第５章 対流熱伝達の基礎

伝熱工学の基礎： 伝熱の基本要素、フーリエの法則、ニュートンの冷却則

１次元定常熱伝導： 熱伝導率、熱通過率、熱伝導方程式

２次元定常熱伝導： ラプラスの方程式、数値解析の基礎

非定常熱伝導： 非定常熱伝導方程式、ラプラス変換、フーリエ数とビオ数

対流熱伝達の基礎： 熱伝達率、速度境界層と温度境界層、層流境界層と乱流境界層、境界層厚さ、混合平均温度

強制対流熱伝達： 管内乱流熱伝達、円柱および球の熱伝達、管群熱伝達

自然対流熱伝達： 垂直平板自然対流熱伝達、密閉層内自然対流、共存対流熱伝達

輻射伝熱： ステファン-ボルツマンの法則、黒体と灰色体、輻射率、形態係数

凝縮熱伝達： 鉛直平板膜状凝縮、凝縮数、水平円管膜状凝縮、滴状凝縮

沸騰熱伝達： 沸騰曲線、気泡力学、沸騰熱伝達率

第5章 対流熱伝達

ニュートンの冷却則（Newton’s law of cooling）

TTAQ w

実験的な事実： （熱移動量）∝（温度差）

比例定数を h とすると、

ここで、h は、熱伝達率 と呼ばれる。 KmW 2

TThAQ

wニュートンの冷却則（Newton’s law of cooling）

h →大： 流体と物体間の熱移動能力→大

熱伝達率

熱伝達率は物性値ではない！

流速、圧力、表面形状によって変化する

対流熱伝達

高温発熱体表面を流れる空気の流速によって熱移動が異なる！ なぜ？

温度境界層

ニュートンの冷却則と熱伝達率

熱伝達→熱伝達率の予測

熱移動量（Newton’s Law of Cooling）：

予測(1) 流れ場の予測

→運動の法則、速度境界層(2) 流れの場の中で成り立つエネルギー収支

→温度場(3) 加熱面と流体間の熱伝達率の予測

wTThAQ

粘性流

ニュートンの粘性則

（せん断応力）y

VAF

比例定数：

yV

AF

yV

平板に沿う速度境界層の変化

uu 99.0

：速度境界層

平板の場合層流境界層から乱流境界層への遷移：

5105

xu

65 102~10 （ ：表面粗さに依存）

レイノルズ数

慣性力：

粘性力：

lu

uxuu

~

2~~

uyu

yy

レイノルズ数＝慣性力/粘性力

＝

luu

luu

2

平板に沿う層流境界層

流体要素に対する運動方程式

質点に対するニュートンの第２法則： F=ma↓

流体要素に対する運動方程式：（力）＝（ある検査体積を通過する質量流量）×（速度）

（仮定） (1) 流体は非圧縮性(2) 定常(3) y 方向に圧力変化なし(4) 粘性係数一定(5) y 方向の粘性せん断応力を無視

（x 方向の運動量変化）＋（y 方向の流動による x 方向の運動量変化）＝（検査体積に働く力）＋（粘性せん断応力の和）

流体要素

流体要素に働く力（x 方向の運動量変化）

=（右側面から流出した運動量）—（左側面から流入した運動量）

uudydxxuudy

11

2

（y 方向の流動による x 方向の運動量変化）=（上面から流出した運動量）—（下面から流入した運動量）

uvdxdyyuudy

yvvdx

11

（圧力の和）

dydxxPPdyP

1 dxdy

xP

（粘性せん断応力による正味の力）=（上面に働くせん断応力）—（下面に働くせん断応力）

11

dx

yudxdy

yu

yyu

dxdy

yu 2

2

層流境界層に対する運動方程式せん断応力と圧力による力の和を検査体積に流入するX方向の運動量の和と等しいとおくと、

uvdxdxdy

yuudy

yvvdyudydx

xuu

2

2

dxdyyudxdy

xP

2

2

左辺 =

uvdxdxdyyv

yvdy

yvudy

yuvuv

dyudydxxudx

xuuu

2

22

2 2

2

2

yu

xP

yv

xuu

yuv

xuu

よって

質量保存則

質量の保存則よりx 方向で考えると （流入した質量）—（流出する質量）=0

0dxdyxu

x, y 方向の質量の保存を考えると、

0yv

xu

物性値一定のもとでの層流境界層に対する運動方程式

2

2

yu

xP

yuv

xuu

（連続の式）

von Karman による層流境界層方程式の近似解法

（仮定）(1) y 方向成分（流れに垂直）は無視(2) 検査体積は常に速度境界層を含むように設定

検査体積から流出する運動量

H udy0

面１を通して流入する運動量： H udyu0

面２を通して流出する質量、運動量：

H dydx

xuu0 dxdyu

dxddyu HH 0

20

2

A – A 面を通過する質量： dxudydxd H 0

A – A 面を通過する運動量：

udxudy

dxd H

0

結局、検査体積から流出する運動量は：

dxudyxudxudyuu

dxddxudy

dxdudxdyu

dxd HHHH

0000

2

面１を通して流入する質量 ：

境界層運動量積分方程式

圧力によって働く力： HdxxPHdx

xPPHP

粘性によって働く力： dxyudxw

（検査体積内の運動量の増分） ＝ （検査体積に働く力の和）

dxHdxxPdxudy

xudxudyuu

dxd

w

H

0

H

0

ベルヌーイの式より 2

21

uP = 一定 であるから

0xuu

xP

xuu

xP

0y

H

0 yuudyuu

x

平板に沿う速度境界層

“境界層内の運動量積分方程式”

0

0

yy

uudyuudxd

左辺：速度がu∞からu(y)に減速されることに要する力右辺：壁での粘性によるせん断応力

境界層内速度分布

異なる位置yにおいて速度分布u(y)は相似であると仮定する 3

42

321 yCyCyCCyu

速度分布が満足すべき境界条件は： u(0)=0

： u(δ)=u∞

：

：

0yu

y0y 0y

0y

y

02

2

y

u

以上より、速度境界層内の速度分布は

3

21

23

yy

uyu

境界層積分方程式の解

3

21

2311

yyu

uuuuu

uyu

yu

yuu

yy 23

231

23

3

2

00

以上より

また

従って、境界層運動量積分方程式は

u23dyy

21y

23y

21y

231

dxdu

0

332

udx

d

13140

0

0

yy

uudyuudxd

速度境界層厚さ

uxx

13280

x

0

x

0dx

u13140d

xu

xReここで とおくと速度境界層厚さは、

xx Re64.4

ニュートンの冷却則と熱伝達率

熱伝達→熱伝達率の予測

熱移動量（Newton’s Law of Cooling）：

予測(1) 流れ場の予測

→運動の法則、速度境界層(2) 流れの場の中で成り立つエネルギー収支

→温度場(3) 加熱面と流体間の熱伝達率の予測

wTThAQ

エネルギー方程式の導出

エネルギー保存則 て運ばれるエネルギー上面より熱伝導によっ

ルギー上面より流出するエネルギー右面より流出するエネ

粘性力による仕事て運ばれるエネルギー下面より熱伝導によっ

ルギー下面より流入するエネルギー左面より流入するエネ

dxdyyT

yTk

dxdyyvvdy

yTTcdydx

xuudx

xTTc

dxdyyudx

yTkTvdxcTudyc

pp

pp

2

2

2

dxdy

yTkdxdy

yTv

xTu

yv

xuTcdxdy

yu

p 2

22

エネルギー方程式

連続の式より 0yv

xu

2

2

2

yu

yTk

yTvc

xTuc pp

だから

いま、温度伝導率（Thermal Diffusivity）を

と定義すると、pc

k

2

2

2

yu

cyT

yTv

xTu

p

2

2

yT

yTv

xTu

壁面近傍での温度分布

0.99T∞

熱伝達率の導出壁面近傍での速流体速度＝０であるから、壁面から流体への熱移動は熱伝導のみによって伝えられる。

0

yy

Tkq

一方、ニュートンの冷却則により、 TThq w

0

y

w yTkTTh

だから

TTyTkh w

y 0

すなわち、熱伝達率hを求めるためには、壁面の温度勾配を知ればよい。

境界層内での温度分布境界層内での温度分布を

T(y)=C1+C2y+C3y2+C4y3

とおくと、この式が満足すべき境界条件は、y=0 ： T(0)=Tw

y=0 ：

y=t ： T(t)=T∞

y=t ：

であるから、境界層内での温度分布は、

02

2

yT

0yT

3

21

23

ttw

w yyTTTT

熱伝達率の評価3

21

23

ttw

w yyTTTT

3

2

231

23

ttw

yTTyT

t

wy

TTyT

23

0

t

wy

kTTyTkh

2

3

0

境界層内の温度分布：

熱伝達率は、

温度境界層厚さ がわかれば、熱伝達率が評価できる。t

ニュートンの冷却則と熱伝達率

熱伝達→熱伝達率の予測

熱移動量（Newton’s Law of Cooling）：

予測(1) 流れ場の予測

→運動の法則、速度境界層(2) 流れの場の中で成り立つエネルギー収支

→温度場(3) 加熱面と流体間の熱伝達率の予測

wTThAQ

エネルギー積分方程式→ 温度境界層厚さの導出

エネルギー保存式仮定として、 とすると、エネルギー収支式は、

エネルギー対流によって流入する

壁からの熱移動粘性力による仕事エネルギー対流によって流入する

t

dxyTk

dxdyyu

Tcdxudyx

A

dxTcudyx

Tcudy

Tcudy

y

H

pH

Hp

Hp

Hp

0

0

2

0

00

0

'A

2

1

壁からの熱移動

粘性力による仕事

ーより流出するエネルギ面

ーより流出するエネルギ面

ーより流入するエネルギ面

であるから

エネルギー積分方程式

dxuTdycx

uTdyc

dxyTkdxdy

yuTcdxudy

xuTdyc

Hp

Hp

y

Hp

HHp

00

00

2

00

0

0

2

0

y

H

p

H

yTdxdy

xu

cudyTT

x

“エネルギー積分方程式”

粘性散逸項を無視することにすると

0

0

y

H

yTudyTT

dxd

エネルギー積分方程式の変形

0y

H

0 yTudyTT

dxd

0y

wH

0w

www y

TTdyuuu

TTTTTTTT

dxd

0yw

ww

H

0w

ww TT

TTy

TTdyuu

TTTT

1dxduTT

ここで 3y

21y

23

uyu

3

ttw

w y21y

23

TTTT

エネルギー積分方程式の解法

>tの仮定より、積分の上限はH→tでよい（なぜならば、y>tではT=T∞）

0

0 1

yw

ww

w

ww TT

TTy

TTdyuu

TTTT

dxduTT t

∞=T∞-Twとすると

0

3

0

33

21

23

21

23

21

231

ytt

tt

yyy

dyyyyydxdu t

よって、

t

tt

dxdu

23

2803

203 42

エネルギー積分方程式の解法

ここで、=t/とおくと

23

2803

203 42

dxdu

仮定より、>t、よって<1だからはに比べて小さいので

23

203 2

dxdu

を解けばよい。境界条件は、x=x0： t=0 ⇔ =

ここで

xxu 2210

ux

13140

かつ

ux

132802

であるから

エネルギー積分方程式の解法

より、解くべき式は

1413

dxdx4 23

となる。ここで

dxd

31

dxd 3

2

であるから、

1413

dxdx

34 3

3

この微分方程式の解は、

43

03

xx1

1413

エネルギー積分方程式の解法

今、プラントル数 を定義すると、Pr

31

43

031

3 1Pr1413

xx

31

43

031

1Pr026.11

xxt

エネルギー積分方程式の解法

今、プラントル数 を定義すると、Pr

31

43

031

3 1Pr1413

xx

31

43

031

1Pr026.11

xxt

xx Re64.4

ここで、速度境界層厚さは、

熱伝達率とヌッセルト数

xxxk

xxkkh

x

tt

164.4

Re1Pr026.123

123

23

213

1

43

031

31

43

021

31

1RePr332.0

xx

xkh x

31

43

021

31

1RePr332.0

xxNu x

ヌッセルト数： khxNu

ヌッセルト数

熱伝導による熱移動

熱伝達による熱移動

LT

k

Thk

hLNu

プラントル数

温度境界層厚さ速度境界層厚さ

温度伝導率　動粘性係数

Pr（例）空気、He、H2、O2、N2：水蒸気 ：水 ：油 ：

7.0~Pr0.1~Pr

5~13Pr 276~47100Pr

Pr の意味(1) 温度境界層厚さと速度境界層厚さの比に

関係するパラメータ(2) 与えられた境界層外の流れ場に対して、どの程度

厚く温度、速度境界層が発達するかを示す指標

膜温度

一般に、壁温と主流温度は異なり、温度分布が生じる、この壁温と主流温度の違いによって発生する物性値の違いを考慮するため、以下の式で計算される膜温度を用いるのが普通である。

2

TT

T wf

平均熱伝達率

次式よって求められる熱伝達率は、板の前線からの距離xによって変化する局所的な値である。

21

31

RePr332.0 xxNu

kxh

Nu xx

x=0からx=Lまでの熱の移動を求めるためには、x=0からx=Lの区間での熱伝達率を求めておかなければならない。すなわち、

L

0

L

0 x

dx

dxhh

平均熱伝達率

21

31

21

31

02

121

31

0

21

31

0

02

13

1

Pr332.02

2Pr332.0

Pr332.0

Pr332.01

RePr332.0

LuLk

Lu

Lk

dxxu

Lk

dxxu

xk

L

dx

dxxk

h

L

L

L

L

Lxhh

2

円管内の層流熱伝達

熱伝達率hは 0rr

bw rTkTThq

bwrr

TTrTkh

0

混合平均温度（Bulk Temperature）

0

0

0

0

2

2r

p

rp

bcudrr

TcudrrT

分子： 管断面の全エネルギー流量分母： 質量速度と比熱の積の積分値→ ある点での流れのもつ全エネルギーを表す温度

“Mixing-cup temperature”「ある容器に流体を貯めて、平衡温度になった時の温度」に等しい。

円管内の温度分布を表す式

dxxTTucdrrdr

rT

rrTdxdrrk

TucdrrrTdxrk

p

p

22

22

環状の円管要素内のエネルギー収支は、

dr

r

dxqr

qr+dr

ρ(2πrdr)ucpT

dxxTTucdrrdq

Tucdrrdq

pdrr

pr

2

2

であるから

より

uxT

rTr

rr

11

pck

ただし

円管内の温度分布の導出

uxT

rTr

rr

11

円管内の温度分布は、

xT

dr

r

dxq

r

qr+dr

ρ(2πrdr)ucpT

なる式を、 =一定 の仮定

のもとで解くことによって得られる 。

円管内の力の釣り合い

力のバランスを考えると、

22 2 rdPPdxrrP

rdx

dP 2

一方、ニュートンの粘性則によって、

drdu

円管内の流速分布

drdu

rdxdP 2

00

21 r

r

r

rrdr

dxdPdu

221 22

00

rrdxdPruru

20

2

41 rr

dxdPru

管中心での速度がu0だから、u(0)=u0

204

10 rdxdPu

2

00

10

rr

uru

uru

流速分布をエネルギー式に代入

2

00 111

rru

xT

rTr

rr

これを解けば温度分布T(r)が求められる。

rdrrru

xTdr

rTr

r

2

00 11

120

42

042

1 Crrru

xT

rTr

rC

rrru

xT

rT 1

20

3

042

1

dr

rCdr

rrru

xTdr

rT 1

20

3

042

1

2120

42

0 ln164

1CrC

rrr

uxT

T

円管内の温度分布

温度に対する境界条件、r=0： 、T=T0より、 C1=0、C2=T0であるから、

温度分布は、

0rT

020

42

0 1641 T

rrru

xTT

0

200

0 163 T

xTrurTTw

0

200

967 T

xTruTb

xTru

rT

rr

4

00

0

混合平均温度：

壁面温度は：

温度勾配：

円管内層流熱伝達率の評価

02

00

00

bw

rr

rk

1124

xTru

967

163

xT

4ruk

TTrTk

h 0

いま、ヌッセルト数：k

hdNu 0

d0=2r0だから、

（参考）平板の場合 ：

364.41148Nu

31

21

PrRe032.0Nu

問題5-1

拡大管(Diffuser)の中を20(℃)の水が、10(kg/s)の割合で流れている。管の内径は、入り口断面で3.0(cm)、出口断面で9.0(cm)である。摩擦のない流れとして、出入り口での静圧上昇を計算しなさい。ただし、ベルヌーイの法則

が成り立つとし、水の密度を1000(kg/m3)する。

222

211 u

21Pu

21P

解法の方針5-1出入り口での静圧上昇は、ベルヌーイの法則より

出入り口での速度は、質量速度を、 とすると、連続の式

2211 uAuAG より

であるから、

)uu(2

u21u

21PP 2

221

22

2112

)s/kg(G

22

11 A

Gu,AGu

2

2

2

1

22

2112 A

GAG

2)uu(

2PP

4dA,

4dA

22

2

21

1

また

222

211 u

21Pu

21P

ベルヌーイの法則：

問題5-2

内径1 cmの円管に油が、流量0.14 kg/sで流れている。油は、入口より一様な速度で流入するものとし、速度助走区間を求めよ。さらに、管摩擦係数 fを用い、十分に発達した流れの区間における管軸1 m当たりの圧力損失を求めよ。なお、油はニュートン流体とし、密度r=860 kg/m3、粘度m=0.0172 Pa・sとする。なお、速度助走区間は以下の式で記述できる。

du RedL 05.0 10dLu：層流(Red≦2300) ：乱流(Red>2300)

また、管摩擦係数λfは以下の式で記述できる。

df Re

64 413164.0 df Re：層流(Red≦2300) ：乱流(Red>2300)

また、長さl [m]当たりの圧力損失は以下で表される。2

21 u

dlp f

問題5-3

27℃で1atm(=1.0132×105Pa)の空気が平板に沿って2m/sの流速で流れている。平板の前縁からの距離が20cmにおける境界層厚さを計算せよ。ただし、空気のガス定数は287J/kgKであり、27℃における粘性係数は1.98×10-5kg/msである。

問題5-4

問題5-3の流れにおいて、平板が全面にわたって60℃に加熱されているとする。このとき、平板前縁から20cmまでの間の長さにおいて奪われる熱量を求めよ。ただし、奥行きｚ方向については単位厚みを考えよ。ただし、以下の値を使用してよい。

)Kkg/kJ(006.1C7.0Pr

)Km/W(02749.0k)s/m(1036.17

p

26

解法の方針5-4

いま、レイノルズ数、ヌッセルト数は、

xuRe

3/12/1xx PrRe332.0

kxhNu

xkNuh xx

であるから、熱伝達率は

ここで、平均熱伝達率は、この２倍であるから、

xh2hよって 奪われる全熱量は、

TTAhQ w

問題5-5

単位体積当たりの発熱量がQの熱源が一様に分布した厚さL

の平板がある。片面は断熱されており、もう一方の面は、温度

T1の流体と熱交換している。この流体と板壁面との熱伝達率

をhとするとき、板内部の温度分布を記述する式を求めなさい。

ただし、この平板の熱伝導率をkとする。

問題5-6

単位体積当たり発熱する熱量が、0.35[MW/m3]の平板壁があ

る。片面は断熱されているが、もう一方の面は、93[℃]の流体

と熱交換している。流体と壁との間の熱伝達率を570[W/m2・K]、

平板壁の熱伝導率を21[W/m・K]、平板壁の厚さを7.5[cm]とし、

壁内部の最高温度を計算しなさい。

問題5-7

２００Aの電流が、長さが1m、直径3.0mmのステンレス鋼製針金中を流れる。ステンレス鋼線は、 110℃の液体に浸されており、熱伝達率は、4[kW/m2/K]とする。ステンレス鋼線の中心温度を求めなさい。ただし、ステンレス製の針金の熱伝導率を k=19[W/m･K]とし、鋼の比抵抗を70[μΩ･cm]とする。

問題5-8

図に示すように、長さ6 cmで幅50 cmの平板上を温度20 ºCの空気が速度20 m/sで流れている。平板表面が一様な温度60 ºCに保たれる時、その表面(片面)からの単位幅当たりの放熱量はいくらか。ただし、40 ºCにおける空気の動粘度を1.70×10-5 m2/s、熱伝導率を0.0272 W/(m･K)、プラントル数Pr=0.711とし，熱伝達率には平均熱伝達率 を用いること．h