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概率论与数理统计. 福建师范大学福清分校数计系. 第二章 随机变量及其分布. 第 1 讲. §1 随机变量. 为了全面研究随机试验的结果 , 揭示随机现象的统计规律性 , 将随机试验的结果与实数对应起来 , 将随机试验的结果数量化 , 引入随机变量的概念 . 在随机试验完成时 , 人们常常不是关心试验结果本身 , 而是对于试验结果联系着的某个数感兴趣. 例 1 在一袋中装有编号分别为 1,2,3 的 3 只球 . 在袋中任取一只球 , 放回 . 再取一只球 , 记录它们的编号 . 计算两只球的号码之和. j. 3. 5. 4. 6. 2. - PowerPoint PPT Presentation
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1
概率论与数理统计
福建师范大学福清分校数计系
2
第二章随机变量及其分布
第 1讲
3
§1 随机变量
4
为了全面研究随机试验的结果 , 揭示随机现象的统计规律性 , 将随机试验的结果与实数对应起来 , 将随机试验的结果数量化 , 引入随机变量的概念 .
在随机试验完成时 , 人们常常不是关心试验结果本身 , 而是对于试验结果联系着的某个数感兴趣 .
5
例 1 在一袋中装有编号分别为 1,2,3 的 3 只球 . 在袋中任取一只球 , 放回 . 再取一只球 , 记录它们的编号 . 计算两只球的号码之和 .
试验的样本空间 S={e}={i,j},i,j=1,2,3. 这里 i,j分别表示第一 , 二球的号码 . 以 X 记两球号码之和 , 对于每一个样本点 e, X 都有一个值与之对应 , 如图所示 .
1 2 3 i
12 3 4
23 4 5
34 5 6
j
6
例 2 将一枚硬币抛掷 3 次 . 关心 3 次抛掷中 , 出现 H 的总次数 , 而对 H,T 出现的顺序不关心 . 比如说 , 我们仅关心出现 H 的总次数为 2, 而不在乎出现的是 "HHT","HTH" 还是 "THH". 以 X 记三次抛掷中出现 H 的总数 , 则对样本空间 S={e} 中的每一个样本点 e, X都有一个值与之对应 , 即有
样本点 HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT
X 的值 3 2 2 2 1 1 1 0
7
定义 设随机试验的样本空间为 S={e}. X=X(e)是定义在样本空间 S 上的实值单值函数 . 称X=X(e) 为随机变量 .
S
e1
e2
e3
x
8
有许多随机试验 , 它的结果本身是一个数 , 即样本点 e 本身是一个数 . 我们令 X=X(e)=e, 则 X 就是一个随机变量 . 例如 , 用 Y 记某车间一天的缺勤人数 , 以 W 记录某地区第一季度的降雨量 , 以 Z 记某工厂一天的耗电量 , 以 N 记某医院某一天的挂号人数 . 那么 Y, W, Z, N 都是随机变量 .本书中 , 一般以大写字母如 X,Y,Z,W,... 表示随机变量 , 而以小写字母 x,y,z,w,... 表示实数 .
9
随机变量的取值随试验结果而定 , 而试验的各个结果出现有一定的概率 , 因而随机变量的取值有一定的概率 . 例如 , 在例2中 X 取值为 2, 记成 {X=2}, 对应于样本点的集合 A={HHT, HTH, THH}, 这是一个事件 , 当且仅当事件 A 发生时有 {X=2}. 则称 P(A)=P{HHT, HTH, THH} 为 {X=2} 的概率 , 即 P(X=2)=P(A)=3/8. 类似地有
84
},,,{}1{ TTTTTHTHTHTTPXP
10
一般 , 若 L 是一个实数集合 , 将 X 在 L 上取值写成 {XL}. 它表示事件 B={e|X(e)L}, 即B 是由 S 中使得 X(e)L 的所有样本点 e 所组成的事件 . 此时有
P{XL}=P(B)=P{e|X(e)L},随机变量的取值随试验的结果而定 , 在试验之前不能预知它取什么值 , 且它的取值有一定的概率 . 这些性质显示了随机变量与普通函数有着本质的差异 .
11
§2 离散型随机变量及其分布律
12
有些随机变量 , 它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个 , 这种随机变量称为离散型随机变量 . 例如 §1例2中的随机变量 X, 它只可能取 0,1,2,3 四个值 , 它是一个离散型随机变量 . 又如某城市的 120 急救电话台一昼夜收到的呼唤次数也是离散型随机变量 . 若以 T 记某元件的寿命 , 它所可能取的值充满一个区间 , 是无法按一定次序一一列举出来的 , 因而它是一个非离散型的随机变量 . 本节讨论离散型随机变量
13
要掌握一个离散型随机变量 X 的统计规律 , 必须且只需知道 X 的所有可能取的值及取每一个可能值的概率 .设 X 所有可能取的值为 xk(k=1,2,...), 而
P{X=xk}=pk, k=1,2,.... (2.1)由概率的定义 , pk 满足如下两个条件
)3.2(.1,2
)2.2(;,2,1,0,1
1
kk
k
p
kp
14
称 (2.1)式 即 : P{X=xk}=pk, k=1,2,.... 为离散型随机变量 X 的分布律 . 分布律也可用表格的形式来表示 :
.1,}{]}{[1
,,}{}{
,}{)(2
111
21
kk
kk
kk
kj
pxXPxXP
jkxXxX
xXxX
即
故且是必然事件是由于
X x1 x2 ... xn ...
pk p1 p2 ... pn ...(2.4)
15
例 1 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯 , 每组信号灯以 1/2 概率允许或禁止汽车通过 . 以 X 表示汽车首次停下时 , 它已通过的信号灯组数 ( 设各组信号灯的工作是相互独立的 ), 求 X的分布律 .解 以 p 表示每组信号灯禁止汽车通过的概率 , 易知 X 的分布律为
X 0 1 2 3 4
pk p (1p)p (1p)2p (1p)3p (1p)4
16
X 0 1 2 3 4
pk p (1p)p (1p)2p (1p)3p (1p)4
P={X=k}=(1p)kp, k=0,1,2,3, P{X=4}=(1p)4. 以 p=1/2代入得
X 0 1 2 3 4
pk 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625
17
补充例题 : 盒内装有外形与功率均相同的 15 个灯泡 , 其中 10 个螺口 ,5 个卡口 . 灯口向下放着 . 现在需要 1 个螺口灯泡 ,从盒子任意取一个 , 若取到的是卡口灯泡就不再放回去 .求在取到螺口灯泡之前已取出的卡口灯泡数 X 的分布 .
解 :依题意知 X 的可能取值为 :0、 1、 2、 3、 4、5
10 5 10 50 1
15 15 14 215 4 10 20 5 4 3 10 5
2 315 14 13 273 15 14 13 12 2735 4 3 2 10 10 5 4 3 2 1 1
4 5 115 14 13 12 11 3003 15 14 13 12 11 3003
P X P X
P X P X
P X P X
18
则 X 的分布律为:
X 0 1 2 3 4 5
P 2/3 5/21 20/273 5/273 10/3003 1/3003
19
下面介绍三种重要的离散型随机变量 .
( 一 ) (0-1) 分布 设随机变量 X 只可能取 0 与 1 两个值 , 它的分布律是
P(X=k)=pk(1p)1k, k=0,1 (0<p<1),则称 X服从 (0-1) 分布或两点分布 .(0-1) 分布的分布律也可写成
X 0 1
pk 1p p
20
对一个随机试验中的任何一个给定的事件 A, 0<P(A)<1, 都可以根据事件 A 定义一个服从 0-1 分布的随机变量来描述 .
.,1,,0
)(AeAe
eXX当当
例如: 对新生婴儿的性别进行登记 , 男性记为“ 1”、女性记为“ 0”;检查产品的质量是否合格 , 合格记为“ 1”、不合格记为“ 0”;某车间的电力消耗是否超过负荷,超过记为“ 1”、不超过记为“ 0”;抛硬币,正面记为“ 1”、反面记为“ 0”等试验都可以用 (0-1) 分布的随机变量来描述 . (0-1) 分布是经常遇到的一种分布 .
21
(二)伯努利试验,二项分布 试验 E只有两种可能结果 A A和它的逆事件 , 则称 E为伯努利
试验, 设 P(A)=p(0<p<1), 此时 pAP 1)( .
若将试验 E独立地重复地进行 n次, 则这一串重复的独立试验
称为 n重伯努利试验.
这里重复是指每次试验中 P(A)=p 保持不变,"独立"是指每次试
验的结果互不影响。若以 Ci 记第 i 次试验的结果, Ci 为 AA或 ,
i=1,2,…,n. "独立"是指
P{C1C2…Cn}=P(C1)P(C2)…P(Cn). (2.5)
22
定义随机变量 X 表示 n重伯努利试验中事件A 发生的次数 , 我们来求它的分布律 . X 所有可能取的值为 0,1,2,...,n. 由于各次试验是相互独立的 , 因此事件 A 在指定的 k(0kn)次试验中发生 , 在其它 nk 次试验中 A 不发生的概率为
,)1(
,,
.)1()1()1()1(
knk
knk
knk
ppkn
kAn
kn
pppppppp
次的概率为发生次试验中故在
它们两两互不相容的种这种指定的方式共有
个个
23
记 q=1p, 即有
)6.2(.,...,2,1,0,)( nkqpkn
kXP knk
服从参数为故我们称随机变量的那一项
的展开式中出现刚好是二项式
显然
Xp
qpqpkn
qpqpkn
kXP
k
nknk
nn
k
knkn
k
,
)(
.1)(}{,00
n,p 的二项分布 , 记为 X~b(n,p).
24
例 2 按规定 , 某种型号电子元件的使用寿命超过 1500 小时的为一级品 . 已知一大批产品的一级品率为 0.2, 现在从中随机地抽查 20只 . 问 20 只元件中恰有 k 只 (k=0,1,...,20) 为一级品的概率是多少 ?
解 这是不放回抽样 . 但由于这批元件的总数很大 , 且抽查的元件数量相对于元件的总数来说又很小 , 因而可以当作放回抽样来处理 , 这样做会有一些误差 , 但误差不大 . 检查一只元件看它是否为一级品 , 检查 20 只元件相当于 20重贝努利试验 , 以 X 记其中一级品总数 , 则
25
X~b(20,0.2). 由 (2.6)式即得所求概率为
.20,...,1,0,)8.0()2.0(20
}{ 20
k
kkXP kk
将计算结果列表如下 :
P(X=0)=0.012 P(X=4)=0.218 P(X=8)=0.022
P(X=1)=0.058 P(X=5)=0.175 P(X=9)=0.007
P(X=2)=0.137 P(X=6)=0.109 P(X=10)=0.002
P(X=3)=0.205 P(X=7)=0.055
P{X=k}<0.001, 当 k11 时
26
计算结果的图形 :
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
27
例 3 某人进行射击 , 设每次射击命中率为 0.02, 独立射击 400 次 , 试求至少击中两次的概率 .解 : 将一次射击看成是一次试验 . 设击中的次数为 X, 则 X~b(400,0.02). X 的分布律为
.400,...,1,0,)98.0()02.0(400
}{ 400
k
kkXP kk
P{X2}=1P{X=0}P{X=1}
=1(0.98)400400(0.02)(0.98)399=0.9972.
28
泊松( Poisson)定理:设 λ>0 是一常数 ,n是任意正整数 , 设 npn=λ, 则对于任一固定的非负整数 k, 有
lim (1 )!
kk n kn n
n
n ep p
k k
通常在 n 比较大 , p很小时 , 用泊松分布近似代替二项分布的公式 , 其中 =np.泊松分布的方便之处在于有现成的分布表可查( 第三版教材没有泊松分布表 )
29
例 4 设有 80 台同类型设备 , 各台工作是相互独立的 , 发生故障的概率都是 0.01, 且一台设备的故障能由一个人处理 , 考虑两种配备维修工人的方法 , 其一是由 4 人维护 , 每人负责 20 台 ; 其二是由 3 人共同维护 80 台 . 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小 .
解 按第一种方法 , 以 X 记“第 1 人维护的 20 台中同一时刻发生故障的台数” , 以 Ai(i=1,2,3,4) 表示事件“第 i 人维护的 20 台中发生故障不能及时维修 ".
30
则知 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为
P(A1A2A3A4)P(A1)=P(X2).而 X~b(20,0.01), 故有
0169.0)99.0()01.0(20
1
)(1}2{
1
0
20
1
0
k
kk
k
k
kXPXP
即有 P(A1A2A3A4)0.0169.
31
按第二种方法 , 以 Y 记 80 台中同一时刻发生故障的台数 . 此时 , Y~b(80,0.01), 故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为
.0087.0)99.0()01.0(80
1}4{3
0
80
k
kk
kYP
可以看出 , 在后一种情况下尽管任务重了( 每人平均维护约 27 台 ), 但工作效率不仅没有降低 , 反而提高了 .
32
( 三 )泊松分布 设随机变量 X 所有可能取的值为 0,1,2,..., 而取各个值的概率为
,,2,1,0,!e
}{
kk
kXPk
1ee!
e!e
}{000
k
k
k
k
k kkkXP
其中 >0 是常数 . 则称 X服从参数为的泊松分布 , 记为 X~().
易知 , P(X=k)0, k=0,1,2,..., 且有
33
泊松分布常见于所谓稠密性的问题中 , 如一段时间内 , 电话用户对电话台的呼唤次数 , 候车的旅客数 , 原子放射粒子数 , 织机上断头的次数 , 以及零件铸造表面上一定大小的面积内砂眼的个数等等 .
34
作业 第二章习题第 69页3、4题
第3题并写出 X 的分布函数
35
§3 随机变量的分布函数
36
对于非离散型随机变量 X, 由于其可能取的值不能一个一个地列举出来 , 因而就不能像离散型随机变量那样可以用分布律来描述它 . 另外 , 通常所遇到的非离散型随机变量取任一指定的实数值的概率都等于 0. 再者 , 在实际中 , 对于这样的随机变量 , 例如误差 , 元件的寿命 T等 , 我们并不会对误差 =0.05(mm), 寿命 T=1251.3(h) 的概率感兴趣 , 而是考虑误差落在某个区间的概率 , 寿命 T 大于某个数的概率 . 因而我们转而去研究随机变量所取的值落在一个区间的概率 , P{x1<Xx2}.
37
由于P{x1<Xx2}=P{xx2}P{xx1}.
所以我们只需知道 P{xx2} 和 P{xx1} 就可以了 . 由此引出分布函数的概念 .
定义 设 X 是一个随机变量 , x 是任意实数 . 函数
F(x)= P{Xx}称为 X 的分布函数 .对于任意实数 x1,x2(x1<x2), 有
P{x1<Xx2}=P{xx2}P{xx1}=F(x2)F(x1), (3.1)
称为 X 的分布函数 .
38
分布函数是一个普通的函数 , 正是通过它 , 我们能用数学分析的方法来研究随机变量 . 如果将 X看成是数轴上的随机点的坐标 , 则分布函数 F(x) 在 x处的函数值就表示 X落在区间 (, x] 上的概率 .分布函数 F(x)具有以下的基本性质 :
1, F(x) 是一个不减函数 .事实上 , 由 (3.1) 式对于任意实数 x1,x2(x1<x2)有
F(x2)F(x1)=P{x1<Xx2}0.
39
2, 0F(x)1, 且
.1)(lim)(
,0)(lim)(
xFF
xFF
x
x
如图 , 将区间端点 x沿数轴无限向左移动( 即 x, 则 " 随机点 X落在 x左边 " 这一事件趋于不可能事件 , 从而其概率趋于 0, 即有 F()=0; 又若将点 x 无限右移 , ( 即 x), 则 " 随机点 X落在 x左边 " 这一事件趋于必然事件 , 从而其概率趋于 1, 即有 F()=1.3 F(x+0)=F(x), 即 F(x) 是右连续的 (证略 ).
xXO
40
例 1 设随机变量 X 的分布律为
}.32{
25
23
,21
,
XP
XPXPX 并求的分布函数求
解 X 仅在 x1,2,3 三点处其概率 0, 而 F(x)的值是 Xx 的累积概率值 , 由概率的有限可加性 , 知它即为小于或等于 x 的那些 xk处的概率 pk 之和 .
X 1 2 3
pk 1/4 1/2 1/4
41
由此得
.3,1
32,43
,21,41
,1,0
)(
x
x
x
x
xF
X 1 2 3
pk 1/4 1/2 1/4
42
F(x) 的图形为
.3,132,4/3
,21,4/1,1,0
)(
xx
xx
xF
1 O 1 2 3 x
1F(x)
43
.43
21
43
1
}2{)2()3(}32{
.21
41
43
23
25
25
23
41
21
21
XPFFXP
FFXP
FXP
44
一般 , 设离散型随机变量 X 的分布律为P{X=xk}=pk, k=1,2,....
由概率的可列可加性得 X 的分布函数为
)2.3(,)(
,}{}{)(
xxk
xxk
k
k
pxF
xXPxXPxF
即
这里和式是对于所有满足 xkx 的 k求和的 . 分布函数 F(x) 在 x=xk(k=1,2,...)处有跳跃 , 其跳跃值为 pk=P{X=xk}.
45
作业 第二章 习题 第 69页开始
第 1,3,6题
46
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