円線図とは

回路の何らかの特性を複素平面上の円で表したもの

Zin ZL

DC

BA

DCZ

BAZZ

L

Lin

例えば、 ZL の変化に応じて Zin が変化する様子

(z の一次分数関数 )DCz

BAzw

複素平面上で z が円 ( 直線も r = ∞ の円と考える ) を描くならば、 w も円を描く

一次分数関数 ( 双一次関数 )

一次分数関数は、複素平面上の円を円に写像する

jz の円

w の円0

円から円への写像

円から円への写像

( 平行移動 )1Hzw ( 相似回転 )zHw 2

zw

1 ( 反転鏡像 )

z の円を反転 ( 　　をとること ) し、実軸に

対しての鏡像 ( その複素共役 ) をとる

z の円

w の円

H1

j

0

j

z の円

w の円

鏡像

反転

0

z の円

w の円

|H2|z の円jreHH 22

j

0

r

ejr

相似変換

回転

z

1

反転の 3 つの場合

反転の三つの場合

Aj

0

(a) z が原点を含まない円を描く場合 (b) z が原点を含む円を描く場合

(c) z が直線を描く場合

B

z

z/1

(1, 0)

A

j

0

B

z

z/1

(1, 0)

A

j

0

B z

z/1

(1, 0)

点 A に対しての反転である点 Bは、点 A と原点 0 を結ぶ直線上にある

∵ 点 A の座標を a + jb とすると、点 B の座標は、

22

1

ba

jba

jba

よって、 arg A = arg B

円線図の例

IZV in

jXRZ in

電圧線図を描いてみよう

RZin

jXV

I

R と jX の直列接続

j

I

RI

jXI

X 固定、 R 可変 (R>0) の場合

V

0

R = 0R = ∞

I

X 固定、 R 可変の場合

j

0

電流フェーザを実軸上にとると

R=0 の時

V jXIV

R が大きくなるにつれてさらに大きくなると

V

j

I

jXI

R 固定、 X 可変の場合

RI

V

0

X = 0

X = ∞

X = −∞

jXI

電圧線図

円線図 ( インピーダンス線図 )

jXRZ in R

Zin

jX

R と jX の直列接続

RZin jXV

I

R と jX の並列接続

jXR

Z in 111

X 固定、 R 可変

1/X R=∞

jXR

11

R=0

X

X

R=∞

R=0

R=∞

鏡像

反転

R 固定、 X 可変 (X>0)

1/RX=∞

X=0jXR

11

反転

鏡像X=0 X=∞

R 増大

X 増大

R

j

0

j

0

j

jX

X 固定、 R 可変 (R>0) の場合

0

R = 0R = ∞

j

R 固定、 X 可変

R

0

X = 0

X = ∞

X = −∞

R 固定、 X 可変 (X<0)

X=−∞

X 減少

RL 並列接続回路のインピーダンス線図を描け

RL 並列回路のインピーダンス線図

R L

RL 並列回路のインピーダンス Z は、

jyxLR

LRj

LR

RL

LjR

LRjZ

222

2

222

22

R 一定で L が変化する場合、

RxLR

LR

LR

LRRLyx

222

2

2222

2222222 )(

)(

)()(

022 yRxx

22

2

22

Ry

Rx

xLR

RL

222

22

yLR

LR

222

2

と置いた

これは、 Z 平面上の (R/2, 0) に中心をもつ半径 R/2 の円

R, L > 0 なので、 x, y > 0

従って、 Z 平面上の第 1 象限にのみに限定された円となる

L = 0 のとき、 x, y = 0

j

02

R

L = 0 L = ∞

Z

R L = ∞ のとき、 x = R, y =0

L 増大

RL 並列回路のインピーダンス線図

L 一定で R が変化する場合、

LyLR

LR

LR

LRRLyx

222

2

2222

2222222 )(

)(

)()(x

LR

RL

222

22

yLR

LR

222

2

022 yLyx 22

2

22

LLyx

これは、 Z 平面上の (0, L/2) に中心をもつ半径 L/2 の円

j

0 R = 0

R = ∞

Z2

LL

R, L > 0 なので、 x, y > 0

従って、 Z 平面上の第 1 象限にのみに限定された円となる

R = 0 のとき、 x, y = 0

R = ∞ のとき、 x = 0, y = L

R 増大

例題例題 10.7

RC

下の回路インピーダンス線図を描け

CjR

Z

1

1 1/R

CjR

1

C = 0 (f = 0)

C = ∞ (f = ∞)

R

反転

C = 0 (f = 0)C = ∞ (f = ∞)

鏡像

R

C 増大(f 増加 )

j

0

演習問題1

図のような回路の電源周波数 ω を変化させたとき、流れる電流 I のベクトル軌跡を示せ

E

R2

LR1

I

ω

解答

E

R2

LR1

I

ω

電流 I は、21 RLj

E

R

EI

となる。

j

0

ω = ∞

R2

ω = 0

2

1

RLj 2RLj

E

2

1

R

反転

2R

E

ω = 0ω = ∞

0 ω = ∞ ω = 0

21 RLj

E

R

E

21 R

E

R

E

1R

E

21 2R

E

R

E

鏡像

演習問題2

(10.9)

E1

R

L2L1

M

下の回路において、 R が可変であるとき、 R を流れる電流のフェーザ軌跡を描けただし、 M2 ≠ L1L2, M ≠ L2 とする

E1

R

L1-M

M

L2-M

I

MLMLL

jRML

MLL

E

RMjMLj

MLj

MLjRMjMLj

RMjMLjE

I

2

221

2

21

2

2

12

2

2

)(

)(

)()(

))((

j

0E

E を実数にとると

)( 221

2

MLL

MLj

R=∞

R=0

I

)(

)(2

21

2

MLL

MLEj

ML

MLLjR

ML

MLL

2

221

2

21 2

R=0 R=∞

ML

MLLj

2

221

)( 221

2

MLL

MLj

R=0

≡ YE

まず、 Y の軌跡を考える

円 - 円対応の証明

も複素平面上において円周上を動くことを証明する00

00

dzc

bzaw

複素数　 が複素平面上において円周上を動くとき、z

)0())(()0())(( 000 qfwfwpezez を証明する即ち、

(2) (3)

z

w0fe

(1) より、dz

bza

dzc

bzaf

dzc

bzafw

200

110

00

000

(1)

従って (3) より、 )0(22

0

qaa

q

dz

bz

dz

bz

0)()()1( bbdqdzbqdzbdqzzqこれを変形して、

円 - 円対応の証明 ( 続き )

1q のとき、 eq

bqd

1

とおき、

)0()1(

))((

1)1(

))((22

p

q

dbdbq

q

bbdqd

q

bdqbqd とおくと (2) が得られる

1q のときには 0)()( bbddzbdzbd

sbd とおくと 0 sssbsbszsz

rsssbsbszsz

22( 実数 ) となる(sz の実数部 )

即ち 　　は実数軸に平行な直線上を動くsz

z従って 　は直線上を動く

今後の講義日程と内容

日程 (回目 ) 講義内容朝倉書店　電気回路

– 三相、過渡現象、線路 –喜安 善市、斉藤 伸自 著

朝倉書店　電気・電子工学基礎シリーズ電気回路　山田 博仁 著

1/8( 第 13 回 )

12/11( 第 11 回 )

12/4 ( 第 10 回 )

11/27( 第 9 回 )

9.2 無損失線路と反射波、インピーダンスの測定 9.2.1 伝送式 9.2.2 電圧、電流の円線図 9.2.3 定在波比 9.2.4 定在波による負荷の測定

8.8 理想線路、無ひずみ線路、 RC 線路　　 8.8.1 理想線路　　 8.8.2 減衰極小条件　　 8.8.3 無ひずみ線路9 章 分布定数回路としての線路 9.1 複合線路

7.9 各種線路 a 理想線路 b 減衰極小条件と無ひずみ線路7.10 複合線路

7.11 無損失線路上での電圧 , 電流 a 線路の伝送式 b 線路上の電圧 , 電流の円線図 c 定在波比

8 章 分布定数線路 8.1 線路の伝送方程式 8.2 伝送方程式の定常解 8.3 波の伝ぱん 8.4 線路の縦続行列

7 章 分布定数回路 7.1 分布定数回路とは 7.2 伝送線路 7.3 伝送方程式の定常解 7.4 波の伝搬 7.5 線路の行列表現

8.5 波の反射8.6 反射係数

7.6 線路端条件による電圧・電流分布7.7 波の反射と定在波7.8 反射係数

12/18( 第 12 回 ) 演習 ( 大寺 康夫先生 )