吉林大学远程教育课件

主讲人 : 杨凤杰 学 时： 64

(第二十讲 )

离散数学

§4.4 Hamilton 图1859 年 , 爱尔兰数学家 Hamilton在市场上提出了一个奇特的数学游戏题 , 问题的主要部分是涉及一个正十二面体 , 如下图。这是通常所称的正则柏拉图体的一种，这是

以 12 个正五边形为面，且这些正五边形的三边相交与 20 个顶点的一个多面体。

Hamilton 用正十二面体代表地球，在每个顶点上都标以一个重要城市的名字 : 布鲁塞尔、广州、德里、法兰克福等等。游戏题的内容是 : 沿着正十二面体的棱寻找一

条旅行路线 , 通过每个城市恰好一次又回到出发城市。这便是 Hamilton 回路问题。

4.4.1 Hamilton 路 Hamilton 图的必要条件 定义 4.4.1 设 G=(P,L) 是有限图 ,(v1,…,vn) 是 G 中一条路。如果 G 中每点恰在此路中出现一次 ,则称此路为 Hamilton 路 ; 如果 G 中每点 ,

除 v1 外 , 恰在此路中出现一次 , 而 v1=vn,则此路称为 Hamilton 回路。

定义 4.4.2 设 G= （ P ， L ）是有限图 ,如果 G 中有一条 Hamilton 回路 , 则称G 为 Hamilton 图。

任意两点都相邻的图称之为完全图。显然，由 m 个节点构成的完全图是 Hamilton 图。 m 个节点构成的完全图通常记为 Km 。和 Euler 路不同， Hamilton 路感兴趣的是图中的点 , 一条 Hamilton路决不会在两点间走两次以上，因此，没

有必要在有向图中讨论它，只要在图中讨论它就可以了。

一个邮递员，如果他的任务需要遍历某些特定的街道 , 那么他最好走一条 Euler路 ; 如果他的任务是联系某些特定的收发点 , 那么他最好走一条 Hamilton 路。

Euler 路同 Hamilton 路相比较，前者要周游诸弧，后者要周游诸点，虽然仅有一字之差，但两者的困难程度却不大相同。对于前者，在上节我们已经得到了一些较为深刻的定理，比较满意地解决了这个问题；但对于后者，却没有令人满意的结果。寻找一个图是Hamilton 图的充分必要条件 , 仍是图论

中一个重要问题。

定理 4.4.1 如果图 G=(P ， L) 是Hamilton 图，则对 P （ G ）的任一非空子集 S ，都有 W(G-S) |S|其中 |S| 表示集合 S 的元素数，G-S 表示在 G 中删除 S 中的点以及以 S 中的点为端点的所有边而剩下的图，W(G-S) 表示图 G-S 的连通分支数。证明：设 C是 G 中的 Hamilton 回路 , 显

然， W(C-S) |S|因为 C是 G 的支撑子图，所以 C-S 是 G-S

的支撑子图。故W(G-S) W(C-S) ，故W(G-S) |S|。

例如，将图 1 中点 A， B， C的集合记为 S ，于是，图 1删去 S ，剩下的图的分支数是 4,即W（图 2-S ） =4 ，而 |S|=3。由定理 4.4.1知 , 图 1 不是Hamilton 图。定理 4.4.1 用于图 2 、图 3得不出任何结论。

C

BA

图1

图3

图2

4.4.2 Hamilton 图的若干充分条件 定理 4.4.2 若 G= （ P ， L ）是有限图， |P(G)| 3， |P(G)|/2 ，则 G 是 Hamilton 图。其中 |P(G)|表示图 G 中点数，表示 G 中点的最小度。证明：令 =|P(G)|。今后，将一直用 表示 |P(G)|。反证法 ,假若 G 不是 , 不妨设 G 是满足3,

/2 的极大非 Hamilton 图（所谓极大是指：满足这个条件的其它非 Hamilton 图都是它的子图）。

显然， G 不是完全图。

设 u,v 是 G 中不相邻的两点 , 于是， G∪{uv}是 Hamilton 图 , 且其中

每条 Hamilton 回路都要通过边 uv 。因此， G 中有起点为 u ，终点为 v 的 Ha

milton 路： （ v1,v2, … ,v-1, v ）其中 v1=u, v=v 。令S={vi|v1vi+1L(G)},T={vi|vivL(G)}。于是 ,S∩T= 。否则 , 设 vjS∩T。于

是，(v1,v2,…,vj,v,v-1, …, vj+1,v1 ）是 G 中一条 Hamilton 回路，且此回路不

通过边 v1v （即 uv ），矛盾。

因为 v S∪T,故 |S∪T| (其中 |S∪T|表示的 S∪T元数 ) 。于是， d(u)+d(v) = |S|+|T| = |S∪T| 故d(u) ， d(v) 中至少有一个小于 /2 ，

这与 /2矛盾。故 G 是 Hamilton图。定理 4.4.2 只是一个充分性条件 ,它可以用于判定某些图是 Hamilton 图, 但不是所有的 Hamilton 图都可以用它来判断。

例如，它无法用于图 2 ，图 3，虽然图 2 和图 3是 Hamilton 图。

C

BA

图1

图3

图2

引理 1 设 G 是有限图， u, v 是 G中不相邻的两点，并且满足： d(u)+d(v) 。则 G 是 Hamilton 图的充要条件是G∪{uv}是 Hamilton 图。证明：必要性显然。充分性 若 G∪{uv}是 Hamilton 图，而

G 不是，仿照定理 4.4.2 的证明，得到d(u)+d(v) ，矛盾。

定义 4.4.3 设 G 是有限图。反复连接 G 中不相邻的并且其度之和不小于 的点对，直到没有这样的点对为止。最后所得的图称为 G 的闭合图，记为 C(G) 。例如，下图是一个求闭合图的过程。

引理 2 有限图 G 的闭合图 C(G)是唯一确定的。证明 : 设 G1,G2 是 G 的两个闭合图。{l1, … , lm}， {f1, … ,fn}分别是加入 G 中得到 G1 ， G2 的边序列。往证： liL(G2) (i=1, … , m) ， fjL(G1) (j=1, … , n) 。若不然，设 lk+1 （设其两端点为 u, v ）是第一条（从左向右看）属于 {l1, … , lm}而不属于 L(G2) 的边。令

H=G∪{l1, … , lk}因为 dH(u)+dH(v) ，而 H 是 G2 的子图，所以 dG2(u)+dG2(v) 而 u, v 在 G2 中不相邻（注意： uvL(G2) ），故上式与 G2 的定义矛盾。故所有的 li (i=1

, … , m) 都在 L(G2) 中。同理可证，所有的 fj (j=1, … , n) 都在 L(

G1) 中。因此， G1= G2 。