Питагор е древно-гръцки математик и философ, създател на религиозно-философската школа на питагорейците.

Той е роден и живял на остров Самос. Негов баща е финикийският търговец от гр. Тир - Мнесарх, човек с благороден произход и добро образование. Майка му е Питаис от гръцкия о-в Самос. Като младеж се обучава при мемфиските жреци в Египет във финикийските храмове в Тир и Бибъл, може би и във Вавилон. Там усвоява много от научните и религиозните постижения на източните култури (включително т. нар. питагорова теорема), които въвежда в гръцката наука, философия и религия.

В математиката питагоровататеорема е една от основополагащитетеореми в евклидовата геометрия. Тяизразява съотношение между

дължините на трите страни на правоъгълен триъгълник. Теоремата

носи името на древногръцкия философ и математик от VI . . .век пр н е

Питагор, въпреки че е била известна на индийците и гърците много преди

.него

Питагоровата теорема гласи следното: В правоъгълния триъгълник сборът от квадратите на

дължините на катетите е равен на квадрата на дължината на хипотенузата. Правоъгълен триъгълник се нарича триъгълник с един прав ъгъл (т.е. равен на 90°); катети са страните, които сключват правия ъгъл, а хипотенузата е срещуположната на правия ъгъл страна. На чертежа с „a“ и „b“ са означени катетите на правоъгълния триъгълник, а с „c“ — хипотенузата му.

Питагор е възприемал и изразявал теоремата именно в нейния геометричен смисъл, т.е. като формулировка на връзката между лицата на квадратите, построени върху страните на триъгълника:

Сумата от лицата на синия и червения квадрат е равна на лицето на виолетовия квадрат. Като се използва алгебрата, теоремата се преформулира в нейния съвременен вид:

Ако в един правоъгълен триъгълник означим дължините на катетите с a и b, а дължината на хипотенузата — с c, тогава

Поради голямото значение на питагоровата теорема досега са известни над 100 нейни доказателства. Обръщането на питагоровата теорема също е вярно, т. е. ако за дължините на страните на триъгълник е в сила релацията

триъгълникът е правоъгълен. Изобщо всяка тройка числа a, b, c, за които е изпълнено

горното равенство, се нарича питагорова тройка.

Доказателство на Евклид

Евклид дава доказателство в книгата си Елементи, Книга 1, Твърдение 47[1]

Нека ABC е даденият правоъгълен триъгълник с хипотенуза BC. Построяваме квадратите ACIH, ABFG и BCED от външните страни на триъгълника. Тъй като лицето на всеки квадрат е равно на квадрата на дължината на страната му, за да докажем теоремата е достатъчно да се покаже, че лицето на BCED е равно на сумата на лицата на другите два квадрата. За целта спускаме перпендикуляра AL от точката A към правата DE. Нека той пресича правата BC в точката K. Построяваме също отсечките CF и AD.

Ъгълът CBF е равен на сумата на ъглите ABC и ABF. Аналогично, ъгълът ABD е равен на сумата на ABC и CBD. Тъй като ъглите ABF и CBD са прави, а следователно и равни, следва, че ABD е равен на CBF. Освен това отсечките BF и BA са равни, тъй като са страни на един и същ квадрат. Аналогично BD е равна на BC. От там следва, че триъгълниците ABD и CBF са еднакви, по признака за две страни и прилежащ ъгъл.

Лицето на триъгълника ABD е равно на половината от лицето на правоъгълника KBDL. Също так лицето на CBF е половината от лицето на ABFG. Тъй като двата триъгълника имат еднакви лица, следва, че лицето на ABFG е равно на лицето на KBDL. Аналогично се показва, че лицето на KCEL е равно на това на квадрата ACIH. Оттук следва, че лицето на BCED е равно на сумата на лицата на другите два квадрата, с което теоремата е доказана.

Даден е квадрат със страна c. В него са построени четири триъгълника както е показано на чертежа със страни a и b.Лесно се вижда, че полученият по средата квадрат е със страна а-b => Лицето на големият квадрат е c2 и е равно на лицата на триъгълниците 4.ab/2 + лицето на малкия квадрат (a-b)2

След разписване се получаваc2 = 2ab + (a-b)2

c2 = 2ab + a2 - 2ab + b2

c2 = a2 + b2

ДОКАЗАТЕЛСТВО НА ПРЕЗИДЕНТ ГАРФИЛД

Доказателството е написано 1876, като продължение на предишното, но без квадрати.Даден е правоъгълен трапец с основи a и b и дължина на височината a+b, както е показано на чертежаОт формулата за лице на трапец имаме (a+b)/2.(a+b) А от триъгълниците имаме, че лицето на трапеца е равно на: ab/2 + ab/2 + c2/2Тоест (a+b)2/2 = ab + c2/2a2/2 + b2/2 + ab = ab + c2/2a2/2 + b2/2 = c2/2a2 + b2 =c2

Изготвила: Яница Иванова

11”б” клас