数学模型实验课（二）最小二乘法与直

线拟合

康尔乃奶粉 32.4 元 400g; 67.1 元 900g. 4 k1 + 42/3 k2 = 32.4 9 k1 + 92/3 k2 = 67.1 解得 : k1 = 5.3791, k2 = 4.3192 模型 : C(W)=5.3791 W + 4.3192 W2/3. 预测 : W=1800, C(W) = 126.49. W=2500, C(W) = 154.36 实际 : W=1800, C(W)=115.9 W=2500, C(W)=146.85

>>x=[4,9,18,25];y=[32.4,67.1,115.9,146.85]; >>x1=[x(1),x(2)]’,x2=x1.^(2/3); >>y1=[y(1),y(2)]’;X=[x1,x2]; >>k=X\y1

>>x1=[x(1),x(2),x(3)];x2=x1.^(2/3); >>y1=[y(1),y(2),y(3)];X=[x1,x2]; >>k=X\y1

. .壹 求解线性方程组： A x = y

如果

4

3

2

1

2

1

42

32

22

12

41

31

21

11

,,

y

y

y

y

yx

xx

a

a

a

a

a

a

a

a

A

设： Ax+ε= y ，求 x 使得误差 ||ε|| 最小。Qxaxay

iiii

ii

4

1

22211

4

1

2 )(

0)(2 122111

i

iiii axaxay

x

Q

0)(2 222112

i

iiii axaxay

x

Q

iii

iii

iii

iii

iii

iii

yaxaaxaa

yaxaaxaa

2222112

1221111

A’A x = A’yx = (A’A)-1A’y

二 . 直线拟合

1. 矩阵左除

数据（ xi, yi ） , 拟合直线 y = a + bx, 误差最小

模型： yi = a + bxi +ε

nn y

y

y

yb

ab

x

x

x

X2

1

2

1

,,

1

1

1

X b = y

>>y=[17,16,17,23,26,27,41,49]; >>x=[1953,2015,2015,2821,3049,3049,5133,5592]; >>X=[ones(8,1),x’];b=X\y’; >>y1=b(1)+b(2).*x; >>plot(x,y1,’r’,x,y,’*r’)

2)(

))((

xx

yyxx

L

Lb

xbya

i

ii

xx

xy

2. 直线拟合的效果（相关系数）

ii bxay ˆ

i i i

iiiiyy yyyyyyL 222 )ˆ()ˆ()( UQ

22 )()ˆ( ybxayyU ii xxi Lbxbbx 22)(

yyxx

xy

yy

xx

yy LL

L

L

Lb

L

Ur

222

yJn

IxyyxxL iixy

)

1('))((

>>X1=[x’,y’];m=size(X1);n=m(1);p=m(2); >>X=[ones(n,1),x’];B=X\y’;a=B(1);b=B(2:p); >>y1=a+b*x;plot(x,y1,’r’,x,y,’*r’); >>Cov=X1’*(eye(n)-ones(n)./n)*X1; >>Lyy=Cov(p,p);Lxx=Cov(1:(p-1),1:(p-1)); >>R=(b’*Lxx*b)/Lyy;r=sqrt(R);

3. 多项式拟合 b=polyfit(x,y,1);

4. 线性回归 [b,r,j,k,l]=regress(y’,X);