MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET „A”kooperativ.hu/matematika/3_modulleírások-tanár-tanuló...1. modul: LOGIKA 7 • rendszerük teljes legyen, azaz minden olyan axióma kéznél

MATEMATIKAIKOMPETENCIATERÜLET„A”

Matematika10. évfolyamTANULÓK KÖNYVE 1. FÉLÉV

A kiadvány KHF/4364-12/2008. engedélyszámon 2008.08.28. időponttóltankönyvi engedélyt kapott

Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterv

A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési terv Humánerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3.1.1. központi program (Pedagógusok és oktatási szakértők felkészítése a kompetencia alapú képzés és oktatás

feladataira) keretében készült, a suliNova oktatási programcsomag részeként létrejött tanulói információhordozó. A kiadvány sikeres használatához szükséges a teljes oktatási programcsomag

ismerete és használata. A teljes programcsomag elérhető: www.educatio.hu címen.

Matematika szakmai vezető: Oláh Vera

Szakmai tanácsadók: Csatár Katalin, Somfai Zsuzsa

Alkotószerkesztők: Ratkó Istvánné, Oláh Judit, Vidra Gábor

Grafika: Csákvári Ágnes, dr. Fried Katalin, Lénárt István, Vidra Gábor

Lektor: Pálmay Lóránt

Felelős szerkesztő: Teszár Edit

H-AMAT1001

© Szerzők:

Csákvári Ágnes, Darabos Noémi Ágnes, Gidófalvi Zsuzsa, Lénárt István, Vidra Gábor

Educatio Kht. 2008.

Tömeg: 910 grammTerjedelem: 29,83 (A/5 ív)

A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban közreműködő szakértők:Tantárgypedagógiai szakértő: Kónya István

Tudományos-szakmai szakértő: dr.Marosváry ErikaTechnológiai szakértő: Zarubay Attila

tartalom

1. modul: Logika (Vidra Gábor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. modul: A négyzetgyök fogalma, azonosságai (Gidófalvi Zsuzsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233. modul: Algebrai azonosságok és másodfokú egyenletek (Darabos Noémi Ágnes) . . . . . . . . . . . . 454. modul: Körrel kapcsolatos fogalmak (Lénárt István és Vidra Gábor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815. modul: Függvények (Csákvári Ágnes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276. modul: Másodfokúra visszavezethető problémák (Darabos Noémi Ágnes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857. modul: Négyzetgyökös egyenletek (Gidófalvi Zsuzsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

A könyvben kidolgozott MINTAPÉLDÁK segítenek a tananyag megértésében.

A FELADATOK szintjét a sorszám előtti házikó mutatja:

alapszintű feladatok:

középszintű feladatok:

emelt szintű feladatok:

Ahol nincs ilyen jelzés, azt a példát mindenkinek ajánljuk.

Mire jó a MateMatika? te Mit gondolsz?

Minek tanuljon Pitagoraszról meg egyenletekről olyasvalaki, akinek az iskolán kívül nem lesz dolga velük? Az interneten minden adatot megtalálhatunk, amit csak akarunk!

Mi, akik ezt a tananyagot írtuk, szeretünk beszélgetni, utazni, jó zenét, szép verseket hallgatni, virá-got adni és kapni, szépen öltözni, finom ebédet enni – és szeretjük a matematikát. Ezekben a munka-tankönyvekben arra a kérdésre próbálunk felelni: Mi szeretni való van a matematikában?

Kétezer-háromszáz évvel ezelőtt Arkhimédész köröket meg négyzeteket rajzolt a homokba, és meg-próbálta megszámolni a homokszemeket egy akkora gömbben, mint az egész Világmindenség. Sokan mondhatták akkor: „Hát ennek mi haszna?”

Homokszemek számolása és négyzetek rajzolása közben az Ember megtanulta a matematikai gondol-kodást, a matematika nyelvét. Ez a gondolkodásmód, ez a nyelv segítette abban, hogy utakat, gépeket, városokat építsen, néhány óra alatt átrepülje az óceánt, fényképezzen, mobilon beszélgessen, vagy a másodperc tört része alatt könyvtárra való tudnivalót gyűjtsön össze a számítógépen.

Az igazi matematika – csoda. Olyan, mint a költészet. Csokonai írta a költőről: „…teremt új dolgokat, S a semmiből világokat.” Majdnem szóról szóra ugyanígy fejezte ki magát Bolyai János, a matematikus, amikor felfedezéséről írt édesapjának: „Semmiből egy új, más világot teremtettem.”*

Gondold el: soha, senki nem látott még igazi pontot, egyenest, kört vagy párhuzamost. Mindezek csak a mi képzeletünkben léteznek. S ezekből a képzelet szülte fogalmakból teremtett a matematika – meg a fantázia, bátorság, tapasztalat és józan ész – valóságos, kézzelfogható csodákat, amelyek hozzátar-toznak mindennapi életünkhöz.

Ezt a szépséget, ezt a kalandot szeretnénk megmutatni a matematikában.

Vannak olyan részek is, amiket gyakorolni kell, éppen azért, hogy a lényeget érteni, élvezni tudd. Ha focizni, táncolni, gördeszkázni, úszni, sakkozni vagy főzni tanulsz, akkor is időt kell szánnod a gyakorlásra.

Mit szeretnénk Még Mondani neked a könyveinkkel?

Szeretnénk, ha bíznál magadban! Ha azt mondanád: „Okos, ügyes vagyok. Tudok gondolkozni, dön-teni, ha barátot, társat, életpályát kell választanom. Cselekedeteimért, döntéseimért én vagyok felelős, senki más.”

Örülnénk, ha hinnél abban, hogy meg tudod változtatni a dolgokat magad körül, meg tudod javítani a világot!

Szeretnénk, ha tudnád: minden ember számára a legfontosabb – a többi ember. Magadat gazdagítod, ha gondolataiddal, alkotóképességeddel másokat gazdagítasz. Használd arra a matematikát, meg min-den más tudásodat, tehetségedet, hogy szeretetben, szerelemben, örömben élj az emberek között!

Ehhez kívánnak Neked sok szerencsét:

a 10. osztályos matematika munkatankönyvek szerzői

* A Csokonai- és Bolyai-idézetek közti kapcsolatra egy egyetemi hallgató, azóta már tanár, Szmerka Gergely hívta fel a figyelmünket.

1. MODULLOgiKA

Készítette: Vidra Gábor

6 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE

A természettudományok felépítése (olvasmány)

A természettudományok alapját alapállítások, igaznak vett alaptételek alkotják, és ezekre

épül fel a tudományterület (az alaptételek a fizikában modellek formájában is előfordulhat-

nak). Ezek az alaptételek nem alkotnak véglegesített, zárt rendszert, mert a tudományok fejlő-

désével változhatnak. A fizikában akkor jó egy modell, ha minél pontosabban leírja a valósá-

got. Például a Merkúr Nap körüli keringésének pályája a Kepler óta fennálló ellipszis pálya-

elmélettől kissé eltért, és ennek magyarázata a térről alkotott elképzelésünk forradalmian új

leírásával, a relativitáselmélettel vált megmagyarázhatóvá.

A matematika egzakt (pontos) tudomány: minden állítást be kell bizonyítani. Ameddig nem

bizonyítunk egy állítást, addig sejtésnek nevezzük.

Egy állítást bizonyított tételnek nevezünk, ha logikai úton vissza tudjuk vezetni más állítá-

sokra, amiket már elfogadtunk – akár azért, mert ismerjük a bizonyításukat (korábban bizo-

nyított tételek), akár azért, mert annyira egyszerűnek, nyilvánvalónak tűnnek, hogy nem tart-

juk érdemesnek vesződni a bizonyításukkal (ezeket axiómáknak, alaptételeknek nevezzük).

Az egyik leghíresebb sejtés a Fermat-sejtés. Pierre de Fermat (1601-1665) toulouse-i gon-dolkodó (főállásban jogász, egyébként műkedvelő matematikus) volt, és 1637 táján Diofantosz: Aritmetika című könyvének latin nyelvű kiadásának margójára írt egy megjegy-zést: az xn+yn=zn egyenletnek n>2 esetén nincsen olyan nullától különböző megoldása, ahol x, y és z egész számok. (Ha n=2, akkor az egyenlet megoldásai az úgynevezett pitagorászi számhármasok, például 32 + 42 = 52 jó megoldás.) Azt állította, hogy "Ennek igazán bámula-tos bizonyítását találtam meg, azonban a könyv margója túlságosan keskeny, hogy ide ír-jam." Nos, a tételt csak 1995-ben (majdnem 370 évvel Fermat bejegyzése után!) tudták bebi-zonyítani: Andrew Wiles és Richard Taylor brit matematikusok több száz oldalon keresztül. Sokszor mondjuk egy állításról, hogy triviális. A „triviális” szó eredete a római korba nyúlik vissza: a szabad embereknek tanított közismereti tárgyak nyelvtanból, logikából és retoriká-ból, vagyis a triviumból álltak. Más értelmezések szerint a kifejezés görög iskolákból ered, ahol séta közben beszélgettek matematikáról. A triviális állítás azt jelenti, hogy három úton (tri = három, via = út) menve is igazolni lehet, vagyis könnyű a bizonyítása. Hogy kinek mi a könnyű, és mit lehet elfogadni bizonyítás nélkül, az függ az egyéntől.

A természettudományokban axiomatikus felépítést alkalmaznak: alaptételeket (axiómákat,

posztulátumokat) fogadnak el igaznak, és ezekből kiindulva bizonyítják a különböző tételeket.

Az axiomatikus felépítésnek óriási jelentősége volt a különböző geometriák megszületésekor.

Az axiómáktól elvárjuk a következő feltételeket: • nem lehetnek egymásnak ellentmondók; • ne legyen sok axióma (bonyolítaná a rendszer felépítését); • egymástól függetleneknek kell lenniük (vagyis egyik sem bizonyítható a többi axióma

segítségével);

1. modul: LOGIKA 7

• rendszerük teljes legyen, azaz minden olyan axióma kéznél legyen, ami a felsorolt té-

telek bebizonyításához szükséges; • illeszkedjenek a valósághoz, vagyis az axiómákból levezethető tételeknek jól kell le-

írnia a bennünket körülvevő világot. Az első ránk maradt axiómarendszer Eukleidész: Elemek c. könyvében található (i. e. 330

körül). Eukleidész szétválasztotta az axiómákat és a posztulátumokat. Az axiómák nála általá-

nos jellegű kijelentések, a posztulátumok kifejezetten a geometria témakörére vonatkozó

alapállítások. Ma ezeket összefoglaló néven axiómáknak nevezzük.

Az axiómarendszerek a tudományterületek fejlődésével együtt fejlődnek. Egy-egy új felfede-

zés vagy korszakalkotó gondolat kapcsán előfordul, hogy a valóság leírását módosítani kell

(gondolj a Naprendszer modelljének, vagy az atommodelleknek a fejlődésére). A fizika válto-

zásával kiderült, hogy nagyon nagy (kozmikus) méretekben az euklideszi geometria fogalmait

nem tudjuk megfelelően használni.

Eddigi tanulmányaink során is találkoztunk már olyan felülettel, amelyen nincs párhuzamos-

ság: a gömbfelülettel. Ez azt jelenti, hogy a gömbi geometria eltér az euklideszi geometriától.

Egy másik példa: megszoktuk, hogy a párhuzamosok nem találkoznak, azonban ennek a pers-

pektíva törvényei látszólag ellentmondanak. Ha a sínek közé állunk, a párhuzamos sínek ösz-

szetartónak látszanak. Létezik az euklideszi geometriának olyan kibővítése (projektív geomet-

ria), amely alkalmas az ehhez hasonló jelenségek leírására.

Mindezekből leszűrhetjük, hogy az axiómarendszereknek illeszkednie kell a valóság leírásá-

hoz. Ha valaki másképp látja a valóságot, akkor változtathat az axiómákon, viszont ekkor a

korábbihoz hasonlóan fel kell építenie az új rendszer szerint az adott tudományterületet. Ezt

tette Bolyai János (1802–1860) is.

Az axiómák mellett a matematika felépítésében alapfogalmak (azaz nem definiált fogalmak)

is vannak. (Ilyen például a pont, az egyenes, a sík, a tér.)

Alapfogalmak Definíciók Axiómák Bizonyított tételek

Matematikai szakterületek felépítése


I. Ismétlés Kijelentés (vagy állítás, ítélet): olyan kijelentő mondat, amelyről egyértelműen eldönthető,

hogy igaz, vagy hamis.

Egy kijelentésnek kétféle logikai értéke (vagy igazságértéke)

lehet: igaz, vagy hamis.

Logikai műveletek:

Tagadás (negáció): az a logikai művelet, amely egy kijelentés igazságértékét ellentettjére

változtatja: az igazból hamisat, a hamisból igazat csinál.

Konjunkció: két kijelentés ÉS-sel összekapcsolva. Az új kijelentés akkor igaz, ha mindkét

kijelentés logikai értéke igaz, minden más esetben hamis. A konjunkció tagadása:

Diszjunkció (megengedő vagy): két kijelentés VAGY-gyal összekapcsolva. Az új kijelentés

akkor igaz, ha bármelyik vagy mindkét kijelentés logikai értéke igaz. Akkor hamis, ha mind-

két kijelentés hamis. A diszjunkció tagadása:

Feladatok

1. Döntsd el, hogy kijelentések-e az alábbi mondatok! Amelyik kijelentés, annak add meg

a tagadását is!

a) Szépen süt a nap. b) A matematika mindenki kedvenc tantárgya.

c) Az angolt könnyű megtanulni. d) Havazik.

e) 2 < 3. f) 5 ≥ 5.

igaz hamis

Logikai értékek

Logikai műveletek

Tagadás (NEM) Konjunkció (ÉS) Diszjunkció (VAGY)

NEM (A ÉS B) = NEM A VAGY NEM B

NEM (A VAGY B) = NEM A ÉS NEM B

1. modul: LOGIKA 9

2. Mi a logikai értéke a következő kijelentéseknek?

a) Az 10<x (x∈Z) egyenlőtlenségnek megoldása az 5.

b) Az 2x+3 < 15 (x∈N) egyenlőtlenségnek megoldása az 5.

c) Az y = 2x–4 egyenes zérushelye 2.

d) A (–3; 10) pont rajta van az y = –3x–1 egyenletű egyenesen.

e) A 2; 5; 8; 12; 14 adatsor mediánja 8 és átlaga is 8.

f) A 2; 3; 5; 5; 8; 13; 16; 22; 26 adatsor mediánja 2 vagy módusza 5.

g) Van olyan háromszög, amelynél a köré írt kör középpontja a háromszög egyik olda-

lán van.

h) Nincs olyan rombusz, amelynek az átlói egyenlő hosszúak.

i) 4-nek a négyzete 16, és csak 4-nek a négyzete 16.

j) Egy 29 fős osztályban 8 tanuló furulyázik, 7 zongorázik, 3 tanuló mindkét hangszeren

játszik. Ekkor igaz az, hogy 16 tanuló se nem furulyázik, se nem zongorázik.

3. Tagadd a következő kijelentéseket:

a) Holnap esni fog.

b) –2 > 4.

c) 1972 áprilisában nagy esőzések voltak.

d) Elmegyek, és veszek mozijegyet.

e) A széf kombinációja 11-gyel és 5-tel is osztható szám.

f) A szemtanú vagy nem látta az esetet, vagy elfutott.

g) Az étkezési hozzájárulást kifizetik, vagy egy részét természetben térítik.

4. Adj meg olyan feltétel(eke)t, hogy az alábbi állítások igaz kijelentéssé váljanak!

a) x és 15 legnagyobb közös osztója 5.

b) n piros és 10 fehér golyó van egy kalapban. Véletlenszerűen kihúzva egy golyót, a pi-

ros valószínűsége 0,6.

c) Az e: y = 2x – 4 egyenes egyik pontja: (3, y0).

d) Egy s síkidom átlói felezik a szögeket, vagy merőlegesen metszik egymást.


II. Az implikáció A hétköznapi életben beszélgetéseink során sokszor meg kell védenünk saját álláspontunkat

másokéval szemben. Ennek eszközei a következtetés, logikus érvelés, bizonyítás. Az érvelés

tudománya kultúránként eltérhet. A retorika, melynek nagy mesterei voltak Empedoklész,

Platón, Arisztotelész, Cicero, Tacitus, a középkorban a hét szabad mesterség egyikeként a

triviumon belül helyezkedett el. Érdekes a tibeti lámák tanulási stílusa: teológiai vitákon ke-

resztül tanulnak, melynek során az érvelésüket széles tapsmozdulattal kísérik, miközben na-

gyot dobbantanak a lábukkal.

Mintapélda1

Ha este hideg lesz, akkor kabátot fogok felvenni.

Miről nyilatkozik a fenti állítás? Mikor mondhatjuk, hogy a fenti állítás nem igaz?

Megoldás:

A feltételhez kötött állításokat HA – AKKOR kapcsolattal fejezzük ki. A fenti állítás

akkor nem teljesül, ha hideg lesz, de mégsem veszek kabátot. Ha nem lesz hideg, arról a

mondat nem nyilatkozik, ezért nem mondhatjuk, hogy nem igaz (logikai értéke igaz lesz).

hideg lesz kabátot veszek Ha este hideg lesz, akkor kabátot fogok felvenni.

igaz igaz igaz

igaz hamis hamis

hamis igaz igaz

hamis hamis igaz

Mintapélda2

Milyen a és b számokra teljesül, hogy ha a < b, akkor a2 < b2 ?

Milyen számok esetén mondhatjuk, hogy nagyobb számnak a négyzete is nagyobb?

Megoldás:

Ez szintén HA – AKKOR kapcsolat, azonban most nem tudjuk előre megmondani,

hogy igaz, vagy hamis az állítás. A feltételnek megfelelő számokat nekünk kell meg-

keresnünk. Ebben az esetben körültekintően kell eljárnunk, ui. mondhatnánk, hogy a fel-

adat megoldása: a>0 és b>0. Azonban találunk más példákat is: például a= –3; b=4.

Pontosítva a megoldás: ha |a| < |b|, akkor a2 < b2. (Így minden ilyen a-ra és b-re teljesül az

állítás.)

1. modul: LOGIKA 11

Az implikáció más nyelvi elemekkel is kifejezhető. Például: „hideg esetén kabátot veszek”,

„kabátot veszek, ha hideg lesz” stb. A feltételt szokták nevezni az implikáció előtagjának, a

következményt az utótagjának. Nem biztos, hogy az előtag és az utótag szerep megegyezik a

két állítás mondatbeli sorrendjével. Az implikáció megfordítása az előtag és az utótag cse-

réjét jelenti.

Mintapélda3

A következő következtetés kicsit furcsára sikeredett:

Ha zöld a lámpa, este sötét van.

Az ilyen típusú következtetéseknek a hétköznapi életben semmi értelme, de a matematikai

logikában van igazságértéke: igaz, hiszen az utótag igazságértéke igaz. Azt mondjuk, hogy

nincs kapcsolat az előtag és az utótag között.

Feladatok

5. Helyes következtetéseket fogalmaznak-e meg a következő implikációk?

a) Ha elmegyünk a butikba, vehetünk zöldséget.

b) Ha egy trapéz tengelyesen szimmetrikus, akkor kör írható köré.

c) Ha sokat dolgozunk, sok pénzt fogunk keresni.

d) Ha egy háromszög tengelyesen szimmetrikus, az biztosan szabályos.

6. Határozd meg, hogy az alábbi implikációk esetén mi a feltétel, és mi a következmény.

Fordítsd meg a feltételt és a következményt, és írd le a megfordított implikációt! Fogal-

mazd át az implikációkat!

a) Ha fúj a szél, akkor hajladoznak a virágok.

b) Ha éjszaka van, akkor sötét van.

c) Derékszögű háromszögben a befogók négyzetösszege egyenlő az átfogó négyzetével.

Amikor HA – AKKOR kapcsolattal két kijelentést összekapcsolunk, akkor új kije-

lentés keletkezik. Ezt a kapcsolatot implikációnak nevezzük. Általános alakja:

HA feltétel, AKKOR következmény.

Az implikáció logikai értéke hamis, ha a feltétel igaz, és a következmény ha-

mis. Minden más esetben az implikáció logikai értéke igaz.


d) A deltoid átlói merőlegesek egymásra.

e) Egy szám 15-tel is osztható, amennyiben 3-mal és 5-tel is.

7. Keress feltételt, illetve következményt az alábbi implikációkhoz!

a) Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a körvonal bármely más pontjá-

val, …

b) Ha bizonyos pontok távolsága a sík egy adott O pontjától ugyanannyi, …

c) Ha egy négyszögnek egyenlők az átlói, akkor…

d) Ha egy négyszög deltoid, …

e) Ha …, akkor 2aa < .

f) Ha egy egyenes egyenlete y = 3x – 2, akkor …

8. Keress összetartozó feltétel – következmény párosokat, és írd le az implikációkat. Több

feltételt és következményt is összekapcsolhatsz ÉS és VAGY kapcsolattal is.

Feltételek Következmények

egy szám osztható 3-mal és 2-vel a szám osztható 2-vel és 5-tel

egy szám 0-ra végződik a szám osztható 3-mal

egy páros szám számjegyeinek

összege 3n (n ∈N+) alakban írha-

tó fel

a szám osztható 6-tal

egy szám osztható 30-cal a szám osztható 4-gyel

egy szám páros négyzetszám a szám osztható 100-zal

9. Elemezd a következő mondatok feltételét és következményét, majd mondatonként vá-

laszd ki a megfelelő kategóriát!

Előtag Utótag Kapcsolat az előtag és az utótag között

a) igaz – hamis igaz – hamis van – nincs

b) igaz – hamis igaz – hamis van – nincs

a) A háromlábú szék sohasem billeg, mert a térben három pont egyértelműen meghatároz

egy síkot.

b) A tengelyes tükrözés szimmetriát eredményez, ezért a szabályos ötszög tengelyesen

szimmetrikus.

1. modul: LOGIKA 13

III. Az ekvivalencia Vizsgáljuk meg az alábbi kijelentést:

Egy természetes szám akkor és csak akkor osztható 3-mal és 2-vel, ha osztható 6-tal.

A matematikában az „akkor és csak akkor” azt jelenti, hogy egy állítás megfordítható:

Ha egy természetes szám osztható 3-mal és 2-vel, akkor osztható 6-tal.

Ha egy természetes szám osztható 6-tal, akkor osztható 3-mal és 2-vel.

Ez két implikáció, amelyek egymás megfordításai. Mindkettő igaz állítás, ezért azt mondjuk,

hogy a kijelentések megfordíthatók.

Az „AKKOR ÉS CSAK AKKOR” kapcsolat a megfordíthatóságot fejezi ki.

Mintapélda4

Megfordítható-e az alábbi kijelentés: Ha egy szám osztható 9-cel, akkor nem prím.

Megoldás:

Ez önmagában igaz állítás, és a megfordítása így hangzik:

Ha egy szám nem prím, akkor osztható 9-cel.

Ez nyilván hamis állítás, tehát a kijelentés nem megfordítható. A fenti mondat nem

ekvivalencia.

Az ekvivalens állítások tehát egymásból következnek. Az „akkor és csak akkor” tételeknek a

matematikában nagy jelentősége van: ha egyik kijelentés teljesül, akkor az automatikusan

magával vonja a másik kijelentés tényét. Például ha egy háromszög derékszögű, akkor tudjuk,

hogy két befogót ismerve hogyan számítjuk ki az átfogót, mert a háromszög „derékszögűsé-

ge” maga után vonja az oldalakra vonatkozó, jól ismert összefüggést.

Ekvivalenciának nevezzük az

AKKOR ÉS CSAK AKKOR kapcsolattal kifejezett logikai műveletet. Az ekvivalencia logikai értéke akkor igaz, ha

a két állítás logikai értéke megegyezik.


Szükséges és elégséges feltétel

Vizsgáljuk meg, hogy mit mond ki a Pitagorasz-tétel. A tétel szövege: „egy derékszögű há-

romszög befogóinak négyzetösszege egyenlő az átfogó négyzetével”. Feltétel: a háromszög

derékszögű; következmény: érvényes az a2 + b2 = c2 összefüggés.

Ha a tételt megfordítjuk, másik állítást kapunk:

Megfogalmazva: Ha egy háromszög oldalaira érvényes az a2 + b2 = c2 összefüggés, akkor a

háromszög derékszögű. Ez a tétel szintén igazolható.

A két tétel össze is kapcsolható: egy háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha olda-

laira teljesül az a2 + b2 = c2 összefüggés.

Más megfogalmazásban:

Annak, hogy egy háromszög derékszögű legyen, szükséges és elégséges feltétele az, hogy

az oldalaira teljesüljön az a2 + b2 = c2 összefüggés.

A szükséges és elégséges feltételek használatát jól mutatja a következő mintapélda. Tudjuk,

hogy a 3-mal és a 9-cel való oszthatóság között kapcsolat van:

A 3-mal való oszthatóság szükséges, de nem elégséges feltétele a 9-cel való oszthatóságnak.

A 9-cel való oszthatóság elégséges, de nem szükséges feltétele a 3-mal való oszthatóságnak.

Derékszögű háromszög a2 + b2 = c2


Pitagorasz-tétel

Pitagorasz-tétel megfordítása


9-cel oszthatóság 3-mal oszthatóság

9-cel oszthatóság 3-mal oszthatóság

1. modul: LOGIKA 15

Mintapélda5

Fogalmazzuk meg a „szükséges” és az „elégséges” felhasználásával a következő kijelentések

közötti kapcsolatot: nyerek a lottón, és töltöttem ki szelvényt.

Megoldás:

Segítségül a kapcsolatot rajzzal szemléltethetjük:

Kitöltöttem szelvényt: ez szükséges, de nem elégséges feltétele annak, hogy nyerjek.

Az „akkor” az elégséges, a „csak akkor” a szükséges feltételt fogalmazza meg az ekviva-

lenciában.

Feladatok

10. Gyűjtsetek példákat a hétköznapi élet és a matematika területeiről, amelyekben hasz-

nálhatók a „szükséges”, illetve az „elégséges” szavak! Legyenek benne „szükséges és

elégséges” jellegű mondatok is!

11. Gyűjtsetek példákat a hétköznapi élet és a matematika területeiről ekvivalenciákra!

12. Mondjatok olyan kijelentéseket, amelyek szükségesek, illetve elégségesek a következő

kijelentésekkel kapcsolatban. Fogalmazzatok meg olyan mondatokat is a segítségük-

kel, amelyekben szerepelnek a nem elégséges, valamint a nem szükséges szókapcso-

latok is.

Például a kijelentés: leáll az autó. Ehhez megfogalmazhatók a következő impliká-

ciók:

Ha kifogy a benzin, akkor biztosan leáll az autó.

Annak, hogy leálljon az autó, elégséges feltétele, hogy kifogyjon a benzin.

Annak, hogy leálljon az autó, nem szükséges feltétele, hogy kifogyjon a benzin.

a) Elkaptam az influenzát.

b) Egy négyszögnek van párhuzamos oldalpárja.

c) Egy szám osztható 4-gyel.

kitöltöttem szelvényt nyerek a lottón


13. Helyes-e a következő ítéletekben az ekvivalencia használata? Fogalmazd át úgy a

mondatokat, hogy tartalmazzák a szükséges, illetve az elégséges kifejezéseket!

a) 15 osztója a-nak akkor és csak akkor, ha 5 osztója a-nak.

b) Egy négyszög átlói merőlegesek egymásra akkor és csak akkor, ha a négyszög

rombusz.

c) A háromszög köré írt körének középpontja akkor és csak akkor esik a leghosszabb

oldal felezőpontjába, ha a háromszög derékszögű.

1. modul: LOGIKA 17

IV. Skatulyaelv Mintapélda6

Gondold át az A és a B esetet:

A: Van 15 gyufaszálam és 10 dobozom, amelyekbe a gyufaszálakat rakhatom.

B: Van 10 gyufaszálam és 15 dobozom, amelyekbe a gyufaszálakat rakhatom.

Válaszd ki, hogy melyik állítás biztosan igaz (I), melyik hamis (H), és melyik lehet igaz is és

hamis is (L)!

A B

1. Minden dobozba kerül gyufaszál.

2. Minden gyufa egy dobozba kerül.

3. Pontosan egy üres gyufásdoboz van.

4. Biztosan van olyan doboz, amiben pont egy gyufa van.

5. Biztosan van olyan doboz, amibe legalább egy gyufa kerül.

6. Biztosan van olyan doboz, amibe legfeljebb egy gyufa kerül.

7. Biztosan van olyan doboz, amibe kettő gyufa kerül.

8. Biztosan van olyan doboz, amibe egynél több gyufa kerül.

9. Biztosan van legalább egy üres doboz.

10. Két üres gyufásdoboz van.

11. Legalább két üres doboz van.

12. Legfeljebb két üres doboz van.

13. Biztosan van 3 üres gyufásdoboz.

14. Biztosan van legalább két olyan gyufásdoboz, amibe több gyufa kerül.

A megfogalmazások jól mutatják, hogy amikor valamit kimondunk, törekedjünk a pontosság-

ra és az egyértelmű megfogalmazásra. Egy-egy apró megjegyzés vagy változtatás nagy hatás-

sal lehet a mondanivalónk megértésére és jelentésére.


A B esetben kevesebb a gyufa, mint a doboz, maradnia kell üres doboznak. Előfordulhat

olyan eset is, hogy 1–1 gyufa van 10 dobozban (ekkor öt üres doboz is van), vagy minden

szálat egy dobozba raktunk (ekkor 14 üres doboz van). Tehát legalább öt üres doboz marad

(öt vagy több). Az is elmondható, hogy legfeljebb 14 üres doboz van, vagyis az üres dobozok

száma 5 és 14 között lehet.

Mi a helyzet 13 gyufaszál és 12 doboz esetén? Milyen állításokat tudunk megfogalmazni?

Most több gyufa van, mint doboz. Ebből az következik, hogy biztosan van olyan doboz,

amiben egynél több szál gyufa található. Ha úgy rakom szét a gyufákat, hogy minden do-

bozba rakok egy szálat, akkor marad még 1 gyufaszál, amit el kell raknom valahová: teljesül

az állítás.

Elmondható-e ez 12 gyufa és 12 doboz esetén?

Természetesen nem, mert az is előfordulhat, hogy minden dobozba jut 1-1 gyufaszál. Tehát

nem mondható el, hogy „biztosan” marad üres doboz, vagy lenne legalább két gyufát tartal-

mazó. Előfordulhat, hogy van üres doboz, de az is, hogy nincs, és hogy a dobozokban egy

vagy több szál van. Az viszont elmondható, hogy akkor és csak akkor van üres doboz, ha

van olyan doboz, amibe több szál gyufát is raktunk.

Mintapélda7

Egy kalapban van 5 piros, 5 fehér, 5 sárga és 5 kék golyó. Legalább mennyit kell kihúzni be-

csukott szemmel, hogy biztosan legyen közöttük mind a négy színű golyóból?

Megoldás: Legrosszabb esetben kihúzok egymás után 5-5-5 azonos színűt, tehát legalább 16

golyót kell kihúznom. (Legszerencsésebb esetben az első 4 húzásra 4 különböző színűt

húzok, de azt nem mondhatom, hogy biztosan elég 4 húzás; mindig a legrosszabb esetre

kell gondolni.)

Skatulyaelv: ha k tárgyat kell n dobozban elhelyezni, akkor a következőket mondhatjuk:

• k < n esetén biztosan marad legalább n – k üres doboz

• k > n esetén van legalább egy olyan doboz, amiben legalább két tárgy van.

1. modul: LOGIKA 19

Mintapélda8

Adott 1 és 10 között 6 egész szám. Igazoljuk, hogy van köztük legalább két olyan, amelyek

összege páratlan.

Megoldás: 1-től 10-ig 5 páros, és 5 páratlan szám van. A 6 egész szám között biztosan van 2

olyan, aminek a paritása eltérő, így azok összege páratlan.

Mintapélda9

Egy 10 cm oldalú, négyzet alakú céltáblára véletlenszerűen lövünk 26 lövedéket. Igaz-e, hogy

van közöttük legalább 2, amelyek távolsága legfeljebb 3 cm?

Megoldás: A 10x10-es tábla felbontható 25 darab, 2x2 cm-es kis

négyzetre. A 26 lövedék között biztosan van 2 olyan, amelyik

azonos négyzetbe csapódik be, és ezek maximális távolsága a

négyzet átlója: 83,222 ≈ . Ennél a 3 nagyobb, ezért van két

olyan lövedék, amelynek a távolsága legfeljebb 3.

Mintapélda10

Igazoljuk, hogy egy 22 fős osztályban van legalább 4 tanuló, akik a hétnek ugyanazon a nap-

ján születtek!

Megoldás: A skatulyaelv szerint a hét minden napjára elhelyezve 22 tanulót lesz legalább egy

nap, amelyre 4 kerül. A „legrosszabb eset” elve szerint: ha minden napra 3 tanuló jutna,

akkor 21 tanuló járna az osztályba, tehát a 22-ediknek valamelyik naphoz kell kapcso-

lódnia, negyedikként.


Indirekt bizonyítási módszer (kiegészítő anyag) Mintapélda11

Megmutatjuk, hogy egy társaságban mindig akad legalább két olyan ember, akinek azonos számú ismerőse van a társaságban, ha az ismeretség kölcsönös. Megoldás:

– Vizsgáljuk meg 2 fős társaságban: vagy nem ismerik egymást, és ekkor mindkettőjük-nek 0 ismerőse van, vagy ismerik egymást, és ekkor mindkettőjüknek 1 ismerőse van a társaságban.

– 3 fős társaságban az ismeretségeket gráfokkal is szemléltethetjük, azaz az embereket pontokkal jelöljük, és két pontot akkor kötünk össze egy szakasszal, ha az emberek is-merik egymást.

– Általánosítsunk: tegyük fel, hogy n fős társaságban mindenkinek különböző számú is-

merőse van: 0, 1, 2, …, n – 1. Az n – 1 ismerőssel rendelkező ember mindenkit ismer, tehát nem lehet olyan, aki senkit nem ismer. Ha viszont van olyan a társaságban, aki senkit sem ismer, akkor egyiküknek sem lehet n – 1 ismerőse. Ez azt jelenti, hogy a 0 és az n – 1 ismeretség közül legfeljebb csak az egyik teljesülhet. Ez ellentmondás, vagyis nem lehet mindenkinek különböző számú ismerőse. Beláttuk, hogy van legalább két olyan ember, akinek azonos számú ismerőse van a társaságban.

A fenti gondolatmenet az indirekt bizonyítás példája, amit a matematikában sokszor al-kalmazunk. Lényege, hogy az eredeti állítás ellenkezőjét (tagadását) tesszük fel, és ezt kezdjük el bizonyítani. A végén ellentmondáshoz jutunk. Tehát célunk az, hogy a bizonyí-tás során találjunk egymásnak ellentmondó tényeket. Ezzel látjuk be, hogy a feltételezett állítás tagadása lehetetlen (hamis), és ekkor épp az ellenkezője (az eredeti állítás) teljesül. Indirekt bizonyítási módszerrel még találkozni fogunk ebben a tanévben, például annak bizonyítására, hogy 2 nem racionális szám. Indirekt (fordított irányú) bizonyítást akkor alkalmazunk, ha az állítás bebizonyításánál sokkal könnyebb igazolni azt, hogy az állítás tagadása (ellenkezője) nem teljesül.

1. modul: LOGIKA 21

Feladatok

14. Egy osztályban az osztálylétszám 25 fő, és egy dolgozatnál van A, B és C csoport.

Igazold, hogy van legalább 9 olyan tanuló, aki azonos csoportba kerül!

15. 4-féle pizzából rendeltek. Legalább hány fős társaság esetén mondhatjuk el, hogy biz-

tosan van olyan pizza, amelyet legalább 3 fő rendelt?

16. Mennyi az a legkisebb vevőszám egy DVD-boltban, amikortól elmondható, hogy egy

kategóriából legalább 3 ember vásárolt? A kategóriák: romantikus, horror, akciófilm,

vígjáték, mese.

17. Legalább hány fős az osztály, ha teljesül, hogy legalább 3 tanuló biztosan ugyanabban

a hónapban született?

18. Igazold a következő állítást: ha egy sorban, 12 széken ül 9 ember, akkor van 3 olyan

szomszédos szék, amelyen ülnek emberek.

19. Adott n házaspár. A 2n ember közül mennyit kell kiválasztanunk, hogy biztosan akad-

jon közöttük házaspár?

20. Egy főiskolán 3 szakra lehet felvételizni, de egy személy csak egyre jelentkezhet. Leg-

alább hányan felvételiztek, ha biztosan van olyan szak, ahová legalább 24 ember je-

lentkezett?

21. Egy szakképző központban 10-féle szakmát lehet tanulni. Hány tanuló esetén mondha-

tó el, hogy biztosan van olyan szakma, amit legalább 8 ember tanul?

22. Egy utazási iroda 6 horvátországi utat ajánl nyárra. Legalább hány jelentkező esetén

mondhatjuk el, hogy biztosan van olyan út, amire legalább 8 ember jelentkezett?

23. Adott 7 pont egy 1 cm sugarú körben. Igazold, hogy van legalább két olyan pont, ame-

lyek 1 cm-nél közelebb vannak egymáshoz!


Kislexikon Ha HA – AKKOR kapcsolattal két kijelentést összekapcsolunk, akkor új kijelentés keletkezik.

Ezt a kapcsolatot implikációnak nevezzük. Általános alakja:

HA feltétel, AKKOR következmény.

Az implikáció logikai értéke hamis, ha a feltétel igaz, és a következmény hamis. Minden más

esetben az implikáció logikai értéke igaz.

Ekvivalenciának nevezzük az „AKKOR ÉS CSAK AKKOR” kapcsolattal kifejezett logi-

kai műveletet. Az ekvivalencia logikai értéke akkor igaz, ha a két állítás logikai értéke meg-

egyezik. Az „akkor és csak akkor” kapcsolatot a matematikában olyan tételeknél használjuk,

amelyek oda-vissza érvényesek („megfordíthatók”).

Skatulyaelv: ha k tárgyat kell n dobozban elhelyezni, akkor a következőket mondhatjuk:

k < n esetén biztosan marad legalább n–k üres doboz

k > n esetén van legalább egy olyan doboz, amiben legalább két tárgy van.

2. MODULA NÉgYzETgYÖK FOgALMA, AzONOsságAi

Készítette: Gidófalvi Zsuzsa


I. A négyzetgyök fogalma

Mintapélda1

Helyezzük el az alábbi műveletek eredményeit a

számhalmazok közötti kapcsolatot kifejező halmaz-

ábrán!

57223 ⋅+=a ; ( ) 57223 ⋅+=b ;

58−=c ; 85−=d ;

3514

=e ; 90

180−=f .

Megoldás:

Azt mondjuk, hogy a természetes számok halmaza az összeadás és a szorzás műveletére néz-

ve zárt. A kivonás kivezethet a természetes számok halmazából: pl. a d már negatív egész

szám.

Az egész számok halmaza az összeadás, kivonás és szorzás műveletére nézve zárt.

Az osztás kivezethet az egész számok halmazából, pl. e és f már nem egész számok.

Azokat a számokat, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként,

racionális számoknak nevezzük.

Z

Q

N

2. modul: A NÉGYZETGYÖK FOGALMA, AZONOSSÁGAI 25

Feladatok

1. Írd fel az alábbi racionális számok tizedes tört alakját:

a) 45 ; b)

310 ; c)

87 ; d)

76 ; e)

67 ; f)

12180 .

A feladat megoldása során azt tapasztaltuk, hogy az eredményként kapott számok tizedes tört

alakja vagy véges, vagy végtelen szakaszos tizedes tört. Ez általánosan is elmondható:

Ennek indokolása a modul végén, a kislexikonban található.

Léteznek olyan tizedes törtek is, amelyek végtelenek, de nem szakaszosak. Ez azt jelenti,

hogy vannak olyan számok, amelyek nem racionális számok.

Az irracionális számok tizedes tört alakja végtelen, nem szakaszos tizedes tört.

Irracionális számot magunk is készíthetünk például a következőképpen:

• egymás után írjuk a tizedes vessző után a pozitív egész számokat:

0, 1234567891011121314…

• a hármasok számát mindig eggyel növeljük:

5, 23233233323333233333…

Irracionális számot másképp is előállíthatunk.

Nézzük a következő feladatot!

A racionális számok tizedes tört alakja vagy véges, vagy végtelen sza-

kaszos tizedes tört.

Azokat a számokat, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként,

irracionális számoknak nevezzük.


Mintapélda2

Adott egy téglalap, amelynek oldalai 6 és 8 egység hosszúak. A téglalapot egy vágással osz-

szuk két egyenlő területű részre! Határozzuk meg a vágás hosszát!

Megoldás:

a) Ha valamelyik oldalfelező mentén vágjuk ketté a téglalapot,

akkor a vágás hossza valamelyik oldal hosszával egyezik meg.

b) Ha az átló mentén vágjuk ketté a téglalapot, akkor a vágás a

téglalap átlója, hossza a Pitagorasz-tétellel kiszámolható.

100643686 222 =+=+=x .

Az átló hossza egy olyan nemnegatív szám, amelynek a négy-

zete 100.

Ezt a számot a 100 négyzetgyökének nevezzük és a következőképpen jelöljük:

x = 100 = 10.

c) Ha a vágás metszi a hosszabbik oldalt, trapézt kapunk. A vágás

hosszát ekkor is a Pitagorasz-tétel segítségével tudjuk meghatá-

rozni.

A PQR derékszögű háromszögben xRQ 28−= ,

( ) 2222 4326436286 xxxy +−+=−+= ,

100324 22 +−= xxy ,

100324 2 +−= xxy .

x helyére olyan számok írhatók, nullánál nem kisebbek és négynél nem nagyobbak:

40 ≤≤ x . Határozzuk meg az y értékét x néhány lehetséges értéke mellett!


x = 0 esetén: a vágás pontosan a téglalap átlója lesz, 10=x .

x = 1 esetén: 7210013214 22 =+⋅−⋅=y

72=y .

x = 2 esetén: 5210023224 22 =+⋅−⋅=y

52=y .

x = 2,4 esetén: 24,461004,2324,24 22 =+⋅−⋅=y

24,46=y .

x = 3 esetén 4010033234 22 =+⋅−⋅=y

40=y .

x = 4 esetén 3610043244 22 =+⋅−⋅=y

636 ==y .

Ebben az esetben a téglalap egyik középvonalát kapjuk.

d) Ha a vágás metszi a rövidebb oldalt, szintén két egyenlő

területű trapézt kapunk. A vágás hosszát ekkor is a

Pitagorasz-tétel segítségével tudjuk meghatározni.

( ) 2222 4243664268 xxxy +−+=−+=

100244 22 +−= xxy

100244 2 +−= xxy .

x helyére olyan számok írhatók, amelyek nullánál nem kisebbek, és háromnál nem na-

gyobbak: 30 ≤≤ x . Határozzuk meg az y értékét x néhány lehetséges értéke mellett!

x = 0 esetén: a vágás pontosan a téglalap átlója lesz, 10=x .

x = 1 esetén: 8010012414 22 =+⋅−⋅=y ,

80=y .

x = 1,32 esetén: 29,7510032,12432,14 22 =+⋅−⋅=y ,

29,75=y .

x = 2 esetén: 6810022424 22 =+⋅−⋅=y ,

68=y .


x = 3 esetén 6410032434 22 =+⋅−⋅=y ,

864 ==y .

A vágással most a téglalap másik középvonalát kapjuk.

Ebben a feladatban a vágás hosszának meghatározása során egy szám négyzetgyökét kaptuk.

Azt a nemnegatív számot, amelynek

a négyzete 2, négyzetgyök kettőnek,

a négyzete három, négyzetgyök háromnak,

a négyzete 64, négyzetgyök 64-nek, … stb. nevezzük. Ezeket a következőképpen je-

löljük: 2 ; 3 ; 64 ; … stb.

A négyzetgyökök között racionális és irracionális számok is lehetnek. Igazolható például,

hogy 2 irracionális szám (a bizonyítás a modul végén, a kislexikon után található). További

irracionális számok a π,5,3 stb.

Milyen számhalmazon értelmezhető a négyzetgyök?

Mintapélda3

Határozzuk meg a következő számok négyzetgyökét (ha van):

5;44,1;94;0;16;25 − .

Megoldás:

• 25 esetén két olyan valós szám van, amelynek a négyzete 25. Ezek a –5 és a +5, hiszen

( ) 255 2 =− és 2552 = .

Megállapodás szerint közülük a nem negatívot nevezzük négyzetgyök 25-nek:

525 = .

• –16 esetén nincs olyan valós szám, amelynek a négyzete –16, mivel minden valós

szám négyzete nemnegatív szám lesz. Így a 16− nem értelmezhető a valós számok

halmazán.

• 0 esetén egy olyan valós szám van, amelynek a négyzete 0. 00 = , mert 002 = .


• 94 esetén két olyan valós szám van, amelynek a négyzete

94 . Közülük a nemnegatív a

négyzetgyök:32

94= , mert

2

32⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

94 .

• 1,44 esetén két olyan valós szám van, amelynek a négyzete 1,44. Közülük a

nemnegatív a négyzetgyök: 2,144,1 = , mert ( ) 44,12,1 2 = .

• 5 esetén két olyan valós szám van, amelynek a négyzete 5. Közülük a nemnegatív a

négyzetgyök: 5 , mert ( ) 552= .

Feladat

2. Határozd meg a következő számok négyzetgyökét: 100; 25; 49; 0,01; 0,25; 91 ;

41 .

Vizsgáljuk meg, mivel egyenlő a 2a kifejezés!

A definícióban az áll, hogy a négyzete a , azaz ( ) aa =2

. Vajon igaz-e, hogy aa =2 ?

Például 4 értéke 2, vagyis 2=a esetén 24222 ===a , a aa =2 egyenlőség teljesül.

Mi a helyzet 2−=a esetén? Ekkor ( ) 242 22 ==−=a , vagyis nem teljesül a aa =2

egyenlőség.

A négyzetgyök definíciója alapján a négyzetgyökjel alatt csak nemnegatív szám szerepelhet.

Most az 02 ≥a feltételnek kell teljesülni, ami minden valós számra igaz is.

Azonban a gyökvonás eredménye a definíció értelmében nem lehet negatív szám. Ez azt je-

lenti, hogy a aa =2 egyenlőség nem teljesülhet, ha a negatív szám. Vizsgáljuk meg a követ-

kező eseteket, hogy a megoldást megtaláljuk!

( ) 22 2 =− ; ( ) 55 2 =− ; ( ) 88 2 =− ;

222 = ; 552 = ; 882 = .

Legyen 0≥a . a jelenti azt a nemnegatív valós számot, amelynek a

négyzete a .

( ) aa =2

.


A példákból látható, hogy aa =2 teljesül, ha 0≥a és aa −=2 , ha 0≤a . Vagyis:

Feladat

3. Határozd meg a következő négyzetgyökös kifejezések értékét:

2x ; 4y ; 6x ; 8y .

Az ókorban alakult ki a racionális és irracionális szám fogalma. A középkori Európában a számok gyökének jelölésére a latin radix (gyökér) szó első betűjét használták. A mai gyökjel alkalmazása körülbelül 400 éve vált általánossá.

Szakaszok összemérhetősége (olvasmány) Két szakaszt összemérhetőnek nevezünk, ha megadható olyan egység, amelynek mind a két

szakasz többszöröse.

Például az 45 és a

37 hosszúságú szakaszok összemérhetők, hisz mind a kettő az

121 hosszúsá-

gú szakasznak a többszöröse: az első 15-szöröse, a második pedig 28-szorosa. Két olyan szakasz, amelyeknek a hossza racionális számmal adható meg, mindig összemérhe-

tő. Az egység az a tört lesz, amelynek számlálója 1 és a nevezője a két tört nevezőjének legki-

sebb közös többszöröse. A négyzet oldala és átlója már nem összemérhető, hisz ha a négyzet oldalának hossza racioná-

lis, az átlóé irracionális. Ezt a megállapítást már a görög matematikusok bebizonyították. Mi a

könyvünkben nem térünk ki a bizonyítására.

Irracionális számok helyének meghatározása a számegyenesen (olvasmány)

A számegyenesen minden eddig megismert szám ábrázolható. Vajon hol helyezkednek el az

irracionális számok a számegyenesen? A feladatokban kiszámoltuk, hogy léteznek irracionális

hosszúságú szakaszok is. Vajon hogyan lehet megszerkeszteni a 2 hosszúságú szakaszt?

Ezekre a kérdésekre keressük a választ.

Minden ∈a R esetén teljesül a aa =2 összefüggés.


A geometriában találkoztunk már 2 -vel: az egységnyi oldalú négyzet

átlójának hossza éppen 2 egység. Ha ezt megrajzoljuk, akkor az átlót kör-

zőnyílásba véve a 2 hosszúságú szakasz rámérhető a számegyenesre,

amelyen az e szerkesztésben alkalmazott egység szerepel.

Feladat

4. Hogyan lehet megszerkeszteni a 3 és a 5 hosszúságú szakaszt?

n hosszúságú szakasz ( ∈n N ) mindig megszerkeszthető, például az ábrán látható csigavo-

nallal:

Ezek a szakaszok körzőnyílásba véve rámérhetőek a számegyenesre.

Nem minden irracionális számot lehet megszerkeszteni. Pl. a π nem szerkeszthető meg.


Számok négyzetgyökének meghatározása zsebszámológéppel.

a) Egyszerű számológéppel:

Beírjuk azt a számot, amelynek a négyzetgyökét szeretnénk

meghatározni, majd lenyomjuk a jelű billentyűt.

Például: 25,17 ≈ 4,15, vagy 078,456 ≈21,36

A zsebszámológép típusától függ, hogy a végeredményt hány

tizedesjegy pontossággal írja ki. Mi most két tizedesjegyre kerekítettük.

b) Van olyan számológép, amelynél először a négyzetgyök-

jelet nyomjuk le, és utána kell megadni azt a számot,

amelynek a négyzetgyökét akarjuk meghatározni.

c) Van olyan számológép is, amelynél a sorrend: szám, 2nd,

x2 lépésekkel történik egy szám négyzetgyökének meg-

határozása.

Megjegyzés: A számológépek sokfélék. Mindenki ismerje meg a saját gépét, hogy azon mi-

ként határozható meg egy szám négyzetgyöke.

Feladat

5. Zsebszámológép segítségével határozd meg két tizedesjegyre kerekítve a következő

számokat:

7,43 ; 12,503 ; 0073,0 ; 412623 ;

412623 ; 28·73 ; 73 · 28 ; 47142 + ;

142 + 47 ; 865 ;

865 .


II. Négyzetgyökökre vonatkozó azonosságok

Mintapélda4

a) Határozzuk meg 900 négyzetgyökét!

Megoldás:

30900 = , mert 900302 = .

Észrevehetjük, hogy 100·9900 = , és 10330 ⋅= . A szorzat négyzetgyöke egyenlő a té-

nyezők négyzetgyökének szorzatával.

b) Számítsuk ki a 6015 ⋅ szorzat pontos értékét!

Megoldás:

Előző észrevételünket visszafelé alkalmazva a tényezők szorzatából vonjunk négyzet-

gyököt.

3090060156015 ==⋅=⋅ .

Négyzetgyökök szorzata egyenlő a négyzetgyökjel alatti mennyiségek szorzatának négy-

zetgyökével. Ennek alapján általánosan felírhatjuk a következő azonosságot:

Ezt az azonosságot úgy is fogalmazhatjuk, hogy szorzatból tényezőnként lehet négyzetgyököt

vonni, ha mindegyik tényezőnek létezik a négyzetgyöke.

Mintapélda5

Határozzuk meg 2

72 tört pontos értékét!

Megoldás:

Az I. azonosság alapján 2

72 = 236·2 = 36

2·2 = 36 = 6.

baba ⋅=⋅ , ahol 0≥a és 0≥b . (I.)


Ha átírjuk az eredeti törtet 2

72 = 2

72 alakba, akkor a 2

72 = 2

72 = 36 = 6 hányadost

kapjuk. Ennek alapján általánosan felírhatjuk a következő azonosságot:

Hányados négyzetgyöke egyenlő a számláló és a nevező négyzetgyökének hányadosával.

Két négyzetgyök hányadosa egyenlő a gyökjel alatti mennyiségek hányadosának négy-

zetgyökével.

Mintapélda6

a) Határozzuk meg 4 négyzetgyökének harmadik hatványát!

Megoldás:

( ) 824 33== .

b) Határozzuk meg a 34 -nak a négyzetgyökét!

Megoldás:

86443 == .

A két egyenlet jobb oldala egyenlő, így az egyenlőség tranzitív tulajdonsága miatt felírhatjuk

az alábbi egyenletet:

( ) 3344 = .

Négyzetgyök hatványa egyenlő a gyökjel alatti mennyiség hatványának négyzetgyökével.

Hatvány négyzetgyöke egyenlő a hatványalap négyzetgyökének hatványával.

A megfogalmazott azonosságoknál mindig figyelni kell arra, hogy az összes szereplő kifeje-

zés értelmezhető legyen. Alkalmazásuknál a felírt egyenlőségeket mindkét irányba olvasva

felhasználhatjuk. Az azonosságok bizonyítása a modul végén, a kislexikon után található.

ba

ba= , ahol 0≥a és 0>b . (II.)

( ) nnaa = ahol 0≥a . (III.)


Feladat

6. A négyzetgyökök szorzatára és osztására vonatkozó azonosságok alapján határozzuk

meg a következő négyzetgyököket!

a) 4·81 ; 25·9 ; 100·16 ; 49·36·25 ;

b) 32·72 ; 10·250 ; 40·810 ; 75·48 ;

c) 4010 ⋅ ; 9010 ⋅ ; 16010 ⋅ ; 25010 ⋅ ;

d) 2162 ⋅ ; 728 ⋅ ; 5213 ⋅ ; 1227 ⋅ ;

e) 649 ;

254 ;

449 ;

49 ;

169121 ;

f) 182 ;

502 ;

327 ;

348 ;

753 .

Mintapélda7

Melyik szám nagyobb: 52 vagy 25 ?

Megoldás:

66,53225 ≈= és 52552 == . Tehát 25 52 > .

Általánosságban elmondható, hogy nagyobb számnak nagyobb a négyzetgyöke. Erre egy

másik modulban, a függvények tanulásakor még visszatérünk.


Mintapélda8

Végezzük el a következő műveleteket!

a) ( ) ( )715715 +⋅− ;

b) ( )232 − ;

c) ( ) ( )53532 −⋅+⋅ .

Megoldások:

a) Használjuk fel az ( ) ( ) 22 bababa −=−⋅+ azonosságot!

( ) ( ) ( ) ( ) 871771571571522

=−=−=+⋅− .

b) Használjuk fel az ( ) 222 2 bababa +−=− azonosságot!

( ) ( ) ( ) 62536223322232222

⋅−=+⋅−=+⋅⋅−=− .

c) Használjuk fel a négyzetgyökvonás azonosságait!

( ) ( ) ( ) ( ) 151515152325532325353222

−=−+⋅−⋅=−⋅⋅−⋅=−⋅+⋅

Mintapélda9

Számítsuk ki a következő kifejezések értékét:

a) 7474 −⋅+ ;

b) 2

2323 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −++ .

Megoldások:

a) Alkalmazzuk a I. azonosságot:

( ) ( ) 3971674747474 ==−=−⋅+=−⋅+ .

b) Alkalmazzuk a négyzetre emelés és a négyzetgyök I. azonosságát!

( ) ( ) 726292623232322323232

+=−+=−+−⋅+⋅++=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −++ .


III. Műveletek négyzetgyökökkel

Mintapélda10

Számítsuk ki a következő kifejezés értékét: 2045 − !

Megoldás:

A tanult azonosságokat alkalmazva kapjuk, hogy 54592045 ⋅−⋅=− .

535959 =⋅=⋅ , valamint 525454 =⋅=⋅ . Így a kifejezés értéke

55253 =− .

.

A négyzetgyökjel alatti számot úgy alakítottuk szorzattá, hogy a szorzat egyik tényezője

négyzetszám legyen, és ezt kiemeltük a négyzetgyökjel alól.

Feladatok

7. Határozd meg a következő kifejezések pontos értékét:

a) 2007232 −+ ;

b) 274812 ++ ;

c) 2024598 ⋅+− ;

d) 453501282 ⋅+−⋅ .

8. Határozd meg a következő kifejezések pontos értékét!

a) 8205080 −−+ ;

b) 1845125 −− ;

c) ( ) ( )1845125825080 −−⋅−−+ .


Mintapélda11

Számítsuk ki a 452 ⋅ kifejezés pontos értékét!

Megoldás:

5454

454

452 =

⋅=⋅=⋅ .

A négyzetgyökjel előtt álló számot a négyzetgyök definíciója alapján felírhatjuk gyökös

alakban, és alkalmazva a négyzetgyökvonás azonosságait, közös gyökjel alá írhatjuk.

Feladat

9. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét:

a) 953 ⋅ ; b)

329

34⋅ ; c)

4510 ⋅ ; d)

25315 ⋅ .

Mintapélda12

Számítsuk ki zsebszámológéppel, mennyivel egyenlő a következő két kifejezés értéke:

23

1−

és 23 + .

Megoldás:

14627,323

1≈

−; 14627,323 ≈+ .

Úgy találjuk, hogy a két tört értéke jó közelítéssel megegyezik.

Az igazság az, hogy a két tört értéke pontosan megegyezik. Mivel végtelen, nem szakaszos

tizedes törtek (irracionális számok) szerepelnek a feladatban, a pontos egyezést kerekítéssel

nem lehet igazolni. Helyette olyan műveletet keresünk, amelynek segítségével a két kifejezés

azonos alakúra hozható. A mintapéldához hasonlóan sok probléma esetén megoldást nyújthat, ha a négyzetgyökös

törtes kifejezéseket úgy alakítjuk át, hogy a nevező ne tartalmazzon négyzetgyököt. Ezt

hívjuk a nevező gyöktelenítésének. Jellemző módszere a tört bővítése: olyan kifejezést kere-

sünk, amellyel a nevezőt meg kell szoroznunk, hogy eltűnjön a négyzetgyök. Természetesen

nemcsak a nevezőt szorozzuk, hanem bővítünk, hogy ne változzon a tört értéke.


Mintapélda13

Gyöktelenítsük a következő kifejezések nevezőjét: a) 2

1 ; b) 2

6 ; c) 23

1−

.

Megoldás:

a) 22

21

21

⋅= .

Azért választottuk a 22 kifejezést, mert

• egyrészt ennek az értéke 1-gyel egyenlő, vagyis a tört értéke nem változik, ha meg-

szorozzuk vele;

• másrészt a két tört nevezőjét összeszorozva gyökjel mentes kifejezést, 2-t kapunk.

22

22

21

21

=⋅= .

A kapott 22 kifejezés nevezőjében négyzetgyök nem szerepel, ez a feladat megoldása.

b) 232

2622

26

26

⋅=⋅

=⋅= .

A most kapott kifejezésből még a nevező is eltűnt, a feladat megoldása 23 .

c) 2323

231

231

++

⋅−

=−

.

Azt a kifejezést kellett megkeresni, amellyel a 23 − kifejezést megszorozva a kapott

eredmény gyökjelmentes kifejezés.

Szorzáskor nevezetes azonosságot használunk: ( ) ( ) 22 bababa −=−⋅+ .

( )( ) ( ) ( ) =−+

=−

+=

+−+

=++

⋅−

=− 23

23

23

232323

232323

231

231

22

231

23+=

+= .

A gyöktelenítés eredménye 23 + .

Most már érthető, hogy miért kaptunk a 12. mintapéldában számológéppel egyenlő eredmé-

nyeket 23

1−

és 23 + esetén.


Feladat

10. Gyöktelenítsd a következő törtek nevezőjét:

a) 6

1 ; b) 155 ; c)

232+

; b) 35

10−

.

Mintapélda14

Melyik szám nagyobb? a) 72 vagy 23 ; b) 36 vagy

410 .

Megoldás:

a) Alkalmazzuk a gyökjel alá bevitelt: 287472 =⋅= .

182923 =⋅=

Mivel a nagyobb számok négyzetgyöke is nagyobb, 2372 > .

b) Most is alkalmazzuk a gyökjel alá történő bevitelt:

2415

85illetve

2416

32

85

1610

1610

410

32

96

96

36

==

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

===

===

A gyökjel alatti törteket közös nevezőre kellett hoznunk, hogy össze tudjuk azokat

hasonlítani. Mivel 2415

2416

> , a megoldás: 410

63> .

Feladatok

11. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét!

a) 728 − ; b) 63728 −+ ;

c) 18898 −+ ; d) 1477512 −+ .

12. Végezd el a következő műveleteket!

a) ( ) ( )542352 −⋅+ ; b) ( ) ( )3232334 −⋅+− ;

c) ( ) ( )54325432 −⋅+ ; d) ( )22372 − ;

e) ( )23573 + ;

f) ( )353 + ; g) ( )32253 − .


13. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét!

a) 135135 −⋅+ ; b) 32413241 −⋅+ ;

c) 59755935 −⋅+ ; d) 122222 +⋅− ;

e) 2

117117 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+ ; f)

2

249329 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−− ;

g) 2

14301430 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++− .

14. Melyik szám nagyobb?

a) 26 vagy 83 ; b) 34 vagy 25 ;

c) 5 5 vagy 8 2 ; d) 721 vagy

515 ;

e) 4

53 vagy 6

27 .

15. Adott A= 50 – 12 és B = 8

9620 − . Melyik állítás igaz? A > B vagy A < B ?


a) 192 + 27 – 108 ;

b) 72 – 32 – 8 ;

c) 252 – 28 + 63 – 7 ;

d) ( 108 – 12 + 32 – 8 ) · ( 147 – 27 – 50 + 18 ).

17. Gyöktelenítsd a következő törtek nevezőjét!

a) 3

2 ; b) 52

8 ; c)35

3−

; d) 232

4−

; e) 3232

−+ .

18. Számítsd ki a következő kifejezések helyettesítési értékét, ha x = 31 :

a) 2

2+x

+ x−2

2 ; b) 121−+

xx +

12 +xx .


Kislexikon

Azokat a számokat, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként, racionális számok-

nak nevezzük.

Azokat a számokat, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként, irracionális szá-

moknak nevezzük. Tizedes tört alakjuk végtelen, nem szakaszos tizedes tört.

A négyzetgyök fogalma

Legyen 0≥a . a jelenti azt a nemnegatív valós számot, amelynek a négyzete a .

( ) aa =2

.

A négyzetgyök azonosságai

I. azonosság: baba ⋅=⋅ , ahol 0≥a és 0≥b .

II. azonosság: ba =

ba , ahol a ≥ 0 és b > 0.

III. azonosság: ( a ) n = na , ahol a ≥ 0.


Tételek és bizonyítások

Tétel: A racionális számok tizedes tört alakja véges, vagy végtelen szakaszos tizedes tört.

Bizonyítás: Legyenek p és q (q ≠ 0) egész számok, és osszuk el p-t q-val. Amennyiben az osztás során

maradékul nullát kapunk, akkor a qp racionális szám tizedes tört alakja véges. Ha az osztás

során nem nulla a maradék, akkor a lehetséges maradékok 1, 2, 3 … , 1−q . Így az osztás köz-

ben legfeljebb q lépés után újra olyan maradékot kapunk, ami már szerepelt. Egy idő után a maradékok ismétlődnek, tehát a tizedes tört végtelen szakaszos lesz.

Tétel: A 2 irracionális szám. Bizonyítás: A bizonyítás indirekt módszerrel történik. Tegyük fel, hogy a 2 felírható két egész szám (p és q) hányadosaként: olyan tört alakba, amelyet tovább már nem tudunk egyszerűsíteni.

Vagyis létezik olyan p és q ∈Z+, hogy 2 = qp , és p és q relatív prímek: ( ) 1, =qp .

Négyzetre emelve 2 = 2

2

qp , amiből 222 pq = . Azt kaptuk, hogy p2 páros. Ez csak úgy lehet-

séges, ha p is páros, azaz 2|p. Ekkor 4|p2, és 222 pq = miatt q2 is, végső soron q is páros.

Ha q is páros és p is páros, akkor legnagyobb közös osztójuk legalább 2. Ez ellentmond annak a feltételnek, hogy p és q relatív prímek. Mivel feltételezésünk ellentmondásra vezetett, az eredeti állítás igaz. Megjegyzés: a fenti módszer segítségével belátható, hogy minden olyan a > 0 valós szám esetén, amely nem négyzetszám, a irracionális. I. azonosság: baba ⋅=⋅ , ahol 0≥a és 0≥b . Bizonyítás: Mindkét oldal nemnegatív, ezért a négyzetgyöküket hasonlíthatjuk össze. A négyzetgyök definíciója alapján: ( ba· )2 = a·b; ( a )2 = a; ( b )2 = b; a·b = ( a )2 ·( b )2. A hatványozás azonossága alapján:

( a )2 ·( b )2 = ( )2· ba ;

( ba· )2 = ( )2· ba .


Mivel az x ≥ 0 esetén az x2 függvény szigorúan monoton növekvő, így ( ba· )= ( a )·( b ).

II. azonosság: ba =

ba , ahol a ≥ 0 és b > 0.

Bizonyítás:

A négyzetgyök definíciója alapján: 2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ba =

ba .

( a )2 = a; ( b )2 = b;

ba = ( )

( )22

b

a .

Így: ( )( )2

22

b

aba

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛.

A hatványozás azonossága alapján: 2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ba =

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ba .

Mivel az x ≥ 0 esetén az x2 függvény szigorúan monoton növekvő, így ba =

ba .

III. azonosság: ( a ) n = na , ahol a ≥ 0. Bizonyítás: A bal oldalt négyzetre emelve a hatványozás azonosságai és a négyzetgyök definíciója alap-

ján: ( ) ( ) ( ) nnnn

aaaa =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ 222

.

A jobb oldalt négyzetre emelve a négyzetgyök definíciója miatt: ( ) nn aa =2

.

A két oldal négyzete tehát egyenlő. Nemnegatív számok esetén az x2 függvény szigorúan mo-noton növekvő, így ( a ) n = na .

3. MODULALgEbrAi AzONOsságOK És MásODFOKú EgYENLETEK

Készítette: Darabos Noémi Ágnes


I. Nevezetes azonosságok (Ismétlés)

( ) 222 2 bababa ++=+ ( ) 222 2 bababa +−=−

( )( ) 22 bababa −=−+

Mintapélda1 Bontsuk prímtényezőire a következő számokat: 3599, 8099.

Megoldás:

( )( ) 5961160160160136003599 22 ⋅=−+=−=−= .

( )( ) 891378991190190190181008099 22 ⋅⋅=⋅=−+=−=−= .

Mintapélda2 Egyszerűsítsük a következő törteket:

a) 22

22

11222412124

−− ; b)

20003620062 − ; c)

20011999199820007998

⋅−⋅.

3. modul: ALGEBRAI AZONOSSÁGOK ÉS MÁSODFOKÚ EGYENLETEK 47

Megoldás:

a) ( )( )( )( ) 42

17336136

112336112136

1122241122241212412124

11222412124

22

22

==⋅⋅

=−+−+

=−− ;

b) ( )( ) 20122000

62006620062000

3620062

=−+

=− ;

c) Vegyük észre, hogy a feladatban szereplő számok a 2000-rel szoros kapcsolatban

vannak, ezért legyen ,2000=a ekkor

( ) ( )( )( ) 2

21122

11224

20011999199820007998

−=−−

=+−−−

−=

⋅−⋅ aa

aaaaa .

Mintapélda3 Két szám szorzata 91, összege 20. Mennyi a két szám négyzetösszege?

Megoldás:

Legyen a két szám a és b, ekkor 2091 =+=⋅ baba .

Tudjuk, hogy ( ) 222 2 bababa ++=+ ebből:

( ) 218182400912202 2222 =−=⋅−=−+=+ abbaba .

Teljes négyzetté kiegészítés

Mintapélda4 Egészítsük ki teljes négyzetté a következő kifejezéseket!

a) 2082 +− xx ; b) 14122 2 ++ xx ; c) 25102 2 +− xx .

Megoldás:

a) ( ) ( ) 4420164208 222 +−=+−−=+− xxxx ;

b) ( ) ( )[ ] ( ) 432793276214122 2222 −+=+−+=++=++ xxxxxx ;

c) ( ) ( )[ ] ( ) 5,125,225,1225,65,225,125225102 2222 +−=+−−=+−=+− xxxxxx ;

vagy ( ) ( )[ ] ( ) 5,125,222525,65,22255225102 2222 +−=+−−=+−=+− xxxxxx .


Szélsőérték-feladatok Mintapélda5

Állatainak Tamás téglalap alakú területet akar elkeríteni. 200 m kerítésdrótja van, és azt

szeretné, hogy szeretett állatainak a lehető legnagyobb területet kerítse el. Mekkorának

válassza a téglalap oldalait?

Megoldás:

Jelöljük a téglalap oldalait a-val és b-vel.

( ) ,1002002 abbaK −=⇒=+=

( ) .100100 2 aaaaabT +−=−==

Teljes négyzetté kiegészítés:

( ) ( )[ ] ( ) 2500505050502100 22222 +−−=−−−=⋅−−=+− aaaaaa .

A kifejezésnek maximuma van az 50=a helyen. (A maximum érték 2500).

Ekkor: 50100 =−= ab .

Tamás akkor keríti el a legnagyobb területet állatainak, ha mindkét oldal 50 m.

Megjegyzés:

A téglalap területe adott kerület esetén akkor a legnagyobb, ha oldalai egyenlők,

vagyis ha négyzet.

Feladatok


a) ( )22+x ; b) ( )23−y ; c) ( )( )55 −+ zz ;

d) ( )23 ba + ; e) ( )24 cb − ; f) ( )( )acac +− 66 ;

g) ( )223 yx + ; h) ( )257 zy − ; i) ( )( )xzxz 6464 −+ ;

j) ( )2328 ba + ; k) ( )274 910 cb − ; l) ( )( )453453 5757 abcabc +− ;

m) ( )223 yx + ; n) 2

37

53

31

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − zy ; o) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − −− 3535

715

715 xzxz .

2. Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket!

a) 25102 ++ aa ; b) 36122 +− bb ; c) 492 −c ;


d) 2441 dd +− ; e) 23612 ee ++ ; f) 244,1 f− ;

g) 22 4914 yxyx ++ ; h) 257049 2 +− yy ; i) 2121144 x− ;

j) 22 43624 baab ++ ; k) 4236 26169 bbcc +− ; l) 22 1625 ba − ;

m) 22

259

4925

76 baab ++ ; n) 428224 402516 bcdadcba −+ ; o) 16 −a ;

p) 1323 2 ++ xx ; q) 646566 9325,0 bababa +− ; r) 48 8116 bx − .

3. Alakítsd teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé a következőket:

a) 862 ++ xx ; b) 582 +− xx ; c) 352 −+ xx ; d) 732 +− xx ;

e) 1582 2 +− xx ; f) 18243 2 −+ xx ; g) 1172 2 −+− xx h) 653 2 +−− xx .

4. Úgy vágj két részre egy 72 cm hosszú szakaszt, hogy az egyes részek, mint oldalak fölé

emelt négyzetek területének összege a lehető legkisebb legyen!

5. Azok közül a derékszögű háromszögek közül, amelyeknél a befogók összege 15 cm,

melyiknek az átfogója a legkisebb?

6. Egy kereszteződés felé két egymásra merőleges úton egyenletes sebességgel halad két

autó. Egyszerre indultak, az egyik 60 km/h sebességgel 30 km távolságból, a másik 90

km/h sebességgel 45 km távolságból. Mennyi idő múlva lesznek egymáshoz a

legközelebb? Mekkora ekkor a távolságuk?


II. Harmadfokú nevezetes azonosságok Két szám összegének harmadik hatványa Felhasználjuk a hatványozás azonosságait: 23 xxx ⋅= és azt ( )bax += -re alkalmazzuk.

( ) ( )( ) ( )( )3223

3222232223

33222

babbaababbaabbaababababababa

+++=

=+++++=+++=++=+

Mintapélda6

Végezzük el a következő műveletet: ( )35+x =

Megoldás:

( ) 1257515553535 2332233 +++=+++=+ xxxxxxx .

Két szám különbségének harmadik hatványa

Felhasználjuk a hatványozás azonosságait: 23 xxx ⋅= és azt ( )bax −= -re alkalmazzuk.

( ) ( )( ) ( )( )3223

3222232223

33222

babbaababbaabbaababababababa

−+−=

=−+−+−=+−−=−−=−

Két szám összegének a köbét kiszámíthatjuk, ha az első tag köbéhez hozzáadjuk az

első tag négyzetének és a második tag háromszorosának a szorzatát, valamint a

második tag négyzetének és az első tag háromszorosának a szorzatát, végül a

második tag köbét.


Két szám különbségének a köbét kiszámíthatjuk, ha az első tag köbéhez hozzáadjuk a

második tag négyzetének és az első tag háromszorosának a szorzatát, majd vonjuk ki az első

tag négyzetének és a második tag háromszorosának a szorzatát, valamint a második tag köbét.

Mintapélda7 Végezzük el a következő műveletet: ( )36−y =

Megoldás:

( ) 21610818663636 2332233 ++−=−+−=− yyyyyyy .

Mintapélda8 Számoljuk ki, a nevezetes azonosságok felhasználásával a következő hatványokat:

3322 19,21,94106,69,41 ⋅ .

Megoldás:

( ) 16811801600114024014041 2222 =++=+⋅⋅+=+= ;

( ) 476111404900117027017069 2222 =+−=+⋅⋅−=−= ;

( )( ) 9964361000061006100610094106 22 =−=−=−+=⋅ ;

( ) 9261160120080001120312032012021 32333 =+++=+⋅⋅+⋅⋅+=+= ;

( ) 6859160120080001120312032012019 32333 =−+−=−⋅⋅+⋅⋅−=−= .

Mintapélda9 Két szám szorzata 56, összege 15. Mennyi a két szám köbének az összege?

Megoldás: Legyen a két szám a és b, ekkor 15,56 =+=⋅ baba .

Tudjuk, hogy ( ) ( )baabbababbaaba +++=+++=+ 333 3332233 ebből:

( ) ( ) 8552520337515563153 3333 =−=⋅⋅−=+−+=+ baabbaba .

( ) 222 2 bababa ++=+ .

( ) 222 2 bababa +−=− .

( )( ) 22 bababa −=−+ .

( ) 32233 33 babbaaba +++=+ .

( ) 32233 33 babbaaba −+−=− .


További két nevezetes azonosság (kiegészítő anyag)

( )( ) 3332222322 bababbaabbaabababa −=−−−++=++−

( )( ) 3332222322 bababbaabbaabababa +=+−++−=+−+

Ezek az azonosságok azt is megmutatják, hogy két köbszám különbsége mindig osztható a

számok különbségével, illetve két köbszám összege a számok összegével osztható.

Mintapélda10 Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket:

a) 3327 ba + ; b) 63364 zyx − .

Megoldás:

a) ( )( )2233 babababa +−+=+ azonosságot felhasználva:

( ) ( )( )223333 393327 bababababa +−+=+=+ ;

b) ( )( )2233 babababa ++−=− azonosságot felhasználva:

( ) ( ) ( )( )42222323633 4164464 zyxyzxyzxyzxzyx ++−=−=− .

Feladatok


a) ( )31+a ; b) ( )32−b ; c) ( )33−c ; d) ( )34+d ;

e) ( )32 ba + ; f) ( )323 ba − ; g) ( )32 3−a ; h) ( )33 42 +a ;

i) 3

52

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

a ; j) ( )334 4,03 ba − ; k) 3

25

67

2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− bc ; l) ( )34232 43 bacd + .

))(( 2233 babababa ++−=−

))(( 2233 babababa +−+=+

33 baba −−

33 baba ++


8. Mivel egyenlő két szomszédos egész szám négyzetének a különbsége?

9. Alakítsuk szorzattá az 432 aaaa −−+ kifejezést!

10. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket, a változók lehetséges értékeinél!

a) ( )ababa

bababa

3362

222

22

+−

⋅−

++ ; b) ( )xyx

yxxyx

yxyx−+

⋅−

+−2

22 2877

2 ;

c) ba

abbaba

babbaa66

2:333 22

22

3223

−++

−+++ ;

d) ( ) ( )aa

babaabba−

+−−+−2

33 3 ; e) ( ) ( )ab

ababbaa

62:

99

3

2

333

+++− ;

f) ba

abbaba

++

−−

32

33

; g) ( ) ( ) abba

baabba

ba2

: 2

44

2

33

−+−

+−+ .

11. Hány olyan ( )yx; egész számpár van és melyek ezek, amelyekre igaz, hogy

020271296 2233 =−++−++ yxyxyx ?

A Pascal-háromszög (kiegészítő anyag)

Vizsgáljuk meg általánosan kéttagú összegek nemnegatív kitevőjű hatványait. Írjuk egymás

alá az ( )ba + összeg nulladik, első, második, harmadik, negyedik és ötödik hatványát. Az

( )ba + összeg négyzetének és köbének felírását már megfogalmaztuk, a magasabb hatványok

hasonlóan képezhetőek: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )babababababa ++=+++=+ 4534 , stb.

( ) =+ 0ba 1

( ) =+ 1ba 1 +⋅ a 1 b⋅

( ) =+ 2ba 1 +⋅ 2a 2 +⋅ ab 1 2b⋅

( ) =+ 3ba 1 +⋅ 3a 3 +⋅ ba 2 3 +⋅ 2ab 1 3b⋅

( ) =+ 4ba 1 +⋅ 4a 4 +⋅ ba3 6 +⋅ 22ba 4 +⋅ 3ab 1 3b⋅

( ) =+ 5ba 1 +⋅ 5a 5 +⋅ ba 4 10 +⋅ 23ba 10 +⋅ 32ba 5 +⋅ 4ab 1 5b⋅


Pascal francia matematikus vette észre, hogy az együtthatókat egymás alá írva, olyan

háromszöget kapunk, melyben a háromszög külső szárai mentén csupa egyes áll, belül pedig

bármely szám megkapható a közvetlen felette álló két szám összegeként:

12. A Pascal-háromszög felhasználásával írd fel az ( )6ba + összeg alakját, és a kapott

összefüggést alkalmazd az ( )62+a esetén.

13. Számítsd ki a Pascal-háromszögben az egyes sorokban lévő számok az összegét. Mit

tapasztalsz?

14. Mutasd meg, hogy a következő számok összetett számok!

a) 7999; b) 27001; c) 999973; d) 1000343.

Pascal-háromszög

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1


III. A másodfokú egyenletet bevezető feladatok

Mintapélda11 Oldjuk meg az 642 =x egyenletet az egész számok halmazán!

Megoldás:

Alaphalmaz: Z

0642 =−x

Alakítsuk szorzattá a bal oldalt, felhasználva, hogy ( )( )bababa −+=− 22 :

( )( ) 088 =−+ xx

Innen két megoldás adódik: 8;88,8 21 −=⇒−== Mxx .

Mintapélda12 Oldjuk meg az 0483 2 =+x egyenletet a racionális számok halmazán!

Megoldás:

Alaphalmaz: Q

0162 =+x

162 −=x

Az egyenletnek nincs megoldása, mert 02 ≥x . =M .

Mintapélda13 Oldjuk meg az ( ) 024333 2 =−+x egyenletet!

Megoldás:

Alaphalmaz: R. (Amennyiben nem teszünk megszorítást az alaphalmazra vonatko-

zóan, a megoldásokat mindig R-ben keressük.)

Próbáljuk az egyenletet az előzőhöz hasonló alakra hozni:

( ) 0813 2 =−+x .

Alakítsuk szorzattá a bal oldalt, felhasználva, hogy ( )( )bababa −+=− 22 .

( )( ) 09393 =+−−− xx .

Ebből a következő két megoldás adódik: 6;126,12 21 −=⇒−== Mxx .


Mintapélda14 Oldd meg a 32122 2 =− xx egyenletet!

Megoldás:

Alakítsuk teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé az egyenletet, ezért rendezzük át:

032122 2 =−− xx ;

( ) 01662 2 =−− xx ;

( )[ ] 016932 2 =−−−x .

Visszavezettük az egyenletet az előző típusra, innen hasonló a feladat megoldása:

( ) 0253 2 =−−x .

Alakítsuk szorzattá a bal oldalt, felhasználva, hogy ( )( )bababa −+=− 22 :

( )( ) 05353 =+−−− xx .

Ebből a következő két megoldás adódik: 2;82,8 21 −=⇒−== Mxx .

Mindegyik megoldott egyenletnél helyettesítéssel ellenőrizhetjük, hogy jól számoltunk.

Feladatok

15. Oldd meg az alábbi egyenleteket, majd add össze az egyenletek gyökeit. Az így kapott

összegeket párosítsd össze a táblázatbeli betűkkel! Ha a betűket egymás mellé írod a

feladatok sorrendjében, akkor kiolvashatod a megoldást.

a) 062 2 =− xx ; b) ( ) 645 2 =−x ; c) 0252 =−x ;

d) ( ) 03232 2 =−−x ; e) 1082 2 =− xx ; f) 205 2 =x ;

g) ( ) 095 2 =−−x ; h) xx 6,984,3 2 = ; i) 25,225,0 2 =x ;

j) 053 2 =+ xx ; k) 025102 =++ xx ; l) 2202,3 x= ;

m) xx 692 =+ .

M L A H I S Z G

–10 35

− 0 2,5 3 4 6 10


16. Oldd meg az alábbi egyenleteket!

a) 0412 2 =− xx ; b) ( ) 0493 2 =−−x ; c) 01692 =−x ;

d) 01682 =++ xx ; e) xx 442 =+ ; f) xx 265 2 = .

17. Hány olyan valós szám van, és melyek azok, amelyeknek a harmadát és az ötödét

összeszorozva a szám tizenötszörösét kapjuk?

18. Két szomszédos pozitív egész számot összeszorozva, a szorzat 169-cel lesz nagyobb,

mint a kisebbik szám. Melyik ez a két szám?


IV. A másodfokú egyenlet megoldóképlete A Kr. e. 2000-ből való Mezopotámiában talált leletek azt mutatják, hogy már ismerték az első

és másodfokú egyenletek megoldását, sőt oldottak meg harmadfokú egyenletet is.

Általános alakban megadott másodfokú egyenletet is át tudunk alakítani az előző módszerrel,

így megkereshetjük a megoldások általános alakját.

Induljunk ki a 015132 2 =++ xx

egyenletből.

Induljunk ki az ( )002 ≠=++ acbxax egyenletből.

Emeljünk ki 2-t:

02

152

132 2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ xx .

Emeljünk ki a-t: 02 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

ac

abxa .

Alakítsuk a zárójelen belüli

kifejezést teljes négyzetté:

02

1516169

4132

2

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +x .

Alakítsuk a zárójelen belüli kifejezést teljes négyzetté:

042 2

22

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

ac

ab

abxa .

Hozzunk közös nevezőre:

016

1201694

1322

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +x .

Hozzunk közös nevezőre:

04

42 2

22

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

aacb

abxa .

Alakítsuk szorzattá a szögletes

zárójelen belüli kifejezést!

Alakítsuk szorzattá a szögletes zárójelen belüli

kifejezést!

Ha 042 <− acb , akkor nem tudjuk szorzattá alakítani,

mert az 2

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

abx -hez egy pozitív számot adunk

hozzá, tehát az összeg nem 0.

Ha 042 ≥− acb , akkor a 2

2

44

aacb − törtet felírjuk

négyzet alakban: 2

22

2

2

2

2

24

44

44

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

−a

acba

acba

acb .

(Precízen a 24a = a2 . Végig ezzel számolva, végül

ugyanezeket a gyököket kapnánk végeredményül.)


.0449

4132

22

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +x

Most már szorzattá alakíthatjuk a

szögletes zárójelen belüli kifejezést,

felhasználva az

( )( )bababa −+=− 22 nevezetes

azonosságot:

.047

413

47

4132 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ xx

.02

42

222

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

aacb

abxa

Most már szorzattá alakíthatjuk a szögletes zárójelen

belüli kifejezést, felhasználva az

( )( )bababa −+=− 22 nevezetes azonosságot:

.02

422

42

22

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++

aacb

abx

aacb

abxa

Egy szorzat akkor és csak akkor

nulla, ha valamelyik tényezője

nulla, ezért két eset lehetséges:

047

413

=++x vagy

.047

413

=−+x

Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik

tényezője nulla. Mivel kikötöttük, hogy 0≠a , ezért

két eset lehetséges:

02

42

2

=−

++a

acba

bx vagy

02

42

2

=−

−+a

acba

bx .

Ebből:

23,5 21 −=−= xx .

Ebből

aacbbx

242

1−−−

= , a

acbbx2

42

2−+−

= .

A gyököket rövidebb alakban, összevonva szoktuk felírni:

Az ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) a másodfokú egyenlet megoldóképlete:

aacbbx

242

2,1−±−

=


Mintapélda15 Oldjuk meg a 02092 =++ xx másodfokú egyenletet!

Megoldás:

A megoldóképletbe az 20,9,1 === cba értékeket behelyettesítve:

5;45,42

1912

20149921

2

2,1 −−=⇒−=−=⇒±−

=⋅

⋅⋅−±−= Mxxx .

Mintapélda16

Oldjuk meg a xx −=102 2 másodfokú egyenletet!

Megoldás:

Az egyenletet rendezzük úgy, hogy az egyik oldalon 0 álljon: 0102 2 =+− xx és az

ismeretlen kitevője szerint írjuk csökkenő sorrendbe a tagokat: 0102 2 =−+ xx

Az ilyen alakba írt másodfokú egyenletet 0-ra redukált rendezett polinom alaknak

nevezzük.

A megoldóképletbe az 10,1,2 −=== cba értékeket behelyettesítve:

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −=⇒−==⇒

±−=

⋅−⋅⋅−±−

=25;2

25,2

491

22102411

21

2

2,1 Mxxx .

A másodfokú egyenlet megoldása szempontjából nagyon fontos a négyzetgyök alatti

acb 42 − kifejezés előjele, ezért ennek a kifejezésnek önálló nevet is adunk: a másodfokú

egyenlet diszkriminánsának nevezzük, és D-vel jelöljük. A diszkrimináns szó jelentése:

meghatározó, döntő.

Mintapélda17 Az egyenletek megoldása nélkül állapítsuk meg, hogy hány valós megoldása van a

következő egyenleteknek!

a) 0853 2 =+− xx ; b) 018122 2 =+− xx ; c) 01175 2 =−+ xx .

Megoldás:

a) 07183425 <−=⋅⋅−=D , az egyenletnek nincs valós gyöke.

b) 01824144 =⋅⋅−=D , az egyenletnek egy valós gyöke van.

c) ( ) 0269115449 >=−⋅⋅−=D , az egyenletnek két különböző valós gyöke van.

Az ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) másodfokú egyenlet diszkriminánsa:

D = b2 – 4ac


Mintapélda18

Az 0242 =++ xax egyenletben határozzuk meg az a együttható értékét úgy, hogy az

egyenletnek

a) ne legyen megoldása a valós számok körében;

b) egy valós gyöke legyen;

c) két különböző valós gyöke legyen!

Megoldás:

Ha 0=a , akkor az egyenlet elsőfokú: 024 =+x . Ennek egy gyöke van: 21

−=x .

Ha a ≠ 0, akkor

a) aaacbD <⇒<⋅−=−= 2081642 ;

b) aaD =⇒=⋅−= 20816 vagy 0=a ;

c) 20816 <⇒>⋅−= aaD és 0≠a .

Feladatok

19. Oldd meg az alábbi egyenleteket, majd feladatonként a gyököket növekvő sorrendbe

írd be a lenti táblázatba! Ha növekvő sorrendbe teszed az összes gyököt, kiolvashatod a

megoldást!

a) 01072 =++ xx ; b) 02142 =−+ xx ; c) 024102 =+− xx ;

d) 07132 2 =−− xx ; e) 1572 2 =− xx ; f) xx 7203 2 −=− ;

g) 2253 xx −=− ; h) 5232 22 +−=− xxx .

G S Ü O L Á S L E T Y Á E Z N M

Az ( )002 ≠=++ acbxax másodfokú egyenletnek

két különböző valós gyöke van, ha 042 >−= acbD , és ekkor

aacbbx

242

2,1−±−

= ,

két egybeeső valós gyöke van, ha 042 =−= acbD , ekkor a

bxx221 −== ,

nincs valós gyöke, ha 042 <−= acbD .


20. Rendezd nagyság szerinti növekvő sorrendbe az egyenletek valós gyökeit!

01174 2 =−+ xx ; 062 2 =−+ xx .

21. Az egyenletek megoldása nélkül állapítsd meg, hogy hány valós megoldása van a

következő egyenleteknek!

a) xxx 5732 −=+ ; b) xxx 7365 2 −=− ; c) xxx −=−− 10252 ;

d) 048243 2 =+− xx ; e) 06115 2 =+− xx ; f) 01493 2 =++ xx ;

g) xxx 513262 2 +=+ ; h) 22 12572 xxxx −−=− ; i) 22 2973 xxx −=− .

22. Az 0182 2 =++ bxx egyenletben, állapítsd meg a b együttható értékét úgy, hogy az

egyenletnek

a) ne legyen megoldása a valós számok körében;

b) egy valós gyöke legyen;

c) két különböző valós gyöke legyen!


V. Gyöktényezős alak Mintapélda19

Oldjuk meg az ( )( ) 043 =−+ xx egyenletet!

Megoldás:

Ha elvégeznénk a műveleteket, akkor az 0122 =−− xx másodfokú egyenlet adódna,

amelyre alkalmazva a megoldóképletet, a két gyök: .4,3 21 =−= xx

Ez a megoldás azonban rögtön kiolvasható az eredeti egyenletből is, hiszen egy

szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, azaz ha

303 1 −=⇒=+ xx vagy ha 404 2 =⇒=− xx . Az ilyen alakot az egyenlet gyöktényezős alakjának nevezzük, mert közvetlenül leolvashatóak

belőle a gyökök. Nézzük meg általánosan is:

A ( )002 ≠=++ acbxax egyenlet bal oldalát már egyszer szorzattá alakítottuk:

02

422

42

22

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++

aacb

abx

aacb

abxa

Felhasználva az a

acbbx2

42

1−−−

= , a

acbbx2

42

2−+−

= jelöléseket, az egyenlet a

következő alakba írható: ( )( ) 021 =−− xxxxa . Ezt az egyenlet gyöktényezős alakjának

nevezzük.

Mintapélda20 Alakítsuk szorzattá a 32 2 −+ xx kifejezést!

Megoldás:

Határozzuk meg a 032 2 =−+ xx másodfokú egyenlet gyökeit: 23,1 21 −== xx .

Írjuk fel a másodfokú egyenlet gyöktényezős alakját: ( ) 02312 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +− xx .

Célszerű lehet a 2-vel való szorzást elvégezni: ( )( ) 0321 =+− xx .

Tehát: ( )( )32132 2 +−=−+ xxxx .

Az ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja:

( )( ) 021 =−− xxxxa


Mintapélda21

Írjunk fel olyan másodfokú egyenletet, melynek gyökei –2 és 34 !

Megoldás:

A gyöktényezős alakba helyettesítsük be az 34,2 21 =−= xx gyököket:

( )( ) ( ) 034221 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=−− xxaxxxxa .

a tetszőleges nullától különböző valós szám, de célszerű úgy megválasztani, hogy a

kifejezés ne tartalmazzon törtet, például legyen 3=a .

( ) ( )( ) .08234323423 2 =−+=−+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+ xxxxxx

Tehát például a 0823 2 =−+ xx egyenletnek a gyökei, –2 és 34 .

Mintapélda22

Egyszerűsítsük a 26673

2

2

−+−−

xxxx törtet!

Megoldás:

Alakítsuk szorzattá a tört számlálóját és nevezőjét!

A 0673 2 =−− xx egyenlet gyökei: 32,3 21 −== xx , így a számláló szorzat alakja:

( ) ( )( )2333233 +−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +− xxxx .

A 026 2 =−+ xx egyenlet gyökei: 32,

21

21 −== xx , így a nevező szorzat alakja:

( )( )231232

216 +−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − xxxx .

Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány: R \⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

32;

21 .

Visszaírva az eredeti kifejezésbe: ( )( )( )( ) 12

32312233

26673

2

2

−−

=+−+−

=−+−−

xx

xxxx

xxxx .


Mintapélda23 Az 01272 =++ xax egyenlet egyik gyöke 31 −=x . Határozzuk meg a másik gyököt és a

diszkriminánst! Írjuk fel az egyenlet gyöktényezős alakját!

Megoldás:

Mivel 31 −=x gyöke az egyenletnek, ezért igazzá teszi az egyenletet: 012219 =+−a .

Ebből 1=a , így a másodfokú egyenlet: 01272 =++ xx , ennek gyökei

4,3 21 −=−= xx , és 1=D .

Az egyenlet gyöktényezős alakja: ( )( ) 043 =++ xx .

Feladatok

23. Oldd meg az egyenleteket!

a) ( )( ) 05322 =+− xx b) ( )( ) 0323 =−−− xx c) ( )( ) 08317 =−−− xx

24. Írj fel olyan másodfokú egyenletet, melynek gyökei

a) 3 és 5 b) –2 és 4 c) 1,5 és 32

− d) 2 és 3

25. Alakítsd szorzattá a következő polinomokat!

a) 1032 −− xx b) 32 2 −− xx c) 73215 2 −− xx d) 1092 2 −+− xx

26. Egyszerűsítsd a következő törteket!

a) 15632

2

2

−≠++−− x

xxxx ; – 5 b)

23

1211221112

2

2

≠+−−+ x

xxxx ; 4

c) 2232

4052

3

≠−−

− xxx

x ; 21

−

27. Az 0102 2 =+− bxx egyenlet egyik gyöke 51 =x . Határozd meg a másik gyököt!

Határozd meg a diszkriminánst! Írd fel az egyenlet gyöktényezős alakját!


VI. Gyakorlás Mintapélda24

Oldjuk meg a ( ) ( )( ) 2245223 2 +−+=− xxx egyenletet az egész számok halmazán!

Megoldás:

Előállítjuk az egyenlet 0-ra redukált alakját, és alkalmazzuk a megoldóképletet.

Beszorzás után:

72,102972324129 21

222 ==⇒=+−⇒+−=+− xxxxxxxx .

A feladat alaphalmazába csak az 1=x tartozik.

Feladatok

28. Oldd meg a ( ) ( ) ( )133136 22 −+=−−+ xxxxx egyenletet!

29. Oldd meg a ( ) ( ) ( ) 11421623 222 −++−+=−−+ xxxxxxx egyenletet az egész

számok halmazán!

30. Oldd meg a ( )( ) 643 −=−+ xx egyenletet a negatív számok halmazán!

31. Oldd meg a ( )( ) 9321 2 =+−+ xxx egyenletet a pozitív számok halmazán!

32. Oldd meg a ( )( ) ( )( )14633725 +−=−+ xxxx egyenletet a racionális számok

halmazán!

33. Oldd meg a ( ) 1481223 2 +=+ xx egyenletet a racionális számok halmazán!

34. Oldd meg a ( ) ( )22 1243 −=+ xx egyenletet az egész számok halmazán!

35. Oldd meg a ( ) ( ) xxxx 3651237 222 ++=−− egyenletet a természetes számok

halmazán!

36. Oldd meg a ( ) ( ) 192332 222 ++−=++ xxxx egyenletet a valós számok halmazán!


Szöveges feladatok

Mintapélda25 Egy üzleti tárgyalás résztvevői kézfogással köszöntötték egymást. Összesen 136 kézfogás

történt. Mindenki mindenkivel pontosan egyszer fogott kezet. Hányan voltak a találkozón?

Megoldás:

Jelöljük n-nel a jelenlévők számát. Mindenki n – 1 emberrel fogott kezet. Ezek száma

( )1−nn , de ekkor minden kézfogást pontosan kétszer számoltunk. Ezért

( ) 1362

1=

−nn , innen: 02722 =−− nn .

Az egyenlet gyökei: 16,17 21 −== nn .

Ez utóbbi nem megoldása a feladatnak, hiszen negatív számú résztvevő nem létezik.

A találkozón 17-en vettek részt.

Ellenőrzés: 17 ember vett részt a tárgyaláson, mindenki 16 emberrel fogott kezet. Ez

2721617 =⋅ kézfogást jelentene, de minden kézfogást kétszer számoltunk, így

összesen 136 kézfogás történt.

Mintapélda26 Két kocka egy-egy élének összege 41 cm. A felszíneik összege 2cm5118 . Mekkora a

nagyobbik kocka térfogata? (Emlékeztető: a kocka felszíne: ,6 2aA = térfogata: 3aV = )

Megoldás:

Jelöljük az egyik kocka élhosszúságát x-szel, ekkor a másik él: x−41 .

( ) 51186416 22 =+− xx

Egyszerűbb alakban:

( ) 85341 22 =+− xx

853821681 22 =++− xxx

0414412 =+− xx

Az egyenlet gyökei: 23,18 21 == xx .

A nagyobbik kocka éle 23 cm. Térfogata .cm1216723 33 ==V

Ellenőrzés: A két kocka éleinek összege: 412318 =+ cm. A kisebbik kocka felszíne:

1944186 2 =⋅ cm2, a nagyobbik kocka felszíne: 3174236 2 =⋅ cm2. A felszínek össze-

ge: 511831741944 =+ cm2.


Mintapélda27

Viktor 160 km-es autóút előtt áll. Ha szokásos tempójával vezetne, akkor lekésné a

világbajnoki döntő közvetítését. Ha 20 h

km -val gyorsabban menne, akkor 24 perccel

hamarabb érne haza, és látná a meccs kezdetét is. Mennyivel megy Viktor, ha elejétől nézni

tudja a döntőt?

Megoldás:

Viktor eredeti sebességét jelöljük v-vel.

Mivel tvtvs ⋅=⇒⋅= 160 .

A 24 perc az 0,4 óra ezért a második esetben ( )( )4,020160 −+= tv .

Az első egyenletből t

v 160= ezt behelyettesítve a másodikba:

( ) 6,1,20648204,020160160 212 −==⇒=−−⇒−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += ttttt

t. Ez utóbbi

nem lehet megoldás. Ezért .80,2 == vt

Viktor, hogy lássa a meccset, átlagosan 100 h

km -val megy.

Ellenőrzés: Viktor szokásos tempójával ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

hkm80 , 2 óra alatt teszi meg az utat, ha

100 h

km sebességgel megy, akkor ugyanezt az utat 1,6 óra, azaz 1 óra és 36 perc alatt

teszi meg, így 24 perccel hamarabb ér haza: látja a meccs kezdetét.

Feladatok

37. Egy négyzet egyik oldalát 2 cm-rel megnöveljük, a másik oldalát ugyanennyivel

csökkentjük. Az így kapott téglalap területe 45 cm2. Mekkora volt a négyzet oldala?

38. Egy derékszögű háromszögben az átfogó 2 cm-rel hosszabb az egyik befogónál.

Kerülete 40 cm. Mekkorák az oldalai?

39. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 9. Ha felcseréljük a számjegyeket, és az így

kapott számot az eredetivel megszorozzuk, akkor 1944-et kapunk eredményül. Melyik ez

a kétjegyű szám?


40. Egy bajnokságon összesen 612 pontot osztottak ki a résztvevő csapatok között.

A győzelemért 2 pontot, a döntetlenért 1 pontot, a vereségért 0 pontot adtak a szervezők.

Hányan vettek részt a bajnokságon, ha mindenki mindenkivel kétszer játszott?

41. Egy n-oldalú sokszögnek háromszor annyi átlója van, mint oldala. Hány oldalú a

sokszög?

42. Zoli születésnapjára egy 1500 darabos puzzle-t kap ajándékba. Először szétválogatja a

széleket, és azokat rakja ki, majd megszámolja, hogy ez összesen 166 darabból áll,

beleszámítva a négy sarkot is. Hány sorból és hány oszlopból áll Zoli puzzle-ja?

43. Két egymás után következő pozitív páratlan szám szorzata 6083. Melyik ez a két

szám?

44. Egy téglalap egyik oldala 23 cm-rel hosszabb a másiknál. Átlója 37 cm. Mekkora a

területe?

45. Egy szám és egy másik háromszorosának összege 16. Négyzeteik különbsége 40.

Melyik ez a két szám?

46. Egy medence 20 méterrel hosszabb, mint amilyen széles. A mélysége 2,5 m.

Mekkorák a méretei, ha 3750 m3 vízre van szükség a feltöltéséhez? Mennyi pénzbe kerül

a medence egyszeri feltöltése, ha 1 m3 víz ára 131,6 Ft.

47. Egy téglalap kerülete 60 dm, területe 2dm221 . Mekkorák az oldalai?

48. Milyen alapú számrendszerben írhatjuk a 258-at 516-nak?

49. Karácsonykor az osztály tagjai úgy döntenek, hogy mindenki megajándékoz mindenkit

egy jelképes ajándékkal. Hányan járnak az osztályba, ha összesen 756 kis ajándék került

átadásra?

50. Attila nőnapra egy csokor virággal lepi meg kedvesét. Egy szál rózsa 185 Ft-tal többe

kerül, mint ahányat vásárolt. A díszítés 300 Ft volt. A csokor ára 3300 Ft. Hány szál

rózsából áll a meglepetés csokor?


51. Három egymást követő természetes szám négyzetének összege 1730. Melyek ezek a

számok?

52. Gerti nagymamájának a 70. születésnapjára egy 9x13-as családi fotót ajándékoz.

Kartonpapírból saját kezűleg készít hozzá keretet, melyet rajzaival díszít. A keret területe

48 cm2. Mekkorák a keret külső méretei?

53. Ha Dávid egységnyi élű kis kockáiból a lehető legnagyobb kockát rakja össze, akkor

100 kis kocka kimarad, ha eggyel több kis kockát akar rakni minden él mentén, akkor

117 kis kocka hiányzik. Hány kis kockája van Dávidnak?

54. Ádámnak 100 darabos CD gyűjteménye van. A CD-k p %-a külföldi, a hazai CD-k

p %-a könnyűzene. Mindössze egy klasszikus zenei CD-je van, magyar művészek

előadásában.

55. Egy 14 cm oldalhosszúságú négyzetet 4 részre vágunk két, egymást a négyzet

középpontjában merőlegesen metsző egyenes mentén.

Az így kapott darabokat össze lehet rakni úgy,

hogy egy nagyobb négyzet alakuljon ki,

közepén egy kis négyzet alakú lyukkal.

Számítsd ki a nagy négyzet oldalának pontos

hosszát, ha belső kis négyzet területének 50-

szerese a nagy négyzet területe. Készítsd el ezt

a kivágást papírból!


Összefoglalás

Legyél TE is milliomos!

1. Az 33 ba + kifejezés felírható ilyen alakban is:

A) ( )( )22 bababa ++− ; B) ( )( )22 bababa +−+ ; C) ( )( )22 baba ++ ; D) ( )3ba + .

2. Az ( )3ba − kifejezés felírható ilyen alakban is:

A) 3223 33 babbaa −+− ; B) 3223 33 babbaa −−− ; C) 33 3 baba +− ; D) 33 ba − .

3. Az ( )002 ≠=++ acbxax másodfokú egyenlet diszkriminánsa:

A) acb 42 − ; B) a

acbb2

42 −±− ; C) acb 42 −± ; D) acb 42 − .

4. A 05x7x6 2 =−+ másodfokú egyenlet megoldáshalmaza:

A) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

35;

21 ; B)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

310;1 ; C)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

35;

21 ; D)

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

310;1 .

5. Az egyenlet megoldása nélkül állapítsd meg, hogy hány megoldása van a 08123 2 =+− xx

egyenletnek.

A) 0; B) 1; C) 2; D) 3.

6. A 1252 2 +−− xx kifejezés szorzat alakban:

A) ( )( )423 +− xx ; B) ( )( )432 −− xx ; C) ( )( )432 +−− xx ; D) ( )( )423 −− xx .

7. A –3 és 25 gyökei a következő egyenletnek:

A) 0152 2 =−+ xx ; B) 0152 2 =−− xx ; C) 03024 2 =++ xx ; D) 05,72

2 =++xx .

8. Mennyivel egyenlő az 22 1

xx + kifejezés értéke, ha 111

=+x

x ?

A) 117; B) 119; C) 121; D) 123.


9. A 31,7

72033592

2

2

≠−≠−+−+ xxxx

xx tört egyszerűsítve:

A)23

− ; B) 1352

−−

xx ; C)

1352

++

xx ; D)

1352

−+

xx .

10. Egy másodfokú egyenlet egyik gyöke 5-tel nagyobb, mint a másik. Szorzatuk –6-szorosa

a kisebbik gyöknek. Ez az egyenlet:

A) 066172 =−+ xx ; B) 066172 =+− xx ;

C) 066172 =++ xx ; D) 066172 =−− xx .

11. A 021321 2 =+− xx egyenlet valós gyökei reciprokának összege:

A) 6,5; B) 2113 ; C) 0,5; D)

211 .

12. Ha a 02422 2 =−− xx egyenlet gyökei 21 , xx akkor ( )21213 xxxx + értéke:

A) –36; B) 36; C) 18; D) –18.


Paraméteres egyenletek (kiegészítő anyag)

Célszerű általános megoldási módszert keresni, ha sok egyenlet csak a benne szereplő

adatokat tekintve különböző, tehát formailag azonos. Célunk olyan képleteket készíteni,

amelyekbe behelyettesítve az adatokat, meg lehet határozni bizonyos ismeretleneket. Ilyen

képleteket ismerhetünk más tudományokból, például a fizikából vagy a kémiából.

Mintapélda28 Határozzuk meg a p valós paraméter értékét úgy, hogy a

( ) ( ) 02714 22 =−++−++ ppxpxp egyenletnek a ( )3− gyöke legyen.

Megoldás:

Mivel a ( )3− gyöke az egyenletnek, ezért kielégíti a másodfokú egyenletet:

( )( ) ( )( ) 0273134 22 =−++−−+−+ pppp ,

02733369 2 =−+++−+ pppp ,

A műveleteket elvégezve: 01272 =++ pp ,

Ennek gyökei: 4,3 21 −=−= pp ,

Két valós paraméter tesz eleget a feladatnak: 4,3 21 −=−= pp . Az ezekkel felírható

egyenletek: 02142 =−− xx , 0155 =−− x .

Ellenőrzéssel meggyőződhetünk, hogy valóban mindkettőnek gyöke a ( )3− .

Mintapélda29 Határozzuk meg p valós paraméter értékét úgy, hogy a 01432 =++− ppxx paraméteres

egyenletnek két különböző valós gyöke legyen!

Megoldás:

Két különböző valós gyöke van az egyenletnek, ha a diszkrimináns pozitív: 0D > .

( ) 041691449 22 >−−=+−= ppppD ,

92,204169 21

2 −==⇒=−− pppp ,

Az egyenletnek akkor létezik két különböző valós gyöke, ha pvagyp <−< 292 .


Mintapélda30 Oldjuk meg a 012243 22 =+−+− pxpxxx paraméteres egyenletet!

Megoldás:

Rendezzük az egyenletet x együtthatói szerint:

( ) ( ) 014223 2 =++−+ xpxp .

Az egyenlet elsőfokú, ha a főegyüttható 0, azaz 23023 −=⇒=+ pp .

Ekkor az egyenlet: 1014232 =⇒=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅− xx .

Az egyenlet másodfokú, ha 023 ≠+ p , azaz ha 23

−≠p .

Az egyenletnek akkor van valós gyöke, ha a diszkrimináns nem negatív, azaz ha

0≥D .

( ) ( ) ( )2222 2248481216164123442 +=++=−−++=⋅+⋅−+= ppppppppD .

A diszkrimináns egy kifejezés négyzete, ezért biztosan nemnegatív.

( )( ) 23

1246

2242232

2242 2

2,1 ++±+

=+

+±+=

++±+

=p

ppp

ppp

ppx .

Az abszolútérték-jel elhagyható az előtte álló ± előjel miatt.

231,

2332

21 +=

++

=p

xppx .

Tehát, ha 123

=⇒−= xp , ha 23

1,2332

23

21 +=

++

=⇒−≠p

xppxp .

Feladatok

56. Oldd meg a 22 3532 pnn =−+ egyenletet, ha n pozitív egész, p pozitív prím! Mennyi

az pn ⋅ szorzat maximuma?

57. A p valós paraméter mely értékeire lesz az 0542 =−+ xx és 0322 =+−− pxxpx

egyenleteknek közös gyöke?


58. Határozd meg a p valós paraméter értékét úgy, hogy a ( ) 0812482 =++++ pxppx

egyenletnek

a) két különböző valós gyöke legyen,

b) egy valós gyöke legyen!

Gyökök és együtthatók közti összefüggések (kiegészítő anyag)

Vizsgáljuk meg a másodfokú egyenlet gyökeit!

Ha a másodfokú egyenletnek léteznek valós megoldásai, akkor ezeket a következő alakba

írhatjuk:

aacbbx

242

1−+−

= és a

acbbx2

42

2−−−

= .

A két gyök összegére és szorzatára a következő összefüggések adódnak:

ab

ab

aacbb

aacbbxx −=

−=

−−−+

−+−=+

22

24

24 22

21 ,

( ) ( )ac

aac

aacbb

aacbb

aacbbxx ==

−−−=

−−−⋅

−+−=⋅ 22

2222

21 44

44

24

24 .

François Viète (1540–1603) francia matematikus. Foglalkozását tekintve jogász volt. Az egyenletmegoldás általános módszereit kereste. Ezért a Dipohantosz által megkezdett úton az algebrai jelölésrendszert fejlesztette tovább. Igyekezett szimbólumokkal dolgozni, az együtt- hatók helyett is betűket használt. Ezek segítségével formulát tudott felírnia másodfokú egyenletek megoldására. A harmadfokú egyenletek megoldásával is foglalkozott. Igen jelentős eredménye a végtelen sorozatok felfedezése. Egy ilyen sorozat segítségével határozata meg a π értékét 10 tizedes pontosságig. A másodfokú egyenletek gyökeinek és együtthatóinak kapcsolatát megadó képletek, a Viète-formulák is őrzik a nevét. (Az össze- függések általános formában azonban nem tőle származnak, ezeket először a szintén francia Girard publikálta 1629-ben.)

A Viète-formulák:

acxx

abxx

=⋅

−=+

21

21


Mintapélda31 Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg a 021102 =++ xx egyenlet gyökeinek az

összegét és szorzatát!

Megoldás:

A Viète-formulákat felhasználva:

21121

101

10

21

21

===⋅

−=−=−=+

acxx

abxx

Az egyenlet gyökeinek az összege –10, szorzata 21.

A másodfokú egyenlet gyökeinek előjelét meg lehet határozni a Viète-formulák segítségével.

Mintapélda32 Milyen valós számot írhatunk a c paraméter helyére ahhoz, hogy a 0153 2 =+− cxx

másodfokú egyenletnek két különböző pozitív gyöke legyen?

Megoldás:

Két különböző valós gyöke van az egyenletnek, ha 0>D .

( ) cccD >⇒>−=⋅⋅−−= 75,180122253415 2 .

00321 >⇒>==⋅ cc

acxx .

05315

21 >=−

−=−=+abxx mindig teljesül.

Az egyenletnek akkor lesz mindkét gyöke pozitív, ha .75,180 << c

• Ha 021 <=⋅acxx , akkor a két gyök különböző előjelű.

• Ha 021 >=⋅acxx , akkor a két gyök azonos előjelű.

• Ha 021 >−=+abxx , akkor mindkét gyök pozitív

• Ha 021 <−=+abxx , akkor mindkét gyök negatív.


A Viète-formulák segítségével könnyen meghatározható a másodfokú egyenlet

gyökeinek négyzetösszege:

( ) 2

2

2

22

212

212

22

12222

aacb

ac

ab

ac

abxxxxxx −

=−=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−+=+ ;

a gyökök köbeinek az összege:

( ) ( ) ( )

3

3

23

3

3

21213

212

2122

13

213

23

1

33

3333

ababc

abc

ab

ab

ac

abxxxxxxxxxxxxxx

−=+−=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=+−+=−−+=+

a gyökök reciprokainak az összege:

cb

acab

xxxx

xx−=

−=

+=+

21

21

21

11 ,

az 1

2

2

1

xx

xx+ összeg:

acacb

ac

aacb

xxxx

xx

xx 2

222

2

21

22

21

1

2

2

1 −=

−

=+

=+ .

Összefoglalva:

Mintapélda33 Határozd meg a 0352 2 =++ xx egyenlet gyökeinek a négyzetösszegét!

Megoldás:

Felhasználva az előbbi összefüggéseket:

413

232252

2

2

2

22

22

1 =⋅⋅−

=−

=+a

acbxx .

A gyökök négyzetösszege: .4

13

2

22

22

12

aacbxx −

=+ 3

23

23

13

ababcxx −

=+

cb

xx−=+

21

11 ac

acbxx

xx 22

1

2

2

1 −=+


Feladatok

59. A p valós paraméter milyen értékeinél lesz az ( ) 0432 =+++ xpx másodfokú

egyenletnek két különböző pozitív gyöke?

60. Milyen valós p paraméter esetén lesz a 052 2 =−+ pxx másodfokú egyenlet valós

gyökeinek négyzetösszege 25,25?

61. Milyen valós p paraméter esetén lesz az 0752 =++ pxx másodfokú egyenlet valós

gyökeinek négyzetösszege 139?

62. Határozd meg a 0≠p valós paraméter értékét úgy, hogy a 0252 =+− xpx

másodfokú egyenletben a valós gyökök összege 2 legyen!

63. Határozd meg a p valós paraméter értékét úgy, hogy a 043 2 =++ pxx másodfokú

egyenlet valós gyökeinek a szorzata 52 legyen!


Kislexikon Algebrai azonosságok:

( ) 222 2 bababa ++=+

( ) 222 2 bababa +−=−

( )( ) 22 bababa −=−+

( ) 32233 33 babbaaba +++=+

( ) 32233 33 babbaaba −+−=−

( )( )2233 babababa ++−=−

( )( )2233 babababa +−+=+

Diszkrimináns:

Az ( )002 ≠=++ acbxax másodfokú egyenlet diszkriminánsa:

acbD 42 −= .

Gyöktényezős alak:

Az ( )002 ≠=++ acbxax egyenlet a következő alakban írható::

( )( ) 021 =−− xxxxa . Ezt az egyenlet gyöktényezős alakjának nevezzük. A másodfokú egyenlet megoldóképlete:

Az ( )002 ≠=++ acbxax egyenlet megoldóképlete:

aacbbx

242

2,1−±−

= . Pascal-háromszög:

A kéttagú kifejezések nemnegatív egész kitevőjű hatványozásakor fellépő együtthatók

háromszög alakú elrendezése. Viète-formulák:

Az ( )002 ≠=++ acbxax egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggések:

abxx −=+ 21 ;

acxx =⋅ 21 .

4. MODULKÖrrEL KApcsOLATOs FOgALMAK

Készítette: Lénárt István és Vidra Gábor


A szögek mértékegységei (olvasmány)

A történelem folyamán a különböző kultúrákban sokféle mértékegységrendszer alakult ki.

A hosszúság mértékegységei voltak például a könyök, a rőf, az arasz, Angliában ma is hasz-

nálják a mérföldet. Ma az SI (System International; méter, kilogramm, szekundum) nemzet-

közi mértékegység-rendszert használjuk (törvény írja elő ennek az alkalmazását), de régebben

CGS (centiméter, gramm, szekundum alapegységekkel), illetve MKSA (méter, kilogramm,

szekundum, Amper) voltak a hivatalos mértékegységrendszerek. A hosszúsághoz hasonlóan a

szögek mérésére is többféle mértékegységet találunk:

• fok (°), szögperc (’), szögmásodperc (”): a teljes kört 360 egyenlő részre osztjuk, va-

gyis 1° a teljes szög 3601 -ad része; 1°=60’; 1’=60”

• radián (rad): a teljes szög 2π radián; 0

π180rad1rad;

180π1 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==°

• újfok (grádus; g): a teljes szög 400g

• vonás ( ¯ ): a teljes szög 6000¯, vagyis °=°

= 0,0660003601¯ ; a vonást a tüzérség használja,

és egyes országokban ettől eltérő az értelmezése

• R: a derékszöget nevezték régebben így, a teljes szög 4R.

A tudományos életben gyakran használják a radiánt, mint szögmértékegységet.

4. modul: KÖRREL KAPCSOLATOS FOGALMAK 83

I. Ívmérték, forgásszögek

Tavaly megismerkedtünk a radiánnal mint szögmértékegységgel. Ha egy r sugarú körben

az ív hossza r hosszúságú, akkor az ívhez tartozó középponti szöget 1 radiánnak nevez-

zük. A radiánban kifejezett szöget ívmértékben mérjük, mert az egységkörben az ívhossz

nagysága épp a szög radiánban kifejezett mérőszámával egyezik meg. r sugarú körben az α)

ívmértékű középponti szöghöz tartozó ívhossz α)⋅= ri .

Tehát az α) középponti szöghöz tartozó bármilyen sugarú körben α= )

ri állandó, i és r egye-

nesen arányosak. A sugárnyi ívhosszhoz tartozó középponti szög 1 radián.

A radián elnevezés nem jelent dimenziót, hiszen a szög radiánban mért nagysága egy valós

szám, mert két hosszúság arányát fejezi ki. Azonban az egyértelműség kedvéért általában kiír-

juk a rad mértékegységet, különösen azokban az esetekben, amikor a π nem szerepel a kifeje-

zésben.

Ugyanabban a számításban vagy csak fokban, vagy csak radiánban szerepelhetnek az

előforduló szögek.

Ha az ívhosszat radián helyett fokban mért szöggel szeretnénk kiszámítani, így gondolko-

dunk: 1°-hoz tartozik a kör kerületének 360-ad része, 180360

2360

ππ rrK== hosszúságú ívhossz,

ennek α-szorosához °⋅°

= απ180ri . Ez a képlet bonyolultabb az α)⋅= ri összefüggésnél.


A szög kétféle mértékegységének kapcsolata

Ha a kör sugara 1 egység, akkor kerülete: ππ 22 == rK egység. A teljes körhöz tartozó kö-

zépponti szög 360°, a megfelelő ívhossz a kör π2 kerülete. Ebből következik, hogy 180°-nak

π radián felel meg.

A 30°-os szög ívmértékre történő átváltásakor azt vizsgáljuk, hogy a 30° a 180°-nak hányad

része, ui. radiánban is ennyied része lesz π-nek. 6

30 π=° radián. Ez a módszer a 180° fok

osztóinál jól használható.

Például 3

2120 π=° rad, mert 120° a 180°-nak

32 -ad része.

Amennyiben nem tudjuk visszavezetni 180° osztójára a szöget, akkor az átváltás számológép-

pel az alábbiak szerint történik:

Például 7,037180

37 ≈°⋅°

=°π rad, °≈⋅

°= 7,1142180 rad 2

π.

Egységkörnek nevezzük a koordináta-rendszerben az origó körüli, 1 egység sugarú kört.

Ha π92 nagyságú szöget ábrázolunk egységkörben, akkor egy, a

kiindulási helyzethez képest π92 szöggel elforgatott egységvek-

tort ábrázoltunk.

1°-nak megfelel °180

π radián, illetve 1 radiánnak °≈° 3,57180

π felel meg.


Ne felejtsük el az azonban, hogy ez az egységvektor nem csak

a π92 szöghöz tartozik. Ha akárhányszor teljes kört megyünk

körbe bármelyik irányba, ugyanezt az egységvektort kapjuk.

Ezt úgy jelöljük, hogy π2⋅k -t adunk a szöghöz, ahol k egész

szám, vagyis ∈k Z. Tehát ugyanaz az egységvektorhoz tarto-

zik a π92

, π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 2

92 , π⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + 4

92 , …, ππ 2

92

⋅+ k középponti

szögekhez.

Mintapélda1

Határozzuk meg az ábrákon látható szögek nagyságát fokban és radiánban!

Megoldás:

30°, 6π ; 270°,

23π ; 135°,

43π ; 120°,

32π ; 330°,

611π .

Mintapélda2

Váltsuk át a következő szöget ívmértékbe: 102°14' .

Megoldás:

Először a szögpercet váltjuk tizedfokká: °=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+°=° 23,102

601410214'102

ο

, majd a szo-

kásos eljárással radiánt számolunk: 78,123,102180

23,102 =°⋅°

=°π rad.

Megjegyzés: Vannak olyan zsebszámológépek, amelyek az átváltást el tudják végezni. Amennyiben ilyennel rendelkezünk, tanuljuk meg a kezelését, mert nagymértékben megkönnyíti a dolgunkat, és csökkenti a hibázási lehetőségeket.


Mintapélda3

Ábrázoljuk egységkörben a következő szögeket:

a) k·180°; b) 120°+k·180°; c) 60°+k·90°; d) 60°+k·120°, ∈k Z.

Megoldás:

Mintapélda4

Milyen szöget mutatnak az ábrán látható egységkörös ábrák?

Megoldás:

°⋅+° 36060 k ; °⋅+° 120105 k ; °⋅120k ; °⋅ 90k ; °⋅+° 6030 k ;

ππ 23

⋅+ k ; 3

2127 ππ

⋅+ k ; 3

2π⋅k ;

2π

⋅k ; 36ππ

⋅+ k ;

k ∈ Z.

Feladatok 1. Írd fel radiánban a következő szögeket!

a) 30°; b) 120°; c) 240° ; d) 45°; e) 135° ; f) 270°;

g) 300°; h) 72°; i) 40°; j) 70°; k) 35°; l) 220° ;

m) 1000°; n) 1200°; o) 121°45’; p) 235°12’.

2. Gyakorold az átváltást! Váltsd át fokba a radiánban megadott szögeket, és jelöld be az áb-

rákba, hogy mekkora körív tartozik az egyes szögekhez!

a) π b) 12π c)

125π d)

97π


e) 154π f)

65π g)

38π h)

1011π

i) 2 rad j) 3,56 rad k) 10 rad

3. Ábrázold egységkörben a következő szögeket!

a) k·180°; b) k·60°; c) k·360°; d) 180°+ k·360°;

e) 60°+ k·90°; f) 30°+ k·120°; g) ππ k26

5+ ; h) ππ k+

6;

i) 43

2 ππ k+ ; j) 34ππ k

+ ; k) 3

2 πk , ∈k Z.

4. Határozd meg, hogy milyen szögeket ábrázolnak az egységkörös ábrák! Az eredményt

fokban és radiánban is add meg!


Radián: a szögmérés furcsaságai a gömbi geometriában Gondoljuk át újra, mit jelent az ívmérték!

Rajzoljunk a síkban két, közös pontból kiinduló félegye-

nest, amely a síkot két szögtartományra osztja! Válasz-

szuk ki az egyik szögtartományt, és mérjük meg a szö-

gét! Rajzoljunk most egy (mondjuk) 50 mm sugarú kört

a szög csúcsa, mint középpont körül! Mérjük meg a kör

kerületének azt a darabját, ívét, ami a szögtartományba

esik, szabó- vagy papírcentiméter segítségével! Osszuk

el az így kapott mértéket a kör sugarával! Így egy arány-

számot kapunk: „ív osztva sugárral”.

Játsszuk el most ugyanezt ugyanezzel a szögtarto-

mánnyal, és egy 100 mm sugarú körrel, azután egy

150 mm sugarú körrel is! Mit tapasztalunk?

Tapasztalatunk szerint az arányszám független a

kör sugarától: csakis a kör középpontjából induló

szögtartománytól függ. Így ezt az arányszámot fel-

használhatjuk a szögtartomány jellemzésére, mérésé-

re, ugyanúgy, mint a fokot. Az arányszám neve: radián.

Nézzük meg ezt az arányt r sugarú körben, néhány speciális szög esetében.

• Ha a középponti szög 360°, vagyis teljesszög, akkor az arány a teljes körkerület osztva

a sugárral, vagyis ππ 22=

rr radián ≈ 6,28… radián.

• Ha a középponti szög 180°, vagyis egyenesszög, akkor az arány a körkerület fele oszt-

va a sugárral, vagyis π

π

=r

r2

2

radián ≈ 3,14… radián.

• Ha a középponti szög 90°, vagyis derékszög, akkor az arány a körkerület negyede

osztva a sugárral, vagyis 2

42

ππ

=r

r

radián ≈ 1,57… radián.


• Ha a középponti szög 60°, mint a szabályos síkháromszög egyik szöge, akkor az arány

a körkerület hatoda osztva a sugárral, vagyis 3

62

ππ

=r

r

radián ≈ 1, 047…

• Ha a középponti szög 45°, vagyis a derékszög fele, akkor az arány a körkerület nyol-

cada osztva a sugárral, vagyis 4

82

ππ

=r

r

radián ≈ 0, 78… radián.

Milyen középponti szögnél lesz ez az arány éppen 1, vagyis hány fokos az a szög, ahol a

most bevezetett mérték éppen 1 radián? Akkor, ha a középponti szöghöz tartozó ív hossza

éppen akkora, mint a sugár hossza. A fentiekből látható, hogy ez 45°-nál valamivel többet, de

60°-nál valamivel kevesebbet kell, hogy jelentsen.

Számítsuk ki! Legyen az ismeretlen szög x°; akkor: x° úgy aránylik a 360° teljesszöghöz, mint

1 radián a 2π radiánhoz:

π21

360=

x , ahonnan π2

360=x ≈ 360/6,28… ≈ 57,3°.

Mit gondolsz, alkalmazható-e ugyanez a módszer gömbi szögek mérésére is, ha gömbi

köröket használunk a méréshez? A gömbi körök ugyanolyan szép kerekek, mint a síkbeliek

– miért viselkednének másképpen, mint a síkbeli körök?

Induljunk ki a földrajzi koordináta-rendszerből!

Legyen a szögtartomány valamelyik, az Északi- és Déli-sarkból

kiinduló, derékszögű szögtartomány! Igaz-e itt is, hogy akárme-

lyik szélességi kört használjuk is, a gömbi körív hossza osztva a

gömbi sugárral mindig ugyanaz marad?

Ha nagyon pici gömbi körből indulunk ki (nagyon közel az Északi-sarkhoz), akkor a kör és a

sugár nagyon közel áll a síkbeli körhöz és sugárhoz. Csak nagyító alatt tudnánk felismerni,

hogy gömbről, nem síkról van szó. Itt tehát az arány nagyon közel áll a síkbeli arányhoz, va-

gyis a 90 fokos síkbeli szögnél kapott 1,57…-hez.


Mi történik, ha hizlaljuk a kört – egyre nagyobb szélességi kört veszünk? Amikor elérünk az

Egyenlítőhöz, akkor a kör sugara a főkör sugara, vagyis 90 gömbi lépés. A körkerületnek a

szögtartományba eső darabja pedig negyedfőkörív, vagyis szintén 90 gömbi lépés! A körív

osztva sugár arány itt tehát 90/90 = 1 lesz, nem pedig 1,57…

Gömbre tehát a szögtartomány mérésének ezt a módszerét nem lehet átvinni. Hiába ugyan-

olyan szép kerekek a gömbi körök, mint a síkbeli körök, láthatjuk, hogy a gömbi körök még-

sem hasonlóak egymáshoz.

Feladatok:

5. Megvizsgáltuk, hogy a gömbön hogyan változik a 90°-os szögtartományban az „ív oszt-

va sugárral” arány, ahogyan a kisebb köröktől a nagyobbak felé haladunk. Vizsgáljuk

meg ezt az arányt a síknál felsorolt többi szögtartománynál is!

6. Láttuk, hogy a síkon az „ív osztva sugárral” arány megadott szögtartománynál állandó,

a gömbön viszont egyre kisebb, ahogyan a kisebb köröktől a nagyobbak felé haladunk.

Ha létezne olyan harmadik geometria, amelyik mindig ellenkező módon térne el a sík-

tól, mint a gömb, akkor ebben a harmadik geometriában mi lenne az „ív osztva

sugárral” arány?

Az „ív osztva sugárral” arány a gömbön a síkbeli 1,57…-től 1-ig folyamatosan

változik.


II. A kör részei

Összefoglaljuk azokat az ismereteket, amelyeket tavaly tanultunk a kör és részeivel kapcso-

latban:

• középponti szögnek nevezzük a kör két sugara által bezárt szöget;

• a kör kerülete πrK 2= , területe π2rT = ;

• körben a körív hossza és a körcikk területe egyenesen arányos a hozzá tartozó kö-

zépponti szöggel;

• α) (radiánban mért szög) középponti szöghöz r sugarú körben a körív hosszát és a

körcikk területét a következő képletek fejezik ki:

a körív hossza α)⋅= ri , a körcikk területe 2riT ⋅

= ;

• az érintő merőleges az érintési pontba húzott sugárra;

• külső pontból húzott érintőszakaszok hossza egyenlő;

• Thalész-tétel: ha egy kör átmérőjének két végpontját össze-

kötjük a körvonal bármely más pontjával, akkor abban a pont-

ban derékszög keletkezik;

• Thalész-tétel megfordítása: a derékszögű háromszög köré írt

körének középpontja az átfogó felezőpontja.


A körrel kapcsolatos elnevezések, számítások:

Mintapélda5

Határozzuk meg az ábrán látható körcikk körívének hosszát és területét!

A kör sugara 5 cm.

Megoldás:

Sokszor egyszerűbb a konkrét szögek helyett aránnyal számolni. Itt a körcikkhez tartozó

középponti szög a teljes szög 81 -ad része. Mivel az ívhossz és a körcikk területe a kö-

zéppontnál levő szöggel egyenesen arányos, a körív hossza a kör kerületének 81 -ad ré-

sze, a körcikk területe pedig a kör területének 81 -ad része. Így a körív hossza:

93,3852

82

≈π⋅⋅

=πr ; 93,3≈i cm. A körcikk területe: 82,9

825

8

2

≈⋅

=ππr ; 82,9≈T cm2.


Mintapélda6

Határozd meg a térkép alapján Magyarország legnagyobb észak-déli kiterjedését! A Föld át-

mérője 12 756 kilométer.

Megoldás:

Méréssel és számítással megállapítjuk, hogy hazánk az északi szélesség 45°48' és 48°35'

között helyezkedik el.

Az ábrán látható, hogy a feladat egy 63782

12756= km sugarú körben

a körív hosszának kiszámítása, amely 48°35'– 45°48' = 2°47' = 2,783°

fokhoz tartozik. Ez 8,309783,2180

6378≈°⋅

°π⋅ ; 8,309≈i km.


Mintapélda7

Az ábrán egy sajtszelet képe látható, felülről és oldalról kör-

berajzolva eredeti nagyságában.

a) Mekkorák az egész sajt henger alakú dobozának méretei

(átmérő, magasság, térfogat)? A csomagolópapír vastagsá-

ga elhanyagolható, a méreteket méréssel határozzuk meg.

b) Mekkora a szelet oldalát határoló csomagolópapír területe?

c) 2x3x5 doboz sajtot egy kartonba csomagolunk (5 réteg egymás tetején).

Mekkorák a karton belső méretei, és a karton térfogatának hány százalékát

nem tölti ki a sajt?

Megoldás:

a) Az ábráról méréssel megállapítjuk, hogy a körcikk sugara 5,5 cm, középponti szöge

60°, a sajtszelet magassága 2 cm. A henger alakú doboz méretei tehát: átmérője

11 cm, magassága 2 cm, térfogata 19025,5 22 ≈⋅⋅=⋅⋅ ππ mr ; 190≈V cm3.

b) A szelet oldalát határoló csomagolópapír olyan téglalap, melynek egyik oldala 2 cm,

másik oldala a körszelet kerületével egyenlő. A körszelet kerülete

≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+ 2

32

62 ππ rrr 16,8 (cm), a csomagolópapír területe 6,338,162 =⋅ ;

T = 33,6 cm2.

c) A kartondoboz méretei 22 cm x 33 cm x 10 cm, térfogata 7260103322 =⋅⋅ cm3.

A dobozban tárolt sajt térfogata 5700190532 =⋅⋅⋅ cm3. A kérdéses arány százalék-

ban 5,211007260

57007260≈⋅

− %.


Mintapélda8

Egy pizzériában 3-féle pizza kapható: családi (41 cm átmérőjű, 1500 peták), nagy (32 cm át-

mérőjű, 1100 peták) és szelet (a nagy nyolcada, 190 peták).

a) Keressünk olyan mennyiséget, amelyből kiderül, hogy melyik pizzát éri meg megven-

ni a legjobban (mennyiségtől függetlenül)!

b) Egy 33 fős rendezvényre nagy tételben rendeltünk. Ekkor a pizzéria 7 %-ot engedett a

családi, 11%-ot a nagy és 20%-ot a szelet árából. Hogyan vásároljunk, ha a lehető leg-

kevesebbet akarjuk költeni, és a következőket tudjuk: egy ember a kis szeletből 5 da-

rabot eszik meg, a nagy pizzából 3 ember fogyaszt el kettőt, a családiból pedig 5 em-

bernek 2 pizza is elég. Mennyibe fog kerülni a pizza összesen?

Megoldás:

a) A szelet 1,89 Ft/cm2, a nagy 1,37 Ft/cm2, a családi 1,14 Ft/cm2, így látható, hogy a

családi éri meg jobban.

b) A csökkentés után az árak: 1,51 Ft/cm2, 1,22 Ft/cm2 és 1,06 Ft/cm2. Az egy főre eső

pénz a szeletből 760 50,8190 =⋅⋅ (peták), a nagyból 65389,0110032

=⋅⋅ (peták), a

családiból 55893,0150052

=⋅⋅ (peták). Az első 30 embernek 12 családit kell venni,

a fennmaradó 3 főnek 2 nagyot. Összesen 1869889,01100293,0150012 =⋅⋅+⋅⋅ ,

vagyis az eredmény 18698 peták.

Mintapélda9

Mekkora az ábrán látható kék rész területe, ha a körök sugara egyaránt

5 cm?

Megoldás:

A kérdéses terület felosztható 12 egybevágó körszeletre. A körszelet

területe egyhatod kör, és a bele írható szabályos háromszög területé-

nek különbsége:

( )332124

361 22

2 −=−= ππ rrrt .

12 ilyen körszeletből áll a kérdéses terület, ezért a nagysága

( ) 2,2733212 2 ≈−== πrtT ; 2,27≈T cm2.


Mintapélda10

Üres, kerek műanyag poharat (kefires, nagy tejfölös pohár stb.)

szájával lefelé helyezzük síklapra, és rajzoljuk körül! Ezt a kört

pirossal jelzi az ábra. Ezután ugyanezzel a pohárral, ugyanez-

zel a módszerrel rajzoljunk a piros kört érintő sárga kört! Majd

rajzoljunk újabb sárga kört, amelyik érinti a piros kört is, és a

már megrajzolt sárga kört is! Így haladjunk körbe a piros kör körül, míg az utolsó sárga kör

érinti vagy metszi az első sárga kört!

Hány sárga kört tudunk így rajzolni a piros kör köré? És ha nagyobb vagy kisebb pohárral

kísérletezünk?

Ismételjük meg ugyanezt a kísérletet a gömbfelületen! Hány sárga kört tudunk így rajzolni a

piros kör köré? És ha nagyobb vagy kisebb pohárral kísérletezünk?

Megoldás:

Síkon a sárga körök száma mindig hat, akár kicsi, akár nagy a választott kör sugara.

Gömbön általában az utolsó kör nem érinti, hanem metszi az első kört.

Néhány különleges, kitüntetett esetben az utolsó kör érinti az elsőt, mint a síkon, de

ilyen esetben a sárga körök száma mindig kisebb hatnál.

• Ha a gömbi kör sugara körülbelül 31,7 gömbi lépés,

akkor öt sárga kör veszi körül a piros kört az ábra sze-

rint.

• Ha a sugár 45 gömbi lépés, akkor négy sárga kört raj-

zolhatunk.

• Ha a sugár körülbelül 70,5 gömbi lépés, akkor hármat; ebben az esetben a négy kör

közül bármelyik érinti a másik hármat. Helyzetük teljesen szimmetrikus, akármelyiket

tekinthetjük „pirosnak”, és a másik hármat „sárgának”.

• Ha a körök sugara 60 gömbi lépés, akkor három gömbi kört kapunk, amelyek páron-

ként érintik egymást, tehát itt is bármelyiket tekinthetjük „pirosnak” és a másik kettőt

„sárgának”.

• Végül, ha a sugár 90 gömbi lépés, akkor a két érintő kör egybeesik, és egyetlen körré,

főkörré válik. Az érintés helyett tehát teljes egybeesést kapunk.


Feladatok

7. Szerkeszd meg az ábrákon szereplő mintákat!

8. Mennyit kell repülni, hogy Budapestről az egyenlítőig jussunk, az egyenlítőre merőle-

ges úton? Budapest az északi szélesség 47°28'56''-án található, a Föld sugara 6378 km.

9. Mekkora középponti szög tartozik ahhoz a körcikkhez, amely a kör területének 70%-át

befedi?

10. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit!


12. Az ábrán látható két szakasz ugyanazon kör két húrja. Szerkeszd meg a kört!

r 10 cm 12,6 cm 118 cm

e 120 mm 15,1 cm

p 0,3 m 3,88 m 21,6 cm

r 1 cm 2,6 cm 3,5 m a

R 12 mm 15,1 cm p

T 30 cm2 18,8 m2 21,6 cm b q


13. Egy kör alakú udvarnak a közepére napórát szeretnének állítani. Hogyan található meg

az a pont, ahol a napóra botját bele kell döfni a földbe? Hogyan kapható meg (készíts

vázlatot, szerkeszd meg)?

14. r a kör sugarát, p a kör középpontjának és egy külső pontnak a távolságát jelöli. Szer-

keszd meg a pontból a körhöz húzott érintőket, ha

a) r = 3 cm, p = 6 cm; b) r = 5 cm, p = 8 cm.

15. Egy 1,2 m sugarú kerek asztalra szabályos háromszög alakú terítőt szeretnénk tenni

úgy, hogy éppen elfedje az asztalt (a terítő sarkai oldalt lelógnak). Mekkora területű

rész lóg le? Hány százaléka ez a terület az egész terítő területének?

16. Egy 1,2 m oldalú, szabályos háromszög alakú asztalra a lehető legnagyobb kör alakú

terítőt szeretnénk tenni úgy, hogy ne lógjon le (az asztal egy részére nem jut terítő).

Mekkora területű rész nincs lefedve? Hány százaléka ez a terület az egész asztal terü-

letének?

17. Mekkora sugarú körből vághatunk ki egy olyan húrtrapézt, amelynek alapjai 18 és 12

cm, magassága 10 cm? A kör területének hány százaléka a kör trapézon kívüli terüle-

te?

18. Hány százaléka a színezett rész területe a szabályos há-

romszög területének?

19. Mekkora felületű az alagút bejárata (a két félkör közötti

rész), ha a kisebb kör sugara 10 m, a nagyobb kör sugara

12,7 m?


20. Mennyivel fordul el a C kör, ha az A kör elfordul…

a) 60°-kal, és cm6,cm6,cm3 321 === rrr ;

b) 80°-kal, és 5:4:3:: 321 =rrr ;

c) 100°-kal, és cm10,cm4,cm1 321 === rrr ;

d) 140°-kal, és 5:7:8:: 321 =rrr ?

21. Mekkora az ábrákon látható színezett rész területe és kerülete, ha a körök sugara egy-

aránt 15 cm. Oldjuk meg akkor is a feladatot, ha a sugár: r. (Az utolsón a kereszt

négyzetekből épül fel.)

22. Mekkora az ábrákon látható színezett rész területe és kerülete, ha a négyzet oldala 12

cm. Oldjuk meg akkor is a feladatot, ha az oldal hossza: a.

23. Az ábrán látható háromszög egyenlőszárú, derékszögű. Válaszolj a következő kérdé-

sekre:

a) Hány százaléka a háromszög területének a

zöld rész területe?

b) Hány százaléka a sárga rész az egész kör terü-

letének?



Középponti szög 140° 68° 29° 123°

Sugár 3 cm 12 cm 2,5 cm 6 mm 105 mm 26 mm

Körív 7,4 cm 60 cm 10 cm

Körcikk területe 15 cm2 20 mm2 10 cm2 320 cm2 26 cm2

25. Mekkora területet hagyunk el a 10 cm oldalú szabályos

háromszögből, ha 1 cm sugarú körökkel lekerekítjük az ábrán

látható módon? Mekkora az új síkidom kerülete?

26. Adott egy kör PQ átmérője, és legyen R a körvonal bármely más pontja. PR szakaszt

hosszabbítsuk meg önmagával R-en túl, és a kapott végpontot jelölje S. Mekkora az

SQ szakasz hossza, ha a kör sugara 5 cm?

27. Két egymást érintő kör köré olyan kört írunk, amely mindkettőt

érinti, és középpontja a két kör középpontját összekötő egyene-

sen helyezkedik el, és a sugara 8 cm. Mekkora a belső körök

sugarainak szorzata, ha a színezett rész területe 30π?

28. Mekkora az ábrán látható α szög nagysága, ha O a kör

középpontja, OQR szabályos háromszög, továbbá Q és R

a PS szakasz harmadoló pontjai ?


29. Egy golyó sugara 6 cm. Mekkora a golyókat körbekerítő, színe-

zett vonal hossza?

30. Mekkora a színezett rész területe, ha a kör sugara 18 cm, A és B az

ív harmadoló pontja?

31. Péter számítógéppel ábrát készít: egy körnek és egy szabályos

háromszögnek a közös részét szerkeszti meg.

a) Mekkora a területe a közös résznek, ha a kör a háromszöget

oldalának harmadoló pontjaiban metszi, és a kör sugara

15 cm?

b) Mekkora a színezett rész kerülete?

32. Egy vasúti kocsira hordót rögzítenek az

ábrán látható módon. A vasúti kocsi széles-

sége 3 méter, és a rögzítő kötél a vasúti ko-

csi síkjával 60°-os szöget zár be.

a) Készíts vázlatot a feladat megoldásá-

hoz!

b) Mekkora a hordó átmérője?

c) Mekkora egy rögzítő kötél hossza?

33. A körforgalom útfelületének meghatározásához a következő

ábrán található távolságot mérik le. Hogyan számítható ki a

terület? Mekkora ez a terület, ha a lemért távolság 42 méter?


III. Kerületi és középponti szögek

Ha adott az AB szakasz és azon kívül egy P pont, akkor P-ből az

AB szakaszt APB szögben látjuk. Az APB szöget az AB szakasz P

ponthoz tartozó látószögének nevezzük.

A Thalész-tétel szerint, ha az átmérő két végpontját összekötjük a körvonal bármely más

pontjával, ott derékszög keletkezik. Ez azt jelenti, hogy a körvonal bármely pontjából (kivéve

az átmérő végpontjait) az átmérő derékszögben látszik. Vajon másik húrnál is hasonló a hely-

zet, vagyis ott is egyenlő szögek keletkeznek a körvonalnál?

A kerületi szög mindig egy adott ívhez tartozik: az ABC kerületi szöghöz az az AB ív,

amelyiken nincs rajta a C pont. Egy ívhez egyetlen középponti szög, és végtelen sok kerületi

szög tartozik.

Speciális helyzetű az érintőszárú kerületi szög, amelynek csúcsa a körvonalon van, egyik

szára tartalmazza a kör húrját, másik szára pedig a szög csúcspontjához tartozó körérintő.

A P pontból az AB szakasz α szögben látszik.

Kerületi szögnek nevezzük azt a konvex szöget, amelynek csúcspontja a kör-vonalon helyezkedik el, szárai pedig a kör húrjait tartalmazzák.


A félkörhöz tartozó középponti szög 180°, a Thalész-tétel szerint a kerületi szög 90°, azaz a

középponti szögnek éppen fele a kerületi szög. Arra keressük a választ, hogy ez az összefüg-

gés csak a félkörívre igaz, vagy más körívek esetén is?

Mintapélda11

Jelöljük be a következő ábrákon az adott ívekhez tartozó középponti szöget és legalább három

kerületi szöget (az érintőszárút is)! Mérjük meg, hogy mekkora nagyságú az egy ívhez tartozó

kerületi és középponti szög! Keressünk kapcsolatot a mért adatok között!

Megoldás:

A tapasztalatok szerint:

Kerületi és középponti szögek tétele: egy adott íven nyugvó kerületi szög

fele az ugyanazon ívhez tartozó középponti szögnek.


További következmények:

• Egy körben az egyenlő ívekhez egyenlő kerületi szögek tartoznak.

• Az ívhossz egyenesen arányos a kerületi szöggel.

• Thalész-tétel: ha a középponti szög °180 , akkor a hozzá tartozó kerületi szög °90 . Ez

a kerületi és középponti szögek tételének speciális esete. Ezért egy szakasz Thalész-

köre azon pontok halmaza a síkon, amelyekből a szakasz derékszögben látszik.

Mintapélda12

6 cm sugarú körben egy körcikk területe 6π cm2. Mekkora az ívhossz, a középponti és a kerü-

leti szög nagysága? Ábrázoljuk is az ívet és a szögeket!

Megoldás:

A körcikk területe: 222

2 αα )) ⋅=

⋅⋅=

⋅=

rrrriT , így a kö-

zépponti szög 336

1222

ππα ===rT) . A kerületi szög ennek a

fele: 6π , az ívhossz ππ 2

36 =⋅ cm.

Mintapélda13

A háromszög egyik szögfelezője a D pontban metszi a köré írt kört. Mutassuk meg, hogy a D

pont éppen felezi a másik két csúcs által meghatározott körívet!

Megoldás:

A CD és a DB ívekhez tartozó kerületi szögek egyenlők, és

egyenlő kerületi szögekhez egyenlő ívek tartoznak. Ezért D a

BC ív felezőpontja.

Kerületi szögek tétele: egy adott ívhez tartozó kerületi szögek egyenlők.


Feladatok

34. Egy 6 cm sugarú körben mekkora ívmértékű és fokú középponti és kerületi szög tarto-

zik ahhoz az ívhez, amelynek hossza…

a) π; b) π23 ; c) 6 π; d) π

38 ; e) 9 π; f) π

215 ?

35. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! Ábrázold a kerületi és a középponti szögeket is! A

kör sugara 3 cm.

Ívhossz 2

7π cm

Középponti

szög 3π

Kerületi

szög

45π

Ábra

36. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! Ábrázold a kerületi és a középponti szögeket is!

A kör sugara 12 cm.

Körcikk

területe 90π cm2

Középponti

szög 4π

Kerületi

szög

43π

Ábra


37. A kör területének hány százaléka az a körszelet, amelyet az α kerületi szöghöz tartozó

ív vág le, ha α nagysága a) 30°; b) 45°; c) 60°?

38. Mekkora a 24 cm átmérőjű kör középpontjának és a húrnak a távolsága, ha a húrhoz

tartozó kisebbik íven nyugvó kerületi szög nagysága

a) 3π ; b)

2π ; c)

6π ; d)

4π ?

39. Egy körben a 40°-os középponti szöghöz 5 cm hosszúságú ív tartozik.

a) Mekkora kerületi szög tartozik a 12 cm-es ívhez?

b) Mekkora ívhossz tartozik a 70°-os kerületi szöghöz?

40. Mekkora aγ szög nagysága, ha r a kör sugara, és tudjuk,

hogy

a) a=b=r; b) c=r; c) c= r2 ; d) a=r, és b=2r?

41. Mekkora a színezett rész területe, ha a kisebb kör

sugara 18 cm, és °=°= 45,60 βα ?

42. Az ABC háromszög köré írt kör C-t nem tartalmazó AB ívének felezőpontja P, a há-

romszögbe írt kör középpontja O. Milyen specialitása van az AOP háromszögnek?

43. Egy kör P pontjából kiindul PQ átmérő, és a vele 30°-os szöget bezáró PR húr. A kör

R-beli érintője a PQ-nak a Q ponton túli meghosszabbítását S-ben metszi. Készíts váz-

latot a feladathoz! Mekkora a QS szakasz hossza?


44. Igazold, hogy a háromszög belső szögfelezője és a szemközti oldalhoz tartozó oldalfe-

lező merőleges a köré írt körön metszi egymást!

45. Az ABC háromszög mb és mc magasságát hosszabbítsd meg a háromszög köré írt körig,

a metszéspontokat jelölje P és Q! Bizonyítsd be, hogy a PA ív hossza megegyezik a

QA ív hosszával!

46. Az ABC háromszögben az mb és mc magasságvonalak köré írt körrel való metszéspont-

ját jelölje P és Q. Igaz-e, hogy az A csúcsból a PQ húrra állított merőleges átmegy a

kör középpontján?

47. Hosszabbítsd meg a háromszög magasságait a köré írt körig, jelölje a metszéspontokat

P, Q és R. A PQR háromszögnek milyen vonalai lesznek az eredeti magasságvonalak?

48. Két kör kívülről érinti egymást az E pontban. Húzz E-n keresztül két szelőt a körök-

höz. Milyen négyszöget határoznak meg a szelők és a körök metszéspontjai?

Azonos íven nyugvó gömbháromszögek tétele (kiegészítő anyag)

Síkon a kerületi szögek tétele szerint a kerületi szög feleakkora, mint az ugyanahhoz a körív-hez tartozó középponti szög. Láttuk, hogy ez a tétel így nem igaz a gömbön. Könnyen belát-hatjuk (például kísérletezéssel), hogy a látószögek tétele sem igaz: azonos ívhez tartozó kerü-leti szögek a gömbön nem feltétlenül egyenlők egymással. Lássunk most olyan gömbi tételt, ami háromszögekkel, körökkel és kerületi szögekkel kap-csolatos! Rajzolj egy kört a gömbre, és rajzolj bele olyan háromszö-get, amelynek belsejébe esik a kör középpontja! Kösd össze a csúcsokat a körközépponttal, és jelöld a szögeket az ábra szerint! Kérdés: Miért jelölhettük azonos betűkkel a kisebb három-szögek bizonyos szögeit?

Szerkeszd meg most a háromszög egyik oldalához illeszke-dő kiegészítő háromszögét! Az ábrán zöld szín jelöli ezt a BC oldalt. Kérdés: Mennyi a kiegészítő háromszög belső szögeinek összege?


Megoldás: A zöld oldal túloldalán levő két szög mértéke βα −−°180 , illetve γα −−°180 . A harmadik, az ábrán a gömb túloldalára eső szög pedig γβ + , hiszen annak a gömbkét- szögnek a másik szöge, amelynek egyik szöge az eredeti háromszög γβ + szöge. Ezek sze-rint a kiegészítő háromszög belső szögeinek összege:

( ) ( ) ( ) αγβγαβα 2360180180 −°=++−−°+−−° .

Most következik a legnehezebb kérdés: Mit jelent ez az eredmény? Azt jelenti, hogy a kiegé-szítő háromszög szögösszege csakis a körtől és a háromszög zöld oldalától függ, mert ezek már meghatározzák az α szöget. A kiegészítő háromszög szögösszege attól nem függ, hogy a háromszög harmadik, az ábrán A-val jelölt csúcsát hol vesszük fel a BAC köríven! Feladatok

49. Mi történik, ha a háromszöget másféleképpen vesszük fel a körben?

50. Síkon érvényes-e a kiegészítő háromszög szögösszegéről szóló tétel? Kerületi szögek tétele a gömbön (kiegészítő anyag) Síkon a kerületi szögek tétele szerint a kerületi szög feleakkora, mint az ugyanahhoz a körív-hez tartozó középponti szög. Megfogalmazható-e egyáltalán a tétel a gömbön? Léteznek-e mindazok a fogalmak a gömbi geometriában, amelyek a síkon a tételhez szükségesek voltak? Ha nem, akkor nem is érdemes tovább próbálkozni. Ha léteznek ezek a fogalmak, mondd ki a kerületi és középponti szögekre vonatkozó állítást a gömbi geometriában! (Nem tételt, hiszen még nem tudjuk, igaz-e vagy sem.) Kísérletezz a gömbön! Igaz-e az állítás vagy sem? Ha igaz, lehet-e ugyanúgy bizonyítani, mint a síkon? Ha nem igaz, akkor a síkbeli bizonyításnak melyek azok a lépései, amelyek nem vihetők át a gömbre? Ha nem igaz, akkor teljesen menthetetlen-e, vagy van olyan része, ami a gömbön is igaz ma-rad? Ki tudunk-e mondani bármilyen igaz tételt a gömbön a kerületi és középponti szög vi-szonyáról?


Minden szükséges fogalom létezik a gömbön, amely a tétel állításához szükséges. A gömbi állítás tehát a következő lenne: Tetszőleges gömbi kör tetszőleges ívénél a kerületi szög fele-akkora, mint az ugyanahhoz az ívhez tartozó középponti szög. Igaz-e ez az állítás a gömbön? Kísérletezzünk! Pici gömbi körök nagyon hasonlítanak a síkbe-li körökhöz, és nem mutatják jól a síkbeli és gömbi kör közötti különbségeket. Érdemes tehát jó nagy gömbi körökkel próbálkozni. A gömbi Thalész-háromszögnél, ahol a körülírt kör közepe az egyik oldal felezőpontja, ez az állítás annyit jelentene, hogy a gömbi Thalész-háromszög kerületi szöge mindig fele lenne a 180°-os középponti szögnek, vagyis 90°-nak kellene lennie.

Ilyen köröknél jól látszik, hogy a kerületi szög nagyobb 90°-nál. Az alábbi ábra gömbi Thalész-háromszögében a kerületi szög 120°! A gömbön az állítás tehát hamis. Hol bukik meg a síkbeli bizo-nyítás? Ott, ahol a háromszög belső szögeinek összegét 180°-nak tekintjük. Gömbön ez nem igaz. Csak annyit mondhatunk, hogy nem elfajult háromszög-ben a középponti szög nagyobb, mint a hozzá tartozó kerületi szög, de kisebb, mint a kerületi szög kétszerese. Feladat

51. Láttuk, hogy síkon a középponti szög mindig pontosan kétszerese a hozzá tartozó kerü-

leti szögnek, a gömbön viszont a kétszeresénél egyre kisebb és kisebb, ahogyan a ki-

sebb köröktől a nagyobbak felé haladunk. Mire elérjük a legnagyobb kört, a főkört, a

középponti szög már éppen akkora lesz, mint a hozzá tartozó kerületi szög. Ha létezne

olyan, harmadik geometria, amelyik mindig ellenkező módon térne el a síktól, mint a

gömb, akkor ebben a harmadik geometriában hányszorosa lenne a középponti szög a

kerületi szögnek?


IV. Látókör

Tudjuk már, hogy egy adott húr a körvonal végtelen sok pontjáról látszik egyenlő szögben.

Felmerül a kérdés: ha adott egy szakasz, akkor a sík milyen pontjaiból látszik adott α szögben

ez a szakasz?

Mintapélda14

Adott az AB szakasz. Szerkesszük meg azon pontokat a síkon, amelyekből az AB szakasz

30°-os szögben látszik!

Megoldás:

A megoldás matematikai hátterét az adja, hogy a kerületi szö-

geknél megtanultuk: adott ívhez tartozó kerületi szögek

egyenlők és feleakkorák, mint a húrhoz tartozó középponti

szög. Tehát AB szakaszt egy kör húrjaként felfogva, ahhoz

60°-os középponti szög tartozik.

Készítsünk vázlatot!

Látható, hogy a kör középpontját úgy szerkeszthetjük meg, hogy az AB szakaszra szabá-

lyos háromszöget szerkesztünk. A szakasz másik oldalára is megszerkeszthetjük a kört.

Végül kiemeljük azokat a köríveket, amelyek eleget tesznek a feltételnek.

Látókörívnek nevezzük azon pontok halmazát a síkon, amelyekből egy adott

szakasz ugyanakkora szögben látszik.


Mintapélda15

Az AB szakasz a kör egy pontjából 60°-os szögben látszik. Határozzuk meg, hogy mekkora

szögben látszik a másik ívéről! Megoldás:

Mivel a kör egy adott ívéről egyenlő nagyságú szögekben látszik a szakasz, az egyszerű-

ség kedvéért nézzük a szimmetrikus helyzetet. Legyen P az AB szakasz felezőmerőlege-

sének a köríven levő pontja. Az APQ szög 30°-os. Thalész tétele miatt a PAQ szög 90°,

vagyis APB szög 60°. A szimmetriából adódik, hogy a másik ívről 120°-os szögben látszik az AB szakasz. Ez ál-

talánosan is igaz.

Mintapélda16

Egy háromszög két oldala a köré írt kör középpontjából 140°, illetve 160°-os szögben látszik.

Mekkora szögben látszanak az oldalak a köré írt kör pontjaiból?

Megoldás:

A vázlat felrajzolása után látszik, hogy a 140°-os szög kö-

zépponti szög, és tudjuk, hogy a hozzá tartozó kerületi

szög a fele, vagyis °= 70β . A kör másik ívéről β−°180 ,

azaz °=°−° 11070180 -os szögben látszik az oldal. Ha-

sonlóan a középpontból 160°-ban látható oldal a kör pont-

jaiból 80° és 100°-os szögekben látszik. A harmadik közép-

ponti szög ( ) °=°+°−° 60140160360 , a hozzá tartozó két

szög 30°és 150°.

Általános esetben a látókör megszerkesztéséhez felhasználjuk az

érintőszárú kerületi szöget és azt, hogy a sugár merőleges az érintési pontba húzott érintőre.

Ha egy húr a kör egyik ívének pontjaiból α szögben látszik, a másik ív pontjaiból 180° – α szögben.


Az AB szakasz α szögű látókörét a következő lépésekben szerkesztjük meg:

1. A szakasz egyik végpontjából felmérjük az α szöget (kapjuk e félegyenest).

2. e-re merőlegest állítunk a szakasz végpontjában (kapjuk g félegyenest).

3. Megszerkesztjük a szakasz felezőmerőleges egyenesét (f egyenes). f és g metszéspont-

ja adja az egyik kör középpontját (O1), amelyet tükrözve a szakasz egyenesére, kapjuk

a másik kör középpontját (O2).

4. A köröket megrajzoljuk, és kiemeljük az α szöghöz tarozó látóköríveket.

Mintapélda17

A térképen két hegycsúcsot és egy utat jelöltünk

meg. Szeretnénk lefotózni az útról a két csúcsot

úgy, hogy azok egy képre kerüljenek, és a két

hegyen kívül eső részekből minél kevesebb essen

a képre.

Tudjuk, hogy az objektív látószöge 62°. Keres-

sünk az úton olyan helyeket, ahonnan valószínű-

leg elkészíthető a kép.

Megoldás: Megszerkesztjük a 62°-hoz tartozó

látókört. A látókör és az út vonalának met-

széspontjai (A és B pontok) adják a keresett

helyeket.


Feladatok 52. Szerkeszd meg azokat a pontokat a síkon, amelyekből az AB szakaszt α szögben

látod!

a) ;45;3 °== αcmAB b) ;90;5,4 °== αcmAB c) °=α= 120;6cmAB .

53. Egy háromszög két szöge α és β. Mekkora szögben látszódnak az oldalak a köré írt kör

középpontjából, ha

a) °=°= 76;50 βα ; b) ;6,34;8,15 °=°= βα

c) 9

2πα = , 6πβ = ; d)

83πα = ,

165πβ = ?

54. Egy körben a 12 cm-es ívhez 43°-os kerületi szög tartozik. Mekkora középponti szög

tartozik ahhoz az ívhez, melynek hossza…

a) 10 cm; b) 2 dm; c) 150 mm; d) 10,4 cm; e) 80,7 cm?

55. Egy háromszög csúcsai a köré írt kört 4:5:7 arányban osztják. Mekkora szögben lát-

szanak az oldalak a köré írt kör pontjaiból?

56. Mekkora szögben látszanak a szabályos nyolcszög oldalai és átlói a köré írható kör

pontjaiból? Sorold fel az összes szöget!

57. Adottak az A és B pont egymástól 6 cm-re. Szerkesszük meg egy ábrába azokat a pon-

tokat, amelyekből az AB szakasz 30°-ban, 45°-ban, 60°-ban, illetve 90°-ban látszik!

Hol metszik egymást ezek a ponthalmazok?

58. Adott az ABC szabályos háromszög. Szerkeszd meg a BC és AC oldal azon pontjait,

amelyekből az AB oldal derékszögben látszik! Milyen szögben látszódhat AB az AC

oldal pontjaiból?

59. Egy 22 méter széles folyó egyenes szakaszának egyik partján áll két fa, egymástól

38 méterre. Keressük a másik partnak azokat a pontjait, ahonnan a két fa 35°-os szög-

ben látszik. Szerkeszd meg a pontokat!

60. Egy pontból a körhöz húzott érintők 75°-os szöget zárnak be egymással. Mekkora

szögben látszódik az egyik érintő a körvonal pontjaiból?

61. Szerkessz háromszöget, ha adott egy oldala, a vele szemközti szöge és az adott oldal-

hoz tartozó magasság!


V. Húrnégyszög, érintőnégyszög

A húrnégyszögek éppen azok a négyszögek, amelyek köré kör írható.

Az érintőnégyszögekbe tehát kör írható, amely minden oldalukat érinti.

Mintapélda18

Adott a síkon egy húrnégyszög három csúcsa: A, B és C pont. A negyedik csúcs az A és B

pontoktól egyenlő távolságra van. Szerkeszd meg a húrnégyszöget!

Megoldás:

A negyedik csúcs az ABC háromszög köré írható kör és az AB szakasz felezőmerőlege-

sének metszéspontja.

Feladatok

62. Töltsd ki az ábrát a speciális négyszögek megfelelő helyre történő berajzolásával!

Érintőnégyszögnek nevezzük azokat a négyszögeket, amelyeknek oldalai egy kör érintői.

Húrnégyszögnek nevezzük az olyan négyszögeket, amelyeknek oldalai egy kör húrjai.


63. Válaszd ki, hogy melyik állítás igaz, melyik hamis!

a) Minden trapéz húrnégyszög.

b) Minden trapéz érintőnégyszög.

c) Minden rombusz húrnégyszög.

d) Minden rombusz érintőnégyszög.

e) Az érintőnégyszögek mindig rendelkeznek szimmetriatengellyel.

f) Csak az a téglalap húrnégyszög, amelynek rövidebbik oldala kétszerese a hosszabbik

oldalnak.

g) A paralelogramma csak akkor érintőnégyszög, ha rombusz.

h) Van olyan deltoid, amelyik húrnégyszög.

i) Minden érintőnégyszög trapéz.

64. Szerkessz szimmetrikus trapézt, melynek hosszabbik alapja 10 cm, rövidebbik 6 cm, és

a szárak a hosszabb alappal 60°-os szöget zárnak be! Szerkeszd meg a köré írt körét!

65. Mikor mondhatjuk egy rombuszról, hogy húrnégyszög? És egy deltoidról?


A húrnégyszögek tétele és az érintőnégyszögek tétele (kiegészítő anyag)

Az előző részben találkoztunk azzal, hogy ha egy szakasz α szögű látókörét megszerkesztjük, akkor a látókör másik ívéből a szakasz

α−°180 szögben látszik. Ez azt jelenti, hogy a húrnégyszögekre megfogalmazhatunk egy tételt.

Igazolható az állítás fordítottja is.

Összefoglalva: egy konvex négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha szemközti szö-

geinek összege 180°. A tétel bizonyítása a kislexikon után található.

Mintapélda19

D, Q, R és S egy kör tetszőleges pontjai. Az ábrán a PQ és SR szelők egyeneseit elmetsszük

egy PS húrral párhuzamos AB egyenessel. Húrnégyszög-e a QABR négyszög?

Megoldás: ennek eldöntéséhez megvizsgáljuk a QABR

szögeit. Ha sikerül belátni két szemközti szögéről, hogy

összegük °180 , akkor a húrnégyszögek tételének megfor-

dítása miatt QABR húrnégyszög.

Jelöljük az ábra szerint α -val az A csúcsnál lévő szöget!

AB és PS párhuzamossága miatt P-nél is található α szög

(váltószögek), ennek mellékszöge a négyszög P-nél levő szöge ( αα −°= 180' ). PQRS húr-

négyszög, a húrnégyszög-tétel miatt a négyszögben R csúcsnál α szög van, mellékszöge a

QABR négyszög R csúcsnál található szöge: αα −°= 180' . Tehát teljesül a húrnégyszögek

tételének megfordítása, így QABR húrnégyszög.

Húrnégyszögek tétele: a húrnégyszög szemközti szögeinek összege 180°.

A húrnégyszögek tételének megfordítása: ha egy konvex négyszögben a

szemközti szögek összege 180°, akkor az a négyszög húrnégyszög.


Az érintőnégyszögek oldalait lemérve megállapíthatjuk, hogy tel-

jesül a következő tétel.

A tétel megfordítása is igaz.

Összefoglalva: egy konvex négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha szemközti ol-

dalainak összege egyenlő. A tétel bizonyítása a modul végén, a kislexikon után megtalálható.

Feladatok

66. Mekkora az érintőnégyszög d oldala?

a) cm8 cm,10 cm,6 === cba ; b) cm2,3 ,cm9,2 ,cm6,1 === cba ;

c) dm2,6 ,cm104 ,dm6 === cba ; d) m3 ,cm390 ,dm16 === cba .

67. Döntsd el, hogy az alábbi kijelentések közül melyik igaz, melyik hamis! Indokold is a

döntésedet!

a) Minden deltoid érintőnégyszög.

b) Minden paralelogramma érintőnégyszög.

c) Minden rombusz érintőnégyszög.

d) Ha egy hegyesszögű háromszög magasságpontját tükrözzük az egyik oldalra, a tü-

körkép és az eredeti háromszög által meghatározott négyszög húrnégyszög.

68. O az ABCD érintőnégyszögbe írható kör középpontja. Az O ponton keresztülhaladó,

AB oldallal párhuzamos egyenes BC oldal P, AD oldalt R pontban metszi. Határozd

meg az ABCD és a CPRD négyszögek kerületeinek arányát, ha AB = 12 cm,

BC = 8 cm, CD = 7 cm.

Érintőnégyszögek tétele: az érintőnégyszögek szem-

közti oldalainak összege egyenlő.

Érintőnégyszögek tételének megfordítása: ha egy konvex négyszög szem-

közti oldalainak összege egyenlő, akkor az érintőnégyszög.

ABCD érintőnégyszög a + c = b + d


69. Az ACB háromszög köré írt körének A-beli érintőjével párhuzamos egyenes az

AC oldalt P, AB oldalt R pontokban metszi. Igazold, hogy BCPR húrnégyszög!

70. Milyen négyszög az ábrán látható ABCD négyszög?

71. Milyen specialitása van az ábrán látható BPR három-

szögnek, ha tudjuk, hogy BR az ABC háromszög köré írható kör

B pontbeli érintője?

Húrnégyszög a gömbön (kiegészítő anyag) Síkon húrnégyszögnek nevezzük az olyan négyszöget, amelynek oldalai ugyanannak a körnek a húrjai, vagyis, amelyhez találhatunk olyan kört, amelyik átmegy a négyszögnek mind a négy csúcsán. Síkon igaz a következő tétel: Húrnégyszög szemközti szögeinek összege 180°. Mivel a négy-szögek szögösszege 360°, ezért az is igaz, hogy húrnégyszögekben a szemközti szögek össze-ge egyenlő. Mi a helyzet a gömbön? Van-e értelme a gömbön is húrnégyszögekről beszélni? Mintapélda20

Kísérletezz! Vannak-e húrnégyszögek a gömbön?

Megoldás: Igen, a gömbön is vannak húrnégyszögek és nem-húrnégyszögek. Ha egy gömbi négyszög húrnégyszög, akkor mind a négy csúcsán ugyanaz a gömbi kör megy át. Érdekes kísérlet mutatja a gömbi húrnégyszögek és nem-húrnégyszögek közötti különbsé-get. Ha egy gömböt egy síkkal elmetszünk, mindig kört kapunk. Ha narancshéjból kivá-gunk egy gömbi húrnégyszöget, és rátesszük az asztallapra, akkor a húrnégyszög nem bil-leg, hanem mind a négy csúcsa az asztallapon áll, mint az alábbi, bal oldali ábrán. Ha a négyszög nem húrnégyszög, akkor csak három csúcs érinti az asztalt – a négyszög billeg-het az asztalon!


Igaz-e a gömbön is, hogy húrnégyszög szemközti szögeinek összege 180°? Ha igaz, lehet-e ugyanúgy bizonyítani, mint a síkon? Ha nem igaz, akkor a síkbeli bizonyítás-nak melyek azok a lépései, amelyek nem vihetők át a gömbre? És ha nem igaz, akkor teljesen menthetetlen-e, vagy van olyan része, ami a gömbön is igaz marad? Ki tudunk-e mondani bármilyen igaz tételt a gömbi húrnégyszögekről? A gömbnégyszög szögösszege több, mint 2·180° = 360°. Ebből következik, hogy a szemközti szögek összege nem lehet 180°, mert akkor a négyszög szögösszege 360° lenne. Az állítás tehát ebben a formában nem igaz. Igaz marad viszont a gömbön is, hogy húrnégyszögben a szemközti szögek összege egyenlő egymással (ha nem is 180°-kal!). Ezt legkönnyebben úgy láthatjuk be, ha a húrnégyszög csú-csait összekötjük a kör középpontjával. Négy egyenlőszárú gömbháromszöget kapunk, ame-lyekben a szárak hosszúsága mindenütt a kör ’r’ sugará-nak hosszával egyenlő. Mindegyik egyenlőszárú három-szögben az alapon fekvő szögek egyenlők egymással. Látható, hogy a négyszög szemközti szögeiben mind a négyféle, az alapokon fekvő szög egyszer előfordul, az összegük tehát ( δγβα +++ )-val egyenlő, vagyis a szemközti szögek összege itt is egyenlő egymással. Megjegyzés: a kör középpontja lehet, hogy a négyszö- gön kívül (illetve egyik oldalán) van. A kimondott tétel ezekben az esetekben is igaz.

Feladatok

72. Síkon és gömbön: rajzoljunk húrnégyszöget, kössük össze

a csúcsait a kör középpontjával, és szerkesszünk a négy

sugárra négy merőlegest! Így újabb négyszöget kapunk.

Mit mondhatunk a szemben fekvő oldalak hosszáról – sí-

kon és gömbön?

Két segítő megjegyzés: Síkon is, gömbön is igaz, hogy az

érintő mindig merőleges az érintési ponthoz tartozó sugárra. Igaz az is, hogy külső

pontból az érintési pontokig húzott két szakasz egyenlő hosszú.

73. Láttuk, hogy a síkon a húrnégyszög szemközti szögeinek összege 180°, a gömbön vi-

szont csak annyi igaz, hogy a szemközti szögek összege egyenlő egymással. Ha létez-

ne olyan, harmadik geometria, amelyik mindig ellenkező módon térne el a síktól, mint

a gömb, akkor ebben a harmadik geometriában mit mondhatnánk a húrnégyszög

szemközti szögeinek összegéről?


Kislexikon Középponti szögnek nevezzük a kör két sugara által bezárt szöget.

Ha adott az AB szakasz és azon kívül egy P pont, akkor P-ből az AB szakasz APB szögben

látszik. Az APB szöget az AB szakasz P ponthoz tartozó látószögének nevezzük.

Kerületi szögnek nevezzük azt a konvex szöget, amelynek csúcspontja a körvonalon helyez-

kedik el, szárai pedig a kör húrjait tartalmazzák.

A kerületi szög mindig egy adott ívhez tartozik.

Kétféle kerületi szög létezik. Az érintőszárú kerületi szög csúcsa a körvonalon van, egyik

szára tartalmazza a kör húrját, másik szára pedig a szög csúcspontjához tartozó körérintő. Egy

ívhez egyetlen középponti szög és végtelen sok kerületi szög tartozik.

Kerületi és középponti szögek tétele: ugyanazon az íven nyugvó kerületi szög fele a közép-

ponti szögnek.

Kerületi szögek tétele: egy adott körívhez tartozó kerületi szögek egyenlők. Ez a kerületi

és középponti szögek tételének következménye.

Látókörívnek nevezzük azon pontok halmazát, amelyekből egy adott szakasz ugyanazon

szögben látszik. Ha egy húr a kör egyik ívéről α szögben látszik, a másik – a kiegészítő –

ívéből α−°180 szögben.

Megjegyzés: ha adott az AB szakasz és egy α szög

(0°<α <180°), akkor a sík azon pontjainak halmaza, ame-

lyekből AB szakasz α szögben látszik, az AB-re szim-

metrikus két körív.

C-ből az AB szakaszα -nál nagyobb, D-ből α -nál kisebb

szögben látszik.

Húrnégyszögnek nevezzük az olyan négyszöget, amelynek oldalai egy kör húrjai. A húr-

négyszögek éppen azok a négyszögek, amelyek köré kör írható.


Érintőnégyszögnek nevezzük azt a négyszöget, amelynek oldalai ugyanazon kör érintői.

Az érintőnégyszögbe tehát kör írható, amely a négyszög minden oldalát érinti.

Érintőnégyszögek tétele és megfordítása: egy konvex négyszög akkor és csak akkor érin-

tőnégyszög, ha két-két szemközti oldalának összege egyenlő.

Húrnégyszög-tétel és megfordítása: egy konvex négyszög akkor és csak akkor húrnégy-

szög, ha szemközti szögeinek összege 180°.

Tételek és bizonyítások

Kerületi és középponti szögek tétele: ugyanazon az íven nyugvó kerületi szög fele a közép-

ponti szögnek.

Bizonyítás:

A kerületi szögek többféle módon helyezkedhetnek el, és ezek szerint bizonyítjuk be az állí-

tást. Az egyszerűbb esetekre a bonyolultabbaknál hivatkozni fogunk.

1. Ha a kerületi szög egyik szára áthalad a kör középpontján, akkor

az ABO háromszögben β külső szög, így a külsőszög-tétel miatt

αβ 2= .

2. Ha a kör középpontja a kerületi szög szögtartományának belső

pontja, akkor a kerületi és a középponti szöget felbontjuk a kerületi

szög csúcsából induló átmérővel, és visszavezetjük az előző esetre:

( ) αααααβββ 2222 212121 =+⋅=+=+= .


3. Ha a kör középpontja a kerületi szög szögtartományán kívül esik,

szintén átmérőt húzunk a szög csúcsától, és az 1. esetre vezetjük

vissza a számítást: ( ) αααααβββ 2222 212121 =−⋅=−=−= .

Ez a három eset minden olyan kerületi szöget lefed, amelynek szárai a kör húrjai. Az érin-

tőszárú kerületi szögeknek is van három esete.

4. Ha a kerületi szög hegyesszög, a kör középpontjánál keletkezik egy

olyan szög, amely α -val merőleges szárú szögpárt alkot. Így a kö-

zépponti szög most is α2 .

5. Ha a kerületi szög derékszög, akkor az egyik szár a kör érintője, a

másik szár pedig a kör átmérője. Az érintő merőleges az átmérőre,

ahol a középponti szög 180°-os.

6. Ha a kerületi szög tompaszög, a középponti szög kiszámítását a 4. esetre vezetjük vissza: az

α mellékszöge hegyesszög, ahhoz tartozó középponti szög 4.

szerint ( ) ααβ 23601802 −°=−°⋅= .

Az α -hoz tartozó középponti szög:

( ) ααβ 22360360360 =−°−°=−° .

Ezzel a bizonyítást befejeztük.


Tétel: Ha egy négyszög érintőnégyszög, akkor a szemközti oldalainak összege egyenlő.

Bizonyítás:

A négyszögbe kör rajzolható, amely érinti mind a négy oldalt.

Felhasználva, hogy külső pontból húzott érintőszakaszok hossza

egyenlő, bejelöltük a csúcsoktól az érintési pontokig a szakaszo-

kat. A szemközti oldalak hosszát összeadva:

dbcayqpxdbqpyxca

+=+⎭⎬⎫

+++=++++=+

.

Tétel: Ha egy konvex négyszög két-két szemközti oldalának összege egyenlő, akkor az érin-

tőnégyszög.

Bizonyítás:

Adott egy négyszög, melynek oldalai rendre a, b, c és d, és igaz rá, hogy dbca +=+ . Szer-

kesszük meg azt a kört, amelyik érinti az a, b és d oldalakat (ez minden konvex négyszögben

megtehető).

Tételezzük fel, hogy az ABCD négyszög nem trapéz,

azaz van két szemközti oldala, amelyek nem párhuza-

mosak. Legyen ez a d és b oldal. Az A és B csúcsok

szögfelezőinek metszéspontja az O pont, amely körül

biztosan szerkeszthető olyan kör, amelyik érinti az a, b

és d oldalakat.

Indirekt módon tegyük fel, hogy a kör nem érinti a negyedik, c oldalt. Ekkor két lehetőség

van: a c oldal vagy metszi a kört, vagy a körön kívül halad. Mindkét esetben lehet húzni a c

oldallal egy c’ párhuzamost, amely érinti a kört.

Az 1. esetben 'cc > , mert b és d nem párhuzamosak,

hanem „összetartók”. Ekkor 'ADAD < , vagyis

AD'd < , és 'BCBC < , vagyis BC'b < .


Az dbca +=+ helyett ekkor azt kapjuk, hogy a bal oldal csökken, a jobb oldal növekszik,

vagyis AD' BC' C'D' AB +<+ . Ekkor nem teljesülhet az eredeti feltétel, ellentmondásra

jutottunk.

A 2. esetben 'cc < , mert b és d nem párhuzamosak,

hanem összetartók. Ekkor 'ADAD > , vagyis

AD'd > , és 'BCBC > , vagyis 'BCb > .

Az dbca +=+ helyett ekkor azt kapjuk, hogy a bal

oldal növekszik, a jobb oldal csökken, vagyis

AD' BC' C'D' AB +>+ . Ekkor nem teljesülhet az

eredeti feltétel, ellentmondásra jutottunk.

Mindkét esetben ellentmondásra jutottunk, hiszen az ABC'D' érintőnégyszögre

AD' BC' C'D' AB +=+ egyenlőségnek kellene teljesülnie. Ebből az következik, hogy az

a kiindulási feltevésünk volt helytelen vagyis az, hogy ABCD négyszög szemközti oldalainak

összege egyenlő, de az mégsem érintőnégyszög.

A bizonyításban kihasználtuk, hogy a négyszög nem paralelogramma. Az állítás akkor is igaz,

ha a négyszög paralelogramma, mert ha teljesül rá, hogy szemközti oldalainak összege egyen-

lő, akkor az csak rombusz lehet, ami pedig érintőnégyszög.

Tétel: Bármely húrnégyszög két szemközti szögének összege 180°.

Bizonyítás:

A tétel igazolásához az ábra húrnégyszögének két átellenes csúcsá-

hoz meghúzzuk a sugarakat. Az α kerületi szöghöz a kerületi és

középponti szögek tétele szerint α2 , γ kerületi szöghöz γ2 kö-

zépponti szög tartozik. A középponti szögek együtt egy teljes szö-

get alkotnak: °=+ 36022 γα , így °=+ 180γα .

Megjegyzés: A bizonyítás akkor is könnyen elvégezhető, ha O nem

az ABCD négyszög belső pontja.


Tétel: Ha egy konvex négyszög két szemközti szögének összege 180°, akkor az húrnégyszög.

Bizonyítás:

Az ABCD négyszögről tudjuk, hogy szemközti szögeinek összege:

°=+ 180γα . A négyszög A, B és D csúcsai köré írunk egy kört,

amiről belátjuk, hogy áthalad C csúcson is. A körvonal bármely

P pontjából a BD átló α−°180 szögben látszik, mert a BADP húr-

négyszög. Mivel a látókör az összes olyan pontok halmaza, ame-

lyekből egy szakasz egy adott szög alatt látszik, a C pont a DPB

körív egyik pontja kell legyen. (A másik köríven nem lehet a

C pont, mert akkor az ABCD négyszög hurkolt lenne.)

5. MODULFüggVÉNYEK

Készítette: Csákvári Ágnes


I. Lineáris törtfüggvények

1. Lineáris függvények (ismétlés)

Mintapélda1 Ábrázoljuk és jellemezzük az 52)( −= xxf hozzárendeléssel megadott függvényt! Megoldás:

Ábrázolása: 1. Az y tengelyt a −5 pontban metszi. 2. Ebből a pontból kiindulva a +2 meredekség miatt egy

egységnyi jobbra haladás esetén 2 egységet lépünk felfelé az y tengely mentén.

3. A kapott két pontot összekötve, és meghosszabbítva a szakaszt, megkapjuk a lineáris függvény grafikon-ját.

Jellemzése: 1. É.T.: R; 2. É.K.: R; 3. zérushely: x = 2,5; 4. monotonitás: szigorúan monoton növekvő (mivel a meredeksége pozitív előjelű).

Mintapélda2

Ábrázoljuk és jellemezzük a 343)( +−= xxg hozzárendeléssel megadott függvényt!

Megoldás: Ábrázolása: 1. Az y tengelyt a +3 pontban metszi.

2. Ebből a pontból kiindulva a 43

− meredekség miatt

4 egységnyi jobbra haladás esetén 3 egységet lépünk lefelé az y tengely mentén.

3. A kapott két pontot összekötve, és meghosszabbítva a szakaszt, megkapjuk a lineáris függvény grafikon-ját.

Jellemzése: 1. É.T.: R; 2. É.K.: R; 3. zérushely: x = 4; 4. monotonitás: szigorúan monoton csökkenő (mivel a meredeksége negatív előjelű).

5. modul: FÜGGVÉNYEK 129

f(x) = mx + b

Azokat a függvényeket, amelyeknek grafikonja egyenes, lineáris függvényeknek nevezzük, és az f(x) = m⋅x + b képlettel adjuk meg, ahol m a függvény grafikonjának meredeksége, b pe-dig az y tengellyel való metszéspontja. Ha m = 0, akkor az f(x) = b hozzárendelést kapjuk, melyet konstans függvénynek nevezünk.

f(x) = b

Ekkor a függvény képe az x tengellyel párhuzamos egyenes. Ha m ≠ 0, akkor ez a lineáris függvény elsőfokú.

Ha m > 0, akkor a függvény szigorúan Ha m < 0, akkor a függvény szigorúan növő, vagyis növekvő x értékekhez csökkenő, vagyis növekvő x értékekhez növekvő függvényértékek tartoznak. csökkenő függvényértékek tartoznak. Minden f(x) = m⋅x függvényről elmondhatjuk, hogy ez egyenes arányosság, ahol az arányos-ság tényezője m. Ábrázoláskor pedig m azt mutatja meg, hogy egy egységnyi jobbra haladás esetén hány egységet megyünk az y tengely mentén pozitív m esetén felfelé, negatív m esetén lefelé.


Feladatok

1. Párosítsd össze a hozzárendelési utasításokat a grafikonokkal:

( ) 125

+= xxf ; ( ) 221

−−= xxg ; ( ) 12 −= xxh ; ( ) 332

+−= xxi .

a) b)

c) d)

2. Ábrázold és jellemezd az alábbi függvényeket! (Alapértelmezésben a valós számok hal-

maza az értelmezési tartomány. Az ettől való eltéréseket jelöljük.)

52)(1 +−= xxf x∈Q; 416)(

2

3 +−

=x

xxf ;

132)(2 −−= xxf 96 <≤− x x∈Q*;

3273)(

2

4 −−

=x

xxf .

3. A piacon 7 Ft akciós egységáron árulják a tojás darabját. Mennyit kell fizetni 1, 2, 3 stb.

tojásért? Ábrázold grafikonon az eredményeket!


4. Egy diákmunka-szövetkezetben adatbeviteli munkáért 5 karakterért 1 Ft-ot fizetnek.

Hány forintot kereshet egy diák? Ábrázold grafikonon az eredményeket!

5. Egy egyenlőszárú háromszög alapja 3 cm, szárai a hosszúságúak. Határozd meg a kerü-

letét, és ábrázold koordináta-rendszerben!

6. Béla tartozik egy ismerősének 50 000 Ft-tal. Elhatározta, hogy minden hónap elején

visszafizet neki 10 000 Ft-ot. Ábrázold grafikonon Béla tartozásának mértékét!

7. Egy autó 30 m-re az útkereszteződéstől h

km60 sebességéről egyenletesen lassít, majd a

kereszteződéshez érve megáll. Ábrázold grafikonon a sebességének változását a megtett

út függvényében!

8. Egy téglalap kerülete 20 egység. Az egyik oldalát folyamatosan növelve, hogyan válto-

zik a másik oldala a kerület változtatása nélkül? Ábrázold grafikonon a változást!

9. Egy tartályban 18 l víz van. Amikor kinyitják a lefolyót, akkor percenként 3 l víz folyik

ki belőle. Egy másik tartályban 3 l víz van, és ebbe percenként 2 l vizet engednek. Mi-

kor lesz a két tartályban ugyanannyi víz? Ábrázold közös koordináta-rendszerben a víz

mennyiségének alakulását!

Mintapélda3

Keressük meg az y + 4 < 3 x feltételt kielégítő síkbeli pontokat!

Megoldás:

Az egyenlőtlenséget y-ra rendezve, az y < 3x – 4

egyenlőtlenséget kapjuk. Ha a < jel helyett = jelet

írunk, akkor egy egyenest kapunk. Azon síkbeli

pontokat keressük, amelyeknek y koordinátája ki-

sebb, mint a bal oldali kifejezés, vagyis az egyenes

alatt találhatóak. A megoldási halmaz tehát az

egyenes alatti félsík.


Feladat

10. Hol találhatók a síkban azok a pontok, amelyek az alábbi feltételnek megfelelnek?

a) y < x; b) y ≤ 3x+4; c) y+0,5 > –x+1,5;

d) –y ≥ x+1; e) 2y > 3x–4; f) 0,5x–1 > –y+2.

2. Fordított arányosság

A lineáris függvényekkel megoldható problémák között olyan feladatokkal is találkoztunk,

amelyek egyenes arányosságról szólnak. Ilyen feladat volt például:

Ha 1 füzet 40 Ft, akkor mennyibe kerül 2 3 4 stb. füzet? Hány füzetet lehet venni, ha legfel-

jebb 480 Ft értékben akarok vásárolni?

Ezt a feladatot átalakíthatjuk a következőképpen:

Mintapélda4

Van 480 Ft-om, amiből füzetet szeretnék vásárolni. A papírboltban 24, 30, 40, 60 és 120 Ft-os

füzetek kaphatók. Hány darabot tudok venni az egyes fajtákból a pénzem maradéktalan elköl-

tése mellett, ha csak egyféle füzetet akarok vásárolni?

Megoldás:

Készítsünk értéktáblázatot!

ár480darabszám =

480árdb =⋅

Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek

szorzata állandó, akkor azok között fordított ará-

nyosság van.

Az x tengelyen az árat, az y tengelyen a darabszá-

mot ábrázolva, a mellékelt grafikont kapjuk.

ár 24 30 40 60 120

darab 20 16 12 8 4


Látható, hogy minél magasabb az ár, annál kevesebb füzetet tudunk rajta venni; és minél

alacsonyabb, annál többet. Mivel a boltban fél füzetet nem lehet vásárolni, ezért a grafi-

kon pontjai nem köthetők össze.

Az x tengelyen a minimális ár 1 Ft, a maximális ár 480 Ft lehet. Az y tengelyen ugyanígy

meghatározható a legnagyobb és legkisebb érték. Közöttük minden olyan árkategória szó-

ba jöhet, ahol az ár osztója 480-nak.

A darabszám és az ár között kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés létesíthető:

n-nel jelölve az árat, f(n)-nel pedig a darabszámot kapjuk: n

nf 480)( = , ahol n∈Z+ és

n|480. Így f(n)∈Z+. Vagyis egy olyan függvényt kapunk, melynek értelmezési tartománya

a pozitív egész számok halmazának egy részhalmaza 1 és 480 között, és értékkészlete is a

pozitív egész számok halmazának egy részhalmaza szintén 1 és 480 között.

Mintapélda5

Egy gyalogos egy 6 km hosszú utat 1 h alatt tesz meg. Mekkora sebességgel halad, ha

0,2; 0,5; 1,5; 2; 2,4; 3 óra alatt teszi meg ugyanezt a távot?

Megoldás:

Készítsünk értéktáblázatot!

ttsv 6==

t 0,2 0,5 1,5 2 2,4 3

v 30 12 4 3 2,5 2

Az x tengelyen az időt, az y tengelyen a sebességet áb-

rázolva a következő grafikont kapjuk:

A sebesség és az idő fordítottan arányosak, hiszen

ahányszor rövidebb idő alatt teszem meg ugyanazt a

távot, annyiszor gyorsabban kell haladnom, és fordítva,

minél hosszabb az utazási idő, annál kisebb a sebesség.

Minden időtartamhoz kölcsönösen egyértelműen hozzá-

rendelhető egy sebesség. Az időt t-vel, a sebességet v(t)-vel jelölve a t

tv 6)( = függvényt kap-

juk, melynek értelmezési tartománya és értékkészlete egyaránt a pozitív valós számok halma-

za. Ez a grafikon folytonos görbe lesz. A fentiek alapján ez a függvény szigorúan csökkenő.


3. Lineáris törtfüggvény

Mintapélda6

Ábrázoljuk és jellemezzük az x

)x(f 1= , x∈R\0 függvényt!

Megoldás:

Készítsünk értéktáblázatot, és a kapott értékek segítségével ábrázoljuk a függvényt!

A függvény neve: lineáris törtfüggvény. Látható,

hogy az x tengely mentén haladva az egyre na-

gyobb, illetve az egyre kisebb számok felé a gra-

fikon „hozzásimul” az x tengelyhez, de nincs kö-

zös pontjuk. Hiszen minél nagyobb abszolútértékű

számmal osztjuk az 1-et, annál kisebb lesz a há-

nyados. És fordítva: minél kisebb abszolútértékű

számmal osztunk egy konkrét számot, a hányados abszolútértékben annál nagyobb lesz.

Ezt mutatja, hogy a grafikon az origó közelében „hozzásimul” az y tengelyhez, azaz tet-

szőlegesen megközelíti, de nem éri el.

A függvény a ]−∞; 0[ és a ]0; +∞[ intervallumokon szigorúan monoton csökkenő. A 0 ki-

vételével tetszőleges értéket felvehet, így nincs szélsőértéke.

További érdekesség, hogy a grafikon az origóra (középpontosan) szimmetrikus. Ez algeb-

railag azt jelenti, hogy teljesül az f(−x) = − f(x) összefüggés. Vagyis a függvény páratlan.

Összefoglalva, az x1 függvényt a következőképpen jellemezhetjük:

1. É.T.: R\0;

2. É.K.: R\0;

3. zérushely: nincs;

4. monotonitás: szigorúan csökkenő, ha x < 0 és ha x > 0;

5. szélsőérték: nincs;

6. paritás: páratlan.

x –10 –3 –2 –1 –0,5 31

− 0,25 21

32

1 2 3 4

x1 –0,1

31

− –0,5 –1 –2 –3 4 2 23

1 0,5 •3,0 0,25


Mintapélda7

Ábrázoljuk és jellemezzük az alábbi függvényeket!

a) xaxf =)( , ahol a∈R+, x∈R\0

Jellemzés:

1. É.T.: R\0,

2. É.K.: R\0,

3. zérushely: nincs,

4. szigorúan monoton csökkenő, ha x < 0 és ha x > 0;

5. szélsőérték: nincs,


b) xaxf −=)( , ahol a∈R+, x∈R\0

Jellemzés:

1. É.T.: R\0,

2. É.K.: R\0,


4. szigorúan monoton növekvő, ha x < 0 és ha x > 0;



Feladatok

11. Egy építkezésen 1 brigád 3 év alatt képes építeni egy házat. Mennyi idő alatt végez 2,

3, 5, 10 brigád? Ábrázold grafikonon a munka időtartamát a brigádok száma szerint!

12. Egy 210 literes kismedencét 1 csap15 perc alatt tölt tele. Mennyi idő alatt tölti fel ezt a

medencét 2, 3, 4, 5 csap? Ábrázold grafikonon!

13. Egy 1 m hosszú, 5 mm2 keresztmetszetű üvegcsövet teletöltünk higannyal. Mekkora

lesz a higanyoszlop magassága, ha 1; 2,5; 7,5; 10; 15 mm2 keresztmetszetű edénybe

öntjük át? Ábrázold grafikonon a magasságot a keresztmetszet függvényében!


14. Hány fordulóval tud 1, 2, 3, 4, 6, 10, 12 tehergépkocsi elszállítani 2,4 t árut, ha egy

gépkocsi legfeljebb 200 kg-t szállíthat? Ábrázold grafikonon!

15. Egy 4,5 V-os zsebtelepre tolóellenállást kapcsoltak. Mekkora áram folyik az áramkör-

ben, ha az ellenállást úgy állítják be, hogy annak értéke 10 Ω, 20 Ω, 30 Ω, illetve 50 Ω

(ohm) legyen? Ábrázold grafikonon az ellenállás-áramerőség függvényt!

(feszültség = áramerősség · ellenállás, azaz U = I · R)

16. Egy ember egy 200 m2-es kertet 4 nap alatt ás fel. Mennyi idő alatt ássa fel 2, 3, 4, 5,

6, 10 ember? Ábrázold grafikonon!

17. Egy téglalap területe 2,2 cm2. Milyen kapcsolat van a téglalap két oldala között? Ábrá-

zold grafikonon az oldalak egymáshoz való viszonyát!

18. Egy 100 m hosszú 1 mm2 keresztmetszetű wolfram szálból készült ellenállástekercs

ellenállása 5,51 Ω. Hogyan változik az ellenállása, ha a keresztmetszetét kétszeresére,

háromszorosára, négyszeresére növeljük, illetve felére, harmadára, negyedére csök-

kentjük? Ábrázold grafikonon a keresztmetszet–ellenállás függvényt! (A keresztmet-

szet és az ellenállás fordítottan arányos.)

Mintapélda8

Ábrázoljuk az ( )3

2+

=x

xf függvény grafikonját, és jellemezzük a függvényt!

Megoldás:

1. lépés: Készítsünk értéktáblázatot!

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3

x1

41

− 31

− 21

− –1 ― 1 21

31

31+x

–1 ― 1 21

31

41

51

61

32+x

–2 ― 2 1 32

21

52

31


A táblázat 3. sorából látható, hogy ha a nevezőhöz hozzáadunk 3-at, akkor a függvény az

értékeit 3-mal korábban veszi fel. A számláló kettővel való szorzása pedig a függvényér-

tékek megkétszerezését jelenti.

2. lépés: Ábrázoljuk transzformáció segítségével a függvény grafikonját!

Ehhez felhasználjuk az értéktáblázattal szerzett tapasztalatokat.

Az ábrázolás menete:

1) ( )x

xd 1= ← (értéktáblázat 2. sora).

2) ( )3

1+

=x

xe ← d grafikonjának eltolása

az x tengely mentén negatív irányba 3 egy-

séggel (értéktáblázat 3. sora). Segíti az áb-

rázolást, ha az x tengely −3 pontjába hú-

zunk egy, az y tengellyel párhuzamos se-

gédtengelyt.

3) ( )3

2+

=x

xf ← e grafikonjának y ten-

gely menti kétszeres nyújtása (értéktáblázat 4. sora).

3. lépés: Jellemzés

1. É.T.: R\−3,

2. É.K.: R\0,


4. monotonitás: szigorúan monoton csökkenő, ha x < −3, illetve ha x > −3,


6. paritás: nem páratlan és nem páros.


Mintapélda9

Ábrázoljuk az ( ) 321+=

xxf függvény grafikonját, és jellemezzük a függvényt!

Megoldás:

1. lépés: Készítsünk értéktáblázatot!

x –3 –2 –1 21

−41

− 0 41

21 1 2 3

x1

31

− 21

− –1 –2 –4 ― 4 2 1 21

31

x21

61

− 41

− 21

− –1 –2 ― 2 1 21

41

61

321+

x

652

432

212 2 1 ― 5 4

213

413

613

A táblázat 3. sorából látható, hogy a nevezőben lévő kétszeres szorzó minden függvényér-

téket felére csökkent. xx1

21

21

⋅= ,

a törthöz 3-at adva pedig a függvényértékek 3-mal nőnek.

2. lépés: Ábrázoljuk transzformáció segítségével a függvény grafikonját!

Ehhez felhasználjuk az értéktáblázattal szerzett tapasztalatokat.

Az ábrázolás menete:

1) ( )x

xd 1= ← (értéktáblázat 2. sora).

2) ( )x

xe 121⋅= ← d értékeinek felezése

(értéktáblázat 3. sora). Ez a függvény gra-

fikonjának y tengely menti 21 -szeres zsu-

gorítását jelenti.


3) ( ) 321+=

xxf ← e grafikonjának eltolása az y tengely mentén pozitív irányba 3 egy-

séggel (értéktáblázat 4. sora). Az ábrázolást segíti, ha meghúzzuk az 3=y , x tengellyel

párhuzamos segédtengelyt.


1. É.T.: R\0,

2. É.K.: R\3,

3. zérushely: 0321

=+x

egyenletből 61

−=x ,

4. monotonitás: szigorúan monoton csökkenő, ha x < 0, illetve ha x > 0,


6. paritás: nem páros, nem páratlan.

Feladatok 19. Ábrázold a következő függvények grafikonját, és jellemezd a függvényt!

x

xa43)( −= ;

12)(−

=x

xb ; 22)( +−=x

xc ; 1

131)(

+⋅=

xxd .

3

2)(+−

=x

xe ; 62

1)(+

=x

xf ; 421)( ++−

=x

xg ;

xxh 1)( = ;

xxi 23)( −= ;

21)(−

=x

xj .


II. Másodfokú függvények

1. A másodfokú alapfüggvény tulajdonságai

f(x) = x2 g(x) = –x2

Minden másodfokú függvény képe parabola.

1. É.T.: R;

2. É.K.: f függvény esetén: 0∪+R ; g függvény esetén: 0∪−R ;

3. monotonitás:

f függvény esetén: g függvény esetén:

– ha x ≤ 0, szigorúan monoton csökkenő; – ha x ≤ 0, szigorúan monoton növekvő;

– ha x ≥ 0, szigorúan monoton növekvő; – ha x ≥ 0, szigorúan monoton csökkenő;

4. szélsőérték:

f függvény esetén: g függvény esetén:

– minimumhely: x = 0; – maximumhely: x = 0;

– minimumérték: f(0) = 0; – maximumérték: f(0) = 0;

5. zérushely: Az f és a g függvényeknek egyaránt a 0 helyen van csak közös pontja az x ten-

gellyel, így mindkét függvény zérushelye: x = 0.

6. paritás: Mindkét függvény páros, mivel teljesül rájuk az x2 = (− x)2 tulajdonság.

x –16 –10,5 –5 –4 –23 –1 –0,63 0 1

32 2 3 11,3

f(x) = x2 256 110,25 25 16 49 1 0,3969 0 1

94 4 9 127,69

g(x) = – x2 –256 –110,25 –25 –16 –49 –1 –0,3969 0 –1 –

94 –4 –9 –127,69


Általánosságban véve egy függvényt akkor nevezünk párosnak, ha teljesül rá, hogy

f(x) = f(−x). Ez geometriailag azt is jelenti, hogy a függvény grafikonja szimmetrikus az y

tengelyre.

7. Az ( ) 2xxf = függvény görbéjét (alulról nézve) konvexnek nevezzük, mivel bármely két

pontját összekötve az így kapott húr minden pontja a parabola pontja fölött helyezkedik el.

A ( ) 2xxg −= függvény grafikonját (alulról nézve) konkávnak (vizuális típusúak számára:

KONK∩V nevezzük), mivel bármely két pontját összekötve az így kapott húr minden pont-

ja a parabola pontja alatt helyezkedik el.

2. A másodfokú alapfüggvény transzformálása

2.1 y tengely menti eltolás

Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben, illetve érték-

táblázattal az f(x) = x2, a g(x) = x2− 3, illetve h(x) = x2+

2 függvények grafikonjait! Az ábrázoláshoz felhasznál-

hatjuk az elkészített értéktáblázatot.

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

g(x) 13 6 1 –2 –3 –2 1 6 13

h(x) 18 11 6 3 2 3 6 11 18

Ha az f függvény értékeiből 3-at vonunk ki, akkor a g függvény értékeit kapjuk meg, ha pedig

2-t adunk hozzá, akkor a h függvény lesz az eredmény. Ez egyben a grafikon y tengely menti

eltolását is jelenti –3, illetve +2 egységgel.


Általánosan: a g(x) = x2 + v (v 0-tól különböző, tet-

szőleges valós szám) függvény grafikonját az

f(x) = x2 függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy

f grafikonját eltoljuk az y tengely mentén |v| egység-

gel v < 0 esetén lefelé, v > 0 esetén felfelé.

2.2 x tengely menti eltolás

Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben, illetve értéktáblázattal az f(x) = x2, a g(x) = (x+1)2,

illetve h(x) = (x−2)2 függvények grafikonjait! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített

értéktáblázatot.

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

f(x) 16 9 4 1 0 1 4 9 16

g(x) 9 4 1 0 1 4 9 16 25

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

f(x) 16 9 4 1 0 1 4 9 16

h(x) 36 25 16 9 4 1 0 1 4

Az értéktáblázatból látható, hogy a g függvény az értékeit 1 egységgel korábban veszi fel,

mint az f függvény.


Ez azt jelenti, hogy a g függvény grafikonját úgy kapjuk meg az f függvény grafikonjából,

hogy azt eltoljuk az x tengely mentén –1 egységgel, másképp fogalmazva negatív irányba 1

egységgel.

A h függvény az értékeit 2 egységgel később veszi fel, mint az f függvény. A h függvény gra-

fikonját pedig az f függvény grafikonjának x tengely menti 2 egységgel, pozitív irányba törté-

nő eltolásával kapjuk meg.

Általánosan: a g(x)=(x+u)2 (u 0-tól különböző tetszőleges valós szám) függvény grafikonját

az f(x)=x2 függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az x tengely mentén

|u| egységgel u előjelével ellentétes irányba: u < 0 esetén pozitív, u > 0 esetén negatív irány-

ba.

2.3 y tengely menti zsugorítás/nyújtás

Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a következő függvények grafikonjait!

f(x) = x2; g(x) = 3x2; h(x) = 21

− x2

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

g(x) 48 27 12 3 0 3 12 27 48

h(x) –8 –4,5 –2 –0,5 0 –0,5 –2 –4,5 –8


Általánosan: a függvény az f(x)=ax2 hozzárendelé-

si utasítással adható meg, ahol a 0-tól különböző

tetszőleges valós szám.

Szemléletesen: ha az a szorzótényező

• 0 és 1 között van, akkor a másodfokú függ-

vény grafikonja szétnyílik,

• 1-nél nagyobb, akkor a grafikon szűkül,

• negatív, akkor pedig a grafikon az x tengely-

re tükröződik is.

Feladatok

20. Válaszolj a következő kérdésekre! Válaszodat indokold!

a) Add meg az ( ) 12 += xxf függvény értékkészletét!

b) Mely intervallumon szigorúan csökkenő az ( ) 2xxf = , illetve a ( ) 2xxg −= függvény?

c) Minimuma vagy maximuma van a h(x) = −2x2−1 függvénynek?

d) Hol van szélsőértéke a ]–1; 5] intervallumon értelmezett k(x) = (x−2)2 függvénynek, és

mekkora ez az érték?

e) Párosak-e az m(x) = x2+3, illetve az n(x) = (x+3)2 függvények?

f) Hol van zérushelye a p(x) = −x2+4, a q(x) = x2+2, illetve az r(x) = 2(x−5)2 függvények-

nek?

g) Milyen transzformációval kapjuk az f(x) = (x+2)2 függvény grafikonját a g(x) = x2 függ-

vény képéből (parabolából)?

h) Milyen transzformációval kapjuk az f(x) = (x−1)2+1 függvény grafikonját a g(x) = x2

függvény képéből (parabolából)?

i) Milyen transzformációval kapjuk az a(x) = −3x2, illetve a b(x) = 0,5x2 függvények

grafikonját az f(x) = x2 függvény képéből (parabolából)?


21. Ábrázold a következő (alapértelmezésben a valós számok halmazán értelmezett) függvé-

nyek grafikonját, és jellemezd a függvényeket!

1)( 2 += xxa ; 121)( 2 += xxd ; ( )23)( +−= xxg ; [ ]05;x −∈ ;

22)( xxb = ; 241)( 2 −−= xxe ;

84)( 2 −= xxc ; 62)( 2 +−= xxf ; [ ]22;x∈ .

22. Rajzold be a koordinátatengelyeket úgy, hogy a megadott hozzárendelési utasítás igaz

legyen!

a) b)

3)( 21 −= xxf 2

2 )5()( −−= xxf

c) d)

3)( 23 −−= xxf 4

41)( 2

4 += xxf


e) f)

2)1()( 25 −−= xxf 4)2()( 2

6 ++−= xxf

23. Írd fel a képeken látható parabolák hozzárendelési utasítását!

a) b)

c) d)


e) f)

24. Egy céllövőnek a versenyen a tőle 8 m távolságra, 16 m magasan levő korongot kell

eltalálnia a győzelemhez. Lövés után a golyó az 2

41)( xxf = képlettel megadott függvény

grafikonjának vonalán mozog, ahol x a golyó versenyzőtől való távolságát jelenti. Ké-

szítsd el a függvény grafikonját, és döntsd el, hogy megnyeri-e ez a céllövő a versenyt?

(A légellenállástól eltekintünk.)

25. Írd fel annak a másodfokú függvénynek a hozzárendelési utasítását, amelyről tudjuk, hogy

az f(x) = x2 vagy a g(x) = −x2 függvényből a következő transzformációval származik:

a) az y tengely −2 pontjában szélsőértéke van.

b) az x tengelyt a 4 helyen érinti.

c) maximuma van az (5;2) pontban.

d) minimuma van a (−3;1) pontban.

e) átmegy a P(−3;10) ponton, szimmetrikus az y tengelyre.

f) átmegy a P(−1;5), Q(1;1) és R(3;5) pontokon.


Mintapélda10

Készítsük el az f(x) = −x2+5x-6 függvény grafikonját, és jellemezzük a függvényt!

Megoldás:

Teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé alakítás:

( ) =−−−= 65)( 2 xxxf

( ) =−−+⋅⋅−−= 625,625,65,222 xx

( )( ) =−−−−= 625,65,2 2x

( ) ( ) 25,05,2625,65,2 22 +−−=−+−−= xx

Jellemzés:

1. É.T.: R;

2. É.K.: ] −∞; 0,25];

3. zérushely:

4. monotonitás:

x ≤ 2,5: szigorúan növő, x ≥ 2,5: szigorúan csökkenő;

5. szélsőérték:

maximumhely: x = 2,5; maximumérték: f(2,5) = 0,25;

6. paritás: nem páros, nem páratlan;

7. konkáv (alulról nézve).

Mintapélda11

Készítsük el a 32)( 2 −−= xxxf függvény grafikonját, és jellemezzük a függvényt!

Megoldás:

Teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé alakítás:

( ) ( ) 4131131112)( 222 −−=−−−=−−+⋅⋅−= xxxxxf .

3

2

=

=( ) ( )( ) =

−−±−

=−⋅

−⋅−⋅−±−=

=−+−

224255

1261455

0652

21

2

;x

xx

3 2

2 1 ==

x x


Jellemzés:

1. É.T.: R;

2. É.K.: R+∪0;

3. zérushely:

0322 =−− xx

4. monotonitás:

x ≤ −1: szigorúan monoton csökkenő,

−1 ≤ x ≤ 1: szigorúan monoton növő,

1 ≤ x ≤ 3: szigorúan monoton csökkenő,

3 ≤ x: szigorúan monoton növő;

5. szélsőérték:

lokális maximumhely: x = 1,

maximumérték: f(1) = 4,

abszolút minimumhely: x1 = −1; x2 = 3,

minimumérték: f(1) = f(3) = 0;

6. paritás: nincs;

7. ha −1 < x < 3, akkor konkáv (alulról nézve), ha x < −1 vagy x > 3, akkor konvex (alulról

nézve).

13

2

1

−==

xx

( )=

+±=

⋅⋅⋅−−±

=2

124212

31422 2

21;x

1

3

−


Feladatok

26. Ábrázold a következő (alapértelmezésben a valós számok halmazán értelmezett) függ-

vények grafikonját, és jellemezd a függvényeket!

n(x) = x2+6x+9; q(x) = x2−2x−3 x∈[−2; 3]; s(x) = x2+4x+3 x∈Z;

o(x) = x2−4x+4; r(x) = x2−x−2; t(x) = x2−x+6 x∈Z+.

27. Ábrázold a következő (alapértelmezésben a valós számok halmazán értelmezett) függ-

vények grafikonját, és jellemezd a függvényeket!

282)( 21 +−= xxxf ; xxxf 6

31)( 2

4 += ;

263)( 22 −−= xxxf ; 34)( 2

5 +−= xxxf ;

xxxf 82)( 23 −= ; 14122)( 2

6 −+−= xxxf .

28. A függvény grafikonjának elkészítése nélkül határozd meg a zérushelyek számát! Ál-

lapítsd meg, hogy maximuma vagy minimuma van-e a függvénynek! Csoportosítsd az

alábbi függvényeket a felsorolt szempontok alapján!

Csoportosítandó függvények:

( )2710)( 21 ++−= xxxf ; 204)5)(5(2)( 2

7 −−−+= xxxxf ; 741)( 2

13 ++−= xxxf ;

xxxf 6)10()( 22 ++−= ; 3)6(

31)(8 −−−= xxxf ; 4)2)(10()(14 +−−= xxxf ;

23 )4(2)( xxxf +−= ; xxxxf 4)3)(13()(9 +−−= ; )4(37)(15 ++= xxxf ;

9)4(2)( 24 +−−−= xxxf ; 152)( 2

10 −+= xxxf ; 216 2

1)3(4)( xxxf −+−=

5,16521)( 2

5 +−= xxxf ; 7)1)(3()( 211 +−−−−= xxxxf ;

8)8)(4()(6 +++= xxxf ; xxxf 67)( 212 −−−= .

Szempontok:

– nincs zérushelye,

– egy zérushelye van,

– két zérushelye van,

– minimuma van,

– maximuma van.


a)

29. Legyen a kiindulási függvény az ( ) 2xxf = . Mi lesz a függvény hozzárendelési utasítása,

ha grafikonját

a) eltoljuk az x tengely mentén pozitív irányba 3 egységgel?

b) eltoljuk a v(0;2) vektorral?

c) tükrözzük az y tengelyre?

d) eltoljuk a v(−3; −1) vektorral?

e) kétszeresére nyújtjuk?

f) tükrözzük az x tengelyre, majd felére zsugorítjuk?

g) először tükrözzük az x tengelyre, majd eltoljuk az y tengely mentén +5 egységgel?

h) eltoljuk a v(0;2) vektorral, majd tükrözzük az x tengelyre?

i) először eltoljuk a v(1;2) vektorral, majd tükrözzük az y tengelyre?

30. A kertünkben zöldségtermesztés céljából szeretnénk elkeríteni egy

részt. 20 m hosszú drótot vettünk a kerítéshez. Mekkorák legyenek

a veteményes oldalai, hogy a lehető legtöbb zöldséget tudjuk benne

termeszteni?

31. Bontsunk fel egy 10 cm hosszú szakaszt két részre úgy, hogy

a) a darabok fölé rajzolt szabályos háromszögek területének

összege a legkisebb legyen!

b) a két darab hosszának a szorzata a legnagyobb legyen!

32. Egy konvex sokszögben összesen 44 átló húzható. Határozd meg a sokszög oldalszá-

mát! Ábrázold koordináta-rendszerben a konvex sokszög oldalai és a benne húzható

átlók száma közötti összefüggést.

33. Csoportosítsd a következő pontokat aszerint, hogy azok hogyan helyezkednek el az

721)( 2 +−= xxf és 4)1()( 2 −+= xxg függvények grafikonjához képest!


Pontok:

)5;2(1P ;

)7;0(2P ;

)3;0(3 −P ;

)0;3(4 −P ;

)5;1(5 −P ;

)0;0(6P ;

)5;3(7P ;

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

29;

23

8P ;

)2;2(9P ;

)6;3(10 −P ;

)90;2(P11 ;

)3;7(12 −P ;

)4;4(13 −P ;

)5;3(14P ;

)6;5(15 −−P ;

)11;6(16 −P .

Szempontok:

– vagy az f vagy a g függvények grafikonján található,

– az f függvény és a g függvény grafikonja felett található,

– az f függvény grafikonja alatt, de a g függvény grafikonja felett található,

– az f függvény és a g függvény grafikonja alatt található,

– az f függvény grafikonja felett, de a g függvény grafikonja alatt található.

3. Másodfokú egyenlőtlenségek

Mintapélda12

Ábrázoljuk számegyenesen a (x−3)(x+2) ≥ 0 egyenlőtlenség megoldáshalmazát!

Megoldás:

Ábrázoljuk koordináta-rendszerben az

f(x) = (x − 3)(x + 2) függvény grafikonját!

Az előjelek megállapításához elegendő, ha tudjuk

az x tengellyel való metszéspontokat, illetve azt,

hogy a parabola felfelé vagy lefelé nyílik.

Az ábráról leolvasható a megoldáshalmaz: x ≤ −2 vagy x ≥ 3.

Természetesen a feladat algebrai úton is megoldható: egy kéttényezős szorzat akkor pozitív,

ha a szorzótényezők előjelei megegyeznek. Ekkor x − 3 ≥ 0 és x + 2 ≥ 0 egyenlőtlenségek

közös megoldáshalmaza az x ≥ 3, illetve az x − 3 ≤ 0 és x + 2 ≤ 0 egyenlőtlenségek közös

megoldásaként adódik az x ≤ −2.


Mintapélda13

Ábrázoljuk számegyenesen a 0562 ≥+− xx egyenlőtlenség megoldáshalmazát!

Megoldás:

Mivel a főegyüttható pozitív (+1), ezért a parabola

felfelé nyílik. Az x tengelyt az 5 és az 1 helyen metszi.

A keresett halmaz: x ≤ 1 vagy x ≥ 5.

Mintapélda143

Mely egész számokra teljesül a 0762 ≥−−− xx egyenlőtlenség?

Megoldás:

A megfelelő egyenlet gyökei:

2226

21 −±

=;x ,

59123

41423

2

1

,x

,x

−≈+−=

−≈−−=

Mivel a főegyüttható negatív (−1), ezért a parabola

lefelé nyílik. Az egyenlőtlenségnek megfelelő értékek a két gyök között találhatók:

2323 +−≤≤−− x . A keresett egész számok: −4; −3; −2.

Feladatok

34. Ábrázold számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát:

a) 0)2)(3( ≥+− xx ; b) 0)1( ≤+xx ; c) ( ) 05 2 ≥+x ;

d) ( ) 03 2 >−x ; e) ( ) 03 2 ≤−− x .

12

46

52

46

=−

=+

=⋅⋅−±

=2

51466 2

21;x



a) 032

≤+x ; b) ( )( ) 035 >+−− xx ; c) 032 <+− x ;

d) 082 2 >−x ; e) ( )( ) 03241

≤+−+ xx .


a) 01492 ≥+− xx ; d) 212 xx ≤+ ;

b) 62 −≥+− xx és x∈Z; e) 251134 2 −≥−− xxx ;

c) 0103 2 >−+− xx .


a) 423

8 2+<+

− xxx ;

b) xxxx 22186 22 +−<+−− és x∈Z;

c) ( )( ) 0124 >+++ xx ;

d) ( )( ) 24115

21 2 −+>−+ xxxx .

Mintapélda15

Hol találhatók a síkon azok a pontok, melyek koordinátáira y < − x2− 6 x + 7 ?

Megoldás:

Teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé alakítás felhasználásával ábrázoljuk a az

f(x) = −x2− 6x+ 7 függvény grafikonját: ( ) ( ) 16376)( 22 ++−=++−= xxxxf

A megoldáshalmazt a grafikon alatti pontok alkotják.


Mintapélda16

Hol találhatók a számegyenesen azok a pontok, melyekre 621032 −+>−+ xxx ?

Megoldás:

Legyen 103)( 2 −+= xxxf és 62)( −+= xxg . Ábrázoljuk az f és g függvények grafi-

konjait közös koordináta-rendszerben!

Az f(x) függvény grafikonjának pontos ábrázolásához teljes négyzetet tartalmazó kifeje-

zéssé alakítunk: ( ) ( ) ( ) 25,125,11025,225,23103)( 222 −+=−−++=−+= xxxxxxf

Az ábra alapján már meg lehet becsülni, hol lesz a megoldáshalmaz, de a megoldáshoz

szükséges még a metszéspontok pontos meghatározása.

1. lépés: Alkalmazzuk az abszolútérték definícióját!

( )⎩⎨⎧

−<−−=−+−−≥−=−+

=−+28622462

62x,xxx,xx

x

2. lépés: A definíciót felhasználva oldjuk meg az egyenletet!

I. Ha 2−≥x , akkor

062

41032

2

=−+

−=−+

xx

xxx

( )71

2722

22442

26442

21 ±−=±−

=+±−

=−⋅−±−

=;x

Mivel 2−≥x , ezért x2 nem megoldás. 653721

651721

2

1

,x

,x

−≈−−=

≈+−=


II. Ha 2−<x , akkor

024

81032

2

=−+

−−=−+

xx

xxx

( )62

2624

2244

224164

21 ±−=±−

=±−

=−⋅−±−

=;x

Mivel 2−<x , ezért x1 nem megoldás.

Összefoglalva: a megoldáshalmaz: 71xvagy62x +−>−−< .

Feladatok

38. Hol találhatók a síkon azok a pontok, melyek koordinátáira

a) 462 −−< xxy ; b) xxy 51 2 +−≥− ?

39. Hol találhatók a számegyenesen azok a pontok, melyek koordinátáira

a) 12122 +≤− xx ; b) 42242 −−>+− xxx ?

40. Egy üzemben a darabszám függvényében a költséget a xxk 34)( += függvény írja le

millió forintban. A bevételt pedig a 180006002)( 2 −+−= xxxb kifejezés adja meg

szintén millió forintban.

a) Milyen darabszámok esetén lesz a bevétel nagyobb, mint a kiadás?

b) Milyen darabszám mellett lesz a legnagyobb a nyereség (bevétel–kiadás)?

45462

45062

2

1

,x

,x

−≈−−=

≈+−=


Mintapélda17

Oldjuk meg az 06423

2

2≥

++−+

xxxx egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

Megoldás:

Legyen 23)( 2 −+= xxxf és 64)( 2 ++= xxxg .

A nevező nem lehet 0: .0642 2 ≠++ xx Ennek diszk-

riminánsa D = 16 – 24 < 0. Mivel a diszkrimináns ne-

gatív, ezért a nevező sehol sem vesz fel 0 értéket.

Mivel a diszkrimináns negatív és a főegyüttható pozi-

tív, így a g függvény grafikonja olyan parabola,

amelynek minden pontja az x tengely fölött van.

A függvény mindenütt pozitív értéket vesz fel.

Most számoljuk ki az f függvény zérushelyeit:

.56,32

173

,56,02

173

;2

1732

893

2

1

2;1

−≈−−

=

≈+−

=

±−=

+±−=

x

x

x

Egy tört értéke akkor nemnegatív, ha a számláló és a nevező előjele megegyezik. Mivel

a nevező mindenütt pozitív, így a számlálónak is nemnegatívnak kell lennie. Az f függ-

vény főegyütthatója pozitív, így a függvény akkor vesz fel nemnegatív értékeket, ha

2173−−

≤x vagy 2

173+−≥x . A tört értéke is ezekben az esetekben lesz

nemnegatív.


Mintapélda18

Milyen valós számokra igaz az alábbi egyenlőtlenség?

4

233

+<+

−+

xx

xx

Megoldás:

Kikötés: 03 ≠−x , ahonnan 3≠x és 04 ≠+x , amiből 4−≠x .

Törtes egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásakor az első lépés mindig a kikötés, mert

a nullával való osztás nincs értelmezve. Egyenlőtlenség megoldásakor, ha negatív szám-

mal szorzunk, az egyenlőtlenség jele megfordul. A törtes egyenlőtlenségeket célszerű nul-

lára rendezni:

04

233

<+

−+−+

xx

xx

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( ) 0

433

43432

4343

<+−

−−

+−+−

++−++

xxxx

xxxx

xxxx ,

( )( ) ( )( ) ( )( )( ) 0

43343243<

+−−−+−+++

xxxxxxxx

A nevezőben a zárójelek felbontása felesleges, hiszen az egyenlőtlenség megoldásához a

zérushelyekre lesz szükség, amelyek a szorzat alakból könnyen leolvashatók.

( )( ) 043-x

32422127 222<

++−−++++

xxxxxxx

( )( ) 04312122 2

<+−−+

xxxx .

Az egyenlőtlenség megoldásához szükség van a számláló zérushelyeire is:

066

20121222

2

=−+

=−+

xx

:/xx

87,6153

87,0153

−=−−

=+−=±−=

±−=

+±−= 153

2606

224366

21;x


Ábrázoljuk külön a számlálónak, illetve külön a nevezőnek, mint függvénynek a grafikonját.

Egy tört

értéke akkor és csak akkor negatív, ha a számláló és a nevező ellentétes előjelű.

I. 012122 2 >−+ xx és ( )( ) 043 <+− xx (számláló pozitív és a nevező negatív):

A számláló pozitív, ha 153−−<x vagy

153+−>x .

A nevező negatív, ha 34 <<− x .

A két halmaz közös része a megoldás: 3153 <<+− x .

II. 012122 2 <−+ xx és ( )( ) 043 >+− xx (számláló negatív és a nevező pozitív):

A számláló negatív, ha 153153 +−<<−− x .

A nevező pozitív, ha 4−<x vagy 3>x .

A két halmaz közös része a megoldás:

4153 −<<−− x .

A részmegoldások összesítése a kikötéssel: 4153 −<<−− x vagy 3153 <<+− x .

Megjegyzés: Az irracionális értékek ábrázolása a számegyenesen csak hozzávetőleges.


Feladatok

41. Oldd meg a valós számok halmazán az 11

22 ++

≥+x

x egyenlőtlenséget!

42. Oldd meg az 23

21

−+

<+−

xx

xx egyenlőtlenséget, ha x ∈ R és ] [34;x −∈ !

43. Oldd meg a valós számok halmazán a 31

4252

312+

−−

≤+−−

xx

xx egyenlőtlenséget!


344

4104

753

−+

>+

++− xx

xx egyenlőtlenséget!


2

2

+−+−

xxxx < 0 egyenlőtlenséget!

Mintapélda18

Hol találhatók a síkon azok a pontok, melyekre 262 +−≤ xxy és 13 −−−> xy egyszerre

teljesül?

Megoldás:


Közös tartomány:

Ha a függvény grafikonja eleme a tartománynak (≤ vagy ≥ esetén), akkor a tartomány színé-

vel színezzük ki. Ha a nem eleme (< vagy > esetén), akkor a grafikon fekete színű.


III. Négyzetgyökfüggvény 1. Az alapfüggvény grafikonja és jellemzése

Mintapélda20

Hány egység a négyzet oldala, ha ismert a területe? Töltsd ki a táblázatot! Megoldás: Tudjuk, hogy a négyzet területe: 2aT = . Ebből Ta = .

T 1 4 9 2 3 5 0,25 0,01

a 1 2 3 2 3 5 0,5 0,1 Megjegyzés: Mivel két olyan szám is létezik, amelynek négyzete a, ezért a− -val jelöljük azt a nem pozitív számot, amelynek négyzete szintén a. ( )00 = Ezen definíció alapján megadható a négyzetgyökfüggvény fogalma:

Egy nemnegatív szám négyzetgyökén azt a nemnegatív számot értjük, ame-lyet négyzetre emelve megkapjuk az eredeti számot. Jelöléssel: Ha 0≥a , akkor

a jelöli azt a nem negatív valós számot, amelyre ( ) aa =2

.

Négyzetgyökfüggvényen értjük a nemnegatív valós számok halmazán értel-mezett, x)x(f = hozzárendeléssel megadott függvényt.


Mintapélda21

Ábrázoljuk és jellemezzük a nemnegatív valós számok halmazán értelmezett x)x(f = hoz-zárendeléssel megadott függvényt! Megoldás: A fenti táblázatot értéktáblázatként felhasználva, a következő grafikont kapjuk: Jellemzés 1) É.T.: R+∪0; 2) É.K.: R+∪0; 3) zérushely: x = 0; 4) monotonitás: szigorúan monoton növő; 5) szélsőérték:

minimumhely: x = 0; minimumérték: f(0) = 0;

6) paritás: nem páros, nem páratlan, 7) konkáv (alulról nézve). Mintapélda22

a) Határozzuk meg, mely két egész szám között található 68 négyzetgyöke! b) Határozzuk meg öttized pontossággal, mely két racionális szám között található 55 négy-

zetgyöke! Megoldás:

a) 9688 << . b) 5,7557 << , mert 49 < 55 < 56,25.

Feladatok

46. a) Határozd meg, mely két egész szám között található az alábbi számok négyzetgyö-ke! 0,5; 2; 10; 17; 28; 3; 44; 70. b) Határozd meg öttized pontossággal, mely két racionális szám között található a fel-sorolt számok négyzetgyöke!


47. Az ábra segítségével határozd meg egy tizedesjegy pontossággal a nem negatív valós számok halmazán értelmezett x)x(f = függvény értékeit az alábbi helyek esetén!

x 2 3 6 7 8

f(x)

f(0); f(–1); f(2,5); f(5,7); f(8,1).

48. Az előző grafikon alapján olvasd le egy tizedesjegy pontossággal, hogy hol veszi fel az xxf =)( , R+∪0 függvény a táblázatban szereplő függvényértékeket!

x

f(x) 1 2 3 0,1 0,5 0,7 1,3 1,6 2,2 2,5 2,9

49. Hol veszi fel az 2)( += xxf , x∈[−2; ∞[ függvény a következő függvényértékeket? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5,0;4;3,3;2,1;2,0;0 −=−===== xfxfxfxfxfxf .

50. Melyik függvény grafikonján találhatóak a következő pontok? Csoportosítsd a követ-kező pontokat aszerint, hogy mely függvények grafikonján vannak rajta!

Pontok:

( )1;11 −−P ; ( )0;22P ; ( )2;33P ; ( )0;24 −P ; ( )2;25 −−P ; ( )2;26 −P ; ( )1;07P ; ( )0;18 −P ;

( )4;69P ; ( )2;110P ; ( )23;111 −P ; ( )0;012P ; ( )1;013 −P ; ( )7;514 −P ; ( )12;515P ; ( )1116 −;P .

Függvények: 1)( += xxf ; 22)( −= xxg ; 2)( +−= xxh ; 22)( −+= xxi .


2. Négyzetgyökfüggvény értelmezési tartományának vizsgálata Mintapélda23

Határozzuk meg az 31 += x)x(f ; x)x(f −= 22 és 261223 −−−= xx)x(f hoz-

zárendeléssel megadott függvények értelmezési tartományát! Megoldás:

Azt kell megvizsgálni, hogy a gyökjel alatti kifejezés hol nemnegatív, vagyis mely x-ekre teljesül, hogy

f1 esetén x + 3 ≥ 0; f2 esetén 2 − x ≥ 0; illetve f3 esetén 026122 ≥−−− xx .

f1 értelmezési tartománya: x ≥ −3. f2 értelmezési tartománya: 2 ≥ x.

Most vizsgáljuk meg az f3(x) függvényt!

1. lépés: Kiszámoljuk a függvény zérushelyeit:

2. lépés: A függvény grafikonja egy lefelé nyíló parabola, mely az x tengelyt a −9,16 il-

letve az −2,84 helyeken metszi:

3. lépés: Az ábráról már könnyen leolvasható a megoldáshalmaz, ami egyben a függ-

vény értelmezési tartománya is: 106106 +−≤≤−− x .

842106

169106

,

,

−≈+−

−≈−−( ) ( )=

−±

=−

−⋅−⋅−±=

24012

2261414412

21;x


Mintapélda24

Hol értelmezhető az ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= xxxf

545112 hozzárendeléssel megadott függvény?

Megoldás: A gyökjel alatti szorzat nem vehet fel negatív értékeket. Egy kéttényezős szorzat értéke pedig csak akkor lesz nemnegatív, ha a tényezők értékeinek előjele megegyezik, illetve ha a szorzat 0.

I. 0112 ≥+x és 0545 ≥− x 55,x −≥ és 256,x ≤ 25655 ,x, ≤≤− .

II. 0112 ≤+x és 0545 ≤− x 55,x −≤ és 256,x ≥ ez a két feltétel egyszerre nem

teljesül nincs megoldás.

Tehát a függvény értelmezési tartománya: 25655 ,x, ≤≤− .

Mintapélda25

Adjuk meg az 66

32)( 2

2

−+−−−

=xx

xxxf hozzárendeléssel megadott függvény értelmezési tarto-

mányát! Megoldás:

Egy tört értéke akkor nemnegatív, ha a számláló és a nevező előjele megegyezik, illetve a számláló 0 is lehet. Ezért 1. lépésben meghatározzuk mind a számlálóban, mind a nevezőben lévő kifejezé-seknek mint függvényeknek a zérushelyeit: Számláló:

Nevező:

=−±−

=−

−±−=

2326

224366

2;1x73433

27133

,

,

≈+

≈−

=±

=+±

=2

422

12422;1x

1

3

−


2. lépés: Készítsünk vázlatot a számlálóban és nevezőben lévő parabolák elhelyezkedé-séről a zérushelyek és a főegyüttható alapján.

3. lépés: egy tört értéke akkor nemnegatív, ha

I. 0322 ≥−− xx és 0662 >−+− xx . A fenti ábrákról leolvasható, hogy

0322 ≥−− xx akkor teljesül, ha 1−≤x vagy 3≥x . A nevező pedig akkor pozitív, ha 3333 +<<− x . A közös tartomány: 333 +<≤ x .

II. 0322 ≤−− xx és 0662 <−+− xx . A számláló akkor nempozitív, ha 31 ≤≤− x . A nevező pedig akkor negatív, ha

33−<x vagy 33+>x . Számegyenesen ábrázolva a kapott értékeket látható, hogy a közös tartomány: 331 −<≤− x .

A I. és II. eset összegzéseként megkapjuk a függvény értelmezési tartományát:

333 +<≤ x vagy 331 −<≤− x .

Feladatok

51. Határozd meg a következő függvények értelmezési tartományát! a) xxf −=)( ; b) xxf −=)( ; c) xxf −= 2)( ;

d) 53)( += xxf ; e) 15)( +−= xxf ; f) 421)( −= xxf .

52. Határozd meg a következő függvények értelmezési tartományát!

a) 65

4)(−

=x

xf ; b) x

xf472)(

−−

= ; c) 65)( 2 −+= xxxf ;

d) 61)(

+−

=xxxf ; e) 10133)( 2 +−−= xxxf ; f) 1382)( 2 +−= xxxf ;

g) 33)( −+−= xxxf ; h) 21)( −−−= xxxf .


53. Határozd meg a következő függvények értelmezési tartományát!

a) 3332)( −+= xxf ; b) 5)( +−= xxf ; c)

51)(+−

=x

xf ;

d) 49305)( 2 −+−= xxxf ; e) 34

145)( 2

2

+−−−

=xxxxxf ;

f) x

xxxxf

5413

452)(

−+

−+−

= .

3. A négyzetgyökfüggvény ábrázolása és a függvény jel-lemzése Mintapélda26

a) Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az 0∪+R -n értelmezett 2)( xxa = , xxb =)( és a valós számok halmazán értelmezett x)x(c = függvények grafikonját!

b) Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az 0∪−R -n értelmezett 2)( xxa = , xxb −=)( és a valós számok halmazán értelmezett xxc =)( függvények grafikonját!

Mit tapasztalunk? Megoldás:

a) b)

Tapasztalat: Mindkét értelmezési tartományon a b függvény grafikonja az a függvény grafi-konjának y = x egyenesre a c függvény grafikonjára vonatkozó tükörképe. Az a és b függvény a megfelelő értelmezési tartományon inverzei egymásnak. Hiszen egy ( )yxP ; pont akkor van rajta a b függvény grafikonján, ha xy = . Ekkor a négyzetgyök defi-

níciója szerint y jelenti azt a nem negatív számot, amelyet négyzetre emelve x-et kapunk, va-gyis xy =2 . Tehát a ( )2;' yyP koordinátákkal megadott pont az a függvény grafikonjának lesz az eleme. De P´ így is írható: ( )xxP ;' . Összefoglalva: ( )xxP ; és ( )xxP ;' pontok koordinátái felcserélődtek, ami azt jelenti, hogy tükörképei egymásnak az y = x egyenesre vonatkozóan.


Feladatok

54. Ábrázold a következő függvények grafikonját, és jellemezd a függvényt!

x)x(f41

= ; 1+= x)x(g ; x)x(h 2−= ; 3−= x)x(k .

Mintapélda27

Ábrázoljuk az 2521

+−−= x)x(f függvény grafikonját és jellemezzük a függvényt!

Megoldás: 1. lépés: Ábrázolás transzformációkkal

Transzformációs lépések: xxa =)( ← alapfüggvény;

5−= x)x(b ← a grafikonjának eltolása az x tengely mentén +5 egységgel;

521

−= x)x(c ← b grafikonjának y tengely menti felére zsugorítása;

521

−−= x)x(d ← c grafikonjának tükrözése az x tengelyre;

2521

+−−= x)x(f ← d grafikonjának eltolása az y tengely mentén 2 egységgel.


1) É.T.: 5≥x és x valós; 2) É.K.: 2≤)x(f és ∈)(xf R; 3) zérushely:

02521

=+−− x ;

45 =−x ; 165 =−x , innen 21=x ;

4) monotonitás: szigorúan monoton csökkenő; 5) szélsőérték:

maximumhely: x = 5; maximumérték: f(5) = 2;

6) paritás: nem páros, nem páratlan. 7) konvex (alulról nézve)


Mintapélda28

Ábrázoljuk az x)x(f 43 −= függvény grafikonját és jellemezzük a függvényt! Megoldás: 1. lépés: A hozzárendelési utasítás átalakítása.

( ) ( ) ( )7502750475043443 ,x,x,xxx −−⋅=−−⋅=−⋅−=+−=− . 2. lépés: Ábrázolás transzformációkkal.

Transzformációs lépések: xxa =)( ← alapfüggvény;

750,x)x(b −= ← a grafikonjának x tengely menti eltolása +0,75 egységgel; ( )750,x)x(c −−= ← b grafikonjának tükrözése az x = 0,75 egyenletű egyenesre;

( )7502 ,x)x(f −−⋅= ← c y tengely menti kétszeres nyújtása.


1.) É.T.: ]− ∞; 0,75]; 2.) É.K.: nemnegatív valós számok halmaza; 3.) zérushely: x = 0; 4.) monotonitás: szigorúan monoton csökkenő; 5.) szélsőérték:

minimumhely: x = 0,75; minimumérték: f(0,75) = 0;

6.) paritás: nem páros, nem páratlan. 7.) konkáv (alulról nézve)

Feladatok


1)(1 += xxf ; 212 −+= x)x(f ; 241

3 += x)x(f ;

331

4 −= x)x(f .


xxf −= 3)(1 ; 64)(2 −= xxf ; 15)(3 +−−= xxf ;

414)(4 −−= xxf ; 842)(5 ++−= xxf .


Mintapélda29

Ábrázoljuk az ( ) ⎩⎨⎧

∈−∪∈

=−

+

RxhaxRxhaxxf

,0, függvény grafikonját! Hogyan lehetne

egyetlen hozzárendelési utasítással megadni ezt a függvényt? Megoldás:

Jellemzés: Ez a függvény a valós számok halmazán értelmezett. Nemnegatív értékeket vesz fel. A negatív számok halmazán szigorúan monoton csökkenő, míg a pozitív szá-mok esetén szigorúan monoton növekvő. Az origóban minimuma van. Grafikonja szimmetrikus az y tengelyre, vagyis a függvény páros. A függvény megadható az ( ) xxf = hozzárendelési utasítással.

Feladatok

57. Ábrázold a következő függvények grafikonját, és jellemezd a függvényt! ( ) 2

1 xxf = ; ( ) 22 −= xxf ; ( ) 23 −= xxf ;

( ) 34 −= xxf ; ( ) 25 −= xxf ; ( ) 9626 +−= xxxf .

58. Add meg a következő függvények hozzárendelési utasítását!


59. Milyen függvénytranszformációkat mutat az alábbi ábra? Add meg a transzformációk helyes sorrendjét, hogy az f-fel jelölt grafikon legyen az eredmény az xxa =)( -ből kiindulva!


Ismétlő és gyakorló feladatok a modul anyagához

60. Osztályozd a következő függvényeket az alábbi szempontok alapján!

Függvények:

xxa21)( −= ; 3)( =xb ; 10)( −=xc ; 52)( +−= xxe ;

221)( += xxg ; xxd 3)( = ; 7

34)( −−= xxf ; 55)( −= xxh .

Szempontok:

– átmegy az origón, – elsőfokú függvények, – konstans függvények, – szigorúan monoton csökkenő, – szigorúan monoton növekvő.

61. Válaszd ki azokat az egyeneseket, amelyek áthaladnak a megadott pontokon!

Pontok: P(3;2); Q(−4;6); R(−2;–1); S(5; −4). Egyenesek:

421)( +−= xxa ; 8

27)( −−= xxb ; 113)( +−= xxc ; 2

52)( −−= xxd ;

32)( += xxf ; 2)( =xg ; 753)( −= xxh ; 2)( += xxe .

Illeszkedés:

– illeszkedik a P(3;2) pontra, – illeszkedik a Q(−4;6) pontra, – illeszkedik a R(−2; −1) pontra, – illeszkedik a S(5; −4) pontra, – nem illeszkedik egyik pontra sem.


62. Ábrázold és jellemezd az alábbi függvényeket! (Alapértelmezésben a valós számok

halmaza az értelmezési tartomány. Az ettől való eltéréseket jelöljük.)

3912)(1

−=

xxf ; xxf321)(5 −= , ∈x Z, 68 ≤<− x ;

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅= xxf

348

21)(2 ; ( )

31236)(6

−⋅+=

xxf 4<x ;

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅= xxf

323)(3 , ∈x Z+; 13)(7 +−= xxf , [ [5;2−∈x ;

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+= xxxf

2325)(4 , x≤− 2 ; ( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅+−= xxf

34

62

2348 , ] ]12;3∈x .

63. Lineáris függvények ábrázolása a) Az alábbi hozzárendelési utasításoknak megfelelően rajzold be a koordináta-tengelyeket!

51 += x)x(f 322 −= x)x(f 23 −−= x)x(f

121

4 += x)x(f 135 −−= x)x(f 332

6 +−= x)x(f

b) Írd fel a következő grafikonok hozzárendelési utasításait. Add meg az értelmezési tar-tományt is! i) ii)


iii) iv)

v) vi)

c) Az alábbi hozzárendelési utasítások és értelmezési tartományok alapján rajzold be a koordinátatengelyeket! (A szakaszok kiinduló pontja mindig az értelmezési tartomány bal végpontja, félegyenesek esetén pedig a megfelelő végpont.)

i) ii) iii)

x)x(f 21 = 321

2 += x)x(f 33 += x)x(f

É.T.: R+ É.T.: R− É.T.: R; −2 ≤ x ≤ 6


iv) v) vi)

14 +−= x)x(f 135 −−= x)x(f 223

6 +−= x)x(f

É.T.: R− É.T.: R; −3 ≤ x ≤ 2 É.T.: R; x ≥− 4 64. Add meg a lineáris függvény hozzárendelési utasítását, ha

a) átmegy a P(0;3) és a Q(3

10 ; 3) pontokon;

b) átmegy az A(4;3) ponton, és meredeksége 23 ;

c) átmegy a P(− 4;1) ponton, és az y tengelyt a b = 5 pontban metszi;

d) az y tengelyt a b = 5 pontban metszi, és párhuzamos az f(x) = 4x − 6 hozzárendelési utasítással megadott függvénnyel (mf = mg);

e) átmegy a C(3; −6) ponton, és párhuzamos az 421)( +−= xxf hozzárendelési utasítással

megadott egyenessel (mf = mg);

f) az y tengelyt a b = −3 pontban metszi, és merőleges az 223)( +−= xxf hozzárendelési

utasítással megadott egyenesre (mf · mg = −1);

g) átmegy a P(–3;2) és a Q(0;–1) pontokon.


65. Szöveges feladatok

a) Két biciklis egyszerre indul el a 30 km-re lévő szomszédos faluba. Az egyik h

km25 , a

másik h

km30 sebességgel halad. Hány percet kell várakoznia a másik érkezésére, aki

korábban érkezik? Ábrázold a folyamat út–idő grafikonját! b) Egy úszóbajnokságon a versenytáv 100 m. A leggyorsabb úszó 3 m-t tesz meg másod-

percenként, a leglassabb 2,2 m-t. Mennyi idő alatt teszi meg a távot ez a két versenyző? Hány másodperccel később ér célba a lassabb úszó? Ábrázold az időt az út függvényé-ben!

c) Két diák borítékolást vállal. Fejenként 1000 db lapot kell borítékba helyezniük 4 óra

alatt egyenletes teljesítménnyel. Két órán keresztül ennek megfelelően haladnak, de az-tán az egyikük elfárad, és így nem tud, csak 200 borítékot elkészíteni óránként. Amikor társa végez a saját adagjával, segít neki, de mivel ő is elfáradt, így ő is csak 200 db borí-tékkal végez óránként. Hány perccel végeznek később, ha a megmaradt munkát egyen-lően osztották szét egymás között? Ábrázold koordináta-rendszerben a már elkészült borítékok darabszámát az eltelt idő függvényében!

d) Egy anyuka reggel hétkor elindítja kisfiát az iskolába. A gyerek rollerrel 8 perc alatt te-

szi meg az 1,2 km-es távot. Indulás után 3 perccel az anyuka észreveszi, hogy kisfia otthon hagyta a tízóraiját, és kerékpáron utána viszi. 1 perc alatt 300 m-t tesz meg. Mennyi idő múlva éri utol gyermekét? Ábrázold a folyamat út–idő grafikonját!

e) Egy túraútvonalon elindul az egyik gyalogos 2 km/h sebességgel. Két órával később

ugyanezen az útvonalon elindul egy másik gyalogos is 3 km/h sebességgel. Legalább milyen messze lehet a cél, ha ez utóbbi túrázó még előtte beéri az elsőt? Ábrázold koordináta-rendszerben az út–idő grafikont!

f) Egy gyárban minden munkásnak 8 óra alatt 240 db terméket kell előállítani. Az egyik

munkás csak 2 órával később tudott kezdeni, viszont 40 darabnál nem képes többet elké-szíteni 1 óra alatt. Végez-e a munkaidő végéig, vagy bent kell maradnia? Ha bent kell maradnia, akkor mennyi idővel mehet később haza? Ábrázold közös koordináta-rendszerben a többi munkás és a később jövő által előállított termékek számát az eltelt idő függvényében!

g) Egy cukrászüzemben a sütő részleg óránként 40 db süteményt süt ki. A csomagoló

részleg viszont óránként 50 darabot képes becsomagolni, így ott egy órával később kez-denek. Hány óra múlva fogynak el a becsomagolandó sütemények? Ábrázold közös


koordináta-rendszerben a sütő és a csomagoló részleg által elkészített sütemények szá-mát az eltelt idő függvényében!

h) Két villamos egyszerre indul el az egymástól 15 km-re lévő végállomásokról. Az egyik

30 km/h, a másik 25 km/h átlagsebességgel halad. Mikor és hol találkoznak? Ábrázold a folyamat út–idő grafikonját!

i) Egy tartályban 18 l víz van. Amikor kinyitják a lefolyót, akkor percenként 3 l víz folyik

ki belőle. Egy másik tartályban 3 l víz van, és ebbe percenként 2 l vizet engednek. Mi-kor lesz a két tartályban ugyanannyi víz? Ábrázold közös koordináta-rendszerben a víz mennyiségének alakulását!

66. Hol találhatók a számegyenesen az alábbi feltételeknek megfelelő pontok?

a) x > 2;

b) x ≥ −3;

c) x < −1;

d) − 4 < x ≤ 5;

e) − 7,5 ≤ x ≤ −1;

f) 0 ≤ x < 3,5;

g) x ≤ − 2 vagy x > 0;

h) x < 1 vagy x > 3.

67. Hol találhatók a síkban az alábbi feltételeknek megfelelő pontok?

a) x ≥ −1;

b) x < 3;

c) y > 2;

d) y ≤ − 5;

e) x ≥ −1 és y ≤ −5;

f) x > −2 és y ≤ 0;

g) x = − 4 és y > 5;

h) y = 2 és x > −5.


68. Tudjuk, hogy 1 N erő 1 kg tömegű testen 1 s alatt 1m/s sebességváltozást hoz létre.

Ugyanaz az 1 N nagyságú erő 1 s alatt mekkora sebességváltozást eredményez 2; 4; 10;

0,5; 41 ;

101 kg tömegű testen? (A tömeg és a másodpercenkénti sebességváltozás, azaz a

gyorsulás fordítottan arányos.)

69. Legyen a kiindulási függvény az f(x) = x2. Mi lesz a függvény hozzárendelési utasítása, ha grafikonját

a) eltoljuk az x tengely mentén pozitív irányba 3 egységgel?

b) eltoljuk a v(0;2) vektorral?

c) tükrözzük az y tengelyre?

d) eltoljuk a v(−3; −1) vektorral?

e) kétszeresére nyújtjuk?

f) tükrözzük az x tengelyre, majd felére zsugorítjuk?

g) először tükrözzük az x tengelyre, majd eltoljuk az y tengely mentén +5 egységgel?

h) eltoljuk a v(0;2) vektorral, majd tükrözzük az x tengelyre?

i) először eltoljuk a v(1;2) vektorral, majd tükrözzük az y tengelyre?

70. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a valós számok halmazán értelmezett xxf =)( ,

x ≥ 0; 3)( += xxg , x ≥ −3; és 2)( −= xxh , x ≥ 2 függvények grafikonját!

Az ábrázoláshoz felhasználhatod a következő értéktáblázatokat!

x –3 –2 –1 0 1 2 3

f(x) 0 1 2 3

g(x) 0 1 2 3 2 5 6

x 0 1 2 3 4 5 6

f(x) 0 1 2 3 2 5 6

h(x) 0 1 2 3 2


71. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a nemnegatív valós számok halmazán értel-

mezett xxf =)( , xxg 2)( = és xxh21)( = függvények grafikonját ( 0≥x )!

Az ábrázoláshoz felhasználhatod a következő értéktáblázatokat!

x 0 0,1 0,5 1 2 3 4 5 8 9

f(x) 0 0,32 0,71 1 1,41 1,73 2 2,24 2,83 3 g(x) 0 0,64 1,42 2 2,82 3,46 4 4,48 5,66 6 h(x) 0 0,16 0,355 0,5 0,705 0,865 1 1,12 1,415 1,5


Kislexikon

Egyenes arányosság: Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek hányadosa állandó,

akkor azok egyenesen arányosak. Az egyenes arányosságot az f(x) = m x, m ≠ 0 lineáris függ-

vény írja le, ahol m az arányossági tényező.

Fordított arányosság: Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek szorzata állandó,

akkor azok fordítottan arányosak.

A fordított arányosságot leíró függvény az xaxf =)( , x ≠ 0 és a ≠ 0.

Lineáris függvény: a konstans (nulladfokú) és az elsőfokú függvények összessége. Hozzá-

rendelési utasítása: ( ) bmxxf += . Grafikonja egyenes.

Lineáris törtfüggvény: az xaxf =)( alakú hozzárendelési utasítással megadott függvény,

ahol a ∈ R; a ≠ 0; x ∈ R; x ≠ 0.

Megjegyzés: dcxbaxxf

++

=)( a lineáris törtfüggvény általánosabb alakja, ahol c x + d ≠ 0.

Másodfokú függvény: f(x) = ax2 + bx + c hozzárendeléssel megadott függvény, ahol a ≠ 0.

A másodfokú függvény grafikonját parabolának nevezzük.

Másodfokú függvény zérushelye: az a

acbbx2

42

2;1−±−

= képlettel kapjuk meg. A négy-

zetgyök alatti kifejezést diszkriminánsnak nevezzük, és D-vel jelöljük. A diszkrimináns elője-

le határozza meg a függvény zérushelyeinek számát. Ha D > 0, akkor kettő, ha D = 0, akkor

egy zérushelye van a függvénynek. Ha D < 0, akkor nincs zérushelye.

Főegyüttható: a változó legmagasabb hatványának szorzótényezője.

Teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé alakítás: ca

ba

bxacbxax +−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=++

42

222 .


Másodfokú függvény szélsőértéke: ha a főegyüttható pozitív, akkor a parabola felfelé nyílik,

így a függvénynek minimuma van. Ha a főegyüttható negatív, akkor a parabola lefelé nyílik,

így a függvénynek maximuma van. Legyen az f(x) = ax2 + bx + c másodfokú függvény

f(x) = a (x−p)2 + q alakú. Ekkor a függvény szélsőértékének helye p, értéke q. Az f grafikonján

a szélsőérték helye az M (p; q) pont.

Egy szám négyzetgyökén azt a nemnegatív számot értjük, amelyet négyzetre emelve megkap-

juk az eredeti számot. Jelöléssel: Ha 0≥a , akkor a jelöli azt a nemnegatív valós számot,

amelyre ( ) aa =2

.

Négyzetgyökfüggvényen értjük a nemnegatív valós számok halmazán értelmezett,

xxf =)( hozzárendeléssel megadott függvényt.

Inverzfüggvény: Inverz függvénye csak a kölcsönösen egyértelmű függvényeknek van, va-

gyis amelyek minden értéket egyetlen helyen vesznek fel. Az f és a g függvények egymás

inverzei, ha

• f értékkészlete megegyezik g értelmezési tartományával,

• f értelmezési tartománya megegyezik g értékkészletével,

• az f értelmezési tartományának minden x elemére teljesül, hogy g[f(x)] = x, azaz a hoz-

zárendelés iránya.

Az inverz függvények grafikonjai egymás tükörképei az y = x egyenletű egyenesre (ha

a függvények koordináta-rendszerben ábrázolhatók).

A függvények néhány tulajdonsága:

1. Monotonitás:

– A függvény az értelmezési tartománya egy intervallumában szigorúan (monoton)

növekvő, ha növekvő x értékekhez növekvő függvényértékek tartoznak. A függvény

az értelmezési tartománya egy intervallumában monoton növekvő, ha a növekvő x ér-

tékekhez nem csökkenő függvényértékek tartoznak.

– A függvény az értelmezési tartománya egy intervallumában szigorúan (monoton)

csökkenő, ha növekvő x értékekhez csökkenő függvényértékek tartoznak. A függvény


az értelmezési tartománya egy intervallumában monoton csökkenő, ha a növekvő x ér-

tékekhez nem növekvő függvényértékek tartoznak.

2. Zérushely: azon x érték, ahol a függvény helyettesítési értéke 0. Ha a függvény ábrázol-

ható, ez szemléletesen azt jelenti, hogy a függvény grafikonjának itt van közös pontja az

x tengellyel.

3. Szélsőérték:

– A függvénynek az x helyen abszolút maximuma van, ha a függvény az x helyen ve-

szi fel legnagyobb értékét. (A függvénynek az x helyen helyi maximuma van, ha ezen

hely valamely környezetében a függvény itt veszi fel a legnagyobb értékét, de ezen

környezeten kívül ennél nagyobb értéket is felvehet.) x-et maximumhelynek, f(x)-et

maximumértéknek nevezzük.

– A függvénynek az x helyen abszolút minimuma van, ha a függvény az x helyen veszi

fel legkisebb értékét. (A függvénynek az x helyen helyi minimuma van, ha ezen hely

valamely környezetében a függvény itt veszi fel a legkisebb értékét, de ezen környe-

zeten kívül ennél kisebb értéket is felvehet.) x-et minimumhelynek, f(x)-et mini-

mumértéknek nevezzük.

4. Függvény paritása:

– A függvény páratlan, ha minden x értékre teljesül az f(−x) = −f(x) azonosság. Geo-

metriai megközelítésben: a függvény grafikonja középpontosan szimmetrikus az ori-

góra.

– A függvény páros, ha minden x értékre teljesül az f(x) = f(−x) azonosság. Geometriai

megközelítésben: a függvény grafikonja az y tengelyre szimmetrikus.

5. Konvexitás, konkávitás:

Egy görbe egy intervallumban alulról nézve konvex, ha itt bármely két pontját össze-

kötve, a kapott húr pontjai a görbe pontjai felett vannak.

Egy görbe egy intervallumban alulról nézve konkáv, ha itt bármely két pontját össze-

kötve a kapott húr pontjai a görbe pontjai alatt vannak.

6. MODULMásODFOKúrA visszavezethető prObLÉMáK

Készítette: Darabos Noémi Ágnes


I. Másodfokúra visszavezethető magasabb fokszámú egyenletek

A matematikusok különösen nagy erőfeszítést tettek, hogy a másodfokú egyenlet megoldó- képletéhez hasonlóan megtalálják a magasabb fokszámú egyenletek megoldóképletét is. Girolamo Cardano (1501–1576) olasz matematikus, 1545-ben megjelent könyvében közölte a harmadfokú egyenletek megoldóképletét. Utólag kiderült, hogy a megoldóképletet a bolognai egyetem professzora, Ferro találta meg elsőként, aki azonban ezt titokban tartotta, és csak halála előtt adta tovább egyik tanítványának, Fiore-nak. Ebben az időben azonban egy másik tehetséges olasz matematikus Nicolo Tartaglia is önállóan megtalálta a megoldó- képletet, és elmondta Cardanonak. Cardano ekkor már dolgozott a könyvén, és így került bele Tartaglia bizonyítása Cardano könyvébe. Cardano becsületére legyen mondva, a felfedezést soha nem tartotta magáénak. Az ő érdeme azonban, hogy Tartaglia képletét általánosította, illetve megmutatta, hogy minden általános harmadfokú egyenlet megoldása visszavezethető az cbxx =+3 alakúéra. Mindenesetre a harmadfokú egyenletek megoldó- képletét Cardanoról nevezték el. Evariste Galois (1811–1832) francia matematikus, őt tartják a modern algebra megala- pozójának. Rövid munkássága során megmutatta, hogy melyek azok az egyenlettípusok, melyek csupán a négy alapművelettel és gyökvonással megoldhatók. Niels Henrik Abel (1802–1829) norvég matematikus bebizonyította, hogy az ötöd-, vagy annál magasabb fokszámú egyenletekre általában nem létezik megoldóképlet. Mi most az olyan speciális magasabbfokú egyenletekkel foglalkozunk, melyek bizonyos átalakítások és helyettesítések során, az egyenletek fokszámát csökkentve másodfokú egyenletekre vezethetők vissza.

Mintapélda1

Oldjuk meg a 6254 =x egyenletet a negatív egész számok halmazán!

Megoldás:

Alaphalmaz: Z –

Vegyük mindkét oldal negyedik gyökét: 5=x .

Ebből két megoldás adódik: ⇒−== 5,5 21 xx a megoldáshalmaz 5;5 −=M .

A feladat alaphalmazába csak az 5−=x tartozik. A megoldás helyességéről ellenőrzéssel győződhetünk meg.

Mintapélda2

Oldjuk meg az a következő egyenleteket!

a) 03613 24 =+− xx ; b) 01222 24 =−+ xx .

6. modul: MÁSODFOKÚRA VISSZAVEZETHETŐ… 187

Megoldás:

a) Amennyiben nem teszünk megszorítást az alaphalmazra vonatkozóan, a megoldásokat mindig a valós számok körében, R-ben keressük.

Mivel ( ) 422 xx = ezért célszerű egy új ismeretlent bevezetni: 2xy = , ahol 0≥y .

Ekkor az egyenlet a következő alakba írható: .yy 036132 =+−

Ezt megoldjuk, felhasználva a megoldó képlet, két megoldást kapunk: .y,y 94 21 ==

Ebből felhasználva, hogy 2xy = ,

ha 2244 212 −==⇒=⇒= x,xxy ,

ha 3399 432 −==⇒=⇒= x,xxy .

Tehát az egyenletnek négy megoldása van: 3322 −−= ;;;M .

A feladat alaphalmazába mind a négy megoldás beletartozik. A megoldások helyességéről ellenőrzéssel győződhetünk meg.

b) Vezessük be az 2xy = új ismeretlent, ahol 0≥y .

Ekkor az egyenlet a következő alakba írható: .yy 062 =−+

Ezt megoldjuk, felhasználva a megoldóképletet, két megoldást kapunk: .y,y 32 21 −==

Tekintve, hogy 2xy = ,

ha 2222 212 −==⇒=⇒= x,xxy ,

ha ,y 3−= akkor az egyenletnek nincs valós megoldása, hiszen 0≥y .

Tehát az egyenletnek két megoldása van: 22 −= ;M .

A feladat alaphalmazába mind a két megoldás beletartozik. A megoldások helyességéről ellenőrzéssel győződhetünk meg.

Mintapélda3

Oldjuk meg az ( ) ( ) 012728 36 =−+++ xx egyenletet a valós számok halmazán!

Megoldás:

Célszerű új ismeretlent bevezetni: ( )32+= xy .

Ekkor az új egyenletünk: 0178 2 =−++ yy .

811

1632497

2121 =−=⇒+±−

= y,yy , .

Ebből felhasználva, hogy ( )32+= xy ,

ha ( ) 312121 13 −=−=+⇒−=+⇒−= xxxy ;


ha ( )23

212

812

81

23 −==+⇒=+⇒= xxxy .

Tehát az egyenletnek két megoldása van: ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−=

233;M .

A feladat alaphalmazába mindkét megoldás beletartozik. A megoldások helyességéről ellenőrzéssel győződhetünk meg.

Mintapélda4

Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket!

a) xxx 34 23 ++ b) 910 24 +− xx

c) Egyszerűsítsük a910

3424

23

+−++

xxxxx törtet!

Megoldás:

a) ( ) ( )( ),xxxxxxxxx 313434 223 ++=++=++ mert a 0342 =++ xx másodfokú

egyenlet gyökei 31 21 −=−= x,x , így gyöktényezős alakja: ( )( )31 ++ xx .

b) Legyen yx =2 , ekkor az ( )( ),yyyyxx 91910910 224 −−=+−=+− mert az

09102 =+− yy másodfokú egyenlet gyökei 9,1 21 == yy , így gyöktényezős alakja:

( )( )91 −− yy ,

( )( ) ( )( )( )( )331191910 2224 −+−+=−−=+− xxxxxxxx .

c) Minthogy a nevező nem lehet nulla, 310910 432124 ±≠±≠⇒≠+− ,, x,xxx

ezért az értelmezési tartomány: R \ 3311 ;;; −− .

( )( )( )( )( )( ) ( )( )313131

3191034

4

23

−−=

−−++++

=+−++

xxx

xxxxxxx

xxxxx

Mintapélda5

Oldjuk meg az ( )( ) 37797 22 =++++ xxxx egyenletet a negatív számok halmazán!

Megoldás:

Alaphalmaz: R –.

Célszerű új ismeretlent bevezetni: 972 ++= xxy .

Ekkor az új egyenletünk: 3103232 212 =−=⇒=−−⇒=− y,yyy)y(y .

Figyelembe véve, hogy 972 ++= xxy ,

ha 5201071971 2122 −=−=⇒=++⇒−=++⇒−= x,xxxxxy ,


ha 610673973 2122 −=−=⇒=++⇒=++⇒= x,xxxxxy .

Tehát az egyenletnek négy megoldása van: 6521 −−−−= ;;;M .

A feladat alaphalmazába mind a négy megoldás beletartozik.

A megoldások helyességéről ellenőrzéssel győződhetünk meg.

Mintapélda6

Oldjuk meg a 025852 234 =+−−− xxxx egyenletet a pozitív számok halmazán!

Megoldás:

Alaphalmaz: R+.

Célszerű az egyenlet mindkét oldalát elosztani 2x -tel, hiszen 0≠x :

025852 22 =+−−−

xxxx .

Csoportosítsuk az egyenlő együtthatójú tagokat: 085522 22 =−−−+

xx

xx .

Emeljük ki az egyenlő együtthatókat: 081512 22 =−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

xx

xx .

Vezessük be az x

xy 1+= új ismeretlent, ekkor 2

22

2 121x

xx

xy ++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += .

Így az új egyenletünk: ( ) 0125208522 22 =−−⇒=−−− yyyy ,

234

221224255

2121 −==⇒⋅

⋅⋅+±= y,yy , .

Ebből felhasználva, hogyx

xy 1+= ,

⇒±=±

=⇒=+−⇒+=⇒= 322

124014144 212

,xxxx

xy

2703273332 21 ,x,,x ≈−=≈+= ;

⇒=++⇒+=−⇒−= 0232123

23 2 xx

xxy

473

21−±−

=,x .

A diszkrimináns negatív, így innen nem kapunk megoldást.

Tehát az egyenletnek két valós megoldása van: 3232 −+= ;M .

A feladat alaphalmazába mindkét megoldás beletartozik. A megoldások helyességéről ellenőrzéssel győződhetünk meg.


Feladatok

1. Oldd meg a következő egyenleteket:

a) 814 =x ; b) 643 −=x ; c) 6254 −=x ; d) 07296 =−x .

2. Oldd meg a 01625716 24 =+− xx egyenletet!

3. Oldd meg az 06463 36 =−− xx egyenletet!

4. Oldd meg a 24 224259 xx += egyenletet!

5. Oldd meg a 028127 36 =++ xx egyenletet!

6. Oldd meg az 1615 48 += xx egyenletet!

7. Oldd meg a 36 918 xx =+ egyenletet!

8. Oldd meg a ( ) ( ) 027121518 36 =−−−− xx egyenletet!

9. Oldd meg az ( ) ( )xxxx 4261054 222 +=++ egyenletet!

10. Oldd meg a ( ) ( ) 335354 222 +++=++− xxxx egyenletet! 11. Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket!

a) xxx 65 23 ++ ; b) 45 24 +− xx ;

c) 122 23 +++ xxx ; d) 654 23 +++ xxx ; e) 124 ++ xx ; f) 43 24 ++ xx .

12. Legyen 161 2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

xx és x pozitív szám. Az x értékének kiszámítása nélkül adjuk

meg az 22 1

xx + , ill. 3

3 1x

x + kifejezések az értékét!

13. Oldd meg a 0314143 234 =++++ xxxx egyenletet!

14. Oldd meg az 014194 234 =++−+ xxxx egyenletet!

15. Oldd meg az ( ) ( ) ( )323232 4353212 −−=−−+++ xxxxxx egyenletet a valós számok

halmazán!


II. Törtet tartalmazó egyenletek Mintapélda7

Oldjuk meg az 52

1032

−=+−− x

xxx egyenletet!

Megoldás:

Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a ( )2− -től különböző

valós számok halmaza. Röviden: R \ 2− .

( )( )10310325103

22

2

−−=−−

+−=−−

xxxxxxxx

Azonosság, tehát az értelmezési tartomány minden eleme megoldás.

Mintapélda8

Oldjuk meg az 32

1032

−=+−− x

xxx egyenletet!

Megoldás:

Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a ( )2− -től különböző

valós számok halmaza. Röviden: R \ 2− .

( )( )231032 +−=−− xxxx ,

6103 22 −−=−− xxxx , 2−=x .

A ( )2− nem eleme az egyenlet értelmezési tartományának, így az egyenletnek nincs

megoldása. Megoldáshalmaz: =M .

Mintapélda9

Oldjuk meg az 16612

42

43

2 −−

=−+

++−

xx

xx

xx egyenletet!

Megoldás:

Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a ( )4− -től és 4 -től

különböző valós számok halmaza. Röviden: R \ 44;− .

Szorozzuk mindkét oldalt a közös nevezővel, ( )( ) −−=+− 1644 2xxx tal!


( )( ) ( )( )

2612413

612861276124243

22

−=−=−

−=+++−+−

−=+++−−

xxx

xxxxxxxxxx

A ( )2− eleme az egyenlet alaphalmazának.

Ellenőrzés:

Bal oldal értéke: ( )( )

( )( ) 2

54222

4223

=−−+−

++−−− .

Jobb oldal értéke: ( )( ) 2

51230

1626212

2 =−−

=−−−− .

Az 2−=x valóban megoldás. Megoldáshalmaz: 2−=M .

Mintapélda10

Oldjuk meg az 32

33

2111

2 −+=

+−

−+

xxxxx egyenletet!

Megoldás:

Minthogy a nevező nem lehet nulla, így az értelmezési tartomány a ( )3− -tól és 1-től

különböző valós számok halmaza. Röviden: R \ 13;− .

Szorozzuk mindkét oldalt a közös nevezővel, ( )( ) 3231 2 −+=+− xxxx -mal!

( )( ) ( )4803212

312311

212 −=−=⇒=++

=−−++

x,xxxxxx

Megoldáshalmaz: 48 −−= ;M .

A megoldások helyességéről ellenőrzéssel győződünk meg.

Mintapélda11

Oldd meg a 3673813

2

2

=+−−+

xxxx egyenletet!

Megoldás:

Minthogy a nevező nem lehet nulla, 61067 212 ≠≠⇒≠+− x,xxx ezért az

értelmezési tartomány: R \ 61; .

( )53

2702129106733813 21

222 =−=⇒=−+⇒+−=−+ x,xxxxxxx .


Megoldáshalmaz: ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−=

53

27 ;M .

A megoldások helyességéről ellenőrzéssel győződünk meg.

Feladatok

16. Oldd meg az 7

321

1142 +=

−+ xxx egyenletet!

17. Oldd meg a x

xx 243

12 +=

+ egyenletet!

18. Oldd meg az xx

xx−=

−+ 6672

egyenletet!

19. Oldd meg az ( )xx

xxx

416262

2

2 −+

=+ egyenletet!

20. Oldd meg az 37

4124

−−

=+−

xx

xx egyenletet!

21. Oldd meg a 22

91582

2

=−+−+

xxxx egyenletet!

22. Oldd meg az 03265

2

2

=−+++

xxxx egyenletet!

23. Oldd meg az 9

2032

32

2 −=

−−

+++

xxx

xx egyenletet!

24. Oldd meg az 22646

32

2 =−+

+−+

xx

xxx egyenletet!

25. Oldd meg az 6

263

328

2 −+−

=+

−−+

xxx

xxx egyenletet!

26. Oldd meg az 103

1345

523

2 −−−−

=−

−+−

xxx

xxx egyenletet!

27. Oldd meg a 1212

3

=++

xxx egyenletet!


28. Oldd meg a 4321183

82145

2

2

2

23

−−−−

=−−−−

xxxx

xxxxx egyenletet!

Törtet tartalmazó egyenletek megoldásakor gyakran végzünk olyan átalakításokat, amikor

hamis gyököt kapunk, vagy gyököt vesztünk (például egyszerűsítés, vagy ismeretlennel való

szorzás, osztás). Ezekre fokozottan figyeljünk!


III. Szöveges feladatok

Az aranymetszés (olvasmány) Aranymetszésnek nevezik egy szakasz két olyan részre való felosztását, melyek közül a kisebb (rövidebb) szakasz hossza úgy aránylik a nagyobbikhoz, mint az az egészhez. Jelölje az aranymetszési arány szerint felosztandó AB szakasz hosszát a , és legyen C az aranymetszésnek megfelelő olyan osztópont, melyre az xAC = a hosszabb, CB pedig a rövidebb szakasz.

Ekkor a következő aránypárt írhatjuk fel:

ax

xxa=

− , ahonnan ( ) axaxaax −=−= 22 .

Az egyenlet x változó szerint rendezett redukált alakja 022 =−+ aaxx .

Innen 2

5 2

2,1aax ±−

= = 2

)51( ±−a . Mivel a > x > 0, így a nagyobbik szakasz hossza

x = 2

)51( +−a . Az aranymetszésnek megfelelő arány a középkorban legfőképpen a templomok méret- arányaiban jelentkezett. Ez a nevezetes arány azonban sok esetben nem csupán az alap- méretekre, hanem ez épület más részeinek viszonyára is vonatkozott. Az aranymetszésnek megfelelő arány alkalmazását a reneszánsz építészei is átvették. A római Szent Péter Bazilika, mely több évszázadon keresztül épült, alaprajzától a kupola tervezéséig számos méretviszonyában hordoz aranymetszésnek megfelelő arányokat. A reneszánsz mesterek legtöbb alkotásán az aranymetszési arány kiemelkedő szerepet játszik. E képszerkesztésnek egyik példája Leonardo: Angyali üdvözlet cím alkotása.

.

A képen a könyvtámasz alatti asztalka középvonalán áthaladó függőleges vonal a vízszintes helyzetű kép terét pontosan aranymetszés szerint osztja. Mária, illetve az angyal alakjának a középvonala az osztással kapott részeken belül szintén az aranymetszésnek megfelelően helyezkedik el úgy, hogy mindkettő az adott térrész ugyanazon oldalára esik. Ezzel olyan


aszimmetria jön létre, mely a kép egyensúlyát biztosítja. A kép függőleges terét két vízszintes egyenes vonal az aranymetszésnek megfelelő arányban osztja, melyek közül a felső a kertben húzódó alacsony építmény fedőlapjának felső élén halad át, az alsó pedig a kerti utat a pázsittól választja el. Ha a két nőalak mozdulatait követő vonalakat gondolatban meg- hosszabbítjuk, azok metszéspontja szintén az aranymetszés szerint osztó, az asztal közép- vonalán áthaladó egyenesre esik. Ez az egybeesés is arra utal, hogy ez a kép valódi főtengelye. Auguste Renoir: Nő a Békástanyán című képe is jól átgondolt kompozíciós törvényeknek engedelmeskedik.

Az ábrázolt nő arcának középvonalán áthaladó egyenes pontosan a kép szélességi méretének az aranymetszetébe kerül. Az erkély korlátjának felső széle, melyen a hölgy karja, illetve keze is nyugszik, a kép széléhez annak aranymetszetében illeszkedik. Az e ponton áthaladó, a kép hosszával párhuzamos egyenes egyúttal a másik karnak az asztalra támaszkodó pontján is áthalad.

Forrás: Hámori Miklós: Arányok és talányok

Mintapélda12

Egy áruszállító csónak a víz folyásával egyirányban halad 20 km-t, ott kiteszi a rako-

mányt, majd megfordul és visszaindul a kiindulási ponthoz. Az indulástól a megérkezésig

5 órát töltött vízen a csónak. Mekkora a csónak sebessége állóvízben, ha a folyóvíz sebessége

3 km/h?

Megoldás:

Legyen a csónak sebessége x km/h, akkor a vízben lefelé 3+x km/h, felfelé

3−x km/h sebességgel halad.

Így lefelé a 20 km-es utat 3

20+x

, felfelé 3

20−x

óra alatt tette meg.


( ) ( ) ( )( ) 09833532032053

203

20 2 =−−⇒+−=++−⇒=−

++

xxxxxxxx

,

19 21 −== x,x .

A negatív gyöknek itt nincs értelme, a csónak sebessége állóvízben 9 km/h.

Ha a csónak a víz folyásával egyirányban halad, akkor a sebessége 12 km/h így a

20 km-t 53 óra 100= perc alatt teszi meg, visszafelé a sebessége 6 km/h így a

20 km-t 200 perc alatt teszi meg. Ez összesen 300 perc, azaz 5 óra.

Feladatok

30. Egy pozitív számnak és a reciprokának a különbsége 3,75. Melyik ez a pozitív szám?

31. A Nagyi karácsonyra 2520 Ft-ért vett narancsot. Ha ugyanennyi pénzért kilónként

28 Ft-tal drágább mandarint vásárolt volna, akkor egy kilóval kevesebbet kapott volna.

Hány kg narancsot vásárolt a Nagyi az ünnepekre?

32. Ádám és Dávid testvérek. Ádám a lakást 3 órával tovább takarítja, mint Dávid. Együtt

2 óra alatt végeznek. Mennyi időre van szükségük a lakás kitakarításához külön-

külön?

33. Egy teremben téglalap alakba rendeztek 180 széket. Másnap minden sorba 5 székkel

többet tettek, de a sorok számát csökkentették 7-tel, ekkor összesen 100 szék van a

teremben. Eredetileg hány szék volt egy sorban?

34. Anti és fia együtt a füvet 2 óra 24 perc alatt nyírja le. A fiúnak két órával több időre

van szüksége, mint apjának, ha egyedül dolgozik. Mennyi idő alatt nyírja le a füvet

Anti?

35. Egy derékszögű háromszög területe 54 cm2, átfogója 13 cm. Mekkorák a befogói?

36. Egy amatőr futó minden nap ugyanannyit fut le a kitűzött 42 km-ből. Ha minden nap

fél kilométerrel többet futna, akkor két nappal hamarabb teljesítené a távot. Hány nap

alatt futotta le eredetileg a maratoni hosszúságot?


37. Egy tört számlálójának és nevezőjének szorzata 132. Ha a számlálóját eggyel növeljük,

nevezőjét eggyel csökkentjük, akkor az eredeti tört reciprokát kapjuk. Melyik ez a

tört?

38. Levente kitalálta, hogy ha a 600 oldalas kötelező olvasmányból minden nap

ugyanannyit olvas el, akkor pont befejezi a könyvet a megadott határidőre. Azonban a

könyvtárból a könyvet csak hat nappal később tudta kikölcsönözni, így minden nap

5 oldallal többet kell olvasnia a könyvből, hogy azt időben befejezze. Hány oldalt kell

így elolvasnia egy nap?

39. Marci téglalap alakú kertet vásárolt. A szomszédos

oldalak felezőpontjai által határolt területet virágokkal

ültette. A virágos rész területe 2m120 , kerülete 52 m.

Mekkora Marci egész kertjének a kerülete?


Összefoglalás Matematikai TOTÓ

Megoldáshalmaz Az egyenlet

1 2 X

1. 01615 24 =−− xx 44;− 216 −; 2244 −− ;;;

2. 089 36 =+− xx 1 21; 2211 −− ;;;

3. 0910 246 =+− xxx 03311 ;;;; −− 310 ;; 3311 −− ;;;

4. 0152 24 =−+ xx 5;5;3;3 −− 5;3 − 3;3 −

5. x

xx −

=− 132 13; 21;− 21;

6. 5172

253

−−

++−

=xx

xx

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

23 52;−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

32

7. 120x19x34x5x6

2

2

=++−+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

34;6 6

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

34;6

8. 2x2x

2x2x

4x8x6

2 +−

+−+

=−+ 3 2;2− 3,0

9. 214x9x

4x2x22

2

=+−−− 2 2;7

10. Két szám összege 15, négyzeteik összege 113. Melyik ez a két szám?

8;7 6;9 4;11

11.

Egy 1625 m2 területű téglalap alakú telket 180 m hosszú kerítéssel vettek körül. Mekkorák a telek méretei?

55;35 65;25 45;45

12. Derékszögű háromszög területe 480 cm2, átfogója 52 cm, mekkorák a befogói?

24;10 48;20 8;30

13.

Egy osztály mozijegyei összesen 17 550 Ft-ba kerül. Két gyerek megbetegedett, így ők nem fizettek, de a többieknek még 52 Ft-ot kell fizetni. Hányan járnak az osztályba?

25 29 27

7. MODULNÉgYzETgYÖKÖs EgYENLETEK

Készítette: Gidófalvi Zsuzsa


I. Egyszerű négyzetgyökös egyenletek Azokat az egyenleteket, amelyekben az ismeretlen négyzetgyök alatt is előfordul, négyzet-

gyökös egyenleteknek nevezzük.

Mintapélda1

Határozzuk meg azt az x-et, amelyre a x = 2 egyenlet teljesül!

Megoldás:

Olyan 0≥x valós számot keresünk, amelynek a négyzetgyöke 2. Ez a 4. Tehát x = 4. Mintapélda2

Matematikai TOTÓ

Válaszd ki a következő egyenletek megoldásait! Egyenletek 1 2 x

1. x = 3, ahol x ≥ 0 nem értelmezhető x = 9 x = – 9

2. x – 1 = 3 , ahol x ≥ 0 x = 4 x = 16 x = – 16

3. 3−x = 3 , ahol x ≥ 3 x = 12 x = –12 x = 9

4. 32 −x = 3 , ahol x ≥23 x = 5 x = 6 x = 7

5. 1−x + 3 = 3 , ahol x ≥ 1 x = 0 x = 3 x = 1

6. x = 6, ahol x ≥ 0 x = 36

x = 18

x = 0

7. 12 −x = 6, ahol x ≥ 21 x = 37 x =

238 x =

237

8. ( )2x− = – x, ahol x ∈ R

minden valós szám

negatív valós szám

nempozitív valós szám

9. ( )2x− = 5, ahol x ∈ R x = 25 x = – 25 nincs megoldás

10. 42 −x = 3, ahol 2≥x x = 13 x = – 13 x = ± 13

11. x – 3 = – 5, ahol x ≥ 0 x = 4 nincs megoldás x = 16

12. 1·2 +x = 0, ahol x ≥– 21 x = –

21 nincs megoldás x =

21

13. ( )2x− = 3, ahol x ≤ 0 x = 3 x = – 3 nincs megoldás

13+1. 2x = x, ahol x ∈ R minden valós

szám negatív valós

szám nemnegatív valós szám

7. modul: NÉGYEZTGYÖKÖS EGYENLETEK 203

Mintapélda3

Írjunk fel olyan négyzetgyökös egyenleteket, amelyeknek a gyöke x = 4.

Megoldás:

Lehetséges megoldások például:

2=x vagy 3–3x = 3.

Mintapélda4

Oldjuk meg a következő egyenletet:

2–x = 2.

Megoldás:

Először a bal oldali kifejezés értelmezési tartományát határozzuk meg.

Mivel a négyzetgyökjel alatt csak nemnegatív szám lehet:

x – 2 ≥ 0 feltételnek kell teljesülnie. ⇒ x ≥ 2.

Mivel az egyenlet mindkét oldalán nemnegatív szám szerepel, a négyzetreemelés

elvégzésével az előbbivel egyenértékű (ekvivalens ) egyenletet kapunk.

x – 2 = 4,

x = 6.

Ellenőrzés: bal oldal: 2–6 = 4 = 2; jobb oldal: 2.

Mintapélda5

Oldjuk meg a következő egyenletet!

12 +x – 1 – x = –1.

Megoldás:

Határozzuk meg, hogy az egyenlet mely valós számokra értelmezhető!

2 x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ – 21 .

Négyzetre emelés előtt célszerű átrendezni az egyenletet úgy, hogy csak a négyzetgyökös

kifejezés álljon az egyenlet egyik oldalán.

12 +x = x – 1.

Mivel az egyenlet bal oldalán nemnegatív szám szerepel, az egyenlőség csak akkor

teljesülhet, ha a jobb oldal is nemnegatív.

Tehát x – 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1.


Így az egyenlet csak olyan valós számokra teljesülhet, amelyekre x ≥ – 21 és x ≥ 1 teljesül,

vagyis x ≥ 1.

Emeljük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát:

2 x + 1 = (x – 1)2,

2 x + 1 = x2– 2 x + 1,

0 = x2– 4 x.

Alakítsuk szorzattá az egyenlet jobb oldalát:

0 = x (x – 4).

Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla, azaz

x1 = 0 vagy x2 – 4 = 0 ⇒ x2 = 4.

Ellenőrzés: x1 = 0 nem tartozik az értelmezési tartományhoz, ezért ez hamis gyök.

Az egyenlet megoldása így x2 = 4.

Helyettesítsük be: bal oldal: 142 +⋅ – 4 = 9 – 4 = 3 – 4 = –1; jobb oldal: –1.

A két oldal megegyezik ⇒ x = 4 gyöke az egyenletnek.

Oldjuk meg az egyenletet grafikusan is!

12 +x – x = –1.

Rendezzük át az egyenletet úgy, hogy a bal oldalon csak a négyzetgyökös kifejezés

maradjon.

12 +x = x – 1.

Az egyenlet mindkét oldalát függvényként ábrázoljuk, és ahol a két grafikon metszi

egymást, ott olvasható le az egyenlet megoldása.

A két függvény most:

f(x) = 12 +x és g(x) = x – 1.


Megjegyzés: A grafikus megoldásról az is leolvasható, hogy

12 +x ≥ x – 1, ha x ≥ 4;

12 +x < x – 1, ha – 21 ≤ x < 4.

Mintapélda6

Oldjuk meg a 442 +− xx = 3 egyenletet!

Megoldás:

Ha megvizsgáljuk a négyzetgyök alatti kifejezést, láthatjuk, hogy az teljes négyzet.

x2 – 4x + 4 = (x – 2)2, ezért az egyenlet minden valós számra értelmezhető.

Használjuk fel a 2a = a összefüggést! Az eredeti egyenlet akkor így írható:

2−x = 3.

Bontsuk fel az abszolútértéket!

2−x = x – 2, ha x – 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2;

2−x = – x + 2, ha x – 2 ≤ 0 ⇒ x < 2.

Így az eredeti egyenlet két egyenlettel helyettesíthető.

Ha x ≥ 2, akkor x – 2 = 3 ⇒ x = 5.

Ha x < 2, akkor –x + 2 = 3 ⇒ x = –1.

Ellenőrzés:


x1 = 5; bal oldal: 45452 +⋅− = 42025 +− = 9 = 3; jobb oldal: 3.

x2 = –1; bal oldal: 4)1(4)1( 2 +−⋅−− = 441 ++ = 9 = 3; jobb oldal: 3.

Tehát mind a két szám gyöke az egyenletnek.

Az egyenletet négyzetre emeléssel is meg lehet oldani.

x2 – 4x + 4 = 9

x2 – 4x – 5 = 0

A megoldóképlet szerint:

2)5(14)4(4 2

2,1

−⋅⋅−−±=x =

2364 ± =

264 ± , innen

x1 = 5, x2 = –1.

Behelyettesítéssel megmutatható, hogy mindkét kapott gyök megoldás.

Mintapélda7

Oldjuk meg az x2 + 2x + 1 + 422 ++ xx = 3 egyenletet!

Használjuk fel, hogy x2 + 2x + 4 = (x + 1)2 + 3 > 0, ezért a feladat minden valós számra

értelmezett.

1. megoldás:

Legyen x2 + 2x + 1 = y.

Az új ismeretlen felhasználásával az egyenletünk a következőképpen írható:

y + 3+y = 3.

Rendezzük át az egyenletet:

3+y = 3 – y, ahol 3 – y ≥ 0, mert a négyzetgyökös kifejezés értéke csak nemnegatív

szám lehet ⇒ y ≤ 3 és y + 3 ≤ 0, y ≥ –3, mert a gyökjel alatt sem lehet negatív

mennyiség! Így – 3 ≤ y ≤ 3.

Emeljük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát:

y + 3 = 9 – 6 y + y2,

0 = y2 – 7 y + 6,

y = 2

24497 −± = 2

57 ± .

y1 = 6, y2 = 1.

Az y1 = 6 esetén nem teljesül az egyenlőség.

y2 = 1 esetén meghatározzuk az x értékeket:


x2 + 2x + 1 = 1,

x2 + 2x = 0,

x(x + 2) = 0,

x1 = 0, x2 = –2.

Ellenőrizzük a kapott gyököket:

x1 = 0 x2 = –2

bal oldal: 1 + 4 = 1 + 2 = 3 bal oldal: (–2)2 + 2 · (–2) + 1 + 4)2(2)2( 2 +−⋅+−

= 4 – 4 + 1 + 444 +− = 1 + 4 = 1 + 2 = 3

jobb oldal: 3 jobb oldal:3.

Tehát az egyenlet megoldáshalmaza: M = 2;0 − .

2. megoldás:

y = 422 ++ xx , a négyzetgyök definíciója miatt y ≥ 0,

y2 – 3 + y = 3,

y2 + y – 6 = 0,

y1,2 = 2

2411 +±− = 2

51±− ,

y1 = 2, y2 = –3, de ez nem adhat megoldást.

422 ++ xx = 2,

x2 + 2x + 4 = 4,

x2 + 2x = 0,

x(x + 2) = 0,

x1 = 0, x2 = –2.

Ellenőrzéssel meggyőződhetünk mindkét gyök helyességéről.

Feladatok

1. Oldd meg az alábbi egyenleteket:

a) x = 9; b) x− = 3;

c) x = –1; d) 2x = 5.


2. Határozd meg az alábbi egyenletek gyökeit:

a) 5−x = 0; b) 44 −x = 4;

c) 32 +x = 0; d) 43 −x = 5.


a) 3+x = x; b) 12 +x = x + 1;

c) 1−x = x – 1; d) 3−x = x – 3;

e) 2−x = 7 – 2x; f) 13 +x = 3x – 11;

g) 6+x = x; h) x−9 + 5 = 1.

4. Oldd meg a következő egyenleteket:

a) 2+x + 2 = x; b) 2196 x− + 14 = x;

c) x−5 + 3 = x; d) x−5 – 2x = – 3.

5. Teljes négyzetté alakítás felhasználásával oldd meg a következő egyenleteket:

a) 25102 +− xx = 0; b) 144 2 +− xx = 5;

c) 962 ++ xx = 1 + x; d) 122 ++ xx –x = 1.

6. Új ismeretlen bevezetésével oldd meg a következő egyenleteket:

a) x2 + 92 −x = 21; b) x2 + 4x + 4 + 942 ++ xx = 7.


II. Két négyzetgyökös kifejezést tartalmazó egyenletek

Mintapélda8 (Látszólag két négyzetgyökös kifejezést tartalmazó egyenlet.)

Oldd meg az alábbi egyenletet:

279 −x + 3−x = 12!

Megoldás:

Az egyenletnek x ≥ 3 esetén van értelme.

Vegyük észre, hogy az első gyökös kifejezésben a gyökjel alatt szereplő mennyiség

szorzattá alakítható, és a 3 kiemelhető a négyzetgyökjel elé.

Ezeket felhasználva kapjuk a következő egyenletet:

3 3−x + 3−x = 12.

Összevonva a négyzetgyökös kifejezéseket:

4 3−x = 12,

3−x = 3.

Négyzetre emelve az egyenletet:

x – 3 = 9,

x = 12.

Ellenőrzés: bal oldal: 27129 −⋅ + 312 − = 81 + 9 = 9 + 3 = 12; jobb oldal: 12.

12 valóban gyöke az egyenletnek.

Mintapélda9 (Az értelmezési tartomány vizsgálatával megoldható egyenletek.)

Oldjuk meg az alábbi egyenleteket:

a) 3−x + 3−x = 0,

b) 3−x + x−2 = 1,

c) 62 −+− xx + 1272 +− xx = 0.

Megoldás:

a) Vizsgáljuk meg az értelmezési tartományt:

3 – x ≥ 0 ⇒ x ≤ 3,

x – 3 x ≥ 0 ⇒ x ≥ 3.

Az egyenlet megoldása során olyan x értéket keresünk, amely mind a két feltételt

egyszerre igazzá teszi. A két feltétel csak akkor teljesül egyszerre, ha x = 3.


Ellenőrzés:

x = 3 esetén az egyenlet bal oldala is és a jobb oldala is nulla, tehát teljesül az

egyenlőség.

b) Vizsgáljuk meg az értelmezési tartományt:

x – 3 x ≥ 0 ⇒ x ≥ 3,

2 – x ≥ ⇒ x ≤ 2.

Az egyenlet megoldása során olyan x értéket keresünk, amely mind a két feltételt

egyszerre kielégíti.

Nincs olyan valós szám, amely nagyobb lenne mint 3 és ugyanakkor kisebb lenne mint

2. Ebből adódik, hogy az egyenlet értelmezési tartománya az üres halmaz. Tehát az

egyenletnek nincs megoldása.

c) Vegyük észre, hogy itt két négyzetgyök összege egyenlő nullával, amely csak akkor

teljesül, ha mind a két gyök alatti kifejezés nulla, hiszen két nemnegatív szám öszege

csak így lehet 0.

Vizsgáljuk meg a gyök alatti kifejezéseket:

x2 – x – 6 = 0.

Alakítsuk szorzattá a kifejezést!

(x – 3)(x + 2) = 0.

Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla.

Tehát: x1 = 3, x2 = –2.

x2 – 7x +12 = 0.

Alakítsuk szorzattá a kifejezést!

(x – 3)(x – 4)=0.

Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla.

Tehát: x1 = 3, x2 = 4.

x = 3 esetén mindkét kifejezés nulla lesz, ez lehet megoldása az egyenletnek, és más

nem.

Ellenőrzés:

6332 −− = 0.

123732 +⋅− = 0.

Tehát az x = 3 megoldása az egyenletnek.


Mintapélda10

Oldjuk meg az alábbi négyzetgyökös egyenletet:

1−x – 52 +x = 0.

Megoldás:

Megvizsgáljuk az értelmezési tartományt:

x – 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1 és 2x+5 ≥ 0 ⇒ x ≥ –25 . Az egyenlet értelmezési tartománya a két halmaz

közös része: x ≥ 1.

Átrendezzük az egyenletet:

1−x = 52 +x .

Négyzetre emelve:

x – 1 = 2x + 5,

– 6 = x.

Ez nem tartozik az értelmezési tartományhoz, tehát az egyenletnek nincs megoldása.

Mintapélda11

Oldjuk meg az alábbi egyenletet:

82 +x – 5+x = 7.

Megoldás:

Megvizsgáljuk az értelmezési tartományt:

2x + 8 ≥ 0 ⇒ x ≥ – 4 és x +5 ≥ 0 ⇒ x ≥ –5. Az egyenlet értelmezési tartománya a két

halmaz közös része: x ≥ –4.

Átrendezzük az egyenletet úgy, hogy a bal oldalon csak egyetlen négyzetgyökös kifejezés

szerepeljen:

82 +x = 7 + 5+x .

Emeljük négyzetre mindkét oldalt!

2x + 8 = 49 + 14 · 5+x + x + 5.

Így egyetlen négyzetgyököt tartalmazó egyenletet kapunk, melyet úgy rendezünk át, hogy

a jobb oldalon csak a négyzetgyökös kifejezés szerepeljen:

x – 46 = 14 · 5+x , ahol x – 46 ≥ 0, azaz x ≥ 46.


Ismételten négyzetre emeljük mindkét oldalt:

x2 – 92x + 2116 = 196 · (x + 5),

x2 – 92x + 2116 = 196x + 980.

Nullára rendezzük az egyenletet:

x2 – 288x + 1136 = 0,

x1 = 2

78400288 + = 2

280288 + = 284,

x2 = 278400288 − =

2280288 − = 4, nem eleme az É.T.-nek.

Ellenőrzés:

x = 284; bal oldal: 82842 +⋅ – 5284 + = 24 – 17 = 7; jobb oldal: 7.

Mintapélda12

Oldjuk meg a következő egyenletet:

442 +− xx + 122 ++ xx = 4.

Megoldás:

Vegyük észre, hogy mind a két négyzetgyök alatt teljes négyzet szerepel, vagyis az

értelmezési tartomány R. A következőképpen lehet átírni az egyenletet:

2)2( −x + 2)1( +x = 4.

Használjuk fel a 2a = a összefüggést!

2−x + 1+x = 4.

Tehát a fenti egyenletet visszavezettük egy abszolútértékes egyenletre.

Bontsuk fel az abszolútértékeket!

2−x = x –2, ha x – 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2, 1+x = x + 1, ha x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ – 1,

2−x = – x + 2, ha x – 2 ≤ 0 ⇒ x < 2, 1+x = –x – 1, ha x + 1 < 0 ⇒ x < – 1.


Az abszolútértékes egyenletet három lineáris egyenlettel helyettesíthetjük a megfelelő

intervallumokon.

Ha x < – 1: Ha – 1 ≤ x < 2: Ha x ≥ 2:

–x + 2 – x – 1 = 4, – x + 2 + x + 1 = 4, x – 2 + x + 1 = 4,

–2x + 1 = 4, 3 = 4, 2x – 1 = 4,

–2x = 3, ellentmondás. 2x = 5,

x = –23 . x =

25 .

Az x = 25 és az x = –

23 a kívánt intervallumban vannak, ezért gyökei lehetnek az eredeti

egyenletnek.

Ellenőrzéssel meggyőződünk róla, hogy mind a két szám valóban megoldása az egyenletnek.

Feladatok

7. Oldd meg a következő egyenletet:

13 −x – x = 1.

8. Oldd meg a következő egyenletet:

x−5 + 3−x = 2.

9. Írj fel olyan négyzetgyökös egyenleteket, amelyek gyökére a következő feltételek

valamelyike teljesül:

x = 3,

x ∈ R,

x = 0.


a) 21 + x =

27 ,

b) 22 2 −x = 4,

c) x + 2 = 27 +x ,

d) 2 x+3 + x2− = 4.

Documents

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET „A”kooperativ.hu/matematika/3_modulleírások-tanár-tanuló...1. modul: LOGIKA 7 • rendszerük teljes legyen, azaz minden olyan axióma kéznél