1

5.1 连续域—离散化设计5.2 数字 PID 控制器设计5.3 控制系统 z 平面设计性能指标要求5.4 z 平面根轨迹设计 5.5 w’ 变换及频率域设计

2

5.1.1 5.1.1 设计原理和步骤设计原理和步骤• 实质是将数字控制器部分看成是一个整体，其输入和输出都是模拟量，

因而可等效为连续传递函数 De(s) 。

A/D 输出与输入关系：

* 1( ) ( )s

n

R j R j jnT

1*( ) ( )R j R j

T

系统低通且

采样频率较高 1

*( ) / ( )R j R jT

D/A 的频率特性： / 2 / 2sin( / 2)( ) e e

/ 2j T j TT

G j T TT

等效连续

传递函数

/ 2 / 21( ) (e ) e (e )ej T j T j T j T

eD j D T DT

计算机实现算法 D(z)的计算表示： (e )j TD

/ 2e dc( ) ( )e sTD s D s

设计时常近似为：

/ 2 1e

1 / 2sT

sT

图 5-1 计算机控制系统典型组成

3

连续域连续域 -- 离散化设计的步骤如下： 离散化设计的步骤如下： 第 1 步：根据系统的性能，选择采样频率，并设计抗混叠前

置滤波器。第 2 步：考虑 ZOH 的相位滞后，根据系统的性能指标和连

续域设计方法，设计数字控制算法等效传递函数 Ddc(s) 。第 3 步：选择合适的离散化方法，将 Ddc(s) 离散化，获得脉

冲传递函数 D(z) ，使两者性能尽量等效。第 4 步：检验计算机控制系统闭环性能。若满足指标要求，

进行下一步；否则，重新进行设计。改进设计的途径有：– 选择更合适的离散化方法。– 提高采样频率。– 修正连续域设计，如增加稳定裕度指标等。

第 5 步：将 D(z) 变为数字算法，在计算机上编程实现。

4

5.1.2 5.1.2 各种离散化方法各种离散化方法• 最常用的表征控制器特性的主要指标：

– 零极点个数；– 系统的频带；– 稳态增益；– 相位及增益裕度；– 阶跃响应或脉冲响应形状；– 频率响应特性。

等效离散 D(z) D(s)

• 数值积分法一阶向后差法一阶向前差法双线性变换法及修正双线性变换法

• 零极点匹配法• 保持器等价法• z 变换法 ( 脉冲响应不变法 )

离散化方法

5

1. 一阶向后差分法(1) 离散化公式

11( ) ( )

zs

T

D z D s

实质：将连续域中的微分

用一阶向后差分替换

( ) ( ) / ( ) 1/D s U s E s s ( ) / ( )du t dt e t

( ) / [ ( ) [( 1) ]] /du t dt u kT u k T T

( ) [( 1) ] ( )u kT u k T Te kT

1( ) ( ) ( )U z z U z TE z 1( ) ( ) / ( ) /(1 )D z U z E z T z

1(1 ) /s z T 1

1z

sT

做 z 变换，得

s 与 z 之间的变换关系

比较

图 5-3 向后差分 ( 矩形积分 )法

6

1. 一阶向后差分法(2) 主要特性① s 平面与 z 平面映射关系

– 当 =0 （ s 平面虚轴）， s 平面虚轴映射到 z 平面为该小圆的圆周。

– 当 > 0 （ s 右半平面），映射到 z平面为上述小圆的外部。

– 当 < 0 （ s 左半平面），映射到 z平面为上述小圆的内部。

② 若 D(s) 稳定，则 D(z) 一定稳定③ 变换前后，稳态增益不变。④ 离散后控制器的时间响应与频率响

应，与连续控制器相比有相当大的畸变。

1 1 1 (1 )

1 2 2 (1 )

Tsz

Ts Ts

s j 2 2 2

2 2

1 1 (1 ) ( )

2 4 (1 ) ( )

T Tz

T T

图 5-4 向后差分法的映射关系

0 1( ) ( )s zD s D z

(3) 应用 由于这种变换的映射关系畸变严重，变换精度较低。所以，工程应用受到限制，用得较少。

7

2. 2. 一阶向前差分一阶向前差分法(1) 离散化公式

实质：将连续域中的微分

用一阶向前差分替换

( ) ( ) / ( ) 1/D s U s E s s ( ) / ( )du t dt e t

做 z 变换，得

s 与 z 之间的变换关系

比较

图 5-7 向前差分矩形积分法

1( ) ( ) zs

T

D z D s

( ) / { [( 1) ] ( )}/du t dt u k T u kT T

( ) ( 1) ( ) / E z z U z T

( ) ( ) / ( ) /( 1) D z U z E z T z

1

1

1 1z zs

T Tz

1 z Ts

8

2.2. 一阶向前差分一阶向前差分法(2) 主要特性① s 平面与 z 平面映射关

系

② 若 D(s) 稳定，则 D(z)不一定稳定 [改进方法是适当减少采样周期T ]。

向前差分法的映射关系图

(3) 应用 由于这种变换的映射关系畸变严重，不能保证 D(z) 一定稳定，或者如要保证稳定，要求采样周期较小，所以应用较少。

1 z Ts平移放大关系

o

j

[S]

o

[Z]

Re

Im

1o

-1/T

1z

sT

9

3. 双线性变换法（突斯汀 -Tustin变换法） (1) 离散化公式

实质：将梯形面积近似代替积分

( ) ( ) / ( ) 1/D s U s E s s

进行 z 变换，得

s 与 z 之间的变换关系

比较

图 5-9 梯形积分法

2 1

1

( ) ( ) zsT z

D z D s

( ) ( 1) [ ( ) ( 1)]2

Tu k u k e k e k

0( ) ( )d

tu t e t t

1 1( ) ( ) [ ( ) ( )]2

TU z z U z E z z E z

1

1

(1 )( ) 12( )2 ( 1)( ) 1

( 1)

TzU z

D zzE z z

T z

2 ( 1)

( 1)

z

sT z

12

12

Ts

zTs

10

112 22

1 12 2 2

T TT jsz

T T Ts j

3. 双线性变换法(2) 主要特性① s 平面与 z 平面映射关系

– 当 =0 （ s 平面虚轴 ) 映射为 z 平面的单位圆周。

– 当 > 0 （ s 右半平面），映射到 z平面单位圆外 。

– 当 < 0 （ s 左半平面），映射到 z平面单位圆内 。

② 若 D(s) 稳定，则 D(z) 一定稳定

s j

图 5-10 双线性变换映射关系

2 2

2

2 2

12 2

12 2

T T

zT T

2 ( 1)

( 1)

z

sT z

/ 2 / 2

/ 2 / 2

2 1 e 2 e e

1 e e e

D D D

DD

j T j T j T

A j DT j T j Tj

T T

2 sin( / 2)2 2tan

2cos( / 2) 2D D

D

j T Tj

T T T

2

tan2D

A

T

T

s 域角频率

z 域角频率为 D

11

3. 双线性变换法(2) 主要特性③ 频率畸变：双线性变换的一对一映

射，保证了离散频率特性不产生频率混叠现象，但产生了频率畸变。

图 5-11 双线性变换的频率关系

2tan

2D

A

T

T

图 5-12 双线性变换的频率关系

2

2D

A D

T

T

当采样频率较高 DT 足够小

12

3. 双线性变换法(2) 主要特性④ 变换前后，稳态增益不变。⑤双线性变换后 D(z) 的阶次不变，

且分子、分母具有相同的阶次。并有下式成立：

0 1( ) ( )s zD s D z

(3) 应用① 这种方法使用方便，且有一定的精度和前述一些好的特性，工程上应用较为普遍。② 这种方法的主要缺点是高频特性失真严重，主要用于低通环节的离散化，不宜用于高通环节的离散化。

2

(e ) 0s

j TD

13

4. 4. 修正双线性变换修正双线性变换

(1) 离散化方法解决“双线性变换产生频率轴非线性畸变 ”问题的方法。

1

1

1

tan( / 2) 1

( ) ( ) zs

T z

D z D s

1 是设计者选定的特征角频率

依据连续域与双线性变换后频率的非线性关系，首先修正原连续域传递函数，然后再进行双线性变换的结果。

(2) 主要特性– 该方法本质上仍为双线性变换法，因此具有双线性变换法的各种特

性。但由于采用了频率预修正，故可以保证在处连续频率特性与离散后频率特性相等，即满足

(3) 应用– 由于该方法的上述特性，所以主要用于原连续控制器在某些特征频

率处要求离散后频率特性保持不变的场合。

11(e ) ( j )j TD D

14

5. 5. 零极点匹配法零极点匹配法 (1) 离散化方法

特点：– 零、极点分别按 匹配 – 若分子阶次m小于分母阶次n，离散变换时，在 D(z) 分子上加 (z+

1)n-m因子 – 确定 D(z) 的增益 k1 的方法：

• 按右式来匹配• 若 D(s) 分子有 s 因子，可依高频段增益相等原则确定增益 ,即

• 也可选择某关键频率处的幅频相等，即

1( ) ( e )( ) e ( ) ( 1)

( ) ( e )

i

i

z Ti

sT n mm mp T

in m

k s z k zD s z D z z

s p z

esTz

0 1( ) ( )s zD s D z

1( ) ( )s zD s D z

11( j ) (e )j TD D

15

5. 5. 零极点匹配法零极点匹配法

(2) 主要特性① 零极点匹配法要求对 D(s) 分解为极零点形式，且需

要进行稳态增益匹配，因此工程上应用不够方便。

② 由于该变换是基于 z 变换进行的，所以可以保证 D(s)稳定， D(z) 一定稳定。

③ 当 D(s) 分子阶次比分母低时，在 D(z) 分子上匹配有(z+1) 因子，可获得双线性变换的效果，即可防止频率混叠。

16

6. 6. 其他离散方法其他离散方法(1) z 变换法（脉冲响应不变法）

(2) 带保持器的 z 变换① 带零阶保持器 z 变换法（阶跃响应不变法）

② 一阶保持器 z 变换法（斜坡响应不变法）

这种方法可以保证连续与离散环节脉冲响应相同，但由于 z 变换比较麻烦，多个环节串联时无法单独变换以及产生频率混叠和其他特性变化较大，所以应用较少。

1 e( ) ( )

sT

D z Z D ss

注意，这里的零阶保持器是假想的，并没有物理的零阶保持器。这种方法可以保证连续与离散环节阶跃响应相同，但要进行 z 变换，同样具有 z 变换法的一系列缺点，所以应用亦较少。

由于和零阶保持器 z 变换法类似的原因，这种方法应用得较少。

( ) ( )D z Z D s

17

5.1 连续域—离散化设计5.2 数字 PID 控制器设计5.3 控制系统 z 平面设计性能指标要求5.4 z 平面根轨迹设计 5.5 w’ 变换及频率域设计

18

5.2 5.2 数字数字 PIDPID 控制器设计控制器设计• 根据偏差的比例 (P)、积分 (I)、微分 (D)

进行控制 (简称 PID 控制 ) ，是控制系统中应用最为广泛的一种控制规律。

•优点：– 原理简单 　　　– 通用性强

19

5.2.1 5.2.1 数字数字 PIDPID 基本算法基本算法1．模拟 PID 控制算法的离散化

模拟 PID 控制器的基本规律：

0

1( ) [ ( ) ( ) ( ) / ]

t

p DI

u t K e t e t dt T de t dtT

( ) 1

( ) 1( ) p D

I

U sD s K T s

E s T s

离散化

kT均用 k简化表示

( 0,1,2, )t kT k ( ) ( )e t e kT

0 0

( ) ( ) ( )k k

j j

e t dt e jT T T e jT

de(t) ( ) [( 1) ]

d

e kT e k T

t T

0

( ) { ( ) ( ) [ ( ) ( 1)]}k

Dp

jI

TTu k K e k e j e k e k

T T

0

( ) ( ) [ ( ) ( 1)]k

p I Dj

K e k K e j K e k e k

20

22．． PIDPID 的增量式算法的增量式算法1

0

( 1) ( 1) ( ) [ ( 1) ( 2)]k

p I Dj

u k K e k K e j K e k e k

( ) ( ) ( 1)u k u k u k

仅对应执行机构（如阀门）位置的改变量

[ ( ) ( 1)] ( ) [ ( ) 2 ( 1) ( 2)]P I DK e k e k K e k K e k e k e k

算法优点：（ 1 ）较为安全。因为一旦计算机出现故障，输出控制指令为零时，执行机构的位置（如阀门的开度）仍可保持前一步的位置，不会给被控对象带来较大的扰动。（ 2 ）计算时不需进行累加，仅需最近几次误差的采样值。

主要问题：执行机构的实际位置也就是控制指令全量的累加需要用计算机外的其他的硬件 ( 如步进电机 ) 实现。

21

图 5-21 PID 计算机控制系统

22

5.2.2 5.2.2 数字数字 PIDPID 控制算法改进控制算法改进1. 抗积分饱和算法

(1) 积分饱和的原因及影响– 因长时间出现偏差或偏差较大，计算出的控制量有很

大，超出 D/A转换器所能表示的数值范围。这时的执行机构已到极限位置，仍不能消除偏差，且由于积分作用，尽管计算 PID 差分方程式所得的运算结果继续增大或减小，但执行机构已无相应的动作，这就称为积分饱和。

– 当控制量达到饱和后，闭环控制系统相当于被断开。

23

小信号控制下，积分器没有饱和的响应曲线。

控制饱和值不变，但系统给定值加大，使控制作用出现饱和时的仿真曲线

在同样给定值时，控制作用没有饱和限制时的仿真曲线。

24

1.1. 抗积分饱和算法抗积分饱和算法 (2) (2) 积分饱和抑制积分饱和抑制① 积分分离法：

– 系统加入积分控制的主要作用——提高稳态精度，减少或消除误差。

– 积分分离法的基本控制思想：

0

( ) ( ) ( ) [ ( ) ( 1)]k

P I Dj

u k K e k K e j K e k e k

• 某个规定的门限值 ; • 当 e(k)> ， =0 （即取消积分）；• 当误差 e(k)<= ， =1 （即引入积分）

无积分分离的响应曲线

有积分分离的响应曲线

图 5-23 积分分离法

25

(2) (2) 积分饱和抑制积分饱和抑制

②遇限削弱积分法 ：– 基本思想：

•当控制量进入饱和区后，只执行削弱积分项的累加，不进行增大积分项的累加。即系统在计算 u(k) 时，先判断u(k-1) 是否超过门限值。若超过某个方向门限值时，积分只累加反方向的 e(k) 值。

具体算式为：

max( 1)u k u ( ) 0e k

( ) 0e k

min( 1)u k u ( ) 0e k

( ) 0e k

若 且 不进行积分累加；

进行积分累加。

若 且 不进行积分累加；

若

进行积分累加。若

26

(2) (2) 积分饱和抑制积分饱和抑制③饱和停止积分法 ：

– 基本思想：•当控制作用达到饱和时，停止积分器积分，而控制

器输出未饱和时，积分器仍正常积分。– 特点：

•简单易行，但不如上一种方法容易使系统退出饱和

具体算式为：若 不进行积分运算；

进行积分运算。若

max( 1)u k u

max( 1)u k u

27

(2) (2) 积分饱和抑制积分饱和抑制④反馈抑制积分饱和法：

– 基本思想：• 测量执行机构的输入与输出，并形成误差 es ，将该信号经过

增益 1/Tt反馈至积分器输入端，降低积分器输出。• 当执行机构未饱和时， es=0 ；• 当执行机构饱和时，附加反馈通道使误差信号 es趋于零，使

控制器输出处于饱和极限。

图 5-24反馈抑制积分饱和法

方案要求：• 系统可以测量执行机构的输出。

• 若无法测量执行机构的输出，可以在执行机构之前加入执行机构带饱和限幅的静态数学模型，利用该模型形成误差 es ，并构成附加反馈通道。

28

2. 2. 防积分整量化误差的方法防积分整量化误差的方法• 当采样周期较小而积分时间常数较大时，积分项的数值很小，有可能使微型机二进制数字最低位无法表示，产生整量化误差，发生积分项丢失的现象。

• 为了防止积分项由于数的整量化误差所导致的丢失现象，在控制算法及编程方面应采取一定的改进措施：– 在积分项运算法时，可以将其结果用双字长单元存贮，若积分项小于单

字长时，其积分结果存放在低字节单元中，经过若干次累加后，当其值超过低字节表示时，则在高字节最低位加 1 ，从而消除了有限字长造成的量化截尾误差。

图 5-25 双字节积分累加

低字节

高字节

1z

单字节输出

( )I

Te k

T

1

1

+

积分项

29

P DD D( ) ( 1) (1 )[ ( ) ( 1)] K Tu k u k e k e k

T

3. 3. 微分算法的改进微分算法的改进(1) 不完全微分的 PID 算式

（采用带惯性环节的实际微分器）

引入微分改善了系统的动态特性，但由于微分放大噪声的作用也极易引进高频干扰。

f

/( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1P I P D

P P I D

K T K T sU s K E s U s U s U s

s T s

f

( ) ( )1

P DD

K T sU s E s

T s

D

f D P

d ( ) d ( )( )

d dD

u t e tT u t K T

t t

f P D

( ) ( 1) ( ) ( 1)( ) D D

D

u k u k e k e ku k T K T

T T

P0

( ) ( ) ( ) ( )k

I Dj

u k K e k K e j u k

不完全微分 PID 位置算法

f P DD D

f f

( ) ( 1) [ ( ) ( 1)] T K T T

u k u k e k e kT T T T T

30

不完全微分不完全微分 PID PID 与基本与基本 PIDPID 控制作用比较 控制作用比较 • 在 e(k)发生阶跃突变时，

– 完全微分作用仅在控制作用发生的一个周期内起作用；– 不完全微分作用则是按指数规律逐渐衰减到零，可以延续几个周期，且第一个周期的微分作用减弱。

图 5-26 不完全微分的阶跃响应

31

3. 3. 微分算法的改进微分算法的改进(2) 微分先行 PID

图 5-27 微分先行结构图 适用于给定值频繁升降的场合，可以避免因输入变动而在输出上产生跃变

32

4. 4. 带非灵敏区的带非灵敏区的 PIDPID 控制控制• 控制算法

– 非灵敏区设置值

( )e k

1( ) ( )e k e k( )e k

1( ) 0e k 若

若

，则

，则

图 5-28带非灵敏区的 PID控制

33

5. 5. 自动与手动无扰转换的自动与手动无扰转换的 PIPI 算法 算法 • 工业上通过 PID 控制的被控对象常常有手动与自动两种控

制方式，转换时要求实现无扰转换。

图 5-29 自动与手动无扰转换

系统处于自动状态时 1

1 1

1

( ) ( ) (1 ) ( )1

11 (1 )

pp

k zu k e k k e k

z zz

PI 控制

开关处于手动位置时 1( ) ( )u k u k

1

11

1 (1 )

z

z

实现从自动到手动的无扰切换

34

5.2.3 PID5.2.3 PID 调节参数的整定调节参数的整定1．扩充临界比例度法

(1) 选择一个足够短的采样周期T，通常可选择采样周期为被控对象纯滞后时间的 1/10 。

(2) 用选定的 T使系统工作。这时，去掉数字控制器的积分作用和微分作用，只保留比例作用。然后逐渐减小比例度 δ(=1/KP) ，直到系统发生持续等幅振荡。记下此时的临界比例度 δk及系统的临界振荡周期Tk (即振荡波形的两个波峰之间的时间 ) 。

2DDC0

2

0

[ ( )d ]

[ ( )d ]

e t t

e t t

模拟

控制度 =

(3) 选择控制度

(4) 根据选定的控制度，查表 5-1 ， 求得 T、KP、TI、TD 的值。

(5)按计算所得参数投入在线运行，观察效果，如果性能不满意，可根据经验和对 P、 I、 D 各控制项作用的理解，进一步调节参数，直到满意为止。

图 5-30 等幅振荡曲线

35

表 5-1 扩充临界比例度法整定参数控制度 控制规律 T/Tk KPKk TI/Rk TD/Tk

1.05PI

PID0.030.014

0.530.63

0.880.49

—0.14

1.20PI

PID0.050.043

0.490.47

0.910.47

—0.16

1.50PI

PID0.140.09

0.420.34

0.990.43

—0.20

2.0PI

PID0.220.16

0.360.27

1.050.40

—0.22

36

22．扩充阶跃响应曲线法．扩充阶跃响应曲线法• 用扩充响应曲线法整定 T和 KP、TI、TD 的步骤如下 :

(1) 数字控制器不接入系统，将被控对象的被控制量调到给定值附近，并使其稳定下来，然后测出对象的单位阶跃响应曲线 。

(2) 在对象响应曲线的拐点处作一切线，求出纯滞后时间 τ和时间常数 Tm以及它们的比值 Tm/τ 。

(3) 选择控制度(4)查表 5-2 ，即可求得数字控制器的 KP、TI、TD 及采样周期T。

图 5-31 对象的响应曲线

37

表表 5-2 5-2 扩充阶跃响应曲线法扩充阶跃响应曲线法 PIDPID参数参数控制度 控制规律 T/τ KP/ Tm/τ TI/τ TD/τ

1.05PI

PID0.100.05

0.841.15

3.42.0

—0.45

1.20PI

PID0.200.16

0.781.0

3.61.9

—0.55

1.50PI

PID0.5

0.340.680.85

3.91.62

—0.65

2.0PI

PID0.800.60

0.570.60

4.21.50

—0.82

38

33．试凑法确定．试凑法确定 PIDPID参数参数• 整定步骤：

(1)首先只整定比例部分。比例系数 KP 由小变大，观察相应的系统响应，直到得到反应快，超调小的响应曲线。系统若无静差或静差已小到允许范围内，并且响应效果良好，那么只须用比例调节器即可。

(2) 若稳态误差不能满足设计要求，则需加入积分控制。整定时先置积分时间 TI 为一较大值，并将经第 1 步整定得到的 KP减小些，然后减小 TI ，并使系统在保持良好动态响应的情况下，消除稳态误差。这种调整可根据响应曲线的状态，反复改变 KP 及 TI ，以期得到满意的控制过程。

(3) 若使用 PI调节器消除了稳态误差，但动态过程仍不能满意，则可加入微分环节。在第 2 步整定的基础上，逐步增大 TD ，同时相应地改变 KP 和 TI ，逐步试凑以获得满意的调节效果。

39

5.1 连续域—离散化设计5.2 数字 PID 控制器设计5.3 控制系统 z 平面设计性能指标要求5.4 z 平面根轨迹设计 5.5 w’ 变换及频率域设计

40

5.3.1 5.3.1 时域性能指标要求时域性能指标要求(1) 稳定性要求(2) 系统稳态特性的要求：

– 主要以系统在一定指令信号及干扰信号作用下稳态误差的大小来衡量。

– 影响稳态误差的主要因素是系统的类型及开环放大系数。(3) 系统动态特性要求：

– 主要以系统单位阶跃响应的升起时间、峰值时间、超调量和调节时间来表示。

– 任意高阶系统动态指标是由系统的零极点分布决定的，并且很难计算。但在很多情况下，高阶系统中都有一对主导极点，这时可把高阶系统近似看作二阶系统来研究。

由于多数计算机控制系统的被控对象是连续的，设计时所给定的性能指标要求，基本上与连续系统设计时相同。因此，若在 z 平面上直接进行离散系统设计，需要考虑如何将连续系统的性能指标转换为 z 平面的描述。

41

动态指标的求取动态指标的求取

• 动态指标如下：– 超调量

– 上升时间

– 峰值时间

– 调节时间（ 5%误差带）

2

2 2

( )( ) 0 1

( ) 2n

n n

C ss

R s s s

特征根为 21,2 1n ns j 实部和虚部的绝对值

nRe( )s 2

nIm( ) 1s

n2

n2

e( ) 1 sin( 1 arccos )

1-

t

c t t

单位阶跃响应

2/ 1% 100%e

r

arccos

Im( )t

s

P Im( )t

s

3.5

Re( )st s

42

5.3.2 5.3.2 频域性能指标要求频域性能指标要求1. 开环频率特性低频段的形状：

• 低频段的形状及幅值大小充分反映了系统的稳态特性，其结论与连续系统类似。

2. 开环频率特性中频段的形状：– 主要反映系统动态特性要求。通常以开环系统的截止

频率、相位稳定裕度、增益稳定裕度 h以及在附近幅频特性的斜率要求来描述。

3. 开环频率特性高频段的形状：– 主要反映系统抑制高频噪声的能力，通常要求开环频

率特性高频段幅值衰减要多、要快。 鉴于离散系统频率特性的特点 (即，频率特性不是的有理函数 ) ，因此，频率域设计时，并不直接利用 z 平面的频率特性，而是将其变换到其他更有利的平面上进行，这时相关的性能要求也应进行变换。

43

5.1 连续域—离散化设计5.2 数字 PID 控制器设计5.3 控制系统 z 平面设计性能指标要求5.4 z 平面根轨迹设计 5.5 w’ 变换及频率域设计

44

5.4.1 z 平面根轨迹

系统闭环脉冲传函 ( ) ( ) ( )

( )( ) 1 ( ) ( )

C z D z G zz

R z D z G z

图 5-33 离散控制系统

D(z) 为数字控制器 G(z) 为广义被控对象

1( ) ( )

sTeG z Z G s

s

闭环系统特征方程 1 ( ) ( ) 0D z G z

连续系统闭环特征方程 1 ( ) ( ) 0D s G s

结论：离散系统与连续系统的闭环特征方程形式完全一样。连续系统中根轨迹的定义及绘制法则，在 z 域完全适用 .

Z 平面根轨迹应相对于单位圆来分析

45

离散系统中根轨迹的绘制法则 离散系统中根轨迹的绘制法则

• z 平面根轨迹的特殊性：(1) z 平面极点的密集度很高，在用根轨迹分析系统性能时，要求根

轨迹的计算精度较高。(2) z 平面的临界放大系数由根轨迹与单位圆的交点求得。(3) 离散系统脉冲传递函数的零点多于相应的连续系统，只考虑闭

环极点位置对系统动态性能的影响是不够的，还需考虑零点对动态响应的影响。

1

1

( )( ) ( )

( )

m

iin

ii

K z zD z G z

z p

根轨迹方程

( ) ( ) 1D z G z 1

1

( )1

( )

m

iin

ii

K z z

z p

1

1

n

iim

ii

z pK

z z

1

1 1

( ) ( ) (2 1)m n

ii i

z z z p k

0, 1, 2,k

开环传递函数

46

5.4.2 z5.4.2 z 平面根轨迹设计方法平面根轨迹设计方法

1. 设计步骤(1) 根据给定的时域指标，在 z 平面画出期望极点的允许范围。

(2) 设计数字控制器 D(z) 。先求出广义对象脉冲传递函数

然后确定控制器 D(z) 的结构形式

若要求数字控制器不影响系统的稳态性能，则要求：

(3) 进行数字仿真研究，检验闭环系统的动态响应。(4) 在计算机上编程实现 D(z) 算法。

根轨迹法实质上是一种闭环极点的配置技术，即通过反复试凑，设计控制器的结构和参数，使整个闭环系统的主导极点配置在期望的位置上。

1( ) 1zD z

1 e( ) ( )

s

sT

G z Z G s

c( ) c

c

z zD z K

z p

1

1c

cc

pK

z

常用控制器有一阶相位超前及相位滞后环节：

47

采用一阶控制器采用一阶控制器的设计流程：的设计流程：

48

2. 2. 设计举例设计举例——天线伺服系统离散域根轨迹设计。——天线伺服系统离散域根轨迹设计。

系统设计指标（设采样周期T=0.1s ）– 超调量 σ% =15% ；– 升起时间 tr ≤ 0.55s ；

(1) 设计指标与 z 平面期望极点位置 根据设计指标计算得：

0.517

z 域同心圆半径 r ≤ 0.5z 域射线 Im( ) 22T s

图 5-36 理想的

z 平面极点范围

– 调节时间 ts≤1s ；– 静态速度误差 Kv≥5 。

49

(2) (2) 设计数字控制器设计数字控制器 DD((zz))被控对象的脉冲传递函数

Matlab指令 num=[20];den=[1 10 0];[n,d]=c2dm(num,den,0.1,'zoh')

1 e 20 ( 0.7174)( ) 0.0736

s ( 10) ( 1)( 0.3679)

sT zG z Z

s s z z

n=[ 0 0.0736 0.0528]d=[1.0000 -1.3679

0.3679]

先可取控制器为纯比例环节 ( ) dD z k

绘制系统的根轨迹

结论 :根轨迹没有进入期望极点范围

50

改进控制器 D(z) 的设计采用零极对消法，选用 ( 0.3679)

( )( 1)

k zD z

z z

( 0.7174) ( 0.7174)

( ) ( ) 0.0736( 1) ( 1)

z zD z G z k K

z z z z

得到：

系统的根轨迹

利用Matlab指令 [K,pole]=rlocfind(num, den) ，可在选定极点位置后自动计算得：

0.3485 j0.3096K =0.3030

/ 0.0736 4.2 dk K

4.2( 0.3679)( )

( 1)

zD z

z z

1

1lim( 1) ( ) ( )

vz

k z D z G zT

满足性能指标要求

希望极点：

根轨迹增益

控制器增益

控制器传函

系统静态速度误差系数

1 0.3030( 0.7174)( 1) 5.2 5

0.1 ( 1)

z

zz z

51

(3) 系统时域仿真

•结论：– 该系统较好地满

足了给定的时域动态性能要求。

图 5-39 单位阶跃响应曲线

52

5.1 连续域—离散化设计5.2 数字 PID 控制器设计5.3 控制系统 z 平面设计性能指标要求5.4 z 平面根轨迹设计 5.5 w’ 变换及频率域设计

53

5.5.1 5.5.1 WW′′变换变换1. 方法

2. W ' 变换主要特性(1) 映射关系

12

12

Tw

zTw

2 1

1

zw

T z

图 5-40 s、 z、w'域之间的映射关系

54

(2) (2) ss 域和域和 w'域频率对应关系域频率对应关系• s 域和 z 域的频率都用ω来表示，是系统的真实频率，变

换至w'域后得到的频率为虚拟频率，以 ν 表示。2 1

1

zw

T ze j Tz

w jv

2tan

2

Tv

T

图 5-41 s 域和 w'域的频率变换关系

55

(3) (3) w'域传递函数与域传递函数与 zz 传递函数的关系传递函数的关系

• 结论：– 如果 (n+k)>m，则变换后分子填加有新的零点

– w'传递函数是 w'的有理分式函数，故 G(jv) 是虚拟频率 v的有理分式函数。

– 分子分母一般是同阶的。– 变换前后稳态增益不变。

1

1

( )( )

( 1) ( )

m

iink

ii

z aG z

z z b

( )

11

11

(1 )1 1

(1 ) 2 2 (1 )( )

(1 )(1 ) ( ) 12 (1 )

k n mm i

mi

i iin

nk iiii

i

aTw Tw

a aG w

bTb Tw wb

( )2

12

k n mTw

wT

56

(4) (4) ss 域和域和 ww‘‘ 域传递函数的关系域传递函数的关系

• 当采样周期T减小时，复变量 w‘近似等于复变量 s ；

• 传递函数 G(s) 与 G(w‘ ) 的相似性；0 0 0

2 1 2 e 1lim lim lim

1 e 1

sT

sTT T z

zw s

T z T

• G(s) 与 G(w‘ ) 稳态增益维持不变。

( )a

G ss a

1 e 1 e( ) ( )

e

sT aT

aTG z Z G s

s z

12

12

12 1 e 2( ) ( )2 1 e1+e

1+e

aT

T aTaTwz

T aTw

Tw

G w G zT

wT

若 a=5 ， T=0.1s ，则有5

( )5

G ss

0.3935( )

0.6065G z

z

4.899 120

( )4.899

w

G ww

因为带 ZOH 的 z 变换与双线性变换都能维持稳态增益的不变。

57

(5) (5) w‘变换与突斯汀变换

• 结论：– 如果 (n+k)>m，则变换后分子填加有新的零点

– w'传递函数是 w'的有理分式函数，故 G(jv) 是虚拟频率 v的有理分式函数。

– 分子分母一般是同阶的。– 变换前后稳态增益不变。

1

1

( )( )

( 1) ( )

m

iink

ii

z aG z

z z b

( )

11

11

(1 )1 1

(1 ) 2 2 (1 )( )

(1 )(1 ) ( ) 12 (1 )

k n mm i

mi

i iin

nk iiii

i

aTw Tw

a aG w

bTb Tw wb

58

5.5.2 5.5.2 ww‘‘ 域设计法（步骤）域设计法（步骤）(1) 给定连续被控对象 G(s) ，求出 z 域的广

义对象的脉冲传递函数 G(z)

(2) 将 G(z) 变换到 w’ 平面上

(3) 在 w'平面设计控制器 D(w‘)• 由于平面和 s 平面的相似性， s 平面上

的设计技术，如频率法、根轨迹法等均可应用到 w'平面。

(4) 进行 w'反变换，求得 z 域控制器 D(z)

(5) 检验 z 域闭环系统的品质 (6) D(z) 控制器在计算机上编程实现。

1 e( ) ( )

sT

G z Z G ss

2 1

1

( ) ( ) zw

T z

D z D w

12

12

( ) ( )

Tw

zTw

G w G z

59

5.5.3 5.5.3 设计举例——天线转角设计举例——天线转角计算机伺服控制系统计算机伺服控制系统 ww''域设计域设计

系统设计指标（设采样周期T=0.1s ）– 超调量 σ% =15% ；– 相稳定裕度 γm≥ 50o，增益稳定裕度 Lh≥6dB

- 调节时间 ts≤1s ；- 静态速度误差 Kv≥5

1 e 20 ( 0.7174)( ) 0.0736

s ( 10) ( 1)( 0.3679)

sT zG z Z

s s z z

( 20)( 121.5385)0.0076

( 9.2526)

w w

w w

21

2 21

2

0.0076( ) 0.7723 18.4876( ) ( )

(( ) 9.2526 )

Tw

zTw

w wG w G z

w w

Matlab指令 numz=[0.0736 0.0528];denz=[1 -1.3674 0.3674];[nw dw]=d2cm(umz,denz, 0.1,'tustin')

nw=[-.0076 -0.7723 18.4876]dw=[1.000 9.2526 0.0000]

(1) 求被控对象传函

60

(2) (2) 在在 ww''域设计数字控制器 域设计数字控制器 系统开环放大系数设计

( ) 2.5dD w k 2

2

0.0189( ) 1.9318 46.2117( ) ( )

(( ) 9.2526 )

w wD w G w

w w

1

1 1 ( 0.7174)lim( 1) ( ) ( ) ( 1) 0.0736 2 5

0.1 ( 1)( 0.3679)v d dz

zk z D z G z z k k

T z z

数字控制器 D(w‘) 设计 2.5dk

w‘平面的开环传递函数

在 w‘域检查开环稳定裕度要求Matlab指令

nw=[-0.0189 -1.9318 46.2117];dw=[1.0000 9.2423 0];figure(1);margin(nw,dw);grid

先取

13.6 ( 15.6 / )h gL dB rad s

52.8deg( 4.5 / )m c rad s

满足指标要求，但截止频率较低。

61

数字控制器数字控制器 DD((ww‘)‘) 设计设计

• 时域响应特性检查• Simulink 仿真结果

– 超调量大于给定要求，调节时间虽满足要求，但余量不大。

( ) 2.5dD w k 闭环单位阶跃响应 结论：不能满足要求，故需进一

步设计动态控制器，其目的是在保证稳定裕度的条件下，进一步增大开环截止频率。

62

数字控制器数字控制器 DD((ww‘)‘) 设计设计• 为了实现提高截止频率的目的，在正向通道引入超前 -迟

后环节是合适的。利用连续系统控制理论方法，依据开环频率响应的特点，通过试凑，可以确定超前 -迟后环节的分子及分母的时间常数和增益。通过 2~3次修正，最后取 0.2 2

( )0.02 1

wD w

w

3 2

3 2

0.0038( ) 0.4242( ) 5.3787 92.4234 ( ) ( )

0.02( ) 1.1848( ) 9.2423

w w wD w G w

w w w

dn=[0.2 2]; dd=[0.02 1];nw=[-0.0189 -1.9318 46.2117]; dw=[1.0000 9.2423 0]; [dgn,dgd]=series(nw,dw,dn,dd)

Matlab环节串联指令

dgn=[-0.0038 -0.4242 5.3787 92.4234]; dgd=[0.0200 1.1848 9.2423 0];

在 w‘域检查开环稳定裕度要求 052.7 ( 10.7 / )m c rad s

8.11 ( 47.1 / )h gL dB rad s

满足要求 注意上述两个频率均为虚拟频率。

63

(3) (3) 获取获取 zz 平面的控制器平面的控制器 DD((zz))进行 w'反变换

1 2 1

1

4.2857 1.4286( ) ( )

0.4286zw

T z

zD z D w

z

wdd=[0.02 1];wdn=[0.2 2];[zdn,zdd]=c2dm(wdn,wdd,0.1,'tustin')

Matlab指令

zdn=[4.2857 -1.4286];zdd=[1.0000 0.4286];

1 1

4.2857 1.4286( ) 2

0.4286z

zD z

z

2.5dk

4.2857 1.4286 0.3333( ) 1.25 5.36

0.4286 0.4286

z zD z

z z

控制器的稳态增益

静态设计时要求

故最终 z平面的控制器 D(z) 应增大稳态增益 1.25 倍：

64

(4) (4) 闭环系统仿真闭环系统仿真

图 5-46系统单位阶跃响应 图 5-47 系统单位斜坡响应

系统无超调，

调节时间小于 0.6s 。

稳态误差：1/ 1/ 5 0.2ss ve k

均满足要求。

65

第第 55 章 内容结束！章 内容结束！