5 TRANSFORMACIONES EN EL PLANOsea073a448bf433ac.jimcontent.com/.../tecnico05-Transformaciones.pdf · Transformaciones en el plano 5-2 Clases de escalas Las escalas pueden ser: de

5-1 Curso de dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Patxi Aguirrezabal Martin

ESCALAS

5TRANSFORMACIONES

EN EL PLANO

Escalas: clases de escalas, escala gráfica, Construcción de la escala decimal de transversales. Semejanza: construir un

polígono inversamente semejante a otro. Proporcionalidad. Figuras equivalentes: Triángulos y polígonos equivalentes,

construcción de un polígono equivalente a otro pero que tenga un lado menos, construcción de un cuadrado equivalente a un

círculo dado, construcción de un triángulo y un cuadrado equivalente a un pentágono, construcción del círculo equivalente a la

elipse. Simetría: simetría central, simetría axial, construcción del segmento simétrico de otro dado respecto de un eje. Giros.

INVERSIÓN: elementos que definen la inversión, rectas antiparalelas, Puntos, rectas y circunferencias dobles, inverso de un

punto, teoremas, propiedades de las circunferencias inversas, aplicaciones de la inversión.

TEMPORALIZACIÓN: 6 horas

Es la relación de semejanza que existe entre el dibujo y el modelo natural. Esta

relación se expresa por un quebrado cuyo numerador corresponde al tamaño del

dibujo y el denominador al del objeto real.

Transformaciones en el plano 5-2

Clases de escalas

Las escalas pueden ser: de reducción, de ampliación y natural o de igualdad.

- Escala natural o de

igualdad:

- Escala de reducción:

El dibujo tiene las mismas dimensiones que el original.

Ej: 1/1, 1:1

El dibujo es menor que el original. Las más usadas son:

C en arquitectura e ingeniería: 1:5, 1:10, 1:20 para repre-

sentar detalles; 1:50, 1:100, 1:200.en planos generales.

C En topografía y urbanismo: 1:100, 1:200, 1:500, 1:1000,

1:2000, etc.

C En cartografía: 1:5000, 1:10000, 1:25000, 1:50000

Este tipo de escala se aplica a los objetos muy grandes

que sólo pueden ser representados por medio de un

dibujo más pequeño. Este cociente se indica por una

fracción donde el numerador debe procurarse que sea la

unidad y el denominador las veces que se ha reducido el

objeto. Por ejemplo, la escala 1:10 indica que la repre-

sentación en el papel es diez veces menor que la reali-

dad.

- Escala de ampliación: El dibujo es mayor que el original. 2:1, 5:1, 10:1, 20:1,

50:1, etc. Es la relación o cociente utilizado para repre-

sentar objetos pequeños por medio de un dibujo de ma-

yor tamaño. Este cociente viene dado por medio de una

fracción ordinaria cuyo denominador debe ser la unidad.

De este modo, el numerador indica las veces que se ha

ampliado el objeto. Por ejemplo, la escala 3:1 indica que

cada unidad de medida real (1 metro, 1 centímetro, 1

milímetro, etc) vendrá dibujada tres veces mayor (3 me-

tros, 3 centímetros, 3 milímetros, respectivamente).

Una escala expresada en fracción puede convertirse en decimal dividiendo el

numerador por el denominador. Ej: 6:8 = 0'75. A la inversa, una escala expresada en

fracción decimal puede convertirse en fracción ordinaria tomando por numerador el

decimal sin la coma y sin el cero y por denominador la unidad seguida de tantos

ceros como cifras decimales tenga:

Escala 0'75 = 75/100 =7'5/10 = 6/8


Fig.5.1

Consideraciones

- Todas las escalas empleadas se indicarán en la rotulación, destacando la principalcon caracteres de mayor tamaño. Las escalas secundarias, se indicarán tambiénen las partes correspondientes del dibujo.

- En general todo se dibujará a escala. Las cotas que no estén a escala se debensubrayar.

- Sobre un plano dibujado a escala, las cifras de cota que se ponen son siempre lasreales, es decir, las medidas reales de la pieza.

Unidades empleadas

En el dibujo de máquinas todas las medidas en milímetros. En dibujos de arquitectu-

ra, carpintería etc, todas las medidas se representan en metros y su fracción el

centímetro. La base de la escala será el metro = 100 cm.

En planos, mapas, etc se usan el decámetro, hectómetro, kilómetro, etc. según

convenga.

Escala gráfica. Fig.5.1

Es un segmento representativo de la unidad de

medida (el metro) dibujado a escala. General-

mente este segmento se divide en diez partes

iguales para representar los decímetros. Para

obtener su magnitud se reduce el quebrado de

la escala a número decimal, dividiendo su nu-

merador por el denominador. Por ejemplo, la

escala 1:2 indica que 0'5 metros en el dibujo

representan un metro lineal, luego la escala gráfica se construirá con un segmento

de 50 centímetros, para representar el metro. Como esta magnitud es excesiva, se

dibuja una parte del metro; por ejemplo, un decímetro, que vendrá dado por una

longitud de 5 cm.

Cuando la escala viene dada por dos números distintos, la escala gráfica se obtiene

basándonos en la proporcionalidad de segmentos según la construcción que

describimos.

Supongamos que se quiere construir la escala 5/7. Sobre una recta cualquiera se

coloca una longitud equivalente a 5 cm. y se divide esta magnitud en 7 partes igua-

les, las cuales se numeran correlativamente a partir del origen. Estas divisiones

representan los centímetros a la escala dada. Para completar la escala, se lleva a la

izquierda del origen una de estas unidades que se subdivide en otras diez partes

iguales para representar los milímetros. Este último segmento se denomina con-

traescala. De esta manera, si se quiere tomar por ejemplo una distancia de 47 mm,

se colocará una punta del compás en el 4 y la otra en la séptima división de la

contraescala.


Fig.5.2

Construcción de la escala decimal de transversales. Fig.5.2

Para obtener una mayor exactitud en la aplicación de una escala, puede construirseeste tipo escala, en la cual se pueden apreciar perfectamente las décimas de launidad adoptada.

Ejemplo: E = 1:250.

Se construye la escala gráfica 1 es a 250, tal como se explicó en el apartadoanterior. Por los puntos de división se trazan perpendiculares a la escala y se tomauna altura arbitraria h que se divide en 10 partes iguales; por estas partes se trazanparalelas a la línea de la escala y se unen las divisiones de la contraescala de talforma que quede la división 0 con la 1; la 1 con la 2, etc.; se forman así triángulosrectángulos cuyas bases van aumentando en una décima de la unidad de lacontraescala.

Escala intermedia

En ocasiones se necesita transformar un dibujo realizado a escala a otra escaladiferente. Existirá entre las dos escalas antedichas una escala intermedia queresponde a la siguiente fórmula:

La escala intermedia se obtendrá pues al multiplicar la inversa de la escala deldibujo dado por la escala a la que vamos a reproducir el dibujo.


Fig.5.3

Sea un dibujo a escala 2:3 que queremos reproducir a escala 5:4.

Triángulo universal de escalas. Fig.5.3

Por medio de un triángulo podemos construir las escalas más sencillas, tantonormalizadas como sin normalizar.

Para fabricar la escala procederemos según los siguientes pasos:

1.- Partimos de la escala natural, es decir E 1:1 para lo que dibujamos una recta de 10cm de largo, que dividimos centímetro a centímetro.

2.- Por su extremo izquierdo levantamos una perpendicular de longitud cualquiera.

3.- Tomamos un punto P cualquiera sobre la perpendicular trazada en el paso 2, ydesde él unimos con las divisiones de la recta horizontal de 10 cm.

4.- Se coge el numerador de la escala sobre la recta con la escala natural y se lleva unaperpendicular a ella hasta que corte la línea oblicua que parte de P y va a la divisiónde la escala natural que marca el denominador. Si la escala es de reducción (menorque la unidad) levantamos la perpendicular por encima de la escala 1:1. Si la escalaes de ampliación, a la inversa.

5.- Por el punto de corte de la perpendicular con la oblicua (paso 4) trazamos unahorizontal con lo que nos quedará dividida en la escala buscada.


SEMEJANZA

Fig.5.4

Dos figuras son semejantes (Fig.5.4) cuando tienen la misma forma pero diferentetamaño o lo que es lo mismo, cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados sonproporcionales.

Además, cuando a una de las dos figuras queconstituyen una homotecia, se le aplica un movi-miento de giro o de simetría axial (o sus productos)se dice que existe "semejanza" ente la figura fija yla resultante del movimiento. Si el movimiento esun giro cuyo centro coincide con el de homotecia,se denomina rotohomotecia.

No es necesario comprobar la proporcionalidad detodos los elementos lineales y la igualdad de losangulares, basta comprobarlo para algunos deellos, cumpliéndose, entonces forzosamente para los demás. Cada manera de elegirlos elementos para los que se cumple la proporcionalidad (en elementos lineales) oigualdad (en elementos angulares) se denomina "criterio de semejanza".

Para construir un polígono semejante a otro se toma un punto cualquiera O exteriora él y se hacen pasar por dicho punto, rectas que lo unan con los vértices delpolígono. Se toma un punto A' en el rayo OA, que cumpla la razón de semejanza, ybasta ir trazando paralelas a los lados del polígono dado.

Las figuras semejantes tienen que cumplir la razón de semejanza que se define deforma que:

Un ejemplo de razón de semejanza podría ser:

Si la razón de proporcionalidad de sus lados es k, la razón de proporcionalidad desus áreas es k , y la de sus volúmenes, k2 3.

La semejanza conserva la forma de las figuras pudiendo ser su posición cualquieraen el plano.

Ejemplo: Si la razón de semejanza fueran 2/3, se divide el segmento OA'en 3 partesiguales (o las que indique el denominador) y se toman desde O tantas partes comoindique el numerador. El resto de la figura se obtiene aplicando el caso general.

Semejanza de triángulos

Los criterios de semejanza, en el caso de los triángulos, son:

1.- Dos triángulos son semejantes si los tres lados de uno son proporcionales a los delotro.


Fig.5.5

2.- Dos triángulos son semejantes si dos lados de uno son proporcionales a dos ladosdel otro y el ángulo comprendido es igual.

3.- Dos triángulos son semejantes si dos lados de uno son proporcionales a dos ladosdel otro y el ángulo opuesto a uno de ellos es igual, siendo ambos obtusángulos oacutángulos.

4.- Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos de uno iguales a dos ángulosdel otro.

Si los triángulos que se comparan son rectángulos, al tener ambos un ángulo igual(el ángulo recto), los criterios de semejanza son los siguientes:

1.- Dos triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen la hipotenusa y un catetode uno proporcionales a los del otro.

2.- Dos triángulos rectángulos son semejantes cuando tienen los catetos de unoproporcionales a los del otro.

3.- Dos triángulos rectángulos son semejantes cuando un ángulo agudo de uno es iguala un ángulo agudo del otro.

Si en un triángulo, rectángulo o no, se traza una recta paralela a uno de sus lados,se obtiene otro triángulo semejante al primero.

Construir un polígono inversamente seme-jante a otro dado. Fig.5.5

La resolución adoptada en el ejercicio anteriores aplicable en la realización de una semejanzatomando las magnitudes correspondientes ensentido contrario, a partir del centro adoptado.

PROPORCIONALIDAD

Repaso: Dos magnitudes son proporcionales cuando estas varían de tal formaque su relación permanece constante

Las magnitudes son inversamente proporcionales cuando su productopermanece constante.

, para que esta proporción sea válida se verificará AD=BC

siendo los términos A y D los extremos y los B y C los medios.


Fig.5.6

Fig.5.7

Fig.5.8

Se llama proporción continua aquella en que dos términos se repiten:

Primer procedimiento: (Fig.5.6)

Dada una figura, constrúyase otra semejante oproporcional a ella de forma que la razón desemejanza entre ambas sea, por ejemplo, 5/7.

Tenemos el polígono ABCD. Para construir elpolígono proporcional al dado, siendo 5/7 larazón de semejanza se construye un triángulorectángulo A'MN cuyos catetos están en laproporción 5 a 7; por ejemplo, se toma A'M = 70mm y MN = 50 mm.

A continuación llevamos el lado AB del polígonosobre el cateto MN, es decir, MB=AB y se traslada B, por medio de una paralela alcateto, hasta el punto x de la hipotenusa y éste, por medio de otra paralela al cateto,hasta B'. El segmento A'B' es el lado del polígono semejante al dado y proporcionalal lado AB.

Debemos respetar esta construcción para todos los lados y diagonales del polígonodado. De esta forma se van construyendo, uno a uno, todos los triángulos semejan-tes.

Segundo procedimiento: (Fig.5.7)

Obtenido el lado A'B' proporcional al lado ABcomo en el caso anterior y tomando A A' comocentro, y sobre la figura dada, se trazan los radiospolares 1, 2, 3, 4, 5, 6. Sobre el radio 1 se tomael vértice B' distante de A la magnitud A'B'.

A partir de B' se traza la paralela al lado BC.

Tercer procedimiento: (Fig.5.8)

(Por coordenadas)

Se opera como en la igualdad de figuras.

Si la razón de semejanza es 2:1 se toma

es decir se reducen a la mitad lascoordenadas y se obtiene el polígono F'.


IGUALDAD

En el plano, dos figuras son iguales cuando al superponerlas coinciden. Estosupone que han de tener todos sus elementos iguales, tanto los lineales como losangulares.

Si las figuras se encuentran representadas, generalmente no pueden trasladarsepara su superposición, por lo que habría que comprobar la igualdad de todos suselementos. Esto no es necesario, ya que la igualdad de algunos elementos, según eltipo de figuras, supone la igualdad de los demás. Esos elementos, cuya igualdadsupone la de los demás, pueden escogerse de varias maneras para cada tipo defiguras, designándose cada una de las maneras como "criterio de igualdad".

En el caso de los triángulos, los criterios o casos de igualdad son los siguientes:

1.- Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados de uno iguales a los del otro.

2.- Dos triángulos son iguales si tienen dos lados de uno iguales a dos lados del otro yel ángulo comprendido igual.

3.- Dos triángulos son iguales si tienen dos lados de uno iguales a dos lados del otro eigual el ángulo opuesto a uno de ellos, siendo los dos triángulos obtusángulos oacutángulos.

4.- Dos triángulos son iguales si tienen un lado de uno igual a un lado del otro y dosángulos de uno iguales a dos ángulos del otro.

Si los triángulos que se comparan son rectángulos, al tener ambos un ángulo igual(el ángulo recto), los criterios de igualdad son los siguientes:

1.- Dos triángulos rectángulos son iguales cuando los catetos de uno son iguales a loscatetos del otro.

2.- Dos triángulos rectángulos son iguales cuando un cateto y la hipotenusa de uno soniguales a los del otro.

3.- Dos triángulos rectángulos son iguales cuando un cateto y el ángulo agudo conti-guo/opuesto de uno son iguales a los del otro.

4.- Dos triángulos rectángulos son iguales cuando la hipotenusa y un ángulo agudo deuno son iguales a los del otro.


FIGURAS EQUIVALENTES

Fig.5.9

Se llaman figuras equivalentes las que tienen la misma superficie pero diferenteforma.

En el caso de perímetros curvos, con expresión analítica definida, para la determi-nación de la superficie, hay que recurrir al cálculo integral, o si se trata de curvascualesquiera, a construcciones gráficas aproximadas. Pero en el caso de contornospolígonales, es fácil obtener figuras equivalentes sucesivas con número de ladosdecrecientes hasta llegar al triángulo y, finalmente, encontrar el cuadrado equivalen-te, pues su lado l es medio proporcional entre la base b y la mitad de la altura deltriángulo hallado:

l = b x h/22

Triángulos y polígonos equivalentes:

a) Dos triángulos de igual base y altura son equivalentes.

b) Un triángulo cualquiera puede siempre transfor-marse en un rectángulo de igual base y mitadaltura o de base mitad e igual altura.

c) Un cuadrilátero rectángulo, de lados a-b, puedesiempre transformarse en un cuadrado de ladoL, media geométrica entre a y b.

Construcción de un polígono equivalente a otropero que tenga un lado menos. Fig.5.9

Se traza una diagonal cualquiera que aisle un sólovértice, por ej. FB. Se prolonga el lado BC hastaque corte a la paralela a la diagonal trazada desdeA y obtenemos G.

El polígono GCDEF es el equivalente al dado.

Los triángulos ABF y GBF son equivalentes portener la misma base e igual altura.


Fig.5.10

Figs.5.11 y 5.12

Construcción de un cuadrado equivalentea un círculo dado (cuadratura del círculo).

Fig.5.10

El área del círculo y del cuadrado tienen queser iguales L = Br ÷ L = Br.r2 2 2

de lo que se deduce que el lado del cuadradoes media proporcional entre los segmentos Bry r.

En la figura, para construir la media propor-cional, se toma sobre una recta cualquiera los segmentos Br (rectificación de lasemicircunferencia) y r. Esta rectificación es igual a la suma de los lados del trián-gulo y del cuadrado inscritos en ella.

Trazamos una semicircunferencia de diámetro MN = r + Br. El segmento AD = L esel lado del cuadrado buscado por ser la media proporcional entre los dos segmentosdados.

Construcción de un triángulo y un cuadrado equivalentes a un pentágono.Fig.5.11 y 5.12

Para la construcción del triángulo equivalente (Fig.5.11) realizaremos, dos veces, loexplicado para la conversión de polígonos.

Para la construcción del cuadrado equivalente (Fig.5.12) una vez transformado el

pentágono en triángulo igualamos áreas de triángulo y cuadrado es

decir, el lado del cuadrado es media proporcional entre los segmentos b y h/2.Construimos la media proporcional de estos dos segmentos determinando L.


Fig.5.13

Construcción del círculo equivalente ala elipse. Fig.5.13

Se igualan las áreas de las dos figuras ytendremos Br = Bab ÿ r = ab2 2

Basta hallar la media proporcional entrelos semiejes a y b de la elipse para obte-ner el radio r del círculo equivalente.

En la fig. ON = OD = b y OB = a. Se tra-za la semicircunferencia de diámetro NB =ab y la tangente a ella, desde O, es elradio r = OP de la circunferencia equivalente a la elipse.

Hallar un cuadrado equivalente a la suma de otros dos dados. Fig. 5.13.1

Se construye un triángulo rectángulo cuyos catetos sean los lados respectivos de loscuadrados conocidos. La hipotenusa obtenida de este triángulo es el lado delcuadrado.

3 1 2Aplicando el teorema de Pitágoras, l = l + l2 2 2

Hallar un cuadrado equivalente a la suma de otros tres. Fig.5.13.2

Se construye un triángulo rectángulo cuyos catetos sean los lados de dos de loscuadrado conocidos y sobre la hipotenusa de éste, tomada nuevamente comocateto, construir otro triángulo rectángulo cuyo otro cateto sea el lado del tercercuadrado. La hipotenusa resultante es el lado del cuadrado suma.

Fig.5.13.1Fig.5.13.2


Hallar un cuadrado de doble área que otro dado.Fig.5.13.3

La diagonal del cuadrado dado es el lado del cuadradosolución.Es evidente que el cuadrado obtenido es de doble área que el conocido, todavez que éste está constituido por dos triángulos rectángulos isósceles dehipotenusa igual a la diagonal, y aquél se encuentra formado por cuatro.

Dividir un triángulo en dos partes equivalentes por medio de una paralela a subase. Fig.5.13.4

Otro enunciado: Dividir un triángulo en dos partes de formaque una tenga doble área que la otra por medio de unaparalela a la base

Con centro en O, punto medio de uno de loslados AC que no sea la base del triángulo cono-cido, se describe una semicircunferencia, deter-minando sobre la misma el punto medio M me-diante la mediatriz a AC trazada por O. Hacien-do centro en el vértice A y con radio AM describirun arco hasta cortar en F al lado AC, punto porel cual se traza la paralela a la base que divideal triángulo en dos partes equivalentes.

El triángulo AMC es un triángulo rectángulo. Según el teorema del cateto (el cateto es media proporcional entrela hipotenusa y su proyección sobre ella) sabemos que AM = AO x AC y siendo AO=AC/2 y AF=AM2

resulta que AM = AC/2 x AC = AC /2 de donde AC = 2AF .2 2 2 2

En los triángulos semejantes ABC y ADF podemos establecer que y al ser estas magnitu-

des constantes e iguales puede establecerse que si hacemos

Sustituyendo el valor AC ya determinado, . De donde AN x BC = 2AP x DF que2

dividiendo entre dos resulta lo que indica que el área del triángulo dado ABC es doble

que el del obtenido ADF como se quería demostrar.

Fig.5.13.3

Fig.15.13.4


SIMETRÍA

Fig.5.14

Fig.5.15

Se dice que dos figuras son simétricas respecto a un punto (centro de simetría) o auna recta (eje de simetría) cuando al girar una de ellas alrededor del centro o deleje, coincide con la otra.

Simetría central. Fig.5.14

Dos puntos A y A' se dice que son simétri-cos respecto de un punto C, llamado centrode simetría, cuando están en línea rectacon él y equidistan de dicho centro, CA =CA' = d. Estas dos condiciones las cumplentodas las parejas de puntos simétricos.

En la figura se repite la operación, punto apunto; se unen los vértices 1, 2, 3, ... etc.del polígono dado con el centro C de sime-tría y se toman C-1'= C-1, C-2'= C-2, etc.Los lados simétricos son paralelos.

Simetría axial.

La simetría axial o respecto de un eje, es, como la anterior, una relación geométricaque liga los puntos simétricos por dos condiciones: Un punto A y su simétrico A'están en la misma perpendicular al eje de simetría; los dos puntos A y A' equidistandel eje, estando uno a cada lado del mismo.

De la predisposición o situación geométrica del mismo en el soporte o papel, lasimetría puede ser vertical u horizontal.

Construcción del segmento simétrico de otrodado respecto de un eje. Fig.5.15

Se tiene el segmento s cuyos extremos son A y B;el simétrico del A es A' y el simétrico de B es B'; elsegmento s' que une A' y B' es el simétrico del s. Enla simetría axial las parejas de rectas simétricas secortan en un punto del eje de simetría.


GIROS

Fig.5.16

Fig.5.17

Si deseamos hallar el simétrico de una figura o polígono realizaremos este procesopara cada uno de los lados del polígono.

El giro es una transformación homográfica definida por un centro de giro O, unángulo de giro " y un sentido de giro dado, de modo queun punto A se transforma en un punto A', siendo AO=A'O,el ángulo AOA'=a y el sentido AA' el indicado en los datos.

Fig.5.16

La rotación del polígono puede realizarse en torno a sucentro, a un punto interior, a un punto situado sobre unlado, a un vértice o a un punto exterior. Fig.5.17

El único punto doble es el centro de giro O, ya que suhomólogo es el propio centro.

No existen en general rectas dobles.

Son dobles las circunferencias que tienen su centro en el centro de giro


Fig.5.18

Propiedades de los giros.

- La distancia entre dos puntos cualesquiera del plano y sus homólogos, es la mismaen los giros.

- En los giros se conservan los ángulos y las distancias.

- Los giros transforman rectas en rectas, ya que a CA le corresponde C'A' obtenidagirando dos cualesquiera de sus puntos.

Girar la figura ABC 30°, respecto del centro O, en sentido positivo antihorario.Fig.5.18

Únase la recta AO. Se construye un ángulo de30° con vértice en O, siendo AO un lado y te-niendo en cuenta que A se tiene que desplazaren sentido contrario a las agujas del reloj. El otrolado del ángulo será la recta OA'. Dibujamos latrayectoria de A trazando un arco de circunferen-cia de centro O y radio OA en el sentido indica-do. La intersección de dicho arco con la rectaOA' será el punto A' buscado.


INVERSIÓN

Fig.5.19

Fig.5.20

La inversión es una transformación geométrica enla que a todo punto A del plano se le hace corres-ponder otro punto A' alineado con el primero y conun punto fijo C llamado centro de inversión, de talforma que el producto de sus distancias al centroes un valor constante y distinto de cero (K�0)llamado potencia de inversión, o razón de inver-sión.

Es decir, CA.CA'= K

Elementos que definen la inversión

Una inversión puede definirse con:

- el centro C y un par de puntos homólogos A y A'. De CA y CA' puede deducirse elvalor de K.

- el centro C, K y la posición de un punto A. La recta CA' se deduce de CA.CA'=k

- los pares de puntos homólogos A-A' y B-B'. El centro C se deduce.

Inversión positiva (Cuando K>0) Fig.5.20

Se llama así cuando los puntos homólogos A y A' están a un mismo lado del centroC.

Inversión negativa (Cuando K<0) Fig.5.20

Se llama así cuando el centro C está entre los puntos A y A'. Es decir, tienendiferente sentido. La razón de inversión es negativa lo que no significa que CA.CA'de un resultado negativo, sino que CA y CA' tiene diferente sentido, por lo que a unode ellos se le asigna un valor negativo.


Fig.5.22

Rectas antiparalelas. Fig.5.21

Sabemos, por el teorema de Thales, que al cortara dos rectas concurrentes, r y s, en C por dosrectas paralelas a y b, se obtienen dos triángulosCAB y CA'B' semejantes por tener los tres ángu-los iguales y los lados proporcionales. Por tanto

Pero también se puede obteneruna pareja de triángulos seme-jantes al cortar a dos rectas con-currentes r y s, por dos rectasno paralelas a y b, que se lesdenomina antiparalelas respec-to de las r y s, y que a su vez,son antiparalelas de a y b.

De lo anterior, y del análisis de

la Fig.5.21 resulta:

o lo que es lo mismo CA.CA'=CB.CB', lo que demuestra que los puntos A y B tienencomo inversos respectivos a los puntos A' y B' en una inversión de centro C, y quequedan incluidos todos en una circunferencia.

Dos rectas concurrentes en C son cortadas por dos antiparalelas respecto de ellasen sus puntos inversos.

Puntos dobles. Fig.5.22

Se produce un punto doble, también llamado invariante, cuando en una trans-formación de un punto A en otro A', los dos puntos coinciden; es decir, cuando A/A'

En una inversión, si K>0 todos los puntos que distan del centro C una distancia %&Kson puntos dobles.

Al tratarse de puntos que se hallan a una distancia constantedel centro de inversión, determinan una circunferencia cuyocentro es el de inversión, C, y su radio la raíz cuadrada de supotencia, %&K. Esta circunferencia recibe el nombre de cir-cunferencia de puntos dobles, cpd o de autoinversión.

Fig.5.21


En la inversión negativa no existen puntos dobles, ya que un punto y su inverso seencuentran a distinto lado de C, por lo que no pueden coincidir.

Trazado de puntos dobles. Fig.5.23

Dados el centro C, B y B' para hallar puntos dobles enuna inversión dada, basta con trazar una circunferenciaque pase por B y B' y trazar desde C, centro de inver-sión, las tangentes a dicha circunferencia. Los puntos

1 2de tangencia T y T serán puntos dobles, ya que aplican-

do la potencia de un punto respecto de una circunferencia se tiene

1 2 1 1 2 2 1que CT =CT =K, y como CT /CT ' y CT /CT ' luego CT =%&K y2 2

2CT =%&K

Figuras dobles

Se dice que una figura es doble o autoinversa cuando está formada por puntosinversos de sí mismos. Esto no significa que esté formada por puntos dobles, sóloserán dobles si coinciden los puntos con sus inversos en el mismo lugar.

Aunque la única figura doble que lo es punto a punto es la c.p.d., en una inversiónhay una serie de elementos o figuras que son dobles porque el inverso de uno desus puntos es otro punto que también pertenece a ella.

Rectas dobles o que pasan por el centro de inversión

Son dobles las rectas que pasan por el centro de inver-sión, aunque sólo dos de sus puntos son dobles, los quepertenecen también a la c.p.d. Fig.5.24 (caso 1)

La inversa de una recta que pasa por el centro de inversión C es ella misma

es decir, la recta se transforma en ella misma, es doble r/r'.

Esto sólo ocurre cuando la potencia de inversión es positiva, K>0

Fig.5.23

Fig.5.24


Fig.5.27

1) - Si K>0 la recta tendrá sólo dos puntos dobles, ala distancia ±%&K de C.En el ejemplo A/A' y B/B' equidistan de C. El punto A está adistancia -%&K y el B a distancia +%&K .

Aunque sólo tiene dos puntos dobles, la recta r es doble, puessobre ella están los puntos y sus inversos.

2) - Si K<0 la recta no tiene puntos dobles, pues A yA' estarán siempre a distinto lado de C. Por ejemplo, para la inversión definida por K=-4 y CA=2 se tieneque CA'=-2, luego A y A' equidistan de C pero no coinciden.

3) - Cuanto más alejado esté el punto A del centroC, más cercano estará A' del centro C y vicever-sa; a más distancia del punto A' del centro Cmás cercano estará A de C.

4) - Si el punto A coincide con el centro C, su inver-so A' estará en el infinito, pues a más cercaníadel punto del centro de inversión más lejos tendrá su inverso.

Circunferencias dobles o de autoinversión

Caso primero. Fig.5.26

Dado un centro de inversión C, si tenemos una potenciade inversión K>0 se genera una circunferencia de au-toinversión de puntos dobles (cpd)Para construirla basta trazar una circunferencia de radio=%&k con centro enC. Los puntos que disten de C esa distancia %&K son inversos de sí mis-mos, son puntos dobles. Todos los puntos de la circunferencia serán doblesy la circunferencia es doble (inversa de sí misma) y se llama cpd.

Caso segundo. Fig.5.27

Si K<0 se genera una circunferencia autoinversa ydoble, pero no de puntos dobles.Para construirla se traza una circunferencia de radio =%&-K. Los puntosque distan de C una distancia %&-K tienen por inversos otros puntos dela circunferencia diametralmente opuestos y a la distancia -%&-K delcentro C. La circunferencia es autoinversa, doble pero sin puntosdobles.

En el ejemplo, para K=-100 se tiene que %&k=-10. Si CA=10 6 CA'=-10.

Fig.5.26


Fig.5.28

Caso tercero. Fig.5.28

Cuando la potencia de inversión de un centro Crespecto de una circunferencia es igual a la potenciade inversión de ella misma respecto de sus puntos Ay A', la inversa de la circunferencia dada es ellamisma, es doble pero no de puntos dobles.

De lo anterior se deduce que cualquier circunferen-cia que pase por una pareja de puntos inversoses doble, aunque si la inversión es positiva, solotiene dos puntos dobles, los que pertenecen a su vez a la c.p.d., M/M' y N/N'en laFig.5.26

Determinación del inverso de un punto dado.

Una inversión queda determinada por su centro C y su potencia de Inversión K. Sinembargo, para resolver problemas de inversión se puede partir también de otrosdatos.

Caso 1.- Conociendo la circunferencia de puntos dobles (cpd):

Si el punto está en ella, su inverso es él mismo (si k<0, el A' sería el simétrico delhallado respecto de C).

Si el punto es exterior a esa circunferencia, Fig.5.29, para hallar el inverso A' unimosA con C. Desde A trazamos la tangente a la cpd, y por el punto de tangencia Ttrazamos una perpendicular a CA que la corta en A', inverso de A. Esta construcciónse justifica por el teorema del cateto cuyo enunciado dice que: en un triángulorectángulo cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyecciónsobre ella. Que aplicado al triángulo CTA se cumple:

CA' . CA = CT . CT = %&K . %&K

CA . CA' = K

Por tanto, y como ya hemos apuntado anterior-mente, los puntos interiores a la cpd tienen susinversos en el exterior de la cpd, y viceversa.

Si el punto dado B es interior a la c.p.d., se traza por B la perpendicular a la rectaCB y por N, punto donde la citada perpendicular y la c.p.d. se cortan, se traza la

Fig.5.29


Fig.5.31

Fig.5.32

tangente a ésta. El punto B', donde la tangente corta a la recta CB, es inverso delpunto B dado

Caso 2.- Punto inverso de otro conocido el centro C y un par A-A' no alineado con elprimero.

Primer procedimiento. Por rectas antiparale-las. Fig.5.30

Dados CA y CA' para hallar el inverso de unpunto B dado, basta unir A con B y C con B. Semide el ángulo " que forma AB con la recta s yse traza por A' un ángulo " con r. Donde cortea s estará el punto B'.

Segundo procedimiento. Por potencia de un punto respecto de una circun-ferencia. Fig.5.31

Dados CAA' y B, para hallar B' se traza lacircunferencia que pasa por A, A' y B. Elpunto B' buscado estará en la intersecciónde la secante CB con la circunferencia. Lacircunferencia tendrá su centro en el cortede las mediatrices de AA' y AB.

La conclusión, aplicable también para unpunto C, interior a la circunferencia, es:

Dos pares de puntos homólogos A-A'y B-B'no alineados están en una circunfe-rencia doble, pero no de puntos dobles y AB y A'B'son antiparalelas.

- Si en una inversión sólo se dan C, A y la razón K, se inventa un CBB' de razón K, y se halla A'

por el método explicado.

Caso 3.- Punto inverso de otro alineado con un par de puntos conocidos A-A'.

Se dan el centro C, los puntos inversos AA' y un punto B alineado con los anteriores.

1) Fig.5.32. La circunferencia que pasa por BAA' no re-suelve el problema pues ha degenerado en recta por laposición particular de los tres puntos. Para resolverlo,Fig.5.33, se busca un par de puntos inversos MM' que

Fig.5.30


Fig.5.33

Fig.5.34

Fig.5.35

pasen por la circunferencia de AA'. Al ser CAA' y CMM' secantes cualesquiera, secumple CA.CA'=CM.CM'

2) Hallada la circunferencia, el problema queda como enel caso de puntos no alineados. Usamos el par MM' ydibujamos la circunferencia que pasa por MM' y B.

B' estará en la intersección de CB con la circunferen-cia.

Inversa de una recta que no pasa por el centro C

Ya hemos visto que una recta que pasa por el centro de inversión es doble, portanto, su inversa es ella misma.

La figura inversa de una recta que no pasa por el centro C de inversión es unacircunferencia que pasa por el centro C, cuyo centro se halla en la perpendicular a larecta por el centro de inversión.

1) Si %&K>0

a) Fig.5.34. Si %&K < CP, es decir, si la razón%&K es menor que la distancia del centro C a larecta r entonces la c.p.d. no corta a la recta.

Para hallar la circunferencia inversa de r, dadoun K=100, trazamos desde C una perpendiculara r y se obtiene el punto P. Se traza la cpd concentro en C, y desde P trazamos la tangente a lacpd. Desde el punto de tangencia T se lleva unaperpendicular a CP para conseguir el punto P'.

La circunferencia inversa de r es la circunferencia de diámetro P'C.

b) Fig.5.35. Si %&K > CP, la c.p.d. corta a la recta r.

Trazada la cpd, el punto P queda interior a la misma.

Para hallar el punto P' se traza la cpd que corta a r en A/A' y B/B'. Como lacircunferencia inversa ha de pasar por CA y B, se hallan las mediatrices de CAy CB, que se cortan en el punto O, centro de lacircunferencia inversa buscada. El punto P' estarásobre CP.

- Para hallar el inverso de cualquier punto X queesté sobre la recta, unimos C con X y dondecorte la prolongación de CX a la circunferenciaestará X'. El mismo procedimiento seguiremos


Fig.5.36

Fig.5.37

para hallar el inverso de un punto de la circunferencia; es decir uniremos Y'con C y donde corte a la recta estará Y.

- El inverso de un punto del infinito de la recta r estará en el centro C deinversión.

c) Si %&K = CP. Fig.5.36

Si la c.p.d. es tangente a la recta (%&K=CP)entonces P/P'. La circunferencia inversa de rserá tangente a la recta r y a la cpd en el puntoP/P'.

2) Si %&K<0. Fig.5.37

Si la inversión es negativa (%&K<0) el punto P' estará al otro lado de CP.

En el ejemplo, %&-K = CP. Por ello, el punto P' está diametralmente opuesto alP respecto de la circunferencia de autoinversión.

La circunferencia inversa buscada de diámetroCP' será siempre exterior a la recta sin que ten-ga por qué ser tangente a la recta r=%&-K

Inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión C

Al ser la inversión una transformación recíproca,

La inversa de una circunferencia que pasa por el centro C de inversión, es una rectaque no pasa por el centro C, y que es perpendicular a la recta que une el centro deinversión con el de la circunferencia.

1) El centro O de la circunferencia dadacoincide con el centro C de inversión.

Se traza la cpd y desde C una rectaque corte a la circunferencia dada en A.Por el punto A' pasará la recta r' busca-da. El punto A' se halla por el procedi-miento descrito para hallar gráficamen-te el inverso de un punto. La recta r' zCA


Fig.5.38

2) Cuando la circunferencia de centro O pasa porel centro C de inversión, K<0 y CA y CA' noestarán en el mismo lado.

La recta r' será siempre exterior a la circunfe-rencia dada. No sirve de nada trazar la circun-ferencia de radio %&-K para hallar A'.

Para hallar A' se trazan desde C dos puntosinversos B y B' con la razón dada, por ejemplok=-150. Es decir, se elige un punto B sobre lacircunferencia de radio r=%&-K, siendo B' eldiametralmente opuesto.

Se traza la circunferencia que pase por A, B y B' y el punto A buscado estará en laintersección de CA con la circunferencia auxiliar.

La recta r' buscada pasará por A'.

3) Si el centro C de inversión es interior a la circunfe-rencia dada, entonces es un caso de circunferen-cia que no pasa por C por lo que se aplicará parasu resolución uno de los procedimientos desarro-llados en el apartado siguiente.

La circunferencia inversa pasará por los puntosdobles A/A' y B/B'; luego, la circunferencia dadaO y su inversa O' serán secantes.

Inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión C

La figura inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión esotra circunferencia que tampoco pasa por él y que es, además de inversa, homotéti-ca con la primera.

El inverso del centro de una circunferencia nunca es el centro de la circunferenciainversa.

1) Fig.5.38. Se dan la circunferencia de centro O, elcentro C de inversión y un K>0.

Se dibuja la cpd. Se traza desde el centro C deinversión una tangente a la circunferencia dada,y se halla el inverso del punto T de tangenciaobtenido. El centro de la circunferencia inversabuscada estará sobre la línea que une los cen-tros y en la paralela al radio OT.


Fig.5.39

Fig.5.40

2) Cuando la cpd corta a la dada, se obtienen dospuntos dobles de corte con la cpd, los A/A' yB/B'. Por estos puntos pasará lógicamente lacircunferencia inversa buscada. Para hallar elcentro de la circunferencia inversa, haremos elprocedimiento anterior. Fig.5.39

3) Si K<0 no existe la cpd. Luego para hallar T' po-demos trazar la circunferencia de autoinversiónde radio=%&-K y hacer un diámetro cualquieraBB'. Se traza la circunferencia que pase por T', B y B' y sobre esa circunferenciaestará T'. El resto del proceso se realiza como en los casos anteriores, con ladiferencia de que el centro de inversión C se encontrará entre las dos circunferen-cias.

4) Cuando la circunferencia tiene de centro el centro de inversión su inversa es unacircunferencia concéntrica. Por tanto sólo se debe determinar el inverso de uno delos puntos de la circunferencia y con centro en el centro de inversión y radio hastaese punto se obtiene la inversa de la circunferencia.

Propiedades de las circunferencias inversas. Fig. 5.40

Las rectas que unen dos puntos BM y sus inver-sos B'M' situados respectivamente en doscircunferencias inversas, se cortan en su ejeradical. Ello se deduce de la propia definición deeje radical. La circunferencia que pasa por lospuntos BB' MM' es, según ha quedado anterior-mente establecido, una circunferencia doble dela inversión.

Las tangentes a dos circunferencias inversas endos puntos inversos AA', forman iguales ánguloscon la recta que los une y su punto de intersec-ción se encuentra en el eje radical de ambascircunferencias.

Tangencias simples por inversión

Trazar la circunferencia tangente a una circunferencia y a una recta dadas, conocidoel punto de tangencia (T) en la recta r. Caso primero. Fig.5.41

El centro de la circunferencia tangente estará necesariamente en un punto de laperpendicular a la recta levantada por el punto T.


Fig.5.41

Fig.5.42

1Para hallarlo, se traza por el centro de la circunferencia O una perpendicular a larecta r.

Se une el punto de tangencia (T) con el extremo del diámetro lo que nos determina-rá un punto de corte T' en la circunferencia dada.

1Se une el centro O con el punto de corte T' y se prolonga hasta que se interseccio-ne con la perpendicular levantada a la recta desde el punto T. El punto de intersec-

2ción será el centro O de la circunferencia pedida.

Trazar la circunferencia tangente a una circunferencia y a una recta dadas, conocidoel punto de tangencia (T) en la circunferencia. Caso segundo. Fig.5.42

Es el caso inverso al anterior.

1Se traza por el centro de la circunferencia O una perpendicular a la recta r.

Se une el punto de tangencia (T) con el extremo del diámetro lo que nos determina-rá un punto de corte T' en la recta r dada.


Fig.5.43

Fig.5.44

1Se une el centro O con el punto de tangencia T y se prolonga hasta que se inter-seccione con la perpendicular levantada a la recta desde el punto T'. El punto de

2intersección será el centro O de la circunferencia pedida.

Trazar la circunferencia tangente a una circunferencia y a una recta dadas, conocidoel punto de tangencia (T) en la recta r. Caso tercero. Fig.5.43

Se resuelve de la misma forma que el caso primero, pero teniendo en cuenta que sedebe unir el punto de tangencia T con el otro extremo del diámetro.

Trazar la circunferencia tangente a una circunferencia y a una recta dadas, conocidoel punto de tangencia (T) en la circunferencia. Caso cuarto. Fig.5-44


Fig.5.45

Se resuelve de la misma forma que el caso segundo, pero teniendo en cuenta quese debe unir el punto de tangencia T' con el otro extremo del diámetro.

Dibujar una circunferencia tangente a otras dos dadas conociendo el punto detangencia T a una de ellas. Fig.5.45

Debemos reducir este ejercicio a un caso de trazado de una circunferencia tangentea una circunferencia y una recta dadas.

2Puesto que para obtener una circunferencia tangente a la dada O su centro tiene

2que estar en la recta O -T, esto es lo mismo que si trazáramos una circunferencia

2tangente a una recta r que a su vez sea tangente a la circunferencia de centro O enel punto T. Con esto hemos conseguido reducir el ejercicio al caso primero.

Lógicamente este ejercicio puede tener otra solución con sólo aplicar el casotercero.


EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Realizar el motivo de la cerámica del claustro del IES. Liceo Caracense a escala 2:3

2.- Considérese un rectángulo OABC en el que OA=2AB. Hallar la figura inversa deltriángulo ABC si el centro de inversión es O y el punto B es inverso de si mismo.


3.- Construir la figura inversa del triángulo ABC, sabiendo que el punto A es inverso desí mismo y que el centro de inversión es el punto de corte de las tangentes en B y Ca la circunferencia circunscrita al triángulo.

4.- Hallar la transformada de la figura respecto de O mediante giro de 30° y homotecia5/2

5.- Dada la inversión definida por el centro O y el par depuntos inversos A y A'. Determinar el inverso del puntoP. (Selectividad. Madrid 1994)

6.- El punto A/A' es inverso de sí mismo en una inversión decentro O. Hallar la figura inversa de la circunferencia C. (Se-lectividad. Madrid 1994)

7.- Hallar la figura inversa de la circunferencia dada,conociendo los inversos de dos de sus puntos AA'y BB'.

Ejercicio 6


8.- Construir una figura semejante a la dada pero que tenga el doble de área

(PAU. Madrid 2007)

9.- Dadas dos posiciones de un mismo cuadrado, hallar el giro (centro y ángulo) quelleva uno sobre otro.

Ejercicio 8

Ejercicio 9


EJERCICIOS RESUELTOS

CAPITULO 4º

1.- Para determinar la figura afín sedebe determinar, en primer lugar,la dirección de afinidad uniendolos puntos afines A-A'.

Determinada la recta A-A' se tra-zan por distintos punto de la cir-cunferencia rectas paralelas a laA-A'. Uniendo el punto A con otropunto cualquiera de la circunferen-cia obtendremos en su prolonga-ción con el eje rectas homólogasque determinarán la figura afín dela circunferencia dada.

2.- Se plantea el ejercicio dibujando lacircunferencia de radio 10 mm y elcentro de homotecia situado a 40 mmdel centro de ésta.

Sabemos que la razón de homotecia

es por lo que sustituyendo,

rápidamente sabremos que:

OA'=2 OA v 2 x 40= 80 mm

Colocando el centro de la circunferen-cia homóloga a 80 mm del centro dehomotecia y con radio igual a la perpendicular trazada a la recta homóloga estaráresuelto el ejercicio.


3.- Se trazan por los vértices A y C, rec-tas homólogas paralelas a la direcciónde afinidad BB'.

Los puntos afines se hallan como enel ejercicio 1.

4.- Se traza por el centro de homología Ouna recta hasta un punto cualquieradel infinito M'4 que tendrá su puntohomólogo M en la recta límite RL.

Uniendo el punto M con un punto cual-quiera de la figura dada, obtendremos,paso a paso, el homólogo del triángulo ABC.

5.- Dado que se dan dos puntos homólogos, basta prolongar hasta el eje, y paso apaso, un lado del triángulo del que se conozca un vértice y su homólogo.

Ejercicio 4


6.-

Sean O el centro de homología, e el eje y RL la recta límite de la circunferenciaexterior a ella para que se transforme en elipse.

Trácese por O una recta cualquiera (OA), la cual corta a RL en el punto A, desde el

1 2 1 2que se trazan las tangentes Aa Aa a la circunferencia en los puntos T y T ,

1 2respectivamente. Prolongando la cuerda T -T se obtiene sobre la RL el punto B,

1 2desde el cual volvemos a trazar las tangentes Bb y Bb a la circunferencia en los

3 4 3 4puntos T T . Unidos estos puntos entre sí queda determinada la cuerda T T que,de igual modo, cortará la RL en A. Estas dos cuerdas son las rectas homólogas dedos diámetros conjugados de la elipse, luego las direcciones OA y OB son paralelasa los diámetros conjugados que se tratan de obtener. Obtengamos por el procedi-

1 2 3 4miento general descrito los homólogos de T , T , T , T con lo cual tendremosdefinidos dos diámetros conjugados de la elipse.

1 1El punto T ' se ha obtenido en la intersección de la recta trazada por OT con la

1 4 4paralela a OA trazada por a , T ' en la intersección de OT con la paralela a OB por

2b , y así sucesivamente. La elipse está con ello definida y se traza geométricamente.


7.-

8.-

Ejercicio 7

Ejercicio 8

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5 TRANSFORMACIONES EN EL PLANOsea073a448bf433ac.jimcontent.com/.../tecnico05-Transformaciones.pdf · Transformaciones en el plano 5-2 Clases de escalas Las escalas pueden ser: de