1MECNICAGERAL

Com introduo

MECNICA ANALTICAe exerccios resolvidos

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3LUIS NOVAES FERREIRA FRANADoutor em Engenharia Escola Politcnica USP

Livre-Docente junto ao Depto. Eng. Mecnica Escola Politcnica USPEx-Professor Titular de Mecnica Geral Escola Politcnica USP

Ex-Professor da Escola de Engenharia Mau IMTe da Faculdade de Engenharia Industrial FEI

AMADEU ZENJIRO MATSUMURA Mestre em Engenharia Escola Politcnica USP

Licenciado em Matemtica Universidade MackenzieEx-Professor Pleno da Escola de Engenharia Mau IMT

Com introduo

MECNICA ANALTICAe exerccios resolvidos

3. edio, revista e ampliada

MECNICAGERAL

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Rua Pedroso Alvarenga, 1245, 4 andar

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Tel 55 11 3078-5366

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Segundo Novo Acordo Ortogrfico, conforme 5. ed.

do Vocabulrio Ortogrfico da Lngua Portuguesa,

Academia Brasileira de Letras, maro de 2009.

proibida a reproduo total ou parcial por quaisquer

meios, sem autorizao escrita da Editora.

Todos os direitos reservados pela Editora

Edgard Blcher Ltda.

FICHA CATALOGRFICA

Frana, Luis Novaes Ferreira

Mecnica geral / Luis Novaes Ferreira Frana,

Amadeu Zenjiro Matsumura. 3. ed. So Paulo:

Blucher, 2011.

Bibliografia

ISBN 978-85-212-0578-4

1. Mecnica Estudo e ensino I Matsumura,

Amadeu Zenjiro. II. Ttulo

11-06094 CDD-531.02462

ndices para catlogo sistemtico:

1. Mecnica para engenheiros 531.02462

Mecnica geral

com introduo Mecnica analtica e exerccios resolvidos

2011 Luis Novaes Ferreira Frana

Amadeu Zenjiro Matsumura

1 reimpresso 2012

Editora Edgard Blcher Ltda.

Capa:

Douglas Watanabe

Conjunto 31 Criao e Design

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5Se vi mais do que Descartes, foi por estar apoiado sobre ombros de gigantes.NEWTON

(Em carta a Hooke, provavelmente referindo-se a Galileu, Coprnico e Kepler)

No sei que impresso terei dado ao mundo, mas, para mim, penso no ter sido mais que uma criana que brinca na praia, divertindo-se em encontrar de vez em quando uma pedrinha mais lisa ou uma conchinha mais bela, enquanto, diante de

mim, o grande oceano da verdade se estende desconhecido...NEWTON

(Pouco antes de morrer)

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7Prefcio 3. edio

O clebre matemtico J. L. LAGRANGE publicou, em 1788, a sua M-canique Analytique, na qual exps a Mecnica Clssica como um ramo da Anlise Matemtica.

Os problemas de Mecnica Clssica e, em particular, trs sculos de pes-quisa em Mecnica Celeste estimularam o desenvolvimento de grande parte da matemtica que conhecemos atualmente. No uma coincidncia o fato de ilustres nomes da Mecnica Newton, Euler, Lagrange, Gauss, Poisson, Hamilton terem sido todos grandes matemticos.

Esta edio contm dois captulos novos. No Captulo 14, de Introduo Mecnica Analtica, v-se que esta disciplina permite equacionar problemas partindo apenas das expresses das Energias, Cintica e Potencial. Isto ser evidenciado nesta edio com a exposio de problemas simples. O Captulo 15 consta de exerccios suplementares.

Nestes dois ltimos captulos a representao de grandezas vetoriais est modificada; no so usadas setas encimando os vetores e sim empregando o tipo negrito.

Na presente edio foram corrigidas as respostas do exemplo 10.5 e parte da soluo do exemplo 12.3

Os autores

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8Prefcio 2. edio

Foram feitas correes sobre a 1. edio.

Agradecemos aos Professores da Escola Politcnica USP, que lecionaram Mecnica Geral e, em particular, ao Prof. Dr. Roberto Martins de Souza, que apontaram erros existentes na 1. edio, notadamente em respostas de exerccios.

Os autores

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9Prefcio

Como ex-aluno e agora professor da Escola Politcnica, no h como deixar de reconhecer na presente obra toda a cultura e a tradio do ensino da Mecnica, em outros tempos denominada Mecnica Racional. Dentro desta tradio, o Professor Luis Novaes Ferreira Frana ocupa lugar de destaque, a um s tempo mpar e ilustre. mpar por sua histria de dedicao ininterrupta ao ensino desta disciplina ao longo de cinquenta anos. Ilustre, porque pou-cos chegam a ser, como o Prof. Frana, um verdadeiro mestre. Mais do que sabedoria, um verdadeiro mestre transmite simplicidade e humildade, tem o senso do por que estudar, do por que saber. Nas palavras de So Bernardo, conforme citado por Juan C. Egaa Arancibia, em recente defesa de tese de doutoramento em Matemtica Aplicada junto USP: Um homem pode estudar por cinco razes. Para saber. Para mostrar que sabe. Para justificar sua ganncia. Para instruir o prximo. Para instruir a si mesmo. Saber, por saber, mera curiosidade. Saber, para mostrar que sabe, vaidade. Saber, por dinheiro, ou honrarias, comrcio culpvel. Saber, para instruir o pr-ximo, caridade. Saber, para instruir-se a si mesmo, humildade. Somente os dois ltimos no abusam da cincia, porque estudam para o bem.

Curiosamente, coube ao ilustrssimo Professor Amadeu Zenjiro Matsumu-ra compartilhar a autoria da presente obra. Enfatizo curiosamente, porque, se por um lado, foi com o Professor Frana que, no incio de 1970 iniciava meus estudos de Mecnica Geral, foi atravs das aulas do Professor Amadeu e suas lousas fantsticas que definitivamente tomei gosto por esta que uma das mais belas disciplinas da Cincia. Quinze anos depois, ingressando como docente na Escola Politcnica, para lecionar a disciplina de Mecnica Geral, tive a oportunidade e o privilgio de conviver e aprender com o mestre e amigo Frana. Dez anos mais de lies de Mecnica, lies de princpios, lies de conduta, lies de vida.

Ironicamente, cabe-me agora a difcil tarefa do discpulo a comentar a obra dos mestres. Muito embora arriscando-me superficialidade, vejo-a abrangente, concisa e objetiva. Conceitual, repleta de discusses de funda-

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mentos, sem contudo penetrar no discutvel caminho do rigor matemtico excessivo, por vezes imprprio em um primeiro texto de formao. De redao fluente e precisa, notao leve e clssica, merece lugar na biblio-teca do estudante das cincias mecnicas e das engenharias. Os exerccios propostos complementam de forma adequada o texto expositivo. Particu-larmente interessantes so as ilustraes que espelham de forma fidedigna as j mencionadas lousas do Professor Amadeu. A bibliografia , a um s tempo, clssica e equilibrada, norteando o aluno pela histria da Mecnica e pelo caminho de grandes didatas e mecanicistas do sculo XX. Em suma, um texto com contedo, enriquecido pela simplicidade e conciso de exposio que apenas nos grandes mestres podemos encontrar.

Celso Pupo PesceProfessor Titular

do Departamento de Engenharia Mecnica da Escola Politcnica da USP,

na especialidade Cincias e Tecnologia Mecnicas.

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Introduo

A Mecnica Clssica, a justo ttulo, considerada uma construo prin-cipalmente devida a Newton. Na realidade, resultou de uma lenta elaborao que ocupou os maiores fsicos e matemticos de todos os tempos, de Arqui-medes a Poincar.

Com o aparecimento da Teoria da Relatividade e da Mecnica Quntica, a Mecnica Clssica, embora continuando uma disciplina indispensvel nos cursos de Engenharia, tornou-se, num certo sentido, praticamente fechada a pesquisas novas.

Sempre possvel, entretanto, apresentar as mesmas ideias sob uma nova roupagem, que seja simples e concisa, adequada a estudantes dos vrios ramos da Engenharia.

A justificativa do livro resulta assim de um esforo para apresentar a matria, em nvel de graduao, em um ano letivo; ao mesmo tempo dar uma base slida aos estudantes que desejarem se aperfeioar em cursos de especializao e ps-graduao.

Pretendo, assim, dar uma contribuio didtica ao ensino da Mecnica, baseada em minha experincia de 47 anos lecionando esta disciplina na Es-cola Politcnica da USP.

Do meu ponto de vista, o pr-requisito fundamental para uma introduo Mecnica simplesmente a lgebra Vetorial e ela amplamente utilizada neste livro.

Mesmo o Clculo Diferencial e Integral no ir exigir, do aluno, conheci-mentos especiais para leitura deste volume. As integrais mltiplas que apa-recem para justificar, corretamente, clculos de baricentros e de momentos de inrcia, so, a rigor, exerccios de Clculo; podero ser dispensados, a critrio do professor que ministrar a matria, pois seus resultados so de conhecimento geral, graas aos formulrios de uso corrente.

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Aproveito para agradecer, calorosamente, ao Prof. Dr. Joo Augusto Bre-ves Filho, Professor Emrito da Escola Politcnica, a quem devo, de maneira especial, minha formao em Mecnica e em Matemtica.

Todos os que tiveram o privilgio de terem sido alunos do Prof. Breves lembrar-se-o de suas aulas brilhantes, magistrais no contedo e expostas com didtica perfeita. Entre os excelentes professores que tive na Escola Politcnica, o Prof. Breves ocupa um lugar muito especial e sempre continua, para mim, uma figura inspiradora em minha carreira de professor.

Agradeo, muito especialmente, ao Prof. Breves, a permisso para utilizar suas notas de aula, nem sempre divulgadas com o destaque que merecem.

Acredito ser este um momento adequado para agradecer a outros ilustres Professores da Universidade de So Paulo, cujo contato me beneficiou e que contriburam, de maneira especial, para meu aperfeioamento no campo cientfico. Menciono-os, em ordem alfabtica, escusando-me de eventuais omisses:

Abraho de Moraes, Alexandre Augusto Martins Rodrigues, Giorgio Eugenio Oscare Giacaglia, Jos Carlos Fernandes de Oliveira, Lo Roberto Borges Vieira, Mauro de Oliveira Cesar, Paulo Boulos, Waldyr Muniz Oliva...

Luis Novaes Ferreira Frana

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Contedo

1 INTRODUO MECNICA CLSSICA. ................................................................ 17

2 FORAS E VETORES APLICADOS. ............................................................................ 21 2.1 SISTEMAS DE FORAS ................................................................................... 21 2.2 MOMENTOS DE UM SISTEMA DE FORAS ................................................... 21 2.2.1 Momento em relao a um ponto ....................................................... 21 2.2.2 Frmula de mudana de polo ............................................................. 23 2.2.3 Momento em relao a um eixo ......................................................... 23 2.2.4 Binrio ................................................................................................ 26 2.3 SISTEMAS EQUIVALENTES E REDUO DE UM SISTEMA DE ....................... FORAS .......................................................................................................... 27 2.3.1 Reduo de um sistema de foras ....................................................... 28 2.3.2 Eixo central ......................................................................................... 32

3 CENTRO DE FORAS PARALELAS BARICENTROS. ............................................. 35 3.1 INTRODUO ............................................................................................... 35 3.2 EXPRESSES CARTESIANAS ........................................................................... 37 3.3 PROPRIEDADES DO BARICENTRO ................................................................ 37 3.4 MASSAS DISTRIBUDAS ................................................................................. 41 3.5 TEOREMAS DE PAPPUS-GULDIN .................................................................. 43

4 ESTTICA DOS SISTEMAS ESTTICA DOS SLIDOS. ........................................ 51 4.1 INTRODUO ............................................................................................... 51 4.2 POSTULADOS DA ESTTICA FORAS EXTERNAS E INTERNAS................ 52 4.3 CONDIES NECESSRIAS AO EQUILBRIO ................................................ 52 4.4 VNCULOS ..................................................................................................... 53 4.4.1 Vnculos sem e com atrito ................................................................... 53 4.4.2 Principais tipos de vnculos, sem atrito, de um slido ......................... 55 4.5 INTRODUO AOS PROBLEMAS DE ESTTICA ........................................... 58 4.5.1 Sistemas planos ................................................................................... 58 4.5.2 Sistemas isostticos e hiperestticos .................................................... 59 4.5.3 Casos importantes de sistemas em equilbrio ...................................... 60 4.5.4 Trelias ............................................................................................... 64 4.5.5 Sistemas em equilbrio contendo fios de peso desprezvel .................. 68

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5 ESTTICA DOS FIOS OU CABOS. ............................................................................ 71 5.1 SISTEMAS FUNICULARES ............................................................................... 71 5.2 CURVA DAS PONTES PNSEIS ....................................................................... 78 5.3 CATENRIA .................................................................................................... 80

6 CINEMTICA DOS SLIDOS. .................................................................................. 89 6.1 INTRODUO E CINEMTICA DO PONTO ................................................. 89 6.2 VELOCIDADE E ACELERAO ....................................................................... 89 6.2.1 Expresso de v e a em coordenadas cartesianas .................................. 90 6.2.2 Expresses de v em coordenadas cilndricas e polares ........................ 91 6.2.3 Expresses intrnsecas de v e de a ...................................................... 92 6.3 CINEMTICA DO SLIDO; PROPRIEDADE FUNDAMENTAL ........................ 94 6.4 MOVIMENTOS PARTICULARES DE UM SLIDO ........................................... 95 6.4.1 Movimento de translao .................................................................... 95 6.4.2 Movimento de rotao ........................................................................ 96 6.5 MOVIMENTO GERAL DE UM SLIDO .......................................................... 98 6.5.1 Consequncias da frmula fundamental (6.15) ................................. 100 6.5.2 Eixo helicoidal instantneo ............................................................... 100 6.5.3 Movimento plano ............................................................................. 101

7 COMPOSIO DE MOVIMENTOS. ....................................................................... 117 7.1 DEFINIES ................................................................................................. 117 7.2 COMPOSIO DE VELOCIDADES ............................................................... 118 7.3 COMPOSIO DE ACELERAES ............................................................... 119 7.4 COMPOSIO DE VETORES DE ROTAO ................................................ 121

8 LEIS DE ATRITO. ..................................................................................................... 129 8.1 ATRITO DE ESCORREGAMENTO ................................................................. 129 8.2 ATRITO DE ROLAMENTO ............................................................................ 145 8.3 ATRITO DE PIVOTAMENTO ......................................................................... 146 8.4 ATRITO EM CORREIAS PLANAS ................................................................... 147

9 DINMICA DO PONTO MATERIAL. ...................................................................... 155 9.1 LEIS FUNDAMENTAIS DA MECNICA CLSSICA ......................................... 155 9.2 MOVIMENTO RELATIVO A REFERENCIAIS NO INERCIAIS ........................ 156 9.2.1 Movimento em relao Terra .......................................................... 159 9.3 TEOREMAS GERAIS DA DINMICA ............................................................. 164 9.3.1 Quantidade de movimento ............................................................... 164 9.3.2 Trabalho e Potncia .......................................................................... 165 9.3.3 Funo Potencial e Energia Potencial ................................................ 166 9.3.4 Energia Cintica ................................................................................ 167

10 DINMICA DOS SISTEMAS. .................................................................................. 173 10.1TEOREMA DO MOVIMENTO DO BARICENTRO ......................................... 173 10.2TEOREMA DA ENERGIA ............................................................................... 177 10.2.1 Observaes ..................................................................................... 177 10.2.2 Teorema (de Knig) sobre o clculo da energia cintica de um sistema material ..................................................................... 180 10.3TEOREMA DO MOMENTO ANGULAR ........................................................ 181

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11 MOMENTOS E PRODUTOS DE INRCIA. .............................................................. 185 11.1MOMENTO DE INRCIA .............................................................................. 185 11.1.1 Sistemas planos ................................................................................. 187 11.1.2 Translao de eixos para momentos de inrcia ................................. 188 11.2PRODUTOS DE INRCIA ............................................................................. 193 11.2.1 Simetria em produtos de inrcia ........................................................ 193 11.2.2 Translao de eixos para produtos de inrcia .................................... 196 11.3ROTAO DE EIXOS ................................................................................... 196 11.3.1 Rotao de eixos para obteno de um momento de inrcia ............ 196 11.3.2 Rotao de eixos para obteno de um produto de inrcia ............... 198 11.4MATRIZ DE INRCIA E EIXOS PRINCIPAIS ................................................... 199 11.4.1 Elipsoide de inrcia ........................................................................... 200

12 DINMICA DOS SLIDOS. ................................................................................... 205 12.1ENERGIA CINTICA DE UM SLIDO .......................................................... 205 12.2MOMENTO ANGULAR DE UM SLIDO ..................................................... 206 12.2.1 Teorema do momento angular aplicado ao caso de um slido .......... 207 12.3POTNCIA DAS FORAS APLICADAS A UM SLIDO ................................. 209 12.4MOVIMENTO DE UM SLIDO EM TORNO DE UM EIXO FIXO.................. 209 12.5BALANCEAMENTO ...................................................................................... 211 12.6GIROSCPIO E APLICAES ...................................................................... 221 12.6.1 Introduo ........................................................................................ 221 12.6.2 Giroscpio ........................................................................................ 222

13 IMPULSO E CHOQUE. ........................................................................................... 227 13.1INTRODUO ............................................................................................ 227 13.2TEOREMA DA RESULTANTE DOS IMPULSOS .............................................. 228 13.3TEOREMA DO MOMENTO DOS IMPULSOS ............................................... 229 13.4TEOREMA DO MOMENTO DOS IMPULSOS PARA O CASO DE UM SLIDO ............................................................................... 230 13.4.1 Impulso sobre um slido mvel em torno de um eixo fixo ................ 235 13.4.2 Centro de percusso ......................................................................... 237 13.5COEFICIENTE DE RESTITUIO ................................................................. 239 13.5.1 Hiptese de Newton ......................................................................... 240 13.5.2 Hiptese de Poisson .......................................................................... 240 13.6PERDA DE ENERGIA CINTICA: CHOQUE CENTRAL E DIRETO DE SLIDOS ................................................................................................ 242

14 INTRODUO MECNICA ANALTICA. ............................................................ 245 14.1TIPOS DE VNCULOS ................................................................................... 245 14.2EQUAO DE DALEMBERT OU EQUAO GERAL DA DINMICA ......... 248 14.2.1 Equao DAlembert ....................................................................... 250 14.2.2 Sistemas Holnomos Coordenadas Generalizadas ........................ 251 14.2.3 Deslocamentos no caso de Sistemas Holnomos ............................. 253 14.3EQUAES DE LAGRANGE ........................................................................ 254 14.3.1 Caso de Sistemas Holnomos .......................................................... 254 14.3.2 Exemplos de clculo de foras-generalizadas .................................. 257

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14.3.3 Caso de foras-potenciais ................................................................ 258 14.4TEOREMA DA ENERGIA ............................................................................... 259 14.4.1 Introduo: Forma normal das equaes de Lagrange ...................... 259 14.4.2 Teorema de Euler para funes homogneas ................................... 264 14.4.3 Teorema da Energia ......................................................................... 264 14.4.4 Funo-dissipao de Rayleigh ........................................................ 267 14.4.5 Aplicao ao caso de referenciais no inerciais ............................... 268 14.5EQUILBRIO E ESTABILIDADE ...................................................................... 270 14.5.1 Posies de equilbrio ..................................................................... 270 14.5.2 Princpio dos Trabalhos Virtuais ....................................................... 272 14.5.3 Equilbrio Estvel ............................................................................. 276 14.5.4 Teorema de estabilidade (Lagrange-Dirichlet) .................................. 277 14.5.5 Teorema de instabilidade (Liapunov) ............................................... 278 14.5.6 Equilbrio em relao a referencial no inercial e sua estabilidade .. 280

15 EXERCCIOS SUPLEMENTARES. ............................................................................. 281 15.1 DINMICA DO PONTO MATERIAL .......................................................... 281 15.2 DINMICA DO SLIDO - I ........................................................................ 282 15.3 DINMICA DOS SISTEMAS ........................................................................ 284 15.4 DINMICA DO SLIDO - II ....................................................................... 285 15.5 MOVIMENTO EM RELAO A REFERENCIAL NO INERCIAL - I .............. 287 15.6 MOVIMENTO EM RELAO A REFERENCIAL NO INERCIAL - II ............. 289 15.7 PRINCPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS - I ............................................... 294 15.8 PRINCPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS - II .............................................. 295 15.9 EQUILBRIO E ESTABILIDADE .................................................................... 296 15.10EQUILBRIO EM RELAO A REFERENCIAL NO INERCIAL .................... 298 15.11ESTABILIDADE COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE - I .............................. 299 15.12ESTABILIDADE COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE - II ............................. 302 15.13REGULADOR CENTRFUGO ..................................................................... 304

BIBLIOGRAFIA. .............................................................................................................. 307NDICE DE NOMES. ....................................................................................................... 311NDICE ALFABTICO. ..................................................................................................... 313

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INTRODUO MECNICA

CLSSICA

Os princpios da Mecnica Clssica foram pro postos por Newton em 1687.1

Somente em pocas relativamente recentes, no sculo XX, verificou-se que a Mecnica Newtoniana (geralmente chamada Mecnica Clssica) no aplicvel quando a velocidade do mvel da ordem da velocidade da luz ou quando as dimenses envolvidas so da ordem das distncias interat-micas; nesses casos extremos necessrio recorrer Teoria da Relatividade de Einstein e Mecnica Quntica.

A quase totalidade dos problemas de Mecnica, em Engenharia, con-tinua, entretanto, sendo resol vida de maneira totalmente satisfatria pela Mec nica Newtoniana; da o interesse ininterrupto de seu estudo nos trs ltimos sculos.

Uma exposio crtica dos princpios, propostos por Newton, foi feita por Mach [25]. Tentaremos expor esses princpios, de uma maneira bem concisa, se guindo, por exemplo, os textos de Prs [33], Breves Filho [8] e Cabannes [9]. Os fundamentos da Mecnica Newtoniana envolvem as no-es de comprimento, tempo, massa e fora (Cabannes [9]).

Comprimento:Admite-se a Geometria Euclidiana como adequada para descrever o

espao fsico e medir distncias.

1 Newton did not shew the cause of the apple falling, but he shewed a similitude between the apple and the stars.

Sir DArcy Wentworth Thompson

Where the statue stoodOf Newton, with his prism and silent face,

The marble index of a mind for everVoyaging through strange seas of thought alone.

Wordsworth

Captulo 1

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18 Captulo 1 Introduo Mecnica Clssica

Movimento:D-se o nome de Cinemtica quela parte da Me cnica que estuda as

propriedades geomtricas do movimento.

s noes da Geometria, a Cinem-tica acrescenta dois novos conceitos: o de movimento e o de simul taneidade.

Dado um sistema de coordenadas e um arco de curva, , de origem A e extremidade B, sendo P um ponto varivel em , vamos admitir como primitivo o conceito de movimento de P em , relativamente a , de A para B. P chamado ponto mvel, referen cial; , trajetria; A e B, posies inicial e final do movimento.

Tempo:A partir desses conceitos pode-se, na Cinemtica Clssica, dar uma de-

finio de tempo. Chamaremos tempo uma varivel proporcional ao compri-mento do arco de trajetria entre a origem e o ponto mvel, num movimento particular chamado relgio. O tempo ser indicado por t e suposto definido em todo campo real. As determinaes de t sero chamadas instantes.

Outro conceito fundamental da Cinemtica Clssica o de simultanei-dade, isto , o de posies simultneas de vrios pontos em movimento. Esta noo que permite estabelecer correspondncia entre movimentos.

Sendo P um ponto mvel qualquer e R(t) o ponto mvel no relgio, cuja posio simultnea de P, a funo P = P(t) chamada lei do movimento de P. Vamos admitir que o ponto R do relgio volte repetidamente mesma posio inicial, percorrendo cada vez o mesmo comprimento de arco e, portanto, em intervalos de tempo iguais; isto permitir definir a unidade de tempo. Para o estudo da Cinemtica, qualquer movimento que apresente essa periodicidade poder ser usado como relgio. Veremos que o mesmo no acontece no estudo da Dinmica.

Para a medida do tempo, na Mecnica Clssica, adotou-se, inicialmente, como relgio, o movimento de rotao da Terra em relao s estrelas. Foram feitas comparaes com os tempos fornecidos por outros relgios astronmicos, a saber, movimento orbital da Terra e de outros planetas em torno do Sol. A comparao mostrou pequenas discrepncias que foram atribudas a diversos fatores, principalmente ao atrito, no fundo dos mares,

A

PB

Figura 1.1 Movimento de P em

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causado pelas mars; tal atrito tem um efeito retardador sobre a rotao terrestre. Por esse motivo, a partir de 1967, foi decidido abandonar, no contexto das definies cientficas precisas, o movimento de rotao da Terra como relgio. A unidade de tempo passou a ser definida, a partir de 1967, com base no perodo de radiao do csio 133, que empregado no relgio atmico.

interessante notar que, mesmo desejando permanecer no campo da Mecnica Clssica, acabou-se adotando um padro de tempo que exige a considerao de um fenmeno alheio Mecnica tradicional; alis, tambm para a unidade de comprimento foi adotado, universalmente, um padro alheio ao campo da Mecnica Clssica, baseado no comprimento de onda do criptnio 86.

Massa:Admite-se como um axioma que, a cada sistema material (corpo material

ou sistema de corpos materiais), possvel fazer corresponder um nmero positivo chamado a sua massa, e tal que a massa de um sistema material seja a soma das massas de suas partes.

Foras e vetores aplicados:A observao e a experincia mostram que o equilbrio (ou o movimento)

de um corpo se modifica por efeito da interao do corpo com outros corpos. Chamamos fora a grandeza fsica que mede a ao mecnica, quer se trate de ao de contato, ou de ao distncia, devida gravitao universal.

Verifica-se que as foras podem ser representadas de maneira conve-niente, por meio de vetores aplicados. Chama-se vetor v

aplicado em A, e

se indica por (v

, A), o par constitudo pelo vetor v

e pelo ponto A. O ponto A diz-se ponto de aplicao do vetor aplicado (v

, A). Admite-se assim que

as foras so caracterizadas por um nmero real (inten-sidade ou mdulo da fora), uma direo, um sentido e um ponto de aplicao. O mdulo da fora ser me-dido em unidades de fora.

Este primeiro modelo, que representa as aes me-cnicas por meio de vetores aplicados, no o nico usado na Mecnica Clssica tradicional.

Captulo 1 Introduo Mecnica Clssica

AA

v

Figura 1.2 Fora de contato

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20 Captulo 1 Introduo Mecnica Clssica

De fato, na prtica o ponto de aplicao de uma fora no conhecido de maneira totalmente precisa. No caso de corpos materiais em contato, existe sempre uma certa rea de conta-to, onde se desenvolvem as aes mtuas entre os corpos. Essas aes ou for-as, distribudas sobre uma superfcie, podero even-tualmente ser substitudas

por uma fora nica, aplicada num ponto conveniente da rea de contato.

Um outro exemplo no qual se consideram foras distribudas o caso das foras devidas ao "peso", o qual ser considerado em detalhe no Cap-tulo 9 "Dinmica do Ponto Material". Nesse caso admite-se que as foras se distribuem, de maneira contnua, por toda a extenso do corpo material considerado; como veremos, essas foras, para muitos efeitos, podero ser substitudas por uma fora nica, aplicada no "baricentro" do corpo.

F1F2 ...

Fi

Figura 1.3 Foras na rea de contato

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