本章結構

13-1實用管理科學

陳明德、陳武林著前程文化

Ch13 非線性規劃

本章結構導論非線性規劃問題範例 NLP 問題的分類圖形分析 NLP 問題無限制式 NLP 問題有限制式 NLP 問題




導論非線性規劃 (nonlinear programming NLP )

在數學規劃問題中，目標函數與各限制式中至少有一個呈非線性的關係。




非線性規劃問題範例生產多種產品（ product mix ）問題運輸（ transportation ）問題股票投資風險選擇（ portfolio selection with risky securities ）的問題




生產多種產品組合

它的總利潤時的產量為當產品的單位成本產品

它的單位價格時的產量為當產品的產量產品

,)(

,

,,)(

,

iii

i

ii

i

xixP

ic

xixp

ix

透過市場機能，價格彈性的發生是相當自然的

題目參見課本 p317 13.1.1

定義變數




運輸問題題目參見課本 p317 13.1.2




股票投資風險選擇

;0

;

;Max

1

1 11

j

n

j jj

n

i

n

j ijji

n

j jj

x

BxP

xxx

和

受限於

e);(covarianc

;

;

;

;

;

的利益的共同變異數的利益與一張股票一張股票

的利益的變異數一張股票

的預期利益一張股票總投資金額

的價格股票

的張數購買股票股票的種類數量

ji

j

j

B

jP

jx

n

ij

jj

j

j

j

題目參見課本 p318 13.1.3




非線性規劃問題分類 (1/2 ）凸函數：

在函數之曲線上任取兩點連一線段，如果此線段會全部在此曲線上方

凸集合：所形成的區域的每一個邊界都凸向外面的。

無限制條件：問題沒有任何的限制式二次規劃（ quadratic programming）：

目標函數是二次式，而且所有的限制方程式都呈線性的。




凹凸函數圖示




凸集合與非凸集合




非線性規劃問題分類 (2/2 ）凸規劃（ convex programming ）：必須符合下列兩個條件：

是凹函數每一個都是凸函數

可分離規劃（ separable programming ）目標函數可以分割成 n個子函數的和，而每個子函數只包括一個決策變數。

幾何規劃（ Geometric programming ）目標函數可以分割成 n個子函數的和，而每個子函數皆為決策變數的幾何關係。




非線性範例規劃圖示




無限制式問題分析 (1/2) 一維中點搜尋演算法

步驟零：（起始步驟）決定可允許公差；尋找適當的上界點與下界點；目前暫時解等於兩界點的中點步驟一：計算其一次微分；如果其值＞＝０，則讓下界等於一次微分；否則，讓上界等於一次微分步驟二：目前暫時解等於兩界點的中點步驟三：判斷停止搜尋法則．




無限制式問題分析 (2/2)

梯度搜尋演算法（多維）步驟零：選擇適當的可允許公差與起始暫時解步驟一：按照順序，針對每一參數搜尋步驟二：每一參數的搜尋，皆利用一維參數搜尋法－中點搜尋演算法步驟三：判斷停止搜尋法則．




梯度搜尋演算法的範例22

21221 222)( max xxxxxf x




有限制式問題分析拉格倫据乘數方法

拉格倫据的函數（ Lagrangian function ）：

將拉格倫据的函數分別對所有的變數（包括決策變數以及新變數）做偏微分後令其等於０

m

i iii bgxfh1

))(()()( xλx,




拉格倫据乘數方法的範例問題：

解法：1),(

2),( max

22

2121

22121

xxxxg

xxxxf

受限於

.0)1(

,022

,022

22

21

22

111

xxh

xx

h

xxx

h

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