第三章

平面任意力系

引　　言引　　言平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫 。∼

[ 例 ]

中心内容：力系简化 + 平衡方程

平面任意力系实例平面任意力系实例

§3-1 力线平移定理§3-1 力线平移定理

力的平移定理：可以把作用在刚体上点 A 的力 平行移到任一

点 B ，但必须同时附加一个力偶。这个力偶

的矩等于原来的力 对新作用点 B 的矩。F

F

力 F

B dA

F

），力偶（力 FFF

Bd

AF’

m

FMdFM o

Bd

AFF’

F”

F=F’=F”

FFF ,,力系

① 力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力 + 力偶

（例断丝锥）

② 力平移的条件是附加一个力偶 m ，且 m 与 d 有关， m=F•d

③ 力线平移定理是力系简化的理论基础。

说明：

工程应用

§3-2 平面任意力系向一点简化 §3-2 平面任意力系向一点简化

一般力系（任意力系）向一点简化汇交力系 + 力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力 ， R'( 主矢 ) ， ( 作用在简化中心 ) 力 偶 系 力偶 ， MO ( 主矩 ) ， ( 作用在该平面上 )

O为任选点

O

F1

F’3

F’2

F3

F2F’1

x

y

m1 m2

m3 O x

y R’Mo

大小：

主矢 方向：

简化中心 ( 与简化中心位置无关 )

[ 因主矢等于各力的矢量和 ]

R

iFFFFR 321'主矢

)()()(

21

321

iOOO

O

FmFmFm

mmmM

主矩

2222 )()(''' YXRRR yx

X

Y

R

R

x

y 11 tantan（移动效应）

大小：

主矩 MO 方向： 方向规定 + —

简化中心： ( 与简化中心有关 )

（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）

)( iOO FmM

（转动效应）

固定端（插入端）约束 在工程中常见的

雨搭

固定端（插入端）约束 说明

① 认为 Fi 这群力在同一 平面内 ;

② 将 Fi 向 A 点简化得一 力和一力偶 ;

③RA 方向不定可用正交 分力 YA, XA 表示 ;

④ YA, XA, MA 为固定端 约束反力 ;

⑤ YA, XA 限制物体平动 ,

MA 为限制转动。

AFi

A

RAMA

A XA

MA

YA

§3-3 平面任意力系的简化结果 合力矩定理§3-3 平面任意力系的简化结果 合力矩定理

简化结果： 主矢 ，主矩 MO ，下面分别讨论。

② =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶 , MO=M 此时刚

体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平

面内任意移动，故这时，主矩与简化中心 O 无关。

R

① =0 ， MO =0 ，则力系平衡 , 下节专门讨论。

R

R

③ ≠0,MO =0, 即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，

简化结果就是合力（这个力系的合力） , 。（此时 与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）

R

RR

R ④ ≠0,MO ≠0, 为最一般的情况。此种情况还可以继续简

化为一个合力 。R

合力 的大小等于原力系的主矢

合力 的作用线位置R

Md O

R

R

O O’

R’MO

O O’

R’

O O’

R

d d

R

R”

结论：

)(1

n

iiOO FmM

)()( 主矩OO MdRRm

)()(1

n

iiOO FmRM

平面任意力系的简化结果 ：①合力偶 MO ； ②合力 ;③平

衡

合力矩定理：由于主矩

而合力对 O 点的矩

——— 合力矩定理

由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。

即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系

中各力对于同一点之矩的代数和。

R

[ 例 1] 已知平面任意力系如图， ， ， 求①力系向 O 点简化结果， ②合力的大小和作用线方程

NF 21001 NF 1002 NF 503

x

y

(1,2)

(2,-1)

(3, 1)

F1

F2

F3

[ 解]

F1 F2 F3 ΣX 100 100 0 200Y 100 0 -50 50

mo(F) -100 -100 -100 -300

力系向 O 点简化的结果为 NjiR 50200' 主矢

mmNFmo 300主矩 NR 175050200 22 合力大小为

;6

50

300mm

Y

Fmx

i

io

设合力与 x 轴交点为 (x, 0), 合力与 y 轴交点为 (0, y), 则

mmy 5.1200

300

R

§3-4 平面任意力系的平衡条件与平衡方程§3-4 平面任意力系的平衡条件与平衡方程

由于 =0 为力平衡 MO=0 为力偶也平衡

R

所以平面任意力系平衡的充要条件为：

力系的主矢 和主矩 MO 都等于零，即：

0)()(' 22 YXR0)( iOO FmM

R

0 X

0)( iA Fm

0)( iB Fm

② 二矩式

条件： x 轴不 AB 连线

0)( iA Fm

0)( iB Fm

0)( iC Fm

③ 三矩式

条件： A,B,C 不在 同一直线上

上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。

0 X

0Y

0)( iO Fm

① 一矩式

[ 例 ] 已知： P, a , 求： A 、 B 两点的支座反力？

解：①选 AB 梁研究 ② 画受力图

0)( iA Fm由

32 ,032 PNaNaP BB

0 X 0AX

0Y 3 ,0

PYPNY ABA

PA B

2a aYA

XA

NB

设有 F1, F2 … Fn 各平行力系，

FxF

RM

x iiOR '

FRRO

'主矢

iiiOO xFFmM )(主矩

§3-5 平面平行力系的平衡方程§3-5 平面平行力系的平衡方程平面平行力系 : 各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫 。∼

x1

xn

x2

An

A2

A1

F2

F1

Fn

x

y

O

RO

MO

向 O 点简化得：

合力作用线的位置为：

R

平衡的充要条件为

主矢 =0 主矩 MO =0

所以 平面平行力系的平衡方程为：

0)( iA Fm

0)( iB Fm

二矩式

条件： AB 连线不能平行 于力的作用线

0Y0)( iO Fm

一矩式

实质上是各力在 x 轴上的投影恒等于零，即 恒成立 ，所以只有两个独立方程，只能求解两个独立的未知数。

0 X

x1

xn

x2

An

A2

A1

F2

F1

Fn

x

y

O

RO

MO

分布载荷 q(x) 的合力大小及作用线q(x)

x

y

O

dxx

a b

图形面积b

adxxqR )(

图形形心

b

a

b

aR

dxxq

xdxxqx

RxR

O

q

l

Rl/2 q

l

2l/3R

qlR 2

qlR

0,0 AXX由

022

; 0)(

aPmaaqaR

Fm

B

A

0Y 0 PqaRY BA

)kN(122028.0

162

8.02022

Pamqa

RB

)kN(24128.02020 BA RqaPY

[ 例 ] 已知： P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m

求： A 、 B 的支反力。

解：研究 AB 梁

解得：

[ 例 ] 已知：塔式起重机 P=700k

N, W=200kN ( 最大起重量 ) ，尺

寸如图。求：①保证满载和空载

时不致翻倒，平衡块 Q= ？ ②当

Q=180kN 时，求满载时轨道 A 、

B 给起重机轮子的反力？

0)(FmB

0)22()212(2)26( ANWPQ

0AN

kN 75Q

限制条件：解得

解：⑴ ①首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的最小 Q 为：

② 空载时， W=0 由 0)(FmA 0)22(2)26( BNPQ

限制条件为： 0BN 解得 kN 350Q

因此保证空、满载均不倒 Q 应满足如下关系：

kN 350kN 75 Q

04)212(2)26( BNWPQ 0)(FmA

,0 iF 0 BA NNWPQ

kN 870

,kN 210

B

A

N

N

⑵ 求当 Q=180kN ，满载 W=200kN 时， NA ,NB 为多少

由平面平行力系的平衡方程可得：

解得：

§3-6 静定与静不定问题的概念 物体系统的平衡§3-6 静定与静不定问题的概念 物体系统的平衡一、静定与静不定问题的概念我们学过：平面汇交力系 两个独立方程，只能求两个独立 未知数。

一个独立方程，只能求一个独立未知数。

三个独立方程，只能求三个独立未知数。

0 X0Y

0im

0 X0Y

0)( iO Fm

力偶系

平面任意力系

当：独立方程数目 = 未知数数目时，是静定问题（可求解）

独立方程数目 < 未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）

[ 例 ]

静不定问题在强度力学（材力 , 结力 , 弹力）中用位移谐调条件来求解。

静定（未知数三个） 静不定（未知数四个）

[ 例 ]

二、物体系统的平衡问题

外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。

物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫 。∼

物系平衡的特点：

① 物系静止

② 物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列 3 个

平衡方程，整个系统可列 3n 个方程（设物系中

有 n 个物体）

解物系问题的一般方法：

由整体 局部（常用），由局部 整体（用较少）

解： 选整体研究 受力如图 选坐标、取矩点、 Bxy,B 点 列方程为 :

解方程得

①②③④

0X ;0BX

0 Bm 0 DEPM B

)mN(100011000 BM

0Y ;0 PYB PYB

[ 例 1] 已知各杆均铰接， B 端插入地内， P=1000N ， AE=

BE=CE=DE=1m ，杆重不计。 求 AC 杆内力？ B 点的反力？

受力如图 取 E 为矩心，列方程 解方程求未知数

045sin,0 EDPCESm oCAE

①②

③④ )N(1414

1707.011000

45sin

CEEDPSoCA

再研究 CD 杆

[ 例 3] 已知： F 各杆重量不计。 求： A 、 B 和 D 约束反力？

0 FM c由

02 aYB

0 BY

解：以整体为研究对象

B

DF

C

A

FE

a a

aa

XB

YBXC

YC 0Y由0 FYY BC

FYC

0 X由 0 BC XX ( 求不出 XB)

我们已经求出 YB ，下一步应选取谁做为研究对象呢

B

DF

C

A

FE

a a

aa

XB

YBXC

YC

( 三个未知数 )

DF

FEX’D

Y’D NE

B

D

A

XD

XB

XA

YD

YA

YB

( 五个未知数 )

C

A

E

XCYC

X’A

Y’A

N’E

( 四个未知数 )

0 FM E由0 aFaYD

FYD

以 DEF 为研究对象

B

DF

C

A

FE

a a

aa

XB

YBXC

YC

02 aFaX D

FX D 2

( 可以求出 NE)

DF

FEX’D

Y’D NE

B

0 FM B由

0 FM A由02 aXaX BD

FXX DB 2

1

以 ADB 为研究对象

B

D

A

XD

XB

XA

YD

YA

YB

B

DF

C

A

FE

a a

aa

XB

YBXC

YC

0 BAD XXXFXXX DBA

0 X由

0Y由0 BAD YYY

FYYY DBA

[ 例 4] 已知：连续梁上， P=10kN, Q=50kN, CE 铅垂 , 不计梁重 求： A ,B 和 D 点的反力（看出未知数多余三个，不能先整 体求出，要拆开）

0 Fm由0512 PQYG

)kN(502

10550 GY

解：①研究起重机

0Cm由

016 ' GD YY

)kN(33.86

50 DY

0610123,0 QPYYm DBA )kN(100 BY

0,0 PQYYYY DBA)kN(33.48 AY

③ 再研究整体

② 再研究梁 CD

由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统——桁架

§3-7 平面简单桁架的内力分析 §3-7 平面简单桁架的内力分析

工程中的桁架结

构

工程中的桁架结构

工程中的桁架结构

工程中的桁架结构

工程中的桁架结

工程中的桁架结

构构

工程中的桁架结

工程中的桁架结

构构

工程中的桁架结

工程中的桁架结

构构

桁架：由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。

节点节点节点节点杆件杆件杆件杆件

(a)

桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。

桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接；

③外力作用在节点上。

力学中的桁架模型( 基本三角形基本三角形 ) ) 三角形有稳定性

(b)

工程力学中常见的桁架简化计算模型

,0 X 0BX

,0)( FmA

,0)( FmB

024 PYB

042 ANP

kN 5 ,0 BAB YNX

解：①研究整体，求支座反力

一、节点法 已知：如图 P=10kN ，求各杆内力？[ 例]

②依次取 A 、 C 、 D 节点研究，计算各杆内力。 0 X 030cos 0

12 SS

0Y 030sin 01 SN A

)(kN10,kN66.8 12 表示杆受压解得 SS

0 X

0Y030cos'30cos 0

10

4 SS

030sin30sin' 04

013 SSS

1'1 SS 代入

kN 10 ,kN 10 : 43 SS解得

kN 66.75 S　解得

0 X 0'25 SS

后代入 2'2 SS

节点 D 的另一个方程可用来校核计算结果

0Y 0, '3 SP

,kN 10'3 　解得S

恰与 相等 , 计算准确无误。 3S

解： 研究整体求支反力 0 X 0AX

0 BM

023 aPaPaY

PYA

①

0 Am由 04 aYhS A

hPaS 40Y 0sin5 PSYA 05 S

0 X 0cos 456 AXSSS h

PaS 6

二、截面法 [ 例 ] 已知：如图， h ， a ， P 求： 4 ， 5 ， 6 杆的内力。

②选截面 I-I ，取左半部研究

I

I

A'

说明 ： 节点法：用于设计，计算全部杆内力 截面法：用于校核，计算部分杆内力 先把杆都设为拉力 , 计算结果为负时 , 说明是压力 ,　　与所设方向相反。

三杆节点无载荷、其中两杆在一条直线上，另一杆必为零杆

21 SS 且四杆节点无载荷、其中两两在一条直线上，同一直线上两杆内力等值、同性。

21 SS

43 SS

两杆节点无载荷、且两杆不在一条直线上时，该两杆是零杆。

三、特殊杆件的内力判断

021 SS

①

②

③

[ 例 ] 已知 P d, 求： a.b.c.d 四杆的内力？

解：由零杆判式

0 adc SSS

研究 A 点：

0Y由

045cos PS ob

PSb 2

平面任意力系小结一、力线平移定理是力系简化的理论基础 力 力 + 力偶

③平衡 ;0,0' OMR

合力矩定理 )()(1

i

n

iOO FmRm

;0,0;0,0 '' OO MRMR 或①合力（主矢）

;0,0' OMR② 合力偶（主矩）

二、平面一般力系的合成结果

一矩式 二矩式 三矩式

三、

0)(

0

0

Fm

Y

X

O

0)(

0)(

0

Fm

Fm

X

B

A

A,B 连线不 x 轴

0)(

0)(

0)(

Fm

Fm

Fm

C

B

A

A,B,C 不共线

平面一般力系的平衡方程

平面平行力系的平衡方程 成为恒等式 一矩式 二矩式

0X

0)(

0

Fm

Y

A 0)(

0)(

Fm

Fm

B

A BA 连线不平行于力线

平面汇交力系的平衡方程 成为恒等式 0)( FmA

0

0

Y

X

平面力偶系的平衡方程

0 im

四、静定与静不定 独立方程数 = 未知力数目—为静定 独立方程数 < 未知力数目—为静不定

五、物系平衡 物系平衡时，物系中每个构件都平衡， 解物系问题的方法常是：由整体 局部 单体

六、解题步骤与技巧 解题步骤 解题技巧 选研究对象 选坐标轴最好是未知力 投影轴； 画受力图（受力分析） 取矩点最好选在未知力的交叉点上； 选坐标、取矩点、列 充分发挥二力杆的直观性； 平衡方程。 解方程求出未知数 灵活使用合力矩定理。

① ①② ②③ ③

④ ④

七、注意问题

力偶在坐标轴上投影不存在； 力偶矩 M = 常数，它与坐标轴与取矩点的选择无关。

八、选研究对象技巧 画整体受力图；若只有三个未知数（或有二个未知数可以求解出来）则首先以整体为研究对象 画每个局部的受力图；优先以只有三个未知数的局部为研究对象

①

②

[ 例 ] 已知 :P=100N. AC=1.6m,BC=0.9m,CD=EC=1.2m,AD=2m

且 AB水平 , ED 铅垂 ,B

D 垂直于

斜面； 求 ? 和支座反力？解： 研究整体 画受力图 选坐标列方程

BDS

02.15.2,0 PYm AB

0sincossin ,0' PYXX AA

53

22.1 cos ;

54

26.1 sin

ADCD

ADAC 而

N48 ;N136 : AA YX解得

再研究 AB 杆，受力如图

0sin ,0 ACYCBSm ABC 由

N7.106

549.0

6.1)48(sin

:

BCACY

S AB解得

[ 例 ] 已知： OA=R, AB= l , 当 OA水平时，冲压力为P 时， 求：① M= ？② O 点的约束反力？③ AB 杆内力？

④冲头给导轨的侧压力？

0 X由

0sin BSN

0Y

0cos BSP

gPNPSB t ,cos

解：研究 B

0)( FmO

0cos MRSA 0 X

0sin AO SX

0Y0cos OA YS

PRM PYO tgPX O

[负号表示力的方向与图中所设方向相反 ]

再研究轮

[ 例 ] 已知 :F=40kN. 各杆重量不计，尺寸如图

求： 铰链 A 、 B 、 C处受力？解：首先找研究对象

A

FB

C D

EF

2m

2m2m

2m

A

B

C

F

F

D

E

XA

YA

XF

YF

XA

YA

SBE

SCD

S’BE

S‘CD

XF

YF

四个未知数 四个未知数 四个未知数

A

FB

C D

EF

2m

2m2m

2m A

B

C

F

XA

YA

XF

YF XA

YA

SBE

SCD

二个未知数二个方程解得 0 FM F 0222 FYX AA

以整体为研究对象

0 FM G 0246 FYX AA

再以 ABC 为研究对象

G

FX A 3FYA 4

A

B

C

F

XA

YA

SBE

SCD

0Y 045sin ABE YS

已经求出G FX A 3 FYA 4

再以 ABC 为研究对象

FYS ABE 242

0 X

045cos FXSS ABECD

FSCD 2

能不能找到合适的研究对象，使一个方程只有一个未知数？

A

FB

C D

EF

2m

2m2m

2m

F

D

E

XA

YA

XF

YF

四个未知数

三个未知数二个方程 三个未知数

A

FB

C D

EF

2m

2m2m

2m

S’BE

S‘CDG

NFXA

YA

G

NF

[练习 ] 已知 :P=1000N. 各杆单位长度重量为 30N/m ，尺寸如图

求： A 、 B 、 C处约束反力？解：首先把各杆重量表示出来

3m3m

4m

P

2m

A

B

C

D

P

C

D180N

180N150N

XA

YA

MA

A

B

C

180NY’C

X’C XD

YD

180N

YC

XC

XA

YA

MA

YB

XB

整体 XA ,YA ,MA CD YC , CA XC ,XB,YB

[练习 ] 已知 :AB=r, F, ，不计磨擦

求： M 和的关系？解：首先画受力图

AB NA~F

OA M~NA

M ` F

A

BO

C D

YO

XO

NC ND

O

AMYO

XO

NA

F

C D

B

A

NC ND

N’A