第十六章 随机性决策分析方法第十六章 随机性决策分析方法

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随机性决策问题的基本概念；

效用函数的概念；

效用与风险的关系；

随机优势与效用函数的关系；

案例分析：彩票中的数学问题。

一、问题的引入－彩票与数学一、问题的引入－彩票与数学

4 2023年4月20日 星期四

彩票中的数学知多少？ 彩票中的数学知多少？

你们了解彩票吗？你们买过彩票吗？你们了解彩票的规

则吗？

No,I don’t know!

请问几个问题：（ 1 ）博彩有规律可寻吗？（ 2 ）现行的各种彩票方案中奖的可能性有多大？（ 3 ）现行的彩票方案合理吗？哪种方案“好”？（ 4 ）我们应该如何看待彩票？中国的彩票业还有多大的发展空间？

我想应该有规律吧！啊！有这么悬乎吗？

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一、问题的引入－彩票与数学一、问题的引入－彩票与数学 “彩票中的数学”问题（ CUMCM2002-B

） 近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。 “传统型”采用“ 10选 6+1” 方案：

中 奖等 级

10 选 6+1（ 6+1/10 ） 基 本 号 码 特别号码 说 明

一等奖 abcdef g 选 7 中（ 6+1）二等奖 abcdef 选 7 中 （ 6）三等奖 abcdeX Xbcdef 选 7 中 （ 5）四等奖 abcdXX XbcdeX XXcdef 选 7 中 （ 4）五等奖 abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef 选 7 中 （ 3）六等奖 abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX

XXXXef 选 7 中 （ 2）

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一、问题的引入－彩票与数学一、问题的引入－彩票与数学 “彩票中的数学”问题（ CUMCM2002-B

） “乐透型”有多种不同的形式，比如“ 33选 7” 的方案和“ 36选 6+1” 的方案，

中 奖等 级

33 选 7（ 7/33 ） 36 选 6+1（ 6+1/36 ）基本号码 特别号码 说 明 基 本 号 码 特别号码 说 明

一等奖 ●●●●●●● 选 7 中（ 7 ） ●●●●●● ★ 选 7 中 （ 6+1）二等奖 ●●●●●●○ ★ 选 7 中 （ 6+1

）●●●●●● 选 7 中（ 6 ）

三等奖 ●●●●●●○ 选 7 中（ 6 ） ●●●●●○ ★ 选 7 中 （ 5+1）四等奖 ●●●●●○○ ★ 选 7 中 （ 5+1

）●●●●●○ 选 7 中（ 5 ）

五等奖 ●●●●●○○ 选 7 中（ 5 ） ●●●●○○ ★ 选 7 中 （ 4+1）六等奖 ●●●●○○○ ★ 选 7 中 （ 4+1

）●●●●○○ 选 7 中（ 4 ）

七等奖 ●●●●○○○ 选 7 中（ 4 ） ●●●○○○ ★ 选 7 中 （ 3+1）

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一、问题的引入－彩票与数学一、问题的引入－彩票与数学“彩票中的数学”问题（ CUMCM2002-B）要解决的问题：

（ 1 ）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。

（ 2 ）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。

（ 3 ）给报纸写一篇短文，供彩民参考。

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二二 . . 随机性决策的基本概念随机性决策的基本概念

随机性决策问题包含两个方面：• 决策人所采取的行动方案 ( 决策 );• 问题的自然状态 ( 状态 ) ； 基本特点：后果的不确定性和后果的效用。

后果的不确定性：由问题的随机性，使问题会出现什么状态的不确定性，决策人做出决策后会出现后果的不确定性。

后果的效用：后果价值的量化。由后果的不确定性，对于不同决策后果的效用是不同的。

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1 、 主观概率

二二 . . 随机性决策的基本概念随机性决策的基本概念

随机性决策问题后果的不确定性是由状态的不确定性引起的，状态的不确定性不能通过在相同条件下的大量重复试验来确定其概率分布。实际中只能由决策人主观地做出估计，称其为主观概率。

主观概率遵循客观概率应该遵循的假设、公理、性质等，客观概率的所有逻辑推理方法均适用于主观概率。 设定主观概率的方法：主观先验分布法、无信息先验分布法、极大熵先验分布法和利用过去数据设定先验分布法等。

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2 、 随机性决策的效用函数

二二 . . 随机性决策的基本概念随机性决策的基本概念

设决策人在选择某一方案时，决策问题可能有 n个后果;,,, 21 nCCC 后果 iC 可能发生的概率为 ),,2,1( nipi ，且

11

n

iip 。

用 P 表示所有后果的概率分布，记),;;,;,( 2211 nn CpCpCpP ，则称P为展望。

所有展望构成的集合记作 P ，可以验证 P 关于凸线性组合是封闭的。即如果 1P ， PP 2 ，而且 10 ，则有

PPP 21 )1(

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对于任意 PPP 21 , 都存在一定的优先关系，即决策人

可认为 1P 优于 2P ，或 1P 与 2P 无差异，或 1P 不优于 2P .

2 、 随机性决策的效用函数

这三种关系分别记为： 1P 2P ， ~1P 2P 和 2P 1P 。这种优先关系反映了决策人对各种后果的爱好程度。

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效用函数的定义：

2 、 随机性决策的效用函数

定义 1 设 )(Pu 是定义在P 上的实值函数，且满足：

（1）它和在 P 上的优先关系一致，即如果对于所有

1P ， PP 2 ，有 1P 2P ，当且仅当 )( 1Pu )( 2Pu 。

（2）它在 P 上是线性的，即如果 1P ， PP 2 ，而且10 ，则

)()1()())1(( 2121 PuPuPPu

那么称 )(Pu 是定义在P 上的效用函数。

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如果 PCpCpCpP nn ),;;,;,( 2211 ，则 )(Pu 是

表示以概率 ip 选择 ),,2,1( niCi 的期望效用。

2 、 随机性决策的效用函数

如果效用反映决策人对一个不确定事件可能冒风险的态度，则称这种效用为基数效用。

如果所研究的事件是确定的事件，并不受自然状态的影响，用一个效用来表示决策人对确定事件各种后果的偏好程度，称这种效用为序数效用。

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定义 2 设 X为所有确定事件的后果 x的集合，u是定义在 X 上的实值函数，如果对于任意的 Xxx 21 , 有

)()( 21 xuxu ，当且仅当 21 xx ，则称u是定义在 X上的序数效用函数。

基数效用和序数效用的主要区别： 基数效用在正线性变换下是唯一的，而序数效用在保序变换

下是唯一的。

正线性变换： )0()()(ˆ PuPu 。 保序变换： ))(()(ˆ xufxu ，对任意 Xx ， f 为严格单调

增加函数。

2 、 随机性决策的效用函数

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实际中的决策问题对决策人的决策往往是效益和风险并存。不同的决策人对待风险的态度可分为厌恶型、中立型和喜好型。

3 、效用与风险的关系

二二 . . 随机性决策的基本概念随机性决策的基本概念

假设决策人面对一种风险:有 21 的机会得不到任何盈

利，也有 21 的机会盈利 a2 元，即他的期望盈利为a元。

问题：决策人对待这一风险的态度是什么呢？

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3 3 、效用与风险的关系、效用与风险的关系

厌恶型 : 决策人认为冒此风险的期望盈利只等价于比它低的不冒风险的盈利。 喜好型 : 对待风险的态度与厌恶型相反

的。 中立型：介于二者之间的，即决策人认

为这和不冒任何风险的另一行为盈利 a元等价。这三种不同的态度可以反映在效用函数上就

是凹函数，线性函数和凸函数。

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3 3 、效用与风险的关系、效用与风险的关系

1x 3x 21xx 2x x

)(

)(

)(

)(

1

3

2

xu

xu

xu

xu

O

0 1x 3x 21xx 2x x

)(

)(

)(

)(

1

3

2

xu

xu

xu

xu

0 1x 21xx

3x 2x x

)(

)(

)(

)(

1

3

2

xu

xu

xu

xu

风险厌恶型:

2

)()(2

1)( 21

213

xxuxuxuxu 。

风险中立型:

2

)()(2

1)( 21

213

xxuxuxuxu

风险喜好型:

2

)()(2

1)( 21

213

xxuxuxuxu

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实际中，有的效用函数曲线呈 S 型，即在后果的范围内，决策人会从厌恶风险变为喜好风险。

O x

)( xu

O x

)( xu

3 3 、效用与风险的关系、效用与风险的关系

(1)反映了决策人的财产从小到大，对待风险的态度从喜好到厌恶的改变。 (2)反映了决策人的财产从损失到盈利的增加，对待风险的态度从喜好到厌恶的变化。

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44 、损失函数与风险函数的关系、损失函数与风险函数的关系

实际中，常用损失函数 ),( al 表示决策问题的状态为，决策人的行动为 a时所产生的后果使决策人所受的损失。

二二 . . 随机性决策的基本概念随机性决策的基本概念

损失函数可以为正，也可以为负，它反映决策人获得的利益，后果效用愈大，则损失愈小。即可以用效用来定义损失函数

),(),( aual 。

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44 、损失函数与风险函数的关系、损失函数与风险函数的关系

若要求问题的损失函数总是非负的，则可以定义为

),(),(supsup),( auaualAa

在效用理论中，期望效用能够表示决策人对待待风险的偏好，而期望损失是决策人在风险情况下遭受损失的一个测度。

21 2023年4月20日 星期四

5 、、随机优势与效用函数 二二 . . 随机性决策的基本概念随机性决策的基本概念

这种方法所研究的问题一般是财富问题，即用效用函数 )(xu 的自变量 x (随机变量)表示财富。实际中总是有 ],[ bax ，且 )(xu 在 ],[ ba 上有界.

随机优势法 : 在有价证券问题的研究中常用的一种在一定风险的情况下确定决策的方法。

随机优势法常用的效用函数有三种：

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5 、、随机优势与效用函数

对于实际中的问题，要求财富效用函数 )(xu 对所有 ],[ bax ， )(xu 是 x的非递减函数，即意味着当财富增加时，它的效用总不会减少。即 )(xu 通常是随着 x的增加严格递增加的，而且是有界的。

（１）递增的效用函数

假设： 1) 对于任意 ],[, 21 baxx ，当 21 xx 时有 )()( 21 xuxu ；

2) )(xu 在 ],[ ba 上连续，且有界，即存在 0M 使 Mxu )( ；

3) )(xu 在 ],[ ba 上一次可微，且在 ),( ba 内有 Mxu )(0 。

23 2023年4月20日 星期四

5 、、随机优势与效用函数

（１）递增的效用函数

记此类效用函数为 1U ，即

uuU {1 和u在 ],[ ba 上连续有界，且在 ),( ba 内 }0u

1U 中既可包含厌恶的效用函数，也可包含喜好风险和风险中立的效用函数。

　这种类型的效用函数仅能反映出财富与风险的关系，但不能反映出决策人对待风险的态度。

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5 、、随机优势与效用函数

（２）递增的凹效用函数

这种效用函数是递增的，故设 1)( Uxu ，而且是严格凹的，即 )(xu 在 ],[ ba 上具有二阶连续有界的导数。记为

],[,{ 12 baCuUuuU ，且在 ),( ba 内 }0u

常用的 2U 类函数有：

幂函数: )0,0](,[,)( acbaxxxu c ;

对数函数: ),0(],[,log)( baxxxu ;

指数函数: )0(),[,)( caxexu cx .

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由风险和效用的关系，当 uu , 存在，且 0u 时，定义对待风险态度的局部测度：

)(

)()(

xu

xuxr

，

即 )(xr 是效用函数 )(xu 的曲率测度。

5 、、随机优势与效用函数

（２）递增的凹效用函数

如果 0)( xr ，则决策人的财产为 x时，他是厌恶风险的。

事实上，可以证明：

如果 0)( xr ，则决策人的财产为 x时，他是风险中立的。

如果 0)( xr ，则决策人的财产为 x时，他是追求风险的，

而且 )(xr 愈大，他愈厌恶（或追求）风险。

（ 3 ）递减的厌恶风险的效用函数 （ 3 ）递减的厌恶风险的效用函数

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5 、、随机优势与效用函数

实际中，多数决策人对小额盈亏的态度是随着财富的积累而变化的，他们的财富积累愈多，对小额盈亏所冒风险的厌恶程度愈小。

23 { UuuU )(, xr 在 ],[ ba 上连续可微，有界，且 }0)( xr

即 3U 是 2U 的一个子类。

假设 )(xr 是 x的非递增的函数，则可得到一类效用函数:

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由于当 0)( xr 时， )(xr 是非递增的。

（ 3 ）递减的厌恶风险的效用函数 （ 3 ）递减的厌恶风险的效用函数

5 、、随机优势与效用函数

要使 0)( xr ，即由 0)]([

)]([)(

2

2

xu

xuuuxr ，

则 0)( 2 uuu ，故 0)(

)(2

u

uxu 。

3U 类函数存在的必要条件是 ),(,0 baxu ，但不是充分条件。

28 2023年4月20日 星期四

1 、问题的提出 1 、问题的提出

三、案例分析：彩票中的数学问题

要解决的问题：

（ 1 ）根据所给方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。

（ 2 ）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。

（ 3 ）给报纸写一篇短文，供彩民参考。

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２、问题的分析 ２、问题的分析

三、案例分析：彩票中的数学问题

　　评价一个方案的优劣，或合理性如何，主要取决于彩票公司和彩民两方面的利益。　　事实上，公司和彩民各得销售总额的 50% 是确定的，双方的利益主要就取决于销售总额的大小，即双方的利益都与销售额成正比。　　问题是怎样才能有利于销售额的增加？即公司采用什么样的方案才能吸引广大的彩民积极踊跃购买彩票？

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问题涉及到一个方案的设置使彩民获奖的可能性有多大、奖金额有多少、中奖面怎样、各奖项的设置是否合理等因素，这些都对彩民的购买彩票的吸引力有产生一定的影响，在这里可用彩民的心理曲线来描述一个方案对彩民的吸引力。　　另外，一个方案对彩民的影响程度可能与区域有关，即与彩民所在地区的经济状况以及收入和消费水平有关。　　为此，要考查一个方案的合理性问题，需要综合考虑以上这些因素的影响，这是建立模型的关键所在。

2 、问题的分析

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３、模型的建立与求解 ３、模型的建立与求解

三、案例分析：彩票中的数学问题

问题（一）：根据所给方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。

将 29种方案分为四类, 1K :10选 6+1（6+1/10）型、 2K :

n选m )/( nm 型、 3K :n选 1m )/1( nm 型和 4K :n选

m )/( nm 无特别号型，分别给出各种类型方案的彩民获各奖项

的概率 ip （ 71 i ）。

（ 1 ）彩民获各项奖的概率

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3 、模型的建立与求解

因为彩民购买彩票从经济的角度有一定的风险。根据风险决策的理论，考虑到彩票对彩民心理因素的影响，可取

)0(1)(

2

x

ex

为风险决策的效用函数。

用指标函数：

7

1

)(i

ii xpF （1）

表示在考虑彩民的心理因素的条件下，一个方案的中奖率、中奖面、奖项和奖金设置等因素对彩民的吸引力。

（ 2 ）综合评价各种方案的合理性

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3 、模型的建立与求解

另一方面，单注所有可能的低项奖金总额为

7

4iiixpL ，

根据高项奖的计算方法得单注可能的第 j项（高项奖）奖金额为

ji

iijjj rxprLxp

7

4

1)1( ， 3,2,1j

其平均值为 7

4

1

, 1,2,3i i j

ij

j

p x r

x jp

（2）

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5

7

4

7

1

1030589.6

7,,2,1,1)(

3,2,1,

1

)(

2

iex

jp

rxp

x

xpF

ix

i

j

ji

ii

j

iii

综合（ 1)和（ 2 ）式，利用 Matlab编程计算出29种方案的合理性指标值及高项奖的期望值，排在前三位的如下表：

指 标 F 1x 2x 3x方 案

排 序9 7/30 4.009×10-7 1.086×10

620679 1410 1

11 7/31 3.784×10-7 1.704×106

32448 2116 2

5 7/29 3.637×10-7 7.557×105

35984 1714 3

3 、模型的建立与求解

35 2023年4月20日 星期四

问题（ 2 ）设计一种更好的方案 问题（ 2 ）设计一种更好的方案

3 、模型的建立与求解

根据问题（1）的讨论，问题是取什么样的方案m /n（n和m取何值）、设置哪些奖项、 高项奖的比例 )3,2,1( jrj为多少和低项奖的奖金额 )7,6,5,4( ixi 为多少时，使目标

函数

7

1

)(i

ii xpF 有最大值．

设以m， n， )3,2,1( jrj ， )7,6,5,4( ixi 为决

策变量，以它们之间所满足的关系为约束条件，则可得到非线性规划模型：

36 2023年4月20日 星期四

max

7

1

)(i

ii xpF

2

7

4

5

1 2 3

1

5 61

1

1

1, 1, 2,3

( ) 1 ( 1, 2, ,7), 6.30589 10

1

0.5 0.8. . 6 10 5 10

, 1, 2, ,6

, 1, 2, ,6

5 7

29 60

0, 0; ,

i

i i ji

jj

x

i

ii i

i

i i

j i

p x rx jp

x e i

r r r

rs t x

xa b i

x

p p i

m

n

r x m n

为正整数

问题（ 2 ）设计一种更好的方案 问题（ 2 ）设计一种更好的方案

编程求解得最优解

}0,1,10,200,11.0,09.0,8.0,32,6,{ 2K，

最优值为 7108399.6 F ．故

对应的最优方案为：32选6

（6/32），一、二、三等奖

的比例分别为80%、9%、

11%，四、五、六、七等奖

的金额分别为200、10、1、

0元．

37 2023年4月20日 星期四

不同地区的最优方案 年收入 指标

1

万元

2

万元

2.5

万元

3

万元

4

万元

5

万元

10

万元

420393 840786 1050982 1261179 1681571 2101964 4203928

最优方案 5+1/33 6/32 7/30 6/37 6+1/32 7/33 7/35

F 8. 255×10-7 4. 623×10-7 4. 103×10-7 3. 223×10-7 2. 475×10-7 2. 075×10-7 1. 828×10-7

1r 0. 80 0. 80 0. 73 0. 70 0. 73 0. 73 0. 80

2r 0. 10 0. 9 0. 17 0. 15 0. 19 0. 18 0. 13

3r 0. 10 0. 11 0. 10 0. 15 0. 07 0. 09 0. 07

1x 6. 5×105 6. 18× 105 1. 38× 106 1. 46× 106 2. 23× 106 2. 99× 106 3. 91× 106

2x 3037 120004 47506 52172 22721 1. 07× 105 94252

3x 607 600 1235 1739 1507 1974 1746

4x 138 200 100 200 100 200 103

5x 7 10 10 20 20 10 20

6x 1 1 5 2 2 2 5

7x 0 0 0 0 0 0 3

问题（ 2 ）设计一种更好的方案 问题（ 2 ）设计一种更好的方案