ОКРУЖНОСТЬ

Образовательный центр «Нива»


Цель презентации: Объяснить что Объяснить что такое окружность, такое окружность, познакомиться со познакомиться со свойствами свойствами окружности, окружности, выучить теоремы и выучить теоремы и научиться их научиться их доказывать.доказывать.

(1)


Окружность – это отрезок, каждая точка Окружность – это отрезок, каждая точка которого равноудалена от точки не лежащей на которого равноудалена от точки не лежащей на этом отрезке. Эта точка называется этом отрезке. Эта точка называется серединой окружности. Окружность серединой окружности. Окружность обозначается «(О;обозначается «(О;RR)». Принято обозначать )». Принято обозначать середину окружности буквой «О» Прямая, середину окружности буквой «О» Прямая, имеющая с окружностью только одну общую имеющая с окружностью только одну общую точку, называется точку, называется касательной к окружности, а к окружности, а их общая точка называется точкой касания их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.прямой и окружности.

А

В

С

АВ - касательная

С – точка касанияО

О – середина окружности


Отрезок, концы которого лежат на Отрезок, концы которого лежат на окружности и он проходит через середину окружности и он проходит через середину окружности называется диаметром. Отрезок, окружности называется диаметром. Отрезок, который равен половине диаметра, который равен половине диаметра, начинается из середины окружности, а другой начинается из середины окружности, а другой конец заканчивается на окружности конец заканчивается на окружности называется называется радиусом. Есть два типа углов находящихся в окружности.

О

А

В

АВ - диаметр

ОВ - радиус

ОА - радиус


Касательная и радиус

Теорема: Касательная к окружности Теорема: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.проведенному в точку касания.

Доказательство

Теорема: Если прямая проходит через Теорема: Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.является касательной.



О

р

А

Дано:

Окружность (О;R)

р - касательная

ОА - радиус

Доказать: р OА|-

Доказательство:

Предположим что прямая р не перпендикулярна к радиусу ОА. Предположим что прямая р не перпендикулярна к радиусу ОА. Радиус ОА является наклонной к прямой р. Так как Радиус ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой р, меньше перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки. Но это противоречит окружность имеют две общие точки. Но это противоречит условию: прямая р – касательная. Таким образом, прямая р условию: прямая р – касательная. Таким образом, прямая р перпендикулярна к радиусу ОА. Теорема доказана.перпендикулярна к радиусу ОА. Теорема доказана.


О

Дано:


ОА р

ОА - радиус

Доказать: р - касательная

|-А

р


Расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, Расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку. Но это и означает, что данная прямая общую точку. Но это и означает, что данная прямая является касательной к окружности. Теорема доказана.является касательной к окружности. Теорема доказана.


1. Угол с вершиной в центре окружности называется центральным.

2. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

О

А

В

АОВ - центральный

О

А

В

С

АВС - вписанный

Теорема: Вписанный угол Теорема: Вписанный угол измеряется половиной измеряется половиной дуги, на которую он дуги, на которую он опирается.опирается.



А

В

С

О

Дано:


< АВС - вписанный

Доказать: АВС = ½ АС < (


1) Если ВО совпадает с одной из сторон угла АВС, например со 1) Если ВО совпадает с одной из сторон угла АВС, например со стороной ВС. В этом случае дуга АС меньше полуокружности, стороной ВС. В этом случае дуга АС меньше полуокружности, поэтому угол АОС = АС. Так как угол АОС – внешний поэтому угол АОС = АС. Так как угол АОС – внешний равнобедренного треугольника АВО, а углы 1 и 2 при основании равнобедренного треугольника АВО, а углы 1 и 2 при основании равнобедренного треугольника равны, то угол АОС = углу 1 + равнобедренного треугольника равны, то угол АОС = углу 1 + угол 2 = 2* угол 1. Отсюда следует, что 2* угол 1 = АС или угол 2 = 2* угол 1. Отсюда следует, что 2* угол 1 = АС или

угол АВС = угол АВС = ½½ АСАС

(

1

2

(

(


О

А

В

СD

Дано:


АВС - вписанный<

Доказать: АВС = ½ АС


Луч ВО делит угол АВС на два угла. В этом случае луч ВО пересекает дугу АС в некоторой точке D. Точка D разделяет дугу АС на две дуги: дуга АD и дуга DC. По доказанному угол АВD = ½ АD и угол DBC = ½ DC. Складывая эти равенства почленно, получаем: угол АВС = ½ АС.

((

(

(


Вывод:

Мы узнали что такое Мы узнали что такое окружность, познакомились окружность, познакомились со свойствами окружности, со свойствами окружности, рассмотрели теоремы и рассмотрели теоремы и научились их доказывать.научились их доказывать.


Автор Корнилов Антон СергеевичКорнилов Антон Сергеевич

МОУ гимназия №5 г. Сергиев ПосадМОУ гимназия №5 г. Сергиев Посад

2008 год2008 год

Руководитель: Дудников Руководитель: Дудников Анатолий Александрович. Анатолий Александрович. Геометрия. гимназия №5Геометрия. гимназия №5


Источники информации:

1. Геометрия для 7-9 классов. Л. С. Атанасян.1. Геометрия для 7-9 классов. Л. С. Атанасян.

Documents

ОКРУЖНОСТЬ