5. Punto vincolato - unibo.itAndamento del campo di forze elastiche. La forza corrispondente al potenziale Vǫ`e data da F vinc ǫ = − f ǫ gradf (5.2.5) Il limite f/ǫ`e indeterminato

5. Punto vincolato

I vincoli sono una restrizione di tipo geometrico al moto di un punto materiale e modificanole equazioni di Newton introducendovi le reazioni vincolari. Contrariamente ai campi diforza ordinari le reazioni vincolari dipendono dallo stato di moto e non sono note a priori;le restrizioni cui sono soggette emergono quando si realizzano i vincoli come limite di campidi forze elastiche. Il vincolo restringe il moto di un punto su una varieta, vale a dire suuna superficie o su una curva, che debbono essere parametrizzate attraverso coordinateindipendenti, dette lagrangiane. Le equazioni del moto in queste coordinate si ottengonoproiettando le equazioni di Newton sullo spazio tangente alla varieta e non contengono lareazione vincolare, che e normale alla varieta. Queste equazioni, introdotte da Lagrange,costituiscono il nuovo quadro formale della meccanica.

5.1. VINCOLI E REAZIONI VINCOLARI

Il moto di un punto o di un sistema di punti e descritto dalle equazioni di Newton se solole forze in gioco limitano le regioni accessibili nello spazio. Se queste sono o una superficieo una curva, si puo introdurre direttamente il vincolo geometrico che la definisce, anchesenza conoscere esattamente le forze che ne sono responsabili e che, in questo caso, vengonochiamate reazioni vincolari.

A titolo di esempio consideriamo una pallina che scorre senza attrito tra due lamine pianela cui distanza e uguale al suo diametro oppure una pallina all’estremo di un’asticellasottile ma rigida e di massa trascurabile il cui secondo estremo e imperniato in un punto,attorno al quale puo ruotare senza attrito. Il modello meccanico che si propone sara quellodi un punto materiale vincolato a muoversi su un piano e su una sfera rispettivamente. Se

124 5. Punto vincolato c©88-08- 9820

invece il moto del nostro punto materiale e limitato dalla presenza di una parete piana odi una sfera impenetrabile si introdurra un vincolo che limita il moto ad un semipiano oall’esterno di una sfera.I vincoli che limitano lo spazio delle configurazioni accessibile ad una varieta od un dominiodi R

3 di dicono olonomi. Se la condizione di vincolo e espressa da un’equazione nellecoordinate

f(x, y, z) = 0 (5.1.1)

oppure da due equazioni

f1(x, y, z) = 0, f2(x, y, z) = 0 (5.1.2)

con la condizione che grad f1 e grad f2 siano linearmente indipendenti, allora il vincolosi dice bilaterale. La equazione di vincolo (5.1.1) definisce una una superficie o varieta

dimensione 2, che puo essere compatta oppure no, vedi figura 5.1.1. Le equazioni (5.2.2)definiscono una curva o varieta di dimensione 1 come intersezione di due superfici, vedifigura 5.1.2.

Figura 5.1.1. Varieta M di dimensione 2 non compatta (lato sinistro), compatta (lato destro).

Se la condizione di vincolo e espressa da una disequazione

g(x, y, z) ≤ 0 (5.1.3)

il vincolo si dice unilaterale. La disequazione (5.1.3) definisce un dominio che ha comefrontiera la superficie di equazione g = 0; se la superficie e chiusa il dominio sara internoo esterno a seconda del segno della disuguaglianza. Combinando (5.1.1) e (5.1.3) oppure(5.1.2) e (5.1.3) si ottiene ancora un vincolo unilaterale olonomo costituito da una superficiecon bordo o da un arco di curva.I vincoli sulla velocita del punto, espressi da

f(x, y, z, x, y, z) = 0 (5.1.4)

si dicono anolonomi. Il vincolo tipico e quello lineare v · b(r) = 0; se b(r) · dr non e undifferenziale esatto il vincolo si dice propriamente anolonomo, mentre se b · dr = df(r)

c©88-08- 9820 5.2. Realizzazione di vincoli olonomi 125

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

f =0

f =02

1grad f

2

grad f1

Figura 5.1.2. Curva come intersezione di due superfici.

esso equivale ad una famiglia ad un parametro f(r) = c di vincoli olonomi dove c e fissatadalla condizione iniziale. Un vincolo si dice reonomo se dipende dal tempo, scleronomo see indipendente dal tempo. I vincoli senza attrito si dicono lisci, quelli con attrito scabri.Convenendo pero di inserire le forze di attrito tra forze attive assumeremo sempre che ivincoli siano lisci. In presenza di un vincolo bilaterale l’equazione del moto si scrive

mdv

dt= F + F vinc (5.1.5)

dove F e la forza attiva e F vinc la reazione vincolare. Le equazioni del moto, scritte conla sola forza attiva F, sarebbero incompatibili con la condizione di vincolo (5.5.1); se adesempio F e costante le traiettorie, soluzione di (5.1.5) con F vinc = 0 sono parabole enon appartengono alla varieta definita dal vincolo. Le tre funzioni F vinc

x , F vincy , F vinc

z

componenti del vettore F vinc sono a priori indeterminate e rendono le equazioni del motocompatibili con la (5.1.1). Quando il vincolo e unilaterale l’equazione del moto si scriveancora nella forma (5.1.5) con F vinc = 0 quando la particella si trova in un punto interno

al dominio D definito da (5.1.3) e F vinc 6= 0 quando si trova in un punto di confine cioesulla frontiera di D. Le reazioni vincolari dovute a vincoli unilaterali hanno percio uncarattere discontinuo.

5.2. REALIZZAZIONE DI VINCOLI OLONOMI

Una condizione di vincolo olonomo puo essere realizzata tramite di un campo di forzeelastiche nel limite di intensita infinita, corrispondente ad un dispositivo, che diventacompletamente rigido.

Vincoli bilaterali

Supponiamo per semplicita che le forze attive siano conservative e che il loro potenziale


sia inferiormente limitato; scegliamo il minimo uguale a zero

V (x, y, z) ≥ 0 (5.2.1)

Dato il vincolo bilaterale f(x, y, z) = 0, consideriamo un campo di forze elastiche, vedifigura 5.2.1, il cui potenziale Vǫ e definito da

Vǫ =1

2ǫf2(x, y, z) (5.2.2)

Questo campo limita il moto ad un intorno della superficie f = 0. Infatti se E > 0 el’energia del sistema, che manteniamo costante al variare dell’intensita del campo di forza,dalla sua conservazione

E = T + V +1

2ǫf2 (5.2.3)

e da (5.2.1) segue che il moto e confinato nella regione limitata dalla due superfici f =±(2ǫE)1/2. Infatti

f2 = 2ǫ(E − T − V ) ≤ 2ǫE =⇒ |f | ≤ (2ǫ E)1

2 (5.2.4)

Nel limite ǫ → 0 le due superfici tendono alla superficie f = 0 che e la quella su cui ilpunto e vincolato, come mostra la figura 5.2.2.

Figura 5.2.1. Andamento del campo di forze elastiche.

La forza corrispondente al potenziale Vǫ e data da

F vincǫ = −f

ǫgrad f (5.2.5)

Il limite f/ǫ e indeterminato per ǫ → 0 perche del tipo 0/0 ed il punto e animato da unmoto oscillatorio trasverso alla superficie f = 0, con una frequenza che cresce come ǫ−1/2.La direzione di F vinc in ogni punto e nota a priori mentre la sua intensita non lo e perchedipende dallo stato di moto. Quindi si scrive

F vinc = λ grad f (5.2.6)

c©88-08- 9820 5.2. Realizzazione di vincoli olonomi 127

E

f

εε ε1 2 3

Vε

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Figura 5.2.2. Potenziali Vǫ per vincoli bilaterali con ǫ1<ǫ2<ǫ3.

dove λ e e una funzione di t che puo essere valutata dopo aver determinato il moto delpunto sulla superficie.

Il vincolo che obbliga un punto a muoversi su una curva definita da (5.1.2) si realizzamediante il campo di forze elastiche il cui potenziale e

Vǫ(x, y, z) =1

2ǫf21 (x, y, z) +

1

2ǫf22 (x, y, z) (5.2.7)

In questo caso la reazione vincolare appartiene al piano normale alla curva ma la suadirezione e intensita non sono noti a priori.

F vinc = λ1 grad f1 + λ2 grad f2 (5.2.8)

Vincoli unilaterali

Se la condizione di vincolo e espressa da f(x, y, z) ≤ 0 accanto al campo delle forze ordinarieconsideriamo un campo conservativo di potenziale Vǫ definito da

Vǫ =

0 f < 0

12ǫf

2 f > 0(5.2.9)

E

f

εε ε1 2 3

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!V

ε

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Figura 5.2.3. Potenziali Vǫ per vincoli unilaterali con ǫ1<ǫ2<ǫ3.


Se E e l’energia totale, si trova che f ≤ (2ǫE)1

2 e nel limite ǫ→ 0, si realizza la condizioneimposta dal vincolo, come mostra la figura 5.2.3. La forza F vinc

ǫ corrispondente al poten-ziale Vǫ e data da (5.2.5) e risulta sempre diretta in verso opposto a grad f poiche f > 0.Nel limite ǫ→ 0 resta definita la direzione ed il verso di F vinc

ǫ

F vinc = λ grad f, λ < 0 (5.2.10)

5.3. COORDINATE LAGRANGIANE

Per i vincoli bilaterali olonomi si introducono coordinate indipendenti qi, dette lagrangiane,tramite una trasformazione r = ψ(q), che soddisfa identicamente le equazioni di vincolo.Una sola equazione di vincolo (5.1.1) definisce una superficie o varieta M (in inglesemanifold) di dimensione d = 2; se f e una funzione lineare M e una varieta lineare,cioe un piano. Quello che localmente distingue una superficie da un piano e la curvatura;una superficie e identificabile con il piano tangente nell’intorno infinitesimo di ogni punto,con il piano opportunamente deformato se l’intorno e finito. La corrispondenza tra piano esuperficie sancisce il cambiamento locale delle proprieta geometriche. La estensione globaledella corrispondenza non e possibile nel caso di una superficie chiusa; la sfera ad esempiosi puo deformare in un dominio piano soltanto se la priviamo di un punto o di suo intornoqualsiasi.Quando le equazioni di vincolo sono due (5.1.2), esse definiscono una curva, o varieta M didimensione d = 1; se f1, f2 sono lineari M e una retta. Una curva si identifica con la la rettatangente nell’intorno infinitesimo di un punto, con la retta opportunamente deformata inintorni finiti. La corrispondenza tra la curva e la retta ha carattere locale se la curva echiusa. Un cerchio e deformabile in un segmento solo se lo priviamo di un punto o di un suointorno (un elastico si trasforma in un segmento solo dopo averlo tagliato). Un segmento icui estremi siano identificati e deformabile in un cerchio del quale assume la topologia purmantenendo le proprieta geometriche (curvatura nulla) del segmento ordinario.Le coordinate lagrangiane si usano anche in assenza di equazioni di vincolo e sono coordi-nate curvilinee sulla varieta lineare M = R

3 di dimensione d = 3. Diamo per completezza,la nomenclatura essenziale per le varieta differenziabili.

Varieta differenziabili

Sia M una varieta di dimensione d ≤ 3 immersa in R3. Localmente M ha la stessa

topologia di una varieta lineare (il piano se d = 2, la retta se d = 1) se e definita unacorrispondenza biunivoca tra aperti A di M ed aperti A di R

d.

Carte. Dicesi carta ogni aperto A di Rd ove sia definita una applicazione ψ invertibile con

un aperto A di M, vedi figura 5.3.1

r = ψ(q)

q = ψ−1(r)

r ∈ A ⊂ M, q ∈ A ⊂ Rd (5.3.1)

c©88-08- 9820 5.3. Coordinate lagrangiane 129

Se una applicazione ψ e continua con inverso continuo viene chiamata omeomorfismo, see differenziabile con inverso differenziabile viene chiamata diffeomorfismo. Nel seguito leapplicazioni ψ e ψ−1 saranno di norma indicate con la notazione r = r(q) e q = q(r).

CCCCCC

BBBBBB

777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777

R

MP

Q

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

M

A

P

Q

A

R

2

Figura 5.3.1. Carta: A=ψ(A) per una varieta M di dimensione d=2 (in alto), d=1 (in basso).

Scelto un riferimento cartesiano in Rd il vettore q e identificato da d coordinate qi, che

vengono dette coordinate lagrangiane. La carta fornisce una rappresentazione locale dellavarieta attraverso una parametrizzazione, che soddisfa identicamente le equazioni di vin-colo fk(r(q)) ≡ 0. Le carte geografiche, che rappresentano sul piano regioni della sferaterrestre, sono un esempio significativo. Come per la sfera terrestre, per rappresentare unavarieta occorrono in genere piu carte tra loro compatibili, che diano cioe rappresentazioniequivalenti delle regioni comuni.

Carte compatibili. Siano dati gli aperti A ⊂ Rd e A′ ⊂ R

d e le applicazioni invertibili ψ eψ′. Se le immagini in M date dagli aperti A = ψ(A) e A′ = ψ′(A′) hanno intersezione nonvuota e se B, B′ sono le controimmagini di A∩A′, cioe ψ(B) = ψ′(B′) = A ∩A′ allora epossibile definire una applicazione biunivoca tra B e B′, vedi figura 5.3.2.

r = ψ(q) = ψ′(q′) ∈ A ∩A′, =⇒ q′ = ψ′−1(ψ(q)), q = ψ−1(ψ′(q′)) (5.3.2)

Se l’ applicazione ψ−1(ψ′) e differenziabile in B′ e ψ′−1(ψ) lo e in B, allora le due carte si

dicono compatibili.

Atlante. L’insieme delle carte compatibili forma un atlante. Per varieta quali superfici ecurve, definite da (5.1.1) e (5.1.2), che si dicono immerse in R

3, c’e un numero minimo


@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@AAA

AAA

CCCCCC

CCCCCCCCC

AAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAAP

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

@@@@@@@@@@@@@

@@@

777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777

@@@@@@@@@@AAA

AAA

777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAAAAA

A A’

A A’QQ’

@@@@@@

@@@@@@

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

M

ψ −1

ψ

ψ ’−1

ψ ’

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Figura 5.3.2. Carte compatibili.

di carte che formano un atlante: due per la sfera, quattro per il toro, due per il cerchio.Una varieta puo anche definirsi in modo astratto come classe di equivalenza di atlanti (dueatlanti sono equivalenti se loro unione e un atlante).

Spazio tangente, spazio normale

Data una superficie risulta definito in ogni suo punto un piano tangente ed una rettanormale; in ogni punto di una curva e definita una retta tangente ed un piano normale.In ogni punto di una varieta di dimensione d e definita una decomposizione di R

3 in unospazio tangente di dimensione d ed uno spazio normale di dimensione 3 − d. Indicheremocon TM lo spazio tangente, cioe la varieta lineare (piano o retta) tangente ad M nel puntoconsiderato e con NM lo spazio normale, cioe la varieta lineare ortogonale a TM, vedifigura 5.3.3. Una base nello spazio tangente e data da

∂r

∂qi, 1 ≤ i ≤ d (5.3.3)

Una base nello spazio normale e data da

grad fk, k ≤ 3 − d (5.3.4)

Se v e un vettore dello spazio tangente la sua rappresentazione nella base di TM e datada

v =d

∑

i=1

∂r

∂qiui (5.3.5)

c©88-08- 9820 5.3. Coordinate lagrangiane 131

e ui sono le sue componenti; se v rappresenta il vettore velocita allora ui prendono ilnome di velocita generalizzate. L’unione degli spazi tangenti in tutti i punti della varietae anch’essa una varieta differenziabile, che prende in nome di fibrato tangente ed ha di-mensione 2d. Anche il fibrato tangente e localmente in corrispondenza biunivoca con unavarieta lineare di dimensione 2d ed al vettore (r,v) del fibrato si associa un vettore di(q,u) ∈ R2d.

777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777

M

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

@@@@@@

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

M

!!!!!!!!!!!!!!!!

777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777

CCCCCC@@@@@@

BBBBBBBBB

MN

MT

P

BBBBBB

MNMT

P

Figura 5.3.3. Spazio normale NM e spazio tangente TM a una varieta M di dimensione d=2 (in alto),

d=1 (in basso).

Curva tracciata sulla varieta

Il problema del moto di un punto vincolato equivale geometricamente allo studio di curvetracciate sulla varieta. La legge del moto q = q(t) definisce sulla carta una curva lacui immagine r(q(t)) su M e la traiettoria del punto nello spazio delle configurazioni.La derivata di q(t) rispetto a t e la velocita generalizzata u, le cui componenti ui = qidefiniscono tramite (5.3.5) la velocita del punto vincolato v ∈ TM. L’accelerazione hacomponenti sia sul piano normale sia sul piano tangente

dv

dt=

d∑

i=1

ui∂r

∂qi+

d∑

i,j=1

∂2r

∂qi∂qjuiuj (5.3.6)

La proiezione delle equazioni del moto mdv/dt = F+F vinc sullo spazio tangente TM for-nisce un sistema di 2d equazioni differenziali del primo ordine in q,u (coordinate locali delfibrato tangente) la cui soluzione determina il moto del punto sulla varieta. La successivaproiezione sullo spazio normale NM permette di determinare la reazione vincolare.


5.4. LAVORI VIRTUALI

Le condizioni sulle reazioni vincolari ottenute nel precedente paragrafo 5.2 sono sintetizzatedal postulato dei lavori virtuali per le reazioni vincolari.

Definizione. Dicesi spostamento virtuale δr uno spostamento infinitesimo compatibilecon i vincoli, considerati fissi all’ istante t se essi dipendono dal tempo. Lo spostamento einvertibile se −δr e ancora uno spostamento virtuale, non invertibile altrimenti.Dicesi lavoro virtuale δW di una forza attiva F e lavoro virtuale δW vinc di una reazionevincolare F vinc per uno spostamento virtuale δr il corrispondente prodotto scalare

δW = F · δr, δW vinc = F vinc · δr (5.4.1)

Per i vincoli bilaterali gli spostamenti virtuali appartengono al piano tangente δr ∈ TM.Spostamenti non invertibili si hanno in presenza di vincoli unilaterali se si passa da un puntodi confine a uno interno. Per vincoli indipendenti da t gli spostamenti reali infinitesimisono spostamenti virtuali. Notiamo che se i vincoli dipendono dal tempo cio non e vero.Infatti da

δr =

d∑

i=1

∂r

∂qiδqi, vδt =

∑

i

∂r

∂qiqiδt+

∂r

∂tδt (5.4.2)

segue che δr = vδt solo se ∂r/∂t = 0 scelti qiδt = δqi; il vettore ∂r/∂t non appartiene aTM.

Postulato. Il lavoro virtuale δW vinc di una reazione vincolare e nullo per tutti i possibilispostamenti invertibili, positivo per spostamenti non invertibili.

Se il vincolo e bilaterale allora δr ∈ TM e la condizione δW vinc = 0 implica F vinc ∈ NM.Quindi se un punto e vincolato su una superficie, la reazione F vinc e diretta lungo la rettanormale, se il punto e vincolato su una curva F vinc appartiene al piano normale. Se ilpunto e vincolato all’interno di un dominio D la cui frontiera e una superficie chiusa M, inun punto interno lo spostamento δr e completamente arbitrario e quindi da δW vinc = 0segue F vinc = 0. Su M gli spostamenti invertibili appartengono al piano tangente e daδW vinc = 0 segue che F vinc e normale a M; infine spostamenti non invertibili δr sonoquelli che vanno da M a un punto interno e da δW vinc > 0 segue che F vinc e orientatocome la normale interna a M.

Dal postulato precedente segue una formulazione per le condizioni di equilibrio e di motodi un punto vincolato che non fa intervenire le reazioni vincolari: tutte le informazioni suivincoli sono contenute negli spostamenti virtuali.

Principio dei lavori virtuali. Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di unpunto e che il lavoro virtuale δW della forza attiva sia nullo per tutti i possibili spostamentiinvertibili, negativo per gli spostamenti non invertibili.

c©88-08- 9820 5.5. Equazioni del moto 133

δW = F · δr ≤ 0 (5.4.3))

Infatti, se un punto e in equilibrio si ha F + F vinc = 0 e δW = −δW vinc ≤ 0 segue dalpostulato. Dimostriamo la sufficienza della condizione solo per spostamenti invertibili eprocedendo per assurdo. Sia r0 un punto in cui δW e nullo. Supponiamo che a partire dallecondizioni iniziali a r(0) = r0, v(0) = 0 si abbia, in un intervallo di tempo infinitesimo δt,un moto incipiente che comporta uno spostamento δr dato da

δr = r(δt) − r(0) =1

2a(0)δt2 +O(δt3) (5.4.4)

Poiche δr e anche uno spostamento virtuale dal postulato dei lavori virtuali δW vinc = 0segue

δW = δW + δW vinc = (F + F vinc ) · δr = ma(0) · 1

2a(0)δt2 +O(δt3) > 0 (5.4.5)

Tale disuguaglianza e in contraddizione con l’ipotesi fatta.Il moto e riconducibile ad un equilibrio nel sistema solidale con il punto.

Principio di d’Alembert. Il moto di un punto vincolato e tale che il lavoro virtuale

della forza attiva e della forza d’inerzia −mdvdt

e nullo per tutti i possibili spostamentiinvertibili, negativo per gli spostamenti non invertibili

δW =

(

F−md2r

dt2

)

· δr ≤ 0 (5.4.6)

Infatti nel sistema solidale con il punto la condizione di equilibrio e espressa da

F −mdv

dt+ F vinc = 0 (5.4.7)

e la (5.4.6) e conseguenza del principio dei lavori virtuali.

5.5. EQUAZIONI DEL MOTO

Nel caso di vincoli bilaterali olonomi il punto si muove su di una varieta di dimensione dparametrizzata dalle coordinate lagrangiane. Si suppone che la varieta sia liscia e la suaparametrizzazione r = r(q) sia una funzione regolare (con derivata terza continua).

Punto non vincolato: d = 3

E data una applicazione invertibile r = r(q) da R3 a R

3. Per ogni punto di r ∈ R3 (in

cui la trasformazione non sia singolare) passano tre curve, immagini delle rette paralleleagli assi coordinati che passano nel punto corrispondente q ∈ R

3. Le tangenti ∂r/∂qi a


queste curve formano una base nello spazio tangente TM = R3 e le equazioni del moto

nelle coordinate qi si ottengono proiettando su questa base

mdv

dt· ∂r∂qi

= F · ∂r∂qi

i = 1, 2, 3 (5.5.1)

Punto vincolato su una superficie: d = 2

Se il punto e vincolato su di una superficie definita da (5.1.1) e con r = r(q1, q2) indichiamola sua rappresentazione parametrica, le equazioni del moto nelle coordinate indipendentiq si ottengono proiettando l’equazione (5.1.5) sullo spazio tangente TM. Infatti tenutoconto di (5.2.6) la (5.1.5) si scrive

mdv

dt= F + λ grad f(r) (5.5.2)

e insieme con (5.1.1) costituisce un sistema di quattro equazioni per le quattro variabilix(t), y(t), z(t) e λ(t). La proiezione elimina il contributo della reazione vincolare cheappartiene allo spazio normale e porta ad un sistema di due equazioni differenziali nelledue coordinate lagrangiane, q1, q2.

mdv

dt· ∂r∂qi

= F · ∂r∂qi

i = 1, 2 (5.5.3)

La traiettoria r = r(t) sulla varieta M e l’immagine della traiettoria q = q(t) sulla carta.Alla stessa equazione conduce principio di d’Alembert, con lo spostamento virtuale

δr =∂r

∂q1δq1 +

∂r

∂q2δq2 (5.5.4)

dove δq1, δq2 sono arbitrari e indipendenti tra loro.

Punto vincolato su una curva: d = 1

Nel caso di un punto vincolato su una curva definita da (5.1.2) con grad f1 e grad f2indipendenti, l’equazione del moto (5.1.5) tenuto conto di (5.2.8), si scrive

mdv

dt= F + λ1 grad f1(r) + λ2 grad f2(r) (5.5.5)

La (5.5.5), (5.1.2) costituiscono un sistema di cinque equazioni nelle cinque incognite x(t),y(t), z(t), λ1(t) e λ2(t). Introdotta una rappresentazione parametrica della curva r = r(q),che soddisfa identicamente le (5.1.2), la proiezione della equazione del moto elimina icontributi delle reazioni vincolari si scrive

md2v

dt2· ∂r∂q

= F · ∂r∂q

(5.5.6)

c©88-08- 9820 5.5. Equazioni del moto 135

Se si parametrizza la curva tramite la sua ascissa curvilinea e si scelgono i versori deltriedro principale τ e n,b come base sulla retta tangente e sul piano normale, detto ρ ilraggio di curvatura, vedi paragrafo 1.5, l’ equazione (5.1.5) diventa

ms = Fτ

ms2

ρ= Fn + F vinc

n

0 = Fb + F vincb

(5.5.7)

avendo posto F vinc = F vincn n + F vinc

b b. La prima equazione, equivalente a (5.5.6),determina il moto s = s(t), le altre due la reazione vincolare.

Equazioni di Lagrange

Introduciamo le componenti ui = qi della velocita v sulla base dello spazio tangente TM,vedi (5.3.5), e, per un vincolo indipendente da t, scriviamo la energia cinetica

T =m

2v · v =

1

2

d∑

j,k=1

Tijuiuj , (5.5.8)

dove Tij sono definiti da

Tij = m∂r

∂qi· ∂r∂qj

= mgij (5.5.9)

e gij sono i coefficienti della metrica sulla varieta M, vedi paragrafo 5.A. Le 2d coor-dinate (qi, ui) indipendenti nello spazio delle fasi, soddisfano un sistema di 2d equazionidifferenziali del primo ordine, che possono essere scritte nella forma

dqidt

= ui

d

dt

∂T

∂ui− ∂T

∂qi= Qi

(5.5.10)

dove Qi = F · ∂r/∂qi sono le componenti covarianti di F sulla base dello spazio tan-gente, dette anche forze generalizzate di Lagrange. La derivazione da (5.5.6) e basata sullaseguente identita

mdv

dt· ∂r∂qi

= md

dt

(

v · ∂r∂qi

)

− v · ddt

∂r

∂qi= m

d

dt

(

v · ∂v∂ui

)

−mv · ∂v∂qi

(5.5.11)

ove si e usata la dipendenza lineare di v da ui che implica ∂r/∂qi = ∂v/∂ui e la regolaritadelle funzioni che consente di scambiare le derivate d/dt con ∂/∂qi.In termini geometrici le equazioni (5.5.10) individuano una traiettoria sulla carta localedel fibrato tangente T M ove (qi, ui) sono le coordinate.


Le equazioni del moto possono essere scritte come un sistema di d equazioni differenzialidel secondo ordine nelle qi. Convenendo di considerare qi e qi come indipendenti questeequazioni, note come equazioni di Lagrange, assumono la forma

d

dt

∂T

∂qi− ∂T

∂qi= Qi (5.5.12)

Vincoli unilaterali

In presenza di vincoli unilaterali del tipo f(x, y, z) ≤ 0 il problema del moto si divide indue problemi distinti a seconda che la traiettoria appartenga all’interno del dominio Do alla sua frontiera M. Nei punti interni la reazione vincolare e nulla e quindi (x, y, z)sono coordinate indipendenti. Se il punto iniziale r(0) e un punto interno di D, allora sirisolve il problema di Cauchy determinando la traiettoria fino all’istante t∗ in cui avvieneil contatto con la frontiera r(t∗) ∈ M. Consideriamo dapprima il contatto non tangenzialev(t∗) 6∈ TM. Nei biliardi (domini del piano in cui il punto si muove non soggetto a forzeattive) con frontiera convessa, questo e l’unico possibile poiche le traiettorie sono rettilinee.Il contatto con la frontiera e un urto, per il quale vale la legge della riflessione. La reazionevincolare agisce infatti come una forza impulsiva diretta lungo la normale; pertanto puoalterare solo la componente normale della velocita

v(t∗ +0)−v(t∗ − 0) =1

mlimǫ→0

∫ t∗+ǫ

t∗−ǫ

[F vinc (t)+F(t)]dt =1

mlimǫ→0

∫ t∗+ǫ

t∗−ǫ

F vinc (t)dt =I

mn

(5.5.13)dove n e la normale interna, I l’impulso della reazione. Le forze attive sono non singolaried il loro impulso in un intervallo di tempo 2ǫ per ǫ → 0 e nullo. Pertanto la compo-nente tangenziale della velocita e continua mentre la sua componente normale cambia disegno vn(t∗ + 0) = −vn(t∗ − 0). Infatti la norma di v e continua come conseguenza dellaconservazione dell’energia se le forze sono conservative poiche r(t) e continua

T (t∗ + 0) = E − V (r(t∗ + 0)) = E − V (r(t∗ − 0)) = T (t∗ − 0) (5.5.14)

Se il contatto e tangenziale allora, il moto avviene sulla frontiera ed obbedisce alle equazionidi Lagrange nelle coordinate q che parametrizzano la frontiera. Il punto puo tuttaviaabbandonare la frontiera; il distacco avviene nell’istante in cui la reazione del vincolo siannulla. Se il punto si muove in un dominio D del piano, detta s l’ascissa curvilineasulla frontiera di D, la prima equazione (5.5.7) determina il moto, la seconda la reazionevincolare. Se D e il piano privato di un dominio convesso con normale interna n, la reazionevincolare sulla frontiera di D e data da F vinc = −F vinc n, dove F vinc ≥ 0. La condizionedi distacco F vinc

n = 0 ha una forma semplice se la forza F e conservativa con potenzialeV e si scrive

F vinc = Fn −mv2

ρ= Fn − 2

ρ[E − V (s)] = 0 (5.5.15)

c©88-08- 9820 5.6. Pendolo ed altri esempi 137

5.6. PENDOLO ED ALTRI ESEMPI

Se un punto e vincolato su una curva parametrizzata con l’ascissa curvilinea, le equazionidel moto proiettate sulla terna intrinseca sono date da (5.5.7). La prima equazione coincidecon quella di Lagrange e fornisce la legge del moto; infatti T = ms2/2 e Q = F·∂r/∂s = Fτ .Come applicazione consideriamo un punto soggetto a forza peso ed a forza dissipativaF = −mgj − β0v, vincolato su una circonferenza x2 + y2 −R2 = 0 nel nel piano verticalexy, vedi figura 5.6.1. Detta s = Rφ l’ascissa curvilinea misurata rispetto al punto diminima altezza con verso positivo antiorario, si ha r(s) = R sin(s/R) i − R cos(s/R) j. Laforza generalizzata di Lagrange e

Q = F · ∂r∂s

= −mg sins

R− β0s (5.6.1)

da cui segue che

ms = −mg sins

R− β0s (5.6.2)

oppure usando la variabile angolare φ = s/R

φ+ ω2 sinφ+ βφ = 0, ω2 =g

R, β =

β0

m(5.6.3)

Per determinare il valore della reazione vincolare F vinc = F vinc n si considera la secondadelle equazioni (5.5.7) che fornisce F vinc = mg cosφ+mrφ2; quindi la reazione del vincolobilancia la componente normale della forza peso e la forza centrifuga.

!!!!!!!!!

x

φ

y

Figura 5.6.1. Pendolo.


Anche i sistemi vincolati soggetti a forze conservative hanno come integrale primo l’energiaH = T + V . A tal fine e sufficiente osservare che F vinc · v = 0 poiche v ∈ TM e quindimoltiplicando per scalarmente per v la (5.1.5) si trova dT/dt = F ·v = −dV/dt. La energiaH si esprime come funzione delle coordinate lagrangiane che parametrizzano M e dellevelocita generalizzate. Nel caso del pendolo si trova H = 1

2ms2 −mg cos(s/R)

Vincoli unilaterali

Come primo esempio consideriamo un punto P appoggiato sul bordo di un disco verticale,di centro O e raggio R (condizione di vincolo x2 + y2 ≥ R2), inizialmente fermo in unpunto arbitrariamente vicino al punto N di massima altezza, vedi figura 5.6.2. Detto φl’angolo formato dalle semirette ON e OP le equazioni del moto proiettate sulla tangentee sulla normale (interna) alla circonferenza sono

mRφ = mg sinφ

mRφ2 = mg cosφ− F vinc

(5.6.4)

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

φ

P

x

N

Fvincy

P *

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Figura 5.6.2. Distacco da un disco.

La prima equazione ha un integrale primo che si valuta con la condizione iniziale φ(0) =0, φ(0) = ǫ

m

2Rφ2 +mg cosφ = mg cos ǫ (5.6.5)

e sostituendo nella seconda delle (5.6.4) si ottiene

F vinc = mg(3 cosφ− 2 cos ǫ) (5.6.6)

da cui la condizione di distacco F vinc = 0 si ha per φ =arc cos(2/3) nel limite ǫ→ 0.

c©88-08- 9820 5.6. Pendolo ed altri esempi 139

Un secondo esempio e costituito dai biliardi: si consideri una particella non soggetta a forzeche si muove all’interno di un dominio convesso nel piano z = 0 definito dalla equazionef(x, y) ≤ 0. La traiettoria sara formata da segmenti rettilinei con estremi sulla frontiera.Nel caso del bigliardo circolare, vedi figura 5.6.3, detta s e l’ascissa curvilinea sulla frontiera,la traiettoria e definita dalla successione (sn, αn) dove sn e l’ascissa dell’i-esimo contattocon la frontiera e αn l’angolo formato con la normale, dove

{

sn = sn−1 +R(π − 2αn−1)αn = αn−1

(5.6.7)

La condizione perche l’orbita sia chiusa e costituita da una poligonale con n lati e cheesista un intero k tale che sn = s0 + k 2πR e tenendo conto che da (5.6.7) segue sn =s0 + n(π − 2α0)R si ha

α0 = π

(

1

2− k

n

)

(5.6.8)

Se α0/(2π) e irrazionale i punti di contatto sono densi sul cerchio e l’orbita e densa su diun anello di raggi R e R sinα0.

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

α

@@@@@@

@@@@@@

@@@@@@

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

απ -2

α

Figura 5.6.3. Biliardo.


5.A. GEOMETRIA DELLE SUPERFICI

Consideriamo una superficie M parametrizzata da

r = r(q1, q2) (5.A.1)

Con i vettori di base ∂r/∂qi, i = 1, 2 dello spazio tangente TM costruiamo la matricemetrica

G =

(

g11 g12g12 g22

)

, gij =∂r

∂qi· ∂r∂qj

(5.A.2)

e un vettore unitario m ∈ NM come prodotto vettoriale tra i due vettori di base in TM.

Con l’identita vettoriale ‖a×b‖2 = ‖a‖2 ‖b‖2−(a·b)2 si verifica che∥

∥

∥

∂r∂q1

× ∂r∂q2

∥

∥

∥

2

= detG

e quindi il versore normale m e dato da

m =

∂r

∂q1× ∂r

∂q2√detG

(5.A.3)

La trasformazione e invertibile in tutti i punti ove la matrice G e non singolare. Infatti sedetG 6= 0 i due vettori di base non sono allineati; il loro prodotto vettoriale ha almeno unacomponente non nulla, che coincide con uno dei minori della matrice 2 × 3 che ha comerighe le loro componenti. Se ad esempio la terza componente e non nulla ∂x

∂q1

∂y∂q2

− ∂x∂q2

∂y∂q1

allora la trasformazione x = x(q1, q2), y = y(q1, q2) localmente e invertibile.

CCCCCC

7777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777

Q

R

2

@@@@@@

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

MPb

Qa

b

aP

Figura 5.A.1. Curve tracciate sulla carta e su M.

Le famiglie di rette ortogonali q1 = c1, q2 = c2 nel piano hanno come immagine famigliedi curve tracciate sulla superficie, vedi figura 5.A.2. Ai vettori infinitesimi ortogonali

c©88-08- 9820 5.A. Geometria delle superfici 141

dq1e1, dq2e2 nel piano corrispondono i vettori infinitesimi ∂r∂q1

dq1,∂r∂q2

dq2 sulla superficie

ed all’elemento d’arco√

dq21 + dq22 e di superficie orientata dq1dq2e3 corrispondono sullasuperficie l’elemento d’arco

ds =√

g11dq21 + g22dq22 + 2g12dq1dq2 (5.A.4)

e l’elemento di superficie orientata definita dal vettore dS, vedi figura 5.A.2.

dS =∂r

∂q1dq1 ×

∂r

∂q2dq2 = m

√

g11g22 − g212 dq1dq2 (5.A.5)

CCCCCC

7777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777

R

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

BBBBBB

BBBBBB

M

BBBBBBBBBBBBBBB

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

r

q1

r

q2

@@@@@@@@@

@@@@@@@@@

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

grad f

!!!!!!!!!!!!!!!!

e 2

e1

2

dq1

dq1

dq2

dq2

3e

Figura 5.A.2. Elemento di linea e di superficie.

Prima e seconda forma fondamentale

Consideriamo una curva tracciata sulla carta, di equazione parametrica q = q(t), e siar(q(t)) la sua immagine sulla superficie. La derivata di r rispetto a t e un vettore tangentealla curva espresso da (5.3.5) mentre la sua derivata seconda e data da (5.3.6). Detta sl’ascissa curvilinea la velocita ed accelerazione son date (1.5.14) e (1.5.15) che richiamiamo

v = sτ ,dv

dt= sτ +

s2

ρn (5.A.6)


dove τ ∈ TM mentre n ha componenti sia su TM sia su NM. La proiezione dellaaccelerazione (5.3.6) sullo spazio tangente e data da

∂r

∂qi· dvdt

=2

∑

j=1

gij uj +1

2

2∑

j,k=1

{

∂gik∂qj

+∂gij∂qk

− ∂gjk∂qi

}

ujuk (5.A.7)

dove i termini tra parentesi graffa prendono il nome di simbolo di Christoffel.

Per provare la (5.A.7) usiamo dapprima la seguente identita

∑

j,k

∂r

∂qi· ∂2

r

∂qk∂qjujuk=

∑

j,k

∂∂qk

(

∂r

∂qi· ∂r

∂qj

)

ujuk−∑

j,k

(

∂∂qk

∂r

∂qi

)

· ∂r

∂qjujuk

Sfruttando la regolarita di r(q1,q2) che consente di scambiare l’ordine delle derivate seconde e scambiando

successivamente tra loro gli indici di somma j,k la seconda sommatoria diventa

∑

j,k

(

∂∂qi

∂r

∂qk

)

· ∂r

∂qjujuk= 1

2

∑

j,k

(

∂∂qi

∂r

∂qk

)

· ∂r

∂qjujuk+ 1

2

∑

j,k

(

∂∂qi

∂r

∂qj

)

· ∂r

∂qkujuk= 1

2

∑

jk

∂gjk∂qi

ujuk

Scambiando ancora gli indici jk nella prima sommatoria si ottiene infine la (5.A.7).

La proiezione sullo spazio normale e data da

m · dvdt

=

2∑

j,k=1

m · ∂2r

∂qj∂qkujuk ≡

2∑

j,k=1

hjkujuk (5.A.8)

dove hjk sono i coefficienti di una matrice simmetrica (G e definita positiva mentre H ingenere non lo e).

H =

(

h11 h12

h12 h22

)

, hjk = m · ∂2r

∂qj∂qk= −∂m

∂qj· ∂r∂qk

(5.A.9)

L’ultima relazione si verifica derivando rispetto a qj il prodotto scalare tra i due vettoriortogonali m e ∂r/∂qk.Il quadrato della velocita e espresso da una forma quadratica, detta prima forma fonda-

mentale di Gauss, la cui matrice dei coefficienti e G; la proiezione della accelerazione sullanormale m a M e una forma quadratica, detta seconda forma fondamentale, la cui matricedei coefficienti e H.

s2 = v · v = u · Gu, m · dvdt

= u · Hu (5.A.10)

Moltiplicando la (5.A.6) scalarmente per m ed usando (5.A.10), il rapporto tra m · ned il raggio di curvatura ρ risulta uguale al rapporto tra la seconda e la prima formafondamentale.

m · nρ

=u · Hu

u · Gu(5.A.11)

c©88-08- 9820 5.A. Geometria delle superfici 143

Indicando con φ l’angolo tra m e n, consideriamo una famiglia di curve che abbiano lastessa tangente τ e quindi stesso u ma normale n variabile. La curvatura della curva, lacui normale n ha la stessa direzione di m, si chiama curvatura principale ed il piano (τ ,m)si chiama sezione principale. Per ogni famiglia di curve con la stessa tangente (stesso u)n·m/ρ ha sempre lo stesso valore che indichiamo con ±R−1 dove R e la curvatura principale(il segno e legato al verso n = ±m della normale sulla sezione principale). Detto φ l’angolotra n e m da (5.A.11) segue la relazione tra la curvatura ρ e la curvatura principale

ρ = R cosφ (5.A.12)

nota come teorema di Menusier, il cui significato geometrico e illustrato, nel caso di unasfera, dalla figura 5.A.3.

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCρ

R

φ

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

m

n

Figura 5.A.3. Curvatura ρ=R cosφ.

Curvature principali

Consideriamo come varia la curvatura della sezione normale quando varia la tangente dellafamiglia di curve tracciate per il punto considerato. Abbiamo cosı

1

R=

u · Hu

u · Gu=

G1/2u · (G−1/2HG−1/2) G1/2u

G1/2u · G1/2u(5.A.13)

Quindi se con S indichiamo la matrice ortogonale che diagonalizza G1/2HG1/2 e poniamoG1/2HG1/2 = SΛS, si ha

1

R= w · Λw, w = S

G1/2u

‖G1/2u‖ , (5.A.14)

Se indichiamo con 1/R1 e 1/R2 gli autovalori di Λ e notiamo che ‖w‖ = 1 poiche S eortogonale, allora possiamo scrivere w = (cos θ, sin θ) e quindi

1

R=

cos2 θ

R1+

sin2 θ

R2(5.A.15)


Il vettore |R|1/2w, le cui componenti sono (|R|1/2 cos θ, |R|1/2 sin θ), appartiene ad unaconica, detta indicatrice di Dupin. Si distinguono tre casi: i) ellittico se detH > 0 e quindiR1, R2 hanno segno uguale, ii) iperbolico se detH < 0 e quindi R1, R2 hanno segni oppostiiii) parabolico se detH = 0.

Gli invarianti per la matrice G−1/2HG−1/2 sono la traccia ed il determinante. La curvaturadi Gauss R1R2 e definita da

1

R1R2= detG

−1/2HG

−1/2 =detH

det G=h11h22 − h2

12

g11g22 − g212

(5.A.16)

e la curvatura media

1

2

(

1

R1+

1

R2

)

=1

2Tr (G−1/2

HG−1/2) =

1

2Tr (G−1

H) =1

2

g22h11 + g11h22 − 2g12h12

g11g22 − g212

(5.A.17)

Una famiglia di superfici vicine ad una superficie data e rappresentata da r′=r(q1,q2)+ν(q1,q2)m(q1,q2) ove

ν e infinitesimo. Usando l’identita vettoriale (a×b)2=‖a‖2 ‖b‖2−(a·b)2, al primo ordine in ν si ottiene

‖ ∂r′

∂q1× ∂r

′

∂q2‖2=(g11−2νh11)(g22−2νh22)−(g12−2νh12)

2 da cui segue dS′=dS[1−νTr (G−1

H)] La differenza di

area si ottiene integrando

S′−S=−∫

ν(

1

R1+ 1

R2

)

dS

Una conseguenza e che la superficie con bordo assegnato che ha area minima e quella con curvatura media

nulla (teorema di Plateau). Infatti se una superficie ha area minima S e curvatura non nulla in una data

regione scegliendo ivi ν dello stesso segno si avrebbe S′<S.

Geodetiche

Si dice geodetica una curva la cui normale coincida in ogni punto con la normale allasuperficie cioe per cui si abbia n = m.

La traiettorie che un punto non soggetto a forze descrive su una superficie cui e vincolatosono geodetiche. Infatti la equazione del moto si scrive

msτ +ms2

ρn = F vinc m (5.A.18)

ed e immediato provare che n = m. Infatti poiche entrambi sono ortogonali a τ ne segueche s = 0 e quindi

n = m, F vinc = ms2

ρ(5.A.19)

Allora s risulta proporzionale a t e l’equazione per la geodetica si scrive annullandol’accelerazione tangenziale le cui componenti sulla base in TM sono date da (5.A.7).

c©88-08- 9820 5.B. Varieta rilevanti 145

5.B. VARIETA RILEVANTI

Come applicazione delle considerazioni generali fatte in precedenza descriviamo alcune trale varieta che si incontrano piu comunemente nei problemi di meccanica.

Circonferenza

E l’ intersezione del cilindro x2 + y2 = R2 con il piano z = 0, ortogonale al suo asse.Scegliendo come parametro l’angolo φ, misurato nel verso antiorario a partire dal punto(0, R) si ha la seguente rappresentazione

{

x = R cosφy = R sinφ

(5.B.1)

L’immagine dell’intervallo [0, 2π] e l’intera circonferenza, ma i punti φ = 0, 2π hanno lastessa immagine (R, 0).

A

A AA A

A A

Fa 5.B.1. Equivalenza topologica tra il toro T ed il cerchio.

La trasformazione e differenziabile e la sua inversa e data da

φ =

arc cos xR y ≥ 0

2π − arc cos xR y < 0(5.B.2)

La trasformazione e biunivoca e continua solo se si identificano gli estremi dell’intervallo0, 2π su cui φ e definita. Il segmento [0, 2π] con gli estremi identificati e il toro unidi-mensionale T

1, topologicamente equivalente alla circonferenza, cui si riconduce per defor-mazione continua, come mostra la fa (5.B.1). Il toro T

1 e ugualmente definito come la rettareale, ove si identifichino i punti traslati di multipli interi di 2π, e si scrive T

1 = R \ (2πZ).Quando l’angolo varia sulla retta reale, il punto corrispondente sul toro T

1 e dato daφ − 2πn, dove n e la parte intera di φ/(2π). L’intero n indica in numero intero di volteche la circonferenza e percorsa nel passare dall’origine ad un dato punto. Se φ ∈ T

1

l’applicazione inversa e continua ma non differenziabile nei punti x = ±R, y = 0 comemostra la (5.B.2). poiche dφ/dx = −(R2 − x2)−1/2 se y > 0 e dφ/dx = (R2 − x2)−1/2 sey < 0. Il passaggio da T

1 a R, detto sollevamento, non altera le variabili dinamiche, chesono funzioni periodiche di φ con periodo 2π.


!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!

x

y

φ

x

φ

π2

π

RR− 0

y>0

y<0

Figura 5.B.2. Grafico di φ=φ(x).

Proiezione stereografica Una rappresentazione differenziabile della circonferenza necessitadi almeno due carte. Consideriamo la proiezione stereografica, che consiste nel proiettareun punto P da punti diametralmente opposti N,S, detti poli, sulle rette tangenti in N,Srispettivamente.La trasformazione r = r(q), che definisce la prima carta, si scrive notando che tra gliangoli φ e α, definiti in figura 5.B.3, intercorre la relazione φ = π/2 − 2α e che cosα =q(q2 + 4R2)−1/2, sinα = 2R(q2 +R2)−1/2

x = R cosφ = R sin(2α) = R4qR

q2 + 4R2, y = R sinφ = R cos(2α) = R

q2 − 4R2

q2 + 4R2,

(5.B.3)In modo analogo la trasformazione r = r(q′), che definisce la seconda carta, si ottienenotando che nella seconda figura 5.B.4 φ = 2α− π/2

x = R4q′R

q′2 + 4R2, y = R

4R2 − q′2

q′2 + 4R2, (5.B.4)

Le trasformazioni inverse

q = 2Rx

R− y, q′ = 2R

x

R+ y(5.B.5)

seguono dalla similitudine dei triangoli QNS, PNA e dei triangoli Q′SN, PSA della primae seconda figura 5.B.4. Da (5.B.5) segue la relazione qq′ = 4R2 che prova la compatibilitadelle due carte.

β βφ

α

S Q

P

β

α

βφ

S

Q’

P

N N

O O

Figura 5.B.3. Proiezione stereografica per una circonferenza.


S Q

P

S

Q’

O O

N

P

N

A A’

Figura 5.B.4. Trasformazione inversa.

Il cilindro

Questa superficie e data da x2+y2 = R2 e viene parametrizzata da r = R cosφi+R sinφj+zk dove q1 = φ, q2 = z. Per la normale m e le due matrici G,H si trova

m =

cosφsinφ

0

, G =

(

R2 00 1

)

, H =

(

−R 00 0

)

(5.B.6)

sicche i raggi principali sono R1 = −R, R2 = ∞ e tutti i punti sono parabolici. Laparametrizzazione data e un omeomorfismo con T

1×R. Un diffeomorfismo richiede almenodue carte.

La sfera

La sfera definita dalla equazione x2 + y2 + z2 = R2 ammette la seguente rappresentazioneparametrica con q1 = θ, q2 = φ

{

x = R sin θ cosφy = R sin θ sinφz = R cos θ

(5.B.7)

con 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π. Il calcolo del vettore m e delle matrici G,H fornisce

m =

sin θ cosφsin θ sinφ

cos θ

, G = R2

(

1 00 sin2 θ

)

, H = −R(

1 00 sin2 θ

)

(5.B.8)

Da G−1H = −R−1I segue che dunque tutti i punti sono ellittici con curvatura R; il segno− si ha perche m = R−1r = −n. Da detG = R4 sin2 θ, segue che la trasformazione enon invertibile per θ = 0, π. Identificando φ = 0 e φ = 2π si trasforma il rettangolo[0, 2π]× [0, π] in un cilindro, ma per ottenere la sfera occorre ridurre ad un punto ciascunadelle due basi, vedi figura 5.B.5.


BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

A

A

BB

A

B

Figura 5.B.5. Deformazione di [0,2π]×[0,π] nella sfera.

Una rappresentazione regolare della sfera necessita di due carte come quelle fornite dallaproiezione stereografica da due poli sui rispettivi piani tangenti.

Toro

Il toro si ottiene facendo ruotare una circonferenza attorno ad un asse del piano cui ap-partiene. Se (R, 0, 0) e il centro della circonferenza di raggio r < R ruotandola attornoall’asse z si genera un toro la cui equazione e

(

√

x2 + y2 −R)2

+ z2 = r2 (5.B.9)

Consideriamo il piano x′z ottenuto ruotando il piano xz attorno all’asse z di un angoloφ. Sia P un punto sulla circonferenza di centro C e raggio r in cui il piano x′z intersecail toro e θ l’angolo poloidale, che la semiretta CP forma con l’asse x′, vedi figura 5.B.6.Da z = r sin θ, x′ = R + r cos θ, tenendo conto che x = x′ cosφ, y = x′ sinφ si ottiene laseguente rappresentazione parametrica con q1 = θ, q2 = φ

{

x = (R+ r cos θ) cosφy = (R+ r cos θ) sinφz = r sin θ

(5.B.10)

dove φ ∈ [0, 2π], θ ∈ [0, 2π]. Il calcolo di m,G,H fornisce

m = −

cos θ cosφcos θ sinφ

sin θ

, G =

(

r2 00 (R+ r cos θ)2

)

, H =

(

r 00 (R+ r cos θ) cos θ

)

(5.B.11)


BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB y

z

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

parametrizzazionedel toro

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

φ

x

θ

x’

Figura 5.B.6. Parametrizzazione del toro.

E le due curvature principali sono r e r+R/ cos θ. Essendo detG = r2(R+ r sin θ)2 > 0, latrasformazione risulta invertibile ed e continua se nel quadrato [0, 2π]×[0, 2π] identifichiamoi lati opposti cioe φ = 0 con φ = 2π e θ = 0 con θ = 2π. Questa identificazione porta condeformazione continua il quadrato in un cilindro e quindi nel toro, vedi figura 5.B.7. Se nelpiano identifichiamo tutti i punti ottenuti per traslazione del vettore 2π(n1, n2) otteniamoil toro T

2 = R2 \ (2πZ)2, che e una varieta senza curvatura, omeomorfa alla superficie

definita da (5.B.10).

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

A

A

B

B

A B

Figura 5.B.7. Deformazione di [0,2π]×[0,2π] nel toro.

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5. Punto vincolato - unibo.itAndamento del campo di forze elastiche. La forza corrispondente al potenziale Vǫ`e data da F vinc ǫ = − f ǫ gradf (5.2.5) Il limite f/ǫ`e indeterminato