5.1 Kiválasztási axióma

15. VÉGTELEN HALMAZOKVÉGTELEN HALMAZOK

Másképp: nemüres halmazok bármely családjának a szorzata nem üres.

2

Def

)( ha ),( )( CABCCBcardAcard

Rövidítés: BA

B majorálja A-t. Ha B majorálja A-t, de nem ekvivalensek, akkor B szigorúan majorálja A-t.

Példa:

Legyen B:= Z, A:= 2Z (páros számok halmaza).

B A, mert : B A, (x) := 2x, bijekció, és

Z Z2

Kérdések:

reflexív? .1

v? tranzití .2

trikus?antiszimme .5

dichotom? .3

? hogy , ra- .6 BABA

trivi

trivi

igaz, nem biz.

igaz, nem biz.

Cantor-tétel

s?jólrendezé .4

Schröder-Bernstein-tétel

3

4

Schröder-Bernstein-tétel:

.BAABBA

Biz. Feltehetjük, hogy X, Y diszjunkt halmazok és legyen f: X Y, g: Y X injektív függvény.

Utódok (ősök) sorozata: x X esetén f(x), g(f(x)), f(g(f(x))), …

„Árva” : olyan X \ g (Y) vagy Y \ f(X) beli elem, amelynek nincs „őse” a másik halmazban.

árvába torkollik végtelen

5

Legyen XX = X \ g (Y) { az X \ g (Y)-beli elemek X-beli utódai }

Legyen XY = { az Y \ f(X)-beli elemek X-beli utódai }

Legyen X = { X-beli elemek, amelyeknek nincs árva őse }

XX

XY

X

f(X) = g1(X) = Y

f(XX) = YX

g1(XY) = YY

6

Biz.

f bijektív és

y X : f(y) = Y y Y y Y = f(y)

5.1.11.

5.1.12.

7

5.2 Megszámlálható halmazok

8

Biz.

Ha X véges

X nem lehet végtelen, mert

lenne

többi trivi

9

Biz.

10

Biz. esetén legyen

bijekció f :

11

Biz. A = A1 A2 …

Diszjunkt halmazokat csinálunk:

A1’ = A1 ,

A2’ = A2 \ A1’ ,

A3’ = A3\ (A1’ A2’) ...

12 Ai’ halmazokra igaz:

1. Ai’ Ai i -re.

2. A = A1’ A2’ ... .

3. Ai’ Aj’ = olyan i, j esetén, ahol i j.

Feltétel Ai’ halmazok sorbarendezhetők :

A1’ = { a11, a12, a13, ...},

A2’ = { a21, a22, a23, ...},

A3’ = { a31, a32, a33, ...},

13

Biz.

Z = N+ {0} N

5.2.6 Tétel megszámlálható is

Biz.

14

diszjunktság miatt helyettesítsük X-et X \ Y-nal

Legyen Z Y megszámlálható végtelen, f : Z X Z bijekció, és

ZYxx

Zxxfxg

\ ha ,

ha ,

g : Y X Y bijekció !

15

Biz. Tfh Y véges

4. fejezet nem lehet ekvivalens saját valódi részhalmazával

Tfh Y végtelen, x Y , és legyen Z = { x }, X = Y \ Z

Y = X Z ~ X

végtelen megszámlálhatótétel

16

5.3 Nem megszámlálható halmazok

Biz.

2

211,0:

xx

xx

def

17

Biz.* A N-en értelmezett karakterisztikus függvénye

N összes véges részhalmaza: megszámlálható sok

N összes végtelen részhalmaza

f leképezés

f bijekció

Lemma. nem megszámlálható számosságú.

18

Biz. Előzőekből tudjuk: (0,1) [0,1)[0,1] R.

Legyen A = {x xR, 0 x < 1}.

Probléma: a szokásos módon nem tudjuk leírni a 0 egészrészű számokat:

0,1999999999999999...

0,2000000000000000...

vizsgálatunk tárgya:

B = {xx 0-val kezdődő tizedestört, és nem tartalmaz valamely helytől kezdve csupa 9-est}.

19

Próbáljuk meg B halmazt sorbarendezni !

x1 = 0,a11a12a13 ...

x2 = 0,a21a22a23 ...

x3 = 0,a31a32a33 ...

y = 0,b1b2b3 ... bk akk, bk[0..8] .

...

y[0, 1) és y B , de y xi !

20

Biz.

megszámlálható végtelen

= X

RX ~

Kontinuumhipotézis:

Nem létezik olyan X halmaz, amire

N X (N).

Általánosított kontinuumhipotézis:

Y X (Y).

Tetszőleges Y halmazra nem létezik olyan X halmaz, amire

Válasz:

ZFC-ben egyik sem cáfolható és egyik sem bebizonyítható!

Gödel 1939Cohen 1963

21