確率と統計

確率と統計確率と統計確率と統計確率と統計メディア学部メディア学部 20112011 年年

20112011 年年 1212 月月 2222 日（木）日（木）

この資料は数学的な話が中心です。

この資料は数学的な話が中心です。

確率分布• 検定を行う際、確率計算が必要になりま

す。• そのためには、分析対象が従うそれぞれ

の確率値の在り様 ( 確率分布 ) を知り、その性質・特徴を上手く利用することになります。

東京工科大学確率と統計 2011 P.2

例えば• １つのサイコロを 500 回投げたとき、

偶数の目が１００回出る確率 P を求めるとき、定義では

　を計算しなければならない。うっそ！


400100

100500 2

1

2

1

CP

興味ある人は計算してみてください。

興味ある人は計算してみてください。

参考情報• オープンソースのツールを使うことも

考えてみよう– 数式計算ソフトウェア　 Maxima– 数値計算ソフトウェア　 Scilab– 統計計算ソフトウェア　 R など


いろいろな確率分布1. ２項分布2. 正規分布3. ポアソン分布4. 一様分布5. χ ２分布（カイ自乗分布6. ｔ分布（ティー分布）7. F 分布（エフ分布）　などなど

P.5東京工科大学確率と統計 2011

１．　２項分布• １回の試行において、事象 A の起こる

確率が p 、起こらない確率が q とする。このとき、ｎ回の反復試行で事象 A がk 回起こる確率は、次のようになる。

この分布を　　　　　と書く。

教科書 p.97 参照のこと

),,2,1,0()( nkqpCkXP knkkn 　　

),( pnB


例• １枚の硬貨をｎ回投げる。


２項分布 B(n, p) の平均と分散

• 平均 = np• 分散 = npq

教科書 p.101 式 (2) 参照のこと

有名かつ便利な公式


公式の利用例• サイコロを 500 回振る。３の倍数の目

が出る回数の平均（期待値）は、公式より


回3

500

6

2500

pn

２．正規分布• 測定誤差や身長のデータのヒストグラムを

作ると釣鐘型になる。このときのヒストグラムの形を近似的に表す曲線を正規分布曲線とい、このときの分布を正規分布という。

正規分布曲線は、平均 μ と分散 σ2 できまるので、 N(μ, σ2 ) と書くことがある。


キーワード• 分布関数• 確率密度関数• 正規分布曲線（定義）• 正規分布の特徴• 標準化　など


正規分布のグラフ



変曲点

左右対称

ほとんどゼロ

教科書 p.102 図 3 参照のこと


正規分布曲線の式

ex

xf

2)( 2

2

1)( 2

)( x

14東京工科大学確率と統計 2011

正規分布曲線の式

ex

xf

2

2)(

2

1)( 2

)( x標準偏差

平均


重要な性質• 左右対称• Ｘ =σ は変曲点（上凸と下凸の変わり

目）• 平均 = 中央値 = モード


他の重要な性質• （次ページ以降を参照のこと）



68%



95%



99.7%


ちょっと一言• 図形の面積は定積分によりもとめられ

る。


b

adxxfS )(面積

標準化の公式

x

z

N(μ,σ2) N(0,1)P.22東京工科大学確率と統計 2011

標準化の公式

x

z

N(0,1)N(μ,σ2)

平均ゼロ、分散１

（標準正規分布）

平均 μ 、分散 σ2

（正規分布）


標準化の公式

x

z

N(0,1)N(μ,σ2)

平均ゼロ、分散１

（標準正規分布）

平均 μ 、分散 σ2

（正規分布）


これについての情報が標準正規分布表として与えられている。

練習問題• 正しく作られたコインを 100 回投げ

るとき、表が 40 回から 60 回出る確率を求めよ。


• ヒント：– コイン投げの繰り返しは２項分布 B(n,p) と

なるので、定義に従って計算しても良い。– 繰り返しの回数が多い場合は、平均が np 、

分散が npq の正規分布 N(np,npq) で近似できる。

– この事実を使うと比較的楽に確率が計算できる。


• 答え：– μ= np = (100)×(1/2) = 50– σ2= npq = (100)×(1/2)×(1-1/2) = 25 = 52

– Z=(X-μ)/σ = (X – 50) / 5 とすると– Z1=(40-50)/5 = -2

– Z2=(60-50)/5 = +2

– 標準正規分布曲線の -2 ～ +2 の部分の面積が求める確率。

– 標準正規分布表 ( 教科書 p.295) より約 0.95 (= 0.4772×2)


以上のことを別の言い方で表すと．．

．


dxedze

dxe

C

XP

P

xzm

m

mx

k

kk

k

22

2

2

2

2

60

40

2

)(60

40

60

40

100

100

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

)6040(

)6040100(

回以下出る回以上回中表が確率

図で表すと．．．• （黒板で説明します）


確認問題• 正しく作られたコインを 400 回投げ

るとき、表が 150 回以上 230 回以下出る確率を求めよ。


発展問題• 両側検定と片側検定について

以下の問に答えよ。（１）両側検定とは何か。（２）片側検定とは何か。（３）コインを何回か投げた結果に基づいて、コインが正しく作られているかを調べたい。このときは、両側検定を使うべきか、片側検定を使うべきか。


• 問題のヒント：教科書の p.163～ 167 をよく読むこと。両側検定、片側検定の区別、使い分けは重要なので、何かの機会に一度調べておくことを勧める。


正規分布の話は今日はここまで


今日の挑戦問題• ある人種では４つの血液型が知られてお

り、各血液型を持つ人の割合は　　　 0.16, 0.48, 0.20, 0.16であるという。一方、他の人種の人についても同様の調査をしたところ、それぞれの血液型を持つ人は　　 180, 360, 130, 100 　人

だった。これら人種間で血液型の人数比は同じだろうか？


挑戦問題問題のヒント• カイ２乗検定を利用する。• 教科書第 10章を参照のこと。• 教科書 p.229 の問題２と同じ。• 自由度の求め方を覚えると良い。• カイ２乗分布の表は教科書 p.298 。• （カイ２乗検定は利用価値が高いです

ので、是非覚えて使ってください。）


練習問題• ある図書館での本の貸し出しを調べたら以下の

ようになった。「曜日により貸し出し冊数は変わらない」かどうか検定せよ。なお、有意水準を５％とせよ。

月曜火曜水曜木曜金曜貸し出し冊数

１３５

１０８

１２０

１１４１４６


練習問題のヒント

月曜火曜水曜木曜金曜合計

観測値１３５

１０８

１２０

１１４

１４６ T

理論値 T / 5 T / 5 T / 5 T/ 5 T / 5

T=135 + 108 + 120 + 114 + 146=623


その他• カイ２乗検定の１つに、分割表 ( 教科書

p.225) があります。便利なのでマスターしてください。授業でもやりましたよね！

• カイ２乗検定は、分散分析の特殊な場合となっています。分散分析はさらに強力な手法ですので、是非勉強しましょう。

• 統計は慣れることが大切です。継続的に勉強してください。理論よりまず実践です。


最後に• 統計を知っている人と知らない人とで

は、今後大きな差になってきます。統計をすべて勉強することは無理です。自分に関係のある分野で、必要なものから順次慣れていってください。

練習あるのみ次回４つ目のレポート課題を提示する予定です。


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