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5 積分

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5.5 變數變換法

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變數變換法

由於微積分基本定理我們有更多的方法計算一個函數的積分，也就是反過來利用微分得到反導函數。

但形如下者的函數並沒有出現在我們的積分表中

所以要解決類似這樣的問題，我們需要發展一些技巧。

在這一節裡面我們要介紹的是變數變換法，引入新的變數將積分式改寫成我們已知道的積分。

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變數變換法

在前述的積分中，我們令一個新的變數代表積分中根號內的式子 u = 1 + x2，由萊布尼茲符號 du/dx = 2x ，因此可得

du = 2x dx

先不論這合不合理，我們將其代入積分式中替換：

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變數變換法

我們可以從微分反回去看是否真的是一個反導函數：

發現的確是這個樣子。

於是這個方法看起來是對的，而從上式連鎖率的結果來看，

我們主要解決的積分其實是類似這樣的積分

f(g(x)) g (x) dx.

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變數變換法

考慮到若 F = f，則由連鎖率

[F(g(x))] = F(g(x))g(x)

因此由微積分基本定理，

F (g(x)) g (x) dx = F(g(x)) + C

也就是當我們宣告新的變數 u = g(x) ，則

F (g(x))g (x) dx = F(g(x)) + C = F(u) + C = F (u) du

寫回 F’ = f

f(g(x))g (x) dx = f(u) du

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變數變換法

我們寫成一個定理：

反過來，若我們想做某種可能的變數變換，不一定剛好能區分成上述的 f(g(x)) g’(x)兩項，但我們仍能先令新的變數 u =

u(x) ，做

du = u’(x) dx => du/u’(x) = dx

的微分 (differentail) 的運算來替換。

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範例一

求 x3 cos(x4 + 2) dx.

解:

定義新的變數 u = x4 + 2 ，發現其微分 du = 4x3 dx ，剛好可以替換積分裡面的 x3，只是差了一個常數 4倍。

因此 x3 dx = du利用變數變換法，我們有

x3 cos(x4 + 2) dx = cos u du

= cos u du

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範例一 / 解

= sin u + C

= sin(x4 + 2) + C

注意，最後還要換回原本的變數。

cont’d

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應用在定積分上

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應用在定積分上

要將變數變換法應用在定積分上，有兩種計算方法。其中的一種便是先計算出不定積分，在利用微積分基本定理計算其值。

以下是一個範例：

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應用在定積分上

另一種方法則是變數變換後，直接改寫上下界，得到新的定積分：

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範例七

計算

解:

令 u = 2x + 1 ，則有 du = 2 dx，推回 dx = du。

計算新的上下界：

當 x = 0 時， u = 2(0) + 1 = 1 。

而當 x = 4 時， u = 2(4) + 1 = 9 。

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範例七 / 解

因此變數變換後得到新的積分

跟使用反導函數的第一個方法相比較，第二個方法不用在積分後，將變數換回 x ，但是要將積分 x 的上下界變成 u 的上下界。

cont’d

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對稱性

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對稱性

利用變數變換法，我們可以推導一些常見對稱函數其積分的性質。例如說奇函數與偶函數在對稱區間上的積分：

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對稱性

用圖來說明這個定理。

當 f(x) 為正值且為偶函數，左邊的圖顯示，兩邊的積分剛好是兩倍的單邊的積分。

而右邊的圖顯示，兩邊的積分剛好正負相抵銷。

圖三

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範例十

計算 f(x) = x6 + 1 在 [-2, 2] 上的積分。

解: 由於 f(–x) = f(x) ，因此 f 為偶函數，有

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範例十一

給定 f(x) = (tan x)/(1 + x2 + x4) 求 f(x) 在 [-1, 1] 上的積分。

解: 由於 f(–x) = –f(x)，可知 f(x) 為奇函數，且