56Dimenzionisanje stubova

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1

PRIMERI ZA VEŽBE

DIMENZIONISANJE STUBOVA Sračunati statičke uticaje u stu-bovima POS S1 i POS S2 za ver-tikalna (stalno, povremeno) od-nosno horizontalno (vetar) opte-rećenje, a zatim ih dimenzionisati prema M i N. Dejstvo vetra je alternativno. Za dužinu izvijanja stuba POS S1 usvojiti li = 4.0 m. Dimenzionisanja sprovesti po teoriji granične nosivosti i pro-pratiti crtežima usvojenih pop-rečnih preseka u razmeri 1:10, sa svim neophodnim kotama i oz-nakama. Eventualno nedostajuće podatke usvojiti prema BAB 87. Podaci za proračun:

g = 40 kN/m w = ± 20 kN/m P1 = 150 kN P2 = 750 kN MB 30 RA 400/500

Dijagrami statičkih uticaja usled stalnog (g), vertikalnog povremenog (p) i opterećenja vetrom (w) prikazani su na dijagramima u prilogu, strana 2.

DIMENZIONISANJE STUBA POS S2 Stalno opterećenje MORA biti naneto na konstrukciju, dok povremena opterećenja (p,w) mogu, a ne moraju delovati. Dakle, mogu nastati sledeće kombinacije opterećenja:

(1) stalno opterećenje (g) - stub je centrično pritisnut silom Ng=280 kN

(2) stalno + povremeno opterećenje (g+p) - stub je centrično pritisnut silama Ng=280 kN i Np=825 kN

(3) stalno opterećenje + vetar sleva (g+w) - stub je pritisnut silama Ng=280 kN i Nw=25 kN, dok se u vrhu stuba javlja i moment savijanja Mw=200 kNm (zateže spoljašnju ivicu stuba)

(4) stalno opterećenje + vetar sdesna (g-w) - na stub deluju sile Ng=280 kN (pritisak) i Zw=25 kN (zatezanje), dok se u vrhu stuba javlja i moment savijanja Mw=200 kNm (zateže unutrašnju ivicu stuba)

(5) stalno + povremeno opterećenje + vetar sleva (g+p+w) - stub je pritisnut silama Ng=280 kN, Np=825 kN i Nw=25 kN, dok se u vrhu stuba javlja i moment savijanja Mw=200 kNm (zateže spoljašnju ivicu stuba)

(6) stalno + povremeno opterećenje + vetar sdesna (g+p-w) - na stub deluju sile Ng=280 kN (pritisak), Np=825 kN (pritisak) i Zw=25 kN (zatezanje), dok se u vrhu stuba javlja i moment savijanja Mw=200 kNm (zateže unutrašnju ivicu stuba)

Prve dve kombinacije nisu merodavne, jer je stub centrično pritisnut, a približno iste (odnosno čak veće) sile pritiska se mogu javiti uz istovremeno dejstvo momenta savijanja (poslednje dve kombinacije). Dakle, potrebno je analizirati samo kombinacije u kojima se javlja i savijanje, dakle kombinacije u koje je uključeno dejstvo vetra.

5.0

m

3.0 m

1.0

m4.

0 m

4.0 m

POS S1b/d=30/25

3.0 m

±w

g

4.0 m

w=±20kN/m

b/d=30/45POS S2

b/d=30/80POS 1

g gg=40kN/m=150kNP1 =750kNP21P =150kN


PRIMERI ZA VEŽBE


PRIMERI ZA VEŽBE

Sledeća činjenica koju treba uočiti je da je moment savijanja isti po apsolutnoj vrednosti, a razli-čitog znaka. To praktično znači da će presek biti SIMETRIČNO armiran (bilo da je napregnut u fazi velikog ili malog ekscentriciteta), a da se dimenzionisanje sprovodi pomoću odgovarajućeg dijagrama interakcije.

Za potrebe naredne analize sračunavaju se eksploatacione vrednosti M i N u stubu za kombinacije (3) do (6). Praktično, do istih zaključaka moguće je doći i upoređivanjem graničnih vrednosti Mu i Nu, ali je očiglednija analiza sprovedena na eksploatacionim uticajima.

(a) ←M = 200 kNm ; N = 280 + 25 = 305 kN

(b) →M = 200 kNm ; N = 280 - 25 = 255 kN

(c) ←M = 200 kNm ; N = 280 + 825 + 25 = 1130 kN

(d) →M = 200 kNm ; N = 280 +825 - 25 = 1080 kN

Apsolutno maksimalna vrednost normalne sile u stubu se javlja za kombinaciju (c), a apsolutno minimalna za kombinaciju (b), pri čemu je vrednost momenta savijanja u oba slučaja ista. Prak-tično, SAMO OVE kombinacije mogu biti merodavne za dimenzionisanje stuba, što proističe iz oblika dijagrama interakcije (skica dole).

Naime, razmatraju se samo dva ekstremna stanja naprezanja, za koja se pretpostavlja:

(a) dominantno naprezanje koje dovodi presek u granično stanje je PRITISAK, dok se savijanje javlja "uzgred" - za očekivati je da je presek napregnut u fazi malog eks-centriciteta, pa ga treba armirati simetrično bez obzira da li je moment savijanja al-ternativan ili ne; elemet se u računskom smislu tretira kao "STUB", a merodavna za dimenzionisanje je kombinacija sa maksimalnom silom pritiska - kombinacija (c)

(b) dominantno naprezanje koje dovodi presek u granično stanje je SAVIJANJE, dok se aksijalno naprezanje javlja "uzgred" - za očekivati je da je presek napregnut u fa-zi velikog ekscentriciteta; treba ga armirati simetrično zbog alternativnog momenta


PRIMERI ZA VEŽBE

savijanja; elemet se u računskom smislu tretira kao "GREDA", a maksimalna površina armature se dobija pri minimalnoj sili pritiska - kombinacija (b)

Sprovedena analiza se odnosi samo za konstantan moment savijanja. U slučaju da se, za različite kom-binacije uticaja, dobijaju različite vrednosti momenata savijanja, potrebno je ispititati svaku pojedinačnu (za svaku pojedinačnu vrednost momenta savijanja, odgovarajuća minimalna i maksimalna normalna sila). Naime, može se dogoditi da se najveća površina armature dobije za kombinaciju uticaja pri kojoj ni moment savijanja, ni aksijalna sila ne dostižu ekstremne vrednosti (videti zadatak 6, List 3. Godišnjeg zadatka). Iskustveno, ukoliko je maksimalna vrednost bezdimenzionog koeficijenta nu manja od cca. 0.75, obično su merodavne kombinacije sa minimalnim normalnim silama.

Na osnovu prethodno izrečenih stavova, za predmetni numerički primer sledi:

kombinacija sa minimalnom normalnom silom

Za očekivati je da je presek napregnut u fazi velikog ekscentriciteta, pa se pretpostavljaju minimalne vrednosti koeficijenata sigurnosti. Takođe, stalno opterećenje izaziva samo aksijalno naprezanje, pa deluje POVOLJNO (smanjuje potrebnu površinu armature):

Mu = 1.8×Mw = 1.8×200 = 360 kNm

Nu = 1.0×Ng + 1.8×Zw = 1.0×280 + 1.8×(-25) = 235 kN

MB 30 ⇒ fB = 2.05 kN/cm2 (član 82. Pravilnika BAB 87)

05.2453010360

fdbMm 2

2

B2

uu ××

×=

××= = 0.289 ;

05.24530235

fdbNn

B

uu ××

=××

= = 0.085

pretp. a1 = 6 cm ⇒ a1/d = 6.0/45 = 0.133 ≈ 0.15 ; Aa1 = Aa2 ; σv = 400 MPa (RA 400/500)

Odgovarajući dijagrami interakcije pomoću kojih se može dimenzionisati presek sa ovim karak-teristikama su:

– dijagram 116/117 (Najdanović, Alendar, Ješić): µ ≈ 0.70 ; εb/εa1 ≈ 3.5/10‰ - kako je εa1 ≥ 3.0‰, pretpostavljene vrednosti koeficijenata sigurnosti su dobre, pa se UKUP-NA potrebna armatura sračunava iz izraza:

4005.2453070.0fdbAAA

v

B2a1aa ×××=

σ×××µ=+= = 48.43 cm2

Aa1 = Aa2 = 48.43 / 2 = 24.22 cm2

– dijagram 2.4.12 (Priručnik za primenu BAB 87, tom II, strana 137): µ1 ≈0.35 ; εb/εa1 ≈ 3.5/10‰ - kako je εa1 ≥ 3.0‰, pretpostavljene vrednosti koeficijenata sigurnosti su dobre, pa se potrebna površina ZATEGNUTE armature sračunava iz izraza:

4005.2453035.0fdbA

v

B11a ×××=

σ×××µ= = 24.22 cm2

Aa2 = Aa1 = 24.22 cm2

Tačno rešenje, dobijeno analitički: εb/εa1 = 3.5/9.30‰, Aa1 = Aa2 = 24.32 cm2


PRIMERI ZA VEŽBE

kombinacija sa maksimalnom normalnom silom

U ovom slučaju je dominantno opterećenje SILA PRITISKA, pa stalno opterećenje deluje NEPO-VOLJNO (povećava potrebnu površinu armature). U ovom slučaju je realno očekivati 0‰ ≤ εa1 ≤ 3‰ (oblast u kojoj su koeficijenti sigurnosti promenljivi) - pretpostavljene vrednosti će po potrebi biti korigovane i proračun ponovljen:

Mu = 1.8×Mw = 1.8×200 = 360 kNm

Nu = 1.6×Ng + 1.8×(Np + Nw) = 1.6×280 + 1.8×(825+25) = 1978 kN

05.2453010360

fdbMm 2

2

B2

uu ××

×=

××= = 0.289 ;

05.245301978

fdbNn

B

uu ××

=××

= = 0.715

Korišćen je dijagram 2.4.12 (BAB II): µ1 ≈ 0.32 ; εb/εa1 ≈ 3.5/1‰ - potrebno je korigovati pretpos-tavljene vrednosti koeficijenata sigurnosti:

( ) ( ) 0.10.00.36.19.19.1

0.00.3 1amin,uGmax,uG

max,uGG,u ×−−

−=ε×−

γ−γ−γ=γ = 1.80

( ) ( ) 0.10.00.38.11.21.2

0.00.3 1amin,uPmax,uP

max,uPP,u ×−−

−=ε×−

γ−γ−γ=γ = 2.00

Sa korigovanim vrednostima koeficijenata sigurnosti ponovo se sračunavaju granične vrednosti statičkih uticaja i bezdimenzioni koeficijenti mu i nu:

Mu = 2.0×200 = 400 kNm ⇒ 05.24530

10400m 2

2

u ×××

= = 0.321

Nu = 1.8×280 + 2.0×(825+25) = 2204 kN ⇒ 05.24530

2204nu ××= = 0.796

Sa dijagrama se očitava: µ1 ≈ 0.40 ; 0.5‰ < εa1 < 1‰ (εa1 ≈ 0.80‰). Ukoliko se ne izvrši korekcija koeficijenata sigurnosti, sledi:

Aa1 = 0.40×30×45×2.05 / 40 = 27.74 cm2 = Aa2

Ukoliko se pak izvrši nova korekcija koeficijenata sigurnosti, sledi:

( ) 8.00.00.36.19.19.1G,u ×

−−

−=γ = 1.82 ; ( ) 8.00.00.38.11.21.2P,u ×

−−

−=γ = 2.02

Mu = 2.02×200 = 404 kNm ⇒ 05.24530

10404m 2

2

u ×××

= = 0.324

Nu = 1.82×280 + 2.02×(825+25) = 2226.6 kN ⇒ 05.24530

6.2226nu ××= = 0.805

Sa dijagrama se očitava: µ1 ≈ 0.41 ; 0.5‰ < εa1 < 1‰ (εa1 ≈ 0.80‰). Nije potrebna dalja korekcija koeficijenata sigurnosti, pa sledi:

Aa1 = 0.41×30×45×2.05 / 40 = 28.30 cm2 = Aa2



PRIMERI ZA VEŽBE

Očito, merodavna za dimenzionisanje je druga kombinacija, sa MAKSIMALNOM normalnom si-lom.

usvojeno: ±6RØ25 (±29.45 cm2)

61025.44a1

×+×= = 6.33 cm ⇒ a1/d = 6.33 / 45 = 0.141 ≈ 0.15

Napomene:

(a) bitno je ispititati obe kombinacije uticaja (minimalna, odnosno maksimalna normalna sila). Za isti stub, izveden od MB 40, dobija se: za minimalnu silu Aa1 = 24.04 cm2, a za maksimalnu silu Aa1 = 21.16 cm2 - dakle, merodavna je kombinacija uticaja sa MINIMALNOM silom.

(b) eventualnu promenu vrednosti koeficijenata sigurnosti treba raditi u granicama koje omogućava grafičko očitavanje sa dijagrama (praktično, jedna iteracija). Što je vrednost koeficijenta nu veća, to je ova korekcija značajnija.

(c) posebno je važno da se vodi računa koji dijagrami se koriste - rezultat proračuna je u jednom slučaju površina UKUPNE, a u drugom samo ZATEGNUTE armatura. Uočeno je da su greške u konačnom usvajanju potrebne površine armature veoma česte pri izradi praktičkih zadataka.

DIMENZIONISANJE STUBA POS S1 Za dimenzionisanje je, po pravilu, merodavna kombinacija uticaja za koju se javlja MAKSIMAL-NA SILA PRITISKA. Dijagrami statičkih uticaja dati su u prilogu. Sledi:

stalno opterećenje: Ng = 280 kN ; Mg= 0

povremena opterećenja: Np+Nw = 225+25 = 250 kN ; Mw= 40 kNm

eksploataciono opterećenje: N = 280 + 250 = 530 kN ; M = 40 kNm

Ekscentricitet po teoriji I reda

Ekscentricitet po teoriji I reda e1 određen je izrazom:

53040

NM

e1 ==∑∑ = 0.0755 m = 7.55 cm ⇒

2555.7

de1 = = 0.302 < 3.5

Kako je e1/d < 3.5, po ovom kriterijumu je potrebno proračunom obuhvatiti i uticaj aksijalnih sila na deformaciju štapa. Potrebno je proveriti i vitkost štapa.

1225

12d

db12

db

AJi

3

d.d ==

×

×

== = 7.22 cm ⇒ 22.7

400il

d

d,id ==λ = 55.4 > 25

Kako je vitkost λ > 25, izvijanje se mora uzeti u obzir.

Ekscentricitet usled netačnog izvođenja (imperfekcija)

Ekscentricitet usled imperfekcije se određuje kao:

≤≥

=cm10

cm2300le i

0 ; li,d = 4.0 m ⇒ 300400e0 = = 1.33 cm < 2 cm = e0,min.

usvojeno e0 = 2 cm


PRIMERI ZA VEŽBE

Ekscentricitet usled efekata tečenja betona

>=λ 504.550.2>0.53=280/530=/NNg ⇒ efekat tečenja betona se mora uzeti u obzir

Potrebno je najpre sračunati Ojlerovu kritičnu silu izvijanja stuba NE:

2i

2

bb2i

2

ibE lJE

lJEN π

××≈π

××=

S obzirom da je površina armature nepoznata, a da se ne očekuje da ona bitno utiče na vrednost momenta inercije preseka (cca. 5%), dopušteno je i preporučivo Ojlerovu kritičnu silu izvijanja sračunati sa karakteristikama bruto betonskog preseka.

122530

12dbJ

33

b×

=×

= = 39062.5 cm4 ; Eb = 31.5 GPa = 31.5×106 kN/m2

2

286

E 0.4105.39062105.31N π

××××= − = 7590 kN

7590280

NN

E

gE ==α = 0.0369 ;

5300

NM

e gg == = 0

Za element srednje debljine dm:

b/d = 30/25 cm ⇒ ( )3025230252

OA2dm +×

××=

×= = 13.6 cm ≈ 20 cm

pretpostavljenu starost betona u trenutku nanošenja opterećenja t0=28 dana, za element "napolju" (relativna vlažnost sredine 70%), sledi konačna vrednost koeficijenta tečenja ϕ∞ = 2.6 (član 59. Pra-vilnika BAB 87). Ekscentricitet usled tečenja betona eϕ se sračunava iz izraza:

( ) ( )

−×+=

−×+=

×−

ϕ×α−

α

ϕ

∞

1e021eeee6.2

0369.010369.0

1g0

E

E

= 0.21 cm

Dopunski ekscentricitet

Kako je λ ≤ 75, (oblast umerene vitkosti), moguće je koristiti metod dopunske ekscentričnosti za uvođenje u proračun efekata teorije II reda. Zavisno od odnosa e1/d, dopunski ekscentricitet ed se određuje iz jednog od sledećih izraza:

(a) 3.0de0 1 <≤ :

de1.0

10025de 1

d +×−λ

×=

(b) 5.2de3.0 1 <≤ :

16025ded

−λ×= ≥ 0

(c) 5.3de5.2 1 <≤ :

−×

−λ×=

de5.3

16025de 1

d

160254.5525e302.0

de

d1 −

×=⇒= = 4.75 cm


PRIMERI ZA VEŽBE

Ukupan računski ekcentricitet

e2 = e1 + e0 + eϕ + ed = 7.55 + 2.0 + 0.21 + 4.75 = 14.51 cm

Za pretpostavljeno εa1 ≤ 0, koeficijenti sigurnosti imaju maksimalne vrednosti, pa sledi:

Nu = 1.9×280 + 2.1×250 = 1057 kN ⇒ 05.22530

1057nu ××= = 0.687

Mu = Nu × e2 = 1057×14.51×10-2 = 153.4 kNm ⇒ 05.22530

104.153m 2

2

u ×××

= = 0.399

Sa dijagrama interakcije 2.4.13 (BAB II, str. 138) - simetrično armiran presek, rebrasta armatura, a1/d = 4.5/25 = 0.18 ≈ 0.20 očitava se: µ1 ≈ 0.53 ; 1.0‰ < εa1 < 1.5‰ (εa1 ≈ 1.20‰). Ukoliko se iz-vrši korekcija koeficijenata sigurnosti, sledi:

( ) 2.10.00.36.19.19.1G,u ×

−−

−=γ = 1.78 ; ( ) 2.10.00.38.11.21.2P,u ×

−−

−=γ = 1.98

Nu = 1.78×280 + 1.98×250 = 993.4 kN ⇒ 05.22530

4.993nu ××= = 0.646

Mu = Nu × e2 = 993.4×14.51×10-2 = 144.1 kNm ⇒ 05.22530

101.144m 2

2

u ×××

= = 0.375

Sa dijagrama se očitava: µ1 ≈ 0.475 ; 1.0‰ < εa1 < 1.5‰ (εa1 ≈ 1.25‰). Nije potrebna dalja korek-cija koeficijenata sigurnosti, pa sledi:

Aa1 = 0.475×30×25×2.05 / 40 = 18.26 cm2 = Aa2


usvojeno: ±4RØ25 (±19.63 cm2)

Usvojeni poprečni preseci prikazani su na donjoj skici.

Documents

56Dimenzionisanje stubova