1

概率论与数理统计

福建师范大学福清分校数计系

2

第二章随机变量及其分布

第 1讲

3

§1 随机变量

4

为了全面研究随机试验的结果 , 揭示随机现象的统计规律性 , 将随机试验的结果与实数对应起来 , 将随机试验的结果数量化 , 引入随机变量的概念 .

在随机试验完成时 , 人们常常不是关心试验结果本身 , 而是对于试验结果联系着的某个数感兴趣 .

5

例 1 在一袋中装有编号分别为 1,2,3 的 3 只球 . 在袋中任取一只球 , 放回 . 再取一只球 , 记录它们的编号 . 计算两只球的号码之和 .

试验的样本空间 S={e}={i,j},i,j=1,2,3. 这里 i,j分别表示第一 , 二球的号码 . 以 X 记两球号码之和 , 对于每一个样本点 e, X 都有一个值与之对应 , 如图所示 .

1 2 3 i

12 3 4

23 4 5

34 5 6

j

6

例 2 将一枚硬币抛掷 3 次 . 关心 3 次抛掷中 , 出现 H 的总次数 , 而对 H,T 出现的顺序不关心 . 比如说 , 我们仅关心出现 H 的总次数为 2, 而不在乎出现的是 "HHT","HTH" 还是 "THH". 以 X 记三次抛掷中出现 H 的总数 , 则对样本空间 S={e} 中的每一个样本点 e, X都有一个值与之对应 , 即有

样本点 HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT

X 的值 3 2 2 2 1 1 1 0

7

定义 设随机试验的样本空间为 S={e}. X=X(e)是定义在样本空间 S 上的实值单值函数 . 称X=X(e) 为随机变量 .

S

e1

e2

e3

x

8

有许多随机试验 , 它的结果本身是一个数 , 即样本点 e 本身是一个数 . 我们令 X=X(e)=e, 则 X 就是一个随机变量 . 例如 , 用 Y 记某车间一天的缺勤人数 , 以 W 记录某地区第一季度的降雨量 , 以 Z 记某工厂一天的耗电量 , 以 N 记某医院某一天的挂号人数 . 那么 Y, W, Z, N 都是随机变量 .本书中 , 一般以大写字母如 X,Y,Z,W,... 表示随机变量 , 而以小写字母 x,y,z,w,... 表示实数 .

9

随机变量的取值随试验结果而定 , 而试验的各个结果出现有一定的概率 , 因而随机变量的取值有一定的概率 . 例如 , 在例2中 X 取值为 2, 记成 {X=2}, 对应于样本点的集合 A={HHT, HTH, THH}, 这是一个事件 , 当且仅当事件 A 发生时有 {X=2}. 则称 P(A)=P{HHT, HTH, THH} 为 {X=2} 的概率 , 即 P(X=2)=P(A)=3/8. 类似地有

84

},,,{}1{ TTTTTHTHTHTTPXP

10

一般 , 若 L 是一个实数集合 , 将 X 在 L 上取值写成 {XL}. 它表示事件 B={e|X(e)L}, 即B 是由 S 中使得 X(e)L 的所有样本点 e 所组成的事件 . 此时有

P{XL}=P(B)=P{e|X(e)L},随机变量的取值随试验的结果而定 , 在试验之前不能预知它取什么值 , 且它的取值有一定的概率 . 这些性质显示了随机变量与普通函数有着本质的差异 .

11

§2 离散型随机变量及其分布律

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有些随机变量 , 它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个 , 这种随机变量称为离散型随机变量 . 例如 §1例2中的随机变量 X, 它只可能取 0,1,2,3 四个值 , 它是一个离散型随机变量 . 又如某城市的 120 急救电话台一昼夜收到的呼唤次数也是离散型随机变量 . 若以 T 记某元件的寿命 , 它所可能取的值充满一个区间 , 是无法按一定次序一一列举出来的 , 因而它是一个非离散型的随机变量 . 本节讨论离散型随机变量

13

要掌握一个离散型随机变量 X 的统计规律 , 必须且只需知道 X 的所有可能取的值及取每一个可能值的概率 .设 X 所有可能取的值为 xk(k=1,2,...), 而

P{X=xk}=pk, k=1,2,.... (2.1)由概率的定义 , pk 满足如下两个条件

)3.2(.1,2

)2.2(;,2,1,0,1

1

kk

k

p

kp

14

称 (2.1)式 即 : P{X=xk}=pk, k=1,2,.... 为离散型随机变量 X 的分布律 . 分布律也可用表格的形式来表示 :

.1,}{]}{[1

,,}{}{

,}{)(2

111

21

kk

kk

kk

kj

pxXPxXP

jkxXxX

xXxX

即

故且是必然事件是由于

X x1 x2 ... xn ...

pk p1 p2 ... pn ...(2.4)

15

例 1 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯 , 每组信号灯以 1/2 概率允许或禁止汽车通过 . 以 X 表示汽车首次停下时 , 它已通过的信号灯组数 ( 设各组信号灯的工作是相互独立的 ), 求 X的分布律 .解 以 p 表示每组信号灯禁止汽车通过的概率 , 易知 X 的分布律为

X 0 1 2 3 4

pk p (1p)p (1p)2p (1p)3p (1p)4

16

X 0 1 2 3 4

pk p (1p)p (1p)2p (1p)3p (1p)4

P={X=k}=(1p)kp, k=0,1,2,3, P{X=4}=(1p)4. 以 p=1/2代入得

X 0 1 2 3 4

pk 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625

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补充例题 : 盒内装有外形与功率均相同的 15 个灯泡 , 其中 10 个螺口 ,5 个卡口 . 灯口向下放着 . 现在需要 1 个螺口灯泡 ,从盒子任意取一个 , 若取到的是卡口灯泡就不再放回去 .求在取到螺口灯泡之前已取出的卡口灯泡数 X 的分布 .

解 :依题意知 X 的可能取值为 :0、 1、 2、 3、 4、5

10 5 10 50 1

15 15 14 215 4 10 20 5 4 3 10 5

2 315 14 13 273 15 14 13 12 2735 4 3 2 10 10 5 4 3 2 1 1

4 5 115 14 13 12 11 3003 15 14 13 12 11 3003

P X P X

P X P X

P X P X

18

则 X 的分布律为：

X 0 1 2 3 4 5

P 2/3 5/21 20/273 5/273 10/3003 1/3003

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下面介绍三种重要的离散型随机变量 .

( 一 ) (0-1) 分布 设随机变量 X 只可能取 0 与 1 两个值 , 它的分布律是

P(X=k)=pk(1p)1k, k=0,1 (0<p<1),则称 X服从 (0-1) 分布或两点分布 .(0-1) 分布的分布律也可写成

X 0 1

pk 1p p

20

对一个随机试验中的任何一个给定的事件 A, 0<P(A)<1, 都可以根据事件 A 定义一个服从 0-1 分布的随机变量来描述 .

.,1,,0

)(AeAe

eXX当当

例如： 对新生婴儿的性别进行登记 , 男性记为“ 1”、女性记为“ 0”；检查产品的质量是否合格 , 合格记为“ 1”、不合格记为“ 0”；某车间的电力消耗是否超过负荷，超过记为“ 1”、不超过记为“ 0”；抛硬币，正面记为“ 1”、反面记为“ 0”等试验都可以用 (0-1) 分布的随机变量来描述 . (0-1) 分布是经常遇到的一种分布 .

21

(二)伯努利试验,二项分布 试验 E只有两种可能结果 A A和它的逆事件 , 则称 E为伯努利

试验, 设 P(A)=p(0<p<1), 此时 pAP 1)( .

若将试验 E独立地重复地进行 n次, 则这一串重复的独立试验

称为 n重伯努利试验.

这里重复是指每次试验中 P(A)=p 保持不变，"独立"是指每次试

验的结果互不影响。若以 Ci 记第 i 次试验的结果, Ci 为 AA或 ,

i=1,2,…,n. "独立"是指

P{C1C2…Cn}=P(C1)P(C2)…P(Cn). (2.5)

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定义随机变量 X 表示 n重伯努利试验中事件A 发生的次数 , 我们来求它的分布律 . X 所有可能取的值为 0,1,2,...,n. 由于各次试验是相互独立的 , 因此事件 A 在指定的 k(0kn)次试验中发生 , 在其它 nk 次试验中 A 不发生的概率为

,)1(

,,

.)1()1()1()1(

knk

knk

knk

ppkn

kAn

kn

pppppppp

次的概率为发生次试验中故在

它们两两互不相容的种这种指定的方式共有

个个

23

记 q=1p, 即有

)6.2(.,...,2,1,0,)( nkqpkn

kXP knk

服从参数为故我们称随机变量的那一项

的展开式中出现刚好是二项式

显然

Xp

qpqpkn

qpqpkn

kXP

k

nknk

nn

k

knkn

k

,

)(

.1)(}{,00

n,p 的二项分布 , 记为 X~b(n,p).

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例 2 按规定 , 某种型号电子元件的使用寿命超过 1500 小时的为一级品 . 已知一大批产品的一级品率为 0.2, 现在从中随机地抽查 20只 . 问 20 只元件中恰有 k 只 (k=0,1,...,20) 为一级品的概率是多少 ?

解 这是不放回抽样 . 但由于这批元件的总数很大 , 且抽查的元件数量相对于元件的总数来说又很小 , 因而可以当作放回抽样来处理 , 这样做会有一些误差 , 但误差不大 . 检查一只元件看它是否为一级品 , 检查 20 只元件相当于 20重贝努利试验 , 以 X 记其中一级品总数 , 则

25

X~b(20,0.2). 由 (2.6)式即得所求概率为

.20,...,1,0,)8.0()2.0(20

}{ 20

k

kkXP kk

将计算结果列表如下 :

P(X=0)=0.012 P(X=4)=0.218 P(X=8)=0.022

P(X=1)=0.058 P(X=5)=0.175 P(X=9)=0.007

P(X=2)=0.137 P(X=6)=0.109 P(X=10)=0.002

P(X=3)=0.205 P(X=7)=0.055

P{X=k}<0.001, 当 k11 时

26

计算结果的图形 :

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

27

例 3 某人进行射击 , 设每次射击命中率为 0.02, 独立射击 400 次 , 试求至少击中两次的概率 .解 : 将一次射击看成是一次试验 . 设击中的次数为 X, 则 X~b(400,0.02). X 的分布律为

.400,...,1,0,)98.0()02.0(400

}{ 400

k

kkXP kk

P{X2}=1P{X=0}P{X=1}

=1(0.98)400400(0.02)(0.98)399=0.9972.

28

泊松（ Poisson）定理：设 λ>0 是一常数 ,n是任意正整数 , 设 npn=λ, 则对于任一固定的非负整数 k, 有

lim (1 )!

kk n kn n

n

n ep p

k k

通常在 n 比较大 , p很小时 , 用泊松分布近似代替二项分布的公式 , 其中 =np.泊松分布的方便之处在于有现成的分布表可查( 第三版教材没有泊松分布表 )

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例 4 设有 80 台同类型设备 , 各台工作是相互独立的 , 发生故障的概率都是 0.01, 且一台设备的故障能由一个人处理 , 考虑两种配备维修工人的方法 , 其一是由 4 人维护 , 每人负责 20 台 ; 其二是由 3 人共同维护 80 台 . 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小 .

解 按第一种方法 , 以 X 记“第 1 人维护的 20 台中同一时刻发生故障的台数” , 以 Ai(i=1,2,3,4) 表示事件“第 i 人维护的 20 台中发生故障不能及时维修 ".

30

则知 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为

P(A1A2A3A4)P(A1)=P(X2).而 X~b(20,0.01), 故有

0169.0)99.0()01.0(20

1

)(1}2{

1

0

20

1

0

k

kk

k

k

kXPXP

即有 P(A1A2A3A4)0.0169.

31

按第二种方法 , 以 Y 记 80 台中同一时刻发生故障的台数 . 此时 , Y~b(80,0.01), 故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为

.0087.0)99.0()01.0(80

1}4{3

0

80

k

kk

kYP

可以看出 , 在后一种情况下尽管任务重了( 每人平均维护约 27 台 ), 但工作效率不仅没有降低 , 反而提高了 .

32

( 三 )泊松分布 设随机变量 X 所有可能取的值为 0,1,2,..., 而取各个值的概率为

,,2,1,0,!e

}{

kk

kXPk

1ee!

e!e

}{000

k

k

k

k

k kkkXP

其中 >0 是常数 . 则称 X服从参数为的泊松分布 , 记为 X~().

易知 , P(X=k)0, k=0,1,2,..., 且有

33

泊松分布常见于所谓稠密性的问题中 , 如一段时间内 , 电话用户对电话台的呼唤次数 , 候车的旅客数 , 原子放射粒子数 , 织机上断头的次数 , 以及零件铸造表面上一定大小的面积内砂眼的个数等等 .

34

作业　第二章习题第 69页３、４题

第３题并写出 X 的分布函数　

35

§3 随机变量的分布函数

36

对于非离散型随机变量 X, 由于其可能取的值不能一个一个地列举出来 , 因而就不能像离散型随机变量那样可以用分布律来描述它 . 另外 , 通常所遇到的非离散型随机变量取任一指定的实数值的概率都等于 0. 再者 , 在实际中 , 对于这样的随机变量 , 例如误差 , 元件的寿命 T等 , 我们并不会对误差 =0.05(mm), 寿命 T=1251.3(h) 的概率感兴趣 , 而是考虑误差落在某个区间的概率 , 寿命 T 大于某个数的概率 . 因而我们转而去研究随机变量所取的值落在一个区间的概率 , P{x1<Xx2}.

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由于P{x1<Xx2}=P{xx2}P{xx1}.

所以我们只需知道 P{xx2} 和 P{xx1} 就可以了 . 由此引出分布函数的概念 .

定义 设 X 是一个随机变量 , x 是任意实数 . 函数

F(x)= P{Xx}称为 X 的分布函数 .对于任意实数 x1,x2(x1<x2), 有

P{x1<Xx2}=P{xx2}P{xx1}=F(x2)F(x1), (3.1)

称为 X 的分布函数 .

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分布函数是一个普通的函数 , 正是通过它 , 我们能用数学分析的方法来研究随机变量 . 如果将 X看成是数轴上的随机点的坐标 , 则分布函数 F(x) 在 x处的函数值就表示 X落在区间 (, x] 上的概率 .分布函数 F(x)具有以下的基本性质 :

1, F(x) 是一个不减函数 .事实上 , 由 (3.1) 式对于任意实数 x1,x2(x1<x2)有

F(x2)F(x1)=P{x1<Xx2}0.

39

2, 0F(x)1, 且

.1)(lim)(

,0)(lim)(

xFF

xFF

x

x

如图 , 将区间端点 x沿数轴无限向左移动( 即 x, 则 " 随机点 X落在 x左边 " 这一事件趋于不可能事件 , 从而其概率趋于 0, 即有 F()=0; 又若将点 x 无限右移 , ( 即 x), 则 " 随机点 X落在 x左边 " 这一事件趋于必然事件 , 从而其概率趋于 1, 即有 F()=1.3 F(x+0)=F(x), 即 F(x) 是右连续的 (证略 ).

xXO

40

例 1 设随机变量 X 的分布律为

}.32{

25

23

,21

,

XP

XPXPX 并求的分布函数求

解 X 仅在 x1,2,3 三点处其概率 0, 而 F(x)的值是 Xx 的累积概率值 , 由概率的有限可加性 , 知它即为小于或等于 x 的那些 xk处的概率 pk 之和 .

X 1 2 3

pk 1/4 1/2 1/4

41

由此得

.3,1

32,43

,21,41

,1,0

)(

x

x

x

x

xF

X 1 2 3

pk 1/4 1/2 1/4

42

F(x) 的图形为

.3,132,4/3

,21,4/1,1,0

)(

xx

xx

xF

1 O 1 2 3 x

1F(x)

43

.43

21

43

1

}2{)2()3(}32{

.21

41

43

23

25

25

23

41

21

21

XPFFXP

FFXP

FXP

44

一般 , 设离散型随机变量 X 的分布律为P{X=xk}=pk, k=1,2,....

由概率的可列可加性得 X 的分布函数为

)2.3(,)(

,}{}{)(

xxk

xxk

k

k

pxF

xXPxXPxF

即

这里和式是对于所有满足 xkx 的 k求和的 . 分布函数 F(x) 在 x=xk(k=1,2,...)处有跳跃 , 其跳跃值为 pk=P{X=xk}.

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作业 第二章 习题 第 69页开始

第 1,3,6题

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