九年一貫國小數學領域綱要解讀

國立臺北教育大學 數學暨資訊教育學系

副教授 譚寧君 ( 退休 )

( 一 ) 估算( 二 ) 認識大數( 三 ) 概數與概算( 四 ) 數學性質與四則 混合( 五 ) 因數、倍數、質數、質因數

3-n-10能做簡單的三位數加減估算。

• 例：「 302＋ 299＝ ( )，• 例：「 701－ 599＝ ( )

• 例：「 13＋ 16＋ 17＋ 18＋ 14＋ 17＝ ( )

估算

題目 1

遊樂場的門票一張 199元，爸爸買了 3張， 大約要多少元？ 300元

400元

500元

600元

題目 9

弟弟有二百多元，哥哥有四百多元，兩人想要買禮物

送給媽媽，下列哪一項敘述是正確的？

兩個人的錢不夠合買一件800元的外套

可以買一件上衣和一條長褲

買一件裙子後，還剩下三百多元

哥哥的錢不夠買一件上衣

0.5×840 和下面哪個答案相同？

• (A)840÷2

• (B)5×840

• (C)840÷5

• (D)0.5×84

在 9.43 和 9.44 之間有多少個小數？

• (A) 沒有• (B)1 個• (C)10 個• (D) 無限多個

下面哪個算式的乘積最大？• (A) 18×17

• (B)16×18

• (C)17×19

• (D)19×15

請比較 521×5 和 520 ＋ 521 ＋ 522＋ 523 ＋ 524 ，哪個答案比較大？

• (A) 521×5

• (B)520 ＋ 521 ＋ 522 ＋ 523 ＋ 524

• (C) 一樣大• (D) 不計算無法判斷

4-n-01 能透過位值概念，延伸整數的認識到大數 ( 含「億」、「兆」之位名 ) ，並做位值單位的換算。

• 認識由「個、十、百、千」及「萬、億、兆」所組成的位名，及其形成的計數系統。從「萬」、「十萬」、「百萬」、「千萬」的群組，認識位名的關係、讀數與記數的規則，並與過去「個、十、百、千」之經驗相連結，然後再推廣此經驗到「億、兆」的範圍。

• 1234 5678 9012 3456 7890 • 12,345,678,901,234,567,890

認識大數

4-n-01 能透過位值概念，延伸整數的認識到大數 ( 含「億」、「兆」之位名 ) ，並做位值單位的換算。

• 進行兩階或跨階單位的換算。例：知道「億」是「千萬」的十倍，「千萬」是「十萬」的一百倍。

例：學童知道 503000000讀做五億零三百萬，以及能將三百二十萬三千寫做 3203000 。

大數的大小比較更要指導學生從高位比起，利用位值表及「個」、「萬」、「億」、「兆」的群組，例如：比較 11608767和 11349593的大小，只要比萬位以上的部分，從 1160萬＞ 1134萬即可比出兩數的大小。

認識大數

問題1

10個千萬、6個百萬和 7個萬合起來是 多少？

106070000

16070000

1670000

1006070000

問題2

在 9000086087004這個數中，9是代表 哪一個位值？

百億位 千億位

兆位 十兆位

問題3

「一兆零八千九百零八萬七千零四」寫成阿拉伯數字怎麼表示？

1000008987004

1000890087004

100089087004

1000089087004

問題4

1兆是多少個千萬合起來的？

1000個千萬

10000個千萬

100000個千萬 100000個千萬

問題5

甲、乙、丙三國使用相同的貨幣，甲國 的首富擁有資產 1000個 10億元，乙國 的首富擁有資產 10000個 1千萬元， 丙國的首富擁有資產 100000個 1百萬元 ，哪一國的首富最有錢？

甲國 乙國

丙國 一樣多

11074200 是八位數，左邊的 1記在千萬位，表示 1000 萬，右邊的 1記在百萬位，表示 1百萬。

21074200 人次21174200 人次

認識大數

認識大數

認識大數

認識大數

認識大數

認識大數

認識大數

認識大數

認識進位制

認識進位制

四年級 4-n-01 能透過位值概念，延伸整數的認識到大數（含「億」、「兆」之位名），並作位值單位的換算。

認識進位制

四年級認識進位制

認識大數

年度 94 95總預算 1,635,615,000,000 元 1,599,560,424,000 元

4240659951

5165361

00095

00000094

個位

十位

百位

千位

萬位

十萬位

百萬位

千萬位

億位

十億位

百億位

千億位

兆位

十兆位

年度

請把 94、 95 年度的總預算金額記在定位板上：

民國 94、 95 年度的中央政府總預算金額如下：認識大數

四年級大數計算

4-n-02 能熟練整數加、減的直式計算。 ( 修 4-n-02)

• 熟練加、減直式計算，是四年級的重要教學目標。原則上位數不應設限。

例：也可練習簡單的複名數式的加減法，例如： 8萬 6千＋ 9萬 7千、 3萬 4千－ 9千、 2億 960萬－ 1億 4820萬的問題。

• 教學上不宜練習大量高位數的直式計算，大數的處理必須結合概數才有用。

大數計算

4-n-03能熟練較大位數的乘除直式計算。

• 原則上乘法以四位數乘以一位數、三位數乘以二位數與二位數乘以三位數為上限，這當然包括比上面更低的所有位數的乘法。

原則上除法以四位數除以一位數、三位數除以二位數為限。

大數計算

10000 元

20000 元

30000 元

幾百乘以幾百時，只要將不是零的數字相乘，在得到的積後面補上乘數和被乘數所有零的總和即可。如 300×300 ＝ 90000 。

大數計算

100000 元 200000 元

300000 元

大數計算

254000 公克381000 公克

2000× 300600000

9000× 9008100000

4800× 7003360000

大數計算

大數計算

大數計算

大數計算

？

大數計算

大數計算

大數計算

大數計算

4-n-06能在具體情境中，對大數在指定位數取概數 ( 含四捨五入法 ) ，並做加、減之估算。 ( 修 4-n-05)

概數是大概準確的數字，也是指誤差最小代表性最強的數，至於此概數是否恰當，則依賴問題的情境。

• 例如：我們可以說臺灣人口約兩千萬人，但是如果我們關心的是今年臺灣人口增加多少時，那麼將去年與今年的人口都說成兩千萬人就是不恰當的。

在指定位數用四捨五入法求概數。（思考無條件捨去與進入的必要性與學習方式）

四年級階段只做整數的加減估算，與乘、除有關的估算可在六年級配合小數的教學時再進行 (參見 6-n-7) 。

例：「臺灣 2007年 5月時，男性人口有 11589667人，女性人口有 11304616人。先以四捨五入在萬位取概數，再計算臺灣總人口約有多少萬人。」 11589667人約為 1159萬人， 11304616人約為 1130萬人，故臺灣總人口約為 1159＋ 1130＝ 2289(萬人 )

認識概數

認識概數

認識概數

1100

75000

認識概數

認識概數

認識概數

6410

50000

認識概數

認識概數

79000 76000 46000 11000 15800078000 75000 45000 10000 157000

78000 76000 46000 11000 157000

四捨五入法

認識概數

1700 18001710 1720 1730 1740 1750 1760 1770 1780 1790

1702 1746 1754 1798

請完成下列表格： 取概數的方法原來的數

用無條件捨去法取概數到百位

用無條件進位法取概數到百位

1702 1700 1800

1746 1700 1800

1754 1700 1800

1798 1700 1800

下面的數線上有四個數字：

說說看：你發現什麼？

認識概數

1700 18001710 1720 1730 1740 1750 1760 1770 1780 1790

1702 1746 1754 1798

請完成下列表格： 取概數的 方法原來的數

用無條件捨去法取概數到百位

用無條件進位法取概數到百位

用四捨五入法取概數到

百位1702 1700 1800 1700

1746 1700 1800 1700

1754 1700 1800 1800

1798 1700 1800 1800

認識概數

概算

概算

1700 1800

無條件捨去法取概數到百位為 1700 的整數範圍： 1700 到 1799

1600 1700

無條件進位法取概數到百位為 1700 的整數範圍： 1601 到 1700

1799

1601

1650 1750

四捨五入法取概數到百位為 1700 的整數範圍： 1650 到 1749

1700

1651 1749

我們可以確定的為 1651 到 1749這 99 個數字結果我們規定以 1650 做為第 100 個數字我們發現當取概數的下一位的數字為 0 、 1 、 2 、 3 、 4 時為捨去；而取概數的下一位的數字為 5 、 6 、 7 、 8 、 9 時為進位。如此一來，也方便我們記憶。

概數區間

5-n-01 能熟練整數乘、除的直式計算。 ( 修 4-n-02)

• 五年級是整數直式計算的總結，應熟習乘、除直式計算之一般計算算則。應讓學童理解直式計算中，處理「 0」的一般方法。

在較大數時，應熟悉如「 234000×2100」、「 840000÷280」、「 3200000÷2000」等形式之計算問題，這是連結位值、概數與日後科學記號之學習基礎。

大數乘除

大數乘除

大數乘除

兒童自行發表

數學性質

兒童自行發表一樣

數學性質

96格

兒童自行發表兒童自行發表

數學性質

一樣兒童自行發表

數學性質

一樣兒童自行發表

數學性質

一樣45×4＋ 76×4＝ (45 ＋ 76)×4

數學性質

數學性質

數學性質

數學性質

5-n-02 能在具體情境中，解決三步驟問題，並能併式計

算。 ( 修 5-n-01)

• 本細目要求學童能做三步驟應用問題，並儘量以併式的方式思考與演算。這是國中代數學習的重要前置經驗。

例：「三人出外旅遊，共花費旅館費 2200元、飲食雜費 1800元、汽油費 500元，若三人協議分攤旅費，問每人平均分攤多少元？」

• (2200＋ 1800＋ 500)÷3＝ 4500÷3＝ 1500(元 )

例：「一條繩子的一半的一半的一半是 3公尺，問原來繩長幾公尺？」

5-n-03 能熟練整數四則混合計算。( 同 5-n-02)

• 這是小學對於整數四則混合計算的總結學童應能熟悉各種混合計算的約定；同時希望學童在練習中，能利用整數四則運算的性質來簡化計算，加深學童對四則運算性質的熟悉。

數量範圍雖然可以配合年級而擴大，但應避免過度繁雜又重複的練習 。

四則運算

數學性質

各題檢測結果分析 -第一題（楊美伶， 2007 ）

題 目：算算看，並把你的算法和答案寫下來。 16 ＋ 64 ÷ ( 24 － 8 × 2 ) × 2

評量目的：

評閱標準：

本試題主要在評量學生是否確實掌握四則混合計算的算則規約並正確計算出答案。

類別 評閱標準（評閱舉隅）2-A 逐次減項化簡得出正確答案。2-B 分開計算得出正確答案，但未能使用等號逐次化簡。0-A 空白0-B 括號內雖能先乘後減，而其他步驟卻有部分由左而右依序計算 (有逐次減項 )。0-C 括號內雖能先乘後減，而其他步驟卻有部分由左而右依序計算 (未逐次減項 )。0-D 括號內未能先乘後減0-E 受先乘後除 (含先加後減 )或依序由左至右計算的影響。0-F 答案錯，且在化簡過程中未能符合數學上等號的意義。0-X 其他

哪一個是正確的 ?

5-n-04 能理解因數和倍數。 ( 修 5-n-03)

• 五年級目標在於協助學童做分數約分、擴分、通分之計算，而非整數內在關係的理論 (六年級題材 )，因此數字大小應配合分數之教學 (5-n-07) 。

學生應學習基本的因數判別法，其中 2、 5、 10較容易， 3的因數判別法則由教師告知或由百格板察覺， 11暫不需要教學

5-n-05 能認識兩數的公因數、公倍數、最大公因數與最小公倍數。 ( 修 5-n-03)

• 用列表的方式，尋找兩數的公因數、公倍數、最大公因數、最小公倍數。

學童應知道兩整數的乘積一定是此兩數的公倍數，此可用於分數之通分。

五年級時，只是初步認識這些概念，學生只需用列表解題。短除法算則則在六年級配合因數之短除法一起教學 (6-n-02) 。

兒童自行發表

兒童自行發表

兒童自行發表

1、 5

16 個

20 個

24 個，是 4的 6倍

兒童自行發表

分給 6 位小朋友，可以全部分完嗎 ?

6 ÷ 6 ＝ 1……0

6 朵花分給 6 個人，每個人拿 1 朵花，剩下 0 朵花。

6 ÷ 4 = 1 ……26 ÷ 5 = 1 ……1

整除的定義：

當被除數、除數、商為整數，餘數為 0 的時候，稱為整除。

哪些可以剛好分完？

哪些不能剛好分完？

6 ÷ 1 = 6 ……06 ÷ 2 = 3 ……06 ÷ 3 = 2 ……0

6 ÷ 6 = 1 ……0

整除整除

不能整除不能整除

6 ÷ 4 = 1 ……26 ÷ 5 = 1 ……1

6 ÷ 1 = 6 ……06 ÷ 2 = 3 ……06 ÷ 3 = 2 ……0

6 ÷ 6 = 1 ……0

……0……0……0……0

現在想要請 8 位 小朋友 排成長方形路隊，

應怎樣排 ?

1 × 8 = 8

要請 8 位 小朋友 排成長方形路隊，應怎樣排 ?

排成１隊，每隊有８人。

因數

18的因數有 : 8

2 × 4 = 8

要請 8 位 小朋友 排成長方形路隊，應怎樣排 ?

排成 2隊，每隊有 4 人。

因數

28的因數有 : 4

4 × 2 = 8

要請 8 位 小朋友 排成長方形路隊，應怎樣排 ?

排成 4隊，每隊有 2 人。

因數

48的因數有 : 2

利用灰色（ 3公分）和黃色（ 2公分）紙卡，在下面的數線上排列貼上，並在紙卡連接處寫上長度。你發現他們在多少公分長時是一樣長的？

灰色紙卡

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20黃色紙卡

在 1-100 中，用紅色筆圈出 6 的倍數；用藍色筆圈出 9 的倍數

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

公倍數是： 18 36 54 72 90

5-n-06 能用約分、擴分處理等值分數的換算。 ( 同 5-n-04)

• 在 4-n-09 的前置經驗中，僅強調等值分數概念的認識。

在本細目教學時，可由平分情境，解釋約分與擴分的意義，然後即應運用因數與倍數來理解約分與擴分，並做等值分數的換算。

5-n-07 能用通分做簡單異分母分數的比較與加減。 ( 同 5-n-05)

• 本細目在小學應以簡單異分母為教學重點，所謂「簡單」係指兩分母滿足以下情況之一 (1)分母均為一位數； (2) 一分母為另一分母的倍數，且兩數小於 100； (3) 乘以 2 、 3 、 4 、 5 就可以找到兩分母之公倍數 ( 例如：兩分母為 12 與 18) 。

做一般異分母分數之比較與加減時，必須利用約分或擴分，將兩異分母的分數通分成為兩同分母之等值分數後，再做比較與加減。

本細目只做通分概念的認識，並不要求將結果化成最簡分數 (參見 6-n-03) 。所以此時學童在做通分時，可能只是做最簡單的分母相乘，但在熟悉的數字時，教師可鼓勵學童儘量將答案約分為較簡單的分數。

教師應注意學童經常發生的錯誤類型：分母與分子各自相加減。

6-n-01 能認識質數、合數，並用短除法做質因數的分解（質數＜ 20 ，

質因數＜ 20 ，被分解數＜ 100 ）。• 在對一數做因數分解的練習裡，發現遇到質數就必須停下來。同時在記錄分解的樣式及整理中，發現不管怎麼分解，形式都一樣 (見下例 ) 。在小學時，質因數分解的乘積不寫成指數形式

例： 60 ＝ 6×10 ＝ (2×3)×(2×5) ＝ 2×2×3×5 ，或

• 60 ＝ 15×4 ＝ (3×5)×(2×2) ＝ 2×2×3×5

6-n-02 能用短除法求兩數的最大公因數、最小公倍數。

• 最大公因數、最小公倍數的初步教學，以列舉觀察為主，熟悉其意義 (5-n-05) 。本細目則更進一步以 6-n-01 求質因數的短除法經驗，發展以短除法計算兩數最大公因數與最小公倍數的方法，數目大小原則參見 6-n-01 。

6-n-03 能認識兩數互質的意義，並將分數約成最簡分數。

• 兩數的最大公因數是 1稱為互質。注意區辨互質與質數的不同。例如： 14與 15雖然都是合數，但兩者互質。

知道透過約分，可以將分數化成分子和分母互質的分數，稱為最簡分數。

• 在六年級容許的因倍數範圍中，應要求學童將分數化為最簡分數。

1 質數和合數

2 質因數分解

3 最大公因數

練習一

4 最小公倍數

11

13

171

012

14

( 答案僅供參考 )

質數篩選111

21

31

41

51

61

71

81

91

2

12

22

32

42

52

62

72

82

92

3

13

23

33

43

53

63

73

83

93

4

14

24

34

44

54

64

74

84

94

5

15

25

35

45

55

65

75

85

95

6

16

26

36

46

56

66

76

86

96

7

17

27

37

47

57

67

77

87

97

8

18

28

38

48

58

68

78

88

98

9

19

29

39

49

59

69

79

89

99

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99100

1 到 100 的質數

2 、 3 、 5 、 7 、1113 、 17 、 19 、2329 、 31 、 37 、4143 、 47 、 53 、5961 、 67 、 71 、7379 、 83 、 89 、97

不是， 6、 10、 15 、 30 是合數

3和 7都是 21 的質因數

2、 3、5

3和7

2×3×3

24 ＝ 2×2×2×3

15 ＝ 3×5

18＝ 2×3×3

60 ＝ 2×2×3×5

1位、 2位或 4位

1、 2、 5、 10

兒童自行回答

兒童自行發表

兒童自行發表

1 公分、 2公分、 4公分兒童自行發表

1公分、 2公分、 4公分

4 公分

8 10

12

12

錄影帶排 3 個，童話書排 2 個﹔ 錄影帶排 6 個，童話書排 4 個…

兒童自行發表

兒童自行發表

兒童自行發表

6、 12、 18…

4顆、 8顆、 12顆、 16顆…

兒童自行發表

兒童自行發表

兒童自行發表

72

72

兒童自行發表

是

是是

6 公分、 12公分…

兒童自行發表

6公分、 12公分…

24 公分、 30公分…

6 公分

結 語福祿貝爾：

教育無他，惟愛與榜樣～願與所有關心教育的朋友共勉

謝謝聆聽敬請指教