Upload
maximbogdan
View
215
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 1/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
1
CUPRINSALGEBRÃ ................................................................................................................ 5
I. Elemente de logicã matematicã...........................................................................5 I.1. Noţiunea de propoziţie ................................................................................. 5 I.2. Operatori logici............................................................................................5
I.3. Expresii în calculul propoziţiilor ..................................................................7 I.4. Noţiunea de predicat .................................................................................... 7 I.5. Cuantificatori ............................................................................................... 7 I.6. Metoda de demonstraţie prin reducere la absurd...........................................7 I.7. Proprietãţi fundamentale ale operatorilor logici............................................8
II. Mulţimi..............................................................................................................8 II.1. Egalitatea mulţimlor A şi B: ........................................................................8 II.2. Incluziunea mulţimii A în mulţimea B: ....................................................... 8 II.3. Reuniunea mulţimilor A şi B: ......................................................................9
II.4. Intersecţia mulţimilor A şi B: ......................................................................9 II.5. Diferenţa mulţimilor A şi B:........................................................................9 II.6. Diferenţa simetricã a mulţimilor A şi B:...................................................... 9 II.7. Complementara unei mulţimi A în raport cu mulţimea E: ......................... 10
II.8. Formulele lui de Morgan (∀∀∀∀A, B⊂⊂⊂⊂E)........................................................ 10 II.9. Produsul cartezian a douã mulţimile A şi B: .............................................. 10
III. Relaţii binare .................................................................................................. 11 IV. Funcţii............................................................................................................ 12
IV.1. Noţiunea de funcţie ................................................................................. 12 IV.2. Funcţii injective, surjective, bijective ...................................................... 12
IV.3. Compunerea funcţiilor............................................................................. 12 IV.4. Funcţia inversã ........................................................................................ 13
V. Operaţii cu numere reale.................................................................................. 13 V.1. Puteri naturale ale numerelor reale............................................................ 13 V.2. Identitãţi fundamentale ............................................................................. 14 V.3. Radicali. Proprietãţi .................................................................................. 14
VI. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi................................................................... 15 VI.1. Ecuaţii de gradul întâi sau ecuaţii afine ................................................... 15 VI.2. Inecuaţii de gradul întâi sau ecuaţii fine................................................... 15
VI.3. Modului unui numãr real ......................................................................... 16 VII. Numere complexe ......................................................................................... 17
VII.1. Forma algebricã a numerelor complexe.................................................. 17 VII.2. Modulul unui numãr complex ................................................................ 18 VII.2. Forma trigonometricã a numerelor complexe ......................................... 18 VII.4. Formula lui Moivre ................................................................................ 18 VII.5. Extragerea rãdãcinii de ordinul n dintr-un numãr complex..................... 18 VII.6. Ecuaţia binomã ...................................................................................... 19
VIII. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul al II-lea........................................................... 19
VIII.1. Ecuaţii de gradul al doilea..................................................................... 19 VIII.2. Inecuaţii fundamentale de gradul al II-lea ............................................. 22 VIII.3. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii cu coeficienţi reali ............................. 22
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 2/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
2
IX. Ecuaţii algebrice de gradul III, IV şi V........................................................... 24 X. Logaritmi......................................................................................................... 24
X.1. Ecuaţii şi inecuaţii logaritmice fundamentale............................................ 25 X.2. Ecuaţii şi inecuaţii exponenţiale fundamentale ......................................... 26
XI. Metoda inducţiei matematice.......................................................................... 26
XI.1. Axioma de recurenţã a lui Peano ............................................................. 26 XI.2. Metoda inducţiei matematice................................................................... 26 XI.2. Variantã a metodei inducţiei matematice ................................................. 26
XII. Analizã combinatorie .................................................................................... 27 XII.1. Permutãri ............................................................................................... 27 XII.2. Aranjamente........................................................................................... 27 XII.3. Combinãri .............................................................................................. 27 XII.4. Binomul lui Newton............................................................................... 27 XII.5. Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale....................... 28
XIII. Progresii ...................................................................................................... 28 XIII.1. Progresii aritmetice............................................................................... 28 XIII.2. Progresii geometrice ............................................................................. 29
XIV. Polinoame ................................................................................................... 29 XIV.1. Forma algebricã a unui polinom ........................................................... 29 XIV.2. Divizibilitatea polinoamelor ................................................................. 30 XIV.3. Rãdãcinile polinoamelor....................................................................... 30 XIV.4. Ecuaţii algebrice ................................................................................... 30 XIV.5. Polinoame cu coeficienţi din R, Q, Z .................................................... 31
XV. Permutãri, matrici, determinanţi ................................................................... 31
XV.1. Permutãri ............................................................................................... 31 XV.2. Matrici ................................................................................................... 32 XV.3. Determinanţi .......................................................................................... 33 XV.4. Inversa unei matrici ............................................................................... 34
XVI. Sisteme lineare ............................................................................................ 34 XVI.1. Notaţii: ................................................................................................. 34 XVI.2. Compatibilitatea ................................................................................... 35 XVI.3. Sisteme omogene.................................................................................. 35
XVII. Structuri algebrice ...................................................................................... 35
XVII.1. Monoid................................................................................................ 35 XVII.2. Grup.................................................................................................... 35 XVII.3. Inel...................................................................................................... 36 XVII.4. Corp .................................................................................................... 37
GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE..................................................................... 37 Notaţii: ............................................................................................................. 37
I. Triunghiul ......................................................................................................... 38 II. Poligoane convexe ........................................................................................... 38 III. Relaţii metrice în triunghi............................................................................... 38
III.1. Triunghiul dreptunghic ............................................................................ 38 III.2. Triunghiul dreptunghic ABC (a = b = c).......................................................... 39
III.3. Triunghiul oarecare ABC (AD⊥⊥⊥⊥BC) ............................................................... 39
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 3/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
3
III.4. Relaţii exprimate prin funcţii trigonometrice ........................................... 39 IV. Patrulatere ...................................................................................................... 40
IV.1. Paralelogramul ........................................................................................ 40 IV.2. Dreptunghiul D C......................................................................... 40 IV.3. Rombul ........................................................................................................... 40
IV.4. Pãtratul............................................................................................................ 41 IV.5. Trapezul D C.............................................................. 41 V. Poligoane înscrise în cerc ................................................................................ 41
V.1. Patrulaterul înscris în cerc A .................................................... 41 V.2. Poligoane regulate înscrise în cercul de razã R.......................................... 41
VI. Cercul............................................................................................................. 41 VII. Complemente de geometrie planã ................................................................. 42 VIII. Poliedre ....................................................................................................... 43
VIII.1. Prisma................................................................................................... 43
VIII.2. Piramida ............................................................................................... 44 VIII.3. Trunchiul de piramidã........................................................................... 45 VIII.4. Poliedrul regulat ................................................................................... 46
IX. Corpuri rotunde .............................................................................................. 46 IX.2. Conul circular drept......................................................................................... 47 IX.3. Trunchiul de con ............................................................................................. 47 IX.4. Sfera................................................................................................................ 47
X. Funcţii trigonometrice ..................................................................................... 47 X.2. Proprietãţile funcţiilor trigonometrice............................................................... 48
XI. Formule trigonometrice.................................................................................. 48
XI.1. Relaţii între funcţiile trigonometrice ale unui argument:.......................... 48 XI.2. Formule de adunare: ................................................................................ 49 XI.3. Formule pentru multiplii de argument ..................................................... 49 XI.4. Formule pentru jumãtãţi de argument: ..................................................... 50 XI.5. Sume, diferenţe şi produse: ..................................................................... 50
XII. Inversarea funcţiilor trigonometrice .............................................................. 50 XIII. Soluţiile ecuaţiilor trigonometrice simple .................................................... 51
XIII.1. Ecuaţii fundamentale ............................................................................ 51 XIII.2. Tabele de valori: ................................................................................... 51
XIV. Elemente de geometrie analiticã .................................................................. 52 XIV.1. Segmente.............................................................................................. 52 XIV.2. Ecuaţia dreptei...................................................................................... 52 XIV.3. Cercul................................................................................................... 53 XIV.4. Conice raportate la axele de simetrie .................................................... 53
ANALIZÃ MATEMATICÃ .................................................................................... 54 I. Şiruri................................................................................................................. 54
I.1. Şiruri şi limite ............................................................................................ 54 I.2. Criterii suficiente de convergenţã sau de existenţã a limitei unui şir........... 55
I.2. Operaţii cu şiruri convergente .................................................................... 55 I.3. Operaţii cu şiruri care au limitã .................................................................. 55 I.4. Şiruri tip ..................................................................................................... 56
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 4/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
4
II. Limite de funcţii .............................................................................................. 56 II.1. Definiţii ale limitei.................................................................................... 57 II.2. Operaţii cu limite de funcţii ...................................................................... 57 II.3. Limite tip .................................................................................................. 57 II.4. Continuitatea funcţiilor ............................................................................. 58
III. Funcţii derivabile............................................................................................ 59 III.1. Definiţia derivatei într-un punct............................................................... 59 III.2. Reguli de derivare.................................................................................... 59 III.3. Derivatele funcţiilor elementare............................................................... 59 III.4. Derivata funcţiilor compuse..................................................................... 60 III.5. Derivatele de ordin superior ale unor funcţii elementare.......................... 61 III.6. Proprietãţi ale funcţiilor derivabile .......................................................... 61
IV. Asimptote....................................................................................................... 62 IV.1. Asimptote orizontale ............................................................................... 62
IV.2. Asimptote oblice ..................................................................................... 62 IV.3. Asimptote verticale ................................................................................. 62 V. Primitive.............................................................................................................. 62
Integrarea prin părţi .......................................................................................... 63 V.1. Prima metodã de schimbare a variabilei.................................................... 63 V.2. A doua metodã de schimbare a variabilei.................................................. 63 V.3. Tabel de primitive..................................................................................... 63 V.4. Primitivele funcţiilor raţionale .................................................................. 64
VI. Integrale definite ............................................................................................ 64 IV.1. Definiţia integrabilitãţii (integrale Riemann) ........................................... 64
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 5/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
5
ALGEBRÃ
I. Elemente de logicã matematicã
I.1. Noţiunea de propoziţieDefiniţia I.1.1. Se numeş te propozi ţ ie un enun ţ despre care se poate spune cã
este adevãrat sau fals, adr nu şi adevãrat şi fals simultan. Se noteazã cu p,q, P, Q Ex: 1) π∉Q : acesta este un enunţ care exprimã un adevãr, deci o propoziţie
adevãratã.2) x + 5 = 3, x∈N este o propoziţie falsã, pentru cã nu existã nici un
numãr natural astfel ca x + 5 = 33) x ≤ y, x,y∈N este un enunţ despre care nu se poate spune nimic. Deci
nu este o propoziţie.Valoarea logicã sau valoarea de adevãr a unei propozi ţ ii. Dacã o propoziţie p
este adevãratã se spune cã are valoarea logicã sau valoarea de adevãr: adevãrul;aceastã valoare de adevãr se noteazã cu simbolul 1 sau a şi scriem v(p) = 1 sau(v)p = a. Daca o propoziţie q este falsã, se spune cã are valoarea de adevãr: falsul;aceastã valoare de adevãr se noteazã cu simbolul 0 sau f şi scriem v(q) = 0 sauv(q) = f .
I.2. Operatori logici Nega ţ ia
Definiţia I.1.2. Nega ţ ia unei propozi ţ ii p este propozi ţ ia care este falsã când p este adevãratã şi este adevãratã când p este falsã. Se noteazã: non p, p, p .
Tabela de adevãr a propoziţiei non p se întocmeşte be baza relaţieiv(non p) = 1 – v(p).
p non p
1 00 1
Conjunc ţ iaDefiniţia I.2.2. Conjunc ţ ia a douã propozi ţ ii p şi q este propozi ţ ia care este
adevãratã dacã şi numai dacã fiecare propozi ţ ie p şi q este adevãratã.Se noteazã: p ∧ q
Tabela de adevãr a propoziţiei p ∧ q este: p q p ∧ q 1 1 11 0 00 1 00 0 0
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 6/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
6
Disjunc ţ iaDefiniţia I.2.3. Disjunc ţ ia a douã propozi ţ ii p şi q este propozi ţ ia care este
adevãratã dacã şi numai dacã cel pu ţ in una din propozi ţ iile p, qeste adevãratã.Se noteazã: p ∨ q
Tabela de adevãr a propoziţiei p ∨ q este:
p q p ∨ q 1 1 11 0 10 1 10 0 0
Implica ţ iaDefiniţia I.2.4. Implica ţ ia propozi ţ iilor p şi q este propozi ţ ia care este falsã
dacã şi numai dacã p este adevãratã şi q este falsã.Se noteazã: (non p) sau q, p→q şi se citeşte: “ p implicã q” sau “dacã p, atunci
q”. Propoziţia p este ipoteza, iar propoziţia q este concluzia.Tabela de adevãr a propoziţiei p→q este:
p q non p (non p)∨ q1 1 0 11 0 0 00 1 1 1
0 0 1 1
Echivalen ţ a logicãDefiniţia I.2.4. Propozi ţ iile p şi q sunt echivalente logic , dacã şi numai dacã
p, q sunt adevãrate sau false simultan.Se noteazã (non p)∨q şi (non q)∨ p; ( p→q) şi (q→ p); p↔q; se citeşte: “ p
echivalent cu q” sau “ p dacã şi numai dacã q”, “ p este condiţie necesarã şi suficientãpentru q”.
Tabela de adevãr a propoziţiei compuse p↔q este:
p q non p non q p→q q→ p (p→q)∧ (q→ p) 1 1 0 0 1 1 11 0 0 1 0 1 00 1 1 0 1 0 00 0 1 1 1 1 1
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 7/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
7
I.3. Expresii în calculul propoziţiilorPropoziţiile p,q, r, … fiind date, cu ajutorul operatorilor logici , ∨, ∧, →, ↔
putem formula diferite expresii, care se numesc formule ale calculului cu propozi ţ ii sau expresii logice. Ele se noteazã α sau α (p,q,r,…), β (p,q,r,…).
Înlocuind în α pe p,q,r,… cu diferite propoziţii obţinem o altã propoziţie,
adevãratã sau nu, a cãrei valoare de adevãr se numeşte valoarea expresiei α , obţinutãpentru propoziţiile p,q,r,… respective.
Definiţia I.3.1. O expresie logicã α care se reduce la o propozi ţ ie adevãratã, oricare ar fi propozi ţ iile p,q,r,… se numeş te tautologie.
Definiţia I.3.2. Douã expresii logice α şi β se numesc echivalente dacã şi numai dacã pentru orice propozi ţ ii p,q,r,… cele douã expresii reprezintã propozi ţ ii care au aceeaşi valoare de adevãr. În scris se noteazã α ≡ β .
I.4. Noţiunea de predicat
Definiţia I.4.1. Se numeş te predicat sau propozi ţ ie cu variabile un enun ţ care depinde de o variabilã sau de mai multe variabile şi are proprietatea cã pentru orice valori date variabilelor se ob ţ ine o propozi ţ ie adevãratã sau o propozi ţ ie falsã.
Predicatele se noteazã p(z,y,z,…), q(x,y,z,…) şi pot fi unare (de o variabilã),binare (de douã variabile), ternare (de trei variabile), etc., variabilele x,y,z,… luândvalori în mulţimi date.
Definiţia I.4.2. Predicatele p(z,y,z,…), q(x,y,z,…) se numesc echivalente dacã, oricare ar fi valorile pe care le iau x,y,z,… în unul şi acelaşi domeniu, propozi ţ iile corespunzãtoare au aceleaşi valori de adevãr. Scriem p(z,y,z,…)⇔ q(x,y,z,…).
I.5. CuantificatoriDefiniţia I.5.1. Fie p(x), cu x∈ M , un predicat. Dacã existã (cel pu ţ in) un
element x’∈ M , astfel încât propozi ţ ia p(x’) este adevãratã, atunci scriem ∃ xp(x),
(∃ x) p(x) sau (∃ x∈ M ) p(x). Simbolul ∃ se numeş te cuantificator existen ţ ial şi se citeş te “existã”.
Definiţia I.5.2. Fie p(x) cu x∈ M , un predicat. Dacã p(x) este o propozi ţ ie adevãratã pentru orice x∈ M , atunci scriem ∀ xpx, (∀ x) p(x) sau (∀ x∈ M ) p(x).
Simbolul ∀ se numeş te cuantificator universal şi se citeş te “oricare ar fi”.
Proprietatea de comutativitate a cuantificatorilor:1. (∀x)(∀y)p(x,y) ⇔ (∀y)(∀x)p(x,y);2. (∃x)( ∃y)p(x,y) ⇔ (∃y)( ∃x)p(x,y);
Reguli de negare:
1. ((∃x)p(x)) ⇔ ((∀x)(p(x));2. ((∀x)p(x)) ⇔ ((∃x)(p(x));3. ((∃x)(∃y)p(x,y))⇔((∀x)(∀y)p(x,y));4. ((∀x)( ∀y)p(x,y))⇔(( ∃x)( ∃y)p(x,y));
I.6. Metoda de demonstraţie prin reducere la absurdAceastã metodã se bazeazã pe tautologia (p→q) ≡ (non p→non q), care ne
aratã cã pentru a demonstra cã p→q, este totuna cu a demonstra cã non p→non q.
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 8/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
8
I.7. Proprietãţi fundamentale ale operatorilor logiciOricare ar fi propoziţiile p,q,r,… avem:
1. non(non p) ≡ p;
2. (p∧q) ≡ (q∧ p) (comutativitatea conjuncţiei);
3.
((p∧q)∧r) ≡ (p∧(q∧r)) (asociativitatea conjuncţiei); 4. (p∨q) ≡ (q∨ p) (comutativitatea disjuncţiei); 5. ((p∨q) ∨r) ≡ (p∨ (q∨r)) (asociativitatea discjuncţiei); 6. ((p→q)∧(q→r))→(p→r) (tranzitivitatea implicaţiei);7. non(p∧q) ≡ (non p)∨(non q) legile lui de Morgan;
non(p∨q) ≡ (non p)∧(non q)
8. (p∧(q∨r)) ≡ ((p∧q)∧(p∧r)) conjuncţia este distributivã în raport cu disjuncţia şi(p∨(q∨r)) ≡ ((p∨q)∧(p∨r)) disjuncţia este distributivã în raport cu conjuncţia
II. Mulţimi Moduri de definire a mul ţ imilor. Mulţimile se definesc fie prin indicarea
elementelor lor (de pildã {0,1,3} sau {x,y,z}), fie prin specificarea unei proprietã ţicaracteristice a elementelor lor (de exemplu {x∈Rx2 – 3x + 2 = 0}).
Mulţimile se noteazã cu litere mari: A, B, C,… X, Y, Z, iar elementele lor culitere mici: a, b, c,…
Apartenen ţ a unui element la o mul ţ ime. Dacã un element a aparţine uneimulţimi A, acesta se noteazã a∈ A şi se citeşte “a aparţine lui A”.
Definiţie. Mul ţ imea vidã este mul ţ imea care nu are nici un element. Se noteazã cu ∅.
II.1. Egalitatea mulţimlor A şi B: (A = B) ⇔ (∀x∈A ⇒ x∈B) şi (∀y∈B ⇒ y∈A)
Proprietã ţ ile egalitã ţ ii:
1. ∀ A, A = A (reflexivitatea);2. (A = B) ⇒ (B = A) (simetria);3. (A = B ∧ B = C) ⇒ (A = C) (tranzitivitatea);
II.2. Incluziunea mulţimii A în mulţimea B:(A ⊂ B) ⇔ (∀x∈A ⇒ x ∈B)
Mulţimea A se numeşte o parte sau o submul ţ ime a lui B.Proprietã ţ ile incluziunii:
1. ∀ A, A ⊂ A (reflexivitatea);2. (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A) ⇒ (A = B) (antisimetria);
3. (A ⊂ B ∧ B ⊂ C) ⇒ (A ⊂ C) (tranzitivitatea);4. ∀ A, ∅ ⊂ A
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 9/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
9
Relaţia de neincluziune se noteazã A ⊄ B.
II.3. Reuniunea mulţimilor A şi B:A ∪ B = {xx∈A ∨ x∈B}
Proprietã ţ ile reuniunii:
1.
∀ A, B: A ∪ B = B ∪ A (reflexivitatea);2. ∀ A, B, C: (A ∪ B) ∪ C) = A ∪ (B ∪ C) (asociativitatea);3. ∀ A: A ∪ A = A (idempotenţa);4. ∀ A: A ∪ ∅ = A;5. ∀ A, B: A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B.
II.4. Intersecţia mulţimilor A şi B:A ∩ B = {xx∈A ∧ x∈B}
Proprietã ţ ile intersec ţ iei:
1.
∀ A, B: A ∩ B = B ∩ A (comutativitatea);2. ∀ A, B, C: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (asociativitatea);3. ∀ A: A ∩ A = A (idempotenţa);4. ∀ A: A ∩ ∅ = ∅ 5. ∀ A, B: A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B6. ∀ A, B, C: (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) (distributivitatea intersecţiei faţã
de reuniune);7. ∀ A, B, C: (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) (distributivitatea reuniunii faţã de
intersecţie);
8. ∀ A, B: A ∩ (A ∪ B) = A, A ∪ (A ∩ B) = A (absorbţia).
Definiţie. Mul ţ imile A şi B care nu au nici un element comun se numesc disjuncte. Pentru ele avem A ∩ B = ∅.
II.5. Diferenţa mulţimilor A şi B:A \ B = {xx∈A ∧ x∉B}
Proprietã ţ ile diferen ţ ei: 1. ∀ A: A \ A = ∅;
2.
∀ A, B, C: (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ (B ∩ C);3. ∀ A, B: A \ B = A \ (A ∩ B);4. ∀ A, B: A = (A ∩ B) ∪ (A \ B);5. ∀ A, B, C: A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C;6. ∀ A, B, C: A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C);7. ∀ A, B, C: (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C);8. ∀ A, B, C: (A ∩ B) \ C = A ∩ (B \ C) = (A \ C) ∩ B.
II.6. Diferenţa simetricã a mulţimilor A şi B:A ∆ B = (A \ B) ∪ (B \ A)
Proprietã ţ ile diferen ţ ei simetrice: 1. ∀ A: A ∆ A = ∅;
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 10/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
10
2. ∀ A, B: A ∆ B = B ∆ A (comutativitatea);3. ∀ A: A ∆ ∅ = ∅ ∆ A = A;4. ∀ A, B, C: (A ∆ B) ∆ C = A ∆ (B ∆ C) (asociativitatea);5. ∀ A, B, C: A ∩ (B ∆ C) = (A ∩ B) ∆ (A ∩ C);6. ∀ A, B: A ∆ B = A ∪ B \ (A ∩ B)
II.7. Complementara unei mulţimi A în raport cu mulţimea E:( A fiind o parte a lui E , adicã A⊂ E )
CEA = {xx∈E ∧ x∉A}Proprietã ţ i: (∀A, B⊂E)
1. CE(CEA) = A (principiul reciprocitãţii);2. CEA = E \ A;3. CE∅ = E;4. CEE = ∅;
5. A ∪ CEA = A (principiul exluderii terţiului);6. A ∩ CEA = ∅ (principiul necontradicţiei);7. A ⊂ B ⇔ CEB ⊂ CEA;8. A \ B = CE(A ∩ B).
II.8. Formulele lui de Morgan (∀A, B⊂E) CE(A ∪ B) = CEA ∩ CEB; CE(A ∩ B)= CEA ∪ CEB.II.9. Produsul cartezian a douã mulţimile A şi B:
A x B = {(a,b)a∈A ∧ b∈B}
Proprietã ţ ile produsului cartezian (∀ A,B,C,D avem):1. A x B ≠ B x A, dacã A ≠ B;2. (A x B) ∪ (A x C) = A x (B ∪ C);3. (A ∪ B) x C = (A x C) ∪ (B x C);4. (A ∩ B) x C = (A x C) ∩ (B x C);5. (A \ B) x C = A x C \ B x C;6. (A ∩ B) x (C ∩ D) = (A x C) ∩ (B x D)
Definiţia II.9.1. Mul ţ imile A şi B se numesc echipotente dacã existã o bijec ţ ie de la A la B .
Definiţia II.9.2. Fie E o mul ţ ime. Aceasta se numeş te finitã dacã E = ∅ sau dacã existã n∈ N , astfel încât E este echipotentã cu mul ţ imea {1,2,…,n}.
Definiţia II.9.3. O mul ţ ime E se numeş te infinitã dacã ea nu este finitã.Exemple de mulţimi infinite sunt: N, Z, Q, R.
Definiţia II.9.4. Fie E o mul ţ ime. Aceasta se numeş te numãrabilã dacã esteechipoentã cu N. Exemplu: Mulţimea numerelor raţionale.
Definiţia II.9.5. O mul ţ ime se numeş te cel mult numãrabilã dacã este finitã sau numãrabilã.
Definiţia II.9.6. Fie E o mul ţ ime. Se numeş te cardinalul acestei mul ţ imi un
simbo asociat ei, notat E sau card E , astfel încât E = F , dacã şi numai dacã E este echipotentã cu F ; cardinalul mul ţ imii vide se noteazã cu 0 , cardinalul mul ţ imii
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 11/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
11
{1,2,…,n} cu n∈ N , senoteazã cu n , iar cardinalul mul ţ imii N se noteazã cu x0 (alef zero).
Teorema II.9.1. Fie A şi B douã mul ţ imi finite. Atunci:A ∪ B = A + B -A ∩ B
Teorema II.9.2. Fie A, B şi C trei mul ţ imi finite. Atunci:
A ∪ B ∪ C= A +B +C - A ∩ B - A ∩ C - B ∩ C + A ∩ B ∩C
III. Relaţii binare
Rela ţ ia binarã pe o mul ţ imeDefiniţia III.1. Fie M o mul ţ ime nevidã. Se numeş te rela ţ ia binarã R pe M o
parte a produsului cartezian MxM. Dacã x∈ M este rela ţ ia R cu y∈ M, atunci scriem xRy sau (x,y)∈ R. Deci o rela ţ ie binarã se referã la perechile de elemente din M.
Proprietã ţ i ale rela ţ iilor binare pe o mul ţ ime:
1. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte reflexivã dacã ∀ a∈M avem pe aRa.2. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte simetricã dacã ∀ a,b∈M avem aRb
implicã bRa.3. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte antisimetricã dacã ∀ a,b∈M, aRb şibRa implicã a=b.4. Relaţia binarã R pe mulţimea M se numeşte tranzitivã dacã ∀ a,b,c ∈M, aRb
implicã bRc implicã aRc.Definiţia III.2. Se numeş te greficul rela ţ iei R definitã pe M mul ţ imea
G = {(x,y) xRy}.Definiţia III.3. O rela ţ ie binarã R definitã pe o mul ţ ime nevidã M se numeş te
rela ţ ie de echivalen ţ ã dacã ea este reflexicã, tranzitivã şi simetricã.Exemplu: Fie N mulţimea numerelor naturale şi numãrul 3 fixat. Pe N stabilim
urmãtoarea relaţie R: a şi b din N sunt în relaţie cu R, dacã a şi b împãrţite la 3 dauacelaşi rest. Scriem a ≡ b (mod 3); de pildã 4 ≡ 1 (mod 3). Aceasta este o relaţie deechivalenţã.
Definiţia III.4. Fie M o mul ţ ime. R o rela ţ ie de echivalen ţ ã pe M şi a unelement fixat din M. Se numeş te clasã de echivalen ţ ã corespunzãtoare elementului
a mul ţ imea C a = {x ∈∈∈∈ M xRa}. Douã clase de echivalen ţ ã C a şi C b sau coincid (când aRb ) sau sunt disjuncte.
Definiţia III.5. Fie M o mul ţ ime şi R o rela ţ ie de echivalen ţ ã pe M. Se numeş te mul ţ imea cât a lui M în raport cu rela ţ ia R şi se noteazã M/R mul ţ imea claselor de echivalen ţ ã.
Definiţia III.6. Fie M o mul ţ ime nevidã. Se numeş te rela ţ ie de ordin pe M o rela ţ ie binarã care este reflexivã, tranzitivã şi antisimetricã.
Se noteazã: “<” sau “≤”De exemplu: relaţia cunoscutã de ordine naturalã “≤” pe N, Z, Q şi R este o
relaţie de ordine.
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 12/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
12
Definiţia III.7. Fie M o mul ţ ime nevidã şi “ ≤ ≤≤ ≤ ” o rela ţ ie de ordin pe M. Aceastã rela ţ ie de ordin se numeş te rela ţ ie de ordine totalã dacã oricare douãelemente ale lui M sunt comparabile adicã ∀a,b∈ M avem sau a<b sau b<a. Mul ţ imea înzestratã cu o rela ţ ie de ordine totalã se numeş te mul ţ ime total ordonatã.
Definiţia III.8. Fie M o mul ţ ime nevidã. O rela ţ ie de ordine pe M se numeş te rela ţ ie de bunã ordonare dacã orice parte nevidã a lui M are un cel mai micelement. Mul ţ imea M, cu aceastã rela ţ ie de bunã ordonare, se zice bine ordonatã.
O relaţie de bunã ordonare pe M este o rela ţie de ordie totalã pe M.
IV. Funcţii
IV.1. Noţiunea de funcţieDefiniţia IV.1.1. Fie A şi B douã mul ţ imi. Prin func ţ ie definitã pe mul ţ imea
A, cu valori în mul ţ imea B se în ţ elege orice lege (procedeu sau conven ţ ie) f, în baza cãreia oricãrui element a∈ A i se asociazã un unic element, notat f(a) , din B. Mul ţ imea A se numeş te domeniu de defini ţ ie , iar mul ţ imea B se numeş te codomeniu de defini ţ ie sau domeniul valorilor func ţ iei.
Definiţia IV.1.2. Fie f:A→ B o func ţ ie. Prin graficul acestei func ţ ii în ţ elegem submul ţ imea G f a produsului cartezian A x B formatã din toate perechile (a,f(a)),
a∈ A. deci G f = {(a, f(a) a∈∈∈∈ A} Definiţia IV.1.3. Se numeş te func ţ ie numericã o func ţ ie f:A→ B , pentru care
atât domeniul de defini ţ ie A cât şi domeniul valorilor B sunt submul ţ imi ale mul ţ imilor numerelor reale (deci A, B⊂R ).
IV.2. Funcţii injective, surjective, bijectiveDefiniţia IV.2.1. Fie f:A→ B o func ţ ie. Spunem cã f este o func ţ ie injectivã ,
dacã pentru oricare douã elemente x şi y ale lui A , x≠ y , avem f(x) ≠ f(y). Faptul cã f este injectivã se mai exprimã şi altfel: ∀x,y∈A: f(x) = f(y) ⇒ x = y
De exemplu: f:N→N, definitã prin formula f(x) = x2, este injectivã, darg:Z→N, g(x) = x2 nu este o funcţie injectivã deoarece g(-2) = g(2) = 4.
Definiţia IV.2.2. O func ţ ie f:A→ B este o func ţ ie surjectivã , dacã pentru oriceb∈ B existã cel pu ţ in un element a∈ A , astfel încât f(a) ≠ b. Deci f:A→ B nu este surjectivã dacã ∃ b∈ B avem f(a) ≠ b(∀)a∈ A.
De exemplu: f:R→R, f(x) = ax, a ≠ 0 este surjectivã.Definiţia IV.2.3. O func ţ ie f:A→ B care este simultan injectivã şi surjectivã se
numeş te func ţ ie bijectivã.De exemplu: Fie A = {x∈Rx ≥ 0} şi f:R→R, f(x) = x2. Funcţia f este bijectivã.
IV.3. Compunerea funcţiilorDefiniţia IV.3.1. Fie func ţ iile f:A→ B şi f:B→C (domeniul de defini ţ ie al
func ţ iei g coincide cu codomeniul func ţ iei f ). Fie a∈ A, atunci f(a)∈ B, deci existãimaginea sa prin g , adicã g(f(a))∈C. Astfel putem defini o func ţ ie h:A→C unde
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 13/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
13
h(a) = g(f(a)) pentru ∀a∈ A . Func ţ ia h astfel definitã se noteazã g◦ f (sau gf ) şi se numeş te compunerea func ţ iei g cu func ţ ia f .
Observaţii:1. Dacã f:A→B şi g:C→D sunt douã funcţii, are sens sã vorbim de compunerea
funcţiei g cu funcţia f numai dacã B = C.
2. Dacã f:A→B şi g:B→A sunt douã funcţii, are sens g◦f:A→A şi f ◦g:B→B. îngeneral f ◦g ≠ g◦f.
Teoremã. Fie f:A→B şi g:B→C şi h:C→D trei funcţii. Atunci fiecare dinfuncţiile h◦(g◦f), (h◦g)◦f are sens şi existã egalitatea: h◦(g◦f) = (h◦g)◦f.
IV.4. Funcţia inversãDefiniţia IV.4.1. Fie A o mul ţ ime oarecare. Notãm cu 1 A:A→→→→ A func ţ ia
definitã astfel: 1 A(a) = a pentru ∀∀∀∀ a∈∈∈∈ A. 1 A se numeş te func ţ ia identicã a mul ţ imii A. Propoziţie. Fie A o mulţime şi 1A funcţia sa identicã. Atunci:
1. Pentru orice mulţime B şi pentru orice funcţie f:A→B avem f ◦1A= f 2. Pentru orice mulţime C şi pentru orice funcţie g:C→A avem 1A◦g = gDefiniţia IV.4.2. O func ţ ie f:A→ B se numeş te inversabilã dacã existã o
func ţ ie g:B→ A astfel încât g◦ f = 1 A şi f ◦g = 1 B.
Teoremã. O funcţie este inversabilã dacã şi numai dacã este bijectivã.
V. Operaţii cu numere reale
V.1. Puteri naturale ale numerelor reale1. (+a)n = +an
2. (-a)2n = +a2n 3. (-a)2n+1 = -a2n+1 4. am⋅an = am+n 5. am:an = am-n, a ≠ 06. am⋅bm=(a⋅b)m
7. am:bm =m
b
a , b ≠ 0;
8. m
m
ma
a1
a1 −=
= , a ≠ 0;
9.(am)n = amn = (an)m;10. a0 = 1, a ≠ 0;11. 0n = 0, n ≠ 0, n∈N.
Puterile numerelor reale se extind atât pentru exponenţi raţionali pozitivi saunegativi, cât şi pentru exponenţi reali, puterile reale fiind definite cu ajutorul şirurilorde puteri raţionale. Aceste puteri au proprietãţi identice cu exponenţi numere
naturale.
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 14/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
14
V.2. Identitãţi fundamentaleOricare ar fi x,y,z,t,a,b,c∈R şi n∈N, avem:
1. a2 – b2 = (a – b)(a + b); 4ab = (a + b)2 – (a – b)2;2. (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax – by)2 + (ax + bx)2;3. (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2 + t2) = (ax – by – cz – bt)2 + (bx + ay – dz – ct)2 + (cx +
+ dy +az – bt)2 + (dx – cy + bz + at)2;4. a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2);5. a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2);6. x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz);7. x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 – 3(x + y)(y + z)(z + x);8. a4 – b4 = (a – b)(a + b)(a2 + b2);9. a4 + b4 = (a2 + b2 – ab10. a5 – b5 = (a – b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4);11. a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4);
12. (1 + a)(1 + a2
+ a4
) = 1 + a + a2
+ a3
+ a4
+ a5
;13. a6 + b6 = (a3 – 2ab2)2 + (b3 – 2a2b)2 (G. de Recquigny-Adanson);14. an – bn = (a – b)(an-1 + an-2b + … + abn-2 + bn-1);15. a2n – b2n = (a2 – b2)(a2n-2 + a2n-4b2 + … + a2b2n-4 + b2n-2);16. a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2n + a2n-1b + … + ab2n-1 +b2n);17. (1 + a + a2 + … + an)(1 + an+1) = 1 + a + a2 + … + a2n+1.
V.3. Radicali. Proprietãţi
1. 0,
1
>= aaamm
;2. 0,
11 1
>==−
aaaa
m
m
m ;
3. ( ) 0, ≥= aaam
m ;4. 0,, ≥=⋅ baabba mmm ;
5. 0,11
>=
a
aa
m
m ;
6. 0,,,, ≥=⋅⋅ cbaabccba mmmm ;
7. 0,0,: >≥= bab
aba mmm ;
8. 0, ≥=⋅ + + aaaa nm nmnm ;
9. 0,: >= + − aaaa nm nmnm ;
10. n mnmaaa 0, ≥= ;
11. ( ) 0, ≥== aaaa m
nn
mm n ;
12. 0, >= aaa n pmn mp ;
13. 0,, ≥⋅=⋅ bababa mn qm pnn qm p ;
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 15/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
15
14. 0, ≥== aaaa n mmnm n ;
15. 0,0,:: >≥= bababa mn qm pnn qm p ;
16. ∈= aaa ,2 R;
17. 0,1212
112 ≥−=−=− +++ aaaa nnn ;
18. ( ) 0,1212 ≥−=−
++ aaan
n ;
19. 0,,2 ≥++=+ baabbaba ;
20.22
C AC A B A
−±
+=± , dacã şi numai dacã A2 – B = C2;
21.Expresia conjugatã a lui ba ± este ba + iar pentru 33 ba ± este3 233 2
baba ++
VI. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâiVI.1. Ecuaţii de gradul întâi sau ecuaţii afine
ax + b = 0, a,b,x∈RFie S mulţimea de soluţii a acestei ecuaţii. Dacã
1. a ≠ 0, x =a
b− (soluţie unicã). S = {
a
b− }.
2. a = 0 şi b ≠ 0, ecuaţia nu are soluţii: S = ∅;3. a = 0 şi b = 0, orice numãr real x este soluţie a ecuaţiei afine date; S = R.
Semnul funcţiei afine f:R→R, f(x) = ax + b, a ≠ 0x
-∞ a
b− +∞
f(X) semn contrar lui a 0 semnul lui a
Graficul funcţiei de gradul întâi va fi o linie dreaptã.y
A(0,b)
x
B(a
b− ,0)
VI.2. Inecuaţii de gradul întâi sau ecuaţii fine
Cazul 1. ax + b > 0, a,b,x∈R. Fie S mulţimea soluţiilor. Dacã:1. a > 0, S =(
a
b− , + ∞);
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 16/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
16
2. a < 0, S = (-∞,a
b− );
3. a = 0, b > 0, S = R;4. a = 0, b = 0, S = ∅.Cazul 2. ax + b = 0, a,b,x∈R. Dacã:
1. a > 0, S = (+∞,a
b− ]
2. a < 0, S = [a
b− ,+∞)
3. a = 0, b = 0, S = R;4. a = 0, b > 0, S = ∅.
Inecuaţiile ax + b < 0 şi ax + b ≥ 0 se reduc la cele douã cazuri (prin înmulţireainecuaţiei respective cu –1 şi schimbarea sensului inegalitãţilor).
VI.3. Modului unui numãr real
>
=
<−
=
0xdacax,
0xdaca0,
0xdacax,
x
Proprietãţi:∀ x,y∈R, avem:1. 0= x ⇔ 0= ;
2. x x =− ;
3.
y x = ⇔ y= sau y x −= ;4. a x = ⇔ ∈==− aa xa , R;
5. x x x ≤≤− ;
6. y x y x +≤+ ;
7. y x y x +≤−
8. y x y x −≤− ;
9. y x y x y x +≤+≤− ;
10. y x xy ⋅= ;
11. 0, ≠= y y
x
y
x.
Ecuaţii şi inecuaţii fundamentale, care conţin modulul:1. ba x =− , (a,b,x∈R, S = mulţimea soluţiilor)
b S
b < 0 ∅ b = 0 a
b >0 {a – b; a + b}2. ba x >−
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 17/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
17
b S
b < 0 Rb = 0 R\{a}b >0 {-∞,a – b)∪{a + b,∞}
3. ba x <−
b S
b < 0 ∅ b = 0 ∅ b >0 {a – b; a + b}
VII. Numere complexe
Definiţia VII.1. Se numeş te numãr complex orice element z=(a,b) al mul ţ imii RxR = {(a,b) a,b∈∈∈∈R }, înzestrate cu douã opera ţ ii algebrice, adunarea: ∀ z=(a,b),
∀ z’=(a’,b’)∈RxR, z + z’ = (a + a’, b + b’) şi înmul ţ irea: ∀ z=(a,b),
∀ z’=(a’,b’)∈RxR, z z’ = (aa’-bb’, ab’ +a’ b) . Mul ţ imea numerelor complexe se noteazã cu C şi este corp comutativ.
VII.1. Forma algebricã a numerelor complexez = a + ib, cu a = (a,0), b = (b,0) şi i = (0,1), respectiv i2 = -1.Egalitatea a douã numere complexe z şi z’:
a + ib = a’ + ib’ ⇔ a = a’ şi b = b’Adunarea numerelor complexe are proprietãţile:
este asociativã, comutativã, admite ca element neutru pe 0 şi orice numãr complexa + bi admite un opus –a – ib.
Înmulţirea numerelor complexe are proprietãţile: este asociativã, comutativã, admite ca element neutru pe 1 şi orice numãr complex
a + bi nenul admite un invers ( )
+−
+=+ −
iba
b
ba
abia
2222
1 ; este distributivã faţã
de adunare z(z’ + z”) = zz’ + zz” ∀z,z’,z”∈C.
Puterile numãrului i: ∀m∈N, i4m = 1, i4m+1 = i, i4m+2 = -1, i4m+3 = -i.Definiţia 2.1.1. Dacã z = a +bi, atunci numãrul a – ib se numeş te conjugatul
lui z şi se noteazã a – ib = ziba =+ .Au loc urmãtoarele proprietãţi, ∀z,z’,z”∈C.
1. z + z = 2a;
2. z - z = 2bi;
3. '' z z z z ±=± ;
4. '' z z zz ⋅= ;
5. ))((' 22biabiaba zz −+=+= ;
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 18/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
18
6. z z
z z
z
z '
'= ;
7. ( )nn
z z = ;
8. z
z
z
z ''=
.
VII.2. Modulul unui numãr complex∀ z∈C
z z z = sau 22ba z +=
Avem apoi:1. z z =
2. '' z z z z +≤+ ;
3. ''' z z z z z z +≤+≤− ;4. '' z z zz = ;
5. 0,''
≠= z z
z
z
z.
VII.2. Forma trigonometricã a numerelor complexez = r(cos u + isin u)
unde r = z , iar unghiul u∈[0,2π) este soluţia ecuaţiilor trigonometrice r cos u = a şi
r sin u = b.De exemplu: dacã z = -1 – i, atunci
4
5,2
π == u z şi z = )
4
5sin
4
5(cos2
π π i+ .
VII.4. Formula lui Moivre∀u∈R şi ∀n∈N, (cos u + isin u)n = cos(nu) + isin(nu)
Consecinţele formulei lui Moivrecos nu = cosn u + C2
ncosn-2u sin2
u + C4ncosn-4
u sin4u + …;
sin nu = C1ncosn-1
u sin u + C3ncosn-3
u sin3u + …;
tg nu =...1
...4422
55321
−+−−+−
utgC utgC
utgC utgC tguC
nn
nnn .
VII.5. Extragerea rãdãcinii de ordinul n dintr-un numãr complexz = r(cos u + isin u)
( )
( )
( ) 1,...,2,1,0,)12(
sin)12(
cos1
1,...,2,1,0,2
sin2
cos1
1,...,2,1,0,2
sin2
cos1
−=+
++
=−
−=+=
−=
++
+=
nk n
k i
n
k
nk
n
k i
n
k
nk n
k ui
n
k ur z
k
n
k
n
n
k
n
π π
π π
π π
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 19/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
19
Pentru simplificare folosim urmãtoarea notaţie:
( )k k
n ε =1 şi ( )k k
n ω =−1
−++
++±=+
22
2222aba
b
bi
abaiba
VII.6. Ecuaţia binomãxn – A = 0, A∈C, A = ρ(cos ϕ + isin ϕ )xk = A1/nωk, k = 1,0 −n , A∈R, A < 0;
xk = A1/nεk, k = 1,0 −n , A∈R, A > 0;
xk =
++
+
n
k i
n
k pn
π ϕ π ϕ 2sin
2cos , k = 1,0 −n , A∈C\R
VIII. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul al II-leaVIII.1. Ecuaţii de gradul al doilea
ax2 + bx + c = 0, a,b,c∈R, a ≠ 01. Formule de rezolvare: ∆ > 0
a
b x
21
∆+−= ,
a
b x
22
∆−−= , ∆ = b2 – 4ac; sau
a
b x
''1
∆+−= ,
a
b x
''2
∆−−= , b = 2b’, ∆’ = b’2 – ac.
2. Formule utile în studiul ecua ţ iei de gradul al II-lea: x1
2 + x22 = (x1 + x2)
2 – 2x1x2 = S2 – 2Px1
3 + x23 = (x1 + x2)
3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 2SPx1
4 + x24 = (x1 + x2)
4 – 2x12x2
2= S4 – 4S2P + 2P2
3. Discu ţ ia naturii şi semnul rãdãcinilor în funcţie de semnele lui ∆ = b2 – 4ac,P = x1x2, S = x1 + x2.
∆ P S Natura şi semnul rãdãcinilor∆ < 0 - -
Rãdãcini complexe:a
ib x
22,1
∆−±−=
∆ = 0 - -Rãdãcini reale şi egale
a
b x x
221 −==
P > 0 S > 0 Rãdãcini reale pozitive∆ > 0 P > 0 S < 0 Rãdãcini reale negative
P < 0 S > 0 Rãdãcini reale şi de semne contrare; cea pozitivã este maimare decât valoarea absoluta a celei negativi
P < 0 S < 0 Rãdãcini reale şi de semne contrare; cea negativã estemai mare în valoare absolutã.
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 20/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
20
4. Semnul func ţ iei f:R→R, f(x) = ax2 + bx + c, a,b,c∈R∆ > 0: a ≠ 0, x1 < x2.
x -∞ x1 x2 +∞ f(x) semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a
∆ = 0X -∞ x1 = x2 +∞
f(x) semnul lui a 0 semnul lui a
∆ < 0X -∞ +∞
f(x) semnul lui a
5. Graficul func ţ iei f:R→R, f(x) = ax2 + bx + c, a,b,c∈R este o parabolã . Aceastã
funcţie se poate scrie şi sub formaaa
b xa x f
42)(
2 ∆−+
+= , numitã formã canonicã.
y ∆ > 0a > 0A(x1,0)B(x2,0)C(0,c)
C V
∆−−
aab
4,2
O A B xD
6. Maximul sau minimul func ţ iei de gradul al doilea
1. Dacã a > 0, funcţia f(x) = ax2 + bx + c are un minim egal cua4
∆−, minim ce se
realizeazã pentru x =a
b
2
−
2. Dacã a < 0, funcţia f(x) = ax2 + bx + c are un maxim egal cua4
∆−, maxim ce se
realizeazã pentru x =a
b
2
−
7. Intervale de monotonie pentru func ţ ia de gradul al doilea Teoremã. Fie funcţia de gradul al doilea f(x) = ax2 + bx + c, a≠0
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 21/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
21
1. Dacã a > 0, funcţia f este strict descrescãtoare pe intervalul
−−∞
a
b
2,( şi strict
crescãtoare pe intervalul
+∞−
),2a
b.
2. Dacã a < 0, funcţia f este strict crescãtoare pe intervalul −−∞
ab
2,( şi strict
descrescãtoare pe intervalul
+∞−
),2a
b.
Observaţie: Intervalele
−−∞
a
b
2,( şi
+∞−
),2a
bse numesc intervale de
monotonie ale func ţ iei f .Descompunerea trinomului f(x) = aX2 + bX + c, a,b,c∈R, a≠0, x1 şi x2 fiind
rãdãcinile trinomului.1. ∆ > 0, f(x) = a(X – x1)(X – x2);2. ∆ = 0, f(x) = a(X – x1)
2;3. ∆ < 0, f(x) este ireductibil pe R, deci f(x) = aX2 + bX + c
Construirea unei ecua ţ ii de gradul al doilea când se cunosc suma şi produsul
rãdãcinilor ei: x2 – Sx + P = 0, cu S = x1 + x2 şi P = x1x2.Teoremã: Ecuaţiile ax2 + bx + c = 0 şi a’x2 + b’x + c’ = 0, ∀a,b,c,a’,b’,c’∈R,
a,a’≠0, au cel puţin o rãdãcinã comunã dacã şi numai dacã:a b c 00 a b c = 0 sau (ac’ – a’c)2 – (ab’ – a’b)(bc’ – b’c) = 0a’ b’ c’ 00 a’ b’ c’
Condi ţ ii necesare şi suficiente pentru ca numerele reale date α şi β sã fie în
anumite rela ţ ii cu rãdãcinile x1 şi x2 ale ecua ţ iei de gradul al doilea f(x)=ax2 + bx + ca,b,c∈R, a≠0, respectiv, pentru ca f(x) sã pãstreze un semn constant ∀x,x∈R. Nr.crt. Rela ţ ii între x1 , x2 , α şi β Condi ţ ii necesare şi suficiente
1 α < x1 < β < x2 sau
x1 < α < x2 <β
1. f(α )f(β) < 0
2 α < x1 ≤ x2 < β
1. ∆ = b2 – 4ac = 02. af(α) > 03. af(β) > 0
4. α <a
b
2
−
5. β >a
b
2
−
3 x1 < α < β < x2 1. af(α) < 02. af(β) < 0 ceea ce atrage dupãsine ∆ >0
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 22/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
22
4 x1 < α < x2 1. af(α) < 0
5 α < x1 ≤ x2
1. ∆ = 02. af(α) > 0
3. α <a
b
2
−
6 x1 ≤ x2 < α 1. ∆ = 02. af(α) > 0
3. a
b
2
−< α
7 f(X) = 0, ∀x, x∈R 1. ∆ ≤ 02. a > 0
8 f(X) ≤ 0, ∀x, x∈R 1. ∆ ≤ 0
2. a < 0Observaţie: Rezolvarea ecuaţiei bipãtrate ax2n + bxn + c = 0, ∀n∈N, n > 2, prin
substituţia xn = y, se reduce la rezolvarea unei ecuaţii de gradul al doilea în y, anumeay2 + by + c = 0 şi la rezolvarea a douã ecuaţii binome de forma xn = y1, x
n = y2.
VIII.2. Inecuaţii fundamentale de gradul al II-lea1. ax2 + bx + c > 0, a,b,c∈R, a≠0, S = mulţimea soluţiilor:
∆ a S∆ > 0
∆ > 0∆ = 0∆ = 0∆ < 0∆ < 0
a > 0
a < 0a > 0a < 0a > 0a < 0
(-∞, x1)∪(x2, +∞)
(x1,x2)R\{x1}
∅ R∅
2. 2. ax2 + bx + c ≥ 0, a,b,c∈R, a≠0, S = mulţimea soluţiilor:∆ a S
∆ > 0
∆ > 0∆ = 0∆ = 0∆ < 0∆ < 0
a > 0a < 0a > 0a < 0a > 0a < 0
(-∞, x1]∪[x2, +∞)[x
1,x
2]
R{x1}
R∅
Inecuaţiile ax2 + bx + c < 0 şi ax2 + bx + c ≤ 0 se reduc la cazurile precedente(prin înmulţirea cu –1 şi schimbarea sensului acestor inegalitãţi).
VIII.3. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii cu coeficienţi reali
1. Sisteme formate dintr-o ecua ţ ie de gradul al doilea şi una de gradul întâi Aceste sisteme sunt de forma:
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 23/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
23
=+++++
=++
0
0)(
111
2
11
2
1 f ye xd yc xyb xa
cbyaxS
Se rezolvã prin metoda substitu ţ iei. În prima ecuaţie putem presupune cã saua≠0 sau b≠0 (dacã a = b = 0 atunci prima ecuaţie dispare). Presupunând cã b≠0,
atunci ecuaţia ax + by + c =0 este echivalentã cu ecuaţia bc x
ba
baxc y −−=−−= .
Dacã substituim în y în cea de a doua ecuaţie a sistemului (S), atunci (S) esteechivalent cu sistemul:
=+
−−++
−−+
−−+
−−=
0
)'(
111
2
11
2
1 f b
c x
b
ae xd
b
c x
b
ac
b
c x
b
a xb xa
b
c x
b
a y
S
Rezolvând ecuaţia a doua a sistemului (S’) obţinem valorile lui x, apoi, înlocuind în prima ecuaţie din sistemul (S’) obţinem valorile lui y.Discuţie. 1. Dacã ecuaţia a doua din sistemul (S’) are douã rãdãcini reale,
atunci sistemul (S) are o soluţie realã.2. Dacã ecuaţia a doua din sistemul (S’) are douã rãdãcini egale,
sau în cazul când aceasta este o ecuaţie de gradul întâi, atunci sistemul (S) are douãsoluţii reale.
3. Dacã ecuaţia a doua a sistemului (S’) nu are nici o rãdãcinãrealã, atunci sistemul (S) nu are soluţii reale.
2. Sisteme de ecua ţ ii omogene Un astfel de sistem este de forma:
=++
=++
2
2
22
2
2
12
112
1)(d yc xyb xa
d yc xyb xaS
Sistemul (S) se numeşte omogen deoarece polinoamele a1X2 + b1XY + c1Y
2 şia2X
2 + b2XY + c2Y2 sunt omogene, în sensul cã toate monoamele care apar în scrierea
lor au acelaşi grad.Presupunem mai întâi cã d1≠0 şi d2≠0. Existã în aces caz numerele reale α şi β
diferite de zero astfel încât αd1 + βd2 = 0. Se înmulţeşte prima ecuaţie cu α şi cea de adoua cu β şi apoi se adunã. Se obţine sistemul echivalent:
=+++++
=++
0)()()()'(
2
2121
2
22
12
112
1
ycc xybb xaa
d yc xyb xaS
β α β α β α
Notãm coeficientul ecuaţiei a doua din (S’) cu a3,b3,c3. Atunci:
=++
=++
0)'(
2
33
2
3
1
2
11
2
1
yc xyb xa
d yc xyb xaS
Deoarece d1≠0 sistemul (S’) nu are soluţia x = 0 şi y = 0. Putem presupune cã
x≠0. Împãrţim ecuaţia a doua din (S’) cu x2 şi obţinem ecuaţia de gradul al doilea în
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 24/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
24
x
y: c3
2
x
y+ b3
x
y+ a3 = 0 care, rezolvatã, ne dã în general douã valori k1 şi k2 pentru
x
yadicã,
x
y= k1 şi
x
y= k2.
Rezolvarea sistemului (S) este echivalentã cu rezolvarea urmãtoarelor douãsisteme:
=++
=
12
112
1
1
1 )(d yc xyb xa
xk yS şi
=++
=
12
112
1
2
2 )(d yc xyb xa
xk yS
Când d1 = 0 şi d2 = 0, sistemul (S) este de forma (S’) şi rezolvarea se continuãca pentru sistemul (S’). 3. Sisteme de ecua ţ ii simetrice
Definiţia VIII.3.3. O ecua ţ ie în douã necunoscute se zice simetricã dacã înlocuind x cu y şi y cu x , ecua ţ ia nu se schimbã.
Rezolvarea sistemelor de ecuaţii simetrice se face astfel: se introducnecunoscutele auxiliare s şi p date de relaţiile: x + y = s şi xy = p.
Prin introducerea acestor noi necunoscute s şi p, în foarte multe cazuri sistemulse reduce la un sistem de ecuaţii format dintr-o ecuaţie de gradul întâi şi o ecuaţie degradul al doilea în necunoscutele s şi p.
IX. Ecuaţii algebrice de gradul III, IV şi V
IX.1. Ecuaţia reciprocã de gradul al treilea ax3 + bx2 ± bx ± a = 0, a,b∈R, a≠0
Rezolvarea ei se reduce la aceea a ecuaţiei (x ± 1)[ax2 + (b + a) + a] = 0
IX.2. Ecuaţia reciprocã de gradul al patrulea ax4 ± bx3 + cx2 ± bx + a = 0, a,b,c∈R, a≠0
Rezolvarea ei se reduce la aceea a unei ecuaţii de gradul al doilea, prin
substituţia y = x +x
1: a(x2 +
2x
1) ± b(x +
x
1) + c = 0 sau ay2 + by + c – 2a= 0.
IX.2. Ecuaţia bipãtratã
ax4 + bx2 + c = 0, a,b,c∈R, a≠0
Cu x = y2, rezultã ecuaţia ay2 + by + c = 0, decia
acbb x
2
42
4,3,2,1
−±−±=
X. Logaritmi
Definiţia X.1. Fie a∈∈∈∈R*+, a ≠ ≠≠ ≠ 1 şi b∈∈∈∈R*
+ douã numere reale. Se numeş telogaritm al numãrului real strict pozitiv b exponentul la care trebuie ridicat
numãrul a, numit bazã, pentru a ob ţ ine numãrul b. Logaritmul numãrului b în baza a se noteazã logab
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 25/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
25
Evident baablog= . Pentru a = 10 obţinem logaritmi zecimali, iar pentru a = e
obţinem logaritmi naturali.Proprietã ţ i:
1. logab = logac ⇔ b = c, (b,c > 0);2. logaa = 1;
3. loga1 = 04. logaa
c = c; logab
1=- logab; logax
2n = 2n logax , x≠0
5. )2,,0(,log1
log ≥∈>= m N mbbm
ba
m
a;
6. logab logba = 1;
7. Formula de schimbare a bazei logaritmului:a
bb
c
c
a log
loglog =
8.
x>0 şi y>0 ⇒ logaxy = logax + logay;9. x>0 şi y>0 ⇒ loga
y
x= logax – logay; cologax = - logay
10. a>1 şi x∈(0,1) ⇒ logax < 0; a>1 şi x>1 ⇒ logax > 0;11. 0<a<1 şi x∈(0,1) ⇒ logax > 0; 0<a<1 şi x>1⇒ logax < 0;12. a>1 şi 0<x<y ⇒ logax < logay;
13. x>0, y>0, a>0, b>0, a≠1, b≠1 ⇒ y
x
y
x
b
b
a
a
log
log
log
log= ;
14. x>0, a>0, a≠1, n∈N ⇒ logax = logaxn;
15. x∈R, a>0, a≠1 ⇒ ax = exlna.Opera ţ ii cu logaritmi zecimali
1. Suma a doi logaritmi: se adunã separat caracteristicile (se adunã algebric, întrucâtexistã caracteristici pozitive şi caracteristici negative) şi separat mantisele (care sunt întotdeauna pozitive în afarã de cazul în care întregul logaritm este negativ); apoi celedouã rezultate se adunã algebric.2. Scãderea a doi logaritmi: se adunã descãzutul cu logaritmul scãzãtorului.3. Înmulţirea unui logaritm cu un numãr întreg: când caracteristica este pozitivã, înmulţirea se face în mod obişnuit; când caracteristica este negativã se înmulţeşteseparat mantisa şi separat caracteristica şi se adunã algebric rezultatele.4. Împãrţirea unui logaritm printr-un numãr întreg: în cazul când caracteristica estepozitivã, împãrţirea se face obişnuit. În cazul în care este negativã se împarte separatmantisa şi separat caracteristica; dacã nu se împarte exact cu caracteristica prinnumãrul dat, atunci se adaugã caracteristicii atâtea unitãţi negative câte sunt necesarepentru a avea un numãr divizibil prin împãrţitorul respectiv şi, pentru a nu semodifica rezultatul, se adaugã şi mantisei tot atâtea unitãţi, dar pozitive.X.1. Ecuaţii şi inecuaţii logaritmice fundamentale1. logax = b, a>0, a≠1, b∈R. Soluţia: x = ab.2. logax > b, b∈R. Fie S mulţimea soluţiilor. Avem:
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 26/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
26
a Sa > 1
0 < a < 1(ab, +∞)(0, ab)
3. logax < b, b∈R. Fie S mulţimea soluţiilor. Avem:a S
a > 10 < a < 1
(0, ab)(ab, +∞)
X.2. Ecuaţii şi inecuaţii exponenţiale fundamentale1. ax = b, a>0, a≠1, b>0. Soluţia x = logab, b∈R2. ax = b, a>0, a≠1, b≤0, nu are nici o soluţie realã3. ax > b. Fie S mulţimea soluţiilor. Avem:
a b Sa > 1
0 < a < 1a > 0a ≠ 1
b > 0
b > 0b < 0
(logab, +∞)
(-∞, logab)R
4. ax < b. Fie S mulţimea soluţiilor. Avem:a b S
a > 10 < a < 1
a > 0a ≠ 1
b > 0b > 0b < 0
(-∞, logab)(logab, +∞)
∅
XI. Metoda inducţiei matematice
XI.1. Axioma de recurenţã a lui PeanoFie A o parte a lui N astfel cã:
1. 0∈A2. (∀n∈N), n∈A ⇒ n+1∈A. Atunci rezultã A = N.
XI.2. Metoda inducţiei matematice
Fie P(n) o propoziţie care depinde de numãrul natural n. Dacã avem:1. P(0) adevãratã;2. ∀n∈N, P(n) adevãratã ⇒ P(n+1) adevãratã, atunci P(n) este adevãratã pentru
orice numãr natural n.În demonstraţie prin metoda inducţiei matematice (recurenţã) poate apãrea în
loc de 0, un numãr natural n0, dacã în propoziţia P(n) pe care vrem sã demonstrãm amconstatat n≠n0.
XI.2. Variantã a metodei inducţiei matematice
Fie P(n) o propoziţie care depinde de numãrul natural n≠n0. Dacã avem:1. P(n0) adevãratã;
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 27/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
27
2. (∀m∈N, n0≤m≤k) P(m) adevãratã ⇒ P(k) adevãratã, atunci P(n) este adevãratãpentru orice numãr natural n≥n0.
XII. Analizã combinatorie
XII.1. PermutãriDefiniţia XII.1.1. O mul ţ ime împreunã cu o ordine bine determinatã de
dispunere a elementelor sale este o mul ţ ime ordonatã şi se notazã (a1 ,a2 ,…,an).
Definiţia XII.1.2. Se numesc permutãri ale unei mul ţ imi A cu n elemente toate mul ţ imile ordonate care se pot forma cu cele n elemente ale lui n. Numãrul permutãrilora n elemente, n∈∈∈∈N* , este P n=1⋅ ⋅⋅ ⋅ 2⋅ ⋅⋅ ⋅ 3⋅ ⋅⋅ ⋅ …⋅ ⋅⋅ ⋅ n = n!; 0! = 1 (prin defini ţ ie).
Factoriale (proprietãţi): n! = (n – 1)!n; n! =1n
1)!(n
++
XII.2. AranjamenteDefiniţia XII.2.1. Se numesc aranjamente a n elemente luate câte m (m≤ ≤≤ ≤ n)
ale unei mul ţ imi A cu n elemente, toate submul ţ imile ordonate cu câte m elemente care se pot forma din cele n elemente ale mul ţ imii A. Se noteazã Am
n.Numãrul aranjamentelor a n elemente luate câte m este:
Amn = n(n – 1)…(n – m + 1) =
m)!(n
n!
−, n≥m.
Proprietã ţ i: Ann = Pn; A
nn =
0!
n!sau An
n= n!; 1; 01 ==−
n
n
n
n
n A A A .
XII.3. CombinãriDefiniţia XII.3.1. Se numesc combinãri a n elemente luate câte m (m≤ ≤≤ ≤ n) ale
unei mul ţ imi A cu n elemente toate submul ţ imile cu câte m elemente, care se pot forma din cele n elemente ale mul ţ imii A. Se noteazã m
nC .
Proprietã ţ i: 1. 1; 0
0
01 ==== C C C nC n
n
nn;
2. 1
11; −−−
− +== m
n
m
n
m
n
mn
n
n
nC C C C C ;
3. Numãrul submulţimilor unei mulţimi cu n elemente este 2n
;4. 1
1
11
1
1
1
1
1 ... −
−
−−
+
−
−
−
− +++++= m
m
m
m
m
m
m
n
m
n
m
nC C C C C C ;
5. )...(
2111
2
1
1 ...!!...!
!−++−−=
m p pn
p
pn
p
n
n
C C C p p p
nunde p1 + … pm-1 < n
XII.4. Binomul lui Newton(x + a)n = nn
n
k k nk
n
n
n
n
naC a xC a xC xC +++++ −− ......110
(x – a)n = nn
n
nk k nk
n
k n
n
n
naC a xC a xC xC )1(...)1(...110 −++−++− −− unde n∈N
Proprietã ţ i: 1. Termenul de rank k+1 este Tk+1 = (-1)k k
nC xn-kak;
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 28/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
28
2. k
n
k
n
k
n
k
nC
k
k nC C
k
k nC
1;
111
1
+−
=+−
= ++
+ ;
3. Tk+2 = x
a
k
k n⋅
+−
1Tk+1 sau Tk+2 =
x
a
k
k n⋅
+−
−1
Tk+1;
4. Numãrul termenilor dezvoltãrii (x ± a)n este n+1;5. Coeficienţii termenilor egal depãrtaţi de extremi sunt egali.
Rela ţ ii importante:
22120
2
15311420
1010
)(...)()(
;2...;2...
;0)1(...;2...
n
nnn
n
n
n
nnn
n
nnn
n
n
n
nn
nn
nnn
C C C C
C C C C C C
C C C C C C
+++=
=+++=+++
=−++−=+++−−
Dezvoltãri particulare uzuale: 1. (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2;2. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac);
3. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3;4. (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3;5. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b) + 6abc;6. (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.
XII.5. Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturaleDacã Sp = 1p + 2p + …+ np, p∈N, atunci avem:
12)122()1(
;30
)196)(1(
2
1(;
6
)12)(1(;
2
)1(
222
5
23
4
2
321
−++=−+++=
+=
++=
+=
nnnnS
nnnnnS
nnS
nnnS
nnS
O relaţie care permite calculul lui Sp, când se cunosc Sp-1, Sp-2,…, S1 esteformula lui Pascal: (n+a)p+1 = 1+ nS C S C S C
p
p pP p p++++ +−++ 111
2
1
1
1 ...
XIII. Progresii
XIII.1. Progresii aritmeticeDefiniţia XIII.1.1. Se numeş te progresie aritmeticã un şir de numere
a1 ,a 2 ,a 3 ,…,a n ,… în care fiecare termen, începând cu a 2 , se ob ţ ine din cel precedent prin adãugarea unui numãr constant numit ra ţ ia progresiei. Se noteazã÷a1,a2,a3,…an,…
Dacã a1 este primul termen, an cel de-al n-lea termen (termenul general), r raţia,n numãrul termenilor şi Sn suma celor n termeni, atunci avem:
an = an-1 + r, n≥2 (prin definiţie)an = a1 + (n – 1)r, n≥2 (prin definiţie)
Sn = a1 + a2 + …+ an, Sn =2
)na(a n1 +
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 29/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
29
n2
1)r(n2aS 1
n
−+=
Termenii echidistan ţ i de extremi. Într-o progresie aritmeticã suma termenilor
echidistan ţ i de extremi este egalã cu suma termenilor extremi: ak + an-k+1 = a1 + an.
Observaţie. Dacã numãrul termenilor este impar (n = 2m + 1), atunci existã un
termen în mijloc, am+1 , astfel încât 2am+1 = a1 + a2m+1.Condiţia necesarã şi suficientã pentru ca trei termeni a,b,c, luate în aceastã
ordine, sã formeze o progresie aritmeticã, este sã avem 2b = a + c.
XIII.2. Progresii geometriceDefiniţia XIII.2.1. Se numeş te progresie geometricã un şir de numere
a1 ,a 2 ,a 3 ,…,a n ,… în care fiecare termen, începând cu a 2 , se ob ţ ine din cel precedent prin înmul ţ irea acestuia cu un acelaşi numãr q (q≠ ≠≠ ≠ 0) numit ra ţ ie. Se noteazã÷÷a1,a2,a3,…an,…
Dacã a1 este primul termen, an cel de-al n-lea termen (termenul general), q raţia, n numãrul termenilor şi S n suma celor n termeni, atunci avem:an = qan-1, n≥2 (prin definiţie)an = a1q
n-1, n≥2 (an în funcţie de a1, q şi n)
Sn = a1 + a2 + …+ an, Sn =1q
1qa
n
1 −−
Sn = 1q,q1
qaa n1 ≠−−
Termeni echidistan ţ i de extremi. Într-o progresie geometricã, produsul a doi
termeni echidistan ţ i de extremi este egal cu produsul termenilor extremi:a pan-p+1 = a1an.
Observaţie. Dacã numãrul termenilor este impar (n = 2m + 1) atunci existã untermen la mijloc, am+1 , astfel încât 121
2
1 ++ =mm
aaa .Condiţia necesarã şi suficientã ca trei numere a,b,c, luate în aceastã ordine, sã
formeze o progresie geometricã este sã avem b2
= ac.
XIV. Polinoame
XIV.1. Forma algebricã a unui polinom f ∈C[x] este f = a0X
n + a1Xn-1 + a2X
n-2 + … + an, unde n este gradul, a0 – coeficientuldominant, an – termenul liber.
Func ţ ia polinomialã asociatã lui f ∈C[x] este f ~
:C→C f ~
(α) = f(α) ∀α∈C;f(α) fiind valoarea polinomului f în α.
Teorema împãr ţ irii cu rest: ∀f,g∈C[x], g≠0 existã polinoamele unice q,r∈C[x]astfel încât f = gq + r, grad r < grad g.
Împãr ţ irea unui polinom cu X-a: Restul împãrţirii polinomului f ∈C[x], f ≠0 la
X-a este f(a).
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 30/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
30
Schema lui Horner: ne ajutã sã aflãm câtul q = b0Xn-1 + b1X
n-2 + … + bn-1 al împãrţirii polinomului f = a0X
n + a1Xn-1 + a2X
n-2 + … + an la binomul X-a; precum şirestul acestei împãrţiri r = f(a);
a0 a1 … an-1 an
a b0 = a0 b1 = ab0+a1 … bn-1 = abn-2+an-1 r=f(a)=abn-1+an
XIV.2. Divizibilitatea polinoamelorDefiniţia XIV.2.1. Fie f,g∈∈∈∈C[x], spunem cã g divide pe f şi notãm g f dacã
∃∃∃∃q∈∈∈∈C[x] astfel încât f=gq.Proprietãţi:
1. a f, ∀a∈C*, ∀f ∈C[x];2. g f şi f ≠0 ⇔ r = 0;3. g f şi f ≠0 ⇒ grad f ≥ grad g;4. a∈C* ⇒ af f;
5. f f (refelexivitate);6. f g şi g h ⇒ f h (tranzitivitate);7. f g şi g f ⇒ ∃ a∈C* cu f = ag (f,g sunt asociate în divizibilitate).
Definiţia XIV.2.2. Un polinom d se numeş te cel mai mare divizor comun(c.m.m.d.c.) al polinoamelor f şi g dacã: 1) d f şi d g.
2) d’ f şi d’ g ⇒ d’ d şi notãm d=(f,g) Definiţia XIV.2.3. Dacã d=1 atunci f şi g se numesc prime între ele.Definiţia XIV.2.4. Un polinom m se numeş te cel mai mic multiplu comun
(c.m.m.m.c.) al polinoamelor f şi g dacã: 1) f m şi g m.
2) f m’ şi g m’ ⇒ m m’ Teoremã. Dacã d=(f,g) atunci m =
d
gf ⋅
XIV.3. Rãdãcinile polinoamelorDefiniţia XIV.3.1. Numãrul α αα α ∈∈∈∈C se numeş te rãdãcinã a polinomului f dacã
şi numai dacã f ~
( α αα α ) = 0.Teorema lui Bezout: Numãrul α∈C este rãdãcinã a polinomului f ≠0⇔(X-a) f.
Definiţia XIV.3.2. Numãrul α αα α se numeş te rãdãcinã multiplã de ordinul p a polinomului f
≠0 dacã
şi numai dacã (X-a) f iar (X-a)
p+1 nu-l divide pe f
.Teoremã: Dacã f ∈C[x] este un polinom de gradul n şi x1 ,x2 ,x3 ,…,xn suntrãdãcinile lui cu ordinele de multiplicitate m1 ,m2 ,m3 ,…,mn atunci
nm
n
mm x X x X x X a f )...()()( 21
210 −−−= unde a0 este coeficientul dominant al lui f , iarm1 + m2 + … + mn = grad f .XIV.4. Ecuaţii algebrice
Definiţia XIV.4.1. O ecua ţ ie de forma f(x) = 0 unde f ≠ ≠≠ ≠ 0 este un polinom, se numeş te ecua ţ ie algebricã.
Teorema lui Abel-Ruffini: Ecuaţiile algebrice de grad mai mare decât patru nu
se pot rezolva prin radicali.Teorema lui D’Alambert-Gauss: Orice ecuaţie algebricã de grad mai mare sauegal cu unu, are cel puţin o rãdãcinã (complexã).
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 31/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
31
Formulele lui Viete: Dacã numerele x1 ,x2 ,…,xn sunt rãdãcinile polinomuluif ∈C[x], f = a0X
n + a1Xn-1 + …+ an, a0≠0 atunci:
−=
−=+++
−=+++
=+++++
−=+++
+−+−+−
−−
−
0
21
021112121
0
312421321
0
2
132121
0
121
)1(...
.......................................................
)1(............
......................................................
...
......
...
a
a x x x
a
a x x x x x x x x x x
a
a x x x x x x x x x
a
a x x x x x x x x
a
a x x x
nn
n
k k
mk mk mk k k
nnn
nnn
n
XIV.5. Polinoame cu coeficienţi din R, Q, ZTeoremã: Dacã f ∈R[x] admite pe α = a + ib, b≠0 ca rãdãcinã atunci el admite
ca rãdãcinã şi peα = a – ib, iar α şiα au acelaşi ordin, de mutiplicitate.
Teoremã: Dacã un polinom f ∈Q[x] admite pe α = a + b d (a,b∈Q, b≠0,
d∈R\Q) ca rãdãcinã, atunci el admite şi pe = a – b d , iar α şiα au acelaşi ordin,
de mutiplicitate.Teoremã: Dacã un polinom f ∈Z[x], grad f ≥1, admite o rãdãcinã α =
2
p∈Q,
(p,q) = 1 atunci p an şi q a0.În particular dacã f ∈Z[x] are rãdãcina α=p∈Z atunci p an.
XV. Permutãri, matrici, determinanţi
XV.1. PermutãriDefiniţie XV.1.1. Fie A={1,2,…n}, ϕϕϕϕ se numeş te permutare de gradul n
daacã ϕϕϕϕ:A→ →→ → A şi ϕϕϕϕ bijectivã.
ϕ =
(n) ... (2) (1)
n ... 2 1
σ ϕ ϕ
Sn – mulţimea permutãrilor de grad n; card Sn = n!
1A = e, permutarea identicã e =
n ... 2 1n ... 2 1
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 32/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
32
Compunerea permutãrilor
Fie σ,τ∈Sn atunci σoτ =
(n))( ... (2))( (1))(
n ... 2 1
τ σ τ ϕ τ ϕ ∈Sn
Transpozi ţ ii Definiţia XV.1.2. Fie i,j∈∈∈∈A, i≠≠≠≠ j, ττττij∈∈∈∈S n , ττττij se numeş te transpozi ţ ie dacã:
≠
=
=
=
ji,kdacak,
jkdacai,
ikdaca j,
)(k ijτ
=
n ... i ...k... j ... 2 1
n ... j ...k... i ... 2 1)(k
ijτ
Observaţii: 1. (τij)-1 = τij;
2. Numãrul transpoziţiilor de grad n este 2
nC
Signatura (semnul) unei permutãri Definiţia XV.1.3. Fie (i,j)∈∈∈∈AxA, i<j, (i,j) se numeş te inversiune a lui ϕϕϕϕ dacã
ϕϕϕϕ(j)<ϕϕϕϕ(i), m(ϕϕϕϕ) numãrul inversiunilor lui ϕϕϕϕ: 2
)1()(0 2
−=≤≤
nnC m nϕ ;
ε(ϕ) = (-1)m(ϕ) se numeşte signatura lui ϕ.Observaţii: 1. Permutarea ϕ se numeşte parã dacã ε(ϕ) = 1, respectiv imparã dacãε(ϕ) = - 1;
2. Orice transpoziţie este imparã;
3. ∏≤<≤ −
−=
n ji ji
ji
1
)()()(
ϕ ϕ ϕ ε ;
4. ε(ϕ oσ) = ε(ϕ)ε(σ).
XV.2. MatriciDefiniţia XV.2.1. Fie M = {1,2,…m} şi N = {1,2,…n}. O aplicaţie A:MxN→C
A(i,j)=aij se numeşte matrice de tipul (m,n): cu m linii şi n coloane:
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
şi notãm Mm,n(C) mulţimea matricelor de tipul (m,n) cu
elemente numere complexe.Definiţia XV.2.2. Dacã m=n atunci matricea se numeş te pãtraticã de ordinul n , iar mul ţ imea lor se noteazã M n(C).
Definiţia XV.2.3. Douã matrici A,B∈∈∈∈ M m,n(C) sunt egale dacã şi numai dacã aij = bij ∀∀∀∀(i,j)∈∈∈∈ MxN.
Operaţii cu matrici:1. Adunarea
Fie A,B∈Mm,n(C) atunci C = A + B∈Mm,n(C) unde cij=aij + bij ∀ (i,j)∈MxNeste suma lor.
Proprietã ţ i ∀A,B,C∈Mm,n(C):1. A+B = B+A (comutativitate);2. (A+B)+C = A+(B+C) (asociativitate);
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 33/66
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 34/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
34
det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin unde Aij este complementul algebric alelementului aij din matricea A:
Aij = (-1)i+j
a ... a a ... a a
... ... ... ... ... ... ...
a ... a a ... a a
a ... a a ... a a... ... ... ... ... .... ...
a ... a a ... a a
a ... a a ...a a
nm1nj1-njn2n1
1ni11ji1-1ji12i11i
1n-i11j-i1-1j-i12-i11i
2n12j1-2j2221
1n11j1-1j 12 11
+
++++++
+−
+
+
Dacã C = AB, atunci det C = det A det B (A,B,C∈Mn(C)) Determinantul de ordinul 2:
21122211
2221
1211 aaaaaa
aa
−=
Determinantul de ordinul 3:
331221233211132231312312133221332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
−−−++=
XV.4. Inversa unei matriciFie A∈M
n(C), dacã det A≠0 existã A-1∈M
n(C) astfel încât AA-1 = I
n, I
n∈M
n(C),
In – matricea unitate:
=−
nnnn
n
n
A A A
A A A
A A A
A A
...
............
...
...
det
1
21
22212
12111
1
XVI. Sisteme lineareXVI.1. Notaţii:
aij – coeficienţi, xI – necunoscute, bi – termeni liberi;
(S)
=+++
=+++
=+++
nnmnmm
nn
nn
b xa xa xa
b xa xa xa
b xa xa xa
...
.......................................
...
...
2211
22222121
11212111
, m – ecuaţii, n – necunoscute;
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 35/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
35
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
............
...
...
21
22221
11211
,
=
nmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
A...
...
............
...
...
2
1
21
22221
11211
,
r – rangul matricii A = rangul sistemului
XVI.2. CompatibilitateaSistemul (S) este compatibil determinat dacã:
1. r = m = n (sistem de tip Cramer) şi det A = ∆ ≠ 0, atunci xI =∆∆
i , unde
=∆
nn
n
n
nnn
i
a
a
a
baa
baa
baa
...
...
...
...
...
...
............
...
...
2
1
21
22221
11211
2. r = n < m şi rang A= r.Sistemul (S) este incompatibil dacã r ≤ min (m,n) şi rang A = r + 1.
XVI.3. Sisteme omogene (bi = 0) 1. Sunt compatibile determinate (x1 = x2 = … = xn = 0) dacã r = n;2. Sunt compatibile nedeterminate dacã r < n.
XVII. Structuri algebriceXVII.1. Monoid
Fie (M,*), MxM→M, (x,y)→x*y, M-nevidã. Axiomele monoidului:
M1. (x*y)*z = x*(y*z) ∀x,y,z∈M (asociativitatea);M2. ∃ e∈M astfel încât x*e = e*x = x ∀x∈M (e element neutru);dacã M3. x*y = y*x, ∀x,y∈M monidul este comutativ.Ex: 1. (N,+), (N,⋅) sunt monoizi comutativi;
2. (F(E),o) monoid necomutativ (F(E) este mulţimea funcţiilor f:E→E, E –nevidã, o – compunerea funcţiilor).
XVII.2. GrupFie (G,*), GxG→G, (x,y)→x*y, G-nevidã. Axiomele grupului:
G1. (x*y)*z = x*(y*z) ∀x,y,z∈G(asociativitatea);G2. ∃ e∈G astfel încât x*e = e*x = x ∀x∈G (e element neutru);G3. ∀ x∈G ∃ x’∈G astfel încât x’*x = x*x’ = e (x’ simetricul lui x);
dacã G4. x*y = y*x, ∀x,y∈G grupul este comutativ (sau abelian).Ex: 1. (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) – grupuri comutative;
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 36/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
36
2. (Rn,⊕) – grupul resturilor modulo n, comutativ;3. (Mn(Z),+) – grupul matricilor pãtrate de ordin n cu elemente din Z;4. (K, o) – grupul lui Klein (al simetriilor faţã de sistemul de coordonate),
comutativ;5. (σn, o) – grupul simetric de grad n (al permutãrilor de n elemente) nu este
comutativ;Definiţia XVII.2.1. Fie (G,*) grup, H ⊂G, H este subgrup dacã ∀ x,y∈ H ⇒
x*y∈ H şi ∀ x∈ H ⇒ x’∈ H (x’ este simetricul lui x în raport cu opera ţ ia *);Fie grupurile (G1,⊥), (G2,∆):Definiţia XVII.2.2. f:G1→G2 se numeş te morfism de grupuri dacã
f(x⊥y)=f(x)∆f(y), ∀x,y∈G1.Definiţia XVII.2.3. f:G1→G2 se numeş te izomorfism de grupuri dacã f este
bijectivã şi f(x⊥y)=f(x)∆f(y), ∀x,y∈G1.Definiţia XVII.2.4. f:G1→G2 se numeş te automorfism (endomorfism) al
grupului G1 , dacã f este un izomorfism (morfism).
XVII.3. InelFie (A,+,•), AxA→A, (x,y)→x+y şi AxA→A, (x,y)→x•y, A nevidã;Definiţia XVII.3.1. (A,+,•) este inel dacã:
G. (A,+) este grup abelian;M. (A,•) este monoid şiD. • este distributivã faţã de +:
x•(y+z) = x•y + y•z
(y+z)•x = y•x + y•z, ∀x,y,z∈Adacã C. x•y = y•x ∀x,y∈A, inelul este comutativ.
Exemple de inele:1. (Z,+,⋅) – inelul numerelor întregi;2. (Z[i],+, ⋅) – inelul întregilor lui Gauss, Z[i] = {z = a + bia,b∈Z}3. (Rn,⊕,⊗) – inelul resturilor modulo n;4. (Mn(A),+,⋅) – inelul matricelor pãtratice (cu elemente din inelul A);5. (Zn,+,⋅) – inelul claselor de resturi modulo n.
Fie inelele (A,⊥,*) şi (A’,∆,o):Definiţia XVII.3.1. f:A→A’ se numeş te izomorfism de inele dacã f este
bijectivã şi f(x⊥y) = f(x)∆f(y), f(x*y) = f(x)of(y), ∀x,y∈A.Definiţia XVII.3.2. (A,+,•) este inel fãrã divizori ai lui zero dacã x≠0, y≠0
implicã x• y≠0. Definiţia XVII.3.3. Un inel comutativ cu cel pu ţ in douã elemente şi fãrã
divizori ai lui zero se numeş te domeniu integritate.Definiţia XVII.3.4. Dacã (A,+,⋅⋅⋅⋅ ) este inel, atunci (A[X],+ ,⋅⋅⋅⋅ ) este inelul
comutativ al polinoamelor cu coeficien ţ i în A.f ∈A[X], f = a
0+ a
1X + a
2X2 + … + a
nXn este forma algebricã a unui polinom
de nedeterminatã X cu coeficienţi în A:- dacã an≠0, grad f = n (an – coeficient dominant);
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 37/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
37
- dacã a0 = a1 = … = an, f = 0 (polinom nul), grad 0 = -∞.Proprietã ţ i: 1. grad ( f+g) ≤ max{grad f , grad g};
2. grad f ⋅g ≤ grad f + grad g.Teoremã. Dacã A este domeniu de integritate atunci A[X] este domeniu de
integritate şi grad f ⋅g = grad f + grad g, ∀ f,g∈ A[X].
XVII.4. CorpFie (K,+,•), KxK→K, (x,y)→x+y şi KxK→k, (x,y)→x•y, K – nevidã.Definiţia XVII.4.1. (K,+,• •• • ) este corp dacã (K,+,• •• • ) este inel, 0≠1 şi ∀x∈K, x≠0
⇒ ∃ x-1∈K, astfel încât x• x-1 = x-1 • x = 1.Dacã x•y = y•x ∀x,y∈K, corpul este comutativ.
Exemple de corpuri:1. (Q,+,⋅) – corpul numerelor raţionale;2. (R,+, ⋅) – corpul numerelor reale;
3. (C,+, ⋅) – corpul numerelor complexe;4. (Q( d ),+,⋅) – corpul numerelor pãtratice (d∈Z, d – liber de pãtrate);5. (Zp,+, ⋅) – corpul claselor de resturi modulo p ( p∈N*, p >1, p – numãr prim).
Definiţia XVII.4.2. Fie corpurile (K,⊥ ⊥⊥ ⊥ ,*) şi (K’,∆∆∆∆ , o ), f:K →→→→ K’ este izomorfism de corpuri dacã f este bijectivã, f(x⊥ y) = f(x) ∆ f(y), f(x*y) = f(x) o f(y) ∀∀∀∀ x,y∈∈∈∈R.
Teorema împãrţirii cu rest în mulţimea K[X], K corp comutativ şi g∈K[X],g≠0: ∀f ∈K[X], existã polinoamele q,r∈K[X], unic determinate astfel încât f = q⋅g+r,grad r < grad g.
GEOMETRIE ŞI TRIGONOMETRIE
Notaţii:- lugimea laturilor triunghiului ABC, AB = c, BC = a, CA = b;- lungimile segmentelor importante în triunghi:
AD = ha (AD⊥BC, ha lugimea înãlţimii din A, D∈BC); AD = ma (BD=BC, ma lugimea medianei din A, D∈(BC)); AD = ba (∠BAD =∠CAD, ba lugimea bisectoarei din A, D∈(BC));
- 2
cba ++= p (p – semiperimetrul triunghiului ABC);
- AABC – aria triunghiului ABC, notatã şi S;- R – raza cercului circumscris unui poligon;- r – raza cercului înscris într-un poligon;- ln – latura poligonului regulat cu n laturi;- an – apotema poligonului regulat cu n laturi;- P – perimetrul poligonului;- Alat – aria lateralã (prismã, piramidã, trunchi de piramidã);- Atot – aria totalã, notatã şi A;- V – volumul.
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 38/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
38
I. Triunghiul
Inegalitã ţ i gemetrice:1. m(∠MBA) > m(∠A), m(∠MBA) > m(∠C), ∠MBA este unghi exterior;2. a+b > c, b+c > a, a+c > b
3. a > b-c , b > c-a , c > a-b A
4. ma <2
cb +
5. p < ma + mb + mc < P
Teorema bisectoarei (∠BAD ≡ ∠DAC) B C
cb
ba DC
cb
ca BD
AC
AB
DC
BD
+⋅
=+⋅
== ;;
Observaţii:1. Centrul cercului circumscris unui triunghi este punctul de intersecţie almediatoarelor;
2. Centrul cercului înscris într-un triunghi este punctul de intersecţie al bisectoarelor;3. Centrul de greutate al triunghiului este punctul de intersecţie al medianelor.4. Ortocentrul triunghiului este punctul de intersecţie al înãlţimilor.
II. Poligoane convexe
Suma Sn a mãsurilor unghiurilor unui poligon convex cu n laturi:
Sn = (n – 2)⋅180° Poligonul regulat este inscriptibil într-un cerc şi poate fi circumscris unui altcerc.
III. Relaţii metrice în triunghi
III.1. Triunghiul dreptunghicABC (m(∠A) = 90°, AD⊥BC)
1. Teorema lui Pitagora: a2 = b2 + c2;2. Teorema catetei: b2 = a⋅CD, c2 = a⋅BD;
3. Teorema înãlţimii: 2ah =BD⋅DC;
4. chbhcb
hcba
==⋅
= ,,2
;
5. 222222
4
3,
4
3,
2cambam
am cba −=−== ;
6. ca
abb
ca
acb
cb
cbb cba +
⋅=+
⋅=+⋅
=2
;2
;2 ;
7.
2
cb
A ABC
⋅
= ;
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 39/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
39
8. 2
a R = ;
9. cba
cbr
++⋅
= ;
10. Relaţii exprimate prin funcţii trigonometrice:
b = a⋅sin B, b = a⋅cos C , b = c⋅tg B, b = c⋅ctg C .
III.2. Triunghiul dreptunghic ABC (a = b = c)
1. 2
3abmh aaa ===
2. 4
32a
A ABC = ;
3. 3
3a R =
4. 6
3ar =
III.3. Triunghiul oarecare ABC (AD⊥BC)1. Teorema lui Pitagora generalizatã:
a) b2 = a2 + c2 – 2a⋅BD, dacã m(∠B)<90° ;b) b2 = a2 + c2 + 2a⋅BD, dacã m(∠B)>90° ;
2. Relaţiile lui Steward O∈(BC):b2⋅BO + c2⋅CO – a2⋅AO = a⋅BO⋅CO;
3. 4)(2
2222 acbma −+= ;
4. ))()((2
c pb pa p pa
ha −−−= ;
5. bca p pcb
ba )(2
−+
= ;
6. S ha
A a ABC =
⋅=
2;
7.
))()(( c pb pa p pS −−−= ;8.
S
abc R
4= ;
9. p
S r = .
III.4. Relaţii exprimate prin funcţii trigonometrice
1. Teorema sinusurilor: RC
c
B
b
A
a2
sinsinsin=== ;
2. Teorema cosinusului:bc
acb A Abccba
2cos;cos2
222222 −+=−+= ;
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 40/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
40
3. Teorema tangentelor:ba
baC tg
B Atg
+−
=−
22;
4. C B A RS A
tga p pS A
C BaS
C abS sinsinsin2,
2)(,
sin2
sinsin,
2
sin 22
=−=== ;
5. 2cos2cos2cos4C B A
R p = ;6. C B Rha sinsin2= ;
7. )sinsincos4(sin222C B A A Rma += ;
8. 2
cos2 A
cb
bcba +
= ;
9. bc
a p p A )(
2cos
−= ;
10. bcc pb p A ))((2sin −−= ;
11. )(
))((2 a p p
c pb p Atg
−−−
= .
IV. Patrulatere
IV.1. Paralelogramul
ABCD (AB CD, BC AD, DE⊥AB) D CAC∩BD = {O}OA = OC, OB = OD OAABCD = AB⋅DEAABCD = AB⋅AD⋅sin A. A E B
IV.2. Dreptunghiul D CABCD (AB CD, BC AD, ∠A = 90°)AC = BD O
AABCD = AB⋅AD A BIV.3. RombulABCD (AB CD, BC AD, AB = BC)AC = d1, BD = d2 AB = a A CAC⊥BD
AABCD =2
dd 21 ⋅
B
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 41/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
41
IV.4. PãtratulABCD (AB CD, BC AD, AB = AC D C∠A = 90°, AB = a, AC = d)AC = BDAC⊥BD O
d = a 2 AABCD = a2. A B
IV.5. Trapezul D CABCD (AB CD, AB = B, DC = b MN – linie mijlocie) M
MN =2
b B +M N
A B
AABCD = hhb B
⋅=⋅+
MN2
)(
V. Poligoane înscrise în cerc
V.1. Patrulaterul înscris în cerc A∠BAD + ∠BCD = 180°; D∠BAC ≡ ∠BDC; M
Teorema lui Ptolomeu α AB⋅DC + AD⋅BC = AC⋅BD CAABCD = ½ AC⋅BD⋅sin α B
V.2. Poligoane regulate înscrise în cercul de razã R
1. Triunghiul echilateral:433
,2
,32
33 R
S R
a Rl === ;
2. Pãtratul: 244 2,
2
2,2 RS
Ra Rl === ;
3. Hexagonul regulat:233
,2
3,
2
66 R
S R
a Rl === ;
4. Poligonul regulat cu n laturi: nnn a pn
Rn
S n
Ran
Rl ⋅====π π π 2
sin2
,cos,sin2 2
unde2
nln p
⋅= .
VI. Cercul
Lungimi şi arii: lcerc = 2πR, Acerc = πR2;
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 42/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
42
larcAB=180
α π R; α - mãsura în grade; A
AsectorAB =180
2α π R α O
µ(∠AOB) = 180
π α ⋅(µ - mãsura în radiani) B
Unghi cu vârful în interiorul cercului: Bm(∠AOB) = )Bm(A
A
m(∠AMB) =2
)Dm(C)Bm(A
+ M
D CUnghi cu vârful pe cercOM⊥MT M
m(∠AMB) =2
)Bm(A
T
m(∠AMT) =2
)Mm(A
A B
Unghi cu vârful în exteriorul cercului MOT⊥MT C
m(∠AMB) =
2
)Dm(C)Bm(A
−D T
m(∠AMB) =2
)Tm(D)Tm(B
−A
B Puterea unui punct fa ţ ã de un cerc B M
OT⊥MT Nρ(M) = MA⋅MB = OM2 – r2 = MT2 Tρ(N) = NA⋅NB = r2 – ON2
A
VII. Complemente de geometrie planã
Triunghiul ortic este triunghiul determinat de picioarele înãl ţ imilor unui triunghi; dintre toate triunghiurile cu vârfurile respectiv pe laturile unui triunghi(sau pe prelungiri), triunghiul ortic are cel mai mic perimetru.
Ceviana este dreapta determinatã de vârful unui triunghi şi un punct al laturii opuse.
Teorema lui Ceva: Cevienele AM, BN, CP ale triunghiului ABC sunt
concurente dacã şi numai dacã 1=⋅⋅PB
PA
NA
NC
MC
MB.
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 43/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
43
Teorema lui Menelaus: Pe dreptele BC, CA, AB, determinate de laturile triunghiului ABC, se considerã punctele M, N respectiv P situate douã dintre ele pelaturile triunghiului şi unul pe prelungirea unei laturi, sau toate trei pe prelungiri
de laturi. Punctele M, N, P sunt colineare dacã şi numai dacã: 1=⋅⋅PB
PA
NA
NC
MC
MB.
Dreapta lui Euler: Într-un triunghi oarecare, punctele H, O şi G(ortocentrul, centrul cercului circumscris şi centrul de greutate) sunt colineare.
Dreapta lui Simson: Proiec ţ iile unui punct de pe cercul circumscris unui triunghi, pe dreptele suport ale laturilor acestuia, sunt colineare.
Cercul exînscris: unui triunghi este tangent la o laturã a triunghiului şi la prelungirile celorlalte douã laturi; centrul cercului exînscris este intersec ţ ia bisectoarei unui unghi interior cu bisectoarele celorlalte douã unghiuri exterioare.
Cercul lui Euler (cercul celor nouã puncte): picioarele înãl ţ imilor unui triunghi, mijloacele laturilor şi mijloacele segmentelor determinate de ortocentru şi
vârfurile triunghiului sunt conciclice.
VIII. Poliedre
VIII.1. Prisma1. Paralelipipedul dreptunghic Alat = 2(a + b)c; c Atot = 2(ab + ac + bc); d V = abc b
d2 = a2 + b2 + c2 a 2. Cubul (de laturã a = b = c)A = 6a2 c V = a3 d a = a 3 a b 3. Paralelipipedul D’ C’B’O⊥(ABC) A’ B’B’O = h
V = AABCD⋅h D O CA B
4. Prisma C’ (dreaptã sau oblicã, de înãlţime h) A’ B’ V = Abazei⋅h h
C
Prisma triunghiularã regulatã A B C’ (AB = a) O’
Alat = 3a⋅h A’ B’
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 44/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
44
Atot = 3a⋅h +2
3a 2
V =4
3a 2
⋅h C O
A B
VIII.2. Piramida1. Tetraedrul regulat (toate muchiile sunt congruente, AAO⊥(BCD), AM⊥DC)
;2
3,
3
6 a AM
ah ==
B C2. Tetraedul dreptunghic (OA⊥OB⊥OC⊥OA,OA = OB = OC = a, CM⊥AB) C
2;2
6,
2
2a AB
aCM
aOM ===
23
2
a A ABC =
2
3
2
3 22aa
Atot +=
V =6
3a
3. Piramida triunghiularã regulatã (AB = AC = BC = A, VA = VB = VCVM ⊥ BC, VM – apotemã)
343
2
3
4
3
2
312
2
2
22
haV
VM aa A
VM a A
ahVM
tot
lat
⋅=
⋅+=
⋅=
+=
122;3
3
22ˆsin,3
6ˆsin
32 a
V a A
O M AO B A
==
==
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 45/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
45
Piramida patrulaterã regulatã (ABCD–pãtratde laturã a, VA = VB = VC = VD, VM⊥BC)
3
2
24
2
2
22
haV
VM aa A
VM a A
ahVM
tot
lat
⋅=
⋅+=
⋅=
+=
4. Piramida hexagonalã regulatã (ABCDEF – hexagon regulat VM ⊥ BC,VA = VB = VC = VD = VE = VF = a)
2
3
32 33
34
3
2
2
22
haV
VM aa A
VM a A
ahVM
tot
lat
=
⋅+=
⋅=
+=
M
A B5. Piramida regulatã
(piciorul înãlţimii coincide cu centrul circumscris bazei):
3;
2h A
V A A A
apotemaP A
bazeilat bazeitot
bazeilat
⋅=+=
⋅=
6. Piramida (de înãlţime h):
3;
h AV A A A bazei
lat bazeitot
⋅=+=
VIII.3. Trunchiul de piramidã( B – aria bazei mari, b – aria bazei mici, h – înãlţimea)
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 46/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
46
1. Trunchiul de piramidã oarecare:
b Bb Bh
V ⋅++= (3
2. Trunchiul de piramidã regulat
P – perimetrul bazei mari, p – perimetrul bazei mici,a p – apotema
)(
3
2
)(2
)(
b Bb Bh
V
a pPb B A
a pP A
p
tot
p
lat
⋅++=
+++=
+=
VIII.4. Poliedrul regulatRelaţia lui Euler: v-m+f = 2
(v – numal vârfurilor, m – numãrul muchiilor, f – numãrul feţelor)Tipurile de poliedre regulate:
- tetraedrul regulat: f = 4, v = 4, m = 6;
- cubul (hexaedru regulat): f = 6, v = 8, m = 12;
- octaedrul regulat: f = 8, v = 6, m = 12;
- dodecaedrul regulat: f = 12, v = 20, m = 30;
- icosaedrul regulat: f = 20, v = 12, m = 30;
IX. Corpuri rotunde
Notaţii: R – razã, G – generatoare, h – înãlţime
IX.1. Cilindrul circular drept
h RV
G R R A
RG A
Gh
tot
lat
2
)(2
2
π
π
π
=
+=
=
=
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 47/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
47
IX.2. Conul circular drept
3
)(
2
222
h RV
G R R A
RG A
RhG
tot
lat
π
π
π
=
+=
=
+=
IX.3. Trunchiul de con(r – raza bazei mici)
)(3
)()(
)(
)(
22
22
222
Rr r Rh
V
r Rr RG A
r RG A
r RhG
tot
lat
++=
+++=
+=
−+=
π
π π
π
IX.4. Sfera
21sferice
3
2
2
23
4
4
Rh A
Rh A
RV
R A
zonei
calotei
π
π
π
π
=
=
=
=
X. Funcţii trigonometrice
X.1. Definiţii în triunghiul dreptunghic
a
b B =sin ,
a
c B =cos ,
c
btgB = C
b
cctgB = , C B cossin = , ctgC tgB = b a
A c B
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 48/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
48
X.2. Proprietãţile funcţiilor trigonometrice1. sin:R→[-1,1]
sin(-x) = -sin x, sin(x + 2kπ) = sin x, (k∈Z)2. cos:R→[-1,1
cos(-x) = cos x, cos (x + 2kπ) = cos x, (k∈Z)
3. tg:R\{(2k+1)2
π }→R 4. ctg:R\{kπ}→R
tg(-x) = -tg x ctg(-x) = -ctg xtg(x+kπ) = tg x, (k∈Z) ctg(x + kπ) = ctg x, (k∈Z)
XI. Formule trigonometrice
XI.1. Relaţii între funcţiile trigonometrice ale unui argument:1. 1cossin 22 =+α ;
α α α α 22 sin1cos;cos1sin −±=−±=
2. α
α α cos
sin=tg
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 49/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
49
α α
α
α α
22 1
1cos;
1sin
tgtg
tg
+±=
+±=
3. α α π
cos2
sin =
− ; α α π
ctgtg =
−2
4. α α π sin)sin( =− α α π cos)cos( −=− ; α α π tgtg −=− )(
5. α α π
cos2
sin =
+
α α π
sin2
cos −=
+ , α α π
ctgtg −=
+2
6. α π sin)sin( −=+ α α π cos)cos( −=+ ; α α π tgtg =+ )(
7. α α sin)2sin( −=− α α cos)2sin( =− ; α α π tgtg −=− )2(
XI.2. Formule de adunare:
β α
β α β α
β α β α β α
α β β α β α
tgtg
tgtgtg
⋅±
=±
⋅⋅=±
⋅±⋅=±
∓
∓
1)(
sinsincoscos)cos(
cossincossin)sin(
XI.3. Formule pentru multiplii de argument:
...sincossincossincoscos
...sincossincoscossin
1
12cos;
1
22sin
cos3cos43cossin4sin33sin
22
12
2
1
22
1cos2sin21sincos2cos
cossin22sin
55533311
444222
2
2
2
3
3
2
2
2222
−⋅+⋅−⋅=
−⋅+⋅−=
+
−=
+=
−=−=
−=
−=
−=
−=
−=−=−=
⋅=
−−−
−−
α α α α α α α
α α α α α α
α
α α
α
α α
α α α
α α α
α α
α
α α
α α α
α α
α α α α α
α α
nn
nn
nn
nn
nn
n
C C C n
C C n
tg
tg
tg
tg
tgctg
ctg
ctgctg
tgctgtg
tgtg
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 50/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
50
XI.4. Formule pentru jumãtãţi de argument:
α
α
α
α
α
α α
α α α α
cos1
cos1
sin
cos1
cos1
sin
2
2
cos1
2cos;
2
cos1
2sin
+
−±=
−=
+
=
+±=
−±=
tg
XI.5. Sume, diferenţe şi produse:
2cos
2sin2sinsin
β α β α β α
−+=+
2cos
2sin2sinsin
β α β α β α
+−=−
2cos
2cos2coscos
β α β α β α
−+=+
2sin
2sin2coscos α β β α β α −+=−
β α
β α β α
β α
β α β α
coscos
)sin(;
coscos
)sin(
⋅−
=−⋅+
=+ tgtgtgtg
−=
+=+ α π
α π
α α 4
cos24
sin2cossin
−−=
+−=− α π
α π
α α 4
cos24
sin2cossin
β α
β α β α
β α β α β α
β α β α β α
β α β α β α
ctgctg
tgtgtgtg
++
=⋅
−++=⋅
−++=⋅
+−−=⋅
)]sin()[sin(2
1cossin
)]cos()[cos(2
1coscos
)]cos()[cos(21sinsin
XII. Inversarea funcţiilor trigonometrice
XII.1. arcsin:[-1.1]→[-2
π ,
2
π ], arcsen y = x sin x = y
arcsin (-x) = - arcsin xXII.2. arcos:[-1,1]→[0,π], arcos (-x) = π - arcos x
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 51/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
51
XII.3. arctg:R
−→2
,2
π π , arctg (-x) = -arctg x
XII.4. arctg:R→(0,π), arctg (-x) = π - arctg x
XIII. Soluţiile ecuaţiilor trigonometrice simple
XIII.1. Ecuaţii fundamentale
}{,.4{,.3
}2arccos{]1,1[,cos.2
}arcsin)1{(]1,1[,sin.1
Z k k accctga x Raactgx
Z k k arctga x Raatgx
Z k k a xaa x
Z k k a xaa x k
∈+∈⇒∈=∈+∈⇒∈=
∈+±∈⇒−∈=
∈+−∈⇒−∈=
π
π
π
π
XIII.2. Tabele de valori:x
funcţia0
6
π
4
π
3
2
π
π
2
3π
2
sin x 0
2
1
22
23
1 0 -1 0
cos x 123
22
23 0 -1 0 1
tg x 0
3
3
1 3 / 0 / 0
ctg x / 3 1
3
3
0 / 0 /
xfuncţia -123−
22−
21− 0
21
22
23 1
arcsin x
2
π −
3
π −
4−
6−
0
6
π
4
3
π
2
π
arcos x
6
5π
4
3π
3
2π
2
π
3
π
4
6
π
0
xfunctia 3−
-1
33− 0
33 1
3
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 52/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
52
arctg x
3
π −
4
π −
6
π −
0
6
π
4
3
π
arcctg x
6
5π
4
3π
3
2π
2
π
3
π
4
6
π
XIV. Elemente de geometrie analiticã
XIV.1. Segmente1. Distanţa dintre douã puncte A(x1,y1), B(x2,y2): AB = 2
122
12 )()( y y x x −+−
2. Panta dreptei AB:12
12
x x
y ym AB −
−=
3. Coordonatele (x,y) ale mijlocului segmentului AB:
2
,
2
2121 y y y
x x x
+=
+=
4. Coordonatele punctului M care împarte segmentul (AB) în raportul k:
2,
12121 ky y
yk
kx x x
+=
++
=
XIV.2. Ecuaţia dreptei1. Drepte paralele cu axele de coordonate:
(d):x = a (d Oy), (d):y = a (d Ox)2. Dreapta determinatã de punctul M o(xo ,yo) şi vectorul nul at r r d vua o +=:)(:),( ,
t ∈R,o
r -vectorul de poziţie a lui M
o; r-vectorul de pozi
ţie a unui punct M al dreptei d .
+=
+=
vt y y
ut x xd
o
o:)( , t ∈R, ecuaţiile parametrice;
3. Ecuaţia explicitã: y =mx + n (m∈R*, n∈R, m – panta, n – ordonata la origine);
4. Ecuaţia prin tãieturi: *);,(,01 Rbab
y
a
x∈=−+
5. Ecuaţia dreptei de pantã m, prin punctul M o(xo ,yo): y – yo = m(x – xo), (m≠0);6. Ecuaţia dreptei determinatã de punctele A(x1 ,y2), B(x2 ,y2):
),(,),( 212112
112
1112121 y y x x
x x
x x
y y
y y x x
x x
y y y y ≠≠−
−=−
−−−
−=− sau
0
1
1
1
22
11 =
y x
y x
y x
7. Ecuaţia generalã: ax + by + c = 0;
8. Aria triunghiului ABC (A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3)): AABC = ∆2
1, unde
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 53/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
53
1
1
1
22
11
y x
y x
y x
=∆ , dacã ∆ = 0 atunci A, B, C sunt colineare
9. Poziţia relativã a dreptelor (d1) şi (d2):
0:)( 1111 =++ c yb xad şi 0:)( 2222 =++ c yb xad d1 = d2, dacã
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a==
d1 d2, dacã2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a≠= ;
d1 ≠ d2 şi d1 ∩ d2 ≠ ∅, dacã2
1
2
1
b
b
a
a≠
10. Distanţa de la punctul M o(xo ,yo) la dreapta (h): ax + by + c = 0
22
00),(ba
cbyaxh M d +
++=
11. Unghiul α determinat de dreptele:
111 :)( n xm yd += şi 222 :)( n xm yd +=
)1(,1 21
21
12 −≠+
−= mm
mm
mmtgα
d1 ⊥ d2, dacã m1m2 = -1
XIV.3. CerculCercul C de centru M(a,b) şi razã r :1. Ecuaţia cercului (x – a)2 + (y – b)2 = r2; dacã M(a,b) = 0(0,0): x2 + y2 = r2;
2. Ecuaţia generalã: x2 + y2 + mx + ny + p = 0, unde2
ma −= , b =
2
n− şi
r2 =4
1(m2 + n2) – p.
XIV.4. Conice raportate la axele de simetrie
1. Elipsa E: F(c,0), F’(-c,0), A(a,0), A’(-a,0), B(0,b), B’(0,-b), MF + MF’ = 2a, M∈E Ecua ţ ia elipsei: 222
2
2
2
2
,01 acbb
y
a
x=+=−+
BM
A’ F’ F AO
B’
Ecua ţ ia tangentei în punctul M(x o ,y o ), M ∈∈∈∈ E:01
22=−+
b
yy
a
xx oo
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 54/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
54
2. Hiperbola H: F(c,0), F’(-c,0), A(a,0), A’(-a,0), MF – MF’= 2a, M∈ H .
Ecua ţ iea hiperbolei: 2222
2
2
2
,01 abcb
y
a
x=−=−−
Ecua ţ ia tangentei în M o(x o ,y o ), M o∈∈∈∈ H .
0120
20 =−−
b
yy
a
xx
3. Parabola P: F(2
p,0), h:x = -
2
p(h – dreapta directoare): d(M,h) = MF, M∈P.
Ecua ţ ia parabolei P: y2= 2px
Ecua ţ ia tangentei în M o(x o ,y o ), M o∈∈∈∈ P: yyo = p(x + xo)
ANALIZÃ MATEMATICÃ
I. ŞiruriI.1. Şiruri şi limite
Definiţia I.1.1. Se numeş te şir de numere reale o func ţ ie f:N→→→→R , f(n) = a n .Definiţia I.1.2. Ş irul (a n ) n≥ ≥≥ ≥ 0 se numeş te crescãtor (respectiv descrescãtor )
dacã a n ≤ ≤≤ ≤ a n+1 , ∀∀∀∀ n∈∈∈∈N (respectiv a n ≥ ≥≥ ≥ a n+1 , ∀∀∀∀ n∈∈∈∈N ). Ş irurile crescãtoare şi şirurile descrescãtoare se numesc şiruri monotone.
Definiţia I.1.3. Ş irul (a n ) n≥ ≥≥ ≥ 0 este mãrginit dacã şi numai dacã ∃∃∃∃ M>0 astfel încât a n≤≤≤≤ M , ∀∀∀∀ n∈∈∈∈N.
Notaţie: (an)n≥0, an∈R, R = R ∪ {-∞, +∞}.Definiţia I.1.4. Ş irul (a n ) n≥ ≥≥ ≥ 0 , a n∈∈∈∈R are limita a şi scriem aan
n
=∞→
lim , a∈ R
dacã în orice vecinãtate a punctului a se aflã to ţ i termenii şirului începând de la un anumit rang.
Definiţia I.1.5. Ş irul este convergent , aann
=∞→
lim , a∈R, dacã ∀ε >0, ∃ N ε ∈N
astfel încât ∀ n> N ε , an - a<ε .Definiţia I.1.6. aan
n
=∞→
lim dacã ∃ε >0, ∃ N ε ∈N astfel încât an > ε , ∀ n > N ε .
Definiţia I.1.7. −∞=∞→
nn
alim dacã ∀ε >0, ∃ N ε ∈N astfel încât an < -ε , ∀ n > N ε .
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 55/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
55
Dacã ±∞=∞→
nn
alim , atunci şirul este divergent.
I.2. Criterii suficiente de convergenţã sau de existenţã a limitei unuişir1. dacã 0lim =
∞→n
n
b , bn≥ 0 şi an - a≤ bn atunci aann
=∞→
lim ;
2. dacã ∞=∞→
nn
blim şi an ≥ bn atunci +∞=∞→
nn
alim ;
3. dacã −∞=∞→
nn
blim şi an ≤ bn atunci −∞=∞→
nn
alim ;
4. orice şir monoton şi mãrginit este convergent (criteriul lui Weierstrass);5. dacã bn ≤ an ≤ cn şi acb n
nn
n
==∞→∞→
limlim atunci aann
=∞→
lim ;
6. criteriul lui Stolz:
- dacã (bn)n≥0 crescãtor: ∞=∞→
nn
blim şi existãnn
nn
n bb
aa
−
−
+
+
∞→ 1
1lim , atunci
nn
nn
nn
n
n bb
aa
b
a
−−
=+
+
∞→∞→ 1
1limlim ;
- dacã (an)n≥0, an > 0 şi existãn
n
n a
a 1lim +
∞→atunci n
nn
alim∞→
=n
n
n a
a 1lim +
∞→(Cesaro);
- - dacã (bn)n≥0 crescãtor: 0limlim ==∞→∞→
nn
nn
ba şi existãnn
nn
n bb
aa
−−
+
+
∞→ 1
1lim , atunci
nn
nn
nn
n
n bb
aa
b
a
−
−
= +
+
∞→∞→ 1
1
limlim ;
I.2. Operaţii cu şiruri convergenteaan
n
=∞→
lim , bbnn
=∞→
lim , a,b∈R
)0daca(,lim.3
;,lim.2
;)(lim,)(lim.1
≠=
∈=
−=−+=+
∞→
∞→
∞→∞→
bb
a
b
a
Raa
babababa
n
nn
nn
nnn
nnn
α α α
I.3. Operaţii cu şiruri care au limitãaan
n
=∞→
lim , bbnn
=∞→
lim , a,b∈ R
1. dacã ∞=∞→
nn
alim şi bbnn
=∞→
lim , b∈R atunci 01
lim,)(lim =+∞=+∞→∞→ nn
nnn a
ba ,
<∞−
>∞+=⋅
∞→ 0daca,
0daca,lim
b
bba nn
n
2. +∞==∞→∞→
nn
nn
ba limlim atunci +∞=+∞→
)(lim nnn
ba , +∞=⋅∞→
)(lim nnn
ba ;
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 56/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
56
3. dacã −∞=∞→
nn
alim şi bbnn
=∞→
lim , b∈R, atunci −∞=+∞→
)(lim nnn
ba
<∞+
>∞−=⋅
∞→ 0daca,
0daca,lim
b
bba nn
n
;
4. −∞==∞→∞→
n
n
n
n
ba limlim atunci −∞=+∞→
)(lim nn
n
ba , +∞=⋅∞→
)(lim nn
n
ba ;
5. dacã ∞=∞→
nn
alim şi −∞=∞→
nn
blim atunci −∞=⋅∞→
)(lim nnn
ba ;
6. dacã 0lim =∞→
nn
a atunci ∞=∞→ nn a
1lim dacã an > 0 şi −∞=
∞→ nn a
1lim dacã an < 0.
I.4. Şiruri tip
.!
1...
!2
1
!1
11lim.9
;1
1lim.8
;1,1...21lim.7
;0,1lim.6
;)1
...3
1
2
11(lim.5
;1daca,1
1)...1(lim.4
daca,
0sidaca,
0sidaca,
daca,0
...
...lim.3
0daca,
0daca,lim)...(lim.2
1dacaexista,nu
1daca,
1daca,1
11daca,0
lim.1
2
0
0
11
10
11
10
0
001
110
en
en
pn
aa
n
qqq
pk ba
pa pk
pa pk
pk
nnbnbnb
ananana
a
anaananana
q
q
q
q
q
n
n
n
n
n p p pn
n
n
n
n
n
oo
oo
p p p p
k k k k
n
k
nk k
k k
n
n
n
=
++++
=
+
≥∀=+++
>∀=
+∞=++++
<−
=++++
=
<>∞−
>>∞+
<
=++++
++++
<∞−
>∞+==++++
−≤
>∞+
=
<<−
=
∞→
∞→
∞→
∞→
∞→
∞→
−−
−−
∞→
∞→−
−
∞→
∞→
II. Limite de funcţii
Notaţii: f :D→R, D⊂R, α - punct de acumulare a lui D;
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 57/66
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 58/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
58
0lim =∞→
x
x
a , ∞=−∞→
x
x
alim , dacã 0 < a < 1;
4. }1{ \ finita,0,logloglim*+
→∈>= R x aa
x
α α α α
−∞=
>
→ xa
x
x
loglim
0
0 şi +∞=
∞→ xa
x
loglim dacã a > 1;
+∞=
>→
xa
x x
loglim00
şi −∞=∞→
xa x
loglim dacã 0 < a < 1;
6. α α
sinsinlim =→
x x
, α α
coscoslim =→
x x
Z tgtgx x
π α α α
+∉=→ 2
,lim , Z ctgctgx x
π α α α
∉=→
,lim
∞=
<
→
tgx
x
x
lim
2
2π
π , −∞=
>
→
tgx
x
x
lim
2
2π
π
7. ∞=
>→
ctgx
x xlim
00
, −∞=
<→
ctgx
x xlim
00
]1,1[,arcsinarcsinlim −∈=→
α α α
x x
, ]1,1[,arccosarccoslim −∈=→
α α α
x x
Rarctgarctgx x
∈=→
α α α
,lim , Rarcctgarcctgx x
∈=→
α α α
,lim
2lim
π −=
−∞→arctgx
x
,2
lim =∞→
arctgx x
π =−∞→ arcctgx xlim , 0lim =∞→ arcctgx x ;
8. 1sin
lim0
=→ x
x
x
, 1lim0
=→ x
tgx
x
, 1arcsin
lim0
=→ x
x
x
, 1lim0
=→ x
arctgx
x
;
9. ;1,,0lim >∈∀=∞→
a Z na
x x
n
x
10. ;)1(lim,1
1lim1
0e xe
x x
x
x
x
=+=
+→±∞→
11. ;1)1ln(
lim0 =+
→ x
x
x
12. 0,ln1
lim0
>=−
→aa
x
a x
x
,
13. Rr r x
x r
x
∈∀=−+
→,
1)1(lim
0.
II.4. Continuitatea funcţiilorDefiniţia II.4.1. Fie f:D→R, xo∈D, xo – punct de acumulare a lui D , f este
continuã în xo , dacã )()(lim 00
x f x f x x
=→
, xo se numeş te punct de continuitate.
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 59/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
59
Definiţia II.4.2. Fie α∈ D, α este punct de discontinuitate de prima spe ţ ã dacãexistã şi sunt finite limitele laterale în α , dar func ţ ia nu este continuã în α .
Definiţia II.4.3. Fie α∈ D, α este punct de discontinuitate de spe ţ a a doua dacã nu este de prima spe ţ ã.
Teoremã. Dacã f:I →R , I – interval şi f continuã pe I , atunci J = f(I) este
interval ( o func ţ ie continuã pe un interval are proprietatea lui Darboux pe acel interval).
III. Funcţii derivabile
III.1. Definiţia derivatei într-un punct f :E→R, xo∈E, xo – punct de acumulare a lui E:
f’(x0) =
h
x f h x f
x x
x f x f
E h xh x x
)()(lim
)()(lim 00
00
0
00
−+=
−
−
∈+→→
f s’(x0) =0
0 )()(lim
0
0 x x
x f x f
x x x x −
−
<→
, f d ’(x0) =0
0 )()(lim
0
0 x x
x f x f
x x x x −
−
>→
f’(x0) = f s’(x0) = f d ’(x0) Interpretarea geometricã:- dacã f’(x0)∈R, y - f(x0) = f’(x0)(x – x0) este ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în
punctul A(x0 ,f(x0));- dacã f este continuã în x0, f d ’(x0) = +∞, f s’(x0) = -∞, sau invers, x0 este punct de
întoarcere al graficului;- dacã f este continuã în x0 şi existã derivatele laterale în x0 , cel puţin una fiind
finitã, dar f nu este derivabilã în x0, x0 este punct unghiular al graficului.
III.2. Reguli de derivare f,g:E→R, f,g derivabile în x∈E:
1. (f + g)’(x) = f’(x) + g’(x);
2. (cf)’(x) = cf’(x), c∈R; 3. (f ⋅ g)’(x) = f’(x)⋅ g(x) + f(x)⋅ g’(x)
4. dacã g(x)≠ 0,)(
)(')()()(')(2
'
xg
xg x f xg x f x
g
f −=
;
5. dacã f:I→J, g:J→R, f derivabilã în x0∈I şi g derivabilã în y0 = f(x0), atunci(go f)’(x0) = g’(y0)f’(x0);
6. dacã f:I→J continuã, bijectivã şi derivabilã în x0 cu f’(x0)≠ 0, atunci f -1:J→I este
derivabilã în y0 , y0 = f(x0) şi f -1
(y0) =)('
1
0 x f .
III.3. Derivatele funcţiilor elementareFuncţia (condiţii) Derivata (condiţii)C 0
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 60/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
60
xn , n∈N* nx
n-1
xr , r ∈R, x>0 rx
n-1
0, ≥ x x 0,2
1> x
x
loga x, a≠ 1, a>0, x>0
xa
1
ln
1
⋅
ln x, x>0
x
1
a x , a≠ 1, a>0, x>0 a
x ln a
e x
e x
sin x cos x
cos x -sin x
tg x, x Z k k ∈+≠ ,
2
)12(
x2
cos
1
ctg x, x Z k k ∈≠ ,π
x2sin
1−
arcsin x, x∈[0,1] )1,0(,
1
12
∈−
x x
arcos x, x∈[0,1] )1,0(,
1
12
∈−
− x x
arctg x
21
1
x+
arcctg x21
1
x+−
III.4. Derivata funcţiilor compuseFuncţia (condiţii) Derivata (condiţii)u
n , n∈N* nu
n-1⋅ u’
ur , r ∈R, u>0 ux
n-1⋅ u’
0, ≥uu
0,2
'>uu
u
logau, a≠ 1, a>0, u>0
u
u
a
'
ln
1⋅
ln u, u>0'
1u
u⋅
au , a≠ 1, a>0 a
u ln a⋅ u’
eu
eu⋅ u’
sin u cos u⋅ u’
cos u - sin u⋅ u’
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 61/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
61
tg u, cos u≠ 0 '
cos
12
uu
⋅
ctg u, sin u≠ 0 '
sin
12
uu
⋅−
arcsin u, u∈[-1,1] )1,1(,'1
12 −∈⋅− uu
u
arccos u, u∈[-1,1] )1,1(,'
1
12
−∈⋅−
− uuu
arctg u '
1
12
uu
⋅+
arcctg u '
1
12
uu
⋅+
−
uv
, u>0u
v
⋅ v’⋅ ln u + v⋅ u
v-1
⋅ u’III.5. Derivatele de ordin superior ale unor funcţii elementareFuncţia (condiţii) Derivata de ordinul n(f
(n))
xm , m∈N, m≥ n m(m-1)…(m-n+1)x
m-n
N m x
m∈,
1(-1)
nm(m-1)…(m+n-1)
nm x
+
1
e x
e x
a x (ln a)n⋅ a x
ln x (-1)
n-1
(n-1)! n x
1
Funcţia (condiţii) Derivata de ordinul n(f (n)
)
sin x
+2
sinπ n
x
cos x
+2
cosπ n
x
Formula lui Leibniz:
f f g f C
g f C g f C g f C g f C g f g f
n
k
k k nk n
nnn
nnn
nn
nn
nn
=∑ ⋅=
=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅
=
−
−−−−
)0(
0
)()(
)()1(1)2(2)1(1)()(
,
'...''')(
III.6. Proprietãţi ale funcţiilor derivabileTeorema lui Fermat:
Fie f :I→R derivabilã pe I. În orice punct extrem local din interiorul lui I, f’ estenulã.Teorema lui Rolle:
Dacã funcţia continuã f :[a,b]→R este derivabilã pe (a,b) şi f(a) = f(b) atunciexistã c∈(a,b) astfel încât f’(c) = 0.
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 62/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
62
Teorema lui Lagrange: Dacã funcţia continuã f :[a,b]→R este derivabilã pe (a,b), atunci existã c∈(a,b)
astfel încât )(')()(
c f ab
a f b f =
−−
.
Teoremã. Dacã funcţia f este continuã şi derivabilã pe I (I – interval deschis),
atunci:1. între douã rãdãcini consecutive ale funcţiei existã cel puţin o rãdãcinã a derivatei;2. între douã rãdãcini consecutive ale derivatei existã cel mult o rãdãcinã a funcţiei.Teorema lui Cauchy:
Dacã f,g:[a,b]→R continue pe [a,b], derivabile pe (a,b) şi g’(x)≠0, ∀x∈(a,b)
atunci ∃c∈(a,b) astfel încât)('
)('
)()(
)()(
cg
c f
agbg
a f b f =
−−
IV. AsimptoteIV.1. Asimptote orizontale ( f :D→R)
Definiţia IV.1.1. Dacã 1)(lim l x f x
=+∞→
sau 2)(lim l x f x
=−∞→
, l1 ,l2∈R, dreptele y=l1
şi y=l2 sunt asimptote orizontale a lui f spre +∞∞∞∞, respectiv -∞∞∞∞
IV.2. Asimptote oblice ( f :D→R)
Definiţia IV.2.1. Dacã 0)(
lim ≠=∞→
m
x
x f
x
şi Rnmnmx x f x
∈=−+∞→
,,])([lim
dreapta y = mx + n este asimptotã oblicã a lui f spre +∞∞∞∞.
Definiţia IV.2.2. Dacã 0')(
lim ≠=∞→
m x
x f
x
şi Rnmn xm x f x
∈=−+∞→
',',']')([lim
dreapta y = m’x + n’ este asimptotã oblicã a lui f spre -∞∞∞∞.
IV.3. Asimptote verticale ( f :D→R) Definiţia IV.3.1. Dacã ±∞=
<→
)(lim x f
x x
α α
, α - punct de acumulare a lui D ,
dreapta x=α este asimptotã verticalã la stânga a lui f .Definiţia IV.3.2. Dacã ±∞=
>→
)(lim x f
x x
α α
, α - punct de acumulare a lui D ,
dreapta x=α este asimptotã verticalã la dreapta a lui f .
V. Primitive(integrale nedefinite)
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 63/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
63
Definiţia V.1. Fie func ţ ia f :J→R, J – interval, F:J→R este primitiva lui f , dacã F este derivabilã pe J şi F’(x) = f(x), ∀ x∈ J .
Se noteazã: ∫ += c xF dx x f )()( Proprietã ţ i ale primitivelor:
1. [ ] ∫ ∫+=∫ + dx x f dx x f dx x f x f )()()()( 2121 ;
2. ∫ ∫= dx x f adx xaf )()( ;Integrarea prin părţi ∫ ∫−= dx xg x f xg x f dx xg x f )()(')()()(')( .
V.1. Prima metodã de schimbare a variabileiDacã ϕ :I→J, f :J→R,ϕ derivabilã pe I, f admite primitive (F), atunci
∫ +=⋅ ct F dt t t f )()('))(( ϕ ϕ ϕ
V.2. A doua metodã de schimbare a variabileiDacã ϕ :I→J, f :J→R,ϕ bijectivã, derivabilã, cu derivata nenulã pe I,
')( ϕ ϕ ⋅= f h admite primitive (H) atunci ∫ += − c x H dx x f )()( 1ϕ .
V.3. Tabel de primitive: ( I – interval, I ⊂R)
1. N n R xcn
xdx x
nn ∈∈+
+=∫
+
,,1
1
;
2.
∫ −∈+∞∈++=
+
}1{ \ ),,0(,1
1
R xc
x
dx x α α
α α
;
3. 1,0,,ln
≠>∈+=∫ aa R xca
adxa
x x ;
4. R I I xc x x
dx⊂∈+∫ = ,,ln ;
5. },{ \ ,,ln2
1122
aa R I I xca x
a x
adx
a x−⊂∈+
+−
=∫−
;
6.
0,,
1122 ≠∈+=∫ + a R xca
x
arctgadxa x ;7. R xc x xdx ∈+−=∫ ,cossin ;8. R xc x xdx ∈+=∫ ,sincos ;
9.
∈+⊂∈+=∫ Z k k R I I xctgxdx
x 2)12( \ ,,
cos
12
π ;
10. { } Z k k R I I xcctgxdx x
∈⊂∈+−=∫ π \ ,,sin
12
;
11. ∫
∈+⊂∈+−= Z k k R I I xc xtgxdx 2)12( \ ,,cosln
π
;12. { }∫ ∈⊂∈+= Z k k R I I xc xctgxdx π \ ,,sinln ;
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 64/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
64
13. ( ) R xca x xdxa x
∈+++=∫+
,ln1 22
22;
14. 0),,(sau),(,ln1 22
22>−−∞∈+∞∈+−+=∫
−aa xa xca x xdx
a x;
15. 0),,(,arcsin122
>−∈+=∫−
aaa xca xdx
xa
V.4. Primitivele funcţiilor raţionale
1. 0,1,,)()1(
1)( 1 ≠−≠∈++
+=∫ + +
an N ncbaxan
dxbaxnn ;
2. ∫ ≠++=+
0,)ln(1
acbaxabax
dx;
3. ∫ ≠≠∈++−
−=+ −
0,1,,)()1(
1)( 1
an N ncbaxanbax
dxnn
;
4. baca x
b x
bab xa x
dx≠+
++
−=∫
++,ln
1
))((;
5. ∫ ∫ ≠−=∆+∆
−
+
=++
0,4bunde,
42
1 22
22
aacc
aa
b x
dx
acbxax
dx.
Substitu ţ iile lui Euler:1. 0daca,2 >±=++ aa xt cbxax ;
2. 0daca,2 >±=++ cctxcbxax ;
3. 12
12 si04daca),( xacb x xt cbxax >−−=++ este o rãdãcinã a ecuaţiei
ax2
+ bx + c = 0.
VI. Integrale definite
IV.1. Definiţia integrabilitãţii (integrale Riemann)Notaţii: f :[a,b]→R, ∆ = (a = x0 , x1 , x2 , …, xn = n) diviziune, xi-1 ≤ ξ i ≤ xi , ξ i – puncte
intermediare, σ ∆(f, ξ ) – suma Riemann: ∑ −==
−∆
n
iiii x x f f
11))((),( ξ ξ σ
Definiţia VI.1.1. f se numeş te integrabilã dacã existã numãrul real I f cu proprietatea: ∀ε > 0, ∃η ε >0 astfel încâtr pentru orice divizune ∆ a lui [a,b] cu
ε η <∆ şi orice puncte intermediare ξ i are loc ε ξ σ <−∆ f I f ),( unde
)(max 1
1
−
≤≤
−=∆ ii
ni
x x
Se noteazã: ∫=b
a f dx x f I )(
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 65/66
7/28/2019 57215238-Memorator-matematic
http://slidepdf.com/reader/full/57215238-memorator-matematic 66/66
Zaharia Virgil-Mihail Mic memorator matematic
3. Lungimea graficului f :[a,b]→R+, f derivabilã cu derivata continuã:
∫ +=b
a
dx x f f l2))('(1)(
4. Aria suprafeţelor de rotaţie:
∫ +=
b
a
f dx x f x f A2
))('(1)(2π