Department of Mathematics

第二章 解析函数第一节 解析函数的概念 与 C-R 条件第二节 初等解析函数第三节 初等多值函数

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第一节、解析函数的概念与 柯西—黎曼条件

一、复变函数的导数与微分0 ( )w f z z设函数 在点 的某邻域内有定义,

若极限

0

0 0 0

0 00

( ) ( ) ( ) ( )lim lim limz z z z

f z z f z f z f zw

z z z z

0

0

0

( )

( ) '( ) , z z

f z z

dwf z f z

dz

存在且有限,则称函数 在 处可导，此极限值称为

函数 的导数，记为 ，或 即

1.定义 2.1

，z

zfzzfzf

z

)()(lim)(' 00

00

在定义中应注意 : 0 ( 0) .z z z 即 的方式是任意的

0 0 ,z z D z即 在区域 内以任意方式趋于 时比值

. )(

, )(

可导在区域内就称我们内处处可导在区域如果函数

Dzf

Dzf

0 0( ) ( ).

f z z f z

z

都趋于同一个数

0'( ) (| |) ( z 0)w f z z o z

0 0'( ) ( )f z z w f z z称 为函数 = 在 处的微分，记为

2.微分

0( ) ,w f z z若 在 可导则

0 0'( ) '( )dw f z z f z dz =

注 : 可导与可微等价 .

例 1 .Im)( 的可导性讨论 zzf

zzfzzf

zf

)()(解

zzzz

Im)Im(

zzzz

ImImIm

zz

Im

yixyix

)Im(

,yix

y

,0)0( 时而使向当点沿平行于实轴的方 zy

x

y

o

0z 0y

0x

zzfzzf

zf

zz

)()(limlim

00,0lim

00

yix

y

yx

,0)0( 时而使向当点沿平行于虚轴的方 zx

zzfzzf

zf

zz

)()(limlim

00

,1

lim00 iyix

y

xy

0 ,

,

z 当点沿不同的方向使 时极限值不同

.Im)( 在复平面上处处不可导故 zzf

x

y

o

z 0y

0x

二 .解析函数的概念及其简单性质

0 0( ) ( )f z z f z z称 在 处解析；是指 在 的某邻域内处处可导，

( ) ( )

( )

f z D f z

D f z D

如果函数 在区域 内处处可微，则称为区域 内的解析函数，或称 在区域 内解析.

( ) ( )f z D f z D G称 在闭区域 内解析,是指 在包含 的区域 内解析

1.定义 2.2

注 1

注 2区域 D内的解析函数也称为 D内的全纯函数或正则函数

根据定义可知 :

函数在区域内解析与在区域内可导是等价的 .

2. 奇点的定义

0 0

0

( ) ,

( ) ( ) .

f z z z

f z z f z

如果函数 在 不解析 但在的 任一

邻域内总有 的解析点,则称 为 的奇点

但是 , 函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念 . 即函数在一点处可导 , 不一定在该点处解析 .函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多 .

定义 2.3

1w

z如 0z 奇点为

注 1、一个函数在一个点可导，显然它在这个点连续；但反之不成立 .

注 2、解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；

注 3、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的可导不能得到在这个点解析；

注 4、闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析；

3.求导法则则上解析在区域和如果 ,)()( Dzgzf

上解析，并且有域

在区、、

D

zgzgzfzgzfzgzf )0)(()()()()()()(

)(')()()(')]'()([

)(')('))'()((

zgzfzgzfzgzf

zgzfzgzf

2

'( ) '( ) ( ) ( ) '( )( ) [ ( )]

f z f z g z f z g zg z g z

( )

'( ) 0

w f z D

f z

设函数 在区域 内解析，且 ，又反函数

1( ) ( )z f w w 存在且为连续，则有：

( )

( ) ( )

f z D

w g G f D G

设函数 在区域 内解析，函数 在区域 内解析，又 ，

)('))(('))]'(([)(' zfzfgzfgzh

( ( )) ( )w g f z h z 则复合函数 在D内解析，并且有：

反函数求导法则

( )

1 1'( )

'( ) '( ( ))z w

wf z f w

复合函数求导法则

利用这些法则，我们可以计算常数、多项式以及有理函数的导数，其结果和数学分析的结论基本相同。

注

例 2 5

2

2 3( ) .

4 1

z zf z

z

求 的解析区域及导函数

解 5 2( ) 2 3, ( ) 4 1P z z z Q z z 在全平面解析( )

( ) 0 , ( )( )

P zQ z f z

Q z 故当 时 解析, 2( ) 0, 4 1 0,Q z z 由 即 有

1,

2z i 1

( )2

z i f z故在全平面除点 的区域内 解析,且

5 ' 2 5 2 ''

2 2

(2 3) (4 1) (2 3)(4 1)( )

(4 1)

z z z z z zf z

z

4 2 5

2 2

(10 1)(4 1) (2 3)(8 )

(4 1)

z z z z z

z

6 4 2

2 2

24 10 4 24 1

(4 1)

z z z z

z

二、 Cauchy-Riemann方程

2.1 ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y D

D z x iy

定理 设函数 在区域 内有定义，且在 内点 可微,则必有

1 , , , ( , )x y x yu u v v x y、偏导数 在点 处存在;2 ( , ) ( , ) ( , ) -u x y v x y x y

C R

、 和 在点 满足柯西黎曼方程(简称 方程）：

xv

yu

yv

xu

1.可微的必要条件

证明 ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y z x iy 设 在 处可微，

则000

( ) ( )'( ) lim lim

xzy

f z z f z u i vf z

z x i y

= ， 存在

0, 0y x 当 时,0

'( ) lim (x

u vf z i

x x

)，存在

, , ( , )x xu v x y故 在点 处存在;且 '( ) x xf z u iv

0, 0x y 同理当 时,0

'( ) lim (y

u vf z

i y y

)，存在

, , ( , )y yu v x y故 在点 处存在;且 '( ) y yf z v iu

( , ) , ,x y y xx y u v u v 从而在点 处有:

注 :定理条件是必要而非充分的

证 , )( xyzf 因为 0, , vxyu所以

0)0,0()0,(

lim)0,0(0

x

uxuu

xx ),0,0(yv

0)0,0(),0(

lim)0,0(0

y

uyuu

yy ),0,0(xv

0

0

. 0 成立柯西－黎曼方程在点 z

. 0

0 )(

不可导西－黎曼方程但在点

满足柯在点证明函数

z

zxyzf例 3

, 趋于零时沿第一象限内的射线但当 kxyz

0)0()(

zfzf

iyx

xy

,

1 ikk

, 变化随 k

, 0

)0()(lim

0不存在故

zfzf

z

. 0 )( 不可导在点函数 zxyzf

2.可微的充要条件2.2 ( ) ( , ) ( , )

( )

f z u x y iv x y D

f z D z x iy

定理 设函数 在区域 内有定义，则 在 内一点 可微的充要条件是

1 ( , ), ( , ) ( , )u x y v x y x y、二元函数 在点 可微;

2 ( , ) ( , ) ( , ) -u x y v x y x y、 和 在点 满足柯西黎曼方程.

, ( )f z z x yi 上述条件满足时 在点 的导数可以表为下列形式之一

'( ) u vx xf z i v vy xi

u ux yi v uy yi

(2.7)

证 (1) 必要性 .

, )(

, ),(),()(

可导内一点在且内定义在区域设

yixzDzf

Dyxivyxuzf

0, yixz则对于充分小的

,)()()()( zzzzfzfzzf 有

,0)(lim 0

zz其中

,)()( viuzfzzf 令

,)( ibazf , )( 21 iz

viu 所以)( iba )( yix )( 21 i )( yix

)(

)(

12

21

yxyaxbi

yxybxa

, 21 yxybxau 于是

.12 yxyaxbv

,0)(lim 0

zz因为 1

00

lim yx

所以 2

00

lim

yx

,0

, ),( ),( ),( 可微在点与由此可知 yxyxvyxu

. , xv

yu

yv

xu

且满足方程

(2) 充分性 .

)()( zfzzf

)],(),([

),(),(

yxvyyxxvi

yxuyyxxu

,viu

由于

, ),( ),( ),( 可微在点与又因为 yxyxvyxu

, 21 yxyyu

xxu

u

于是

, 43 yxyyv

xxv

v

)4,3,2,1( ,0lim 00

kk

yx其中

)()( zfzzf因此

.)()( 4231 yixiyyv

iyu

xxv

ixu

)()( zfzzf

)( yixxv

ixu

.)()( 4231 yixi

, , 2

xv

ixv

yu

yv

xu

由柯西－黎曼方程

z

zfzzf )()(

xv

ixu

.)()( 4231 zy

izx

i

,1,1

zy

zx因为

,0)()(lim 42310

zy

izx

iz

zzfzzf

zfz

)()(lim)(

0所以 .

xv

ixu

. ),(),()( 可导在点即函数 yixzyxivyxuzf

[ 证毕 ]

3.可微的充分条件2.3 ( ) ( , ) ( , )

( )

f z u x y iv x y D

f z D z x iy

推论 设函数 在区域 内有定义，则 在 内一点 可微的充分条件是

2 ( , ) ( , ) ( , ) -u x y v x y x y、 和 在点 满足柯西黎曼方程.

1 , , , ( , )x y x yu u v v x y、偏导数 在点 处连续;

4.解析的充要条件2.4 ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y D 定理 函数 在区域 内解

析的充要条件是1 ( , ), ( , )u x y v x y D、二元函数 在区域 内可微;

2 ( , ) ( , ) -u x y v x y D、 和 在区域 内满足柯西黎曼方程.

xv

yu

yv

xu

5.解析的充分条件2.5 ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y D 定理 函数 在区域 内解

析的充分条件是

1 , , ,x y x yu u v v D、偏导数 在区域 内连续;

2 ( , ) ( , ) -u x y v x y D、 和 在区域 内满足柯西黎曼方程.

xv

yu

yv

xu

'( ) u v v v u u v ux x y x x y y yf z i i i i 且

注 :柯西 -黎曼方程是复变函数在一点可微的主要条件

例 4 2

( ) .f z z讨论 的解析性

2 2 2| |w z x y 因 ，

2 ,ux x

(0,0) R只有在点 处C 方程成立，

解2 2 0,u x y v 所以 ， 且

2 ,uy y 0, 0v v

x y

( ) 0f z z 所以 仅在 可导， 0 ( )z f z在 处， 不可导。

( )f z因此，在整个复平面上， 不解析。

例 5

2 2 2( ) 2 ;

f z x y x xyi y i 函数 在复平面上何处可导?何处解析?

解2 2 2, 2 ,u x y x v xy y 记 则

2 1, 2 , 2 , 2 2 .u u v v

x y y x yx y x y

1 , ,

2y 仅当 时 满足柯西－黎曼方程

1( ) ,

2f z y 故函数 仅在直线 上可导 .从而在复平面内不解析

, , , -u v C R在全平面连续 故 在全平面可微 但由 方程

2 1 2 2 , 2 2 ;x x y y y 1

,2

y 得

( ) (cos sin )xf z e y i y ,sin,cos yevyeu xx

,sin,cos yeyu

yexu xx

,cos,sin yeyv

yexv xx

, .u v u v

x y y x

且

四个偏导数均连续

. ,)( 处处解析在复平面内处处可导故 zf

( ) (cos sin ) ( ).xf z e y i y f z 且

指数函数

例 6 ( ) cos sinx xf z e y ie y 证明函数 在全平面解析,

并求其导数.证明

例 7

解

?

)( , , , ,

),()( 2222

解析在复平面内处处取何值时问常数

设zfdcba

ydxycxibyaxyxzf

,2 ydxyv

,2 ayxxu

,2byaxyu

,2 dycxxv

, , xv

yu

yv

xu

欲使

ayx2 ,2 ydx ,2byax dycx2

.2 ,1 ,1 ,2 dcba所求

例 8

.

)( , )(

内为一常数区域在则内处处为零在区域如果

D

zfDzf

证xv

ixu

zf

)( ,0

yu

iyv

,0

xv

yu

yv

xu故

, , 常数常数所以 vu

. )( 内为一常数在区域因此 Dzf

参照以上例题可进一步证明 :

. , )( 则以下条件彼此等价内解析在区域如果 Dzf

(1) ( ) ; f z 恒数 ;0)()2( zf

;)( )3( 常数zf ;)( )4( 解析zf

;)](Re[ )5( 常数zf ;)](Im[ )6( 常数zf

(7) arg ( ) . f z 常数

例 9

. ,

, ),( ),(

0,)( , )(

21

21

为常数其中必相互正交与那末曲线族且为一解析函数设

cc

cyxvcyxu

zfivuzf

证 )( zf因为 ,01

yu

iyv

, 不全为零与所以yu

yv

, 都不为零与如果在曲线的交点处yu

yv

根据隐函数求导法则 ,

线的斜率分别为

中任一条曲与曲线族 ),( ),( 21 cyxvcyxu ,, 21

y

x

y

x

vv

kuu

k

根据柯西－黎曼方程得

y

x

y

x

vv

uu

kk 21 ,1

y

y

y

y

v

u

u

v

. ),( ),( 21 相互正交与故曲线族 cyxvcyxu

. ,

,

, ,

它们仍然相互正交一条是铅直的另的切线一条是水平的两族中的曲线在交点处

则另一个必不为零中有一个为零和如果 yy vu

思考题

?

),(),()(

解析时应注意什么用柯西－黎曼条件判断 yxivyxuzf

; , :R-Cxv

yu

yv

xu

条件其次再看是否满足

; ),( ),( 内是否可微在和首先判断 Dyxvyxu

思考题答案

. )( 的解析性最后判定 zf

作业

P90习题 (一 )5 (2),(4) ;6 (2); 7; 8 (1),(2)

本节结束

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