森林管理问题

森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度。开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。

题目要求做什么？给出什么条件？

重要关系的描述 ，数据及其说明寻找条件与问题的联系。

1. 确定设计变量和目标变量；

2. 确定目标函数的表达式；

3. 寻找约束条件。

如果已判断该题是某类问题，

按此类问题的要求寻找线索建模。

如：优化模型

森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度。开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。

1 建模分析

目标函数：被砍伐树木的经济价值。

决策变量：被砍伐的树木的数量。

约束条件：持续收获，总数不变。

2 模型假设

按高度将树木分为 n 类：

第一类，高度为 ),[ 10 h 幼苗，其经济价值 01 p

第 k 类，高度为

),[ kk hh 1 每棵树木的经济价值 kp

nk 1

第 n 类，高度为

),[ 1 nh 每棵树木的经济价值 np

假设 1

记 )(,),(),( txtxtx n21为第 t 年开始时森林中各类树木的数量。

每年砍伐一次，为了维持每年都有稳定的收获，只能砍伐部分树木，留下的树木和补种的幼苗，其高度状态应与初始状态相同。

设 nyyy ,,, 21 分别是第 1 ， 2 ，…， n 类树木

在采伐时砍伐的棵数。

假设 2

设森林中树木的总数是 s ，即 stxtxtx n )()()( 21

根据土地面积和每棵树木所需空间预先确定的数。

假设 3

假设 4

每一棵幼苗从种植以后都能生长到收获，且在一年的生长期内树木最多只能生长一个高度级，即第 k 类的树木可能进入 k+1 类，也可能留在 k 类。

设 kg 是经一年的生长期后，从第 k 类的树木中进入 k+1 类的比例，则

kg1 是在一个生长期内留在第 k 类中的树木的比例。

3 建模

先看没有砍伐时树木生长规律

),()()( txgtx 111 11

),()()()( txgtxgtx 22112 11

),()()()( txgtxgtx 33223 11

),()()( txtxgtx nnnn 111

变形，矩阵形式

定义高度状态向量和生长矩阵：

)(

)(

)(

)(

)(

tx

tx

tx

tx

tx

n

3

2

1

1

1

1

1

1

1

1

32

21

1

n

n

g

g

gg

gg

g

G

则没有砍伐时树木生长方程为

)()( tGxtx 1

再考虑有砍伐和补种时的情形

根据问题的要求，要维持持续收获，即

生长期末的状态减去收获采伐的量再加上补

种的幼苗数应等于生长期开始的量),()()( txzytxg 11111

),()()()( txytxgtxg 222211 1

),()()()( txytxgtxg 333322 1

),()()( txytxtxg nnnnn 11

各式相加后，得 nyyyz 21

,01 y nyyz 2

),()()( txyyyyytxg n 13211111

),()()()( txytxgtxg 222211 1

),()()()( txytxgtxg 333322 1

),()()( txytxtxg nnnnn 11

再记

,

ny

y

y

y2

1

000

000

111

R

则)()( txRyytGx

),()()( txzytxg 11111

),()()()( txytxgtxg 222211 1

),()()()( txytxgtxg 333322 1

),()()( txytxtxg nnnnn 11

1132 xgyyy n

22112 xgxgy

33223 xgxgy

11 nnn xgy

所收获树木的价值

nnn ypypypyyyf 332232 ),,,(

0332211 nnxgxgxgxg

1112223112 nnnn xgppxgppxgp )()(

问题 ),,,(max nyyyf 32

nix

sxxxx

xgxgxgxgts

i

n

nn

,,2,1,0

..

321

332211

4 模型求解

利用线性规划的理论和方法，得如下结论：

砍伐某一类树木而不砍伐其他类

的树木时，可获得最大收益。

利用这一结论，设被砍伐的树木为第 k 类，则

),,,,(,, njkjyy jk 2100

根据所建模型， 000 1 nkk xxx ,,,

1132 xgyyy n

22112 xgxgy

kkkkk xgxgy 11

11 nnn xgy

根据所建模型，

0,,0,0 11 nkk xxx 得

111 kkkkk xgxgy

11221 kkkkk xgxgy

11xgyk

1122 xgxg

2211 kkkk xgxg

11 kkk xgy

结果表明：

森林从幼苗开始长到第 k 年为止开始收获，此时树木高度分布为初始分布。

从第 k 年开始后每年砍伐一次，均砍伐第 k 类高度的树木。

因此，森林中没有高于或等于 k 类高度的树木。

问题：从幼苗开始长到哪一年收获为最佳？

1122 xgxg

2211 kkkk xgxg

12

12 xg

gx 1

3

13 xg

gx 1

1

11 xg

gx

kk

sxxx n 21由

1

1

3

1

2

11

1

kgg

gg

gg

sx

2233 xgxg

kknk ypyyyf ),,,( 32 11xgpk

1321

1111

k

k

gggg

sp

当森林中各参数给定时，分别计算 f k 的值，再 比

较选出最大的即可。同时可计算出相应的砍伐量。

11xgyk

1321

1111

kgggg

s

5 算例已知森林具有 6 年的生长期，其参数如下。求

出最优采伐策略。

370230250320280 54321 .,.,.,.,. ggggg

25020015010050 65432 ppppp ,,,,

解得

sfsfsfsfsf 014213913714014 65432 .,.,.,.,.

故全部收获第 3 类树木，可获得最大收益为 14.7s 。

6 进一步思考

1 持续养鱼问题

2 企业持续发展问题

3 经济（社会）持续发展问题