5 Μάθημα Έλεγʗοι ποθέσεʙν - Μαρίνα Σύρπη€¦ · 5o Μάθημα Έλεγʗοι ποθέσεʙν 5.1 Hο ... μετακίνησης των εργαζομένων

5o Μάθημα

Έλεγχοι Υποθέσεων

5.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων

Ας υποθέσουμε ότι σχεδιάζονται κάποιες κυκλοφοριακές ρυθμίσεις με στόχο ο μέσος χρόνος

μετακίνησης των εργαζομένων που χρησιμοποιούν το αυτοκίνητό τους από το κέντρο της πόλης

έως τη βιομηχανική περιοχή να γίνει μικρότερος από 70 min.

Μετά την εφαρμογή των ρυθμίσεων, και με τη χρήση ενός τυχαίου δείγματος, ο μέσος χρόνος

μετακίνησης για την ίδια διαδρομή εκτιμήθηκε σε 67 minX .

Το ερώτημα που τίθεται είναι το εξής:

Μπορούμε να ισχυριστούμε ότι οι κυκλοφοριακές ρυθμίσεις είναι αποτελεσματικές; Δηλαδή,

μπορούμε να ισχυριστούμε ότι ο μέσος χρόνος μετακίνησης είναι τώρα μικρότερος από

70 min;

Η απάντηση δεν είναι αυτονόητη. Το γεγονός ότι ένα μοναδικό δείγμα έδωσε εκτίμηση του

μέσου χρόνου μετακίνησης μικρότερο από 70 min δεν αρκεί για να απαντήσουμε στο

παραπάνω ερώτημα. Έχουμε απλώς μια ένδειξη για τη μείωση του μέσου χρόνου μετακίνησης η

οποία, σε καμία περίπτωση, δεν συνιστά απόδειξη.

Γιατί συμβαίνει αυτό; Σκεφτείτε ότι ένα δεύτερο δείγμα εκτιμά το μέσο χρόνο μετακίνησης σε

69 min, ένα τρίτο δείγμα τον εκτιμά σε 71 min, κ.ο.κ. Διαφορετικά δείγματα, δίνουν

διαφορετικές εκτιμήσεις. Τί μπορούμε τώρα να πούμε για τον μέσο χρόνο μετακίνησης;

Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα. Έστω ότι κάνουμε μία έρευνα για το εισόδημα των

εργαζομένων και μας ενδιαφέρει να εντοπίσουμε διαφορές ή ομοιότητες μεταξύ των

εργαζομένων στα μεγάλα Αστικά Κέντρα και στην Επαρχία. Για το σκοπό αυτό παίρνουμε δύο

τυχαία δείγματα. Το πρώτο δείγμα, από τα Αστικά Κέντρα εκτιμά το μέσο εισόδημα των

εργαζομένων σε 750 €. Το δεύτερο δείγμα, από την Επαρχία, εκτιμά το μέσο εισόδημα των

εργαζομένων σε 770 €. Μπορούμε, με βάση αυτά τα δεδομένα, να ισχυριστούμε ότι το μέσο

εισόδημα των εργαζομένων του Ιδιωτικού Τομέα στα μεγάλα Αστικά Κέντρα 1 είναι

διαφορετικό από το μέσο εισόδημα των εργαζομένων στην Επαρχία 2 ;

Η απάντηση είναι όχι, δεν μπορούμε να αποφασίσουμε. Η παρατηρούμενη διαφορά μεταξύ των

δύο εκτιμήσεων ( 1 2750 770 X X ) δεν συνεπάγεται και διαφορά μεταξύ των δύο

παραμέτρων 1 και 2 .

Με την επίλυση των παραπάνω προβλημάτων, καθώς και άλλων παρόμοιων, ασχολείται ο

κλάδος ενός Στατιστικής που είναι γνωστός ως Επαγωγική Στατιστική (Inferential Statistics).

Οι Έλεγχοι Υποθέσεων (Hypothesis Testing) είναι εκείνες οι μεθοδολογίες που μας

επιτρέπουν να διερευνήσουμε την ισχύ (την αλήθεια) μιας στατιστικής υπόθεσης, δηλαδή

μιας πρότασης που αφορά κάποια παράμετρο ενός ή και περισσοτέρων πληθυσμών.

5ο Μάθημα

Μαρίνα Σύρπη

64

5.2 Η Διαδικασία του Ελέγχου Υποθέσεων

Ο έλεγχος μιας υπόθεσης στηρίζεται στην αντιπαράθεση δύο αντιφατικών προτάσεων.

Η μία πρόταση ονομάζεται Μηδενική Υπόθεση και συμβολίζεται με 0H .

Η άλλη πρόταση ονομάζεται Εναλλακτική (ή Ερευνητική) Υπόθεση και συμβολίζεται με 1H .

Έτσι, τελικά, επιλέγεται ως αληθής μία μόνον από τις δύο προτάσεις.

Κατά τη διαδικασία ενός ελέγχου υποθέσεων είναι δυνατόν να διαπράξουμε τα παρακάτω

σφάλματα:

1ον : Να απορρίψουμε την 𝜢𝟎, ενώ αυτή είναι αληθής.

Ονομάζουμε αυτό το σφάλμα, ΣΦΑΛΜΑ ΤΥΠΟΥ Ι.

2ον : Να μην απορρίψουμε την 𝜢𝟎, ενώ αυτή είναι ψευδής.

Ονομάζουμε αυτό το σφάλμα, ΣΦΑΛΜΑ ΤΥΠΟΥ ΙΙ.

Ονομάζουμε επίπεδο σημαντικότητας, και συμβολίζουμε με το Ελληνικό γράμμα την

πιθανότητα να διαπράξουμε Σφάλμα Τύπου Ι.

Παρόλο που επιλογή του επιπέδου σημαντικότητας 𝛼 ανήκει στον ερευνητή, ως πλέον

ενδεδειγμένη τιμή στις εφαρμογές θεωρούμε την τιμή 𝛼 = 0.05.

Να σημειώσουμε, ότι δεν είναι δυνατή η ταυτόχρονη μείωση της πιθανότητας και για τα

δύο είδη σφαλμάτων. Δηλαδή, όταν μειώνουμε την πιθανότητα σφάλματος Τύπου Ι τότε η

πιθανότητα σφάλματος Τύπου ΙΙ αυξάνεται. Αυτός είναι ο λόγος που δεν επιλέγουμε,

συνήθως, πολύ μικρές τιμές για το 𝛼. Μόνον σε περιπτώσεις που ο ερευνητής θεωρεί ότι

το σφάλμα τύπου Ι θα είχε πολύ σοβαρές συνέπειες επιλέγει μικρό επίπεδο

σημαντικότητας.

Η πιθανότητα να διαπράξουμε σφάλμα Τύπου ΙΙ, συμβολίζεται με το Ελληνικό γράμμα 𝜷.

Τέλος, η πιθανότητα να απορρίψουμε την 𝜢𝟎 όταν αυτή είναι λανθασμένη ονομάζεται

δύναμη του ελέγχου και είναι ίση με 𝛾 = 𝟏 − 𝜷.

Η γενική διαδικασία του Ελέγχου Υποθέσεων περιλαμβάνει τα εξής βήματα:

Βήμα 1ο : Καταγράφουμε τα δεδομένα και ελέγχουμε τυχόν περιορισμούς

Βήμα 2ο : Ορίζουμε τη Μηδενική Υπόθεση 0H , την Εναλλακτική Υπόθεση 1H (χρήση

τυπολογίου) και επιλέγουμε το επίπεδο σημαντικότητας 0,05 .

Βήμα 3ο : Από τα δεδομένα του δείγματος ή των δειγμάτων υπολογίζουμε την τιμή του

κατάλληλου στατιστικού S . (χρήση τυπολογίου)

Βήμα 4ο : Βρίσκουμε την κριτική τιμή του ελέγχου, (χρήση τυπολογίου και στατιστικού

πίνακα)

Βήμα 5ο : Συγκρίνουμε την τιμή του στατιστικού με την κριτική τιμή και παίρνουμε την

απόφαση, με τη χρήση του παρακάτω κανόνα:

Αν S Κριτική Τιμή τότε η Μηδενική Υπόθεση 0H απορρίπτεται, και

γίνεται δεκτή η Εναλλακτική Υπόθεση 1H .

Διαφορετικά, η μηδενική υπόθεση 0H δεν μπορεί να απορριφθεί.

Έλεγχοι Υποθέσεων 65

Σημειώσεις Στατιστικής

5.3 Έλεγχοι Υποθέσεων για τη μέση τιμή ενός Πληθυσμού.

5.3.1 Αμφίπλευρος Έλεγχος

Δεδομένα & Περιορισμοί Εφαρμογής του Ελέγχου

Μέγεθος Δείγματος: n

Περιορισμός: Για μικρά δείγματα 30n απαιτείται Κανονικότητα προκειμένου να

μπορέσουμε να προχωρήσουμε στη διαδικασία του Ελέγχου Υπόθεσης.

Δειγματική Μέση Τιμή: �̅�

Δειγματική Διασπορά: 𝑠2

Υποθέσεις & Επιλογή Επιπέδου Σημαντικότητας

𝛨0 : 𝜇 = 𝜇0 «ΔΕΝ ισχύει η 1H »

𝛨1 : 𝜇 ≠ 𝜇0 «Η μέση τιμή είναι διαφορετική της (δοσμένης) τιμής 0 »

Επιλέγουμε: 0,05

Στατιστικό Ελέγχου

0XS

s

n

Κριτική Τιμή του Ελέγχου

Για μεγάλα δείγματα 30n η κριτική τιμή είναι 2aZ

Για μικρά δείγματα 30n η κριτική τιμή είναι η 2; 1a n

t

Απόφαση

Αν της S Κριτικής Τιμής 2 2

; 1ή

nZ t

τότε η Μηδενική Υπόθεση 0H

απορρίπτεται και γίνεται δεκτή η Εναλλακτική Υπόθεση 1H .

Στην περίπτωση αυτή, θεωρούμε υπάρχουν επαρκή στατιστικά στοιχεία που στηρίζουν την

αλήθεια της Εναλλακτικής (ή Ερευνητικής) Υπόθεσης 1H .

Διαφορετικά, η Μηδενική Υπόθεση 0H δεν μπορεί να απορριφθεί.

Στην περίπτωση αυτή θεωρούμε ότι ΔΕΝ υπάρχουν επαρκή στατιστικά στοιχεία που να

στηρίζουν την αλήθεια Εναλλακτικής (ή Ερευνητικής) Υπόθεσης 1H .

5ο Μάθημα


66

5.3.2 Μονόπλευροι Έλεγχοι


Μέγεθος Δείγματος: n

Περιορισμός: Για μικρά δείγματα 30n απαιτείται Κανονικότητα προκειμένου

να μπορέσουμε να προχωρήσουμε στη διαδικασία του Ελέγχου

Υπόθεσης.

Δειγματική Μέση Τιμή: �̅�

Δειγματική Διασπορά: 𝑠2



𝛨1 : 𝜇 > 𝜇0 «Η μέση τιμή είναι μεγαλύτερη της (δοσμένης) τιμής 0 »

ή


𝛨1 : 𝜇 < 𝜇0 «Η μέση τιμή είναι μικρότερη της (δοσμένης) τιμής 0 »

Και για τις 2 περιπτώσεις, επιλέγουμε: 0,05


0XS

s

n


Για μεγάλα δείγματα 30n η κριτική τιμή είναι aZ

Για μικρά δείγματα 30n η κριτική τιμή είναι η ; 1nt

Απόφαση

Αν S Κριτική Τιμή ; 1ή nZ t τότε η Μηδενική Υπόθεση 0H απορρίπτεται και

γίνεται δεκτή η Εναλλακτική Υπόθεση 1H .



Διαφορετικά, η μηδενική υπόθεση 0H δεν μπορεί να απορριφθεί.


στηρίζουν την αλήθεια της Υπόθεσης 𝛨1.



Παράδειγμα 1

Σε κάποια πόλη, ο μέσος χρόνος μετακίνησης των εργαζομένων που χρησιμοποιούν το

αυτοκίνητό τους από το κέντρο της έως τη βιομηχανική της περιοχή είναι 70 min . Οι

συγκοινωνιολόγοι μελέτησαν και εφάρμοσαν κάποιες νέες κυκλοφοριακές ρυθμίσεις με

στόχο ο μέσος χρόνος μετακίνησης να μειωθεί.

Μετά από 3 μήνες, και με τη χρήση ενός τυχαίου δείγματος μεγέθους 400n

υπολογίστηκαν �̅� = 67 min και 𝑠 = 5 min.

67X : «Ο μέσος χρόνος μετακίνησης εκτιμάται σε 67 min»

Καθώς 67 70X , υπάρχουν ενδείξεις ότι ο μέσος χρόνος μετακίνησης άλλαξε και

είναι τώρα μικρότερος από τα 70 min.

Έτσι, ως Ερευνητικές Υποθέσεις, μπορούμε να θέσουμε τα παρακάτω ερωτήματα:

( α ) Είναι, μετά τις κυκλοφοριακές ρυθμίσεις, ο μέσος χρόνος μετακίνησης

διαφορετικός από 70 min;

( β ) Είναι, μετά τις κυκλοφοριακές ρυθμίσεις, ο μέσος χρόνος μετακίνησης μικρότερος

από 70 min;

Θα πρέπει, στο σημείο αυτό, να επισημάνουνε ότι τα ερωτήματα που θέτουμε προς

διερεύνηση στη Στατιστική υποδεικνύονται από τα ευρήματα που έχουμε στη διάθεσή μας,

και όχι από αυτό που μας ενδιαφέρει να μάθουμε!!

Αν, για παράδειγμα, είχε υπολογιστεί 73 70X το ερώτημα (β) δεν θα ήταν πλέον ένα

έγκυρο ερώτημα, καθώς αυτό θα ήταν ενάντια στις ενδείξεις.

Λύση

Η μορφή της ερώτησης που θέτουμε καθορίζει την επιλογή του ζεύγους των υποθέσεων,

με την Υπόθεση H1 να αντιστοιχεί σε αυτό που ρωτάμε.

Αν το ερώτημα έχει τη μορφή «Διαφέρει ο μέσος» ή «Είναι διαφορετικός ο μέσος» από

μία δεδομένη τιμή 0 » λαμβάνουμε ως εναλλακτική την :

:H 1 0 (Έλεγχος αμφίπλευρος)

Αν το ερώτημα έχει τη μορφή «Είναι ο μέσος μεγαλύτερος από μία δεδομένη

τιμή 0 » λαμβάνουμε ως εναλλακτική την:

:H 1 0 (Έλεγχος μονόπλευρος)

5ο Μάθημα


68

Αν το ερώτημα έχει τη μορφή «Είναι ο μέσος μικρότερος από μία δεδομένη

τιμή 0 » λαμβάνουμε ως εναλλακτική την:

:H 1 0 (Έλεγχος μονόπλευρος)

Σε κάθε περίπτωση, η μηδενική υπόθεση αντιστοιχεί στην πρόταση «ΔΕΝ ισχύει η H1 »

( α ) «Είναι, μετά τις κυκλοφοριακές ρυθμίσεις, ο μέσος χρόνος μετακίνησης

διαφορετικός από τα 70 min;»


400 30n , Μεγάλο δείγμα, επομένως μπορούμε να

προχωρήσουμε στη διαδικασία του Ελέγχου Υπόθεσης

67X

5s


Επιλέγεται αμφίπλευρος έλεγχος με εναλλακτική :H 1 0 και επίπεδο

σημαντικότητας 0,05

:H 0 70

:H 1 70

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Στον αμφίπλευρο έλεγχο, η εναλλακτική υπόθεση είναι πάντα η

: 1 0 , και το ερώτημα είναι πάντα εάν η μέση τιμή είναι διαφορετική από έναν

δοσμένο αριθμό 0 .


0 67 70 312

5 5

20400

XS

s

n


Το δείγμα μας είναι μεγάλο (n = 400 >30), επομένως η κριτική τιμή είναι

0,052 2

0,025 1,96Z Z Z



Απόφαση

Επειδή 12 12 1, 96S , η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται και γίνεται δεκτή η

εναλλακτική.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Για επίπεδο σημαντικότητας 𝛼 = 0,05, συμπεραίνουμε ότι, μετά τις κυκλοφοριακές

ρυθμίσεις, ο μέσος χρόνος μετακίνησης, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ, είναι ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ διαφορετικός από

70 min.

( β ) Είναι, μετά τις κυκλοφοριακές ρυθμίσεις, ο μέσος χρόνος μετακίνησης μικρότερος από

70 min;


400 30n Μεγάλο δείγμα, επομένως μπορούμε να


67X

5s


Επιλέγεται μονόπλευρος έλεγχος με :H 1 0 και επίπεδο σημαντικότητας 𝛼 = 0,05

:H 0 70

:H 1 70


0 67 70 312

5 5

20400

XS

s

n


Το δείγμα μας είναι μεγάλο (n = 400 >30), επομένως η κριτική τιμή είναι

0,05 1,65Z Z

Απόφαση

Επειδή 1 2 1 2 1, 6 5S η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται και γίνεται δεκτή η



Για επίπεδο σημαντικότητας 𝛼 = 0,05, συμπεραίνουμε ότι ο μέσος χρόνος μετακίνησης

μετά τις κυκλοφοριακές ρυθμίσεις, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ, είναι ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ μικρότερος από 70 min.

5ο Μάθημα


70


Μια μεγάλη αυτοκινητοβιομηχανία, ισχυρίζεται ότι το νέο οικονομικό μοντέλο αυτοκινήτου

που πρόκειται να κυκλοφορήσει στην αγορά καταναλώνει, κατά μέσο όρο, λιγότερο από

12 lit βενζίνης/100 km. Για να ελεγχθεί ο ισχυρισμός της, έγιναν 9 δοκιμές από τις οποίες

υπολογίστηκαν 11 lit/100 KmX και 2 lit/100 Kms .

Χρησιμοποιώντας τον κατάλληλο έλεγχο υποθέσεων, για επίπεδο σημαντικότητας 𝛼 = 0,05

ελέγξτε τον παραπάνω ισχυρισμό, υποθέτοντας Κανονική Κατανομή για την κατανάλωση

της βενζίνης.

Λύση


n 9 30 Μικρό δείγμα - Κατανομή Κανονική, επομένως μπορούμε να


�̅� = 11

𝑠2 = 22


Θέλουμε να ελέγξουμε αν η μέση κατανάλωση βενζίνης είναι μικρότερη από 10 lit/ 100 km.

Επιλέγουμε μονόπλευρο έλεγχο, με εναλλακτική 𝛨1 : 𝜇 < 12 και επίπεδο σημαντικότητας

𝛼 = 0,05

𝛨0: 𝜇 = 12

𝛨1: 𝜇 < 12


0 11 12 11,5

2 2

39

XS

s

n


Το δείγμα μας είναι μικρό (n = 9 <30), επομένως θα πάρουμε την κριτική τιμή από τον

πίνακα της t – κατανομής: ; 1 0,05; 9 1 0,05; 8 1,86a nt t t

Απόφαση

Επειδή 1,5 1,5 1,86S και η μηδενική υπόθεση δεν μπορεί να απορριφθεί .


Για επίπεδο σημαντικότητας 𝛼 = 0,05, συμπεραίνουμε ότι η μέση κατανάλωση βενζίνης

του νέου μοντέλου, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ, ΔΕΝ είναι ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ μικρότερη από 12 lit/ 100 km.



Λυμένες Ασκήσεις

1. Ο μέσος χρόνος αποστολής/ παραλαβής των ηλεκτρονικών μηνυμάτων ενός server

είναι 3 sec . Μετά από κάποιες παρεμβάσεις στο σύστημα και από ένα τυχαίο δείγμα

100 μηνυμάτων, υπολογίστηκαν ο δειγματικός μέσος 2,8 secX και η δειγματική

τυπική απόκλιση σε 0,1 secs . Για επίπεδο σημαντικότητας 𝛼 = 0,05 να ελέγξετε

αν μετά τις παρεμβάσεις ο μέσος χρόνος αποστολής/παραλαβής των ηλεκτρονικών

μηνυμάτων έχει αλλάξει.

Λύση

2,8, 0,1, 100 30 , 0,05,Μεγάλο δείγμαX s n

Θα εκτελέσουμε αμφίπλευρο έλεγχο υπόθεσης για τη μέση τιμή ενός πληθυσμού.

0

1

: 3

: 3

0 3 2,8 0,2 220

0,1 0,1 0,1

10100

XS

s

n

Κριτική Τιμή: 0,052 2

0,025 1,96Z Z

20 20 1,96S και η 0 απορρίπτεται.

Σε επίπεδο σημαντικότητας 0,05 , συμπεραίνουμε ότι ο μέσος χρόνος αποστολής/

παραλαβής των ηλεκτρονικών μηνυμάτων του server, στατιστικά είναι σημαντικά

διαφορετικός από τα 3 min.

2. Ο χρόνος απασχόλησης απασχόληση των εργαζομένων στον Ιδιωτικό Τομέα ακολουθεί

την Κανονική Κατανομή με μέσο 45 h/εβδομάδα . Από 16 υπαλλήλους μιας

Εταιρείας Α που επελέγησαν τυχαία, υπολογίστηκαν ο δειγματικός μέσος σε

46 h/εβδομάδαX η δειγματική τυπική απόκλιση σε 1 h/εβδομάδαs . Για

επίπεδο σημαντικότητας 𝛼 = 0,05 να ελέγξετε αν ο μέσος χρόνος απασχόλησης των

υπαλλήλων Εταιρείας Α, υπερβαίνει τις 45 h την εβδομάδα.

Λύση

46, 1, 16 30 , 0,05Μικρό δείγμα, ανονική ΚατανομήX s n

Θα εκτελέσουμε μονόπλευρο έλεγχο υπόθεσης για τη μέση τιμή ενός πληθυσμού.

0

1

: 46

: 46

5ο Μάθημα


72

0 45 46 14

1 1

416

XS

s

n

Κριτική Τιμή: ; 1 0,05;16 1 0,05;15 1,753nt t t


Σε επίπεδο σημαντικότητας 0,05 , συμπεραίνουμε ότι ο μέσος χρόνος απασχόλησης

των εργαζομένων στην εταιρεία Α, στατιστικά είναι σημαντικά μεγαλύτερος από τις

46 h/εβδομάδα.

3. Οι μέσες αποδοχές των εργατών στη Βιομηχανία είναι 15000 €/έτος. Στις

διαπραγματεύσεις για τη νέα συλλογική σύμβαση το συνδικάτο των εργατών θεωρεί

ότι η προτεινόμενη από τους εργοδότες νέα μισθοδοσία θα οδηγήσει σε μείωση των

αποδοχών τους. Για τον έλεγχο του παραπάνω ισχυρισμού πάρθηκε ένα τυχαίο δείγμα

400 εργαζομένων από όλη τη χώρα από το οποίο, βάσει της νέας μισθοδοσίας,

υπολογίστηκαν 14500€X και 500€s . Για επίπεδο σημαντικότητας 𝛼 = 0,05,

να ελέγξετε τον ισχυρισμό του συνδικάτου.

Λύση

14500, 500, 400 30 , 0,05,Μεγάλο δείγμαX s n


0

1

: 14500

: 14500

0 14500 15000 500 1000020

500 500 500

20400

XS

s

n

Κριτική Τιμή: 0,05 1,65Z Z


Σε επίπεδο σημαντικότητας 0,05 , συμπεραίνουμε ότι οι μέσες αποδοχές των

εργατών στην Βιομηχανία, στατιστικά θα είναι σημαντικά μικρότερες από 14500€/έτος.

Επομένως, ο ισχυρισμός του συνδικάτου είναι βάσιμος.

4. Η διάρκεια ζωής των μπαταριών μάρκας Α ακολουθεί την Κανονική Κατανομή. Από

ένα τυχαίο δείγμα 25 μπαταριών, υπολογίστηκαν 40,5X h και 2,5s h .

Μια εταιρεία θέτει ως προδιαγραφή για την αγορά μπαταριών, η μέση διάρκεια ζωής

να είναι μεγαλύτερη των 40 h. Με βάση τα παραπάνω στοιχεία, να ελέγξετε αν η

εταιρεία πρέπει να προχωρήσει στην αγορά των μπαταριών.



Λύση

40,5, 2,5, 25 30 , 0,05Μικρό δείγμα, ανονική ΚατανομήX s n


0

1

: 40,5

: 40,5

0 40 40,5 0,51

2,5 2,5

525

XS

s

n


1 1 1,711S και η 0 ΔΕΝ ΑΠΟΡΡΙΠΤΕΤΑΙ

Σε επίπεδο σημαντικότητας 0,05 , συμπεραίνουμε η μέση διάρκεια ζωής των

μπαταριών μάρκας Α, στατιστικά ΔΕΝ είναι σημαντικά μεγαλύτερη από 40 h.

Επομένως, η εταιρεία δεν πρέπει να προχωρήσει στην αγορά τους.

5ο Μάθημα


74

5.4 Έλεγχοι Υποθέσεων για τη Διαφορά των Μέσων Τιμών Δύο Πληθυσμών

Πληθυσμοί Κανονικοί – Διασπορές Άγνωστες

Δείγματα Ανεξάρτητα και Μεγάλα (𝒏𝟏, 𝒏𝟐 ≥ 𝟑𝟎)

5.4.1 Αμφίπλευρος Έλεγχος


ΔΕΙΓΜΑ 1 ΔΕΙΓΜΑ 2

Μέγεθος δείγματος 1n Μέγεθος δείγματος 2n

Δειγματική Μέση Τιμή 1X Δειγματική Μέση Τιμή 2X

Δειγματική Διακύμανση 2

1s Δειγματική Διακύμανση 2

2s

Περιορισμοί: Και τα 2 δείγματα πρέπει να είναι μεγάλα, δηλαδή 1 2, 30n n , και

επιπλέον να υπάρχει Κανονικότητα των πληθυσμών προκειμένου να



0 : 1 2

1 : 1 2



Το στατιστικό του ελέγχου είναι το 1 2

2 2

1 2

1 2

X XS

s s

n n


H κριτική τιμή του ελέγχου είναι 2

aZ

Απόφαση

Αν 2

S Z τότε η Μηδενική Υπόθεση 0H απορρίπτεται και γίνεται δεκτή η

Εναλλακτική Υπόθεση 1H .








5.4.2 Μονόπλευροι Έλεγχοι Δεδομένα & Περιορισμοί Εφαρμογής του Ελέγχου

ΔΕΙΓΜΑ 1 ΔΕΙΓΜΑ 2

Μέγεθος δείγματος 1n Μέγεθος δείγματος 2n

Δειγματική Μέση Τιμή 1X Δειγματική Μέση Τιμή 2X

Δειγματική Διακύμανση 2

1s Δειγματική Διακύμανση 2

2s

Περιορισμοί: Και τα 2 δείγματα πρέπει να είναι μεγάλα, δηλαδή 1 2, 30n n , και

επιπλέον να υπάρχει Κανονικότητα των πληθυσμών προκειμένου να



0 : 1 2

1 : 1 2 ή

0 : 1 2

1 : 1 2



Το στατιστικό του ελέγχου είναι το 1 2

2 2

1 2

1 2

X XS

s s

n n


H κριτική τιμή του ελέγχου είναι Z

Απόφαση

Αν S Z τότε η Μηδενική Υπόθεση 0H απορρίπτεται και γίνεται δεκτή η

Εναλλακτική Υπόθεση 1H .






5ο Μάθημα


76


Διεξήχθη μία έρευνα για το εισόδημα των εργαζομένων στον Ιδιωτικό Τομέα στα μεγάλα

Αστικά Κέντρα και στην Επαρχία. Για το σκοπό αυτό πάρθηκαν δύο τυχαία δείγματα, και τα

αποτελέσματα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα.

ΔΕΙΓΜΑ 1 (Αστικά Κέντρα) ΔΕΙΓΜΑ 2 (Επαρχία)

1 50n 2 72n

1 750X 2 770X

2 2

1 10s 2 2

2 12s

Κατανομή: Κανονική Κατανομή: Κανονική

( α ) Είναι το μέσο εισόδημα των εργαζομένων του Ιδιωτικού Τομέα στα μεγάλα Αστικά

Κέντρα διαφορετικό από το εισόδημα των εργαζομένων του Ιδιωτικού Τομέα στην

Επαρχία;

( β ) Είναι το μέσο εισόδημα των εργαζομένων του Ιδιωτικού Τομέα στα μεγάλα Αστικά

Κέντρα μικρότερο από το εισόδημα των εργαζομένων του Ιδιωτικού Τομέα στην

Επαρχία;

Λύση

Όπως και στην περίπτωση των ελέγχων υποθέσεων για τον μέσο ενός πληθυσμού, η

μορφή της ερώτησης που θέτουμε καθορίζει την επιλογή του ζεύγους των υποθέσεων.

Έτσι, αν το ερώτημα έχει τη μορφή «Διαφέρει ο μέσος 𝝁𝟏 από τον μέσο 𝝁𝟐» επιλέγουμε

τον αμφίπλευρο έλεγχο.

Αν το ερώτημα έχει τη μορφή «Είναι ο μέσος 𝝁𝟏 μεγαλύτερος από τον μέσο 𝝁𝟐»

επιλέγουμε μονόπλευρο έλεγχο, με εναλλακτική 𝜢𝟏 : 𝝁𝟏 > 𝝁𝟐.

Αν το ερώτημα έχει τη μορφή «Είναι ο μέσος 𝝁𝟏 μικρότερος από τον μέσο 𝝁𝟐» επιλέγουμε

μονόπλευρο έλεγχο, με εναλλακτική 𝜢𝟏 : 𝝁𝟏 < 𝝁𝟐.


Από τα στοιχεία που δίνονται παραπάνω, παρατηρούμε ότι και τα δύο δείγματα είναι

μεγάλα και επίσης οι πληθυσμοί ακολουθούν την Κανονική Κατανομή. Επομένως,

μπορούμε να προχωρήσουν στη διαδικασία του Ελέγχου Υποθέσεων.

(α) Είναι το μέσο εισόδημα των εργαζομένων του Ιδιωτικού Τομέα στα μεγάλα Αστικά

Κέντρα διαφορετικό από το εισόδημα των εργαζομένων του Ιδιωτικού Τομέα στην

Επαρχία;




Επιλέγεται αμφίπλευρος έλεγχος και επίπεδο σημαντικότητας 𝛼 = 0,05

0 : 1 2

1 : 1 2


1 2

2 2 2 2

1 2

1 2

750 770 20 20 2010

100 144 2 2 410 12

50 7250 72

X XS

s s

n n


0,05 0,025

2 2

1,96aZ z Z

Απόφαση




Για επίπεδο σημαντικότητας 𝛼 = 0,05, συμπεραίνουμε ότι ο το μέσο εισόδημα των

εργαζομένων του Ιδιωτικού Τομέα στα Αστικά Κέντρα, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ, είναι ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ

διαφορετικό από το εισόδημα των εργαζομένων του Ιδιωτικού Τομέα στην Επαρχία.

( β ) Είναι το μέσο εισόδημα των εργαζομένων του Ιδιωτικού Τομέα στα μεγάλα Αστικά

Κέντρα μικρότερο από το εισόδημα των εργαζομένων του Ιδιωτικού Τομέα στην

Επαρχία;


Επιλέγεται μονόπλευρος έλεγχος με 𝛨1 : 𝜇1 < 𝜇2 και επίπεδο σημαντικότητας 𝛼 = 0,05

0 : 1 2

1 : 1 2


1 2

2 2 2 2

1 2

1 2

750 770 20 20 2010

100 144 2 2 410 12

50 7250 72

X XS

s s

n n

5ο Μάθημα


78


0,05 1,65aZ Z

Απόφαση




Για επίπεδο σημαντικότητας 𝛼 = 0,05, συμπεραίνουμε ότι ο το μέσο εισόδημα των

εργαζομένων του Ιδιωτικού Τομέα στα Αστικά Κέντρα, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ, είναι ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ

μικρότερο από το εισόδημα των εργαζομένων του Ιδιωτικού Τομέα στην Επαρχία.

Λυμένες Ασκήσεις

5. Σε μία μονάδα εμφιάλωσης νερού χρησιμοποιούνται δύο τύποι μηχανημάτων Α και Β.

Ο υπεύθυνος παραγωγής, προκειμένου να διαπιστώσει εάν η μέση περιεκτικότητα των

μπουκαλιών είναι διαφορετική για τους δύο τύπους μηχανημάτων, επέλεξε 2 τυχαία

δείγματα μεγέθους 40. Για τα μπουκάλια που συσκευάζονται από μηχάνημα τύπου Α

υπολογίστηκαν 1 1100X ml και 2 2 2

1 30s ml . Για τα μπουκάλια που συσκευάζονται

από μηχάνημα τύπου Β, υπολογίστηκαν 2 1000X ml και 2 2 2

2 10s ml . Σε επίπεδο

σημαντικότητας 𝛼 = 0,05, να ελέγξετε εάν η μέση περιεκτικότητα των μπουκαλιών

είναι διαφορετική για τους δύο τύπους μηχανημάτων, θεωρώντας Κανονική Κατανομή

και για τις 2 περιπτώσεις.

Λύση

Μηχάνημα Α Μηχάνημα Β

1 40 30n - Κανονική Κατανομή 1 40 30n - Κανονική Κατανομή

1 1100X 2 1000X

2 2

1 30s 2 2

2 10s

Θα εκτελέσουμε αμφίπλευρο έλεγχο υπόθεσης για τη σύγκριση των μέσων τιμών δύο

πληθυσμών

0 : 1 2

1 : 1 2

1 2

2 2 2 2

1 2

1 2

1100 1000 100 100 100 10020

5900 100 1000 2530 10

40 4040 40

X XS

s s

n n




0,025 1,96Z Z Z


Σε επίπεδο σημαντικότητας 0,05 , συμπεραίνουμε ότι η μέση περιεκτικότητα των

μπουκαλιών είναι διαφορετική για τους 2 τύπους μηχανημάτων.

6. Σε ένα ΚΕΠ υπάρχουν δύο θέσεις εξυπηρέτησης του κοινού, η θέση Α και η θέση Β.

Ο υπεύθυνος του ΚΕΠ, προκειμένου να διαπιστώσει εάν ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης

είναι διαφορετικός για τις δύο θέσεις, επέλεξε δύο τυχαία δείγματα μεγέθους 64. Για

τη θέση Α υπολογίστηκαν, 1 7 minX και 2 2

1 34s min . Για τη θέση Β,

υπολογίστηκαν 2 6 minX και 2 2

2 30s min . Με την προϋπόθεση της

Κανονικότητας και στις 2 περιπτώσεις, σε επίπεδο σημαντικότητας 𝛼 = 0,05, να

ελέγξετε εάν ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης του κοινού είναι διαφορετικός για τις

θέσεις Α και Β.

Λύση

Θέση Α Θέση Β


1 7X 2 6X 2

1 34s 2

2 30s

Θα εκτελέσουμε αμφίπλευρο έλεγχο υπόθεσης για τη σύγκριση των μέσων τιμών δύο

πληθυσμών

0 : 1 2

1 : 1 2

1 2

2 2

1 2

1 2

7 6 1 11

34 30 64 1

64 64 64

X XS

s s

n n


0,025 1,96Z Z Z

1 1 1,96S και η 0 ΔΕΝ απορρίπτεται.

Σε επίπεδο σημαντικότητας 0,05 , συμπεραίνουμε ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης

του κοινού, στατιστικά ΔΕΝ είναι σημαντικά διαφορετικός για τις θέσεις Α και Β.

5ο Μάθημα


80

7. Δύο ανεξάρτητα δείγματα μεγέθους 100 επιλέχτηκαν από άνδρες και γυναίκες ηλικίας

40 – 59 ετών για να συγκριθεί η επίδραση ενός υπνωτικού χαπιού στα δύο φύλα.

Καταγράφηκε ο αριθμός των ωρών, που κοιμήθηκαν τα επιμέρους άτομα μετά τη

λήψη του χαπιού και τα αποτελέσματα συνοψίζονται ως εξής:

Γυναίκες Άνδρες


1 7X 2 8X

2

1 7s 2

2 9s

Να εξεταστεί αν η μέση επίδραση του υπνωτικού χαπιού στις γυναίκες είναι μικρότερη

από ότι στους άνδρες. (Δίνεται 0,16 0,4 )

Λύση

Θα εκτελέσουμε μονόπλευρο έλεγχο υπόθεσης για τη σύγκριση των μέσων τιμών δύο

πληθυσμών

0 : 1 2

1 : 1 2

1 2

2 2

1 2

1 2

7 8 1 1 12,5

0,47 9 16 0,16

100 100 100

X XS

s s

n n

Κριτική Τιμή: 0,05 1,65Z Z Z

2,5 2,5 1,65S και η 0 απορρίπτεται.

Σε επίπεδο σημαντικότητας 0,05 , συμπεραίνουμε η μέση επίδραση του

υπνωτικού χαπιού στις γυναίκες στατιστικά είναι σημαντικά μικρότερη από ότι στους

άνδρες.



5.5 Λυμένες Ασκήσεις στα Διαστήματα Εμπιστοσύνης και τους Ελέγχους Υποθέσεων

8. Από ένα δείγμα 25 ποτιστικών μηχανημάτων που χρησιμοποιούνται στα πάρκα της

πόλης Α και επελέγησαν τυχαία για να μετρήσουμε τη διάρκεια λειτουργίας τους,

βρέθηκε 5 X έτη και 2 s έτη .

( α ) Ποιός ο πληθυσμός και ποιά η μεταβλητή που μελετούμε;

( β ) Με την προϋπόθεση ότι η διάρκεια λειτουργίας ακολουθεί την Κανονική

Κατανομή, να βρεθεί και να ερμηνευτεί το 95% διάστημα για τη μέση διάρκεια

λειτουργίας των παραπάνω ποτιστικών μηχανημάτων.

( γ ) Ο Δήμαρχος της πόλης ισχυρίζεται ότι τα μηχανήματα δεν είναι ανθεκτικά, καθώς

η μέση διάρκεια λειτουργίας τους φαίνεται να είναι μικρότερη από τα 6 έτη. Σε

επίπεδο σημαντικότητας 0,05 , να ελέγξετε τον ισχυρισμό του Δημάρχου.

Λύση

( α ) Μεταβλητή: Διάρκεια λειτουργίας (σε έτη)

Πληθυσμός: Τα ποτιστικά μηχανήματα στα πάρκα της πόλης Α.

( β ) 5, 2, 0,05, 25 30 Μικρό δείγμα - Κατανομή ΚανονικήX s n

0,052 2

0,025;24; 1 ;25 12,064

nt t t

Επομένως, το 95% δ.ε. του μέσου είναι

; 12

2 25 2,064 5 2,06

4,2, 5

4525

5 0,8256 5 0, 88 ,

an

st

n

Με πιθανότητα σφάλματος 0,05 , εκτιμούμε ότι η μέση διάρκεια λειτουργίας

των ποτιστικών μηχανημάτων στα πάρκα της πόλης Α βρίσκεται εντός των ορίων

4,2 έτη και 5,8 έτη.

( γ ) 5, 2, 0,05, 25 30 Μικρό δείγμα - Κατανομή ΚανονικήX s n


0

1

: 6

: 6

0 5 6 1 52,5

2 2 2

525

XS

s

n


2,5 2,5 1,711S και η 0 απορρίπτεται.

5ο Μάθημα


82

Σε επίπεδο σημαντικότητας 0,05 , συμπεραίνουμε ότι η μέση διάρκεια

λειτουργίας των ποτιστικών μηχανημάτων στα πάρκα της πόλης Α, στατιστικά, είναι

σημαντικά μικρότερη από τα 6 έτη.

Επομένως, ο ισχυρισμός του Δημάρχου είναι βάσιμος.

9. Από ένα δείγμα 16 μπουκαλιών εμφιαλωμένου νερού της μάρκας Α, που επελέγησαν

τυχαία για να μετρήσουμε τον όγκο του νερού, βρέθηκε 995 mlX και 2 s ml .


( β ) Με την προϋπόθεση ότι ο όγκος του νερού ακολουθεί την Κανονική Κατανομή, να

βρεθεί και να ερμηνευτεί το 95% διάστημα για το μέσο όγκο νερού των

μπουκαλιών της μάρκας Α.

( γ ) Ο υπεύθυνος προμηθειών ενός εστιατορίου αποφάσισε να μην αγοράσει

εμφιαλωμένα νερά της μάρκας Α καθώς, όπως ισχυρίζεται, ο μέσος όγκος είναι

μικρότερος από τα 1000 ml που αναγράφεται στην ετικέτα της συσκευασίας. Σε

επίπεδο σημαντικότητας 0,05 , να ελέγξετε τον ισχυρισμό του υπεύθυνου

προμηθειών.

Λύση

( α ) Μεταβλητή: Όγκος νερού (σε ml)

Πληθυσμός: Τα μπουκάλια της μάρκας Α.

( β ) 995, 2, 0,05, 16 30 Μικρό δείγμα - Κατανομή ΚανονικήX s n

0,052 2

0,025;15; 1 ;16 12,131

nt t t


; 12

2 2995 2,131 995 2,131

416

995 1,0655 995 1 994, 996

an

st

n

Με πιθανότητα σφάλματος 0,05 , εκτιμούμε ότι ο μέσος όγκος νερού των

μπουκαλιών της μάρκας Α βρίσκεται εντός των ορίων 994 ml και 996 ml.

( γ ) Θα εκτελέσουμε μονόπλευρο έλεγχο υπόθεσης για τη μέση τιμή ενός πληθυσμού.

0

1

: 1000

: 1000

0 995 1000 5 2010

2 2 2

416

XS

s

n



Κριτική Τιμή: 1; 16 1;0,05 16;0,05 1,753n at t t

10 10 1.753S και η 0 απορρίπτεται.

Σε επίπεδο σημαντικότητας 0,05 συμπεραίνουμε ότι o μέσος όγκος νερού στα

μπουκάλια της μάρκας Α, στατιστικά, είναι σημαντικά μικρότερος από τα 1000 ml.

Επομένως, ο ισχυρισμός του υπεύθυνου προμηθειών είναι βάσιμος.

10. Μια εταιρεία τηλεφωνικών πωλήσεων εξετάζει τον μέσο χρόνο εξυπηρέτησης των

πελατών της από τους πωλητές της. Από ένα δείγμα 36 πωλητών, βρέθηκε 4minX

και 1 mins .


( β ) Nα βρεθεί και να ερμηνευτεί το 95% διάστημα για το μέσο χρόνο εξυπηρέτησης

των πελατών.

( γ ) Ο υπεύθυνος του προσωπικού ισχυρίζεται ότι η εταιρεία έχει τους ταχύτερους

πωλητές, καθώς ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης των πελατών είναι μικρότερος των

5 min, που είναι ο συνηθισμένος μέσος χρόνος εξυπηρέτησης άλλων αντίστοιχων

εταιρειών. Σε επίπεδο σημαντικότητας 0,05 , να ελέγξετε τον ισχυρισμό του

υπεύθυνου.

Λύση

( α ) Μεταβλητή: Χρόνος Εξυπηρέτησης (σε min)

Πληθυσμός: Οι πωλητές της εταιρείας.

( β ) 4, 1, 0,05, 36 30 μεγάλο δείγμαX s n

0,05

20,025 1,96Z


2

1 14 1,96 4 1,96

636

4 30,33 ,67, 4,33

a

sZ

n

Με πιθανότητα σφάλματος 0,05 , εκτιμούμε ότι ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης

των πελατών βρίσκεται εντός των ορίων 3,67 min και 4,33 min


0

1

: 4

: 4

5ο Μάθημα


84

0 4 5 16

1 1

636

XS

s

n

Κριτική Τιμή: 0,05 1,65aZ Z

6 6 1.65S και η 0 απορρίπτεται.

Σε επίπεδο σημαντικότητας 0,05 συμπεραίνουμε ότι ο μέσος χρόνος

εξυπηρέτησης των πελατών, στατιστικά, είναι σημαντικά μικρότερος από τα 4 min.

Επομένως, ο ισχυρισμός του υπεύθυνου του προσωπικού είναι βάσιμος.

11. Η διάρκεια του δρομολογίου «Α – Β» του μετρό, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή.

Από ένα τυχαίο δείγμα 16 τέτοιων δρομολογίων βρέθηκε 51minX και 2mins .

( α ) Ποιά η μεταβλητή και ποιός ο πληθυσμός που μελετούμε;

( β ) Να υπολογιστεί και να ερμηνευτεί το 95% δ.ε. για τη μέση διάρκεια του

δρομολογίου «Α – Β» .

( γ ) Εάν η μέση διάρκεια του δρομολογίου υπερβεί τα 50min, ο συρμός του

μετρό που το εκτελεί πρέπει να αντικατασταθεί. Χρησιμοποιώντας τον

κατάλληλο έλεγχο υπόθεσης αποφασίσετε εάν η εταιρεία πρέπει να

προχωρήσει στην αντικατάσταση του συρμού. 0,05

Λύση

( α ) Μεταβλητή: Διάρκεια (σε min)

Πληθυσμός: Τα δρομολόγια Α – Β, του μετρό.

( β ) 51, 2, 0,05, 16 30 μικρό δείγμαX s n

0,052 2

0,025;15; 1 ;16 12,131 2,13

nt t t


2

2 251 2,13 51 2,13

416

51 1, 49,93, 52,0707

a

sZ

n

Με πιθανότητα σφάλματος 0,05 , εκτιμούμε ότι η μέση διάρκεια του

δρομολογίου Α – Β του μετρό, βρίσκεται εντός των ορίων 49,93 min και 52,07 min.


0

1

: 50

: 50



0 51 50 12

2 2

416

XS

s

n

Κριτική Τιμή: ; 1 ;16 1 0,05;15 1,713nt t t


Σε επίπεδο σημαντικότητας 0,05 συμπεραίνουμε ότι η μέση διάρκεια του

δρομολογίου Α – Β του μετρό, στατιστικά, είναι σημαντικά μεγαλύτερη από 50 min.

Επομένως, η εταιρεία πρέπει να προχωρήσει στην αντικατάσταση του συρμού.

12. Ο χρόνος διεκπεραίωσης τεχνικού ελέγχου σε ένα ΙΚΤΕΟ, ακολουθεί την Κανονική

Κατανομή. Από ένα τυχαίο δείγμα 25 τέτοιων ελέγχων βρέθηκε 47minX και

5mins

( α ) Ποιά η μεταβλητή και ποιός ο πληθυσμός που μελετούμε;

( β ) Να υπολογιστεί και να ερμηνευτεί το 95% δ.ε. για τη μέση διάρκεια του τεχνικού

ελέγχου στο ΙΚΤΕΟ .

( γ ) Αν η μέση διάρκεια του ελέγχου υπερβεί τα 45 min, τα μηχανήματα χρειάζονται

συντήρηση. Χρησιμοποιώντας τον κατάλληλο έλεγχο υπόθεσης αποφασίσετε εάν

το ΙΚΤΕΟ πρέπει να προχωρήσει στη συντήρηση των μηχανημάτων. 0.05

Λύση

( α ) Μεταβλητή: Χρόνος διεκπεραίωσης (σε min)

Πληθυσμός: Οι τεχνικοί έλεγχοι στο ΙΚΤΕΟ

( β ) 47, 5, 0,05, 25 30 μικρό δείγμα- Κανονική ΚατανομήX s n

0,052 2

0,025; 24; 1 ; 25 12,064 2,06

nt t t


2

5 547 2,06 47 2,06

525

47 2, 44,94, 49,0606

a

sZ

n

Με πιθανότητα σφάλματος 0,05 , εκτιμούμε ότι η μέση διάρκεια του χρόνου

διεκπεραίωσης των τεχνικών ελέγχων στο ΙΚΤΕΟ, βρίσκεται εντός των ορίων

44,94 min και 49,06 min.


0

1

: 45

: 45

5ο Μάθημα


86

0 47 45 22

5 5

525

XS

s

n

Κριτική Τιμή: ; 1 ;16 1 0,05;15 1,753nt t t


Σε επίπεδο σημαντικότητας 0,05 συμπεραίνουμε ότι η μέση διάρκεια του

χρόνου διεκπεραίωσης των τεχνικών ελέγχων στο ΙΚΤΕΟ, στατιστικά, είναι

σημαντικά μεγαλύτερη από 45 min.

Επομένως, το ΙΚΤΕΟ πρέπει να προχωρήσει στη συντήρηση των μηχανημάτων.

13. Από ένα δείγμα 100 τυχαία επιλεγμένων σημείων της ΒΙ.ΠΕ.Θ., υπολογίστηκαν ο

δειγματικός μέσος του πλήθους των αιωρούμενων σωματιδίων σε

1 109 σωματίδια/litX και η δειγματική τυπική απόκλιση σε

1 15 σωματίδια/lits

Παρόμοιες με τις παραπάνω μετρήσεις έγιναν και σε 100 τυχαία επιλεγμένα σημεία

των αγροτικών περιοχών του νομού Θεσσαλονίκης. Οι μετρήσεις έδωσαν, δειγματικό

μέσο 2 49 σωματίδια/litX και δειγματική τυπική απόκλιση 2 25σωματίδια/lits

Με την προϋπόθεση της Κανονικότητας και στις δύο περιπτώσεις, μπορούμε να

ισχυριστούμε ότι το μέσο πλήθος αιωρούμενων σωματιδίων στην ΒΙ.ΠΕ.Θ. είναι

μεγαλύτερο από ότι στις αγροτικές περιοχές του νομού; (Δίνεται 8,5 2,9 3 )

Λύση

ΒΙ.ΠΕΘ. Αγροτικές Περιοχές

1 100n - Κανονική Κατανομή 2 100n - Κανονική Κατανομή

1 109X 2 49X

2 2

1 15s 2 2

2 25s

Θα εκτελέσουμε μονόπλευρο υπόθεσης για τη σύγκριση των μέσων τιμών δύο πληθυσμών

0 : 1 2

1 : 1 2



1 2

2 2 2 2

1 2

1 2

109 49 60 60 60 6020

3225 625 850 8,515 25

100 100100 100

X XS

s s

n n

Κριτική Τιμή: 0,05 1,65Z Z


Σε επίπεδο σημαντικότητας 0,05 , συμπεραίνουμε ότι το μέσο πλήθος αιωρούμενων

σωματιδίων στη ΒΙ.ΠΕ.Θ, στατιστικά, είναι σημαντικά μεγαλύτερο από ότι στις αγροτικές

περιοχές.

5.6 Άλυτες Ασκήσεις στα Διαστήματα Εμπιστοσύνης και τους Ελέγχους Υποθέσεων

1. Σε ένα εργοστάσιο, από ένα δείγμα 25 εργατών βρέθηκε ότι ο χρόνος που κάνουν για

να ολοκληρώσουν μια συγκεκριμένη εργασία ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με

minX 30 και mins 2 2 23


( β ) Να βρεθεί και να ερμηνευτεί το 95% διάστημα για το μέσο χρόνο ολοκλήρωσης

της εργασίας.

( γ ) Σύμφωνα με τα πρότυπα, ο μέσος χρόνος ολοκλήρωσης της εργασίας είναι 27

min. Να ελέγξετε αν o μέσος χρόνος ολοκλήρωσης της εργασίας στο παραπάνω

εργοστάσιο υπερβαίνει τα πρότυπα.

2. Από ένα δείγμα 16 τυχαία επιλεγμένων μηχανών σε ένα εργοστάσιο, βρέθηκε ότι ο

μέσος χρόνος ολοκλήρωσης μιας συγκεκριμένης εργασίας ακολουθεί την Κανονική

Κατανομή και υπολογίστηκαν 27secX και 4secs .


( β ) Να βρεθεί και να ερμηνευτεί το 95% διάστημα για το μέσο χρόνο ολοκλήρωσης

της εργασίας.

( γ ) Ο ιδιοκτήτης γνωρίζει ότι θα πρέπει να προχωρήσει σε ανανέωση των μηχανών αν

ο μέσος χρόνος ολοκλήρωσης της εργασίας υπερβαίνει τα 25 sec. Να ελέγξετε αν

ο ιδιοκτήτης πρέπει να προχωρήσει στην ανανέωση των μηχανών.

3. Από ένα δείγμα 16 βιομηχανιών στην περιοχή της Αττικής βρέθηκε ότι η ημερήσια

κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με

KWhX 2000 και KWhs 500


( β ) Να βρεθεί και να ερμηνευτεί το 90% διάστημα για τη μέση ημερήσια κατανάλωση

ηλεκτρικής ενέργειας από τις βιομηχανίες στην Αττική.

( γ ) Η ΔΕΗ σχεδιάζει την εγκατάσταση μιας νέας μονάδας παραγωγής ηλεκτρικής

ενέργειας στην Αττική. Η μονάδα αυτή θα είναι συμφέρουσα μόνον αν η μέση

ημερήσια κατανάλωση ηλεκτρικής ενέργειας από τις βιομηχανίες υπερβαίνει τις

5ο Μάθημα


88

1950 KWh. Να ελέγξετε αν η εγκατάσταση μιας νέας μονάδας θα είναι

συμφέρουσα.

4. Ένας υποψήφιος επενδυτής θέλει να αποφασίσει για την ενοικίαση ενός περιπτέρου

σε ένα συγκεκριμένο πολυσύχναστο σημείο. Από παλαιότερη εμπειρία γνωρίζει ότι η

ενοικίαση θα είναι συμφέρουσα αν ο μέσος αριθμός των διερχομένων από το σημείο

είναι μεγαλύτερος από 20 το λεπτό. Επιλέγοντας τυχαία 36 διαφορετικά λεπτά, βρήκε

ότι ο αριθμός των διερχομένων ακολουθεί Κανονική Κατανομή και υπολογίστηκαν

22X άτομα/min και 6 άτομα/mins 5. Για επίπεδο σημαντικότητας 𝛼 = 0,05

να ελέγξετε αν η ενοικίαση του περιπτέρου είναι συμφέρουσα.

5. Ένας δάσκαλος, θέλησε να ελέγξει εάν ο μέσος χρόνος για την επίλυση ενός

συγκεκριμένου μαθηματικού προβλήματος είναι διαφορετικός για τα αγόρια και τα

κορίτσια. Επέλεξε τυχαία 100 αγόρια και 100 κορίτσια και μέτρησε το χρόνο (σε min)

που χρειάστηκαν για να λύσουν το πρόβλημα και πήρε τα παρακάτω αποτελέσματα.

Αγόρια Κορίτσια

1 36n - Κανονική Κατανομή 2 36n - Κανονική Κατανομή

1 16,3X 2 16,1X

2 2

1 2s 2 2

2 3s

Να διεξαχθεί ο κατάλληλος έλεγχος υποθέσεων, προκειμένου να διαπιστωθεί εάν ο

μέσος χρόνος επίλυσης του προβλήματος είναι διαφορετικός ανάμεσα στα αγόρια και

τα κορίτσια.

Documents

5 Μάθημα Έλεγʗοι ποθέσεʙν - Μαρίνα Σύρπη€¦ · 5o Μάθημα Έλεγʗοι ποθέσεʙν 5.1 Hο ... μετακίνησης των εργαζομένων