混沌时间序列分析理论与方法

主讲人：杨 磊

内容安排• 混沌基本概念介绍

• 混沌识别方法

• 混沌序列相空间重构理论

1. 混沌基本概念介绍1.1 混沌的起源和发展 牛顿经典力学表明，力学系统服从确定的规

律。即当初始条件确定后，力学系统就将按确定的轨道运动。在我们日常经验中，事物的一般重复现象很明显。这些现象似乎表明我们的世界是规则、和谐、有序的，自然现象的变化是周期的、重复的。 1963 年美国气象学家洛伦兹发现大气变化的非周期性，天气预报难就难在天气变化不是周期性的。

混沌理论把混沌描述为无序的，非周期性的现象。自从科学家不懈地探索自然规律以来，无序、非周期性现象就一直被忽略。自然界中不规则的方面、不连续和不稳定的方面，一直是科学的难题，是无法理解的怪物。科学家常常把它们当做噪声或科学垃圾扔掉。而混沌不同于噪声，有其自身的规律。这正是科学家所要研究的

1.2 混沌的定义• 非线性确定性系统中 , 由于系统内部非线

性相互作用而产生的一种非周期的行为• 对初始状态敏感，表现似周期、非周期和

不可预报性的过程 • 在确定性的非线性动态系统中出现的貌似

随机的、不能预测的运动。 • 对初始条件敏感的非线性确定性系统的动

态，具有正的李雅普诺夫指数。

1.3 混沌运动的特点• 对于初值条件的极端敏感依赖性 该特征是指混沌不可无限预测，即使

初始状态极为靠近的两点，随着时间也会呈指数函数扩大。

• 非周期性表明混沌的非线性和无序性• 存在奇异吸引子 吸引子是指相空间中的一点集或一个

子空间，随着时间的流逝，在暂态消亡后所有轨迹都趋向与它。

对确定性系统来说，吸引子维数为整数，但混沌吸引子的维数却是分数，所以称为奇异吸引子。

右上 1 ：单摆吸引子 右下 2 ： Lorenz 奇异吸

引子

2. 混沌识别 混沌识别主要包括定性和定量两种方法，定

性方法主要通过揭示混沌信号在时域或频域中表现出的特殊空间结构或频率特性来判别，这种方法简单直观，但是过于笼统。

定量方法通过计算混沌信号奇异吸引子的特性参数来辨别混沌行为的方法。主要有两个：

(1) 描述邻近轨道发散率的 Laypunov 指数 (2) 描述吸引子维数的关联维数和反映信息产生 频率的 Kolmogorov熵

2.1Lyapunov 指数 混沌系统初值敏感性是指相空间中初始距离

很近的两条轨迹会以指数速率发散， Lyapunov指数即是根据相轨迹有无扩散运动特征来判别系统的混沌特性。在相空间中，轨迹间的距离分别表现为线度、面积和体积。

对一维映射 x(t+1) = f[x(t)],假设初始位置 x(t0)附近有一 , 则经过 n次迭代后，有

所以

( 0) ( 0)x t x t( 1) ( 1) [ ( ) ( )]x tn x tn f x tn x tn

[ ( )] ( ) '[ ( )]f x tn x tn f x tn

( 1) ( ) '[ ( )]x tn x tn f x tn

Lyapunov 定义：设相轨迹上两点之间的初始距离为 ，用 表示经过 n次迭代后该两点之间的距离，有

则称

为系统 Lyapunov 指数。 当 时，系统具有混沌特征。

| ( 0) |x t | ( ) |x tn

1

0| ( ) | | ( 0) | | '[ ( )] | | ( 0) |

ntn

ix tn x t f x ti x t e

1

0

1lim ln | '[ ( )] |

n

tni

f x titn

0

2.1.1Lyapunov求解原理 在实际动力学混沌识别中，通常只估计最大 Lyapunov

指数，下面介绍一种算法—— 小数据量法。 设混沌时间序列 {x1,x2,…,xN},嵌入维数 m ，时间延迟

，重构相空间后有：

其中 N=M+(m-1) , 在重构向空间后，寻找给定轨道上每个点的最近邻点，即

( 1)( ) ( , ,..., ) ( 1,2,..., )ni i i i mY t x x x R i M

ˆ(0) min || ||j j jXd Y Y

ˆ| |j j p

其中 p 为时间序列的平均周期，则最大 Lyapunov指数就可以通过基本轨道上每个点的最近邻点的平均发散速率估计出来：

其中 为样本周期 ,dj(i) 是基本轨道上第 j 对最近邻点对经过 i 个离散时间步长后的距离。最大 Lyapunov 指数的几何意义是量化初始闭轨道的指数发散和估计系统的总体混沌水平的量。因此，结合上式有：

11

( )1 1( ) ln

( ) (0)

M ij

j j

d ii

i t M i d

t

1 ( )( ) , (0)tj j j jd i C e C d

将上式两边取对数可得：

最大 Lyapunov 指数相当于上面这组直线的斜率，通过最小二乘法逼近这组直线得到：

其中 表示所有关于 j 的平均值。

1ln ( ) ln ( ), ( 1, 2,..., )j jd i C i t j M

1( ) ln ( )jy i d i

t

2.1.2算法实现及计算步骤(1) 计算延迟时间 、嵌入维数 m 、平均周期 p；(2) 根据时间延迟 、嵌入维数 m 重构相空间 :

(3) 找相空间中每个点 的最近邻点 ，并限制短暂分离，即

(4) 对相空间中每个点 计算出该邻点对的 i 个离散时间步后的距离

{ , 1,2,..., }jY j M

ˆ(0) min || ||j j jXd Y Y ˆ| |j j p

ˆˆ( ) | |, 1, 2,...,min( , )j j i j i

d i Y Y i M j M j

(5) 对每个 i ，求出所有 j 的 平均 y(i) ，即 :

其中， q 为非零 的数目，并用最小二乘法做出回归直线，该直线斜率就是最大的 Lyapunov指数。

ln ( )jd i

1

1( ) ln ( )

q

jj

y i d iq t

( )jd i

2.2Kolmogorov熵 Kolmogorov熵 K 在混沌的度量中有着

相当重要的应用。对于规则运动， K=0; 随机系统 K= 无穷，若系统表现确定性混沌 ， 则 Kolmogorov熵是大于 0 的常数。 Kolmogorov熵越大，那么信息的损失速度越大，系统的混沌程度越大。

Kolmogorov 的计算 在某一嵌入维 i 下，在 关系的无标度区

间内，记 :

在式中 i 为嵌入维数， j 为在某一嵌入维数 i 下，无标度区间内满足线性关系的点的角标。根据上式有 :

在上式中 a=D2,且在嵌入维 i 和 i+m 下，有 :

22 2log ~ log ( )dl C l

2[log ]ij ijx l 22[log ( )]ij d ijy C l

ij ijy ax bi

limi

biK

m

其中 。按最小二乘法思想，要得到 a ， bi 的最优估计 ， ，要求残差平方和

达到最小，因此，由二元函数取极值的必要条件得到

i i i mb b b

a b

2ˆˆ( , ) [ ( )]i ij ij ii j

Q a b y ax b

ˆˆ2[ ( )] 0ˆ ij ij i ij

i j

Qy ax b x

a

ˆˆ2[ ( )] 0ˆ ij ij i

ji

Qy ax b

b

求解上式得：

其中

ni 为嵌入维为 i 时，无标度区间内满足线性关系的点的个数

2

( )( )

ˆ( )

ij i ij ixy i j

xxij i

i j

x x y yl

al x x

1i ij

ji

x xn

1i ij

ji

y yn

3. 混沌相空间重构理论 相空间重构是对一维时间序列，按照延迟时间和嵌入维数重构一个与原动力系统等价的相空间，而重构后的相空间可以进行混沌的判定、分析及预测。即在重构过程中有两个参数选取特别重要——延迟时间和嵌入维数。

3.1延迟时间计算 C-C 法计算延迟时间 :

我们定义： 指时间序列的采样间隔， 指时间序列的最优延时， 指延迟时间窗口， 是平均轨道周期 ， 为时间延迟的数值， m 是嵌入维数， N 是数据组的大小，数据点数位 ，则重构相空间中嵌入时间序列Y(i) 的关联积分定义为：

s d st ( 1)w dm

p ( )w p ( )t

( 1)M N m

1 i j

2( , , , ) ( )

( 1) ijM

C m N r t r dM M

其中 关联积分是一个累积分布函数，表示相空间

中任意两点之间距离小于半径 r 的概率，这里点与点之间的距离用矢量之差的无穷范数表示。定义检测统计量为

上式在实际计算时，需要先把时间序列 {x(n)}拆分为 t 个不相交的子序列，长度均为： ，t 为重构时延：

0, 01, 00, || || , ( ) { Z

ij i j Zr d Y Y Z

1( , , , ) ( , , , ) (1, , , )mS m N r t C m N r t C N r t

/sN N t

然后将上式采用分块平均策略，计算每个序列的 S(m,N,r,t) 为：

11 1 1

22 2 2

2

{ , ,..., }

{ , ,..., }

.................

{ , ,..., }

t N t

t N t

tt t N

X x x x

X x x x

X x x x

21

1( , , , ) [ ( , , , ) (1, , , )]

tm

s ss

N NS m N r t C m r t C r t

t t t

对于延迟时间 Td 的确定： S(m,N,r,t)的第一个零点对应的 t 或者下式中的第一个极小值点对应的 t

在实际计算过程中我们常选取： N=3000 ，m=2,3,4,5, ,i=1,2,3,4

2 2 2( , ) max{ ( , , )} min{ ( , , )}jS m t S m r t S m r t

/ 2ir i

上述方程中，第一个方程的第一个零点和第二个方程的第一个极小值点即为最优延迟时间，第三个方程全局最小值为时间窗口长度

5 4

2 22 1

5

2 22

2 2 2

1( ) ( , , )

16

1( ) ( , )

4

( ) ( ) | ( ) |

m j

m

cor

S t S m r t

S t S m t

S t S t S t

3.2嵌入维数计算G-P算法的主要步骤(1)利用时间序列 X1,X2,…,XN,先给定一个较小的嵌入维数

m0, 重构相空间，得到新的序列 {Yi}

(2)计算关联积分 C(r)

(3) 对于 r 的某个取值范围，吸引子的维数 d 与累积分布函数C(r)应满足对数线性关系，即 d(m)=LnC(r)/Lnr, 从而可用最小二乘拟合得到对应于 m0 的关联维数估计 d(m0)

(4)增加嵌入维数 m0, 重新计算步骤 (2) 和 (3), 直到相应的维数估计值 d(m) 不再随着 m 的增加而在一定误差范围内不变为止。

总 结 关于混沌判定，一般应用最大 Lyapunov

指数，或者 Kolmogorov熵，或者结合两者判定。在计算延迟时间方法上，常用的有互信息法和 C-C 法，计算嵌入维常用的方法有G-P算法，这种方法是先计算出混沌时间序列的关联维，然后在根据m>(2d+1)计算出嵌入维数。还有一种方法是 Cao 方法，这种方法可以直接计算出嵌入维数。

结 束

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