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行列の最小消去多項式候補を利用した固有ベクトル計算

照井章，田島慎一

筑波大学

日本数学会 2012年度年会（2011年度年会一般講演）

2012年 3月 26日

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.. 問題の背景

行列のレゾルベントの留数解析に基づく固有ベクトルとスペクトル分解の効率的計算（田島ら）

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.. 問題の背景

行列のレゾルベントの留数解析に基づく固有ベクトルとスペクトル分解の効率的計算（田島ら）

.固有ベクトル計算..

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行列とその特性多項式は計算済み特性多項式は既約で，すべての固有値が相異なる

!特定の固有値に属する固有ベクトルを（固有値を計算することなく）固有値の多項式として求めるこのとき，レゾルベントの留数計算を，特性多項式を用いた多項式計算に帰着させることで計算を効率化

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.. 問題の背景

行列のレゾルベントの留数解析に基づく固有ベクトルとスペクトル分解の効率的計算（田島ら）

.スペクトル分解..

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レゾルベントの留数解析に基づき，行列の最小多項式に代えて “最小消去多項式”を用いることにより，行列のスペクトル分解の計算を効率化行列の最小消去多項式 “候補”を効率的に計算した上で，最小消去多項式の計算をさらに効率化する方法を提案

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.. 本算法の特徴

...1 行列の最小消去多項式 “候補”を用いて固有ベクトルを計算する

...2 固有値を変数で表す（特性多項式を解かない）

...3 固有ベクトルの要素を固有値の多項式で表す.講演のアウトライン..

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...1 算法の数学的背景

...2 算法の構成

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.. 問題設定

A: n次正方行列（整数成分）　!A ("): A の特性多項式（あらかじめ求めておく）

!A (") = f1(")m1f2(")m2 · · · fp(")mp · · · fq(")mq

.目的..

......ある fp(") (1 " p " q)に対し, fp(#) = 0をみたす A の固有値" = #に属する固有ベクトルを求める.仮定........mp = 1: !A (")における fp(")の多重度 (固有値 #の多重度)は 1

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.. 最小消去多項式

e j = t(0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0): n次単位ベクトル.定義 (最小消去多項式)..

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$A ,j("): A の第 j列の最小消去多項式は，イデアル

{P(") | P(A)e j = 0}

のモニックな生成元として定義する.注意........$A ,j(A)e j = 0 =! $A ,j(A)の第 j列は 0 (消去されている)

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.. 多項式 !p(x, y)

fp("): !A (")の因子，注目している固有値 " = #を根にもつ.定義 (!p(x, y))..

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!p(x, y) =fp(x) # fp(y)

x # y

!p(x, y)は多項式であることに注意

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.. A key proposition

fp("): !A (")の因子，注目している固有値 " = #を根にもつ$A ,j("): A の第 j列の最小消去多項式 (fp(")を因子にもつ)gj,p("): $A ,j(")の因子のうち，fp(")以外の因子の積

$A ,j(") = fp(") · gj,p(")

.命題..

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このとき，列ベクトル %(")を

%(") = !p(A , "E)gj,p(A)e j

によって定めると，fp(#) = 0なる " = #に対し

A · %(#) = # · %(#),

すなわち %(#)は A の固有値 " = #に属する固有ベクトル．9 / 12

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.. 固有ベクトル計算の流れ

.あらかじめ計算しておくもの..

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!A ("): A の特性多項式fp("): !A (")の因子,注目している固有値 " = #を根にもつ,多重度 1Pj("): A の第 j列の最小消去多項式候補 (fp(")を因子にもつ)gj,p("): Pj(")の因子のうち, fp(")以外の因子の積

Pj(") = fp(") · gj,p(")

.注意..

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Pj(")は，固有ベクトルの計算開始時点では，最小消去多項式“候補”に過ぎない．最小消去多項式のチェックは固有ベクトル計算の過程で行う．

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.. 固有ベクトル計算の流れ

.計算の流れ..

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...1 固有ベクトル “候補”の計算最小消去多項式候補: Pj(") = fp(") · gj,p(")固有値: " = #

に対し%(#) = !p(A ,#E) gj,p(A) e j

を計算する...2 Pj(")が A の第 j列の最小消去多項式になるかどうかをチェックする

fp(A) gj,p(A) e j = 0?=

Pj(A)

...3 もし (2)が真なら，%(#)を A の固有ベクトルとして出力する

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.. 固有ベクトル計算の流れ

.実際の算法における工夫..

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なぜ固有ベクトル候補 (1)を先に計算するか?

%(#) = !p(A ,#E) gj,p(A) e j (1)fp(A) gj,p(A) e j (2)

...1 式 (1)の!p(A ,#E)から，Horner法の 1ステップの計算のみで,式 (2)の fp(A)が導かれる．

...2 行列・ベクトル積による Horner法を用いることで，固有ベクトル計算の効率化が可能．

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