自言自语自言自语

数学中不少结论由于其巧妙无比而令人赞叹，正是因为这一点，数学才有无穷的魅力。

德国著名数学家大卫•希尔伯特曾经讲过一个精彩故事。在那里，希尔伯特成为一个旅馆的老板，这个旅馆不同于我们现实生活中的任何旅馆，它设有无穷多个房间。

一天，该旅馆所有的客房已满。这时，又来了一位客人坚持要住下来。……

Hilbert 的旅馆

有理数的集合特点有理数的集合特点 有理数是可数的——与自然数一样多 比较两个有限数量的东西孰多孰少的

基本思想是直接或间接的一一对应。 1874 年起，德国数学家康托开始研究

这类问题，他将一一对应的思想应用于比较无穷集的元素多少问题。

康托（康托（ Georg Cantor; 1845Georg Cantor; 1845——19181918））

1845 年出生于圣彼得堡 ，犹太人后裔。

11 岁 时 进 入 德国， 1867 年获柏林大 学 的 博 士 学位， 1872 年升为教授。

1874 年开始研究比较 无 穷 集 的 元 素 多少问题。

先数数偶数先数数偶数这个世界上，正偶数多一些，还是正整数多一些呢？

1 2 3 4 5 6 7 8 …

2 4 6 8 10 12 14 16 …

知道了：

所有正整数和所有正偶数都一样多！√

再数数平方数再数数平方数这个世界上，平方数多一些，还是正整数多一些呢？

1 2 3 4 5 6 7 8 …

12 22 32 42 52 62 72 82 …

知道了：

所有平方数和所有正整数都一样多！√

可数集可数集 像自然数这样可以排成一列或者

可以一个一个数下去的无限集叫做可数集。

因此偶数数集、平方数集都是可数集。

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 x

y 1 (1 , 1)

2 (2 , 1)

3 (1 , 2)

4 (3 , 1)

5 (2 , 2)

6 (1 , 3)

… … …

结论：格点数量 = 整数数量

看看格点与整数的比较看看格点与整数的比较

整数、格点与有理数的比较整数、格点与有理数的比较1 2 3 4 5 6…

(1 , 1) (2 , 1) (1 , 2) (3 , 1) (2 , 2) (1 , 3)

…

1

1

2

1

1

2

3

1

2

2

1

3

结论：整数数量 = 格点数量 = 分数数量

有理数是可数集有理数是可数集

有理数集是可数集

4. 4. 有理数的长度为有理数的长度为 00

有理数的长度为有理数的长度为 00

有理数在数轴上所占的长度为 0如果我们采取某种手段将全体有理数在数轴上挤压在一起，使其彼此之间没有重叠、也没有缝隙，它们能占用多大的长度？

有理数的长度为有理数的长度为 00有理数们，排出来！每“人”发一顶帽子戴一戴！

,,,,,

,,,,, 321

nrrrr

,2

,,2

,2

,2 32 n

… …

4. 4. 有理数的长度为有理数的长度为 00量一量有理数帽子总宽度！

n2222 32

So small!

有理数的长度为 0!总结一下总结一下

总结一下…总结一下…从代数上看，

有理数在四则运算下是封闭的，构成一个数域；

从几何上看，有理数在数轴上是稠密的，因此，要去度量任何一件实际事物，

不论要求多高的精度，只要有理数就够了；

从测度上看，有理数很“轻巧”，它们是可数的，

在数轴上所占用的长度为 0

看看

有理数

优 点

总结一下…总结一下…

说说有理数的缺陷

从代数上看，有理数在开方运算下不封闭；

从几何上看，有理数在数轴上还有许多缝隙；

从分析上看，有理数对极限运算不封闭。

实数集实数集

实数理论的建立实数理论的建立 由于有理数有许多不完备的地方，如果不对有

理数进行扩充，关于极限的运算就无法进行，从而也就不会有微积分。

有理数扩充的直接结果是实数集。 关于实数，长期以来，人们只是直觉地去认识：

有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，有理数与无理数统称为实数。

实数理论的建立实数理论的建立19 世纪，德国数学家康托（ G. Cantor, 1845---1918 ）、戴德金 (J. W. R. Dedekind, 1831—1916) 、魏尔斯特拉斯（ K. W. T. Weierstrass, 1815—1897 ）

通过对无理数本质进行深入研究，奠定了实数构造理论。

康托（康托（ Georg Cantor; 1845Georg Cantor; 1845——19181918））

1845 年出生于圣彼得堡 ，犹太人后裔。

11 岁 时 进 入 德国， 1867 年获柏林大 学 的 博 士 学位， 1872 年升为教授。

1874 年开始研究比较 无 穷 集 的 元 素 多少问题。

魏尔斯特拉斯﹐魏尔斯特拉斯﹐ K.W.T., WeierstrassK.W.T., Weierstrass

K.T.W Weierstrass (1815—1897)

德国数学家 先修财务、管理、法

律，后学数学 1854 年 ， 哥 尼 斯 堡

大学名誉博士； 1856 年，柏林科学院院士

数论、几何、复分析

戴德金戴德金﹐﹐ R. (Dedekind, Richard R. (Dedekind, Richard ____1916 1916 ))

戴 德 金 ﹐ R. (Dedekind, Richard) 1831 年 10 月 6 日生于德国不伦瑞克；

1916 年 2 月 12 日卒 于不伦瑞克。

数学家。

2. 2. 实数集的代数属性实数集的代数属性

实数集的代数属性实数集的代数属性

实数集是数域 实数集在四则运算下是封闭的，而且

加法、乘法满足结合律与交换律，并且满足乘法对加法的分配律。

要严格地证明这一点是困难的，它需要考虑实数的有序性、四则运算的具体定义等。

3. 3. 实数集的几何属性实数集的几何属性

实数集的几何属性实数集的几何属性 实数在数轴上是连续的、无缝的。 （ 1 ）数学分析中有六个等价命题 单调有界数列收敛原理； 致密性定理； Cauchy 收敛准则 ; 确界定理； 聚点原理； 闭区间套定理； 有限覆盖定理 .

实数集的几何属性实数集的几何属性

（ 2 ）可以进行极限运算—— 这是微积分建立的基础

4. 4. 实数集的集合特点实数集的集合特点

实数集的集合特点实数集的集合特点 实数集是不可数的——与自然数不能

建立 1-1 对应。

假如假如实数可数，先把实数可数，先把 (0,1)(0,1) 内的编号吧！内的编号吧！

证一证

nnnnnnnn

n

n

n

aaaaaar

aaaaaar

aaaaaar

aaaaaar

54321

335343332313

225242322212

115141312111

0

0

0

0

假如可将 0 与 1 之间的实数编号：

矛盾！

构造一个（ 0 ， 1 ）区间的数

)1,0(0 321 naaaar

,,,3,2,1,其中 njaa jjj

,,,3,2,1, njrr j 因此

实数集是不可数的实数集是不可数的

实数集是不可数集

无限集合的基数无限集合的基数