函数值域的常见解法

1 ．函数的值域的定义在函数 y=f(x) 中，与自变量 x的值对应的 y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

知识点

2 ．确定函数的值域的原则①当函数 y=f(x) 用表格给出时，函数的值域是指表格中实数 y 的集合；②当函数 y=f(x) 用图象给出时，函数的值域是指图象在 y 轴上的投影所覆盖的实数 y 的集合；③当函数 y=f(x) 用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；④当函数 y=f(x) 由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。

3 ．求函数值域的方法① 直接法 : 从自变量 x 的范围出发，推出 y=f(x) 的取值范围② 二次函数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域③ 反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域④ 判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出 y的取值范围；⑤ 单调性法：利用函数的单调性求值域；⑥ 不等式法：利用平均不等式求值域；⑦ 图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域⑧ 求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域；⑨ 几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。

例1．求下列函数的值域

①

②

③

2234 xxy

xxy 212

21 xxy

应用举例

形如： 的函数可令 ，则 转化为关于t 的二次函数求值。

形如含有 的结构的函数，可用三角换元令 x=acosθ求解。

c

dtx

2dcxbaxy )0( ttdcx

22 xa

① 配方法 [2 ，4]

② 换元法： ]4

5,(

③ 三角换元法： ]2,1[

例2．求下列函数的值域

① ②

52

1

x

xy 4

32

x

xy

形如： 可用反函数法或分离常数法求；

形如： 可用判别式法求。

)0(

abax

dcxy

)0,( 2122

22

112

1 不同时为aacxbxa

cxbxay

① 反函数法或分离常数法：

}2

1{ Ryyy 且

② 判别式法： ]4

3,

4

3[

例3．求下列函数的值域

① ②14

2

x

x

y4

52

2

x

xy

可转化为各项为正，并和或积为定值时，可考虑用不等式法求值域，但要注意“ =” 问题；

形可化为 用它在 上递减，在上 递增，求值域。

)0,0( kxx

kxy ],0( k

),[ k

练习：求值域① ②1

222

x

xxy xxy 41312

① 不等式法： ]2

1,0(

② 用 的单调性：x

xy1

),2

5[

例4．求下列函数的值域

①

② ③

4cos2

1sin4

x

xy

1024 22 xxxy

]2,1[255 345 xxxxy

形如 ：可转化为斜率或用三角函数有界性求解；形如②的题目可转化为距离求解；形如③的高次函数可用导数求解。

dxc

bxay

cos

sin

变式二：例 6．已知函数 的定义域为 R ，值域为 [0 ， 2] ，求 m,n 的值。

1

8log)(

2

2

3

x

nxmxxf

变式一：例 5．已知函数 值域为 [-1 ， 5] ，求实数 a， c 的值。

cx

axxf

2

1)(

三．小结1 ．熟练掌握求函数值域的几种方法，并能灵活选用；2 ．求值域时要务必注意定义域的制约；3 ．含字母参数或参数区间的一类值域问题要进行合理分类讨论；4 ．用不等式求值域时要注意“ =” 的成立条件。