtx +++=

Ukoliko je translacija pravolinijska i konstantnom brzinom, onda je za svaki poloaj take na relativnoj putanji, a kako je zbog, , sledi da je diferencijalna jednaina relativnog kretanja upravo Njutnov II zakon, tj. tada je pokretan koordinatni sistem inercijalni.

0=inCFr

0=p0=par


Uslovi relativne ravnotee uslovi koji moraju biti zadovoljeni da bi taka bila u poloaju relativne ravnotee.

0=++ inpwaiT FFFrrr

0=++ inpTTaiT FFF

0=rvr0=rar

020 === rpinCr vmFa rrrr

Na osnovu jednaine dobija se uslov:inCin

pwa

ir FFFFamrrrrr +++=

Poto do relativnog kretanja moe doi jedino u pravcu tangente na relativnu putanju, uslov relativne ravnotee se moe izraziti skalarnom jednainom:

Potrebni i dovoljni uslovi za relativnu ravnoteu:1. da je jednaina (*) zadovoljena2. da je u trenutku kada je jednaina (*) zadovoljena, taka bila u relativnom

mirovanju, tj. vr = 0.

(*)

u toku konanog vremenskog intervala.


Zakon o promeni kinetike energije take pri relativnom kretanju

( ) dsFdsFdsFsdsm inpTaiT += &&inpw FF

ai dddsmd ++=

2

21 &

inpw FF

aikr ddddE ++=

inpT

aiT FFFsmT += &&:

sds

sddtsds &&&&& ==Uvoenjem smene u navedenu jednainu, sledi:

( )dsFFFsdsm inpTaiT += &&

Prirataj relativne kinetike energije jednak je zbiru elementarnih radova: aktivnih sila, reakcija veze i prenosne inercijalne sile, na elementarnom relativnom pomeranju.

Documents

5 Dinamika Materijalne Tacke