óÏ

M ∞ V

g R

i ��������

D

����

ö

÷

e +

Ä

×

Ä

f

T

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

١ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

التباديـــــل : مبدا العد

، و فى نفس الوقت أمكن إجراء عملية مممم إذا أمكن إجراء عملية بعدة طرق مختلفة عددھا

: فإن ن ن ن ن أخرى بعدة طرق مختلفة عددھا

نننن × مممم= عدد طرق إجراء العمايتين معا

: مثال

: كم عدد من رقمين يمكن تكوينه إذا كان ٦ ، ٥ ، ٤ ، ٣ ،� : من مجموعة ا@رقام

يمكن تكرار أى رقم)� ( عدم تكرار أى رقم )١(

الحلـــــــــــــــــ

٥= عدد ا@رقام

٥= بطرق عددھا مK خانة اJحاد يمكن )١(

" لعدم التكرار تستبعد خانة اJحاد " ٤= ، خانة العشرات يمكن مKھا بطرق عددھا

BBBB عددا �� = ٤ × ٥= عدد الطرق

" مسموح بالتكرار " ٥= يمكن مK خانتى اJحاد و العشرات بطرق عددھا ) � (

BBBB عددا �� = ٥ × ٥= عدد الطرق

: التباديل

: تلفة بأخذھا كلھا أو بعضھا فى كل مرة و يرمز له بالرمز ھو ترتيب لعدة أشياء مخ

ل ل ل ل نننن " رررر

gggg نننن ، طططط gggg رررر ، نننن رررر ھو الدليل ، رررر ھو العلم ، نننن: حيث " +

: قوانين التباديل

)١( نننن ل ل ل ل رررر

)١ + رررر – نننن ( ٠٠٠٠٠ ) � – نننن ) ( ١ – نننن ( نننن =

"١" و كل عامل ينقص عن سابقه بمقدارنننن تبدأ بالعدد ررررحاصل ضرب عوامل عددھا =

"١" بمقداررررر ، نننن و العامل ا@خير ينقص عن الفرق بين

: مث_ ٨٣ ل ل ل ل

= ٣٣٦ = ٦ × ٧ × ٨

: نعلم أن ) � (٣٣ ل ل ل ل

التى يمكن تكوينھا من ث_ثة" التراتيب " د التباديل ھو عد١× � × ٣ =

أشياء مأخوذة كلھا

" ٣مضروب " يرمز لھذا الناتج بالرمز و يقرأ

= نننن ل ل ل ل نننن

١× � × ٣ × ٠٠٠٠٠ ) � – نننن ) ( ١ – نننن ( نننن =

١× � × ٣ × ٤ × ٥: = مث_

نننن) = ٣ (

٤ × ٥ = ٥: = مث_

نننن

٥

١ – نننن نننن

٣ ٤

٣

٥

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

٢ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

) ٤ (نننن ل ل ل ل رررر

=

ل ل ل ل ٦: مث_ رررر

=

) ٥ (نننن٠ ل ل ل ل

= = ١

: أمثلة

: إذا كان )١(نننن٤ ل ل ل ل

نننن أوجد قيمة ٨٤٠ =

الحلـــــــــــــــــ

AAAA نننن٤ ل ل ل ل

= ٨٤٠

٨٤٠= حاصل ضربھا نبحث عن عدة عوامل متتالية

BBBB نننن٤ ل ل ل ل

٤ ل ل ل ل ٧ =

BBBB ٧ = نننن

ل ل ل ل ٨: كان إذا )�( رررر

رررر أوجد قيمة ١٦٨٠=

الحلـــــــــــــــــ

AAAA ل ل ل ل ٨رررر

=١٦٨٠

١٦٨٠= و حاصل ضربھا ٨ا نبحث عن عدة عوامل أكبرھ

BBBB ل ل ل ل ٨رررر

٤ل ل ل ل ٨ =

BBBB ٤ = رررر

ننننأوجد قيمة ���: = كان إذا ) ٣(

الحلـــــــــــــــــ

AAAA = ���

���= و حاصل ضربھا ١عدة عوامل أصغرھا نبحث عن

BBBB =

BBBB ٦ = نننن

نننن

رررر – ن ن ن ن

٦٦٦٦

رررر – ٦

٠

٨٤٠ � ��� � ��� � ٣ ١٠٥ ٥ ٣٥ ٧ ٧ ١

٨ ١٦٨٠ ��� �

�� �

� �

�

نننن

نننن

٦٦٦٦ نننن

��� �

��� � ��� �

��� �

�� �

� �

�

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

٣ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

: إذا كان ) ٤( ١+ نننن�

٤ ل ل ل ل :

١ – نننن�٣ ل ل ل ل

نننن أوجد قيمة ٥: �� =

الحلـــــــــــــــــ

÷ = @��&�

× = @��&�

)٣ – نننن� (�� = ٥× ) ١ + نننن� ) (نننن( �

نننن١٠ � ١٠٨ –ن ن ن ن �� = نننن ٥+

نننن١٠ � ٠ = ١٠٨ + نننن ٦٧ –

٠ ) = �� – نننن ١٠ ) ( ٤ – نننن (

٤ = نننن مرفوض أو � . � = ن ن ن ن: أما

: كان إذا) ٥( نننن+ مممم

، ��� = ٣ل ل ل ل نننن –م م م م

نننن ، م م م م أوجد قيمة ٦ = � ل ل ل ل

الحلـــــــــــــــ

نننن+ مممم

٥ × ٦ × ٧ = ��� = ٣ل ل ل ل

نننن+ مممم

= ٣ل ل ل ل ٧ ٣ل ل ل ل

BBBB ١ (٧ = نننن + م م م م (

نننن – م م م م

� × ٣ = ٦ = � ل ل ل ل

نننن –م م م م

= � ل ل ل ل ٦ � ل ل ل ل

BBBB ٦ = نننن – م م م م) � (

) �(، ) ١( بجمع

٥ = م م م م

) ١( بالتعويض فى

� = نننن

١ + نننن�

٣ – نننن�

١ – نننن�

٤ – نننن�

) ٣ – نننن�( ٤ – نننن� ١ – نننن� )نننن� ( ) ١ + نننن� (

١ – نننن�

٤ – نننن�

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

٤ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

) ١ ( تمــــارين : بكم طريقة يمكن تكون عدد يتكون من ٩ ، ٨ ، ٧ ، ٦ ، ٥ ، ٤ ، ٣: من مجموعة ا@رقام ) ١(

ا@رقام جميعا دون تكرار – � ث_ثة أرقام مختلفة – ١

٧ أربعة أرقام مختلفة و رقم آحاده – ٤ � خمسة أرقام مختلفة و يقبل القسمة على – ٣

مقاعد ٨بكم طريقة يمكن @ربعة أشخاص الجلوس فى صف به ) � (

– : أوجد قيمة ) ٣ (

�� = –: أثبت أن ) ٤ (

: أوجد قيمة ��� = : إذا كان ) ٥ (نننن ٣ل ل ل ل

: أوجد قيمة = ١٥: إذا كان ) ٦ (

ل ل ل ل ٩: إذا كان ) ٧ (رررر

: أوجد قيمة ٥٠٤ = رررر� ٤ل ل ل ل

: إذا كان ) ٨ (ننننل ل ل ل رررر

: أوجد قيمة ��= ، ١٧١٦٠ = رررر+ ن ن ن ن

ل ل ل ل رررر –ن ن ن ن

: أوجد قيمة ٦٥: : = إذا كان ) ٩ (

: إذا كان ) ١٠ (نننن × ٨ = ٣ل ل ل ل

– ن ن ن ن

١: أوجد قيمة �ل ل ل ل

٣+ ن ن ن ن ل ل ل ل

٣ –ن ن ن ن

: إذا كان ) ١١ ( – ن ن ن ن

١ : ٣ل ل ل ل

+ ن ن ن ن

١ : أوجد قيمة �� : ٥ = ٣ل ل ل ل

ل ل ل ل ١٠: أثبت أن ) �� (رررر

– = ٨١

× ) ٣ + ن ن ن ن : : = (اثبت أن ) ١٣ (�+ ن ن ن ن

�ل ل ل ل

: أثبت أن ) ١٤ (ننننل ل ل ل رررر

: – ن ن ن ن

١لللل

٣ – رررر : و من ذلك qستنتج قيمة نننن =

٩٧٤٠ل ل ل ل

: ٩٦ ٣ل ل ل ل

�: = أثبت أن ) ١٥ (٤٠

) ٧٩ × ٠٠٠ × ٥ × ٣ × ١ (

�= ÷ : أثبت أن ) ١٦ (٥٠

) ٩٩ × ٠٠٠ × ٥ × ٣ × ١ (

: إذا كان ) ١٧ (+ ن ن ن ن م م م م ، ٥٠٤ = ٣ل ل ل ل

– ن ن ن ن مممملللل

٤: أوجد قيمة ��� =

ننننل ل ل ل رررر

: إذا كان ) ١٨ (+ ن ن ن ن م م م م ، ٨٤٠ = ٤ل ل ل ل

: أوجد قيمة ٦ =

: قيمة أوجد� – ن ن ن ن : : = : إذا كان ) ١٩ (ن ن ن ن ٣ل ل ل ل

: إذا كان ) �� (ن ن ن ن ١٥ل ل ل ل

< ن ن ن ن ١٤ل ل ل ل

تحقق ھذه المتباينة نننن أوجد أقل قيمة للعدد

: إذا كان : إذا كان ) �� (� � � � = } : gggg ١ ، طططط ٧ {

، gggg، ب ا) : ، ب ا( { = � � � ��: وجد عدد عناصر كل من أ} ب ا ، � �� ،

: إذا كان : إذا كان ) �� (� � � � = } : ، عدد صحيح – � ٥ {

، gggg، ب ، حـ ا) : ، ب ، حـ ا( { = � � � } حـ ب ا ، �

��: أوجد عدد عناصر كل من �� ،

٥ ٦

٤ ٤ ٧

نننن

٤ – ن ن ن ن ١٥ نننن

٤

رررر

٥ + نننن ٤

٣ + نننن ٤

٤ + نننن ٤

٣ – ن ن ن ن

٤ رررر – ١٠

٤

٨١ ٩

٣ + ن ن ن ن

٤ نننن

٤٠ ٨٠

٥٠ ١٠٠

مممم – ن ن ن ن ٤

مممم ٥ – ن ن ن ن �

٣ – ن ن ن ن

٤ ٥ ٣

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

٥ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

ــقالتوافيــــــ : التوافيق

ھو كل مجموعة تتكون من كل أو بعض ا@شياء بصرف النظر عن ترتيب عناصر ھذه المجموعة

:الفرق بين التباديل و التوافيق

: إذا كانت � � � � = }٧ ، ٥ ، ٤ ، ٣ {

= عدد التباديل : و أردنا تكوين عدد مكون من ث_ثة أرقام فإن * ٤ �� = � × ٣ × ٤ = ٣ل ل ل ل

٣٥٧ يختلف عن ٧٣٥ يختلف عن ٧٥٣اqھتمام بالترتيب الذى نختار به ا@شياء فالتبديل : مع م_حظة

فك_ منھا يعطى عددا مخالفا عن اJخر برغم أن ك_ منھا يتكون من نفس ا@رقام

مجموعات جزئية من ھذه المجموعة بحيث كل منھا يتألف من ث_ثة عناصر فإنھا إذا أردنا تكوينأما *

} ٧ ، ٥ ، ٤{ ، } ٧ ، ٥ ، ٣{ ، } ٧ ، ٤ ، ٣{ ، } ٥ ، ٤ ، ٣{ : تكون

} ٤ ، ٣ ، ٥{ ھو نفسه اqختيار }٥ ، ٣ ، ٤{ ھو نفسه اqختيار }٥ ، ٤ ، ٣{ أن اqختيار: مع م_حظة

أى عدم اqھتمام بالترتيب و تكون ا@ھمية فقط لمجموعة ا@شياء التى تختار

: الع_قة بين التباديل و التوافيق

نننن قققق

رررر = =

gggg نننن ،طططط gggg رررر ، نننن رررر : حيث +

: م_حظات

ر ر ر ر = عدد عوامل المقام = عدد عوامل البسط ) ١ (

ر ر ر ر و فى المقاقم نبدأ بالعدد ن ن ن ن فى البسط نبدأ بالعدد ) � (

: ثالم

شخصا ١١ أشخاص من بين ٤ بكم طريقة يمكن تكوين لجنة مكونه من

الحلـــــــــــــــ

�حظ عدم اqھتمام بترتيب ا@شخاص فى اللجنة التى نختارھا لذا فإن ھذه اللجان ھى توفيقات

BBBB عدد ط_ق إختيار اللجان =١١ ٣٣٠ = = = ٤ قققق

: قوانين التوافيق

)١( نننن قققق

رررر: فمث_ =

١٥ قققق

رررر =

)�( نننن قققق

رررر = نننن قققق

رررر –ن ن ن ن ) تسمى التوفيقتان متكاملتين " ( قانون التبسيط "

: فمث_ ١٦١٣ قققق

= ١٦ ٥٦٠= = ٣ قققق

، نننن قققق

٣ –ن ن ن ن = نننن = ٣ قققق

)٣( نننن ققققنننن

= نننن ، ١ = ٠ قققق

نننن نننن = ١ قققق

: فمث_ ١٦١٦ قققق

= ١٦ ، ١ = ٠ قققق

١٦ ١٦= ١ قققق

ر ر ر ر

ننننللللرررر

)١+ ر ر ر ر – نننن ( × ٠٠٠٠ ) � – نننن ( ) ١ – نننن (نننن

١ × � × ٣ × ٠٠٠٠ ) � – ر ر ر ر ( ) ١ – رررر (رررر

٤

١١ ٨ × ٩ × ١٠ × ١١ ٤لللل

١ × � × ٣ × ٤

رررر –ن ن ن ن ر ر ر ر

ن ن ن ن

رررر – ١٥ ر ر ر ر

١٥

١٤ × ١٥ × ١٦

١ × � × ٣

)� – نننن ( ) ١ – نننن (نننن

١ × � × ٣

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

٦ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

: إذا كان )٤( نننن قققق

رررر = نننن ھـ + رررر= ن ن ن ن ؛ اھـ = رررر: فإن ھـ قققق

: فمث_

: إذا كان )١( نننن١٠ قققق

= نننن ١٥ = ٥ + ١٠= ن ن ن ن : فإن ٥ قققق

: إذا كان )�( ١٦ققققرررر +٥

= ١٦قققق١٠ – ر ر ر ر�

: فإن

مرفوض ١٥= ر :و منھا ١٠ – رررر � = ٥ + رررر: إما

١٦ > �� = ١٥ + رررر: @ن

٧= ر : و منھا ١٦ = ١٠ – رررر � + ٥ + رررر : إما

: إذا كان )٣( ١٦ققققرررر +١

= ١٦قققق٤+ ر ر ر ر�

: فإن

مرفوض " سالب " ٣ –= ر :و منھا ٤+ رررر � = ١ + رررر: إما

مرفوض " كسـر " �!��! = ر : و منھا ١٦ = ٤+ رررر � + ١ + رررر : إما

: إذا كان )٤( ١٤ققققرررر +٦

= ١٤٣ قققق

رررر

: فإن

٣= ر :و منھا رررر ٣ = ٦ + رررر: إما

�= ر : و منھا ١٤= رررر ٣ + ٦ + رررر : إما

النسبة بين )٥( نننن قققق

رررر ، نننن قققق

رررر

– ١

=

: فمث_

= = �

: أمثلة

ر ر ر ر أوجد قيمة ��# : = إذا كان )١(

الحلــــــــــــــــــ

= =

BBBB = #�� BBBB رررر ٣ = رررر ٥ – ٤٠

٥ = ر ر ر ر: و منھا

نننن قققق

رررر

نننن قققق

رررر

– ١

١ + رررر – نننن رررر

١٧ ٦ قققق

١٧٥ قققق

١ + ٦ –١٧

٦

٧ قققق

رررر

٧١ – رررر قققق

٧ قققق

رررر

٧١ – رررر قققق

١ + رررر – ٧ رررر

رررر – ٨رررر

رررر – ٨

رررر

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

٧ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

: إذا كان )�( نننن قققق

رررر = �� ،

ننننل ل ل ل رررر

رررر ، ن ن ن ن: أوجد قيمة كل من ���=

الحلــــــــــــــــــ

AAAA نننن قققق

رررر =

BBBB �� =BBBB = )��@��!� =١ × � × ٣ = ٦ =

BBBB ٣ = ر ر ر ر

، AAAA ننننل ل ل ل رررر

=���

BBBB نننن = ٤ × ٥ × ٦ = ٣ل ل ل ل

٦ ٣ل ل ل ل

BBBB ٦ = نننن

: ك أوجد قيمة ومن ذل = : أثبت أن )٣(

الحلــــــــــــــــــ

AAAA نننن قققق

رررر) = = ١(

، ١ –نننن

قققق رررر

– ١ = )�(

:ينتج ) ١(على ) �( بقسمة

BBBB =

، = ^��#�� =٣

ر ر ر ر

ننننللللرررر

ر ر ر ر

��� ٣ رررر

نننن قققق

رررر

١ –نننن قققق

رررر

– ١

نننن

رررر

نننن قققق

رررر

١ –نننن قققق

رررر

– ١

رررر –ن ن ن ن ر ر ر ر

١ –ن ن ن ن ن ن ن ن ن ن ن ن

رررر –ن ن ن ن ١ – رررر رررر

١ –ن ن ن ن

رررر –ن ن ن ن ١ – رررر

نننن

رررر

٣٦ �� قققق

٣٥١١ قققق

٣٦ �� قققق

٣٥١١ قققق

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

٨ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

)� ( تمــــارين

: إذا كان ) ١(نننن =٧ قققق

نننن : أوجد قيمة ٥ قققق

نننن١٠ قققق

: إذا كان ) � (١٥ قققق

رررر=

١٥ رررر: أوجد قيمة ٦ قققق

: إذا كان ) ٣ ( ��

٥ – رررر ٣ قققق =

��

رررر: أوجد قيمة رررر � قققق

: إذا كان ) ٤( نننن ققققنننن

نننن: أوجد قيمة ٣٦ = � –

: إذا كان ) ٥ (نننن قققق

رررر = ننننل ل ل ل رررر

رررر: أوجد قيمة

: إذا كان ) ٦ (نننن : ٤ قققق

� –نننن نننن: أوجد قيمة �: ٧ =٣ قققق

: إذا كان ) ٧ (نننن : ٥ قققق

نننن نننن: أوجد قيمة ٥ : ٨ = ٤ قققق

: إذا كان )٨ (١٥ ١ – ر ر ر ر� قققق

= ١٥ قققق

٤ + رررر: أوجد قيمة

١٥ قققق

رررر

: إذا كان )٩ (��

ق ق ق ق رررر

= ��٣ + ر ر ر ر� قققق

، ننننل ل ل ل رررر

: أوجد قيمة ��� =

: إذا كان )١٠ (نننن: أوجد قيمة ��= ، ١٥ = � قققق

١+ ن ن ن ن قققق

رررر

+١

، ���: = إذا كان )١١ (نننن قققق

رررر : نننن قققق

١ –رررر: أوجد قيمة ٤ : ٣ =

ن ن ن نل ل ل ل رررر

: إذا كان )�� ( نننن: أوجد قيمة ���= ، �� = �لللل

ن ن ن ن قققق

رررر

+٣

٥: إذا كان )١٣ (نننن �� = ٦ قققق

نننن : أوجد قيمة ٤ قققق

٣ –نننن ٣ل ل ل ل

: = إذا كان )١٤ (٥ ×� قققق

٩ نننن: أوجد قيمة �ل ل ل ل

= : أثبت أن )١٥ (

: و من ثم أوجد قيمة

نننن: و من ذلك أوجد قيمة : =أثبت أن )١٦ (

��& : = إذا كان

: أثبت أن )١٧ (ننننقققق ١ – رررر

: ١ +نننن

قققق رررر

التى تحقق نننن ثم أوجد قيمة ١ + نننن : ر ر ر ر =

: المعادلة ١ +نننن ٣

قققق نننن

= ^��!� نننن ٣

قققق١ – نننن

: أثبت أن )١٨ (١+٠قققق

� +١قققق

٣+ ٠٠٠ +� قققق

١ –نننن قققق

نننن

– � + نننن قققق

نننن

– ١

نننن ) + ١ – نننن + ( ٠٠٠ + ٣ + � +١ =

رررر – ن ن ن ن ٤

رررر – ن ن ن ن

ن ن ن ن

رررر – ن ن ن ن ٤

ن ن ن ن

ر ر ر ر– نننن

رررر

نننن قققق

رررر –

١ –نننن قققق

رررر

– ١

نننن قققق

رررر

١٠٠١٠٠ قققق

–

–

٩٩٩٩ قققق

١٠٠١٠٠ قققق

نننن قققق

رررر + نننن قققق

رررر

+ ١

نننن قققق

رررر

١ + نننن ١ + رررر

نننن + ٨ قققق

ن ن ن ن٩ قققق

نننن ٨ قققق

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

٩ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

نظرية ذات الحدين : نعلم أن

)ب + ا ( �

ا = �

ب+ ب ا � + �

)ب + ا( ، ٣ا=

٣ا ٣ +

� با ٣ + ب

�ب +

٣

)ب + ا( ، ٤

ا= ٤

ا ٤+ ٣ا ٦ + ب

� ب

� ب ا ٤ +

٣ب +

٤

:عام_ت المفكوك ا@خير ھى و ن_حظ أن م

١ = ٤ = ٤ ، ٠قققق

٤ = ٦ ، ١قققق

٤ = ٤ ، �قققق

٤ = ١ ، ٣قققق

٤ ٤قققق

: نظرية ذات الحدين

: عدد صحيح موجب فإن نننن ، ب عددين حقيقيين ، ا: إذا كان

)ب + ا (نننن

= ننننا ٠قققق

ن ن ن ن +

نننن ا١قققق

١ – ن ن ن ن + ب

نننن ا�قققق

١ – ن ن ن ن ب

� +٠٠٠٠٠ +

ننننقققق

ر ر ر ر ا

ر ر ر ر – ن ن ن ن برررر

+ ٠٠٠٠٠ + ننننقققق ن ن ن نب

نننن

: حيث

١ + نننن= عدد حدود المفكوك ) ١ (

١ب تتزايد بالتدريج بمقدار " قوى " أسس ، ١ تتناقص بالتدريج بمقدار ا " قوى " أسس ) � (

ن ن ن ن ، ب فى أى حد يساوى ايكون مجموع أسى : بحيث

: تدريبات

)ص + ( أوجد مفكوك ) ١( ٧

التنازلية حسب قوى

الحلــــــــــــ

) + ص(٧

= ٧ ٠قققق

٧ +

٧١قققق

٦+ ص

٧ �قققق

٥ ص

� +

٧ ٣قققق

٤ ص

٣

+ ٧ ٤قققق

٣ ص

٤ +

٧ ٥قققق

� ص

٥ +

٧ ص ٦قققق

٦ +

٧ ص٧قققق

٧

= ٧

ص + + ٧

"أكمل "

)ص � + ٣( أوجد مفكوك ) �( ٥

التنازلية حسب قوى

الحلــــــــــــ

: و نتائج ت_م_حظ

) ب – ا( ]١[ نننن

ا = ن ن ن ن

– نننن ا١قققق

١ – ن ن ن ن + ب

نننن ا�قققق

١ – ن ن ن ن ب

� –

ننننا٣قققق

٣ – ن ن ن ن ب

٣ ٠٠٠٠٠

+ ننننقققق

ر ر ر ر ا

ر ر ر ر – ن ن ن ن )ب –(

رررر )ب –( + ٠٠٠٠٠ +

نننن

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

١٠ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

)ص � – (أوجد مفكوك : تدريب٨

الحلــــــــــــ

: عدد صحيح موجب فإن ن ن ن ن ، �������� gggg: إذا كان ]�[

) ١ +( نننن

= ١ +نننن + ١قققق

نننن �قققق

� +٠٠٠ +

ننننقققق

ر ر ر ر

رررر + ٠٠٠٠ +

ننننقققق ن ن ن ن

نننن

، ) ١– ( نننن

= ١ – نننن + ١قققق

نننن �قققق

� +٠٠٠ +

ننننقققق

ر ر ر ر )– (

رررر + ٠٠٠٠ +

ننننقققق ن ن ن ن)– (

نننن

)ص � + ١ (أوجد مفكوك : تدريب٦

الحلــــــــــــ

)٣ – ١ (أوجد مفكوك : تدريب٥

الحلــــــــــــ

)١.٠٣ (: بإستخدام نظرية ذات الحدين أوجد قيمة : تدريب٩

، ) ٠.٩٧( ٨

مقربا الناتج لث_ثة أرقام عشرية

الحلــــــــــــ

) ١.٠٣( ٩ =) ٠.٣ + ١(

٩ =١ +

٩+ ) ٠.٣ ( ١قققق

٩ )٠.٣ ( �قققق

� +

٩ )٠.٣ ( ٣قققق

٣ +٠٠٠٠

=

) ١.٠٣( ٨

= ) ٠.٣ – ١( ٨

= ١ – ٨ ) +٠.٣ ( ١قققق

٨ )٠.٣ ( �قققق

� –

٨ )٠.٣ ( ٣قققق

٣ +٠٠٠٠

=

"أكمل "

)+ ١ (جميع الحدود فى مفكوكى المقدارين ]٣[نننن

،) ١– ( نننن

متساوية عدديا و لكن الحدود الزوجية

) –١ ( الرتبة فى المفكوك نننن

: سالبة و لذا يكون

لفردية الرتبة فى المفكوك ا@ول ضعف الحدود ا= مجموع المفكوكين

٣ ح ح ح ح+ ١حححح ( � = ٥ ح ح ح ح+

+ ٠٠٠٠(

ضعف الحدود الزوجية الرتبة فى المفكوك ا@ول = الفرق بين المفكوكين

٤ ح ح ح ح+ �حححح ( � = ٦ ح ح ح ح+

+ ٠٠٠٠(

) / ��[ + ١ (: ر المقدار إختص : تدريب٥

+ ) ١ – ]�� / ( ٥

٥ = : ثم اوجد قيمة الناتج عندما

الحلــــــــــــ

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

١١ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

) ب + ا(ى مفكوك الحد العام فنننن

:

: نعلم أن

)ب + ا( نننن

= ننننا ٠قققق

ن ن ن ن +

نننن ا١قققق

١ – ن ن ن ن + ب

نننن ا�قققق

١ – ن ن ن ن ب

� +٠٠٠٠٠ +

ننننقققق

ر ر ر ر ا

ر ر ر ر – ن ن ن ن برررر

+ ٠٠٠٠٠ + ننننقققق ن ن ن نب

نننن

: و بالتالى نجد أن

٤ حححح =

نننن ٣قققق

ا٣ – ن ن ن ن

ب٣ =

نننن ٣قققق

ب ٣

ا

٣ – ن ن ن ن

٧ حححح ، =

نننن ٦قققق

ب ٦

ا

٦ – ن ن ن ن ٣٥ حححح ،

=نننن ٣٤قققق

ب ٣٤

ا

٣٤ – ن ن ن ن

١ + ر ر ر ر حححح ، =

ننننقققق

ر ر ر ر برررر

ا

رررر – ن ن ن ن ) ب + ا(فى مفكوك و ھو الحد العام

نننن

ن ن ن ن ، ٠٠٠٠ ، ٤ ، ٣ ، � ، ١= ر : حيث

١ + ر ر ر ر حححح: أى أن =

ننننقققق

ر ر ر ر)الثانى (

رررر

)ا@ول (

رررر – ن ن ن ن

: تدريبات

٣ (الحد السادس فى مفكوك أوجد ) ١( � – (

٩

الحلــــــــــــ

٦ حححح =

نننن) الثانى ( ٥قققق

٥

)ا@ول (

٥ – ن ن ن ن =

٩ ) – ( ٥قققق

٥

) ٣

� ( ٥ – ٩

"أكمل "

=

(إذا كان الحد التاسع فى مفكوك ) �( � –

– � (

١١

الحقيقية أوجد قيم ١٦٥ يساوى

الحلــــــــــــ

AAAA ٩ حححح = ١٦٥ BBBB

١١– (٨قققق

– � ( ٨

) �

( ٣

= ١٦٥

BBBB ١١ ×٣قققق

– ١٦ ×

٦ = ١٦٥ BBBB " أكمل"

)+ ١ (فى مفكوك ) ٣( نننن

٥ حححح التصاعدية إذا كان معامل حسب قوى ٩ حححح يساوى معامل

أوجد

٤ حححح ، إذا كان نننن قيمة أوجد قيمة �%�� % فى ھذا المفكوك يساوى

الحلــــــــــــ

AAAA ١ + ر ر ر ر حححح =

ننننقققق

ر ر ر ر

رررر

BBBB ١ + ر ر ر ر حححح معامل

=ننننقققق

ر ر ر ر

، AAAA ٥ حححح معامل ٩ ححححمعامل =

BBBB BBBB نننن =

، AAAA ٤ حححح = % ��%� BBBB

�� × ٣قققق

٣ "أكمل " �%��% =

BBBB

� ٣

� ٣

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

١٢ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

: qيجاد الحد ا@وسط أو الحدين ا@وسطين فى مفكوك ذات الحدين

)ب + ا(لحدود فى مفكوك عدد ا: نعلم أن نننن

: حدا لذا ھناك حالتين ھما ١+ ن ن ن ن =

١+ واحد ترتيبه أوسط حد يوجد زوجية نننن: إذا كانت ) ١(

، فردية يوجد حدان أوسطان ترتيبھما ھما نننن: إذا كانت ) � (

: تدريبات

٣ (إذا كان الحد ا@وسط فى مفكوك )١( � + (

٨ أوجد قيم ���� يساوى

الحلــــــــــــ

AAAA ٨= ن ن ن ن BBBB ٥ = ١+ ��* = للمفكوك حد أوسط ترتيبه

BBBB ٥ حححح =

٨ × ٤قققق

( ) ٤

× )٣ �

( ٤

"أكمل " ���� =

BBBB

+ ١ (كانت النسبة بين الحدين ا@وسطين فى مفكوك إذا ) �( (

��

ة أوجد قيم٥: ١كنسبة

الحلــــــــــــ

١٤ حححح أى ، : رتبا الحدين ا@وسطين ھما ١٥ حححح ،

BBBB ١٤ حححح

١٥ حححح : "أكمل " ٥ : ١ =

BBBB

+ ١( فى مفكوك )٣( (

٨ الحد السادس معامل ن بي التصاعدية أوجد النسبة حسب قوى

الحد ا@وسط معامل و

الحلــــــــــــ

٦ حححح معامل =

٨ ٥قققق

٥ حححح أى الحد ا@وسط ھو ٥= رتبة الحد ا@وسط "أكمل "

BBBB

نننن�

١+ ن ن ن ن �

٣+ ن ن ن ن �

� ٣

� ٣

�� +١

�

�� +٣

�

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

١٣ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

على إيجاد الحد المشتمل

كككك : مفكوك ذات الحدين

: الخطوات

نفرض أن الحد المشتمل على ) ١ (

كككك١ + ر ر ر ر حححح ھو الحد العام

١ + ر ر ر ر ححححنوجد ) � ( فى أبسط صورة

نضع أس ) ٣ ( ١ + ر ر ر ر حححح فى

يكون ورررر لنحصل على قيمة ككككيساوى

الحد المشتمل على كككك١ + ر ر ر ر حححح ھو

١ + ر ر ر ر حححح فى ر ر ر ر نعوض عن قيمة ) ٤ (الحد المشتمل على لنحصل على

كككك

: م_حظات

إذا كان المطلوب معامل * كككك١ + ر ر ر ر حححح فى معامل رررر نعوض عن

نضع أس إذا كان المطلوب إيجاد الحد الخالى من * ١ + ر ر ر ر حححح فى

يساوى الصفر

رررر لنحصل على قيمة

كسرية أو سالبة فإن المفكوك � يحتوى على ررررإذا كانت قيمة * كككك

: تدريبات

تمل على أوجد الحد المش ) ١(

٨ � ( فى مفكوك

� + (

١٠

الحلــــــــــــ

نفرض أن الحد المشتمل على

٨١ + ر ر ر ر حححح ھو الحد العام

BBBB ١ + ر ر ر ر حححح "أكمل " =

BBBB = ر ر ر ر: و منھا ٨ =

BBBB الحد المشتمل على

٨ ھو

أوجد الحد الخالى من ) �( فى مفكوك ) � + (

١٥ أن ھذا المفكوك و بين

� يحتوى على حد يشتمل ٥

الحلــــــــــــ

AAAA ١ + ر ر ر ر حححح =

١٥ققققرررر

( ) رررر

) � ( ١٥ –

رررر

"أكمل = "

= رررر: صفر و منھا : = نضع

BBBB الحد الخالى من ھو BBBB الحد الخالى من =

= رررر: و منھا ٥: = نضع

BBBB يوجد حد يشتمل على � ٥

١

١

�

١

�

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

١٤ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

: السابق له مباشرة فى مفكوك ذات الحدينالنسبة بين أى حد و الحد

= ×

: م_حظات

�حظ الفرق بين ) ١ (نننن قققق

رررر :

نننن قققق

رررر

– ١١ + ر ر ر ر حححح ،

ر ر ر ر حححح: : حيث

=

فبينما نننن : ٩ قققق

نننن ٨ = رررر: تكون ٨حححح: ٩حححح أما ٩ = رررر: تكون ٨ قققق

: النسبة بين معاملى حدين متتاليين فى مفكوك ذات الحدين ھى ) � (

= ×

: تدريبات

) ص ٤ – ٣ (فى مفكوك ) ١( ١٠ ٤حححح: ٥حححح أوجد

الحلــــــــــــ

"أكمل " = × =

) ٣ + ١( فى مفكوك ) �( نننن

٥ : ١٨ كنسبة ٥حححح إلى معامل ٧حححح إذا كانت النسبة بين معامل

نننن أوجد قيمة

الحلــــــــــــ

= × = *��!�

BBBB × ٣ × × ٣ = *��!�

BBBB ) ٤ –ن ن ن ن ) ( ٥ – نننن = ( ��

BBBB – ن ن ن ن

٤ "أكمل " = �ل ل ل ل

نننن قققق

رررر

نننن قققق

رررر

– ١

١ + رررر – نننن رررر

الثانى ا@ول

١ + ر ر ر ر حححح

ر ر ر ر حححح

١ + رررر – نننن رررر

١ + رررر – نننن رررر

الثانىمعامل

ا@ولمعامل

١ + ر ر ر ر ححححمعامل

ر ر ر ر ححححمعامل

٥حححح

٤حححح

١ + ٤ – ١٠ ٤

ص ٤ –

٣

٧ ححححمعامل

٥ححححمعامل

٧ ححححمعامل

٦ححححمعامل

٦ ححححمعامل

٥ححححمعامل

١ + ٦ – نننن

٦ ١ + ٥ – نننن

٥

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

١٥ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

) ٣ ( تمــــارين

)ب + ا(فى مفكوك ) ١(١٠ و الحد الرابع ٨٠٦٤ التنازلية إذا كان الحد ا@وسط يساوى ا حسب قوى

ب ، ا من أوجد قيمة كل الحد الخامس ��@ يساوى

) + ١( إذا كان) �( ن ن ن ن

ا + ١ = ١

+ ا� �ا +

٣

٣ا+ ٠٠٠٠ +

ن ن ن ن نننن

ا ( �: التى تحقق الع_قة ن ن ن ن أوجد قيمة ٩

ا + ٨

ا ١٣ ) = ٧

) + ا: ( إذا كان ) ٣ (��حـ=

٠حـ+

١ + حـ�

� حـ+

٣

٣حـ + ٠٠٠٠ +

�� ��

حـ ( ١١: و كان ١

حـ٩ ) = �حـ + ٣

ا أوجد قيمة

) – ١( أكتب مفكوك ) ٤ ( ن ن ن ن

: التصاعدية ثم أثبت أن حسب قوى

٨ + ٠قققق

٨ + �قققق

٨ + ٤قققق

٨ + ٦قققق

٨ = ٨قققق

٨ + ١قققق

٨ + ٣قققق

٨ + ٥قققق

٨ ٧قققق

)( + فى مفكوك لخالى من أوجد رتبة الحد ا )٥ (��

و إذا كانت النسبة بين ھذا

أوجد قيمة ٧ : ١٥ الحد و الحد و الحد ا@وسط كنسبة

) ��! – �( فى مفكوك ) ٦ (�� إذا كان مربع الحد الرابع يساوى حاصل ضرب الحدين الثالث و السادس

أوجد قيمة

التى تجعل الحدين ا@وسطين فى مفكوك عدد صحيح موجب أوجد قيمة ننننإذا كان ) ٧ (

)� +٣ (١ + نننن �

متساويين

)ص + �( إذا كانت الحدود الثانى و الثالث و الرابع فى مفكوك ) ٨ ( ن ن ن ن

: ھى على الترتيب

ص ، ، نننن: أوجد قيمة كل من ٥ ، �� ، ٤٠

) + ١( إذا كانت ث_ثة معام_ت لحدود متتالية فى مفكوك ) ٩ ( ن ن ن ن

٤٩٥ ، ��� ، ٦٦ ھى

و ما رتب ھذه الحدود نننن على الترتيب فما قيمة

) / ��[ + ا( أوجد مفكوك ) ١٠ (نننن �

) / ��[ – ا + ( نننن �

أعداد صحيحةنننن ، ، ا حيث

: عدد زوجى ثم أوجد الحد ا@وسط لھذا المفكوك فى أبسط صورة ، و إذا كان نننن موجبة ،

٥ھذا المفكوك يقبل القسمة على أثبت أن �� = ، ٥ = ا

( مفكوك فى) ١١ (�

+ !�� – ١

( ١٠

معامل : أوجد ٠ : حيث ٥

،

ثم أثبت أن ھذا المفكوك � يحتوى على حد خال من ��@��* = التى تجعل الحد ا@وسط قيمة

أوجد الحد المشتمل على ) �� (٤

( فى مفكوك �

– – �

(��

التنازلية ثم حسب قوى

أوجد النسبة بين معامل ھذا الحد و الحد ا@وسط

(فى مفكوك ) ١٣ (كككك

+ – ١

(٨

التى تجعل للمفكوك حدا عدد صحيح موجب أوجد قيم حيث

ط @كبر قيم و معامل الحد ا@وس ثم أوجد النسبة بين الحد الخالى من يا من ل خا

)٣+ �( فى مفكوك ) ١٤ ( ١٥

أوجد قيم ٥حححح +٣حححح١٣ = ٤حححح١٠: التنازلية إذا كانحسب قوى

( فى مفكوك) ١٥ (٣ ا+

– ١(

٨ إذا كان معامل

١٦ ا أوجد قيم يساوى الحد الخالى من

�

�

�

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

١٦ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

ا@عداد المركبة : نعلم أن

: جموعة حل المعادلة م�

}١ – ، ١{ ھى �������� فى ١ =

: أما المعادلة �

�������� ليس لھا حلول فى ١ – =

: العدد التخيلى ت

ت: إذا فرض أن �

: المعادلة : فإن ١ – = �

: تصبح ١ – = �

ت = �

} ت –ت ، { = مجموعة الحل : أى أن ت = : و بالتالى

�������� hhhhت : مع م_حظة أن

: تدريب

: أوجد مجموعة حل المعادلة �

= – ١٦

الحلـــــــــ

: خواص العدد ت

ت ، / ١[= ت �

ت، ١ – = ٣

ت، ت – = ٤

=١

ت ، ٥

ت ، ت = ٦

ت، ١ – = ٧

ت، ت – = ٨

و ھكذا ١=

: و بصفة عامة فإن

تنننن٤

ت ، ١ = ١+ نننن٤

ت ، ت = + نننن٤

�

ت، ١ – = ٣+ نننن٤

ت – =

و ھكذا ١= ت ، = ، ١ –= ت ، – = ،

: تدريب

ت: ضع فى أبسط صورة ١٣

، ت٤٤

، ت٥٠

، ت٧٥

الحلـــــــــ

: مجموعة ا@عداد المركبة

�������� gggg ، ص : حيث " ت ص + " العدد المركب ھو ما كان على الصورة

ت، �

بالجزء الحقيقى ، ت ص بالجزء التخيلى ، يسمى ١ – =

: أمثلة @عداد مركبة

ت ٦ + ١٣ ، ٤ – ت ٥ ت ، – ٣

: م_حظات

= : فإن ٠= ص : ت ص إذا كان + = فى العدد المركب ) ١(

و يقال أن العدد حقيقى صرف

ت ص = : فإن٠ = : ت ص إذا كان + = فى العدد المركب )�(

و يقال أن العدد تخيلى صرف

١

ت

١

ت�

١

ت٣

١

ت٣

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

١٧ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

آآ تعربف مجموعة ا@عداد المركبة : ����آآ

آآ ت، �������� gggg ، ص : ت ص + { = ����آآ�

= – ١ {

: تدريب

: أوجد مجموعة حل المعادلة �

+ + ٠ = ١

الحلـــــــــــ

AAAA ١= ، حـ ١= ، ب ١ = ا

، =

BBBB " = أكمل"

: تساوى عددين مركبين

ت ص + ١: لمركبين يقال للعددين ا١

، � + أنھما متساويان إذا كان �ت ص :

١ = ص� ، ١

�ص =

: م_حظة

٠= ، ص ٠ = : فإن ٠= ت ص + : إذا كان

: تدريب

، ص : أوجد قيمة كل من ٠ = ت ) ١+ ص ) + ( ٤ – (: إذا كان

الحلـــــــــــ

: مجموع عددين مركبين

ت ص + ١: يعرف مجموع العددين المركبين ١

، � + بالعدد المركب �ت ص :

١ + � ) + ص١

ت ) �ص +

: تدريب

) ت + ٥( ) + ت ٤ – ٣: ( أوجد ناتج

الحلـــــــــــ

ب [ ب –� :::::::::::: :حـ: :ا: ٤: :–:

ا �

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

١٨ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

: حاصل ضرب عددين مركبين

ت ص + ١: يعرف حاصل ضرب العددين المركبين ١

، � + بالعدد المركب �ت ص :

) ١ � –ص ١

ص� + � ص١ ) + ( � ص١

ت )

: ) ١( تدريب

) ت + ٥ ( ) ت ٤ – ٣: ( أوجد ناتج

الحلـــــــــــ

: )�( تدريب

ت٧ = ٩ –) ت ٣ + ) ( ت –ص : ( ، ص الحقيقية التى تحقق المعادلة أوجد قيم

الحلـــــــــــ

: خواص جمع و ضرب ا@عداد المركبة

ت ص + ١= ١: بفرض أن كل من ١

، � = � + ت ص� ، ٣ = ت ص + ٣٣ gggg آآ � � � � آآ

آآعملتيى الجمع و الضرب فى : اqبدال ) ١( : إبدالية أى أن � � � � آآ

١ + � = � + ١ ، ١ � = � ١

آآفى عملتيى الجمع و الضرب : الدمج )�( : دامجة أى أن � � � � آآ

) ١ + � + ( ٣ = ١ ) + � + ٣(

، )١ � ( ٣ = ١ ) � ٣(

: العنصر المحايد ) ٣(

آآ العنصر المحايد الجمعى فى ١ + ٠ = ٠ + ١: ھو الصفر أى أن ����آآ

آآ العنصر المحايد الضربى فى ١ × ١ = ١ × ١: ھو الواحد أى أن � � � � آآ

: المعكوس ) ٤(

ت ص + ١= ١: المعكوس الجمعى للعدد ١

ت ص– ١ –= ١– ھو ١

صفر ) = ١– + ( ١: أى أن

ت ص + ١= ١: المعكوس الضربى للعدد ١

) ١( ھو – ١

: حيث " "

) ١ ( – ١

ت – =

١) = + (١: أى أن

١ ١

١ ١

١

١ �ص +

١

�

ص١

١ �ص+

١

�

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

١٩ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

: توزيع الضرب على الجمع ) ٥(

١ ) � + ٣ = ( ١ � + ١ ٣

) ١ + � ( ٣ = ١ ٣ + � ٣

: طرح ا@عداد المركبة

ت ص + ١= ١: إذا كان ١

، � = � + ت ص� gggg آآ � � � � آآ

ص + ( � – ١ ) = � – + ( � = ١ – ١: فإن ١ ت ) � ص–

: ا@عداد المركبةقسمة

ت ص + ١= ١: إذا كان ١

، � = � + صت � gggg آآ � � � � آآ

) ( × � = ١ ÷ ١: فإن

" يمكن تعريف القسمة بطريق أخرى بعد تعريف العددان المركبان المترافقان "

: عدد المرافق لعدد مركبال

آآ ggggت ص + = : إذا كان � � � � آآ

ت ص يسمى مرافق العدد – = العدد المركب : فإن

: فمث_

ت ٦ + ٥ ت ھو ٦ – ٥مرافق العدد ت ، ٤ – ٣ ت ھو العدد ٤ + ٣ مرافق العدد

ت ٣ – ت ھو ٣ ، مرافق العدد ٤ ھو العدد ٤ ، مرافق العدد ٧ – ت ٣ –العدد ھو٧ – ت ٣ العدد مرافق

: خواص العددان المترافقان

ضعف الجزء الحقيقى @حدھما= حقيقى مجموع عددين مترافقين ھو عدد ) ١(

: فمث_

٦= ت ٤ – ٣+ ت ٤ + ٣

الفرق بين الجئين الحقيقى و التخيلى= حقيقى عددين مترافقين ھو عدد حاصل ضرب) �(

: فمث_

ت١٦ – ٩ = ) ت ٤ – ٣ )( ت٤ + ٣( �

= ١٦ + ٩ = ١ – × ١٦ – ٩ = ��

مجموع مرافقيھما = المرافق لمجموع عددين مركبين ) ٣(

: مث_ ف

ت ١٠ + ٨ = � + ١: ت فإن ٦ + ٥ = � ت ، ٤ + ٣ = ١: إذا كان

BBBB ١ + � = ت ١٠ – ٨ ، ١ + � = ت ١٠ – ٨= ت ٦ – ٥+ ت ٤ – ٣

BBBB ١ + � = ١ + �

حاصل ضرب مرافقيھما مرافقيھما = ل ضرب عددين مركبين المرافق لحاص) ٣(

: فمث_

ت ٦ + ٥ = � ت ، ٤ + ٣ = ١: إذا كان

ت ٣٨ + ٩ – = ت ) �� + ١٨ ) + ( �� – ١٥) = ( ت ٦ + ٥ )( ت٤ + ٣( = � ١: فإن

BBBB ١ � = – ت٣٨ – ٩

،١ � ) = ت٣٨ + ٩ –) = ت ٦ – ٥)( ت ٤ – ٣

BBBB ١ � = ١ �

١ �

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

٢٠ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

: تعريف آخر لقسمة عددين مركبين

ت ص + ١= ١: إذا كان ١

، � = � + ت ص� gggg آآ � � � � آآ

=× : = فإن

عند قسمة عدد مركب على آخر نضرب ك_ من المقسوم و المقسوم عليه فى مرافق المقسوم عليه : أى أن

: فمث_

: إختصر @بسط صورة

الحلـــــــــــــــ

ت + � = = = × =

: تدريبات

ت– ١: ( أوجد ناتج )١(١٣

( ٤

الحلـــــــــــــــ

ت– ١ ( ١٣

( ٤

) ت – ١ = ( ٤

) ت – ١ = [ ( �

[ �

=

) ت ٣ – �= ( ت ص + : ، ص التى تحقق المعادلة أوجد قيم )�( �

الحلـــــــــــــــ

+ ت٩+ ت �� – ٤= ت ص �

=

BBBB = ص ، =

٣: ت أوجد قيمة المقدار ٣ – � = : إذا كان ) ٣( � – � + ١

ــــــــــــــالحلـ

٣ �

) ت ٣ – � ( ٣ = �

"أكمل " =

= المقدار

: ، ص مترافقان ثم أوجد: أثبت أن = ، ص = : إذا كان ) ٤(

: قيمة المقدار �

+ � ص+ ص�

الحلـــــــــــــــ

= " أكمل"

= ص

�

+ � ص+ ص�

) = + ص( �

=

١

�

١

�

١

�

)ت ص + ١١

) ( � –ت ص � (

� �

�ص+ �

٥ ت – �

٥ ت – �

٥ ت – �

ت + � ت + �

)ت + � (٥

ت– ٤�

)ت + � (٥٥

١٣ ت – ٥

ت� + ٣ ت – ٥

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

٢١ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

آآ gggg: إذا كان ) ٥( : و كان � � � � آآ� – =أوجد قيم ٠ :

الحلـــــــــــــــ

ت ص – BBBB = ت ص + = : نفرض أن

BBBB) + ت ص(�

–) – ٠) = ت ص

BBBB �

+ � ص– ص ت �

= – ت ص

BBBB �

ص–�

= ) ١ ( ،� ص –= ص )�(

٠= ص + ص �) �( من

BBBB ص ) � + ٠ ) = ١

BBBB ؛ ا ٠= ص = – !�� : عن ) ١( بالتعويض فى

"أكمل " ��! – = ٠= ص

: مجموعة حل المعادلتين اJنيتين آ� آ� آ� آ� أوجد فى ) ٦(

� ت ٣+ ١ � = ت ٤ ت ، � + ٣ ١ – � =ت + ٦

الحلـــــــــــــــ

� ت ٣+ ١ � = ت �× بالضرب ) ١( ت � + ٣

BBBB ت ٤ ٦ – ١ � = – ت ٦ + ٤

) �(ت + ٦ = � – ١ ت ٤

"أكمل " ــــــــــــــــــــالطرح بــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

٢٢ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

) ٤ ( تمــــارين : ، ص التى تحقق المعادلة أوجد قيم ) ١(

) + ت ص(٤

– ٦ ) + ت ص(�

+ �� = ٠

: التى تحقق المعادلة ، ص أوجد قيم ) �(

) + ت ص(�

) ت – ١٨ ( �) = ت � + ٣ (

: ، ص التى تحقق المعادلة أوجد قيم ) ٣(

)ت ص + : ( ت ثم أثبت أن �= ص ) ت + ١ + ( ) ت – ١ ( ٨

= ١٦

: ص التى تحقق المعادلة ، أوجد قيم ) ٤(

) + ت ص(�

ت ٤ + ٣ – =

: ، ص التى تحقق المعادلة أوجد قيم ) ٥(

= + &��

: مركب أوجد مجموعة حل المعادلة عدد: إذا كان )٦ (

� ٠= ت + ٣+ )�+ ت ( –

)ت + ١: ( أحسب قيمة )٧ (٩

) ت – ١ + ( ٩

أوجد العددين١٣= ، حاصل ضربھما ٦= عددان مركبان مجموعھما )٨ (

: حقق المعادلة الذى يأوجد العدد المركب ) ٩ (� – =٠

: الذى يحقق المعادلة أوجد العدد المركب ) ١٠ (�

١ + ت � =

) + ( : الذى يحقق المعادلة أوجد العدد المركب ) ١١ (�

= ٠

/ /ص/ /ت/ /–/ ��// – [: ب ت أوجد + ا= / /ص/ /ت/ /+/ ��[: إذا كان )��(

ت� = : أثبت أن )١٣ ( ١ – نننن

: ثم أستخدم ذلك فى إيجاد قيمة

+ ت ص

ت– ١� + ت ص٣

ت + ١

) )ت + ١

نننن

) ت – ١( � – نننن

) ) ت – ١

٨٣

) ت + ١( ٨٥

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

٢٣ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

التمثيل البيانى ا@عداد المركبة

)أشكال أرجاند ( فى نظام إحداثى متعامد ) ، ص ( النقطة

ت ص + = : لعدد المركب تمثل ا

:تدريب

مثل ا@عداد المركبة اJتية على شكل أرجاند

ثم اذكر ماذا ت_حظ ؟

* ت ٤ + ٣ = ١

* � = ت ٤ – ٣

* ت ٤ – ٣ – = ٣

الحلـــــــــــــــ

: لمثلثية للعدد المركبالصورة ا

ت ص + = : إذا كان

: على شكل أرجاند فإن ) ، ص ( ا تمثله النقطة

: مقياس العدد

‘ ‘ حيث االذى يمثل طول و" ل " ھو العدد الحقيقى :

:@:ص: +: @[ = ل : سعة

االذى يمثل قياس الزاوية التى تصنعھا و " θθθθ" ھى العدد الحقيقى ) ( سع

qتجاه الموجب لمحور السينات حيث مع ا :θθθθ gggg ] ط � ، ٠ ]

: �حظ من الشكل

= = θθθθ ، حا = = θθθθ حتا

θθθθل حا = ، ص θθθθل حتا = : أى أن

" و ھى الصورة المثلثية للعدد المركب " )θθθθحا ت + θθθθحتا ( ل = ت ص + = : و بالتالى : مثال

ت – /�� �[ = : أوجد الصورة المثلثية للعدد المركب

الحلــــــــــ

AAAA = ]� ��/ ١ –= ، ص BBBB ل =]��� /+/ /�/ / = �

BBBB حتا θθθθ = حا ، θθθθ = – !�� BBBB θθθθ تقع فى الربع الرابع

BBBB θθθθ = ٣٣٠ = ٣٠ – ٣٦٠ =

BBBB = � ) حا + حتا(

١ ٠

١

٣

٣

٤

٤

٥

٥

٦

٦

�

�

-�

-�

-١ -١

-٣

-٣

-٤

-٤

-٥

-٥

-٦

-٦

� � � �

θθθθ

ص

)، ص ( ا

‘ ‘= ل ص

و

ل

]@ :+ :ص:@:

صل

ص

]@ :+ :ص:@:

]� ��/ �

ط١١

� ط١١�

ط١١

�

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

٢٤ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

: م_حظات

: تذكر الصور المثلثية لKعداد اJتية )١ (

) ت حا ط + حتا ط = ( ١ –، ) ٠ت حا + ٠حتا = ( ١

) ت حا + حتا = ( ت – ، ) ت حا + حتا = ( ت

: تذكر الصور اJتية )� (

) θθθθ – ط �( ت حا ) + θθθθ – ط �( حتا = θθθθ حا – θθθθ حتا *

) θθθθ – ط (ت حا ) + θθθθ – ط (حتا = θθθθ حا + θθθθ حتا – *

) θθθθ + ط (ت حا ) + θθθθ + ط (حتا = θθθθ حا – θθθθ حتا – *

) θθθθ –( ت حا ) + θθθθ –( حتا = θθθθ حتا + θθθθ حا *

) θθθθ + ( ت حا ) + θθθθ + ( حتا = θθθθ حتا + θθθθحا – *

) θθθθ + ( ت حا ) + θθθθ + ( حتا = θθθθ حتا – θθθθ حا *

) θθθθ –( ت حا ) + θθθθ –( حتا = θθθθ حتا – θθθθ حا – *

: تدريبات

ت ٥ – ، ٣: أوجد الصورة المثلثية لKعداد اJتية )١ (

الحلــــــــــ

٣ = ١ × ٣ = ٣ ×

× ٥ –= ت × ٥ –= ت ٥ –

"أكمل "

، –: لثية لكل من أكتب الصور المث) ت حا + حتا ( � = : إذا كان )� (

الحلــــــــــ

– = – � ) أكمل " ) ت حا – حتا – (�) = ت حا + حتا"

=

= � ) ت حا –حتا (

=

ط ٣ ط �

� ط�

ط�

ط�

ط ٣�

ط�

ط�

ط ٣�

ط ٣�

ط ٣�

ط ٣�

ط٣

ط٣

ط٣

ط٣

ط٣

ط٣

ط٣

ط٣

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

٢٥ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

المقياس و السعة لحاصل ضرب عددين مركبين

رج قسمتھما و لخا : تذكر ما يأتى

حا ب احا + حتا ب ا حتا) = ب – ا( حتا ) ١ (

حا با حا –حتا ب ا حتا) = ب + ا( حتا ) � (

حا ب ا حا –حتا ب ا حتا) = ب – ا( حا ) ٣ (

حا ب ا حا+ حتا ب ا حتا) = ب + ا( حا ) ٤ (

حتا حا � = احا ، احتا ا حا � = ا �حا ) ٥ (

حتا= ا �حتا ) ٦ (�حا – ا

�حتا = ااااحتا ، ا

� حا–

�

حتا � = �حتا �= ، ١ – ا

� – ١

حا � – ١ = � حا� – ١ = ، ا

�

: المقياس و السعة لحاصل الضرب و خارج القسمة

ل= ١: إذا كان ١

: فإن ) �θθθθت حا + �θθθθحتا ( �ل = �، ) θθθθ١ت حا + θθθθ١حتا (

* ١ � = ل١

) �θθθθت حا + �θθθθحتا ) ( θθθθ١حا ت + θθθθ١حتا ( �ل

ل= ١

] ) �θθθθ +θθθθ١( ت حا ) + �θθθθ +θθθθ١( حتا [ �ل

] ) �θθθθ – θθθθ١( ت حا ) + �θθθθ – θθθθ١( حتا [ = = *

: م_حظات

: فإن ) θθθθحا + θθθθحتا ( ل = : ذا كان إ

* �

ل = �

) θθθθ �حا + θθθθ �حتا (

] ) θθθθ –( ت حا ) + θθθθ –( حتا [ = *

* = حتا [ ل )– θθθθ + ( ت حا )– θθθθ ( [

: تذكر ما يأتى

: إشارات الدوال المثلثية

حا ، قتا موجبتين فقط : فى الربع الثانى ) �(جميع الدوال موجبة : لربع ا@ول فى ا) ١ (

حتا ، قا موجبتين فقط : بع فى الربع الرا) ٤( طا ، طتا موجبتين فقط : فى الربع الثالث ) ٣ (

: الدوال المثلثية بعض خواص

θθθθا تج= )θθθθ – ٩٠(جا) � ( θθθθ حا =) θθθθ – ٩٠(جتا ) ١(

θθθθ جا – ) = θθθθ+ ٩٠( جتا ) ٤ ( θθθθجتا ) = θθθθ+ ٩٠( جا ) ٣ (

θθθθ جتا – ) = θθθθ – ١٨٠(جتا ) ٦ ( θθθθجا = )θθθθ – ١٨٠(جا ) ٥(

θθθθ جتا – ) = θθθθ+ ١٨٠(جتا ) ٨ ( θθθθ جا – ) = θθθθ+ ١٨٠(جا ) ٧(

θθθθ جا – ) = θθθθ – ���(جتا ) ١٠ ( θθθθ جتا – ) = θθθθ – ���(جا ) ٩(

θθθθجا ) = θθθθ + ���(جتا ) �� ( θθθθ جتا – ) = θθθθ + ���(جا ) ١١(

θθθθجتا ) = θθθθ – ٣٦٠(جتا ) ١٤ ( θθθθ جا –) = θθθθ – ٣٦٠( جا ) ١٣( " θθθθجتا ) = θθθθ –(جتا " " θθθθ جا –) = θθθθ –(جا "

ا�

ا�

ا�

ا�

ا�

ا�

١ �

ل١

)θθθθ١ت حا + θθθθ١حتا ( ) �θθθθت حا + �θθθθحتا ( �ل

ل١

�ل

١

١ ل

: مع م_حظة أن

٩٠ =

ط = ١٨٠

��� =

ط �= ٣٦٠

ط�

ط ٣�

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

٢٦ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

:)١(مثال

أوجد ) ط ��%ا تت ح+ ط ��% ا ح ( ٥ = �، ) ط ��@ ت حا –ط ��@ حتا ( ٣= ١: إذا كان

١ � ، : الصورة المثلثية لكل من �

١

الحلـــــــــــــــــ

ط ��!+ ط ( ت حا ) + ط ��!+ ط ( حتا [ ٣ = )ط ��! ت حا –ط ��! حتا –( ٣= ١ [ (

) ط ��$ت حا + ط ��$ حتا ( ٣ =

� = ط ��!+ ط ��# ( ت حا ) + ط ��!+ ط ��# ( حتا [ ٥) = ط��!ت حتا – ط ��! حا ( ٥ [ (

) ط ��% ت حا + ط ��% حتا ( ٥ =

BBBB ١ � = ط ��% +ط ��$( ت حا ) + ط ��% +ط ��$( حتا [ ٥ × ٣ [ (

) ت حا ط + حتا ط ( ١٥) = ط ٣ت حا + ط ٣حتا ( ١٥ =

، �

) ] ط � –ط �� *(ت حا ) + ط � –ط �� *(حتا [ ٩) = ط ��$ × �ت حا + ط ��$ ×�حتا ( ٩= ١

)ط ��@ ت حا +ط ��@ حتا ( ٩=

:)�(مثال

:حيث ) θθθθ �ت حتا + θθθθ �حا ( ٦٥ = � ، ) θθθθ ت حا – θθθθ حتا ( ١٥= ١: إذا كان

θθθθ gggg[ !�� ط ��#، ط ] طا ، θθθθ = %��� � أوجد الصورة الجبرية للعدد =

الحلـــــــــــــــــ

حتا ( ١٥= ١ θθθθ – ت حا θθθθ = (حتا [ ١٥ ) � ط – θθθθ + ( ت حا ) � ط – θθθθ [ (

،� = حا ( ٦٥� θθθθ + ت حتا� θθθθ ( ] = حتا )!�� ط– � θθθθ + ( ت حا )!�� ط– � θθθθ [ (

BBBB = %��^�� ] ط ��!( حتا– � θθθθ – � ط + θθθθ + ( ت حا )!�� ط– � θθθθ – � ط + θθθθ [ (

) ]θθθθ + ط ��# ( –ت حا ) + θθθθ + ط ��# ( –حتا [ �!��# =

) ]θθθθ + ط ��#( ت حا – ) θθθθ + ط ��#( حتا [ �!��# =

) θθθθ ت حا + θθθθحتا ( �!��# =

) ت ��!��@ – � ���% ( �!��# =

ت٤ – ��% =

�

١

�

١

١٣ θθθθ ٥

– ��

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

٢٧ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

نظرية ديموافر

عددا نسبيا فإن ن ن ن ن : إذا كان :

) θθθθ ت حا + θθθθ حتا ( نننن

θθθθ ننننحا + θθθθ ننننحتا =

: م_حظة

: عدد صحيح موجب فإن كككك: حيث = ن ن ن ن : إذا كان

) ] ط رررر � + θθθθ( ت حا ) + ط رررر � + θθθθ( حتا = [ ) θθθθ ت حا + θθθθ حتا (

ت حا + حتا =

) ١ – كككك( ، ٠٠٠٠ ، ٣ ، � ، ١ ، ٠ = رررر: حيث

: ريبات تد

: أوجد مجموعة حل المعادلة )١ (٣

ك ك ك ك gggg: حيث ٠ = ١ +

الحلــــــــــ٣

) ت حا ط + حتا ط = ( ١ – ، ١ – =

BBBB ٣

)ت حا ط + حتا ط = ( BBBB ) ت حا ط + حتا ط = ( !��

BBBB = ١ ، ٠ = رررر: ت حا حيث + حتا ، �

"أكمل " ت + ��! = ت حا + حتا = BBBB ٠ = رررر: حيث : بوضع

= BBBB ٠ = رررر: حيث : بوضع

= BBBB ٠ = رررر: حيث : بوضع

BBBB مجموعة الحل =

)ت + /�� �[: ( أوجد الصور المثلثية للمقدار )� (@��

ت + /�� �[: الصورة المثلثية للمقدار نوجد الحلــــــــــ

ط ��! = θθθθ = B θθθθ ، حتا ��! = θθθθ ، حا � = /�/ /+/ ���[= ل

BBBB ]� ��/ + ط ��!ت حا + ط ��!حتا ( �= ت (

BBBB ) ]� ��/ + ت(�

) ط ��!ت حا + ط ��!حتا ( ٤ =

BBBB ) ]� ��/ + ت(@��

)ت حا + حتا ( :�[% =

"أكمل " ٤ ، ٣، � ، ١ ، ٠ = رررر: حيث

١

كككك

١ كككك ١

كككك

θθθθ + � ط رررر

كككك

θθθθ + � ط رررر

كككك

ط٣

ط٣

ط رررر � + ط٣

ط رررر � + ط٣

]� ��/ �

]� ��/ �

ط رررر � + ط ��!

٥ ط رررر � + ط ��!

٥

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

٢٨ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

الصورة ا@سية للعدد المركب

"صورة أويلر " ت ص + = : إذا كان

ل ھـ = : فإن θθθθت

� .���������ھـ عدد غير نسبى يساوى تقريبا : حيث

) + ١: ( من الع_قة و يعرف

٠٠٠٠ + + + + ١: أو من الع_قة

: مثال

ت على صورة أويلر + ١ = : ضع العدد المركب

الحلـــــــــ

AAAA = ت + ١BBBB = ١= ص ، ١

BBBB ل = ]@ :+ :ص:@: = ] ��� /+/ /�/ = ]� ��/

ط��! ا@ول وقيمتھا ھى تقع فى الربع θθθθ = B θθθθحا ، = θθθθحتا ،

B = ]� ��/ ھـ ط��!

ت

: تدريب

ھـ � = : لى الصورة الجبرية ضع ع ط��!

ت

الحلـــــــــ

: م_حظة

تطبق قوانين السس السابق دراستھا فى العمليات على الدوال ذات ا@سس المركبة

: مثال

ھـ: أثبت أن ط + ٤

ت

ھـ – ط –

ت

ھـ – ١= ٤

ـــــــالحلــ

ھـ= الطرف ا@يمن ٤

ھـ × ط

ت

ھـ – ط –

ت

ھـ = ٤

]) ط –( ت حا ) + ط –( حتا [ –) ت حا ط + حتا ط ( ×

ھـ = ٤

) حا ط –حتا ط ( –) ت حا ط + حتا ط ( ×

ھـ = ٤

× ) – ٠ – ١ – ( – ) ٠ + ١ (

ھـ– = ٤

+ ١

ھـ– ١ = ٤

الطرف ا@يسر =

←←←← ٠ ـ� ـــــــ ��ـــ

١

٣ ١

١ ١

� ١

١

]� ��/

١

]� ��/

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

٢٩ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

الجذرين التربيعين لعدد مركب ) θθθθحا + θθθθحتا ( ل = ت ص + = : إذا كان

: فــــإن !��

) = + ت ص( !��

ل = !��

)θθθθحا + θθθθحتا ( !��

= ]�� ) ت حا+ حتا ( �

١ ، ٠ = رررر: حيث

: مثال

ت /�� �[ � – �= : أوجد الجذرين التربيعين للعدد المركب

الحلـــــــــ

: نفرض أن : بالصورة الجبرية !��

) ت/�� �[ � – � = ( !��

= + بتربيع الطرفين ت ص

BBBB � – � ]� ��/ت = �

+ � ص– ص ت �

BBBB � ص–

� = �) ١ ( ،� ص =– � ]� ��/ ) �(

: ينتج ) ١( بتربيع ٤ – �

� ص

�ص +

٤ = ٣ (٤ (

٤: ينتج ) �( ، بتربيع �

ص�

= �� )٤(

: ينتج ) ٤(، ) ٣( بجمع ٤

+ � �

ص�

ص + ٤

= ١٦

: ( أى �

ص + �

( �

= ١٦ BBBB �

ص + �

= ٥ (٤ (

�: ينتج ) ٥(، ) ١( بجمع �

= ٦ BBBB �

= ٣ BBBB = ]� ��/

ص�: ينتج ) ٥(، ) ١( بطرح �

= � BBBBص �

= ١ BBBB = ١

، ص مختلفان فى اqشارة BBBB ص كمية سالبة ) : �( ، حيث أن من

BBBB الجذرين التربيعين للعدد ھما ) ]� ��/ – ١ (

/�� �[ � –= ، ص � = BBBB ت/�� �[ � – � = AAAA : بالصورة المثلثية

BBBB ل = ]@ :+ :٤= /��/ /+/ ��� [ = :@:ص

ط ��% الرابع وقيمتھا ھى تقع فى الربع θθθθ =– B θθθθحا ، �� ! = θθθθحتا ،

BBBB = ط ��%ت حا + ط ��% حتا ( ٤(

BBBB !��

)ط ��%ت حا + ط ��%حتا ( ٤= !��

١، ٠ = رررر : حيث ) ت حا + حتا ( � =

ت + /�� �[ –= ) ط ��% ت حا+ ط��% حتا ( �= أحد الجذرين ٠ = ررررعند

ت – /�� �[) = ط �!��!ت حا + ط �!��! حتا ( �= أحد الجذرين ١ = ررررعند

BBBB الجذرين التربيعين للعدد ا ھم ) ]� ��/ – ١ (

θθθθ + � ط رررر

�

θθθθ + � ط رررر

�

]� ��/ �

ط رررر � + ط ��%

� ط رررر � + ط ��%

�

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

٣٠ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

الجذور التكعيبية للواحد الصحيح ) ٠ت حا + ٠حتا = ( ١ : نعلم أن

BBBB ) ١( !��

)٠ت حا + ٠حتا = ( !��

) ت حا + حتا = (

� ، ١ ، ٠ = رررر: حيث

BBBB الصور المثلثية للجذور التكعيبية للواحد الصحيح ھى :

) ط ��$ت حا + ط ��$ حتا ( ، ) ط ��@ت حا + ط ��@ حتا ( ، ) ٠ت حا + ٠حتا (

: ، الصور الجبرية للجذور التكعيبية للواحد الصحيح ھى

ت – ��! –، ت + ��! – ، ١

: خواص و نتائج و م_حظات

: يمكن الحصول على ھذه الجذور بحل المعادلة * ٣

=١

النقط التى تمثل ھذه الجذور بشكل أرجاند تقسم دائرة الوحدة إلى ث_ث أقواس متساوية فى الطول *

مربع أى جذر من الجذرين التكعيبين التخيليين يساوى مربع الجذر التخيلى اJخر *

"أوميجا " ωωωω إذا رمزنا @حد الجذرين التكعيبين التخيليين بالرمز

ωωωω ، ωωωω ، ١: فإن الجذور التكعيبية للواحد الصحيح تكون ھى �

ωωωω + ωωωω + ١: صفر أى أن = مجموع ھذه الجذور *�

ر صف =

* ωωωω + ωωωω�

= – ١ ، ١ + ωωωω = – ωωωω�

، ١ + ωωωω�

= – ωωωω

ωωωω: أى أن ١= حاصل ضرب ھذه الجذور *٣

= ١

ωωωω: و بالتالى ٣

����

= ١ ، ωωωω٣

���� + ١ = ωωωω، ωωωω

٣

���� + �

= ωωωω�

، =ωωωω�

، =ωωωω

ت /�� �[ = الفرق بين الجذرين التكعيبين التخيليين للواحد الصحيح *

ωωωω – ωωωω: أى أن �

= ωωωω�

– ωωωω = ]� ��/ ت

: مثال

: ھو أحد الجذرين التكعيبين المركبين للواحد الصحيح أوجد قيمة ωωωω: إذا كان

) ١ + ωωωω( ٣

) + ١ – ωωωω – ωωωω� (

٣

الحلـــــــــــ

) ١ + ωωωω( ٣

) + ١ – ωωωω – ωωωω� (

٣) = – ωωωω

� (

٣ ] + ١ – ) ωωωω + ωωωω

� [ (

٣

= – ωωωω٦

) + ١ + ١( ٣

= – ١ ) + �( ٣

= – ٧ = ٨ + ١

ط رررر �

٣ ط رررر �

٣

]� ��/ �

١ ωωωω

١

ωωωω�

]� ��/ �

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

٣١ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

) ٥ ( تمــــارين

ھـ ٨ = � ١: ت على الصورة ا@سية ، إذا كان /�� �[ + ١ – = ١ : ضع العدد ) ١(ط �!�� !

ت

فى الصورة المثلثية�: أوجد الجذرين التربيعين للعدد

: على الصورة ا@سية ثم أوجد الجذور التكعيبية للعدد = : ضع العدد ) �(

= ( ) ١ : إذا كان ) ٣(٤

،�= ط ��! ت حا + ط ��! حتا

ت ) = � ÷ ١( : على الصورة ا@سية ثم أثبت أن ١ أكتب

ط��! ت حا + ط ��!حتا = � ط ، ��@ ت حا +ط ��@ حتا = ١: إذا كان ) ٤ (

)� ÷ ١: ( أوجد الجذرين التربيعيين للعدد

ط ��#ت حا + ط ��#حتا = � ط ، ��@ ت حا –ط ��@ حتا = ١: إذا كان ) ٥ (

)� ÷ ١: ( أثبت أن ٦ + ٠ = ١

ھـ � = �: ضع على الصورة الجبرية العدد ) ٦ ( ط ��!

ت

١: ت أوجد قيمة المقدار ٣ – � = � ت ، ٣ + �= ١: إذا كان ) ٧ (� +١ � +�

�

١: ( ثم أستخدم ذلك فى إيجاد الجذرين التربيعيين للمقدار ٣ ÷�

٣ (

ت على صورة أويلر ثم أوجد على – ١ = � ت ، /�� �[= ١: ك_ من العددين ضع ) ٨ (

)� ÷ ١: ( الصورة المثلثية قيمة @��

: إذا كان ) ٩ ( ، : ت أوجد الصورة المثلثية لكل من /�� �[ + ١ –=

� ، ت

: إذا كان ) ١٠ ( ) θθθθ ت حا – θθθθحتا ( ٣ – = �، ) θθθθ ٣ ت حا – θθθθ ٣حتا ( ٩=

ط ��# < θθθθ< ط : حيث ��! = θθθθطا : ، و إذا كان � ، ١: ل من أكتب مقياس و سعة ك

١: ( أوجد الصورتين المثلثية و الجبرية للمقدار � ÷�

٤ (

)ت + ��! : ( أثبت أن ) ١١ (نننن ٣

عدد صحيح نننن: حيث ن ن ن ن ت حا ط + ننننحتا ط =

: إذا كان ) �� ( : عدد مركب و كان

+– ١

θθθθ حتا �=

: أثبت أن نننن

+

نننن –

θθθθن ن ن ن حتا �=

ھـ: أثبت أن ) ١٣ (ط + ٣

ت

ھـ – ط –

ت

ھـ – ١= ٣

)ب ت + ا = (ت ص + : إذا كان ) ١٤ (نننن

: أثبت أن �

ص + �

ا = (�

ب + �

( نننن

: إذا كان ) ١٥ ( ضع العدد [ ط ��! ، ط��! – ] θθθθ gggg: حيث =

على الصورة المثلثية

�

ت + /�� �[

� ت + /�� �[

]� ��/ �

١

θθθθ ت طا+ ١

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

٣٢ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

) θθθθت حا + θθθθحتا ) ( ت + ١) ( ت /�� �[ + ١: ( أثبت أن ) ١٦ (

) ]θθθθ+ ط � ���& ( ت حا ) + θθθθ+ ط � ���& ( حتا [ /�� �[ � =

θθθθ ت حا + θθθθحتا = � ت ، /�� �[ – ١= ١ : إذا كان )١٧ (

، حتا = ( ٣!�� θθθθ + ت حا!�� θθθθ( �

) = : و كان ١

� ( ÷٣

أوجد الجذرين التربيعين للعدد

) θθθθ �ت حا + θθθθ �حتا ( ٥ = �θθθθ ، ت حا – θθθθحتا = ١: إذا كان ) ١٨ (

θθθθ gggg [ !��ط ، ط ] أوجد ) :� ÷ ١ على الصورة الجبرية)

θθθθ ، ١ت حا + θθθθحتا = : إذا كان ) ١٩ ( ) =١ + ( ÷ )١ – (

١: اثبت أن θθθθ ��!ت طتا =

θθθθ بد�لة حتا : أوجد بإستخدام نظرية ديموافر قيمة ) �� (

) ت – ١[ ( ت : أثبت أن ) �� (نننن

) ت – ١ ( – نننن

ط نننن ��! حا � ]

ωωωω ، ωωωω ، ١ :إذا كان ) �� (�

، تھى الجذور التكعيبية للواحد الصحيح �

: اثبت أن ١ – =

] ٧+ �] ( ١ ωωωω +� ωωωω�

) (� +٧ ωωωω�

+� ωωωω٤

= ( ��

ت ) = ت + + ١) ( ت + + ١( ] � [

] ٣ [ + )( �

= ١

] ٤ [ + = #��

: ت أوجد مقياس و سعة العدد المركب + ��! – = ωωωω: إذا كان ) �� (

( ) = ٤

ت ، ت + ��! – = ωωωω: إذا كان ) �� (�

:سية للعدد المركب أوجد الصورة ا@١ – =

ثم أوجد على الصورة المثلثية الجذرين التربيعيين للعدد = +

أحد الجذرين التكعيبيين المركبين للواحد الصحيح كون معادلة الدرجة الثانية التى ωωωω: إذا كان ) �� (

ωωωω: ( جذراھا ٥ – ١(

� ، )ωωωω

٧ – ١(

�

ωωωω + ا = : إذا كان )�� (�

ωωωω ا= ب ، ع + ωωωω ا= ب ، ص �

ωωωωب +

صفر = ع + ص ع + ص : أثبت أن

) ص � + � = ( ا: إذا كان )�� ( ١٥

ت = : عندما ا: قيمة أوجد٩ ωωωω

١٤ت= ، ص

١٣ ωωωω

١٠

أحد الجذرين التكعيبيين المركبين للواحد الصحيح ، تωωωω: حيث �

= – ١

: ثم أوجد معامل الحد المشتمل على ٩

ص٦

، صبد�لة قوى ا فى مفكوك

��θθθθ

��٥ θθθθ

�+ ن ن ن ن �

١ ωωωω

١

ωωωω�

٤ + ٧ ωωωω

٧ ωωωω�

+٤

٥ ωωωω� – ٣

٣ – ٥ ωωωω

� + ωωωω

� ωωωω – ωωωω�

� + ωωωω�

� ωωωω

� – ωωωω

]� ��/ �

١ + ωωωω ١ – ωωωω

]� ��/ �

١ + ωωωω

)ت – ١( �

١ – ωωωω

)ت + ١( �

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

٣٣ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

ــدداتالمحــــــــــ : تعريف

المحدد ھو مجموعة من ا@عداد مرتبة فى صفوف و أعمدة بحيث يكون عدد الصفوف مساو لعدد ا@عمدة

و تكتب بين خطين رأسيين

و تنشأ المحددات كنتيجة لحذف عدة متغيرات من مجموعة معاد�ت خطية

: فمث_

= مممم : حدد الدرجة الثانية ھى الصورة العامة لم

��ا ��ا – ��ا ١١ا = ممممتكون قيمة المحدد : حيث

: )١( تدريب

= مممم: أوجد قيمة المحدد

الحلـــــــــــــــــ

= ٥ × ١ – ٤× ٣ = مممم

= مممم: ى أما الصورة العامة لمحدد الدرجة الثالثة فھ

) + ١٣ا ��ا – ٣٣ا ��ا (��ا –) ��ا ��ا – ٣٣ا ��ا ( ١١ا = ممممتكون قيمة المحدد : حيث

) ١٣ا ��ا – ��ا ��ا ( ٣١ا +

: )�( تدريب

= مممم: أوجد قيمة المحدد

لـــــــــــــــــالح

]٤ × ٥ – ٦× ) ١ – [ (٤ ) + ٤ × ٧ –) � –(× ) ١ –( [ ٣ – ] ٦ × ٧ – ) � –( × ٥[ � = مممم

=

: م_حظات

: المرافقة للمحددات العوامل) ١(

)١ – = ( ص ع ا العامل المرافق للعنصر

ع + ص

المحدد من الدرجة الثانية الناشئ من حذف ×

ص ع ا الصف ص و العمود ع اللذين يلتقيان عند العنصر

)١ –( = ١١االعامل المرافق للعنصر : فمث_

١ + ١

و ھكذا ٠٠٠٠ ) ��ا ��ا – ٣٣ا ��ا ( ×

إشارات العوامل المرافقة لعناصر محدد الدرجة الثالثة )�(

٣١ا ��ا ١١ا

��ا ��ا ��ا

٣٣ا ��ا ١٣ا

��ا ١١ا

��ا ��ا

٥ ٣ ٤ ١

� – ٤ ٣

– ٧ ٥ ١ ٦ ٤ – �

+ – + – + – + – +

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

٣٤ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

: خواص المحددات

qى أى محدد إذا بدلت الصفوف با@عمدة و ا@عمدة بالصفوف بنفس ترتيبھا فإن قيمة المحدد � ننغير )١(

: أوجد قيمة المحددات اJتية : تدريب

=

=

قيمة المحدد � تتغير بفكه عن طريق عناصر أحد صفوفه كما أنھا � تتغير بفكه عن طريق عناصر أحد )�(

أعمدته

: أوجد قيمة المحدد ا@تى بإستخدام عناصر الصف الثانى مرة و العمود الثالث مرة أخرى : تدريب

=

=

فإن قيمة المحدد الناتج تساوى قيمة المحدد ا@صلى مضروبا ) عمودين ( فى أى محدد إذا بدلنا موصفين )٣(

) ١ –( فى

: أوجد قيمة المحددات اJتية : تدريب

=

=

� – ٤ ٣

– ٧ ٥ ١ ٦ ٤ – �

� – ٤ ١

– ٦ ٥ ٣ ٧ ٤ – �

� – ٤ ٣

– ٧ ٥ ١ ٦ ٤ – �

� – ٤ ٣

– ٧ ٥ ١ ٦ ٤ – �

� ٣ – ٤

– ٥ ٧ ١ ٦ � – ٤

� – ٤ ٣

– ٧ ٥ ١ ٦ ٤ – �

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

٣٥ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

فى محدد فإن قيمة المحدد تساوى صفرا ) عمودين ( إذا تساوت العناصر المناظرة فى أى صفين )٤(

: أوجد قيمة المحدد اJتى : تدريب

=

فى محدد فإن ھذا العامل يمكن أخذه خارج ) عمود ( إذا وجد عامل مشترك فى جميع عناصر أى صف )٥(

المحدد

: أوجد قيمة المحدد اJتى : تدريب

= �

مة المحدد تساوى صفرافى محدد كلھا أصفار فإن قي) عمود ( إذا كانت جميع عناصر صف )٦(

: أوجد قيمة المحدد اJتى : تدريب

=

كمجموع عنصرين فإن قيمة المحدد يمكن كتابتھا ) عمود ( فى أى محدد إذا كتبت جميع عناصر أى صف )٧(

كمجموع محددين

نجمع العناصر المتناظرة فى ھذين ) ا@عمدة ( وى فى عناصر أحد الصفوف لجمع محددين � يختلفان س "

" و يعاد كتابة باقى العناصر كما ھى ) العمودين ( الصفين

: ون فك المحددات دبأوجد : تدريب

+ +

من محدد فى عدد ما و أضفناھا إلى نظائرھا من عناصر صف آخر ) عمود ( إذا ضربنا عناصر صف )٨(

فإن قيمة المحدد � تتغير ) عمود آخر (

: أوجد بدون فك المحدد : تدريب

= =

� – ٣ �

– ١ – ٥ ١ ٤ ٦ ٤

� – ٣ �

– ١ – ٥ ١ ٤ ٦ – ٤

� – ٣ �

– ١ – ٥ ١ � – ٣ �

٠ ٠ ٠ – ١ – ٥ ١ ٤ ٦ – ٤

٧ ٥ ٣ � – ٦ ١

٣ – ٤ �

٧ ٥ ٣ – ٤ – ٤ ١ ٣ – ٤ �

٧ ٥ ٤ ٣ ١ �

– � – ٣ �

٥ ١ ٣ ٣ ٩ �

– ٧ ١ – ٣

٥ ١) ٣ –(× ١+ ٣ ٣) ٣ –( × ٣+ ٩ �

– ٧ ١ – ) ٣ –(× ) ١ – + ( ٣

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

٣٦ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

فى العوامل المرافقة للعناصر المناظرة فى أى صف ) عمود ( فى أى محدد إذا ضربنا عناصر أى صف )٩(

آخر و جمعنا الناتج فإن النتيجة تساوى صفرا ) عمود (

:فى المحدد اJتى : تدريب

وامل المرافقة لعناصر الصف الثالث أوجد مجموع حواصل ضرب عناصر الصف ا@ول فى الع

: الصورة المثلثية للمحدد

إذا أمكن وضع المحدد على الصورة سميت ھذه الصورة بالصورة المثلثية السفلى

بعناصر القطر الرئيسى ٣٣ا ، ��ا ، ١١ا و سميت العناصر

الصورة ھى الصورة المثلثية العليا أما

قيمة أى محدد على الصورة المثلثية تساوى حاصل ضرب عناصر القطر الرئيسى )١٠(

:بدون فك المحدد أوجد قيمته : تدريب

: حاصل ضرب محددين

= �مممم ، = ١مممم: إذا كان

= �مممم ١مممم = مممم: فإن

و يمكن تعمميم ھذه القاعدة على محددات الدرجة الثالثة

: ممممأوجد المحدد : ريبتد

= مممم

٧ ٥ ٣ � – ٦ ١

٣ – ٤ �

٠ ٠ ١١ا ٠ ��ا ��ا

٣٣ا ��ا ١٣ا

٣١ا ��ا ١١ا

��ا ��ا ٠ ٣٣ا ٠ ٠

٠ ٠ ٣ � – ٠ ١

٣ – ٤ �

ب ا حـ ء

و ھـ حححح رررر

ححححب + وا رررر ب + ھـ ا ححححء + حـ و ررررء+ ھـ حـ

� ١ – ٣

٠ � – ٤

٣ – ١ �

– ١ ٠ ٣ � – ٠ ١

١ ٣ ٤

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

٣٧ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

: أمثلة

) نننن – مممم) ( ل – نننن) ( ل – مممم: = ( بدون فك المحدد أثبت أن )١ (

الحلــــــــــــ

ص– �ص = �ص: بإجراء ١

ص ، ٣ص=

٣ ص–

١

BBBB ∆ ) = = ل – نننن) ( ل – مممم (

ص: بإجراء ٣

ص– � ص = ٣

BBBB ∆ ) = نننن – مممم) ( ل – نننن) ( ل – مممم= ( ) ل – نننن) ( ل – مممم (

احد عوامل المحدد ) � – : ( التى تجعل ك ك ك كأوجد قيمة الثابت )� (

الحلــــــــــــ

صفر = تجعل قيمة المحدد � = : عامل للمحدد فإن ) � – ( إذا كانت

BBBB بالتعويض عن = � صفر= التى تجعل المحدد ك ك ك ك يكون المطلوب إيجاد قيمة

BBBB = صفر

ع– �ع: بإجراء ٣

BBBB = صفر

و بفك المحدد

BBBB ) – ٠ = ١٣× ) كككك – ٦ BBBB – ٠ = كككك – ٦

٦ – = كككك BBBB: و منھا

ل ل ١�

مممم مممم ١�

نننن نننن ١�

ل ل ١�

مممم ل – مممم ٠� ل–

�

نننن ل– نننن ٠� ل–

�

ل ل ١�

ل + مممم ١ ٠نننن ١ ٠

ل +

ل ل ١�

ل + مممم ١ ٠مممم ٠ ٠

نننن –

+ ١ ١ ١ � ٥ + ٣

٤ – ١ + كككك

١ ١ ٣ � ٥ ٥

كككك + � ٤ – ١

٠ ١ ٣

� ٠ ٥

كككك – ٦ – ٤ – ١

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

٣٨ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

حل المعاد�ت الخطية بطريقة كرامر : تتضح الطريقة من ا@مثلة اJتية

: اJتيتين أوجد بإستخدام طريقة كرامر مجموعة الحل للمعادلتين )١ (

+ ٥= ص ، � – ١= ص

الحلـــــــــــ

∆ = = – ٣ – = � – ١

∆١ = =– ٩ – = ١٠ – ١= = �∆، ٦ – = ١ – ٥

BBBB = = = �

BBBB ٣ = = = ص BBBB ٣ ، �{ = مجموعة الحل{

:أوجد بإستخدام طريقة كرامر مجموعة الحل للمعاد�ت اJتية )� (

� + ٣ ، ١٠= ع � –ص + � ٥ ، ، ١= ع �+ ص + ٤= ع ٣+ ص ٤ ،

لـــــــــــالح

∆ = = � )٧ – ) = ١٠ –�� ( � – ) ١٠ – ٩ ( ١ – ) ٨ – ٦

∆١

= =– ١٤ – = = �∆ ، ٧

∆٣

= = ��

BBBB = ٣ –= ، ع �= ، ص ١

BBBB ٣ – ،� ، ١{ = مجموعة الحل{

١ ١ � – ١

١ ٥ ١ – ١

٥ ١ � ١

∆١

∆

– ٦ – ٣

∆� ∆

– ٩ – ٣

� ١ – �

٣ � �

٣ ٤ ٥

١ ١٠ – �

١ � �

٣ ٤ ٤

� ١٠ – �

١ ٣ �

٣ ٤ ٥

� ١٠ ١

١ � ٣

٤ ٤ ٥

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

٣٩ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

) ٦ ( تمــــارين : كل من المحددات اJتية أوجد قيمة ) ١(

: أوجد قيمة كل من المحددات اJتية ) �(

ت: حيث �

ωωωω: ، حيث ١ – = ٣

= ١

: بدون فك المحدد أثبت أن ) ٣(

١ ( ) = – ع ) ( ع –ص ) ( ص– (

� = (�

ص– �

٣ ) = ( – ا ) ( – ب ) ( + ب + ا(

صفر = ) ٤

صفر ) + + = ٥

– ٣ – ٦ – ٤ ٨

حتا ھـ حا ھـ حا ھـ حتا ھـ –

ت + ١ ٠ ١ ت ١ ٠ ١ ت– ت –١

١ ωωωω ωωωω�

١ ١ ωωωω

ωωωω

ωωωω�

١

١ ص ع ١ ع ص

ع ١ ص

١ ١ ١ ص –ص

با ب اا ب

حا٣�

حتا٣ ١�

حا٣ –�

حتا٣ – ١ ص�

ص

حا٣�

حتا٣ ١ ع�

ع

٤ ٥ – �

� ٣ – ١

٧ ١ – ٣

٤ ٥ – �

٤ ٥ – ١ ٧ ١ – ٣

٦ – ٥ – �

١ ٥ ٣ ٧ ٨ ٣

موجه رياضيات إدارة كوم أمبو التعليمية حمد الشنتورى أ

com.yahoo@2007shantory_a منتدى الشنتورى للرياضيات : com.7yoo.shantory://http

٤٠ الثانوية العامةللمرحلة الثانية من الجبر

: أوجد مجموعة الحل للمعادلة ) ٤ (

صفر =

ع ص : صفر ، وكان : = إذا كان ) ٥ (

١= ص ع : أثبت أن

: دد أحد عوامل المح ) � – ( أثبت أن ) ٦ (

: أحد عوامل المحدد ) ١ – ( إذا كان ) ٧ (

كككك أوجد بدون فك المجدد قيمة

: إستخدم طريقة كرامر لحل المعاد�ت اJتية ) ٨ (

١ ( + ٣ ، ١= ع �+ ص – ٧= ع �+ ص

٠ = ٣+ ع + ص �

� ( + ٣= ع �+ ص ، � – ٠= ع + ص

٧= – ع ٤+ ص ٣

٣ ( – ع + ص ، ١= ع + ص =�

+ ٠= ع � –ص

٤ ( – ٥= ع �+ ص ، � – ٠ = ١+ ع + ص ٣

+ ٧٤= ع ��+ ص ٥

٠ – – ١ ٣ ١ ٣ +

٣ ٠

٣ – ١

�

ص٣ص ١ –

� ص

ع٣ع ١ –

� ع

– ٣ – ١ +٣

+ ٣ + ٥ �

� – ٦ +٨

– ١ ١ ١

١ ١ + ١

– ١ ١ +كككك

óÏ

Ä

×

Ä

f

T

g R

i ��������

D

����

ö

÷

e +

M ∞ V