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考点 课标要求 难度特殊平行四边形的性

质

1 ．探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直．2 ．正方形具有矩形和菱形的一切性质

中等及中等以

上

考点 课标要求 难度特殊平行四边形的判

定

探索并证明矩形、菱形、正方形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

中等及中等以上

题型预测 特殊平行四边形的中考热点，其题型可能填空、选择和解答题，也可能在压轴题中出现，每份试卷至少 2 题关于特殊平行四边形的内容，可能简单，也可能复杂．

90° 相等

相等垂直 平分

两条对角线

都相等

相等 垂直 平分

四

等于 90°

C

5

考点 1 矩形（考查频率：★★☆☆☆） 命题方向：（ 1 ）矩形有关的计算问题（特别是对角线夹角为 60° 的矩形）；（ 2 ）矩形的判定．

1 ． （ 2013 湖 北 宜 昌 ） 如 图 ， 在 矩 形 ABCD 中 ， AB ＜BC ， AC ， BD 相交于点 O ，则图中等腰三角形的个数是（ ）

A ． 8 B ． 6 C ． 4 D ． 22 ．（ 2013 四川资阳）在矩形 ABCD 中，对角线 ACBD 相交于

点 O ，若∠ AOB ＝ 60° ， AC ＝ 10 ，则 AB ＝ ___________．

证明：（ 1）∵点 O 为 AB的中点， OE ＝ OD,∴四边形 AEBD是平行四边形∵ AB ＝ AC ， AD是△ ABC的角平分线，∴ AD⊥BC∴四边形 AEBD是矩形（ 2）当△ ABC是等腰直角三角形时，矩形 AEBD是正方形 .∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAD ＝∠ CAD＝∠ DBA ＝ 45°∴ BD ＝ AD.由（ 1）知四边形 AEBD是矩形，∴四边形 AEBD是正方形 .

3 ．（ 2013 辽宁铁岭）如图△ ABC 中， AB ＝ AC ， AD 是△ ABC 的角平分线，点 O 为 AB 的中点，连接 DO 并延长到点 E ，使 OE ＝ OD ，连接 AE ， BE ，（ 1 ）求证：四边形 AEBD 是矩形；（ 2 ）当△ ABC 满足什么条件时，矩 形 AEBD 是正方形，并说明理由 .

4．（ 2013江苏扬州）如图，在菱形 ABCD中，∠ BAD ＝ 80° ， AB的垂直平分线交对角线 AC于点 F，垂足为 E，连接 DF，则∠ CDF 等于（ ） A ． 50° B ． 60° C ． 70° D ． 80°5．（ 2013四川巴中）如图，菱形 ABCD的两条对角线相交于 O，若 AC ＝ 6， BD ＝ 4，则菱形 ABCD 的周长是（ ） A ． 24 B ． 16 C ． 4 D ． 2

B

C13 3

B

1 3

2

6．

7．

考点 3 正方形（考查频率：★★★★☆）命题方向：（ 1）以填空或者选择的形式考查正方形的判定；（ 2）正方形的边角关系；（ 3）正方形的对称性解决的问题．8 ．（ 2013 贵州省六盘水）在平面中，下列命题为真命题的是（ ）． A ．四个角相等的四边形是矩形 B ．对角线垂直的四边形是菱形 C ．对角线相等的四边形是矩形 D ．四边相等的四边形是正方形9 ．（ 2013 山东威海）如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90° ， BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D ，交 AB 于点 E ，且 BE ＝ BF. 添加一个条件，仍不能证明四边形 BECF 为正方形的是（ ）．A ． BC ＝ AC B ． CF⊥BF C ． BD ＝ DF D ． AC＝ BF

A

D

C

C

B

C

14 ．（ 2013 山东德州）如图，在正方形 ABCD 中，边长为 2 的等边三角形AEF 的顶点 E 、 F 分别在 BC 和 CD 上 . 下列结论：① CE ＝ CF ；②∠ AEB ＝ 75 ；③ BE ＋ DF ＝ EF ；④ S 正方形 ABCD ＝ 2 ＋ . 其中正确的序号是 . （把你认为正确的都填上）

考点 4 折叠问题（考查频率：★☆☆☆☆）命题方向：（ 1）矩形纸片的折叠问题； 15 ．（ 2013 四川南充）如图，把矩形 ABCD 沿 EF 翻折，点 B 恰好落在 AD

边的 B′ 处，若 AE ＝ 2 ， DE ＝ 6 ，∠ EFB ＝ 60° ，则矩形 ABCD 的面积是（ ）

A ． 12 B ． 24 C ． 12 D ． 16

D

①②④

3 3

3

考点 5 最短距离问题（考查频率：★★★☆☆）命题方向：正方形的线段之和最小问题； 16 ．（ 2013 年黔南州）如图，正方形 ABCD 的边长是 2 ，以正方形 ABCD 的边 AB 为边，在正方形内作等边三角形 ABE ， P 为对角线 AC 上的一点，则 PD ＋ PE 的最小值为 _________

17 ．（ 2013 浙江舟山）如图，正方形 ABCD 的边长为 3 ，点E ， F 分别在边 AB ， BC 上， AE ＝ BF ＝ 1 ，小球 P 从点 E 出发沿直线向点 F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球 P 第一次碰到点 E 时，小球 P 所经过的路程为 ．

2

6 5

考点 6 规律探究问题（考查频率：★★☆☆☆）命题方向：一组特殊平行四边形寻找周长、面积或坐标之间的关系．17 ．（ 2013 浙江衢州）如图，在菱形 ABCD 中，边长为 10 ，∠ A ＝ 60°. 顺次连结菱形 ABCD 各边中点，可得四边形 A1B1C1D1 ；顺次连结四边形 A1B1C1D1 各边中点，可得四边形 A2B2C2D2 ；顺次连结四边形 A2B2C2D2 各边中点，可得四边形 A3B3C3D3 ；按此规律继续下去…… . 则四边形 A2B2C2D2 的周长是 ；四边形 A2013B2013C2013D2013 的周长是 .

20

2015

5 5 3

2

例 1 ：（ 2013 湖南娄底）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含 60° 角的直角三角板 ABC 与 AFE 按如图 1 所示位置放置，现将 Rt△AEF 绕 A 点按逆时针方向旋转角 α （ 0° ＜ α ＜ 90° ），如图 2 ， AE 与BC 交于点 M ， AC 与 EF 交于点 N ， BC 与 EF 交于点 P.

（ 1 ）求证： AM ＝ AN ；（ 2 ）当旋转角 α ＝ 30° 时，四边形 ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由 .

【解题思路】（ 1）证明 AM＝ AN，只需证明其所在的△ ABM与△ AFN全等；（ 2）探究四边形 ABPF的形状，须抓住旋转角为 30°，结合直角三角形中的 60°、 30°、 90°进行思考，不难发现两组对边平行，可证其为平行四边形，再由（ 1）结论证出其为菱形 .

（ 1 ）∵∠ α＋∠ EAC ＝ 90° ， ∠NAF＋∠ EAC ＝ 90° ．∴∠α＝∠ NAF ． 又∵∠ B＝∠ F ， AB ＝ AF ． ∴△ABM≌△AFN ∴ AM ＝ AN （ 2 ）四边形 ABPF 是菱形 .理由：∵∠ α ＝ 30° ，∠ EAF ＝ 90° ∴∠BAF ＝ 120° ． 又∵∠ B＝∠ F ＝ 60°∴∠B＋∠ BAF ＝ 60° ＋ 120° ＝ 180° ，∠F＋∠ BAF ＝ 60° ＋ 120° ＝ 180°∴ AF∥ BC ， AB∥ EF ∴四边形 ABPF 是平行四边形 又∵ AM ＝ AN∴平行四边形 ABPF 是菱形 .

【必知点】 1．菱形性质的理解：从这一定义可以看出，菱形是一个特殊的平行四边形，理解菱形的定义，我

们可从菱形的共性和特性两个方面来理解．共性：菱形是一个特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质，如对

边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分等．菱形的特性主要体现在两个方面：①邻边相等；②对角线互相垂直．菱形的性质

2．菱形判定的理解如果把一组邻边相等和对角线互相垂直看作菱形的特征，菱形的判断方法可

“ ”以理解为 平行四边形＋菱形特征＝菱形 ，也就是说，要证明一个四边形是菱形，可先证明这个四边形是一个平行四边形，然后再添加一个菱形的特征．

    性质菱形 四个角 对角相等

四条边 对边平行 , 四条边相等对角线 对角线互相垂直平分对称性 既是轴对称又是中心对称图形面积 0.5ab（其中 a 、 b表示两条对角线的

长）

20

例 2 ：（ 2013 四川宜宾）如图，在△ ABC 中，∠ ABC ＝ 90° ， BD 为 AC 边的中线，过点 C 作 CE⊥BD 于点 E ，过点 A 作 BD 的平行线，交 CE 的 延 长 线 于 点 F ， 在 AF 的 延 长 线 上截取 FG ＝ BD ， 连 结BG 、 DF ．若 AG ＝ 13 ， CF ＝ 6 ，则四边形 BDFG 的周长为 .【解题思路】首先可判断四边形 BGFD

是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得 BD＝ FD，则可判断四边形 BGFD是菱形，设 GF＝ x，则AF＝ 13－ x， AC＝ 2x，在 Rt△ ACF中利用勾股定理可求出 x的值．

【必知点】顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是平行四边形；顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是菱形；顺次连结菱形四边中点所得的四边形一定是矩形；顺次连结正方形四边中点所得的四边形还是正方形 .

例 3：（ 2013 四川雅安）如图，正方形 ABCD中，点 E、 F 分别在 BC 、 CD上，△ AEF是等边三角形，连接 AC

交 EF 于 G，下列结论：① BE ＝ DF，②∠ DAF ＝ 15°，③ AC垂直平分 EF，④ BE ＋ DF ＝ EF，⑤ S△CEF ＝ 2S△ABE

．其中正确结论有（ ） A ． 2 个 B ． 3 个 C ． 4 个 D ． 5个

【解题思路】①通过证明△ ABE≌△ADF即可证明BE＝ DF;②通过证明△ ABE≌△ADF可得∠ BAE＝∠ DAF，即可证出∠ DAF＝ 15º；③由∠ BAE＝∠ DAF，∠ BAC＝∠ DAC可得：∠ EAG＝∠ FAG，然后根据等腰三角形三线合一定理可得： AC垂直平分EF；④把△ ADF绕点 A逆时针旋转 90º至△ ABF’的位置，（或延长 EB至 F’，使 BF’＝ DF’，连接 AF’）通过证明∠ F’AE＝ 30º可得： EF’≠AE，即 BE＋ DF≠EF⑤过点 E作 EN⊥AF，垂足为 N，欲证S△ CEF ＝ 2S△ ABE，需证 S△ AF’E ＝ S△ CEF∵ AF’＝ EF，∴可证 EN＝ CG即可 .

C

例 1 ：已知菱 形 ABCD 中 ， 对 角 线 AC 与 BD 相 交 于 点O ，∠ BAD ＝ 120° ， AC ＝ 4 ，则该菱形的面积是（ ）

例 2 ：下列说法中正确的是（ ）A ．一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形B ．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形C ．对角线互相垂直的平行四边形是矩形D ．一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形【解题思路】 A 是不对的， A项提供的条件首先不能证明它是

平行四边形； B 对于直角梯形也成立，所以是错误的； C 所说的是菱形，所以也不对； D 正确，对角线互相平分可证明这个四边形是平行四边形，又一个角是直角，根据矩形的定义可知是矩形．【易错点睛】 B项很具迷惑性，提供的两个条件都是证明矩形所必须的，只不过少了一个条件．

例 3 ：如图， E 是正方形 ABCD 内一点，如果△ ABE 为等边三角形，那么∠ DCE ＝ ________ ．

【解 题思路】由 于 △ ABE 为 等 边 三 角 形 ， 则 AE ＝BE ， AD ＝ BC ，∠ DAE＝∠ CBE ，则△ ADE≌ △CBE ，则∠ DAE＝∠ CBE ＝ 30° ，又 AD ＝ AE ，则∠ DEA ＝ 75° ，则∠ DCE ＝ 15° ．

【易错点睛】本题出看起来无从下手，因为题目中没有给出一个度数，但却要求出角的度数。但发现，正方形、等边三角形本身就是带有角的度数的，所以可以根据它们求出此角的度数，本题易错的地方是找不到解决问题的途径．