电磁感应中终态问题归类例析

彭俊昌

电磁感应是高考的重点，同时也是难点。在处理电磁感应问题时，往往需要分析清楚能量的转化方式及方向，然后利用牛顿运动定律、动量定理、动量守恒定律、功能关系或能量守恒定律求解。

解题过程中理清物体运动过程的初末状态显得尤为重要，大多数情况下物体的初状态一般都是已知，关键就是分析清楚物体运动的最终状态。而电磁感应中的终态问题大多是以滑轨的模型出现。根据电路中接入元件的不同，可分为电阻型、电容型、电源型和双棒型。下面分而述之。

0vR

a

b

1图

一 . 电阻型1. 无动力电阻型 如图 1 所示，水平放置的光滑平行金属导轨 ,间距为 l ，左侧接有一电阻 R ，右侧接有一质量为M 的导体棒，整个装置位于磁感应强度为 B 的匀强磁场中，现给棒一水平速度 v0 ，问导体棒的最终状态如何？该过程电阻 R 上产生的热量多大 ?流过电阻 R 的电量是多少？导体棒所发生的位移多大 ?

解析 : 导体棒在安培力的作用下作加速度逐渐减小的变减速运动，最终状态为静止 .

这个过程中回路中产生的焦耳热等于导体棒克服安培力所做的功，即

0mvtlIB

202

1mvWQ B

通过回路导线横截面的电量为 q ，由动量定理得

所以： Bl

mvq 0

导体棒 ab 滑行的总位移为 s ，由

R

Bls

RBl

mvq

0

可得：22

0

lB

Rmvs

2. 有动力电阻型

如图 2 所示，导体棒 ab 受到恒定的外力作用从静止开始运动，则导体棒的最终运动状态又如何？

FR

a

b

2图

解析：导体棒在外力与安培力下做加速度减小的加速运动，最终匀速。最大速度为 vm ，则有：

22lB

FRvm

R

BlvI m

由平衡条件得 BIl=F

由闭合电路欧姆定律得

可解得

二 . 电容型1. 无动力电容型 如图 3 所示，若电容器开始不带电，现给导体棒一个初速度 v0 ，题中电容器电容为 C ，棒的电阻为 R 质量为 M ，磁感应强度为 B ，导轨间距为 L 。试求： (1) 导体棒的最终速度　 (2) 稳定时电容器所带的电量

0vC

a

b3图

R

解析：由于安培力的作用， ab 棒的速度越来越小，产生的感应电动势越来越低，而电容器由于充电，其两端电压越来越高，当 ab 两端电压等于电容器 C 两端电压时，回路中的 电流为０时，导体最终将做匀速运动。则有

C

qBlv

对 ab 棒由动量定理得 : mvmvtlIB 0

可以求得此时 ab 棒的速度：

mClB

mvv

220

电容器的带电量 ( 通过导体横截面的电量 ) 为 :

mClB

BClmvCBlvq

220

２ . 有动力电容型 如图 4 所示，导体棒 ab 在恒定外力 F 作用下从静止开始运动，设在 极短时间 Δt 内，导体棒 ab 的加速度为 a ，其速度增量为 Δv ，则 : 　　　　　　　　　　　　　　　　 Δv=aΔt电容器电压的增量 :　　　　　 ΔU=BlΔv=BlaΔt所以电路中的电流 :

BClat

UC

t

qI

对 ab 棒由牛顿第二定律得 :F － BIl=ma 　　　　

可得 : mClB

Fa

22

由此可见，导体棒 ab 的加速度与时间无关，即导体棒 ab 在恒力 F 的作用下作匀加速运动。

三 . 电源型1 . 无动力电源型

如图 5 所示，给导体棒 ab 向右的初速度 v0 ，由右手定则可知， ab 中产生的感应电流的方向为b→a ，与电源 E 提供的电流方向相同，由左手定则知 ab 棒所受的安培力的方向向左，所以 ab 棒向右作减速运动，至速度减为零后再向右做加速运动，此时 ab 中感应电流的方向与原来相反，随着速度的增大，回路中电流减小，直到电流为零时， ab 速度将保持不变，此时， E=Blv 。此过程中通过 ab 导体棒横截面的电量为 q ，由动量定理得 :

• 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

)( 0mvmvtlIB

Bl

mvmvq

0

所以 :

同学们请思考：如果电源的方向相反，则导体棒 ab 的运动情况又将如何？

0vE

a

b5图

如图 6 所示，导体棒 ab 从静止开始受到恒力 F 的作用开始向右加速运动，产生的感应电流方向为 b→a ，由左手定则知 ab 棒所受的安培力方向向左，当安培力等于恒力 F 时，导体棒作匀速运动，此时有 :

F=BIl由闭合电路欧姆定律知 :

Rr

BlvEI

EF

a

b6图

Bl

E

lB

rRFv 22

)(

若电源反接呢？请同学们思考棒的运动情况又如何？

(R 为导体棒的电阻， r 为电源内阻 ) ，可以解得最终导体棒 ab 匀速时的速度 :

EF

a

b6图

四 . 双棒型 1. 宽度相同无动力双棒型

如图 7 所示，导体棒 ab 、 cd 的质量分别为 m

1 、 m2 ，电阻分别为 r1 、 r2 ，均静止在水平光滑轨道上 ( 导轨足够长 ) ，现给 ab 棒一个垂直棒的水平初速度 v0 。试求： (1)ab 棒的最大速度 ;(2)整个过程产生的电热 ;(3) 通过导体横截面的电量 ;(4) 导轨间增加的距离。

7图

0v

a

b

c

d

参考答案

)(2)(

2

1

2

1)2(

21

20212

21201 mm

vmmvmmvmQ

)()3(

21

021

mmBl

vmmtIq

)(

)()4(

2122

21021

mmlB

rrvmms

021

1)1( vmm

mvab

2.宽度相同有动力双棒型

如图 8 所示，导体棒 ab 在水平恒力 F 的作用下从静止开始运动，由于安培力的作用， cd棒也从静止开始做加速运动，问两棒的最终状态如何？

8图

F

a

b

c

d

解析：由于感应电流的存在， cd 棒也从静止开始做加速运动，最终达到稳定状态时，两棒所受的合力恒定，电流强度也恒定 则有：

)( 212121

21 vvrr

Bl

rr

BlvBlvI

所以有 :

)()( 2121

21

21

aarr

Bl

t

v

t

v

rr

Bl

t

I

因为 l 为定值 ，所以有： 0t

I

a1=a2 ，所以 ab 、 cd 棒最终做加速度相同的匀加速运动，加速度 :

2121 mm

Faa

速度之差 Δv=v1 － v2 保持不变

3 . 宽度不同无动力双棒型 如图 9 所示，轨道宽部的宽度为 l1 ，窄部的宽度为 l2 ，导体棒质量分别为 m1 、 m2 ，电阻分别为 r1 、 r2 ，现给 cd 棒一个初速度 v0 ，由于 cd棒切割磁感线产生感应电流，使 ab 棒向右做加速度越来越小的变加速运 动，求稳定两棒的速度各是多大？ a

b

c

d

0v

9图

解析： ab 棒向右做加速度越来越小的变加速运动， cd 棒做加速度越来越小的变减速运动 , 最终稳定时两棒的加速度均为 0 ，设 ab 、 cd速度分别为 v1 、 v2 则有：Bl1v1=Bl2v2

由于 ab 、 cd 两棒所受的安培力大小不等，系统合外力不为零，故系统动量不守恒，不能用动量守恒列方程，但可以对两棒分别用动量定理列方程对 ab 有：

111 vmtlIB 对 cd 棒由动量定理 得：

02222 vmvmtlIB

212

221

02121 lmlm

vllmv

212

221

02

122 lmlm

vlmv

注意：由能量守恒和动量定理同样可以求出整个回路中产生的电能和通过导体横截面的电量

由以上二式可得：

4 . 宽度不同有动力双棒型 如图 10 所示， cd 棒在水平恒力 F 作用下由静止开始运动，由于切割磁感线产生感应电流，两棒都稳定时，电路中的电流恒定，由闭合电 路欧姆定律可得：

21

1122

rr

vBlvBlI

电流的变化率：

112221

11

22

21

alalrr

B

t

vl

t

vl

rr

B

t

I

a

b

c

d

F

10图

因为 I 恒定所以有：

22

1122

211 mlml

Flla

0t

I

可得： L2a2=l1a1

对 ab 棒由牛顿第二定律得： BIl1=m1a1

对 cd 棒由牛顿第二定律得 ：F － BIl2=m2a2

可解得 ：2

211

22

21

2 mlml

Fla

即最终 ab 、 cd 棒以恒定的加速度 a1 、 a2

做匀加速运动。

例 1. 如图 11 所示，在水平面上的两条平行导电导轨MN 、 PQ ，导轨间距离为 l ，匀强磁场垂直于导轨所在平面 (纸面 ) 向里，磁感应强度大小为 B ，两根金属杆 1 、2摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别是 m1 、m2 和 R1 、 R2 ，两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为 μ 。已知杆 1被外力拖动，以恒定速度 v0沿导轨运动；达到稳定状态时，杆 2 也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻可以忽略，求此时杆 2 克服摩擦力做功的功率。

M N

P Q

2 1

0v

11图

解析 : 设杆 2 的运动速度为 v ，由于两杆运动时 ，产生感应电动势为 : E=Bl(v0 － v)

感应电流 : 21 RR

EI

杆 2 作匀速运动，它受到的安培力等于它受到的摩擦力 : BIl=μm2g

导体杆 2 克服摩擦力做功的功率 :P=μm2gv

解得 :

22

2122022 LB

RRgmvgmP

例 2. 如图 13 所示，光滑的平行长直光滑导轨置于水平面内，间距为 L ，导轨左端接有阻值为 R 的电阻，质量为 m 的导体棒垂直跨接在导轨上。导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好。在导轨平面上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为 B 。开始时，导体棒静止于磁场区域的右端，当磁场以速度 v1 匀速向右移动时，导体棒随之开始运动，同时受到水平向左、大小为 f 的恒定阻力，并很快达到恒定速度，此时导体棒仍处于磁场区域内。求 :

(1) 求导体棒所能达到的恒定速度 v2.

(2) 为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超过多少 (3) 导体棒以恒定速度运动时，单位时间内克服阻力所做的功和电路中消耗的电功率各为多大？

Rm

1v

B

13图

解析 (1) 导体棒运动时，切割磁感线，产生感应电动势 : E＝ BL(v1 － v2)

根据闭合电路欧姆定律有： I＝ E/R

导体棒受到的安培力：

(2)假设导体棒不随磁场运动，产生的感应电动势为 :

1BLvE

， 速度恒定时有 :

可得 : 2212 LB

fRvv

R

vvLBBILF

)( 2122

fR

vvLB

)( 2122

R

vLBL

R

BLvBBILfm

122

（ 3）

)(2212 LB

fRvfvFP 导体棒

22

2221

222 )(

LB

Rf

R

vvLB

R

EP

电路

此时阻力与安培力平衡，所以有 :