什么是等差数列？

一般地一般地，如果一个数列从第如果一个数列从第 22 项起，每一项项起，每一项与前一项的差等于与前一项的差等于同一个常数同一个常数，那么这个数列，那么这个数列叫做叫做等差数列等差数列 ..

这个常数叫做等差数列的这个常数叫做等差数列的公差公差，通常用，通常用 dd 表示表示 ..

{{aann}} 是等差数列是等差数列 an-an-1=d (n≥2)

温故知新

“ 一尺之棰，日取其半，万世不竭 .”

庄子曰：

如果将“一尺之棰”视为一份，

则每日剩下的部分依次为：

如果将“一尺之棰”视为一份，

则每日剩下的部分依次为：

,16

1,

8

1,

4

1,

2

1……

问题情境一

2×1.05 ， 2×1.052 ， 2×1.053 ， 2×1.054

某人年初投资 2 万元，如果年收益是 5% 那么按照复利， 4 年内各年末的本利和依次：

问题情境二

某种汽车购买时的价格是 36 万元，每年的折旧率是 10% ，求这辆车各年开始时的价格 . （单位：万元）

36 ， 36×0.9 ， 36×0.92, 36×0.93,

易知各年汽车的价格组成数列：

问题情境三

……

共同特点？ 从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于同一常数 .

(1)

(2)

(3)

,16

1,

8

1,

4

1,

2

1……

36 ， 36×0.9 ， 36×0.92, 36×0.93,…

2×1.05 ， 2×1.052 ， 2×1.053 ， 2×1.054

比一比

你能给它起个名字吗？你能给它下个定义吗？

一般的 , 如果一个数列从第 2 项起 , 每一项与它前一项的比等于同一个常数 , 这个数列就叫做等比数列 . 这个常数叫做等比数列的公比 , 公比通常用字母 q 表示 .(q≠0 ）

思考

)2(1

nqaa

n

n

)( *1 Nnqa

a

n

n

{{aann}} 是等比数列是等比数列

思考

你能用数学符号表示这个定义吗？

或

例 1 ： 指出下列数列是不是等比数列，若是，说明公比；若不是，说出理由．

(3)

(1) １ ,1, 1, 1, 1;

(2) 0,1,2, 4,8;

1 1 1 11, , , , ,

2 4 8 16

(√)

(×)

(√)

运用

等比数列中(1) 公比 q 为何不能等于 0 ？首项 a1 能等于０吗？

(2) 公比 q=1 时是什么数列？

(3)q>0 数列各项的符号有什么特点？ q<0 呢？

(4){an} 是等比数列能与 an=an-1q (n≥2) 等价吗 ?

思考

如果等比数列 { } 的首项是 , 公比是 ,

那么这个等比数列的第 项 如何表示 ?

an a1 q

n an2

1

aq

a q

a

a

2

3

1

n

n

aq

a

qaa 12

2123 qaqaa

……∵

∴

……3

134 qaqaa

qa

a

3

4

猜想： an=a1qn-1

猜一猜

通项公式的推导：

把这 n － 1 个等式左右两边同时相乘1

13

4

2

3

1

2 ...

n

n

n qa

a

a

a

a

a

a

a 1

1

nn qa

a

即通项公式为： an=a1qn-1

因为 {an} 是等比数列，所以当 n≥2 时，有

当 n=1 时，上面的等式也成立

qaa

qa

aq

a

aqa

a

n

n 13

4

2

3

1

2,,,,

通项公式

式子 表示

定 义

等比数列 等差数列名　称如果一个数列从第 2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列 . 这个常数叫做等差数列的公差，用 d 表示

an+1-an=d

an = a1 + （ n-1 ） d

如果一个数列从第 2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个 常 数 , 那 么 这 个 数列 叫 做 等 比 数 列 . 这个常数叫做等比数列的公比，用 q 表示

qa

a

n

n 1

an=a1qn-1

11n

na a q 如何认识等比数列通项公式 :

② 方程思想

① 函数观点

1. 公式 an=a1qn-1 还可以改写成

2. 公式 an=a1qn-1 还可以变形为

an=(a1qn)/q=cqn ( 这里 c=a1/q)

an=amqn-m(m,n∈Ｎ ) 　

注意

等比数列通项公式的含义an=(a1qn)/q=cqn

( 这里 c=a1/q 是一个不为零的常数 ).

当 q 是不等于 1 的正数时， y=qx 是一个指数函数，而函数 y=cqx 是一个不为零的常数与指数函数的积，因此，表示数列 {cqn} 各项的点都在函数 y=cqx 的图象上 . 例如，当 a1=1,q=2 时， an

=2n/2 表示数列的点都在函数 y=1/2×2x 的图象上 .

当 c=a1/q=1 时，等比数列是特殊的指数函数 .

注：在一般情况下等比数列不是特殊的指数函数，只有把 an=a1qn-1 化为 an=qn×a1/q 且 a1/q=1(q 是不等于零的正数）时， an=qn×a1/q 才表示一个特殊的指数函数 .

等比数列的图象 1（ 1 ）数列： 1 ， 2 ， 4 ， 8 ， 16 ，…

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0

●●

●

●

●

等比数列的图象 2（ 2 ）数列：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

67

8

9

10

0

●

●

●

●

,8

1,

4

1,

2

1,1,2,4,8

●● ●

等比数列的图象 3

（ 1 ）数列： 4 ， 4 ， 4 ， 4 ， 4 ， 4 ，4 ，…

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

67

8

9

10

0

● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

等比数列的图象 4

数列： 1 ， -1 ， 1 ， -1 ， 1 ，…

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

67

8

9

10

0

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

1 1

1 1

1, 0 1,(1)

0, 0,

1, 0 1,(2)

0, 0,

(3) 1

(4) 0 .

q q

a a

q q

a a

q

q

当 或 时，递增；

当 或 时，递减；

当 时，是常数列；当 时，是摆动数列

等比数列的单调性如何？

思考

在等比数列 {an} 中，

（ 1 ）已知 a1=3,q=-2, 求 a6 ;

（ 2 ）已知 a3=20,a6=160 , 求 an .

例 2

56 1 96a a q 解 (1)

(2) 36

3

8a

qa

12, 5q a

1 11 5 2n n

na a q

运用

例 3: 求出下列等比数列中的未知项 . (1) 2. a, 8 (2) -4 , b, c,

）根据题意，得（1解：a

a 8

2 解得 a=4 或 a=-4

）根据题意，得（2

-412

b c

b

c

c b

2

1

2:

1bc

解得

运用

如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ，使 a ， G ， b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项 .(a·b>0)

abG G2=a·b 或计算公式：

思考

类比等差数列，在上例第一小问中 :2. a, 8 成等比则 a 叫 2 与 8 的？

1. 在下列等比数列的括号内填上适当的数：

（ 1 ）（ ）， 3 ， 27

（ 2 ） 1 ，（ ）， （ ），

2

5

81

8

2

5

C.

3. 三实数 a,b,c 成等比数列的等价关系是 ( )

b ac b bcb a

c b

D

2. 已知等比数列的公比为 ，第 4 项是 ，求 an

D.A. b2=ac B.

练习

1. 等比数列的概念

方程的思想

类比

知识内容 研究方法 思想方法

3. 等比中项的概念

2. 通项公式的推导函数的思想　

归纳

小结

己知｛ an ｝、｛ bn ｝是项数相同的等比数列的 , 仿照下表中的例子填写表格 . 从中你得出什么结论

想一想

结论 : 当｛ an ｝、｛ bn ｝是项数相同的两个等比数列时 , 数列｛ an×bn ｝ ( 其中 p 、 q 是常数 ) 也是等比数列 .

探究 1: 当 {an}{bn} 是项数相同的两个等比数列时 , 数列 {pan×qbn}( 其中 p,q 是常数 ) 也是等比数列吗 ?

探究 2: 当 {an}{bn} 是项数相同的两个等比数列时 , 数列 {pan÷qbn}( 其中 p, q 是常数 ) 也是等比数列吗 ?

联系 1: 当 {an}{bn} 是项数相同的两个等差数列时 , 数列 {pan+qbn}( 其中 p, q 是常数 ) 也是等差数列吗 ?

联系 2: 当 {an}{bn} 是项数相同的两个等差数列时 , 数列 {pan － qbn}( 其中 p,q 是常数 ) 也是等差数列吗 ?

猜一猜

  给你一张足够大的纸，假设其厚度为 0.1毫米，那么当你把这张纸对折了 38 次的时候，所达到的厚度有多少？

把这张纸折叠 38次，你今晚可以沿着它爬到月球上去！