5.2. 圆的对称性 (2)

• 如图，如果 AB=CD 则（ ）

• 如果

O

A B

C

D

⌒ ⌒ AB=CD

如果 ∠ AOB= ∠COD 则（ ）则（ ）

复 习复 习

• 圆是轴对称图形吗？

它的对称轴是什么 ? 你能找到多少条对称轴？

●O

你是用什么方法解决上述问题的 ?

情景创设情景创设

• 圆是轴对称图形 .

圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线 , 它有无数条对称轴 .

●O

可利用折叠的方法即可解决上述问题 .

交 流交 流

③AM=BM,

• AB 是⊙ O 的一条弦 .

• 你能发现图中有哪些等量关系 ? 与同伴说说你的想法和理由 .

直径 CD AB,⊥ 垂足为 M.

●O

下图是轴对称图形吗 ? 如果是 , 其对称轴是什么 ?

A B

C

D

M└

由 ① CD 是直径 ② CD AB⊥

可推得 ⌒ ⌒④AC=BC,

⌒ ⌒⑤AD=BD.

探 索探 索

解：如图 连接 OA,OB,

●O

A B

C

D

M└

则 OA=OB.

在 Rt OAM△ 和 Rt OBM△ 中 ,∵OA=OB ， OM=OM ，∴Rt OAM Rt OBM.△ ≌ △

∴AM=BM.∴点 A 和点 B 关于 CD 对称 .

∵⊙O 关于 CD 对称 ,∴当圆沿着直径 CD 对折时 , 点 A 与点 B 重合 ,

⌒ ⌒AC 和 BC 重合 ,

⌒ ⌒AD 和 BD 重合 .⌒ ⌒∴AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD.

在同圆中能够重合的弧叫等弧

已知：在⊙ O 中， CD 是直径， AB是弦， CD AB⊥ ，垂足为 M.

求证： AM ＝ BM ， AC ＝ BC ， AD ＝ BD 。⌒ ⌒ ⌒ ⌒

探 索探 索

A

B

C DO

E

归纳得出：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．定理的几何语言∵CD 为直径， CD AB⊥

∴ EA=EB ， AC=BC ， AD=BD ．⌒ ⌒ ⌒ ⌒OC⊥AB

条件CD 为直径

CD AB⊥CD 平分弧 ADB

CD 平分弦 AB

CD 平分弧 A B

结论 •注意 : 过圆心和垂直于弦两个条件缺一不可。

●O

A B

C

D

M└

基本图形基本图形

判断下列图形，能否使用垂径定理？

O

C D

B

A

O

CD

B

A

O

C D

B

A

O

C DE

注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！

．

A

B

C

O

DE

1 、如图， AB是⊙ 0 的直径， CD为弦， CD⊥AB于

E ，则下列结论中不一定成立的是（ ）A 、∠ COE=∠DOE B、 CE=DE C、 OE=BE D、

BD=BC

⌒ ⌒

2 、如图 ,⊙O 直径 CD 与弦 AB

（非直径）交于点 M ，添加一个条件： ____________，就可得到点 M 是 AB的中点 .

M

C

OA

B

D

小试牛刀小试牛刀

例 1. 已知：如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C ， D 两点， AC 与 BD 相等吗？为什么？

P

.A C D B

O

典型例题典型例题

已知：如图，线段 AB 与⊙ O 交于 C 、 D 两点，且OA=OB ．求证： AC=BD ．

变一变 :

M

．O

A BC D

例 2 ：如图，已知在圆 O 中，弦 AB 的长为 8 ㎝，圆心 O 到 AB 的距离为 3 ㎝，求圆 O 的半径。

变式 1: 在半径为 5 ㎝的圆 O 中，有长 8 ㎝的弦AB ，求点 O 与 AB 的距离。　　

E

变式 2 ：在半径为 5 ㎝的圆 O 中，圆心 O 到弦 AB的距离为 3 ㎝，求 AB 的长。

典型例题典型例题

O

A B

例 3 ： .在直径为 650mm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽 AB=600mm，求油的最大深度。

. 如图， P 为⊙ O 的弦 BA 延长线上一点， PA ＝ AB ＝ 2 ， PO ＝ 5 ，求⊙ O 的半径。

关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。

圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。

O

B AP

能力提升能力提升

B

O

C D

A1. 如图， AB,CD 是⊙ O 的两条平行弦， AC 与 BD 相等吗？为什么？

⌒ ⌒

2. 在半径为 5cm 的⊙ O 中，弦 AB CD,∥ 且AB=6cm,CD=8cm, 求 AB,CD 之间的距离

DB

C

A

3. 如图，∠ C=90° ，⊙ C 与AB 交于点D ， AC=5,CB=12, 求 AD 的长

2 、在圆 O 中，直径 CE AB⊥ 于 D ， OD=4 ㎝，弦 AC= ㎝ ， 求圆 O 的半径。　　

10

D

C

E

O

A B

1 、如图，圆 O 的弦 AB ＝ 8 ㎝ ， DC ＝ 2 ㎝，直径 CE AB⊥ 于 D ， 求半径 OC 的长。

D

C

E

O

A B

练 习练 习

• 如图 ,M 为⊙ O 内的一点 , 利用尺规作一条弦AB, 使 AB 过点 M. 并且 AM=BM.

●O●MA B

拓 展拓 展

已知⊙ O 的直径是 50 cm ，⊙ O的两条平行弦 AB=40 cm ， CD=48cm ，求弦 AB 与 CD 之间的距离。

.A E B

OC D

20

1525

25

247

.A E B

OC DF

EF 有两解： 15+7=22cm

15-7=8cm

思考题思考题

通过本课的学习，你又有什么收获？

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