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Respuesta transitoria 2
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Sistemas de segundo ordenSistemas de segundo orden
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Los sistemas de segundo orden continuos son aquellos que responden auna ecuación diferencial linea de segundo orden
)()()(
)()()(
212
2
0212
2
0 trbdt
tdrb
dt
trdbtca
dt
tdca
dt
tcda ++=++
Sin pérdida de generalidad se analizará un caso muy común donde:
.0,,,1 102210 ====== bbKbapaa .0,,,1 102210 ====== bbKbapaa
Que corresponde al siguiente sistema de segundo orden:
)( pss
K
+)(sR )(sC)(sE K
p
dondees una const.que representauna ganancia.
es una const. realrepresenta al polodel sistema.
Su función de transferencia de lazo cerrado es:
Kpss
K
sR
sC
++=
2)(
)(
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
−−+
−++
=K
ppsK
pps
K
sR
sC
4242
)(
)(22
Como se aprecia, los polos de lazo cerrado pueden ser de tres tipos
1. Reales diferentes si: Kp >4
2
Kp =4
2
Kp <4
2
, 2. Reales iguales si:
3. Complejos si
Para facilitar el análisis se realiza el siguiente cambio de variables2nK ω= σζω 22 == np
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
22
2
2)(
)(
nn
n
sssR
sC
ωζωω
++= forma estándar del sistema
de segundo orden.
donde es la frecuencia natural no amortiguada, se denominaatenuación, es el factor de amortiguamiento. Ahora el comportamientodinámico del sistema de segundo orden se describe en términos de losparámetros y .ζ
nω
Se analizará la respuesta transitoria ante una entr ada escalón unitario:
nω σζ
Se analizará la respuesta transitoria ante una entr ada escalón unitario:
(1) Caso subamortiguado : en este caso se escribe)10( << ζ )()( sRsC
donde se denomina fracuencia natural amortiguada. Si21 ζωω −= nd
))(()(
)(2
dndn
n
jsjssR
sC
ωζωωζωω
−+++=
)(sR
es una entrada escalón, entonces
ssssC
nn
n
)2()(
22
2
ωζωω
++=
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Utilizando fracciones parciales
2222 )()(
1)(
dn
n
dn
n
ss
s
ssC
ωζωζω
ωζωζω
++−
+++−=
y conociendo que
tes
sd
t
dn
n n ωωζω
ζω ζωcos
)( 22
−=
+++1-
L
tsenes
dt
dn
d n ωωζω
ω ζω−=
++ 22)(
1-L
Se obtiene la salida en el tiempo
)0(1
tan1
1)(2
1
2≥
−+−
−= −−
ttsene
tc d
tn
ζζω
ζ
ζω
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
(2) Caso de amortiguamiento crítico :)1( =ζ
)(sC
sssC
n
n2
2
)()(
ωω
+=
la transformada inversa arroja
en este caso se tienen dos polos reales iguales y ante un escalón es
)0()1(1)( ≥+−= −ttetc n
tn ωω
la transformada inversa arroja
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
ssssC
nnnn
n
)1)(1()(
22
2
−−+−++=
ζωζωζωζωω
en este caso se tienen dos polos reales negativos y diferentes. Para unaentrada escalón, es
(3) Caso sobreamortiguado :)1( >ζ
)(sC
t
t
n
n
e
etc
ωζζ
ωζζ
ζζζ
ζζζ)1(
22
)1(
22
2
2
)1(12
1
)1(12
11)(
−+−
−+−
−−−−
−+−+=
La transformada inversa de Laplace de la ecuación anterior es
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0=ζ
2.0=ζ
4.0=ζ
7.0=ζ8.0=ζ
Fig. Curvas de respuesta al escalón unitario.
0 2 4 6 8 10 120
0.2
0.4
0.6
0.8
1
sa1>ζ
ca1=ζ
Figura. Respuesta al escalón de diferentes sistemas de segundo orden.
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Respuesta impulsiva de sistemas de segundo orden
22
2
2)(
nn
n
sssC
ωζωω
++=
)10( <≤ ζ )0(11
)( 2
2≥−
−= −
ttsenetc ntn n ζω
ζω ζω
para
Utilizando transformada inversa obtenemos las siguientes soluciones de )(tc
1−ζ
)1( =ζ
)0(1212
)()1(
2
)1(
2
22
≥−
−−
= −−−−−−teetc
tntn nn ζωζζζωζζ
ζω
ζω
para
)1( >ζ
)0()( 2 ≥= −ttetc
tn
nωω
para
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
sa1>ζca1=ζ
0=ζ2.0=ζ
4.0=ζ
7.0=ζ
0 2 4 6 8 10 12-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
Figura. Respuesta al impulso de diferentes sistemas de segundo orden.
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Definición de los parámetros de la respuesta transi toria
Las características de desempeño de un sistema de control se comparanbasándose en el tiempo de la repuesta transitoria. La característicatransitoria de los sistemas dinámicos se presenta por la incapacidad deresponder de manera instantánea a las entradas o perturbaciones. Larespuesta transitoria es común clasificarla con base a los siguientesparámetros.
1.4c(t)
1. Tiempo de retardo
2. Tiempo de crecimiento
3. Tiempo pico
4. Sobreimpulso máximo
5. Tiempo de establecimiento
rt
dt
pt
pM
st
a continuación se definen…0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
t
c(t)
1
0
st
pM
rt
Tiempo de retardo
, . Es el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar la mitad del valor final por primera vez.
Sistemas de segundo orden 2.- Tiempo de crecimiento
2.- Tiempo de crecimiento, . Es el tiempo requerido para que la respuestaaumente de 0 a 100% para sistemas subamortiguados, del 5 al 95% o del10 al 90% para sistemas críticamente amortiguados o sobreamortiguados.
rt
El tiempo de crecimiento se obtiene dando un valor de uno en la ecuaciónEl tiempo de crecimiento se obtiene dando un valor de uno en la ecuaciónde respuesta de un sistema de segundo orden ante una entrada escalón.
1)1
(cos1)(2
=−
+−= −rdrd
ttsentetc rn ω
ζζωζω
01
cos2
=−
+ rdrd tsent ωζ
ζω
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
0tan1
1costancos1
cos22
=
−+=
−+ rdrdrdrdrd ttttt ω
ζζωωω
ζζω
o bien
σω
ζζω d
rd t =−−=21
tan
el tiempo de crecimiento es
σωβ
ωβπ
σω
ωd
d
d
drt
11 tan,tan1 −− =−=
−
=
el tiempo de crecimiento es
β
σ
dω
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
3.- Tiempo pico, . Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance elprimer pico de sobreimpulso. El tiempo pico se obtiene derivando la ecuaciónde respuesta c(t) e igualándola a cero, con lo que se obtiene
pt
01
)(2
=−
− pntnpd etsen
ζω
ζωω
pd sonecuaciónestasatisfacenquevaloreslostsenω = ,0
dppd
pd
tt
sosobreimpulprimereleligese
sonecuaciónestasatisfacenquevaloreslostsen
ωππω
πππω
=⇒=
=
.,,3,2,,0
,0
L
Sistemas de segundo ordenSOBREPASO
1)( −= pp tcM
πζπst
4. Es el valor pico máximo de la curva de respuesta medido desde la unidad o valor deseado. El sobreimpulso máximo se obtiene de la respuesta evaluada en el tiempo pico.
pM
−+−= −
dd
dd sene dn
ωπω
ζζ
ωπωωπζω
2
)(
1cos
( ) ( )πωσπωωζ ddn ee−− ==
( )πζζ 21−−= eM p
st
5.- Tiempo de establecimiento,5.- Tiempo de establecimiento, . Es el tiempo mínimo donde la curva derespuesta alcanza y se mantiene dentro de un rango de error preestablecido,generalmente es del 2% o del 5%, el rango más común es el del 2%. Parasistemas de primer y segundo orden, la respuesta se mantiene dentro del 2%después de 4 constantes de tiempo:
σζω44
4 ===n
s Tt
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Ejemplo : Definir los parámetros de respuesta transitoria del sistema
)34(
75
+ss)(sR )(sC
Desarrollo:Desarrollo:
La función de transferencia de lazo cerrado es
7534
75
)(
)(2 ++
=sssR
sC
Se utiliza la siguiente igualdad
22
2
2 27534
75
nn
n
ssss ωζωω
++=
++
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
se obtiene
3752 =nω
342 =nζω
375=nω
877876.03752
34 ==ζ
17=σ
A partir de aquí se obtienen los parámetros de respuesta transitoria
86=dω
A partir de aquí se obtienen los parámetros de respuesta transitoria
segundostd
r 2849.0=−=ω
βπ.499.0tan 1 radd == −
σωβ
segundostd
p 33876.0==ωπ
( )%315.000315.0 === − πωσ deM p
segundosts 23529.04 ==σ
Nota: Analizar porque prs ttt <<
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
Ejemplo : De los siguientes parámetros de respuesta transitoria obtenerla función de transferencia.
0.8
1
1.2
1.4c(t)
127
142
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
t00.75
Desarrollo: de la gráfica
1181.0127
127142 =−=pM segundosts 75.0=Estos dosParámetrosSon suficientes
Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111
De st
3333.544 ==→=s
st
t σσ
De y conociendo pM σ
( )84335.7
ln=−=→= −
pdp
MeM d
σπωπωσ
EntoncesEntonces
3333.5=σ84335.7=dω
48486.922 =+= dn ωσω56229.0==→=
nn ω
σζσζω
96256.89666.10
96256.89
2)(
222
2
++=
++=
sssssG
nn
n
ωζωω