二次型的标准形 :

5.2 二次型的标准形与规范形

.)()(:

)(22

22211 nn

TT

CyxT

ydydydyACCyyg

Axxxf

标准形

二次型 可逆的线性变换

n

T

d

d

d

ACCB

2

1

标准形的矩阵 :

将二次型化为标准形 :

1. 配方法

.,,)2(

.)()1(3.5

...,)(:

.622),,(2

.

58222),,(1

323121321

2332

223121

21321

为对角矩阵使可逆矩阵实对称矩阵

形逆的线性变换化为标准二次型都可经有限次可实任一令时仅含交叉项无平方项注

化为标准形将二次型例化为标准形将二次型例

APPPA

Th

xxxxxxxxxf

xxxxxxxxxxxxf

T

2. 正交变换法正交变换： ., 为正交矩阵其中QQyx

.

58222),,(1

.,,,

,),,,(

),(,)(

,)2(

.,,)1(3.5

2332

223121

21321

21

2222

21121

化为标准形将二次型例

个特征值的为其中将其化为标准形

为正交矩阵正交变换二次型

即变换化为标准形任一二次型都可经正交为对角矩阵使正交矩阵实对称矩阵

xxxxxxxxxxxxf

nA

yyyyyyg

QQyxAxxxf

AQQQATh

n

nnn

T

T

.,

)(),()3(

.

.)(),()2(

.

.,)1(

:

.,,

:

1

即为所求则标准形化为将二次型为可逆矩阵求一可逆的线性变换

即可令化为标准形将二次型为正交矩阵求一正交变换

即可令为对角矩阵使求一正交矩阵

方法为对角矩阵使求一可逆矩阵为实对称矩阵设

问题

P

AxxxfPPyx

QP

AxxxfQQyx

QP

AQQAQQQ

APPPA

T

T

T

T

.,)4(

.,)3(

.,)2(

.,)1(

,

:

1

1

为对角矩阵使求一正交矩阵

为对角矩阵使求一可逆矩阵

为对角矩阵使求一正交矩阵

为对角矩阵使求一可逆矩阵

为实对称矩阵设小结

AQQQ

APPP

AQQQ

APPP

A

T

T

2. 初等变换法

.,"",

.)2(

.)()1(

等列变换立即再作一次同种的初换后指的是作一次初等行变对等这里对角矩阵的初等行、列变换化为任一方阵均可利用对等为对角矩阵化实对称矩阵为标准形化二次型

准备知识：

AAxxxf T

方法：

.)()(

)(,

.

yACCyyg

AxxxfCyx

ACC

CE

A

TT

T

T

化为标准形则可将二次型作线性变换

为对角矩阵

对角矩阵同样的初等列变换

对等的初等行、列变换

.622),,(5

.4442),,(4

323121321

32312123

22

21321

化为标准形将二次型例化为标准形将二次型例

xxxxxxxxxf

xxxxxxxxxxxxf

命题 1 二次型的标准形不唯一 .

命题 2 任一二次型都可经可逆的线性变换化为规范形：

.,,1,0,

,),,,( 2211

221121

ridnrp

ydydydydyyyg

i

rrppppn

其中

秩：

正惯性指数：

负惯性指数：

符号差：

rp

pr

rpprp 2)(

矩阵 A 的正、负惯性指数

定理 5.4 （惯性定理）任一二次型都可经可逆的线性变换化为

规范形，且规范性唯一 .

.

,,3

.

,,2

.1

特征值的个数分别相同二者的正、负合同与则都是实对称矩阵阶矩阵设推论

秩和正惯性指数二者有相同的合同与则都是实对称矩阵阶矩阵设推论

合同于对角矩阵任一实对称矩阵推论

BABAn

BABAn

O

E

E

A pr

p

5.2 over