ความน่าจะเป็น

เอกสารประกอบการบรรยาย

คณตศาสตรเสรม หลกสตร EP ◙ โรงเรยนสตรศกษา จงหวดรอยเอด

◙ ภาควชาคณตศาสตร

มหาวทยาลยขอนแกน

อ.วฒนา เถาวทพย

10

2/ ระดบมธยมศกษาตอนปลาย ประกอบสาระการเรยนร พนฐาน

(Probability)

ความนาจะเปน

คณตศาสตรเสรม หลกสตร EP โรงเรยนสตรศกษา จงหวดรอยเอด ระดบมธยมศกษาปท 5 หนา 1

เรอง ความนาจะเปน [Probability] ดร.วฒนา เถาวทพย คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน 1

◙ Some of the most

beautiful mathematical

formulas:

9 The roots of a quadratic

equation :

If 2 0ax bx c

where 0a , then

2 4

2

b b acx

a

.

10 The golden ratio:

1 5

2

11 Imaginary numbers:

1i

☼ How to prove that

3.9999... 4 …………………………

…………………………

…………………………

…………………………

…………………………

…………………………

…………………………

…………………………

10 ความนาจะเปน (Probability)

สรปเนอหา

1. การทดลองสม (Random Experiment) หมายถงการทดลองใดๆ ทไมสามารถพยากรณ หรอ ท านายผลลพธไดอยางถกตอง

2. ผลลพธ (Out come) หมายถงผลทไดจากการทดลองสมทสนสดลง ซงจะเกดขน

เพยงกรณเดยว จากกรณทอาจเกดขนไดทงหมด

3. แซมเปลสเปซ (Sample space) หมายถง จ านวนผลลพธทเกดขนทงหมดของการ

ทดลองสม โดยจะเขยนแทน S และใช ( )n S แทนจ านวนผลลพธทเกดขนไดทงหมดจากการทดลองครงหนง

Ex. โยนเหรยญ 1 อน 1 ครง จงหา S และ ( )n S ,S H T และ ( ) 2n S Ex. โยนเหรยญ 2 อน 1 ครง จงหา S และ ( )n S , , ,S HH HT TH TT และ ( ) 4n S

Ex. ทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง จงหา S และ ( )n S 1,2,3,4,5,6S และ ( ) 6n S

4. เหตการณ ( Event) หมายถง ผลลพธทเราตองการ โดยเขยนแทนดวย E และใช

( )n E แทนจ านวนผลลพธทเราตองการ Ex. ในการทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง และ E เปนเหตการณทเราตองการได แตมทเปนจ านวนเฉพาะ จงหา , ( ),S n S E และ ( )n E {1,2,3,4,5,6}S ( ) 6n S {2,3,5}E และ ( ) 3n E

What is the

probability to win

the lottery?

…………………

…………………

…………………

…………………

…………………

…………………

…………………



◙ Names of set of

number:

I : Positive Integer

I : Negative Integer

I : Integer

N : Natural Number

P : Prime Number

Q : Rational Number

R : Real Number

5. กฎเกณฑการนบ (Rule of Counting)

กฎขอท 1 ถาการทดลองสมครงแรกมผลลพธอาจเกดขน m วธ และแตละวธของผลลพธครงแรก อาจท าใหเกดผลลพธในการทดลองสมครงตอไปได n วธ แลว ผลลพธทอาจเกดขนทงหมดในการทดลองสมทงสองครง จะเทากบ m n วธ

หมายเหต เราสามารถแสดงการนบไดโดยใชแผนภาพตนไม (Tree diagram) Ex. ในการทอดลกเตา 2 ลก 1 ครง จะปรากฏผลไดกวธ Ex. หองๆหนงมทางเขา 3 ทาง และ มทางออก 5 ทาง จะมวธเขา และ ออกกวธ Ex. มกางเกง 4 ตว และ เสอ 6 ตว จะมวธแตงตวไดแตกตางกนกวธ

กฎขอท 2 ถามการทดลองสม k ครง ครงท 1 มผลลพธอาจเกดขน 1n วธ แตละวธของครงแรกท าให ครงท 2 มผลลพธอาจเกดขน 2n วธ โดยท าเชนนไปเรอยๆ จน ครง ครงท k มผลลพธอาจเกดขน 1kn วธ แลว ผลลพธทอาจเกดขนทงหมดในการทดลองสมทง k ครง จะเทากบ 1 2 3... kn n n n วธ

Ex. ในการทอดลกเตา 3 ลก 1 ครง จะปรากฏผลไดกวธ Ex. หองสมครงานหองหนงมโตะสมครงาน 4 โตะ มทางเขา 3 ทาง และ ม

ทางออก 5 ทาง จะมวธเขา ไปสมครงาน และเดน ออกไดกวธ Ex. มกางเกง 4 ตว รองเทา 2 ค และ เสอ 6 ตว จะมวธแตงตวไดแตกตางกนกวธ



What’s wrong?

Let 1a b ,

then 2 2

2 2 2

( )( ) ( )

1 1 1.

a b

a b b ab

a b a b b a b

a b b

☻Warning!

Division by zero is

illegal operation.

6. ความนาจะเปน ( Probability) หมายถง อตราสวนระหวางจ านวนผลลพธของเหตการณทเราตองการ กบ จ านวนของผลลพธของแซมเปลสเปซ โดยเขยนแทนดวย ( )P E นนคอ

( )( )

( )

n EP E

n S

EX. ในการทอดลกเตา 2 ลก 1 ครง จงหาความนาจะเปนทจะไดผลรวมของ แตมนอยกวา หรอ เทากบ 5

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

S

( ) ..........n S .....................................................................E

( ) ........n E

ดงนน ( ) .......

( )( ) .......

n EP E

n S

EX. ในการโยนเหรยญ 3 ลก 1 ครง จงหาความนาจะเปนจะขนหวอยางนอย 2 ครง ..............................................................................S

( ) ...........n S .....................................................................E

( ) ........n E

ดงนน ( ) .......

( )( ) .......

n EP E

n S

7. สมบตของความนาจะเปน (Properties of Probability)

1) ถา ( ) 0P E แสดงวา เหตการณ E ไมมโอกาสเกดขน 2) ถา ( ) 1P E แสดงวา เหตการณ E เกดขนอยางแนนอน 3) ถา E เปนเหตการณใดๆ แลว 0 ( ) 1P E แสดงวา เหตการณ



Exercise

1. ผชาย 3 คน ผหญง 2 คน ยนเขาแถวเปนเสนตรง ความนาจะเปนทชายยนชดกน

และ หญงยนชดกนเสมอ เทากบเทาไร

2. หยบไพ 1 ใบจากส ารบ ความนาจะเปนทจะได ไพ Jack และ Queen หรอ โพแดง

หรอ ดอกจก เทากบเทาไร

3. ความนาจะเปนทครอบครวหนนงจะมบตรเปนผหญงลวนทง 7 คน เทากบเทาไร

4. โยนลกเตาสองลกพรอมกน ความนาจะเปนทลกเตาลกแรกจะมแตมมากกวาหรอ

เทากบลกหลง เทากบเทาไร

5. กลองใบหนงมลกแกวสแดง 5 ลก สขาว 6 ลก และ สเขยว 4 ลก สมหยบลกแกวจากกลอง 2 ลกพรอมกน ความนาจะเปนทจะไดลกแกวสตางกน เทากบเทาไร

6. ในการหยบลกบอล 3 ครง ครงละ 1 ลก จากกลองทมลกบอล 2 ลก สด า กบ สขาว โดยหยบแลวใสคน ความนาจะเปนทจะไดลกบอลสขาวเพยง 2 ครง เทากบเทาไร

7. ครอบครวหนงมบตร 3 คน ความนาจะเปนทจะเปนบตรชาย 2 คน และ บตรสาว 1 คน เทากบเทาไร



8. นกเรยนหองหนงม 40 คน มผสมครทจะเปนตวแทนไปโตวาท 6 คน เปนนกเรยนชาย 4 คน และ หญง 2 คน ซงจะมผไดรบการคดเลอกไปอยางสม 2 คน ความนาจะเปนทจะเปนชาย 1 คน และ หญง 1 คน เทากบเทาไร

9. ถงใบหนงใสลกแกว สแดง 5 ลก สน าเงน 3 ลก และ สขาว 2 ลก ทกลกมขนาดเทากน ใหสมหยบมา 2 ลก ทละลกแบบไมใสคน ความนาจะเปนทจะไดลกแกวสแดง และ สน าเงนตามล าดบ เทากบเทาไร

10. ในจ านวนนกเรยนชายมมาสมครสอบเขา ม. 4 ตอ. กลมหนงพบวา ม 7คน ไวผม

สนตามระเบยบ ม 9 คนใสแวนตาสายตาสน ถามนกเรยนทไวผมสน หรอใสแวนตาเพยงอยางเดยวรวมกนได 12 คน ถาสมเลอกนกเรยนมา 1 คน แลว ความนาจะเปนทจะไดนกเรยนทผมสน และไมใสแวนตา เทากบเทาไร

11. นกเรยน 56 คน มผลการสอบในสองวชาไดแกวชา คณตศาสตร และ ภาษาองกฤษ ดงน มนกเรยนสอบตกวชา คณตศาสตร 22 คน สอบตกวชาภาษาองกฤษ 17 คน สอบตกทงสองวชา 10 คน ถาสมนกเรยนเหลานมา 1 คน ความนาจะเปนทเขาจะสอบตกเพยงวชาใดวชาหนง เทากบเทาไร

12. กลองใบหนงมลกบอลสแดง 3 ลก และ สเหลอง 2 ลก ถาหยบลกแรกแลวไม

ใสคน ความนาจะเปนทจะไดลกบอลสเหลองทงสองลก เทากบเทาไร



◙ ตวอยางขอสอบททาทายเรองตรรกศาสตร

1. ให A และ B เปนเหตการณใดๆ โดยท P(A) = 0.5 , P(B) = 0.6 และ P(AB) =

0.2

P(AB) เทากบขอใดตอไปน

1. 0.1 2. 0.3

3. 0.8 4. 0.9

2. ผลการสอบวชาคณตศาสตรและวชาเคม ของนกเรยนกลมหนง ปรากฏวา 31

ของนกเรยนทง

หมดสอบผานคณตศาสตร และ 158

ของนกเรยนทงหมดสอบผานเคม ถาความนาจะเปนของ

นกเรยนคนหนงในกลมนทจะสอบผานอยางมากหนงรายวชาเปน 54

แลว ความนาจะเปนท

เขาจะสอบผานอยางนอยหนงรายวชาเทากบ ขอใดตอไปน

1. 32

2. 151

3. 51

4. 1513

3. สลากชดหนงม 10 ใบ มหมายเลข 1 – 10 ก ากบ ความนาจะเปนทจะหยบสลากพรอมกน 3 ใบ โดยใหมแตมรวมกนเปน 10 และไมมสลากใบใดมหมายเลขสงกวา 5 มคาเทากบใดตอไปน

1. 601

2. 401

3. 301

4. 201

4. ในการเลอกกรรมการนกเรยนจ านวน 4 คน จากผสมครจ านวน 6 คน ซงประกอบดวยชาย 4 คน และ หญง 2 คน ความนาจะเปนทคณะกรรมการชดนจะประกอบดวยนกเรยนชายไม

นอยกวา 3 คน เทากบขอใดตอไปน

1. 157

2. 158

3. 159

4. 1510

5. สลากชดหนงม 10 ใบ มหมายเลข 1 – 10 ก ากบ ถาตองการหยบสลาก 8 ใบพรอมกน โดยให

ได สลากทมหมายต ากวา 5 อย 3 ใบเทานน แลวความนาจะเปนทจะหยบสลากดงกลาวมคา เทากบขอใด

1. 92

2. 158

3. 352

4. 15611



6. กลองใบหนงมลกบอลสแดง 5 ลก สขาว 3 ลก นาย ก และนาย ข ผลดกนหยบลกบอลทละ ลกโดยไมใสคนไปเรอยๆ และหยดเมอมใครคนหนงหยบไดลกบอลสแดง ถานาย ก หยบลก

บอลเปนคนแรก แลวความนาจะเปนทนาย ก จะหยบไดลกบอลสแดงเทากบขอใดตอไปน

1. 72

2. 75

3. 82

4. 85

7. ชาย 3 คน และหญง 3 คน เขาควในแถวเดยวกนเพอซอตวภาพยนตร ความนาจะเปนทหญง ทง 3 คนจะยนเรยงตดกนทงหมดในแถวมคาเทากบเทาใด

8. จากการส ารวจแมบานทชมโทรทศนจ านวน 200 คน ปรากฏวาม 65 คนชมละครเรองท 1

90 คน ชมละครเรองท 2 45 คน ชมละครเรองท 2 เรองเดยว 35 คน ชมละครเรองท 3

เรองเดยว 15 คน ชมละครเรองท 1 และ 3 35 คน ชมละครเรองท 2 และเรองท 3 และม 30 คนทไมไดชมละครทง 3 เรองน ถาสมเลอกแมบานจากกลมมา 1 คน แลวขอใดตอไปนผด

1. ความนาจะเปนทจะไดผทดละครทง 3 เรองนเทา 0.05

2. ความนาจะเปนทจะไดผทดละครอยางนอย 1 เรองเทากบ 0.85

3. ความนาจะเปนทจะไดผทดละครเรองท 1 เรองเดยวเทากบ 0.2

4. ความนาจะเปนทจะไดผทดละครเรองท 3 เทากบ 0.45

9. ถงใบหนงมลกแกวขนาดเดยวกนอย 10 ลก เปนสแดง 3 ลก สขาว 5 ลก สด า 2 ลก สม

หยบลกแกวจากถงสองครงๆ ละลกโดยไมใสคน ความนาจะเปนทจะหยบไดลกทสองเปนส

แดงเทากบขอใดตอไปน

1. 31

2. 103

3. 10027

4. 10033

10. ในจ านวนเดก 12 คน มเดกถนดซาย 4 คน ถาเลอกเดก 5 คน โดยการสมจากเดกเหลาน แลวความนาจะเปนทจะมเดกถนดซายอยในกลมทจะเลอกเทากบขอใดตอไปน

1. 9935

2. 9947

3. 9963

4. 9992

11. กลองใบหนงบรรจขนมชน 24 ชน แตละชนม 4 ชน ๆ ละส ซงมสเขยว ขาว แดง เหลอง และการเรยงล าดบสของแตละชนทง 24 ชนแตกตางกนหมด ถาหยบขนม 1 ชน จาก

กลองนโดยสม แลวความนาจะเปนทชนทหยบไดมสองชนบน ไมใช สแดง และไมใชสเหลอง เทากบขอใดตอไปน

1. 241

2. 121

3. 61

4. 41



12. ในการทอดลกเตา 2 ลก พรอมกน 1 ครง ความนาจะเปนทผลบวกของแตมบนหนาลกเตาทง สองลก จะเปนเลขทหารดวย 4 ไมลงตว มคาเทากบเทาใด 13.กลองใบหนงมลกหนสขาว 5 ลก สเขยว 3 ลก สน าเงน 2 ลก ถาหยบลกหนอยางสม ครงละ 1 ลก โดยไมใสคน 3 ครง แลวความนาจะเปนทจะหยบไดลกหนสเดยวกนอยางนอย 2 ลก มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 241

2. 2423

3. 41

4. 43

14.ในการจดคน 6 คน ซงม นาย ก. และนาย ข. รวมอยดวย เขาพกในหอง 3 หอง โดยทหองท

หนง พกได 3 คน หองทสองพกได 2 คน และหองทสามพกได 1 คน ความนาจะเปนทนาย ก. และ นาย ข. จะไดพกหองเดยวกนมคาเทากบขอใดตอไปน

1. 151

2. 153

3. 154

4. 155

15.กลองใบหนงมบตรอย 5 ใบ หมายเลข 1 , 2 , 3 , 4 , 5 หยบบตร 2 ใบ โดยหยบทละใบแบบ

ไมคนท ให x เปนหมายเลขบตรใบแรกทหยบได และ y เปนหมายเลขบตรใบทสองทหยบได ความนาจะเปนทจะได x y และ 4 xy 12 เทากบขอใดตอไปน

1. 1/5 2. 2/5

3. 3/5 4. 4/5

16.คาแรงงานตอวนของคนงานกลมหนงจ านวน 8 คน เปน 150 , 152 , 158 , 168 , 170 , 177 , 180 , 185 บาท

ถาสมเลอกคนงานจากกลมนมา 2 คน แลว ความนาจะเปนทจะไดคนงานอยางนอยหนงคนทม

คาแรงงานตอวนต ากวาคาแรงงานเฉลยของคนงานกลมนมคาเทากบขอใดตอไปน

1. 143

2. 145

3. 149

4. 1411

17.ความนาจะเปนทนกเรยนคนหนงสอบผานวชาคณตศาสตรเทากบ 52

และสอบผานวชาภาษา

องกฤษเทากบ 31

ถาความนาจะเปนในการสอบผานอยางมากหนงรายวชาเทากบ 1513

แลว

ความนาจะเปนทเขาจะสอบผานอยางนอยหนงวชา เทากบขอใดตอไปน

1. 147

2. 154

3. 53

4. 51



18.ก าหนดความนาจะเปนของเหตการณ A , B และ A B ดงน

P(A) = 0.5 , P(B) = 0.3 , P(A B) = 0.1

P(A B) มคาเทากบเทาใด

19.หางสรรพสนคาแหงหนงจดรายการสมนาคณแกลกคา โดยจะใหลกคาทกคนสมหยบคปอง สวนลดได 2 ใบ จากกลองซงมคปองทงหมด 12 ใบ ซงมคปองมลคา 50 บาท 5 ใบ คปองมลคา 100 บาท 3 ใบ คปองมลคา 200 บาท 3 ใบ และคปองมลคา 500 บาท 1

ใบความนาจะเปนทลกคาคนหนงจะสมหยบคปอง 2 ใบ และไดคปองทมมลคาสวนลดรวม

มากกวา 300 บาทมคาเทากบขอใดตอไปน

1. 6611

2. 6614

3. 6620

4. 6623

20.กลองใบหนงบรรจสลากสแดงซงเขยนหมายเลข 1, 2 , 3 ไวสลากละหนงหมายเลขรวมกบ

สลากสเขยว ซงเขยนหมายเลข 1, 2 , 3 ไวสลากละหนงหมายเลขเชนเดยวกน ถาจบสลาก

สองใบจากกลองโดยจบทละใบแบบไมใสกลบคน ความนาจะเปนทจะไดสลากสเหมอนกน

หรอหมายเลขเดยวกนเทากบเทาใด

21.ในการใสจดหมาย 5 ฉบบทเขยนถงคน 5 คน คนละ 1 ฉบบ ลงในซองทจาหนาซองไวแลว 5 ซองซองละหนงฉบบ ความนาจะเปนทใสจดหมายลงในซองไดตรงกบชอหนาซองไมเกน 3

ซอง และไมนอยกวา 1 ซอง เทากบขอใดตอไปน

1. 12075

2. 12085

3. 12090

4. 12096

22.ถงใบหนงมลกกวาดขนาดเดยวกนเปนสแดง 24 เมด ทเหลอเปนลกกวาดสขาวและลกกวาดส

เขยว ถาสมหยบลกกวาดขนมา 1 เมด ความนาจะเปนทไดลกกวาดสขาวหรอสเขยวเทากบ 65

และความนาจะเปนทไดลกกวาดสเขยวหรอสแดงเทากบ 43

แลวจ านวนลกกวาดสเขยวเทากบ

ขอใดตอไปน

1. 36 2. 60

3. 72 4. 84

23.ในการออกรางวลเลขทายสองตวของลอตเตอรรฐบาล ความนาจะเปนทรางวลเลขทายสองตวมหลก สบเปนเลขทมากกวาหรอเทากบ 7 หรอหลกหนวยเปนเลขทนอยกวาหรอเทากบ 2 มคาเทากบขอ ใดตอไปน 1. 0.40 2. 0.51 3. 0.54 4. 0.60

===================================



เฉลยขอสอบ Entrance วชาคณตศาสตร 1 ความนาจะเปน

ป 20 1. ก 2. ข ป 21 1. ก 2. จ ป 22 1. จ 2. ค 3. ง ป 23 1. จ 2. จ 3. ก

ป 24 1. ก 2. ก ป 25 1. จ 2. ข

ป 26 1. 3 ป 27 1. 2 2. 1 3. 1

ป 28 1. 2 2. 1 3. 3 ป 29 1. 3 2. 3 3. 2

ป 30 1. 1 2. 3 3. 960 ป 31 1. 1 2. 1

ป 32 1. 1 2. 2 ป 33 1. 3 2. 4 3. 1

ป 34 1. ค 2. ข 3. ค ป 35 1. ง 2. ก

ป 36 1. 1 2. 0.38 ป 37 1. 1

ป 38 1. - 2. 2 3. 4 ป 39 1. 4 2. 3 3. 3 4. 0.55

ป 40 1. 2 2. 1 3. 1 ป 41 1. 3 2. 2 3. 2

ป 42 (ตลาคม 2541) 1. 0.2 2. 4 3. 4 ป 42 (มนาคม 2542) 1. 2

ป 43 (ตลาคม 2542) 1. 4 2. 3 ป 43 (มนาคม 2543) 1. 0.75 2. 4 ป 44 (ตลาคม 2543) 1. 3 2. 1 3. 3 ป 44 (มนาคม 2544) 1. 0.4 2. 3 ป 45 (ตลาคม 2544) 1. 0.9 2. 2 ป 45 (มนาคม 2545) 1. 0.6 2. 1 ป 46 (ตลาคม 2545) 1. 4 2. 1 ป 46 (มนาคม 2546) 1. 0.48 2. 2

ป 47 (ตลาคม 2546) 1. 2 2. 1 ป 47 (มนาคม 2547) 1. 2 2. 1

ป 48 (ตลาคม 2547) 1. 2 2. 4 ป 48 (มนาคม 2548) 1. 2 2. 4 ______________________________________

Documents

ความน่าจะเป็น