導函數的計算

應用統計資訊學系應用統計資訊學系網路教學課程第四講網路教學課程第四講 11

導函數的計算

第四講


課程內容：

1. 基本函數的導函數 2. 微分法公式3. 連鎖法則


課程內容：



因為複雜的代數函數是基本代數函數經由加、減、乘、除、方根或合成運算的結果，因此為了求得複雜函數的導函數，先利用導函數的定義，建立一些基本代數函數的導函數。

如果從函數 f 到 f ' 過程視為一種函數，通常以 Dx( 讀作” dee x” ，稱為 dee 符號 ) 表示此函數，即 Dx:f→f ' ，或 Dxf=f ' ，或 Dxf(x)=f '(x) ，因此稱 Dx為微分運算子。


定理 4-1 ：基本代數函數的導函數(a) 若 f(x)=k ， k 為常數，則 f'(x)=0 ，或 Dx(k)=0 。(b) 若 f(x)=x ，則 f'(x)=1 ，或 Dx(x)=1 。(c) 若 f(x)=xn， n 為正整數，則 f‘(x)=nxn-1，或 Dx(xn)

=nxn-1。證明：直接使用導函數的定義，就可以證得此定理，

(a) 與 (b) 留給讀者自行練習，這裡僅證明 (c) ，其過程如下：

此結果稱為冪法則 (power rule) ，即 Dx(xn)=nxn-1。

1121

0

1221

0

11

0

00

2

)1(lim

2)1(

lim

lim

)(lim

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nnnn

h

nnnn

h

nnnnn

h

nn

hh

nxhhxnn

nx

h

hnxhhxnn

hnx

h

xhnxhhnxx

h

xhx

h

xfhxfxf


證明：直接使用導函數的定義，就可以證得此定理， (a) 與 (b) 留給讀者自行練習，這裡僅證明(c) ，其過程如下：

此結果稱為冪法則 (power rule) ，即 Dx(xn)=nxn-

1

。

1121

0

1221

0

11

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00

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2)1(

lim

lim

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h

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nnnnn

h

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hh

nxhhxnn

nx

h

hnxhhxnn

hnx

h

xhnxhhnxx

h

xhx

h

xfhxfxf


可微分函數的定義：若 f '(c) 存在，則函數 f(x) 在 x=c 可微分。若函數 f(x) 在區間Ⅰ的每一內點可微分，則稱 f(x) 在區間Ⅰ可微分。


例 1 ：證明函數 f(x)=x2在區間 (-∞ ，∞ ) 可微分。

解：利用定理 4-1(c) ，得 f '(x)=2x 且在區間 (-∞ ，∞ ) 存在，故 f(x) 在區間 (-∞ ，∞ ) 可微分。


例 2 ：證明函數在區間(0 ，∞ ) 可微分。

解：利用導函數的定義，得且在區間 (0 ，∞ ) 存在，故 f(x) 在區間 (0 ，∞ ) 可微分。

xxf )(

xxf

2

1)('


例 3 ：證明函數在區間 (-∞ ，0) 與 (0 ，∞ ) 可微分。

解：利用導函數的定義，得且在區間 (-∞ ， 0) 與 (0 ，∞ ) 存在，故 f(x) 在區間 (-∞ ， 0) 與 (0 ，∞ ) 可微分。

xxf

1)(

2

1)('x

xf


例 4 ：決定函數 f(x)=|x| 在哪裡可微分。解：利用導函數的定義，求 f '(x) ，再決定 f '(x) 的定義域，即可決定函數 f(x) 可微分的地方，其過程如下：

即。因此 f '(x) 的定義域為 (-∞ ， 0)∪(0 ，∞ )

，故函數 f(x) 在區間 (-∞ ， 0)∪(0 ，∞ ) 可微分。

x

x

xhx

hx

xhxh

hxh

xhxh

xhx

xhxh

xhxxhxh

xhxh

xfhxfxf

h

h

h

h

h

h

2lim

][

2lim

][

)(lim

][

]][[lim

lim

)()(lim)('

0

2

0

22

0

0

0

0

x

xxf )('


從幾何意義也可以了解這樣的結果，如下圖 (a) ，曲線y=|x| 在點 (0,0) 是尖角，所以沒有切線，故 f'(0) 不存在，當 x>0 ，則曲線 y=|x| 的切線是 y=x ，其斜率為 1 ，故 f'(x)=1 ，當 x<0 ，則曲線 y=|x| 的切線是 y=-x ，其斜率為 -1 ，故 f'(x)=-1 ，此幾何意義與的代數意義相同，其圖形如下圖 (b) 。

x

xxf )('


定理 4-2

若 f'(c) 存在，即函數 f 在 c 點可微分，則函數 f 在 c 點連續。

證明：必須證明或。

考慮

即，故證得函數 f 在 c 點連續。

0))()((lim

cfxfcx

)()(lim0

cfxfx

00)(')(lim)()(

lim

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))](()([lim))()((lim

cfcxcx

cfxf

cxcx

cfxf

cx

cxcfxfcfxf

cxcx

cxcxcx

)()(lim cfxfcx

如果曲線上某一點的切線存在，那麼曲線在此點不會有間斷或跳動的情形，下面定理對此事實有明確的陳述。


注意：此定理的逆敘述不成立，即函數 f 在 c 點連續，不能保證函數在 c點可微分，最典型的例子是例 4 ，函數 f(x)=|x| 在任何實數連續，但是 f '(0) 不存在，即函數 f 在 0 點不可微分。


例 5 ：證明函數 f(x)=[x] 在整數點不可微分。證明：令 c 為整數，先考慮右極限

其次考慮左極限

因為左、右極限不相等，所以 f '(c) 不存在，故函數 f(x)=[x] 在整數點不可微分。

00lim0

lim

][][lim

)()(lim

00

00

hh

hh

h

h

chc

h

cfhcf

hh

cch

chc

h

cfhcf

hh

hh

1lim

1lim

][][lim

)()(lim

00

00


例 6 ：證明函數在 0 點不可微分。證明：直接求 f 的導函數 f' ，其過程如下：

因為 f'(0) 不存在，故在 0 點不可微分。

3)( xxf

3 22333

230

2333

23

2333

2333

0

33

00

3

1lim

)(lim

lim)()(

lim)('

xxxhxhxh

xhx

xxhxhxh

xxhxhxxhx

h

xhx

h

xfhxfxf

h

h

hh

3)( xxf


一般而言，函數在下列情形不可微分： (i) 尖角的地方，如例 4 ，函數 f(x)=|x| 在 x=0處有尖角。 (ii) 不連續的地方，如例 5 ，函數 f(x)=[x] 在整數點不連續。 (iii) 垂直切線的地方，如例 6 ，函數在原點的切線是 y 軸，如下圖。

3)( xxf


課程內容：



所謂微分法，就是求導函數的方法，雖然已經知道從導函數的定義，可以直接求得導函數，但是其過程過費時又枯燥，此處將建立一些微分法的運算公式，如此可省略冗長的計算過程，對於求複雜函數的導函數更為方便，下面定理陳述可微分函數加、減、乘、除的微分法公式。


定理 4-3 ：若函數 f 與 g 可微分，且 k 為常數，則(a) kf 可微分且 (kf)'(x)=k f'(x)‧ ，或 Dx[k f(x)]=k D‧ ‧ xf(x) 。(b) f+g 可微分且 (f+g)'(x)=f'(x)+g'(x) ，或 Dx[f(x)+g(x)]=Dxf

(x)+Dxg(x) 。(c) f-g 可微分且 (f-g)'(x)=f'(x)-g'(x) ，或 Dx[f(x)-g(x)]=Dxf

(x)-Dxg(x) 。(d) f g‧ 可微分且 (f g)'(x)=f(x)g'(x)+ f'(x)g(x)‧ ，或 Dx[f(x)

g(x)]= f(x)Dxg(x)+ (Dxf(x))g(x) 。此結果稱為乘積法則 (product rule) 。

(e) 可微分且，或

，當 g(x)≠0 。此結果稱為商法則 (quotient rule) 。g

f

)(

)()(')(')()(

2 xg

xfxgxfxgx

g

f

)(

)())(()()(

)(

)(2 xg

xfxgDxfDxg

xg

xfD xxx


即證明 (d) 。倒數第二個等號是引用極限運算性質，最後的等號是引用函數 f 與 g 可微分的性質。

)()(')(')(

)()()(

lim)()(

lim)(lim

)()()()()(

)(lim

)()()()()()()()(lim

)()()()(lim

))(())((lim)()(

000

0

0

0

0

xgxfxgxf

xgh

xfhxf

h

xghxghxf

xgh

xfhxf

h

xghxghxf

h

xgxfxghxfxghxfhxghxfh

xgxfhxghxfh

xgfhxgfxgf

hhh

h

h

h

h

證明：直接引用導函數的定義，即可證得， (a) 、(b) 、 (c) 部分留給讀者自行練習，這裡僅證明 (d) 與 (e) ，其過程如下：


即證明 (e) 。類似地，倒數第二個等號是引用極限運算性質，最後的等號是引用函數f 與 g 可微分的性質。

)(

)()(')(')(

)()(lim

1)(

)()(lim

)()(lim)(

)()(

1})()]()([)]()()[(

{lim

)()(

)()()()()()()()(lim

)()()()()()(

lim)()(

)()(

lim)(

2

000

0

0

00

xg

xfxgxfxg

xghxgxf

h

xghxg

h

xfhxfxg

xghxgh

xfxghxg

h

xfhxfxg

xghxhg

hxgxfxgxfxgxfxghxf

hxghxg

hxgxfxghxf

hxgxf

hxghxf

xg

f

hhh

h

h

hh


利用定理 4-1 與定理 4-3 求導函數，可以避免冗長的計算過程，如下面例題，直接引用公式求多項式函數及有理函數的導函數。


例 7 ：若 f(x)=x5+2x4-4x3+x2+5x+1 ，求f'(x) 。

解：直接引用定理 4-1 與定理 4-3(a) 、 (b) 、(c) ，即可求得 f'(x) ，其過程如下：

f'(x)=Dxf(x)=Dx(x5+2x4-4x3+x2+5x+1)

=Dx(x5)+2Dx(x4)-4Dx(x3)+Dx(x2)+5Dx(x)+Dx(1)

=5x4+8x3-12x2+2x+5


例 8 ：若，求 f'(x) 。解：直接引用定理 4-3(a) 、 (b) 、 (e) 與定理

4-1

，即可求得 f'(x) ，其過程如下：

1

23)(

2

x

xxf

22

2

22

22

22

22

2

)1(

343

)1(

4633

)1(

)23))(1(()23()1(

1

23)('

x

xx

x

xxx

x

xxDxDx

x

xDxf

xx

x


例 9 ：若 f(x)=(2x12)(5x8) ，求 f'(x) 。解：直接引用定理 4-3(a) 、 (d) 與定理 4-1 ，即可求得 f'(x) ，其過程如下：

f'(x)=Dx[(2x12)(5x8)]=(2x12)Dx(5x8)+[Dx(2x12)](5x8)

=(2x12)(40x7)+(24x11)(5x8)

=80x19+120x19=200x19

另一種方法，先化簡，再引用公式，其過程如下：f'(x)=Dx[(2x12)(5x8)]=Dx[10x20]=200x19

所得的結果跟前面的一樣。


例 10 ：若 f(x)=(x5+x4+x3+x2+x+1)(2x2-x-5) ，求f'(x) 。

解：此種情形直接引用乘積法則比較單純，如果乘開為多項式函數反而複雜，其計算過程如下：

f'(x)=Dx[(x5+x4+x3+x2+x+1)(2x2-x-5)]

= (x5+x4+x3+x2+x+1)Dx(2x2-x-5)

+[Dx(x5+x4+x3+x2+x+1)](2x2-x-5) = (x5+x4+x3+x2+x+1)(4x-1) + (5x4+4x3+3x2+2x+1)(2x2-x-5)如果需要化簡，才進行化簡，否則此式子就是答案。


雖然例 9 與例 10 不需要乘積法則，也可以求得導函數，但是求超越函數 (transcendental function ，如三角函數，反三角函數，自然指數函數及自然對數函數 ) 乘積的導函數，就必須引用乘積法則，才能夠求得導函數，後面會再詳細討論。

已經知道，對於任意正整數 n ， Dx(xn)=nxn-1

，現在考慮 n 為整數的情形。


定理 4-4

設 n 是任意整數，則 Dx(xn)=nxn-1。證明：當 n大於或等於 0 的情形，定理 4-1 已經證明過。現在考慮 n 是負整數的情形，先將 xn寫成分式，再引用商法則，其過程如下：

故得證。

1212

1

2)(

)(

)()1()

1()()(

nnnn

n

n

nxx

n

nxn

xn

x

nxnxx

nx

x

xDDx

xDxDxD


例 11 ：若，求 y' 。解：其實直接引用商法則，即可求得 y' ，或考慮乘積法則，其過程如下：

4

3 22

x

xxy

)832(

)6848(

))(16()4)(22(

)))(22(()()22(

)22(22

'

35

335

4253

4343

434

3

xxx

xxxxx

xxxxx

xxxDxDxx

xxxDx

xxDyDy

xx

xxx


課程內容：



前一節已經討論過函數四則運算的微分法公式，這一節將討論函數合成運算的導函數公式，也就是合成函數的微分法，此微分法稱為連鎖法則 (chain rule) 。因為有很多的函數可寫成函數的合成，所以使用連鎖法則求導函數是有必要的。


例如求函數 h(x)=(x2+x+1)20的導函數，如果沒有連鎖法則，唯一的方法，就是將函數 h(x)展開成四十次多項式函數，再求導函數，此種方法浪費時間，且容易發生錯誤。其實函數 h 可寫成函數 g(x)=x20與函數 f(x)=x2+x+1 的合成，即 h(x)=g(f(x)) ，因此引用連鎖法則，立即可求得正確的導函數。


在討論連鎖法則之前，讓我們先瞭解德國數學家萊布尼茲所建立的導函數符號。到目前為止，已經知道函數 y=f(x) 的導函數符號有兩種，其一是” prime” 符號，如 f' ，f'(x) ，或 y' ，其二是” dee” 符號，如 Dxf ，Dxf(x) 或 Dxy ，這二種符號本身沒有任何數學意義，僅表示極限。

dx

dy

h

xfhxfh

)()(lim

0


然而萊布尼茲符號不僅是記號，而且具有數學意義，其發展的過程如下：設變數 x ，從 x1改變為 x2，則 x 的改變量 x2-x1稱為增量 (increment) ，記為Δx( 讀作” delta x”) ，即 Δx=x2-x1，注意 Δx 不是 Δ乘 x ，而是一個記號，且不一定是正值。


現在考慮函數 y=f(x) ，如果自變數從 x改變為 x+h ，則其增量Δx=(x+h)-x=h ，且應變數從 f(x)改變為 f(x+h) ，其增量 Δy=f(x+h)-f(x) ，因此

是通過點 (x,f(x)) 與 (x+Δx,f(x+Δx))的割線斜率，當 Δx→0 ，割線斜率逼近切線斜率。

x

xfxxf

x

y

)()(


若以萊布尼茲符號表示切線斜率，則

，這裡是一個記號，且讀作” dee

y dee x” ，並不是 dy 除以 dx ，所以記號也表示微分算子，即跟 Dx的意義相同。因此，前面所介紹的導函數公式仍然有效，唯符號不同。

dx

dy

dx

dy

)(')()(

limlim00

xfx

xfxxf

x

y

dx

dyxx

dx

d


例 12 ：若 y=x5-3x3+5x-10 ，求。解：直接引用定理 4-1 與定理 4-3 ，其過程如下：

dx

dy

595

)10()(5)(3)()1053(

24

3535

xx

dx

dx

dx

dx

dx

dx

dx

dxxx

dx

d

dx

dy


例 13 ：求。解：直接引用商法則，其過程如下：

52

2

x

x

dx

d

2

2

2

22

2

2

2

222

)52(

102

)52(

2104

)52(

2)52(2

)52(

)52()()52(

52

x

xx

x

xxx

x

xxx

x

xxdxd

xdxd

x

x

x

dx

d


現在，再回到連鎖法則的問題，如果某生產線有兩部機器 f 與 g ，原料 x 經機器 f 得到產品 u ，再經機器 g 得到產品 y ，即 y=g(u) 且 u=f(x) ，因此 Dxu 是機器 f 的邊際產量， Duy 是機器 g 的邊際產量，所以 Duy與 Dxu 的乘積應該是整個生產線的邊際產量 Dxy ，即 Dxy=Duy • Dxu ，此結果就是連鎖法則的性質。


定理 4-5

令函數 g 與 f 的合成函數是 y=(g ◦ f )(x) ，若 f 在 x 點可微分且 g 在 u=f(x)可微分，則 g ◦ f 在 x 點可微分且 (g ◦ f )'(x)=

g'(f(x))f'(x) ，即 Dxy=DuyDxu 。


證明：因為 g'(u) 存在，所以函數存在且，將此函數乘以 Δu 且整理 g(u+Δu)-g(u)=g'(u) Δu+Δu ε(Δu)，將 u=f(x) 及Δu=f(x+Δx)-f(x) 代入，得 g(f(x+Δx))-g(f(x))=g'(f(x))(f(x+Δx)-f(x))

+(f(x+Δx)-f(x)) ε(Δx)，此式子等號兩邊除以 Δx ，得

)(')()(

)( ugu

uguugu

0)(lim0

uu

)()()()()(

))(('

))(())((

xx

xfxxf

x

xfxxfxfg

x

xfgxxfg


此式子等號兩邊取極限，得

即 (g ◦ f )'(x)=g'(f(x))f'(x) ，若以 dee 符號表示之，則得 Dxy=DuyDxu ，故得證。

)('))(('0)(')('))(('

)(lim)()(

lim)()(

lim))(('

)()()()()(

))(('lim

))(())((lim

000

0

0

xfxfgxfxfxfg

xx

xfxxf

x

xfxxfxfg

xx

xfxxf

x

xfxxfxfg

x

xfgxxfg

xxx

x

x


注意：如果以萊布尼茲符號表示定理 4-5 的結果，即，此公式比” prime”及

”dee” 符號的公式較容易記得，似乎是等號右邊消去 du ，即得左邊的式子。雖然此公式不能視為數學上的消去律，但是可以幫助記憶，且容易推廣到二個函數以上的連鎖法則，例如 y=h(u) ， u=g(w) 且 w=f(x) ，則

。現在回到此節一開始提到的例子。

dx

du

du

dy

dx

dy

dx

dw

dw

du

du

dy

dx

dy


例 14 ：若 h(x)=(x2+x+1)20 ，求 h'(x) 。解：先分解函數 h ，令 y=g(u)=u20且 u=f(x)=

x2+x+1 ，則 y=g(f(x))=h(x) ，再引用連鎖法則，其過程如下：

注意，最後一定要將 u變數還原為 x變數。

19219

220

)1)(12(20)12)(20(

)1()()('

xxxxu

xxdx

du

du

d

dx

du

du

dy

dx

dyxh


例 15 ：若 r(x)=[(x2+2)10+5(x2+2)]6，求 r'(x) 。解：先分解函數 r ，令 y=h(u)=u6， u=g(w)=

w10+5w 及 w=f(x)=x2+2 ，則 y=h(g(f(x)))=

r(x) ，再引用連鎖法則，其過程如下：

最後三個步驟將 u 與 w變數還原為 x變數。

]1)2(2[)]2(5)2[(60

)2](5)2(10[)]2(5)2[(6

)2](5)2(10[)5(6

)2)(510)(6(

)2()5()()('

9252102

9252102

92510

95

2106

xxxx

xxxx

xxww

xwu

xdx

dww

dw

du

du

d

dx

dw

dw

du

du

dyxr


下面定理是應用連鎖法則將冪法則推廣到有理指數 (exponent) 。


定理 4-6

設 r 是任意有理數，則 Dx(xr)=rxr-1，這裡 x

不是函數 xr定義域中區間的端點。

證明：因為 r 是有理數，所以，這裡 p 與 q 為互質的兩個整數，且 p 是正整數。首先，證明，直接引用定義，其推導過程如下：

p

qr

111

1)(

pp

x xp

xD


11

1

1211210

1211210

121121

12112111

0

11

0

1

11

)()()(

1lim

)()()(

)(lim

)()()(

)()())(()(

lim

)(lim)(

p

p

p

p

p

p

p

ppp

p

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ph

p

p

p

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ppp

p

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ph

p

p

p

p

ppp

p

p

p

p

p

p

p

ppp

p

p

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pp

h

pp

h

px

xp

px

xxhxxhxhx

xxhxxhxhxh

xhx

xxhxxhxhxh

xxhxxhxhxxhx

h

xhxxD

1)( rrx rxxD再引用連鎖法則，證明，

其過程如下：

11

11

11111

1)()(

rp

q

p

p

p

q

p

q

p

q

px

p

q

xr

x

rxxp

qxx

p

q

xp

xqxDxDxD


例 16 ：若，求 f'(x) 。解：首先將函數 f寫成冪函數形式，即，再引用定理 4-

6 ，其過程如下：

5 83 )2()( xxxf

5

83 )2()( xxxf

)16()2(5

8

)16()2(5

8)2()('

25

33

21

5

835

83

xxx

xxxxxDxf x

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