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| 14 |Santillana Bicentenario
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UNIDAD1 14/9/09 12:08 Page 15
| 16 |Santillana Bicentenario
Esquema de la unidad
Información para el docente• La Teletón es, quizás, la actividad más significativa que pueden reconocer los(as) alumnos(as)
en el uso de grandes números, sin que estos se expresen en otras unidades (UF, UTM osimilares) ni que se redondee. Se les puede plantear a los(as) alumnos(as) que, en general,para cantidades tan altas de dinero suelen utilizarse unidades muy específicas, como porejemplo la Unidad de Fomento (UF) , pese a que no es el objetivo de esta unidad manejarlas.
Errores frecuentes o posibles dificultades • En general, para grandes cantidades de dinero como la expuesta en la Teletón, suele optarse
por redondear las cifras refiriéndose a “alrededor de” cierta cifra, dificultando el acceso a lainformación de los(as) alumnos(as). Se sugiere utilizar como refuerzo el que los(as) alumnosden a conocer la cifra exacta a la cual han aproximado, como un desafío de transparencia.
• La lectura y escritura de números ha sido abordada en cursos anteriores, pero en los(as)alumnos(as) suelen presentarse confusiones cuando se trata de leer números mayores quemil, y con mayor razón los que entran en la categoría de los millones, decenas o centenas demillones, y aun más, miles de millones. Se recomienda prestar atención a las dificultades quelos y las estudiantes puedan presentar y, a los mecanismos que utilizan para desarrollar estasactividades, pues pueden ser herramientas que permitirán planificar lo sucesivo. Muchos delos contenidos de esta unidad tratarán de sistematizar los conocimientos que por los(as)alumnos(as) son manejados de forma previa, pero muchas veces de manera poco efectiva.
PÁGINAS DE INICIO (Páginas 8 y 9)
Sugerencias metodológicas
NÚMEROS
Sistema decimalposicional
Aproximar Algoritmos deadción y sustracción
Propiedades de lasoperaciones
Ordenar ycomparar
Cifra acifra
En la rectanumérica
UNIDAD1 14/9/09 12:08 Page 16
| 17 |
UNIDAD 1 | GRANDES NÚMEROS
IndicadorNº de
preguntaRespuesta
Logradocon
Remediales/ sugerencias de profundización
Leer y escribirnúmeros enpalabras.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
500
500
1.600
800
8.500
600
6.400
900
1.700
7 / 9 • Realizar un glosario de lectura de números, hasta eltreinta de uno en uno; luego decena a decena hastael cien; centena a centena hasta el mil y luego hastadiez mil.
• Pedirles a los y las estudiantes traer distintos tipos deinformación, sacada de diarios, revistas, noticias, etc.,de interés para ellos, que contengan cantidadesnuméricas muy grandes, y que luego, puedan escribirlas cantidades encontradas.
Descomponermultiplicativamenteun número.
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
5 · 100
5 · 100
16 · 100
8 · 100
32 · 100
85 · 100
6 · 100
64 · 100
9 · 100
17 · 100
8 / 10 • Trabajar con las y los estudiantes situaciones, quepresenten distintos tipos de cantidades, dondetengan que verificar si cuentan las cifrascorrectamente.
• Para profundizar, se propone plantear un problemaanálogo con dinero, descomponiendo en monedasde $ 100. ¿Cuántas son necesarias para dicho monto?
Comparar yordenar números.
20 8.500, 6.400,
3.200, 1.700,
1600, 900, 800,
600, 600, 500,
500
Ordencorrecto
• Se propone utilizar el glosario construidoanteriormente para corroborar el orden de losnúmeros.
Calcular adicionesy sustracciones.
21
22
24.700
2.1001 / 2 • Trabajar con los y las estudiantes, el algoritmo de la
adición, para que los alumnos y las alumnas se vayanapropiando de habilidades relacionadas con elalgoritmo tradicional.
• Presentar a los(as) alumnos(as), situaciones reales, lascuales pueden ser resueltas por algún algoritmo de laadición en particular.
Aproximarnúmeros.
23
24
25.000
20.0002 / 2 • Pedir a los(as) alumnos(as) que expliquen sus
procedimientos, para poder constatar si dominanefectivamente las técnicas de aproximación.
¿QUÉ RECUERDO? (Páginas 10 y 11)
UNIDAD1 14/9/09 12:08 Page 17
| 18 |Santillana Bicentenario
Información para el docente• La lectura de números grandes (y de los números en general), aunque parezca extraño, no
es tan universal como podría creerse. En Estados Unidos, por ejemplo, un billón esconsiderado como mil millones, a diferencia del resto del mundo que considera un billóncomo un millón de millones. En cuanto a los nombres de los números y el sistema paraasignarlos, llama la atención que en el idioma francés se traduce, literalmente, el númerosetenta como “sesenta y diez”, setenta y cinco como “setenta y quince”, mientras queochenta se traduce como “cuatro veintes”.
• Para números aun más grandes, se han establecido algunas reglas para nombrar trillones,cuatrillones, decillones, hexadecillones, etc., llegando al googol y al googolplex (el primero danombre al famoso buscador de Internet Google). Sin embargo, un googol (un uno seguidode cien ceros) es mayor que el número de átomos del universo, por lo que no tienedemasiada utilidad práctica. Por lo demás, los números demasiado grandes dejan de serinterpretables para la mente humana, lo que hace imprescindible el uso de comparacionesy analogías.
Actividades complementarias• Es imprescindible que, al menos en una primera etapa, los(as) alumnos(as) desarrollen
técnicas efectivas para la lectura de números; para ello, los puntos separadores son de granimportancia no solo para un rápido conteo de cifras, sino también para ayudar a la expresióncon palabras. Para ello se sugiere separar el número en tres cifras (usando los puntos oespacios), ubicando debajo de cada grupo de cifras las palabras que indican el significado decada tramo. Por ejemplo:
74.657.897.402
Puede anotarse como:
74 657 897 402
mil millones mil
Explicar a los(as) alumnos(as) que para leerlo correctamente, bastará con leer “literalmente”el número, seguido de la palabra bajo el punto.
• Plantear a los(as) alumnos(as) números que tengan ceros en algunas posiciones; lainterpretación de esos ceros, sobre todo cuando están en posiciones intermedias al númeroo incluso formando bloques, les permitirá reflexionar respecto al significado de estos y cómointerpretarlos en la lectura. Se les puede pedir, por ejemplo, expresar en palabras lossiguientes números:
53.000.430
53.430.000
53.000.043
Y a partir de ello, constatar cómo interpretan los ceros.
LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS NATURALES (Páginas 12 y 13)
UNIDAD1 14/9/09 12:08 Page 18
| 19 |
UNIDAD 1 | GRANDES NÚMEROS
Errores frecuentes o posibles dificultades • Puede parecer un tanto curioso para los(as) alumnos(as) que la separación de cifras se haga
de derecha a izquierda, y sin embargo, el número se lea de izquierda a derecha. El contenidosiguiente, referido al valor posicional, puede ayudar a esclarecer esto. Algunas dificultadesasociadas a los ceros ubicados en posiciones intermedias pueden resolverse representandociertos valores en un ábaco, para que los(as) alumnos(as) establezcan la relación.
Información para el docente• El valor posicional de las cifras es un logro que la humanidad tardó en conseguir, y que da
cuenta de una concepción abstracta de número (relaciones que se establecieron de laspropiedades de una colección de objetos) y una adecuada diferenciación entre número(idea) y numeral (su representación). En América, sus primeros exponentes fueron losbabilonios y los mayas, estos últimos con el especial mérito de haber introducido el cero.
• Nuestro sistema de numeración decimal posicional (con base diez) está basado ciertamenteen nuestros dedos de las manos, extendido por los mayas al uso de manos y pies. Los dedos,usados de manera natural para contar, se hicieron rápidamente insuficientes para poderrepresentar números grandes, por lo que fue necesario utilizar otros objetos pararepresentar que las manos ya habían sido utilizadas más de una vez.
• El uso del ábaco puede ya haberse realizado en cursos anteriores, pero no está de másusarlo nuevamente para que los(as) alumnos(as) comprendan a cabalidad el sistema denumeración decimal posicional.
• Es importante que los(as) alumnos(as) constaten que la descomposición aditiva de larepresentación decimal guarda relación también con la lectura que hacemos de los números,omitiendo la palabra “más”. La sola yuxtaposición de las palabras indica la adición.
Actividades complementarias• El uso de monedas con valores de base diez puede servir para la descomposición de los
números. También puede resultar útil el uso de fichas que representen distintos valores.Proponer a los(as) alumnos(as) un juego que otorgue puntaje en distintas competencias, queluego pueda traducirse en fichas. Por ejemplo:
Fichas rojas: 1 punto.
Fichas verdes: 10 puntos.
Fichas azules: 100 puntos.
Fichas blancas: 1.000 puntos.
Finalizado el juego, se les pide a los(as) alumnos(as) que transformen su puntaje a la menorcantidad de fichas posibles, a través del canje de fichas, es decir, que un alumno(a) que tenga24 fichas verdes, por ejemplo, constatará que puede cambiar 20 de ellas por dos fichasazules y 4 fichas verdes. Al lograr convertir su puntaje en el menor número posible de fichas,guiar la actividad para que representen el número en su forma decimal.
DESCOMPOSICIÓN ADITIVA Y VALOR POSICIONAL (Páginas 14 y 15)
UNIDAD1 14/9/09 12:08 Page 19
| 20 |Santillana Bicentenario
Información para el docente• La ubicación de los números en la recta numérica permite introducir también el concepto
de medición. Es importante que los(as) alumnos(as) tengan claro que la elección de la unidades arbitraria, pero, una vez que se fija, sirve de referencia para las demás divisiones y múltiplosde ella. Por lo mismo, una recta no tiene por qué estar graduada de uno en uno, sino quecada división puede representar más de una unidad, según lo que se esté trabajado.
Actividades complementarias• Con el objetivo de conocer las técnicas utilizadas por los(as) alumnos(as) para graduar una
recta numérica y ubicar números en ella, plantearles que confeccionen una recta, la gradúeny ubiquen determinados números en ella. Utilizar esta información para plantear a los(as)alumnos(as) conflictos que le permitan encontrar la solución para corregir el error surgido.Se les puede sugerir, al respecto, que dividan las mitades de los segmentos definidos, lo quepuede inducir también a la técnica de aproximación. Así, por ejemplo, si deben ubicar en larecta el número 1.329 entre 1.000 y 2.000, es útil que dividan el segmento por la mitad ynoten que el número pedido se ubicará en la primera mitad. Luego, esa mitad puede serdividida nuevamente por la mitad, con el fin de constatar que se encuentra en la mitadmayor. Se les puede pedir que expongan estas técnicas al resto del curso, destacando loimprescindible que es considerar en primer lugar el número mayor.
• Se recomienda prestar atención a la adición y sustracción de números en la recta numérica, demanera especial cuando esta no se encuentra graduada de uno en uno. En principio, puede serconveniente que realicen una tabla para obtener resultados intermedios, producto de realizarlos avances o retrocesos espacio por espacio, para luego proponerles abordar el cálculoutilizando multiplicación para encontrar el sumando o sustraendo y luego realizar la operación.
NÚMEROS EN LA RECTA NUMÉRICA (Páginas 16 y 17)
Información para el docente• La comparación de números no debería presentar mayores complicaciones para los(as)
alumnos(as), si lograron asimilar las técnicas de comparación cifra a cifra. Pero de todas formas,en los casos en que se trabaja con números grandes que terminan en ceros, estos pueden seromitidos, con el fin de que se puedan comparar números. En este sentido se podría planteara los(as) alumnos(as), que realicen comparaciones con determinadas cantidades de dinero, enbilletes o monedas. Por ejemplo:
- Martín tiene $ 2.700 en monedas de $ 100 pesos.
Hugo tiene $ 3.500, también en monedas de $100; ¿quién tiene más dinero?
Los(as) alumnos(as) tendrán que determinar que Hugo tiene más dinero, constatando el hechode que Martín solo tiene 27 monedas y Hugo 35. Se puede explicitar en este procedimientoque hemos omitido los ceros, al tener ambos números cuatro cifras y que terminan en 00.
ORDEN Y COMPARACIÓN DE NÚMEROS (Páginas 18 y 19)
UNIDAD1 14/9/09 12:08 Page 20
| 21 |
UNIDAD 1 | GRANDES NÚMEROS
Actividades complementarias• Sugerir a los(as) alumnos(as) que resuelvan problemas de comparación de números
expresados en palabras. Una opción de actividad puede ser transformándolos en cifras, obien, problema más interesantes, es hacer la comparación verbalmente, detectando lascantidades expresadas y deduciendo a partir de ellas la cantidad de cifras o bien cuál es elmayor valor posicional del número.
• Existen algunos juegos que permiten ejercitar tanto el valor posicional como el orden de losnúmeros, como los propuestos en el texto del alumno, que consisten en construir númeroscon cifras determinadas. Proponer a los(as) alumnos(as) el siguiente ejercicio:
- Dado el número 37.458.271
Encontrar un número menor que éste, que sea el más cercano a él, utilizando las mismascifras. Con iguales condiciones, hallar el menor número, mayor que éste, también con lasmismas cifras. Resulta particularmente interesante detectar las estrategias que utilizan los(as)alumnos(as) para construir los números y verificar sus respuestas.
Errores frecuentes o posibles dificultades • Parte de las dificultades que manifiestan los(as) alumnos(as) en relación a la comparación de
números se vinculan con errores en el conteo de las cifras, o errores derivados de compararcifras que no están en la misma posición. Conviene que se acostumbren a contar una a unalas cifras, y escribir los números en orden de arriba hacia abajo para comparar correctamentelas cifras en sus posiciones correspondientes, al menos mientras logren dominar el orden delos números.
UNIDAD1 14/9/09 12:08 Page 21
| 22 |Santillana Bicentenario
IndicadorNº de
preguntaRespuesta
Logradocon
Remediales/ sugerencias de profundización
Leer y escribirnúmerosnaturales de másde seis cifras.
1
2
D
B
2 / 2 • Presentar a los y las estudiantes ejercicios en loscuales se den números de 6 cifras escritos en suforma gráfica, y tengan que escribirlos según se lean.Y, viceversa.
Identificar elvalor posicionalde cada dígito enun número ydescomponeraditivamente.
3
4
5
D
C
C
2 / 3 • Se sugiere que, en el caso del valor posicional,escriban el número y, paso a paso de izquierda aderecha, escriban los respectivos valores, U, D. C,UM, etc. Para el caso de la descomposición, sugerirque escriban los números de mayor a menor,utilizando la representación vertical de la adición yluego formar el número.
• Presentar situaciones en las cuales se les entreguennúmeros ya descompuestos aditivamente, donde los ylas estudiantes puedan identificar el número asociado.
Representarnúmerosnaturales en larecta numérica.
6 B
1 / 1 • Trabajar con los y las estudiantes material concretorelacionado con la recta numérica. Por ejemplo, encartón dibujar una recta numérica, con variosnúmeros como referencia. Pedirles a los(as)alumnos(as) que ubiquen determinados números yque justifiquen su posición.
• Proponer a los alumnos y alumnas que construyantres rectas numéricas, proporcionales entre sí susmedidas, donde la primera vaya de 5 en 5; la segundade 10 en 10; y la tercera de 40 en 40. luego, que losy las estudiantes puedan exponer sus trabajos.
Ordenar ycompararnúmerosnaturales de másde seis cifras.
7
8
9
D
D
a. 99.887.766 y55.667.788
b. Construcción
2 / 3 • Para el ejercicio 7, se sugiere a los(as) alumnos(as)escribir uno sobre otro los números de lasalternativas y el de la pregunta, para que realicen lacomparación de izquierda a derecha, tachando encada caso los menores.
• Para las preguntas 8 y 9, pueden hacer un cuadrodonde verifiquen que, para formar el númeromayor, deben poner a la izquierda las cifras demayor valor, y a la derecha los números de menorvalor, cuando formen el número menor.
¿CÓMO VOY? (Páginas 20 y 21)
UNIDAD1 14/9/09 12:08 Page 22
| 23 |
UNIDAD 1 | GRANDES NÚMEROS
Información para el docente• La aproximación de números tiene aplicaciones y usos frecuentes en la vida cotidiana,
partiendo por las notas de los(as) alumnos(as) que se aproximan a la primera cifra decimal.En el caso de los números naturales, es frecuente que las sumas de dinero se redondeenpara mayor comodidad.
De todas formas, y pese a que el procedimiento de redondeo es bastante estándar, muchasveces depende de la necesidad que se tenga para redondear. Si se trata de una lista desupermercado y tenemos un presupuesto limitado, muchas veces se preferirá redondearsiempre hacia cifras mayores, de manera de asegurarse no exceder la suma total de lacompra. Si se trata de ganancias, puede redondearse hacia cifras menores de un número,para no esperar una suma mayor de la que se obtendrá.
Actividades complementarias• Proponer a los(as) alumnos(as) que definan diferentes contextos donde sean utilizados
grandes números. Luego, y más allá de la técnica aprendida, pedirles que determinen laconveniencia de redondear hacia cifras mayores o redondear hacia cifras menores.
• Plantearle a los(as) alumnos(as) discriminar de acuerdo al contexto, cuál es la cifra válida pararealizar la aproximación.
“Si una persona gana un sueldo de $ 851.428”.
Guiar la actividad para que los(as) alumnos(as) establezcan que, mientras mayor sea la cifraescogida para el redondeo, mayor es el error de aproximación que se produce, lo queprovocará que sea cada vez menos significativa. Proponer otras situaciones, utilizando otroscontextos.
Errores frecuentes o posibles dificultades • Es posible que los(as) alumnos(as) manifiesten confusión para aplicar la aproximación de
números por redondeo solo a la cifra escogida y no a las demás. Es conveniente recalcarque una aproximación se realiza escogiendo una cifra determinada, no siendo válidoextender la aproximación a las demás cifras. Puede plantearse, como ejemplo, el redondeodel siguiente número: 35.473. Si elegimos redondear a la unidad de mil, obtenemos 35.000.Si lo hacemos a la centena, será 35.500. Lo que no es válido es redondear a la centena yluego a la unidad de mil. Al hacerlo, obtendríamos primero 35.500, y luego redondeando ala unidad de mil, 36.000.
APROXIMACIÓN DE NÚMEROS POR REDONDEO (Páginas 22 y 23)
UNIDAD1 14/9/09 12:08 Page 23
| 24 |Santillana Bicentenario
Información para el docente• El sistema de numeración posicional es el que fundamenta nuestros algoritmos de adición y
sustracción, y de hecho gran parte de su utilidad está en la simpleza que otorga a estosalgoritmos. Es imprescindible que los(as) alumnos(as) dominen previamente este sistema, demanera que sean capaces de interpretar la operación y su procedimiento.
• Conviene desde un principio establecer la diferencia entre el nombre de la operación y suresultado. En el caso de la adición, este es el nombre de la operación y su resultado es lasuma, llamándose “sumandos” los términos a operar. En el caso de la sustracción, tenemosminuendo – sustraendo = resta o diferencia.
Tareas• Utilizar la tabla de la página 24 del texto del alumno (exportaciones de algunas regiones del
país en enero del 2008) para reforzar las operaciones de adición y sustracción, planteandolas siguientes preguntas:
- ¿Cuál es el monto total de exportaciones entre la Región del Libertador BernardoO´Higgins y la Región del Maule?
- ¿Cuál es el monto total de exportaciones entre la Región Metropolitana y la Región deAntofagasta?; ¿cuál es la diferencia entre el monto de exportaciones de la Región deAntofagasta y la Región del Maule?
- ¿Cuál es la diferencia entre el monto de exportaciones de la Región del LibertadorBernardo O´higgins y la Región Metropolitana?
Errores frecuentes o posibles dificultades • Los errores más habituales que cometen los(as) alumnos(as) cuando trabajan con las
operaciones de adición y sustracción son por la falta de comprensión adecuada del algoritmo.En el caso de la adición, puede que los(as) alumnos(as) olviden sumar la cifra derivada de unresultado superior a diez, es decir, la reserva. En el caso de la sustracción, es posible que tiendana invertir las cifras para poder realizar la sustracción.
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN (Páginas 24 a 27)
Información para el docente• La comprensión de las propiedades de la adición, los(as) alumnos(as) la irán construyendo
poco a poco, y resulta fundamental para años posteriores en el aprendizaje del álgebra.
• La adición es la primera operación que definimos en los números, y la que poseepropiedades más obvias. De hecho, la asociatividad está ligada al hecho que, en realidad, nopodemos concebir una adición entre más de dos números. Si queremos sumar 5 + 8 + 12,
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN (Páginas 28 y 29)
UNIDAD1 14/9/09 12:08 Page 24
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UNIDAD 1 | GRANDES NÚMEROS
EJERCICIOS RESUELTOS (Páginas 30 y 31)
nos es imposible sumar de inmediato los tres números, necesariamente debemos sumar dosde ellos primero. En el caso de la conmutatividad, puede verse que es completamentenatural que 4 + 8 es igual a 8 + 4, pero en el caso de la multiplicación no es tan obvio, pesea ser cierto, que 8 · 4 sea igual a 4 · 8. En relación a la propiedad elemento neutro, muchomás útil que el hecho obvio que sumar cero mantiene el sumando inicial es que si tenemosuna adición que da como resultado uno de los sumandos, necesariamente uno de elloshabrá de ser igual a cero, lo que se usa después para demostraciones.
Actividades complementarias• Proponer a los(as) alumnos(as), como ejercicio, que verifiquen si las propiedades de la
adición se cumplen también para la sustracción. Guiar la actividad para que los(as)alumnos(as), por un lado, verifiquen estas propiedades no por resultados aislados (es decir,ver uno o dos casos y a partir de ello concluir lo observado), sino que hacerlo a partir de lapropiedad de la operación, es decir, analizar si se tiene una cierta cantidad y le restamos otra,el resultado claramente no es el mismo que si se hace a la inversa. De hecho, en númerosnaturales, se exige que el minuendo sea mayor que el sustraendo. En el caso de la propiedadelemento neutro, es más evidente la propiedad.
• Sugerir a los(as) alumnos(as) más aventajados que comprueben a través de la operatoriacombinada si la propiedad asociativa se cumple para la operación de sustracción. Pero esta vezcon ejemplos concretos, es decir, que se les presente una situación en que puedan apreciar, porejemplo que 12 – 6 – 4 no es igual a 12 – (6 – 4), pero que 12 + 6 – 4 sí es igual a 12 + (6 – 4).La operatoria combinada se abordará junto a los números enteros; pero conviene, por lopronto, aclarar que, pese a algunos casos particulares, la sustracción no es asociativa.
Información para el docente• Comprobar los resultados obtenidos, si bien no constituye un algoritmo, es extremadamente
útil en el desarrollo del cálculo mental, y permite que desarrollen una capacidad de juzgar demanera rápida lo razonable o no de los resultados obtenidos.
Actividades complementarias• Dentro de los ejercicios sugeridos, guiar la actividad para que los(as) alumnos(as) presten
atención a las adiciones de grandes números terminados en cero, determinando si puedenomitirlos o no. Si es el caso, se les puede pedir realizar adiciones de grandes númerosterminados en distinta cantidad de ceros, por ejemplo: 24.500 + 15.000, comprobando quefinalmente omitan dos ceros y no tres, a agregar en el resultado final.
UNIDAD1 14/9/09 12:08 Page 25
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ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS (Páginas 32 y 33)
• Pedir a los(as) alumnos(as) que comparen si la adición 7.429 + 4.375 será mayor o menorque 3.229 + 5.210. Guiar la actividad para que los(as) alumnos(as) constaten que, en laprimera adición, el primer sumando es mayor que el primer sumando de la segunda, pero esta condición se invierte para el segundo sumando. De cualquier manera, la diferencia entrelos primeros sumandos es mucho mayor que entre los segundos sumandos, por lo que elresultado de la primera deberá ser mayor que el de la segunda (puesto que, en la primeraadición, el primer sumando es mayor que el de la primera por aproximadamente 4.000, peroel segundo sumando es menor que el de la segunda apenas por unos 1.000).
Información para el docente• El algoritmo de la división es preciso fundamentarlo con la descomposición aditiva y
utilizando la idea de que en los números naturales la multiplicación es una adición iterada deun solo sumando.
• Sugerir a los(as) alumnos(as) resolver el primer problema siguiendo exclusivamente supropia estrategia, que probablemente incluya ensayo y error, utilizando la adición. En elsegundo problema, indicar a los(as) alumnos(as) que resuelvan, aplicando las estrategiasutilizadas en el primer problema, formalizar explicitando que la adición iterada se puedeinterpretar como multiplicación, donde la búsqueda de dicho sumando repetido se realizamediante la división.
Errores frecuentes o posibles dificultades • Generalmente las dificultades en la resolución de problemas vienen de una incorrecta lectura
del mismo, o de una búsqueda precipitada de la solución, evitando pasar por el razonamientode la solución. Reforzar en los(as) alumnos la idea de comenzar a desarrollar las estrategias,insistiendo en la necesidad de plantear el problema detalladamente, sin saltarse pasos yverbalizando cada uno de ellos. La expresión concreta de las estrategias de resolución permitirádesarrollar en los(as) alumnos la capacidad para plantear los problemas de manera eficiente.
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UNIDAD 1 | GRANDES NÚMEROS
Información para el docente• Los juegos relacionados con la formación de números son diversos y permiten, de manera
lúdica y rápida, evaluar el grado de integración de los contenidos que muestran los(as)alumnos(as). En general, las estrategias o hechos que deben ocurrir para que gane uno uotro están determinados de manera bastante clara, y es un buen ejercicio para que los(as)alumnos(as) puedan determinar cuáles son estos. De esta manera permite verificar quehayan comprendido y sean capaces de aplicar los contenidos abordados, en una grandiversidad de contextos.
• Realizar algunas variantes al juego planteado. Pedir a cada jugador que lance seis veces eldado, y con esos dígitos obtenidos escriba el mayor número posible. Cada jugador tendráque hacer lo mismo, y el puntaje asignado se otorgará si han escrito el númerocorrectamente y un punto adicional al que haya escrito el número mayor.
• La síntesis de esta unidad está enfocada para que los(as) alumnos(as) relacionen los temasexpuestos en la unidad. El sistema decimal posicional induce a la descomposición aditiva yesta, a su vez, a la manera que tenemos de leer los números y los algoritmos para la adicióny la sustracción. De la misma manera, el sistema de numeración nos otorga una formaeficiente y simple de ordenar los números. La separación de contenidos obedece a unanecesidad metodológica, pero la comprensión global de este contenido precisa unaintegración acabada de cada uno de ellos.
Tareas• Al inicio de la unidad (ver texto del alumno), se expone un organizador gráfico a modo de
síntesis de la unidad. Proponer a los(as) alumnos(as) la construcción de uno propio, que lespermita poner la información en un cuadro y relacionarla. Evaluar cada formulaciónprestando atención particular a las palabras que utilizan para relacionar los conceptos delmapa, y de la capacidad que muestren para generalizar los mismos.
Errores frecuentes o posibles dificultades • Es preciso al realizar la síntesis final, guiar la actividad para que los(as) alumnos(as) no se limiten
a a utilizar solo procedimientos sin averiguar “cómo se hace”, en la tendencia de pensar quela matemática únicamente se trata de resolver problemas, prestando poca atención a lasjustificaciones y demostraciones, e incluso en contenidos tan procedimentales como eltrabajado. Lo fundamental es el pensamiento subyacente a los procedimientos, y la capacidadde relacionar los contenidos y ser capaz de reconstruirlos con sus propias palabras y esquemas.Se recomienda prestar especial atención en este aspecto.
JUEGOS Y SÍNTESIS (Páginas 34 y 35)
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| 28 |Santillana Bicentenario
IndicadorNº de
preguntaRespuesta
Criteriode logro
Remediales/ sugerencias de profundización
Leer y escribirnúmerosnaturales de másde seis cifras.
1
2
3
9
D
B
C
36.937.212
3 / 4 • Presentar ejercicios de lectura de números de 6 cifras, en los cuales tengan que representarlosnuméricamente, de forma escrita, y asociándolos asu descomposición aditiva y multiplicativa.
• Trabajar con los y las estudiantes con grandesnúmeros, en los cuales identifiquen, según sus cifras,valores posicionales. Luego, formular preguntas deequivalencias entre las posiciones de las cifras, en lascuales apliquen operaciones básicas de multiplicar ydividir. Por ejemplo, ¿5 centenas a cuántas decenasequivalen?, ¿9 centenas de mil a cuántas unidades demillón equivalen?
¿QUÉ APRENDÍ? (Páginas 38 a 41)
Comparar,ordenar yrepresentar en larecta numéricagrandes números.
4
5
B
B
2 / 2 • Presentar a los alumnos y alumnas números condistinta cantidad de cifras cada uno, para que seancomparados y, posteriormente ordenados, de formadecreciente o creciente. Es importante que logrenidentificar que un número que tiene menor cantidadde cifras es inmediatamente menor, que otro quetiene mayor cantidad de cifras.
• Trabajar con los y las estudiantes orden ycomparación de grandes números. Es importante queapliquen criterios de comparación para que el ordende los números no sea al tanteo o azaroso. Pedirlesque expliciten sus criterios de comparación, ya queen variadas oportunidades es un tanto complicadodescribirlo en papel. Otra buena estrategia deresolución, para la comparación y el orden denúmeros, es la de ubicarlos en una recta numérica.
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UNIDAD 1 | GRANDES NÚMEROS
IndicadorNº de
preguntaRespuesta
Criteriode logro
Remediales/ sugerencias de profundización
Calcularadiciones ysustracciones denúmerosnaturales;resolverproblemasque involucrenestasoperaciones yhacer cálculosque requieren lasustitución devariables pornúmeros.
7
8
10
11
13
A
A
Verdadera
Falsa
24.274.157
4 / 5 • Presentar problemas de adiciones y sustracciones, enlas cuales lo esencial sea desarrollar la mecánica delos distintos algoritmos para estas operaciones.
• Trabajar problemas escritos con informaciónpresentada en tablas o gráficos, en los cuales losalumnos y alumnas puedan interpretar estainformación, y responder preguntas que tenganrelación con resolver sumas y restas de grandesnúmeros.
Estimar yredondearnúmeros de 6cifras o más.
6
12
B
15.000.00017.000.00019.000.00020.000.00021.000.00022.000.000
2 / 2 • Trabajar con ejercicios en los cuales los y lasestudiantes deban aproximar grandes números segúnla condición dada. Por ejemplo, aproxima el número8.263.231 a la unidad de millón más cercana.
• Presentar problemas de resolución en los cuáles setenga la necesidad de aproximar grandes cantidades,y sean los mismos alumnos que aproximen segúnalgún criterio. Luego, que puedan compartir elcriterio utilizado.
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Evaluación de la unidad Material fotocopiable
NOMBRE: CURSO: FECHA:
Marca la alternativa correcta en las siguientes preguntas.
1. El número diecinueve millones cuatrocientos diecisietemil seiscientos noventa y cuatro se escribe:
A. 19.694.417
B. 190.417.694
C. 190.417.094
D. 19.417.694
2. El número 34.107.300 se lee:
A. treinta y cuatro millones ciento siete miltrescientos.
B. treinta y cuatro millones diecisiete mil tres.
C. trescientos cuatro millones ciento siete miltrescientos.
D. treinta y cuatro mil millones ciento siete miltrescientos.
3. ¿Cuál de las siguientes descomposiciones aditivas nocorresponden al número 42.816.521?
A. 4 Dmi + 2 Umi + 6 CM + 1 DM + 8 UM + 5 C +2 D + 1 U
B. 4 Dmi + 2 Umi + 8 CM + 1 DM + 6 UM + 5 C +1 D + 2 U
C. 4 Dmi + 2 Umi + 8 CM + 1 DM + 6 UM + 5 C +1 U + 2 D
D. 4 Dmi + 8 CM + 2 Umi + 1 DM + 5 UM + 6 C +2 D + 1 U
4. ¿Cuál de los siguientes números es una aproximacióna la unidad de millón del número 37.621.637?
A. 30.000.000
B. 37.621.700
C. 37.630.000
D. 38.000.000
5. ¿Cuál de estos números es el menor?
A. 3 Dmi + 2 Umi + 4 CM + 5 DM + 9 UM + 8 C+ 4 D + 1 U
B. Treinta y dos millones cuatrocientos cincuenta ynueve mil ochocientos treinta y uno.
C. 34.295.841
D. Trescientos cuatro millones cuatrocientos setentay nueve mil ochocientos cuarenta y uno.
6. ¿En cuál de las siguientes rectas está mejor representadoel número 37.468.935?
A.
B.
C.
D.
7. El resultado de la adición 27.052 + 31.032 sedescompone como:
A. 5 DM + 8 UM + 3 C + 8 D + 5 U
B. 5 DM + 9 UM + 8 D + 4 U
C. 8 DM + 5 UM + 8 D
D. 5 DM + 8 D + 4 U + 8 UM
8. ¿Cuál es el valor de “a” en la adición
74.644.075 + 21.352.4a1 = 95.996.516?
A. 4
B. 5
C. 6
D. 40
38.000.00036.000.000
38.000.00036.000.000
38.000.00036.000.000
38.000.00036.000.000
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9. Cuál de las siguientes adiciones da un resultadomayor que la suma 109.427.298 + 84.316.957
A. 100.458.210 + 77.747.942
B. 115.427.298 + 83.124.581
C. 100.408.403 + 84.776.423
D. 105.430.203 + 86.425.843
10. Si redondeamos los sumandos 583.954.049 y358.657.353 a decena de mil y luego los sumamos,el resultado de la adición es:
A. 942.600.000
B. 942.610.000
C. 942.620.000
D. 942.700.000
11. En la sustracción 568.936.853 – a = 321.834.522, elvalor de “a” es:
A. 247.102.331
B. 247.132.331
C. 273.902.331
D. 890.771.375
12. ¿Cuál de los siguientes números es el más cercano a358.579?
A. 355.879
B. 358.597
C. 358.759
D. 538.579
13. Al redondear el número 756.839, ¿a qué cifradebemos redondearlo si se quiere obtener unnúmero menor que él?
A. A la decena.
B. A la centena.
C. A la unidad de mil.
D. A la decena de mil.
14. ¿Cuál de los siguientes números es el único que puedeestar representado por el punto en la siguiente rectanumérica?
A. 30.003
B. 32.750
C. 33.100
D. 33.500
15. Selecciona de las siguientes proposiciones, la únicaverdadera.
A. Al redondear un número, siempre se obtiene otromayor que él.
B. Si un número es menor que otro, cada cifra delmayor siempre es mayor que la cifracorrespondiente del menor.
C. Si un número tiene más cifras que otro, siemprees mayor que este.
D. Al dividir la recta para ubicar números, lasdivisiones siempre representan una unidad.
16. ¿Cuál de estos números no es un correcto redondeode 357.653?
A. 357.660
B. 357.700
C. 358.000
D. 360.000
17. ¿Cuál de los siguientes números es el menor númeromayor que 563.368?
A. 563.367
B. 563.371
C. 563.386
D. 564.369
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| 32 |Santillana Bicentenario
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serv
aci
on
es
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Esquema de la unidad
Información para el docente• Para comenzar esta unidad, recordar con los alumnos y alumnas la necesidad de utilizar la
multiplicación en la resolución de problemas como una forma de representar la iteración de unamedida. Por otra parte, plantear problemas de división sobre la base de una medida ysituaciones de reparto equitativo.
• En las páginas de inicio, ayudar a los alumnos y alumnas a resolver los ejercicios planteadosguiándolos a utilizar operaciones multiplicativas en vez de aditivas. Por ejemplo, en el ejercicio 1,lo más probable es que los y las estudiantes sumen las dos tarifas y luego las multipliquen por 5(o 7, ya que se habla de una semana pero no se especifica si son solo días hábiles o no).Indicarles que un procedimiento equivalente es multiplicar la tarifa por 2 y luego por 5, o bien,más fácil es multiplicar la tarifa por 10. Estos ejemplos le entregaran a los alumnos y alumnasdistintas estrategias de cálculo que les permitirán comprobar propiedades de la multiplicación yprofundizar en esta operación aritmética, que es el objetivo de esta unidad.
Actividades complementarias• Preguntar a los alumnos y las alumnas cómo se pueden obtener las posibles recargas de la tarjeta
Bip, es decir, cómo se obtienen los múltiplos de 500, y que los expresen como multiplicaciónanalizando la regularidad existente.
PÁGINAS DE INICIO (Páginas 44 y 45)
Sugerencias metodológicas
mcd Números
Conmutatividad Asociatividad Distributividad
Factorización
Métodos para multiplicar
Criterios de divisibilidad
Resolución de problemas
mcm
DIVISORESMÚLTLIPOS
Relación entre multiplicación y divisiónPropiedades de la multiplicación
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IndicadorNº de
preguntaRespuesta
Logradocon
Remediales/ sugerencias de profundización
Expresarmultiplicacionescomo sumasiteradas.
1
2
3
4
4 · 4 = 16
3+3+3+3+3+3+3 = 21
9+9+9+9+9+9=54
6 · 5 = 30
2 / 4 • Realizar ejercicios en donde los(as) alumnos(as)traduzcan una multiplicación a una suma iterada. Y también viceversa, ejercicios en los cuales debantraducir una suma iterada a una multiplicación.
• Realizar ejercicios en donde los alumnos y las alumnasdeban completar con la multiplicación representada ocon la suma iterada correspondiente combinandoambos procesos en un mismo problema.
Determinar elfactor que falta enuna multiplicación.
5
6
7
8
9
10
7
8
8
10
10.000
40
4 / 6 • Realizar ejercicios en donde los alumnos y lasalumnas deban escribir la multiplicación asociada a ladivisión, y viceversa.
• Realizar ejercicios en donde los y las estudiantesdeban encontrar el factor que falta en unamultiplicación, en multiplicaciones de dos factores, detres factores y hasta cuatro factores.
Calcular el valor dedivisionesexpresadas enlenguaje común.
11
12
13
14
64
25
60
390
2 / 4 • Realizar ejercicios en donde los y las estudiantes debantraducir del lenguaje común una división y luegocalcularla, comenzar con divisores simples: 2, 3, 4, etc.
• Realizar ejercicios en donde los y las estudiantesdeban traducir divisiones sucesivas del lenguajecomún y luego calcularlas, por ejemplo, la mitad de latercera parte de 12.
Resolverproblemas queinvolucranmultiplicaciones odivisiones.
21
22
$ 4.800
$ 5.970
$ 1.600
$ 1.990
1 / 2 • Realizar ejercicios en donde los alumnos y las alumnasdeban calcular multiplicaciones o divisiones; porejemplo, completando una lista de precios, es decir,cada huevo cuesta $ 85, cuánto cuestan 5, 10, 15, etc.
• Realizar ejercicios en donde los y las estudiantesdeban encontrar factores o divisores en problemascontextualizados; por ejemplo, si 10 huevos cuestan$ 850, cuánto cuesta cada huevo, o si tengo $ 1.000para cuántos huevos me alcanza, etc.
¿QUÉ RECUERDO? (Páginas 46 y 47)
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Información para el docente• En algunos textos se incluye el cero como parte de los factores naturales que generan los
múltiplos de un número. Existe una discusión muy antigua acerca de si el cero pertenece o noa los naturales, que no le daremos solución en estas páginas, de ser considerado un natural,sería múltiplo de cualquier número.
• Al definir múltiplo de un número, podría ser conveniente dar una definición multiplicativaademás de la dada en el texto para generar una relación entre los conceptos y lasoperaciones, ya que la división se produciría solo para comprobar si un número es múltiplode otro. Por lo tanto, se le recomienda al docente apoyar esta definición explicando de queun número es múltiplo de otro si es el resultado de la multiplicación de este por otro número.
Actividades complementariasRealizar ejercicios en donde los alumnos y las alumnas analicen regularidades y obtenganconclusiones como las siguientes.
1. Los múltiplos de 10 siempre terminan en 0.
2. Los múltiplos de 5 siempre terminan en 0 ó 5.
3. Si un número es múltiplo de 2, entonces es un número par.
Información para el docente• Una primera conclusión que se podría deducir junto con los alumnos y las alumnas es que
los divisores no son infinitos como los múltiplos, y que tampoco tienen relación con el“tamaño del número” en cuestión. Es decir, a mayor número no necesariamente hay mayorcantidad de divisores, por ejemplo, el número 18 tiene seis divisores y el número 25 tienesolo cuatro divisores.
• Es posible que surja la inquietud acerca de si el 0 es divisor de un número o no. Laconclusión es la siguiente; 0 no divisor de ningún número natural, ya que no podemos dividir
MÚLTIPOS DE UN NÚMERO NATURAL (Páginas 48 y 49)
DIVISORES DE UN NÚMERO NATURAL (Páginas 50 y 51)
Errores frecuentes o posibles dificultades • En el caso de las sumas iteradas, analizar con los alumnos y las alumnas las dos maneras de
escribir una multiplicación: si se escribe primero el factor que se repite y luego el que indicalas veces que se repetirá, o viceversa. Lo mismo ocurre cuando les planteamos queidentifiquen el producto en un arreglo bidimensional: ¿es filas por columnas o columnas porfilas? La idea no es confundirlos con respecto al resultado, sino que identifiquen el ordenen que se les está pidiendo la expresión. Si deben representar un arreglo de 5 x 4, no eslo mismo una representación con 5 filas y 4 elementos cada una, que una de 4 filas con 5 elementos cada una, son representaciones diferentes pero con la misma cantidad deelementos.
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por 0 en los naturales (mostrar ejemplo � 4 : 0 ó 12 : 0, son divisiones que no se puedenresolver), y todos los naturales son divisores de 0 ya que 0, dividido en cualquier número es0 (mostrar ejemplos�0 : 6 = 0 ó 0 : 18 = 0, son divisiones cuyo cociente es siempre 0).
Actividades complementariasCompletar con las siguientes frases, según corresponda: “es múltiplo de” o “es divisor de”.
1. 5 __________________ 15
2. 6 __________________ 2
3. 36 __________________ 12
4. 24 __________________ 48
5. 18 __________________ 36
Información para el docente• En el proceso de construcción de la criba de Eratóstenes, para encontrar los números
primos menores que 50, analizar con los alumnos y las alumnas por qué no fue necesarioeliminar los múltiplos de 4 y de 6, para que se den cuenta de ciertas regularidades en losmúltiplos de los números y, que son pasos previos para las reglas de divisibilidad que se veránmás adelante en esta unidad.
- No fue necesario eliminar los múltiplos de 4, ya que un múltiplo de 4 será siempre unnúmero par o múltiplo de 2, y estos ya fueron eliminados.
- No fue necesario eliminar los múltiplos de 6, ya que un múltiplo de 6 será siempre unnúmero divisible por 2 y 3 a la vez, y estos ya fueron eliminados.
• Los números primos son la esencia de los números naturales. Todos los demás númerospueden construirse desde la factorización única de números primos. No existe modo deanticipar la distribución de estos números como secuencia regular y han existido muchosintentos para predecir su aparición. Nadie ha podido establecer un patrón claro paradescribirlos. Pero sí se ha llegado a variadas propiedades que cumplen estos números, resultadode la investigación de muchos matemáticos. A continuación mencionamos algunas de ellas.
- En el año 300 a. C., se demostró que los números primos, subconjunto de los númerosnaturales, son infinitos (Euclides).
- Si p es un número primo y divisor del producto de números enteros ab, entonces p esdivisor de a o de b (Euclides).
- Si n es un número natural, entonces siempre existe un número primo p tal quen < p < 2n. (Bertrand).
- En toda progresión aritmética an = a + nq, donde los enteros positivos a, q ≥1son primosentre sí, existen infinitos números primos (Dirichlet).
- Si p es primo y a es algún número natural diferente de 1, entonces ap - a es divisible por
p (Fermat).
- Un número p es primo, el factorial (p - 1)! + 1 es divisible por p (Wilson).
NÚMEROS PRIMOS Y FACTORIZACIÓN PRIMA (Páginas 52 y 53)
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Errores frecuentes o posibles dificultades • Los alumnos y las alumnas tienden a pensar que los números primos son siempre impares.
Darles el contraejemplo del número 2, o bien de números impares que no son primos. Porotro lado, enfatizar que el número 1 no es considerado un número primo. El creer que elnúmero 1 es primo, puede llevar a confusiones como: “los números primos tienen dosdivisores y el número 1 tiene solo un divisor”.
• En general, es difícil identificar si un número es primo o no, por lo tanto, lo será aun más paraun alumno que esta recién familiarizado con este concepto. Se propone utilizar comoestrategia: que primero identifiquen si el número es divisible o no por algún número naturalmenor que 10 (aplicando los criterios de divisibilidad que revisaran en las páginas que vienen).Si es divisible por alguno de estos números, que no sea el 1, entonces no es un número primo.Los criterios de divisibilidad son muy útiles para identificar si un número es primo o no.
Actividades complementarias• Para la siguiente actividad se propone trabajar en parejas. El objetivo es que los alumnos y
las alumnas representen distintos números en arreglos de puntos y decidan cuáles de ellosson primos o no, según este criterio.
El modelo geométrico que se puede usar para mostrar si un número es primo o no esrepresentarlo como un arreglo de puntos.
- Si el número es primo la representación se reducirá a una hilera de puntos,
- si el número no es primo el arreglo formará un rectángulo de puntos.
Ejemplos
El número 5, representado en arreglo bidimensional corresponde a �•••••
Como su arreglo puede ser representado solo en una fila o hilera decimos que el número5 es primo.
El número 8, representado en arreglo bidimensional corresponde a �
Como su arreglo puede ser representado en un rectángulo, decimos que el número 8 noes primo.
Completa los recuadros de cada factorización prima.
• Las siguientes actividades se proponen para profundizar con los y las estudiantes.Para averiguar si un número es primo, se divide por los números primos 2, 3, 5, 7, 11,... hastallegar a una división cuyo cociente sea menor o igual que el divisor. Si todas las divisionestienen resto distinto de cero, el número propuesto es un número primo. Responde: 1. Averigua si los números 101, 131, 141 y 151 son números primos siguiendo este
procedimiento.
48
6
2
36
12
3
••••••••
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Información para el docente• Se recomienda al docente deducir junto con los y las estudiantes los criterios de divisibilidad
de 2, 3, 5 y 10 poniendo listas de múltiplos (no correlativos y considerando númerosgrandes) y buscar las regularidades que se presentan en cada una de las listas. Así se generaun conocimiento más profundo de cada una de las reglas y los alumnos y las alumnas notendrán que recurrir solo a la memoria para aprenderlas.
• Los criterios de divisibilidad tienen como objetivo predecir si un número es múltiplo deotro, o lo que es lo mismo, si es divisible por ese número, sin necesitar realizar la divisiónpara comprobarlos. El problema es que algunos de los criterios son bastante complejos ydifíciles de memorizar por lo que muchas veces es más útil realizar la división. De todasformas los criterios de divisibilidad que deseamos que nuestros estudiantes conozcan y seaprendan son los criterios de divisibilidad de 2, 3, 4, 6, 8, 9 y 10. Los criterios de divisibilidadpara números como el 12, 15, 18 y 24 se basan en los anteriores.
• A continuación enunciaremos criterios de divisibilidad más complejos, como ejemplo a lomencionado anteriormente.
Criterio de divisibilidad por 7.
1º Multiplicar por 2 la cifra de las unidades y el resultado se resta al número que formanlas cifras restantes.
2º Este proceso se repite hasta que la diferencia esté formada por una o dos cifras.
3º Si estas cifras son cero o forman un número múltiplo de 7, el número inicial es divisible por 7.
Ejemplo
Verificar si el número 7.861 es divisible por 7.
Se tiene el número 7.861
1º 786 – 2 · 1 = 784
2º 78 – 2 · 4 = 70
3º Como 70 es múltiplo de 7, podemos decir que, 7.861 es divisible por 7.
Criterio de divisibilidad por 11.
1º Sumar las cifras (del número) en posición impar por un lado y las de posición par por otro.
2º Restar el resultado de ambas sumas obtenidas.
3º Si el resultado es cero (0) o un múltiplo de 11, el número es divisible por este.
Ejemplo
Verificar si el número 1.353 es divisible por 11.
Se tiene el número 1.353.
1º Suma de cifras impares � 3 + 3 = 6
Suma de cifras pares � 5 + 1 = 6
2º Resta de sumas anteriores � 6 – 6 = 0
3º Como el resultado anterior es 0, el número 1.353 es divisible por 11.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD (Páginas 54 y 55)
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Actividades complementarias1. En grupos de 2 ó 3 alumnos, deduzcan los criterios de divisibilidad de los números 25 y 100.
2. Completar con el número que falta para que el número sea divisible por 3.
a. X 2 9 9
b. 2 X 3 9
c. 9 4 X 1
3. Completar con el número que falta para que el número sea divisible por 6.
a. X 6 5 6
b. 4 X 24
c. 4 1 X 2
4. Completar con el número que falta para que la cifra sea divisible por 8.
a. 5 X 0 0
b. 6 X 8 0
c. 7 2 X 8
d. 3 3 2 X
5. Verificar si el siguiente criterio de divisibilidad corresponde al criterio para que unnúmero sea divisible por 7.
1º Para números de 3 cifras. Al número formado por las dos primeras cifras se le resta la última
multiplicada por 2. Si el resultado es múltiplo de 7, el número original también lo es.
2º Para números de más de 3 cifras. Dividir en grupos de 3 cifras y aplicar el criterio de arriba
a cada grupo. Sumar y restar alternativamente el resultado obtenido en cada grupo y
comprobar si el resultado final es un múltiplo de 7.
Errores frecuentes o posibles dificultades• Las posibles dificultades de este objetivo es que los alumnos y las alumnas no logren
recordar los criterios de divisibilidad, por lo tanto, es muy importante que de alguna manera,
a través de las regularidades, logren deducirlas o puedan reconocer cómo fueron
construidas, y así lograr un apropiamiento más efectivo. Pero, por otra parte, el objetivo no
es solamente que las memoricen, sino que también es importante que puedan aplicarlas, por
lo tanto, el docente debe evaluar este objetivo, por ejemplo, dando el criterio de divisibilidad
del número 11 y que lo apliquen en determinados números.
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IndicadorNº de
preguntaRespuesta
Logradocon
Remediales/ sugerencias de profundización
Identificar yobtener múltiploso divisores de unnúmero.
1
2
3
4
11
12
13
C
C
A
C
4
20
12
2 / 7 • Realizar ejercicios en donde los alumnos y lasalumnas determinen los múltiplos de un númeromenores que cierto valor. Realizar ejercicios endonde determinen todos los divisores de unnúmero.
• Realizar ejercicios en donde los y las estudiantesdeban obtener múltiplos y divisores comunes entredos números.
Identificarnúmeros primosy obtener lafactorizaciónprima de unnúmero.
5
6
7
D
D
C
2 / 3 • Realizar ejercicios en donde los y las estudiantesdeban identificar si un número es primo o compuesto(números menores que 50). Realizar ejercicios endonde deban descomponer números menores que50 en factores primos.
• Realizar el mismo tipo de ejercicio anteriormentemencionado pero con números mayores a 50.
Comprender yaplicar algunoscriterios dedivisibilidad.
8
9
10
B
C
C
2 / 3 • Realizar ejercicios en los cuales los alumnos y lasalumnas deban analizar la divisibilidad de distintas cifras.
• Realizar ejercicios en donde los y las estudiantes debanbuscar cifras que sean divisibles por valores dados.
¿CÓMO VOY? (Páginas 56 y 57)
Información para el docente• El siguiente método, para obtener el mínimo común múltiplo, considera contenidos
matemáticos que no son contenidos mínimos obligatorios de este nivel, como las potencias.De todas formas se propone al docente manejar varias estrategias de obtención del mcm.Una forma muy útil de obtener el mínimo común múltiplo (mcm) es usando la factorizaciónprima de los números.
1º Se expresan los números en factores primos.
2º Se multiplican todos los factores primos comunes y no comunes elevados al mayorexponente.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (Páginas 58 y 59)
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Ejemplo
Obtener el mcm entre 12, 18 y 36.
12 = 22 · 3
18 = 2 · 32
21 = 3 · 7
mcm(12, 18, 36) = 22 · 32 · 7 = 8 · 9 · 7 = 252
Luego, el mcm entre 12, 18 y 36 es 252.
• Comentar a los alumnos y las alumnas que si dos números (primos o compuestos) no tienendivisores comunes distintos al 1, por ejemplo 35 y 12, se les llama coprimos y el mínimocomún múltiplo es el producto de ellos.
• Es muy importante que los alumnos aprendan a calcular el mínimo común múltiplo de ungrupo de números, ya que esta es una herramienta básica para la adición y sustracción defracciones, y por otra parte, será la base para resolver expresiones y ecuaciones fraccionarias.
Actividades complementariasResponde las siguientes preguntas obteniendo el mcm.
1. Tres aviones salen del aeropuerto de Santiago en las siguientes frecuencias, el primerocada 12 horas, el segundo cada 18 horas y el tercero cada 30 horas. Si los tres salen a lamisma hora:
a. ¿en cuánto tiempo volverán a partir juntos?b. ¿Cuántas veces habrá despegado cada uno antes de que vuelvan a coincidir?
2. Tres avisos luminosos encienden sus luces así: el primero cada 6 segundos, el segundocada 9 segundos y el tercero cada 15 segundos. A las 7 de una noche se enciendensimultáneamente los tres avisos. ¿Cuántas veces coinciden encendidos los avisos en los 9 minutos siguientes?
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UNIDAD 2 | MÚLTIPLOS Y DIVISORES
Información para el docente• Otro método para obtener el máximo común divisor (mcd) es usando la factorización
prima.
1º Se expresan los números en sus factores primos.
2º Se eligen los factores comunes con el menor exponente.
3º El producto de la multiplicación entre los factores primos comunes elevados al menorexponente corresponde al máximo común divisor.
Ejemplo
Obtener el mcd de 12, 18 y 21.
12 = 22 · 3
18 = 2 · 32
21 = 3 · 7
mcd(12, 18, 21) = 3
Luego, el mcd entre los números es 3.• El máximo común divisor entre dos números primos o coprimos es 1, comentar esto con los
alumnos y las alumnas para que ellos utilicen este resultado como una estrategia más paraencontrar el mcd.
Errores frecuentes o posibles dificultades • Un error frecuente es que los alumnos y las alumnas busquen el “mínimo común divisor”,
confundiéndose con el “mínimo común múltiplo”. Hacer hincapié en que el mínimo comúndivisor entre dos números siempre es el 1, por lo tanto, no tiene sentido buscarlo. Muchas vecesbuscan cualquier divisor común, pero no se preocupan de si es el máximo o no, al realizarejemplos de la vida cotidiana en donde es necesario encontrar el mcd los alumnos y alumnastoman conciencia de por qué se busca este valor y por qué es necesario que sea el máximo.
Actividades complementariasResolver los siguientes ejercicios.
1. En la reunión de un grupo de scout, los participantes aprenderán a realizar nudos. Felipedebe llevar trozos de cordel, y en su casa encuentra uno de 90 cm y otro de 54 cm. Conese material necesita cortar trozos de igual longitud y lo más largos posible.
a. ¿Cuántos trozos de cada uno obtiene?
b. ¿Cuántos centímetros mide cada trozo?
2. Un carpintero necesita varios trozos de listones de madera de igual longitud. Le interesaque tengan la máxima longitud posible y que no sobre ningún pedazo. El carpintero tieneun listón de 72 cm y de 48 cm.
a. ¿Cuántos listones de cada uno obtiene?
b. ¿De qué longitud le resultará cada trozo?
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (Páginas 60 y 61)
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Información para el docente• El objetivo de esta página, es que los alumnos logren establecer la relación de reversibilidad
entre la multiplicación y la división. Para lo anterior, es necesario que reconozcan la relaciónentre los valores involucrados en ambas operaciones, utilizando dicha relación paracomprobar los resultados.
RELACIÓN ENTRE MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN (Página 65)
Información para el docente• El objetivo de este contenido es mostrar a los alumnos y las alumnas que existen variados
procedimientos para multiplicar, con el mismo fin, y que la utilización de cada uno de ellostiene que ver con facilitar el cálculo. Los y las estudiantes deben lograr reconocer cuál delos métodos es más adecuado en ciertas multiplicaciones; por ejemplo, el método de laslíneas pierde toda utilidad a la hora de multiplicar números de 4 cifras o más, el dibujo secomplicaría bastante y lo más probable es que se confundirían en el procedimiento. Porotra parte, es importante que los alumnos y las alumnas reconozcan propiedades de lamultiplicación en cada uno de los métodos, para que no piensen que es algo “mágico” odemasiado arbitrario. Para esto, el docente puede comparar los pasos del nuevo métodocon el ya conocido. En el caso del método de líneas, la explicación puede ser más simpleporque es gráfica, ya que la intersección de las líneas forma arreglos, es decir, representalas multiplicaciones por arreglos bidimensionales.
Actividades complementariasResuelve los siguientes ejercicios.
1. En el fundo Santa Rosa existen 19 corrales, cada uno con 24 animales. ¿Cuántos animaleshay en total?
2. Del total de animales calculados en el ejercicio anterior, la mitad son vacas que producen36 litros de leche diarios. ¿Cuántos litros de leche se producen al año?
3. Según la pregunta anterior, los litros de leche producidos se distribuyen a lo largo del país.En la zona norte se vende cada litro en $ 500, en la zona central se vende a $ 550, y enla zona sur a $ 510. ¿Cuánto gana el fundo Santa Rosa en cada zona por toda la lecheproducida?
MÉTODOS PARA MULTIPLICAR (Páginas 62 a 64)
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UNIDAD 2 | MÚLTIPLOS Y DIVISORES
Información para el docente• Cuando se quiere plantear a los alumnos y las alumnas situaciones de la vida cotidiana
aplicando de la conmutatividad de la multiplicación, hay que tener mucho cuidado en cómose formula la pregunta, porque si no el carácter conmutativo resulta poco claro. Por ejemplo,si tengo 6 chalecos y debo pegar 4 botones en cada uno, ¿cuántos botones necesito? Tengo4 chalecos, pego 6 botones en cada uno, ¿cuántos botones usé? Aquí la respuesta es lamisma, pero las situaciones son diferentes (los chalecos se verán distintos en cada caso) yesto hace que la conmutatividad de la multiplicación adquiera un carácter muy “misterioso”,para el pensamiento del alumno (¿cómo puede ser que 4 grupos de 6 botones sea lo mismoque 6 grupos de 4 botones?). Por lo tanto, la única forma de plantear claramente unasituación cotidiana es cambiando la redacción de pregunta, es decir: si debo pegar 4 botonesen 6 chalecos, ¿cuántos botones necesito?
• Sería conveniente trabajar la distributividad de la multiplicación sobre la sustracción comouna propiedad derivada de la distributividad con respecto a la adición.
Actividades complementarias• Realizar ejercicios en donde los alumnos y las alumnas comprueben que la división no es
conmutativa.
• Realizar ejercicios en donde los alumnos comprueben que la sustracción no es conmutativani asociativa.
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES (Páginas 66 y 67)
Errores frecuentes o posibles dificultades • Si los alumnos no recuerdan los nombres asignados a los elementos de una multiplicación
(factores y producto) y de la división (dividendo, divisor, cociente y resto) puedenpresentar dificultad para comprender esta página. Para evitar confusiones, se recomiendaque previamente se realice un repaso.
Actividades complementariasResuelve los siguientes ejercicios y luego comprueba.
1. En el fundo Santa Rosa se cultivan naranjos. Este año se cosecharon 8.928 naranjas y sedeben envasar en mallas de 9 naranjas cada una. ¿Cuántas mallas se logran llenar?
2. Las mallas deben ser embaladas en cajas. En cada caja alcanzan 8 mallas de naranjas.¿Cuántas cajas deberán embalarse según la cosecha total de naranjas de la preguntaanterior?
3. Para trasladar las cajas se utilizan buses que pueden transportar hasta 10 cajas. ¿Cuántosbuses necesitará el fundo Santa Rosa para transportar todas las cajas de naranjas?
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Información para el docente• En el primer ejercicio se utiliza el método de factorización prima para calcular el mcm y el
mcd, comentado en la sección INFORMACIÓN PARA EL DOCENTE cuando se trabajó concada contenido. Se le recomienda al docente, concretar este procedimiento (que los alumnosy las alumnas lo escriban en su cuaderno como otro método para calcular el mcm y mcd) yejercitarlo, ya que podría pasar desapercibido en estas páginas. Recordar que estos métodospueden ser explicados o no con potencias.
• Es importante realizar ejercicios de la vida cotidiana donde tome sentido el cálculo del mcmy mcd, para que el alumno logre un aprendizaje más significativo de este conocimiento. Alresolver estos problemas, darles la libertad de que utilicen el método de cálculo que más lesacomode.
Actividades complementariasResuelve los siguientes ejercicios.
1. La señora María debe comprar la colación para sus 8 hijos. A cada uno le comprará unaleche con una barra de cereal. La leche cuesta $ 350 y la barra de cereal, $ 150. ¿Cuántogastará en total? Aplica la propiedad distributiva para realizar los cálculos y señala en cuálde ellos el cálculo fue más fácil.
2. La señora María debe pagar el tratamiento dental del menor de sus hijos. Estetratamiento consiste en 5 sesiones. Con el descuento de la isapre el valor de cada sesiónqueda en $ 1.000 pesos, pero además debe pagar $ 500 pesos por el laboratorio, queno lo cubre la isapre, por las mismas 5 sesiones. Calcula cuánto debe pagar la señoraMaría aplicando la propiedad distributiva.
• Se propone trabajar con los alumnos y alumnas la siguiente actividad para profundizar en elcontenido.
Aplicando la propiedad distributiva, si a = 3 y (b + c) = 8, ¿cuál es el resultado de (a • b + a • c)?
EJERCICIOS RESUELTOS (Páginas 68 y 69)
Información para el docente• Comentar a los alumnos y las alumnas que la parte esencial de la estrategia para resolver estos
problemas, es cómo identificar que debemos buscar el mcd, y esto se hace relacionando lapregunta con la acción de repartir: repartir integrantes en grupos, repartir mostacillas enanillos, repartir dulces en bolsas; y lo más importante, cada grupo, cada anillo y cada bolsadebe tener “la misma cantidad” de integrantes, mostacillas y dulces, y no debe sobrar ningunapersona, ninguna mostacilla y ningún dulce.
ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS (Páginas 70 y 71)
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UNIDAD 2 | MÚLTIPLOS Y DIVISORES
Información para el docente• Además de las preguntas que aparecen en el texto, el docente podría agregar las siguientes:
a. La factorización prima, ¿para qué otros cálculos sirve?
b. ¿En qué situaciones de la vida cotidiana es necesario buscar el mcm? Da un ejemplo.
c. ¿En qué situaciones de la vida cotidiana es necesario buscar el mcd? Da un ejemplo.
JUEGOS Y SÍNTESIS (Páginas 72 y 73)
Información para el docente• Las preguntas tipo SIMCE deben estar orientadas a que los y las estudiantes reconozcan
una situación de la vida cotidiana que se traduzca en una situación multiplicativa o dereparto, logren expresar la operación y luego utilicen un método de cálculo escrito omental para encontrar la solución.
A continuación más preguntas tipo SIMCE.
1. Un jardín tiene 14 hileras. Cada hilera tiene 20 plantas. Luego, el jardinero planta 6 hileras más con 20 plantas en cada hilera. ¿Cuántas plantas en total hay ahora?(Pregunta abierta TIMSS 2003)
2. Los profesores del Colegio El Parque tienen planeado mandar 6 boletines informativosal año a cada una de las 620 familias con niños en el colegio. Cada uno de los boletinesinformativos necesita 2 hojas de papel. El papel se vende en resmas de 500 hojas. ¿Cuáles el número mínimo de resmas de papel necesarias para imprimir el boletín del colegiodurante un año? (Pregunta abierta TIMSS 2003)
PREGUNTAS TIPO SIMCE (Páginas 74 y 75)
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| 48 |Santillana Bicentenario
IndicadorNº de
preguntaRespuesta
Criteriode logro
Remediales/ sugerencias de profundización
Identificarmúltiplos odivisores de unnúmero.
1
2
13
D
B
3, 6, 9, 12, 15,
18, 24, 30 y 36
2 / 3 • Realizar ejercicios en donde los alumnos y lasalumnas deban obtener múltiplos y divisores dediferentes números hasta un determinado valor.
• Realizar ejercicios en donde los alumnos y lasalumnas analicen los conceptos de múltiplos odivisores y deban decir si un número es múltiplo odivisor de otro. Realizar ejercicios en los cualesdeban obtener múltiplos y divisores comunes dedos o más números.
¿QUÉ APRENDÍ? (Páginas 76 a 79)
Identificarnúmeros primosy compuestos, ycalcular lafactorizaciónprima de unnúmero.
3
4
10
11
12
A
D
V
V
F
3 / 5 • Realizar ejercicios en donde los y las estudiantesdeban identificar si un número es primo ocompuesto según la definición de número primo.Realizar ejercicios en los cuales deban escribir lafactorización prima de números de 2 cifras.
• Realizar ejercicios en donde los y las estudiantesdeban escribir la factorización prima de números de3 o más cifras.
Comprender yaplicar algunoscriterios dedivisibilidad.
14
15
5, 10, 15, 20,
25 y 30
10, 20 y 30
1 / 2 • Realizar ejercicios en donde los y las estudiantesdeban reconocer si un número es divisible por 2, 3 ó5, incluyendo números hasta 3 cifras.
• Realizar ejercicios en donde los alumnos y lasalumnas deban reconocer si un número es divisiblepor 4, 6 u 8, incluyendo números hasta 3 cifras.
Calcular mcm omcd entre 2 omás números, yutilizarlos en laresolución deproblemas.
5
6
7
B
B
C
2 / 3 • Realizar ejercicios en donde los alumnos y lasalumnas deban obtener el mcm y el mcd en gruposde 2 ó 3 números.
• Realizar ejercicios en donde los alumnos y las alumnasdeban resolver problemas de la vida cotidiana endonde la solución sea obtener el mcm y mcd.
UNIDAD2 14/9/09 12:15 Page 48
| 49 |
UNIDAD 2 | MÚLTIPLOS Y DIVISORES
IndicadorNº de
preguntaRespuesta
Criteriode logro
Remediales/ sugerencias de profundización
Resolverproblemasusandoprocedimientos ypropiedades delas operaciones.
8
9
16
17
C
C
2, 5, 6 ó 2, 3,
10 ó 4, 3, 5
367
3 / 4 • Realizar ejercicios en donde los y las estudiantesdeban aplicar alguno de los métodos demultiplicación y división vistos en la unidad pararesolver multiplicaciones y divisiones de números,en el rango de cifras estudiado.
• Realizar ejercicios en donde los alumnos y lasalumnas deban resolver problemas de la vidacotidiana en donde la solución sea calcularmultiplicaciones y divisiones con algún método decálculo escrito, aprendido en esta unidad.
Resuelve los siguientes ejercicios.
1. Camila está trabajando en una tienda de música, y le piden hacer un inventario de losCD existentes. Para no tener que contarlos, ella observa que los CD están agrupados enla estantería en grupos de 12 y 36 y no sobra ninguno. Si los reagrupa de 14 CD, sobran4. Hay más de 200 y menos de 400. ¿Camila podrá calcular cuántos CD hay? Si larespuesta es afirmativa, ¿cuántos hay?
2. La señora María está preparando sorpresas para el cumpleaños de su hija. Tiene querepartir en las sorpresas 36 juguetes, 27 chocolates y 45 lápices. Quiere preparar lacantidad máxima posible de sorpresas y poner en cada una de ellas la misma cantidad dejuguetes, la misma cantidad de chocolates y la misma cantidad de lápices.
a. ¿Cuántas sorpresas puede preparar?
b. ¿Cuántos juguetes puede poner en cada una?
c. ¿Cuántos chocolates?
d. ¿Cuántos lápices?
Resuelve los siguientes ejercicios ocupando los criterios de divisibilidad (el docentedebe dar los criterios).
1. ¿Cuánto hay que restarle a 100 para que resulte un múltiplo de 7?
2. ¿Cuál es el múltiplo de 13 más cercano a 200?
3. ¿Cuál es el resto en la división por 10 de 12.345?
4. ¿Cuál es el resto en la división por 100 de 1.823.482.752.337?
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO Y PROFUNDIZACIÓN (Páginas 80 y 81)
UNIDAD2 14/9/09 12:15 Page 49
| 50 |Santillana Bicentenario
Evaluación de la unidad Material fotocopiable
NOMBRE: CURSO: FECHA:
Marca la alternativa correcta en las siguientes preguntas.
1. Los múltiplos de 14 son:
A. 1, 2, 7 y 14.
B. 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 y 14
C. 0, 1, 2, 7 y 14.
D. 0, 14, 28, 42, 56, …
2. Los divisores de 32 son:
A. 2, 4, 8 y 16
B. 1, 2, 4, 8 y 16
C. 1, 2, 4, 8, 16 y 32
D. 0, 1, 2, 4, 8, 16 y 32
3. El mínimo común múltiplo entre 6, 12 y 18 es:
A. 6
B. 18
C. 24
D. 36
4. Para obtener el mínimo común múltiplo entre 7 y 13el cálculo más directo es:
A. descomponer en factores primos.
B. multiplicar ambos números, porque ambos sonprimos.
C. listar los divisores de cada uno y encontrar eldivisor común.
D. No se calcula nada, porque siempre es 1.
5. Felipe debe tomar un medicamento cada 6 horas,tomar un jarabe cada 8 horas y ponerse una cremacada 12 horas. Si inicia el tratamiento a las 8 de lamañana, ¿a qué hora coincidirán los medicamentosnuevamente?
A. a las 18 horas.
B. a las 12 horas.
C. a las 24 horas.
D. a las 36 horas.
6. El máximo común divisor entre 18 y 24 es:
A. 1
B. 6
C. 9
D. 12
7. El 5º A tiene 28 estudiantes y el 5º B tiene 42.Ambos cursos participarán en un campamento deverano, por lo que es necesario organizarlos engrupos que tengan el mismo número de integrantesde cada curso. ¿Cuántos integrantes deberán tenercada grupo?
A. 7 integrantes.
B. 14 integrantes.
C. 21 integrantes.
D. 28 integrantes.
8. ¿Cuál es el factor que falta en 95 · = 855
A. 8
B. 5
C. 7
D. 9
UNIDAD2 14/9/09 12:15 Page 50
| 51 |
9. El número 18 descompuesto en factores primos esigual a:
A. 2 · 2 · 3 · 3
B. 2 · 3 · 3
C. 1 · 2 · 3 · 3
D. 2 · 3 · 2
10. ¿Cuál de las siguientes listas de números representasolo números primos?
A. 2, 3, 4, 5, 6
B. 5, 6, 7, 8, 9
C. 2, 3, 5, 7, 11
D. 1, 2, 3, 5, 7, 11
11. Si un número es divisible por 1 y por sí mismo,entonces el número es:
A. compuesto.
B. par.
C. impar.
D. primo.
12. ¿Cuál de los siguientes números es divisible por 2, 5 y10 a la vez?
A. 2.255
B. 2.555
C. 5.550
D. 5.552
13. Un número divisible por 2 y 3 es a la vez es:
A. divisible por 4.
B. divisible por 9.
C. divisible por 10.
D. divisible por 6.
14. Una caja de chocolates cuesta $ 1.590 y cada unatrae 20 chocolates. Si hay que comprar 80 chocolates,¿cuánto dinero se necesita?
A. $ 6.260
B. $ 6.360
C. $ 6.370
D. $ 6.380
15. Dos pesos argentinos equivalen a 1 dólar y 1 dólarequivale a $ 660 aprox. ¿A cuántos pesos equivalen3.270 pesos argentinos?
A. $ 979.100
B. $ 1.079.100
C $ 1.179.100
D. $ 1.1279.100
16. Para el paseo de fin de año se contratan buses conuna capacidad para 41 personas. Si deben contratar13 buses y en uno de ellos sobran 13 asientos.¿Cuántas personas irán al paseo?
A. 533 personas.
B. 546 personas.
C. 561 personas.
D. Falta información.
UNIDAD2 14/9/09 12:15 Page 51
| 52 |Santillana Bicentenario
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UNIDAD3 14/9/09 12:16 Page 52
| 53 |
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UNIDAD3 14/9/09 12:16 Page 53
| 54 |Santillana Bicentenario
Esquema de la unidad
Información para el docente• Los(as) alumnos ya manejan, por su contexto, los nombres y características de ciertos
polígonos y algunas unidades del sistema métrico decimal y sus equivalencias. Además, yahan tenido que medir perímetros y áreas sin formalizar estos conceptos. Debe aprovecharsela información que ya poseen los(as) alumnos(as) al respecto, para centrarse en la reflexión,formalización y ampliación de conceptos trabajados en estas páginas,
• La mayor parte de las figuras que se observan en nuestro entorno, como, por ejemplo,mosaicos, afiches, decoraciones, etcétera, no corresponden siempre a figuras con trazosrectos o de formas regulares, como rectángulos, triángulos, etc. El cálculo del área de lasmismas, por ende, se basa no solo en fórmulas sino en estrategias de resolución, como lacompletación de dichas figuras. Una baldosa de un mosaico puede estar pintada en formairregular que hace difícil determinar el área pintada, pero puede haber otra que,precisamente, tiene pintada el área que a ésta le falta, y calculamos por completación.
• Las estrategias para calcular pueden ser diversas y conviene que los(as) alumnos(as),reconociendo que pueda haber más de una que sea correcta, aprendan a determinar y elegiraquellas que resulten mas eficientes.
PÁGINAS DE INICIO (Páginas 82 y 83)
Sugerencias metodológicas
UNIDADES DE MEDIDASistema métrico
decimal
Perímetros
Triángulos,cuadrados yrectángulos
Figurascompuestas
Fórmulas
Variaciones de perímetro y área
Áreas
Cuadradosy
rectángulos
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| 55 |
UNIDAD 3 | PERÍMETRO Y ÁREA
IndicadorNº de
preguntaRespuesta
Logradocon
Remediales/ sugerencias de profundización
Realizarequivalencias deunidades demedida delongitud.
1
2
3
4
5
6
100 cm
10 mm
3.000 mm
5 m
6 cm
7 m
4 / 6 • Realizar ejercicios para que los y las estudiantespuedan verificar que hay que dividir para transformara múltiplos y multiplicar para transformar asubmúltiplos.
• Realizar ejercicios, para que los alumnos y alumnas,verifiquen, y utilicen reiteradamente, si reconocen lapotencia de diez por la cual multiplicar o dividir, paraobtener la equivalencia de medidas.
Calcular elperímetro depolígonos.
7
8
9
10
21 cm
40 mm
16 m
54 cm
3 / 4 • Se sugiere trabajar con los alumnos y alumnas,identificando el contorno de algunas figuras planas(marcarlo de algún color), para luego, medirlo.
• Realizar variados ejercicios con distintos tipos depolígonos, para que los y las estudiantes puedanidentificar su contorno y obtener su perímetro.
Calcular el área depolígonos usadocuadrículas.
11
12
13
14
15
16
25 u2
27 u2
12 u2
8 u2
14 u2
11 u2
4 / 6 • Realizar ejercicios con los y las estudiantes en loscuales tengan que medir áreas de figuras planas,utilizando cuadrículas reales (cada cuadradito de lacuadrícula, debe medir 1 cm2).
• Profundizar la actividad anterior, con cuadraditos de4 cm2, para que adviertan las diferencias de cambiode medida. Si es preciso, realizar gráficamente lasactividades; sugerir recortar cuadrados, trasladandosus mitades.
Resolverproblemas queimplican cálculo deperímetros.
17
18
328 m
(menor) y
370 m (mayor)
$ 15.960
2 / 2 • Trabajar con los alumnos y alumnas en situacionescon contextos reales de interés para ellos, en loscuales puedan obtener la medida del perímetro dedeterminadas figuras.
• Se propone que los y las estudiantes que realizaronde forma correcta estos ejercicios, puedan exponer yexplicar las estrategias de resolución a loscompañeros.
¿CÓMO VOY? (Páginas 84 y 85)
UNIDAD3 14/9/09 12:16 Page 55
| 56 |Santillana Bicentenario
Información para el docente• Puede visitarse la página http://es.wikipedia.org/wiki/Metro para ver una historia de la
evolución en la definición de lo que es un metro. El sistema métrico decimal, si bien ganaterreno en su uso a nivel internacional, aun no es adoptado del todo y puede verse quesobre todo en países anglosajones no es utilizado. De hecho, la principal exportación deChile, el cobre, tasa su precio en libras.
• Es importante notar que toda unidad de medida requiere un patrón fijo que puede definirse dediversas maneras; deben ser inmutables o acercarse a serlo (en nuestro caso, el metro equivalea la diezmillonésima parte del meridiano terrestre en un cuadrante, es decir, de la distancia deun polo al ecuador), y distinguir las equivalencias en múltiplos o submúltiplos de la definición.
Actividades complementarias• Proponer a los(as) alumnos(as) construir con material concreto: centímetros, decímetros y
un metro cuadrado, de manera que constaten que las unidades lineales aumentanmultiplicando por diez, mientras que las de superficie aumentan multiplicando por cien.
• Sugerir a los(as) alumnos(as) realizar un listado de cosas que, usualmente, no se miden enunidades del sistema métrico decimal, como los clavos que son medidos en pulgadas o elhilo de volantín que es medido en yardas, etc., para que puedan verificar la simplicidad delsistema métrico decimal.
• Guiar una actividad para que los(as) alumnos(as) establezcan comparaciones y contextualicenlas unidades de medida, y así determinar las unidades más adecuadas para expresar:
a. la distancia entre dos ciudades.
b. el largo de un lápiz.
c. el largo de una cancha de fútbol.
d. la superficie de su mesa en el colegio.
e. la superficie del territorio nacional.
f. la superficie del colegio.
Mencionarles que cualquier unidad puede ser útil, pero deben distinguir cuál de ellas es máso menos conveniente, dependiendo del contexto de trabajo.
• Proponer a los(as) alumnos(as) investigar en el reglamento del fútbol las medidas oficialesde una cancha profesional; deben investigar por qué resultan medidas “poco habituales” paranosotros (un arco de fútbol profesional, por ejemplo, mide 7,32 metros, lo que correspondea 8 yardas, que son la medida original). Sugerirles también que averigüen, respecto a otrasmedidas que no forman parte del sistema métrico decimal, cuáles son sus orígenes yfundamentos (por ejemplo, una yarda es la longitud de un paso promedio). Utilizar estainformación para que comprendan que las unidades de medida no han existido desdesiempre; ha sido preciso formalizarlas, pero siguen teniendo, en general, un vínculo con larealidad, es decir, se fijan a partir de necesidades.
UNIDADES DE MEDIDA: LONGITUD Y SUPERFICIE (Páginas 86 y 87)
UNIDAD3 14/9/09 12:16 Page 56
| 57 |
UNIDAD 3 | PERÍMETRO Y ÁREA
Información para el docente• Es necesario tener presente que el concepto de perímetro es muchas veces mal utilizado,
confundiéndose en una definición operacional como “suma de los lados” o “suma de lasmedidas de los lados”; estas características corresponden a como se calcula el perímetro nocorresponden a su definición. Por otra parte, en el lenguaje habitual se usa mal la palabraperímetro, confundiéndola con la superficie delimitada por él. En las siguientes actividades sedistinguirá previamente el contorno de la figura, lo que luego permitirá calcular su medida.
Actividades complementarias• Exponer a los(as) alumnos(as) una definición de perímetro, contrastar con otras definiciones
erróneas sobre el uso de la palabra en el lenguaje habitual.
- “No será posible ingresar al perímetro de las calles…”.
- “Se encuentra cercado en todo su perímetro”.
Aclarar que el perímetro es una medida distinta del objeto físico que es el contorno. Porsutil que parezca la diferencia, debe establecerse.
Errores frecuentes o posibles dificultades • Es preciso dejar en claro el carácter de bosquejos de los primeros dibujos, puesto que, a
menos que explícitamente se declare, no debe suponerse que un cuadrilátero cualquiera esun rectángulo o un cuadrado.`
• Muchas veces, por la dificultad que presenta en algunos(as) alumnos(as) la multiplicación, enlugar de multiplicar por tres o por cuatro optan por sumar las medidas de los lados. Si bien elresultado que obtienen es correcto, la idea es reforzar en los(as) alumnos(as) la necesidad deutilizar la multiplicación, ya que será esta la que les permitirá trabajar con fórmulas. Por otraparte, al momento de determinar la medida de un lado dado del perímetro, será preciso utilizarla división, para eso los(as) alumnos(as) necesitan de un buen manejo de la multiplicación.
Información para el docente• Al igual que en el cálculo del perímetro, debe distinguirse la definición de medida de la
superficie de la definición operacional clásica “lado por lado”; nuevamente esta últimacorresponde a una forma de obtener aritméticamente la medida del área, no así sudefinición. Es preciso, además que, en el perímetro, se identifique primero la superficie quese desea medir.
• En ocasiones, al igual que con el perímetro, se confunde área y superficie. Sin embargo, eneste caso las confusiones no llegan a tanto, pues no inducen a errores tan marcados comoal confundir perímetro, contorno, y la superficie delimitada por él.
PERÍMETROS Y FÓRMULAS (Páginas 88 y 89)
ÁREA DE UN CUADRADO (Páginas 90 y 91)
UNIDAD3 14/9/09 12:16 Page 57
| 58 |Santillana Bicentenario
Información para el docente• Dividir un rectángulo en cuadrados de área unitaria permite explicar en primera instancia la
fórmula para calcular el área de un rectángulo, esta corresponde al producto de las medidasde sus lados.
Actividades complementarias• Plantear a los alumnos y alumnas más aventajados la siguiente situación.
- A Jorge le regalarán un terreno cuya superficie será de 600 m2, con la condición de quedebe cercarlo completamente. Si el ancho no debe ser menor a diez metros, y lasmedidas de los lados deben ser números enteros, obtén:
a. las posibles medidas de los lados del terreno de Jorge.
b. las medidas que le permitirán cercar el terreno utilizando la menor cantidad posible de
alambre.
• Sugerir a los(as) alumnos(as) resolver otro problema, pero planteando el valor de unperímetro fijo; indicar que determinen las diferentes áreas que pueden darse. Es interesanteque puedan notar que puede variarse una medida sin afectar a la otra.
- Comenzando por un rectángulo cuyos lados midan 1 cm y 17 cm; ir variando las medidasmanteniendo el perímetro igual a 36 cm y calcular cada vez su área. Experimentalmente podrácomprobarse que el cuadrado es el cuadrilátero, con ese perímetro, que tiene mayor área.
- Sugerirles tomar otros cuadriláteros con distintos perímetros y variar el área. Si bien nosiempre podrá llegarse a un cuadrado con los perímetros elegidos (si se mantienenenteros), se constatará que los más parecidos a un cuadrado son los de mayor área.
ÁREA DE UN RECTÁNGULO (Páginas 92 y 93)
Información para el docente• Hasta el momento, los(as) alumnos(as) han abordado cálculos de áreas que, en rigor, son
definiciones que se basan en el sentido común, pero son definiciones primitivas que no sededucen de otros resultados. Del mismo modo, hay quienes definen el producto entre dosnúmeros como el área del rectángulo cuyos lados tienen una medida determinada. En cambio,el área del triángulo es el primer resultado deducible a partir de cálculos de áreas derectángulos y cuadrados, lo que muestra un procedimiento habitual en matemáticas, que es lautilización de resultados anteriores.
Actividades complementarias• Es recomendable que los(as) alumnos(as) realicen la deducción cortando un cuadrado y un
rectángulo de papel, comprobando concretamente la congruencia de los triángulosobtenidos y, por lo mismo, la deducción de la fórmula.
ÁREA DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO (Páginas 94 y 95)
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UNIDAD 3 | PERÍMETRO Y ÁREA
• Proponer un mecanismo alternativo a los(as) alumnos(as) es decir, que tomen una hoja yque corten un triángulo rectángulo. Deben escoger uno de sus catetos y doblarlo por lamitad, perpendicularmente, para luego cortarlo por dicha línea.
Guiar la actividad para que constaten que, al ubicar el triángulo pequeño recortado sobre lafigura, obtienen un rectángulo, con un lado que mide lo mismo que el del original, y el otromide la mitad. Escrito como fórmula, resulta:
Indicar que el resultado es posible de obtener dividiendo el resultado de la multiplicación yluego dividiendo por dos, o también dividiendo por dos la medida de uno de los lados yluego multiplicando por la medida del otro.
Información para el docente• La pregunta obvia a partir de la deducción del área del triángulo rectángulo será si su fórmula
del área puede utilizarse también para otros tipos de triángulos. Dado que deben utilizarparalelogramos, y no está contemplada aun la clasificación de cuadriláteros, será convenienteprimero verificar que comprenden el paralelismo. En este caso, importa particularmente que sitenemos dos rectas paralelas y trazamos una perpendicular a una de ellas, también seráperpendicular a la otra. Este hecho puede asociarse y observarse no solo en la hojacuadriculada, sino también en muebles y escaleras, donde los largueros son perpendiculares aambos travesaños, que a su vez son paralelos.
• Conviene aprovechar esta deducción para definir el concepto de altura, que medimosperpendicularmente por tratarse de la menor distancia entre dos segmentos paralelos delparalelogramo, o de un lado al vértice opuesto en el caso del triángulo.
ÁREA DE UN TRIÁNGULO CUALQUIERA (Páginas 96 y 97)
b
a a2
a2Área = · b
b
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Actividades complementarias• Sugerir a los(as) alumnos(as) que resuelvan considerando el problema inverso; es decir, dada
el área de un triángulo y su lado o altura, encontrar el dato faltante.
• Se les puede presentar a los(as) alumnos(as) los siguientes triángulos:
Indicarles que observen que todos estos triángulos tienen igual medida de un lado y la mismaaltura respecto a este, por lo que sus áreas son iguales. Es bueno que los(as) alumnos(as)constaten que los triángulos pueden tener muy distintas formas, pero igual área.
La demostración planteada se basa en que siempre un paralelogramo puede dividirse en dostriángulos congruentes, pero no es igualmente evidente a partir de dos triánguloscongruentes siempre podamos construir un paralelogramo. La demostración formal de estehecho involucra más conocimientos respecto a paralelismo y ángulos, pero se puedeabordar al menos como comprobación. Para comprobar lo anterior, pedirle que recortendos triángulos congruentes cualquiera, como el de la figura. Podrán comprobar, como seobserva, que siempre es posible construir el paralelogramo, si se rota el triángulo original enciento ochenta grados respecto al punto medio de cualquiera de sus lados. Pueden ayudarsede un papel cuadriculado que les permita, luego de hacer la rotación, constatar queefectivamente se obtienen lados paralelos
Errores frecuentes o posibles dificultades • Se ha mencionado la necesidad de diferenciar la medida de un lado del rectángulo con su
altura; un error frecuente en los(as) alumnos(as) es que los confunden, lo que trae comoconsecuencia utilizar mal la fórmula.
triángulo original
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UNIDAD 3 | PERÍMETRO Y ÁREA
IndicadorNº de
preguntaRespuesta
Logradocon
Remediales/ sugerencias de profundización
Realizarequivalencias deunidades demedida delongitud ysuperficie.
1
2
A
D
2 / 2 • Realizar ejercicios simples con los y las estudiantes,en donde puedan responder: ¿cuántas veces estácontenido un centímetro en un metro? o ¿cuántasveces está contenido un milímetro en uncentímetro? Este tipo de actividad, con númerospequeños, ayudará al alumno(a) a formular suspropias estrategias de resolución.
• Realizar junto a los alumnos y las alumnas, algunaforma de transformar unidades de medida. Se puedeutilizar la tabla de conversión, como la escalera.
Representarnúmerosnaturales en larecta numérica.
3
4
B
B
2 / 2 • Realizar ejercicios en los cuales los y las estudiantespuedan primero, identificar el contorno de la figura.Posteriormente, obtener la medida del contorno,como la suma de medida de los lados.
• Realizar ejercicios, en los cuales las figuras que se lesdesea calcular su perímetro, estén compuestas porvarias figuras más pequeñas. Pedirles que puedanobtener la medida del contorno de esa figura. Elobjetivo de esta actividad es que los y las estudiantes,solo trabajen con las medidas del contorno en generalde la figura, y no así con el contorno de todas lasfiguras que la componen.
Calcular el áreade cuadrados yrectángulos.
5
6
D
B
2 / 2 • Realizar actividades en las cuales los y las estudiantespuedan descomponer evidentemente, la figura dada, enrectángulos y cuadrados. Y luego, obtener el área total.
• Realizar actividades en las cuales los y las estudiantespuedan descomponer una figura dada (esta figuradebe ser un tanto más compleja poderdescomponerla en cuadrados y rectángulos), enrectángulos y cuadrados. Y luego, obtener el área total.
¿CÓMO VOY? (Páginas 98 y 99)
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IndicadorNº de
preguntaRespuesta
Logradocon
Remediales/ sugerencias de profundización
Calcular el áreade triángulos.
7 C 1 / 1 • Realizar actividades en las cuales los y lasestudiantes puedan obtener el área de triángulosrectángulos, trazando algunas de las diagonales delcuadrado o rectángulo.
• Realizar actividades en las cuales los y lasestudiantes puedan obtener el área de triánguloscualquiera, dada las medidas de su base y altura.
Representarnúmerosnaturales en larecta numérica.
8
9
A
$ 104.000
2 / 2 • Sugerir que, dado que no manejan el cálculo de raícescuadradas, realicen una tabla para revisar susresultados, calculando por aproximación. Una vez quehan calculado la medida del lado del cuadrado,detectar si son capaces de utilizar adecuadamente lainformación.
• Generalizar la resolución de problemas querelacionen área y perímetro.
Información para el docente• En la página www.geocities.com/peces20/index.htm podrán encontrar un programa que
permite jugar con distintos tipos de tangramas en el computador.
• Si bien la regla de utilizar todas las piezas del tangrama puede variar, debe hacerse hincapiéen que las figuras no se superponen en ningún caso.
TareasProponer a los(as) alumnos(as) investigar en relación a las figuras que conforman eltangrama, sus variantes y reglas del juego.
FIGURAS COMPUESTAS Y TANGRAMA CHINO (Páginas 100 y 101)
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UNIDAD 3 | PERÍMETRO Y ÁREA
Actividades complementarias• Proponer a los(las) alumnos(as) que calculen el área de la siguiente figura, con los datos que
se entregan.
Incorporar los siguientes datos: el perímetro del triángulo amarillo es 30 cm, mientras que eldel rectángulo rojo es 34 cm. Guiar la actividad para que los(as) alumnos(s) determinen lamedida del ancho del rectángulo (5 cm), pero no las medidas de los lados x e y del triángulo.Esto deja de manifiesto que no es necesario determinar la medida de cada lado para calcularel perímetro, sino que directamente pueden usar el valor de la suma de las medidas dedichos lados (x + y = 30 – 12 = 18 cm).
Por otra parte, se puede sugerir, si los(as) alumnos(as) no lo hicieran, que también es posiblesumar ambos perímetros y restar dos veces la medida del segmento en común, es decir,
P = 30 + 34 – 2 · 12 = 40. Previamente, se pueden dibujar por separado las figuras y borrarel segmento en común en cada una, mostrando así por qué se resta dos veces la medida.Sin embargo, esta última forma es menos común.
• Puede sugerirse a los(as) alumnos(as), realizar el ejercicio como el anterior, con las siguientesfiguras y los datos dados:
PERÍMETRO DE FIGURAS COMPUESTAS (Páginas 102 y 103)
Los triángulos amarillos son equiláteros y su
perímetro es 42 cm. El rectángulo rojo tiene
perímetro igual a 70 cm.
Los triángulos tienen igual perímetro, 54 cm,
y su lado en común mide 12 cm.
12 cm
y x
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• El perímetro del rectángulo exterior es 24 cm. Calcular el perímetro de la figura verde(todos los ángulos son rectos).
Seguramente los(as) alumnos(as) manifiesten que no hay cómo saber las medidas de lafigura y, por ende, no puede saberse su perímetro. Al trazar las líneas punteadas ya esposible intuir la respuesta.
Se puede trasladar cada segmento de la figura verde al rectángulo, y ver que juntando amboscontornos coinciden, por lo que sus perímetros son iguales.
Errores frecuentes o posibles dificultades • En el cálculo del perímetro de figuras compuestas los errores más frecuentes que se
presentan en los(as) alumnos(as) son:
- el(la) alumno(s) olvida considerar algunos segmentos, pues no hace un “recorrido”completo por el contorno de la figura. De la misma manera, puede ocurrir que consideredos veces el mismo segmento por distracción.
- el(la) alumno(s) divide la figura en otras más pequeñas y luego agrega al perímetro lasmedidas de los trazos interiores.
Para evitar y/o corregir errores como estos, se debe indicar a los(as) alumnos(as) quemarquen el punto desde el cual comienzan a medir el contorno de la figura; de este modo,sabrán que han terminado cuando se encuentren con la marca que hicieron en un principio.El segundo error se producirá menos en la medida en que se insista en problemas decontexto real, donde se requiera medir el contorno de un polígono.
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UNIDAD 3 | PERÍMETRO Y ÁREA
Información para el docente• Con mucho más frecuencia que al calcular el perímetro, las figuras compuestas deben
descomponerse para poder calcular su área. Pese a que en la unidad se ha intentado llegara métodos abreviados para el cálculo, en este caso debe tenderse a que los(as) alumnos(as)detecten la necesidad de reflexionar caso a caso, en lugar de llegar a métodos mecánicos.
Actividades complementarias• Explicar a los(as) alumnos(as) que puede establecerse más de un método para calcular el
área buscada. Como ejemplo, puede presentarse la siguiente figura:
Indicar que deben calcular el área de un rectángulo de 4 cm x 10 cm, y sumar al resultadoel área de tres cuadrados de 2 cm x 2 cm. Otra opción es calcular directamente el área deun rectángulo de 6 cm x 10 cm y restar el área de dos cuadrados de 2 cm x 2 cm. Recalcarque ambas alternativas son válidas.
Errores frecuentes o posibles dificultades • Existen figuras en las que, dados los datos, no se puede plantear de una manera el problema,
pero sí de otras menos habituales para los(as) alumnos(as). Es importante mostrar formasvariadas de resolver un problema para que manejen distintas estrategias, sin considerarinmediatamente que faltan datos o no es posible realizarlo.
ÁREA DE FIGURAS COMPUESTAS (Páginas 104 y 105)
Información para el docente• Es recomendable mostrar a los(as) alumnos(as) la aplicación del tangrama en su forma general,
indicando que la forma más efectiva de calcular áreas consiste en descomponerla en figuras cuyaárea sí sabemos calcular. Este mecanismo es, en realidad, el más usado en la vida diaria, dondela descomposición suele hacerse en triángulos. Eudoxo, matemático griego, utilizaba estemétodo descomponiendo en pequeños triángulos que, mientras más pequeños se hacían,mayor exactitud permiten en el cálculo. Este método es conocido como exhaución.
FIGURAS COMPUESTAS POR PARALELOGRAMOS Y TRIÁNGULOS (Páginas 106 y 107)
2 cm 2 cm
2 cm
2 cm 2 cm2 cm
6 cm
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Información para el docente• Prestar especial atención al cálculo realizado por los(as) alumnos(as) en la página 109, del área
del deltoide. Los(as) alumnos(as) pueden haber asumido que siempre el método serádescomponer la figura, cuando en ocasiones es mejor utilizar otra que la abarque, y luego restaráreas. En general, muchas áreas podrán calcularse por simple conteo de cuadraditos, pero debesugerirse a los(as) alumnos(as) que utilicen métodos más eficientes, como los vistos aquí.
APLICACIONES DEL CÁLCULO DE ÁREA (Páginas 108 y 109)
Información para el docente• Generalmente los(as) alumnos(as) tienden a asumir que las variaciones de perímetro y área
suelen ser lineales, es decir, que un aumento determinado (aditivo o multiplicativo) en unelemento (lado) provocará un aumento del mismo tipo en el resultado final. Si bien lasactividades a realizar tienen por objetivo quitar estas ideas erróneas, es preciso reafirmar cadavez que se obtenga un resultado, lo que de manera algebraica se deduce en un principio.
Actividades complementarias• Antes de analizar las reglas en la variación de áreas y perímetros, puede proponerse la
siguiente situación a los(as) alumnos(as):
- Pedro recibió en herencia un terreno de cuadrado de 100 metros de lado. Su hermanoRaúl, en cambio, recibió la mitad de un terreno cuadrado de 200 metros de lado, ¿quiénde los dos recibió más terreno?
Es natural que los(as) alumnos(as) piensen, en un primer momento, que ambos recibieronla misma cantidad de terreno; entonces, es necesario guiar la actividad para que los(as)alumnos(as) dibujen un esquema del terreno recibido por cada uno para que constaten,antes de calcular, que Raúl recibe el doble de terreno que Pedro.
En grupos de no más de tres personas, plantearles las siguientes situaciones y pedirles quelas comprueben.
1. Si la medida de los lados de un cuadrado o un rectángulo aumenta en a cm, su perímetroaumenta en 4a cm.
2. Si la medida de cada lado se multiplica por a, el perímetro se multiplica por a.
3. Si la medida de cada lado se multiplica por a, el área se multiplica por a2.
4. Si la medida de los lados de un cuadrado o un rectángulo aumenta en a cm, no podemosdeterminar todavía lo que sucede.
VARIACIONES DE PERÍMETROS Y ÁREAS (Páginas 110 y 111)
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UNIDAD 3 | PERÍMETRO Y ÁREA
Actividades complementarias• Si se estima pertinente, utilizar el tercer ejercicio resuelto para analizar y deducir la fórmula
del área de un triángulo rectángulo, uniendo dos de ellos por su hipotenusa, de manera deformar un rectángulo. Se recomienda dejarla simplemente como una estrategia particular,puesto que de otra manera los(as) alumnos(as) podrían asumir que siempre basta con tomarla mitad del producto de un lado por otro.
EJERCICIOS RESUELTOS (Páginas 112 y 113)
Información para el docente• El trabajo de esta sección permite la integración de los contenidos, para relacionarlos
adecuadamente y resolver las dudas que se presenten. Conviene que los(as) alumnos(as)vayan construyendo un esquema organizador de los contenidos, apoyados en los ejemplosrealizados anteriormente.
• En esta unidad la secuencia de contenidos es fundamental, por lo que se sugiere que lasíntesis se realice respetándola.
• Si bien durante el desarrollo de la unidad se trató que los(as) alumnos(as) llegaran aplantear métodos abreviados para el cálculo de áreas y perímetros, la síntesis debe apuntarmás a la comprensión de la mecánica y no a la simple memorización de procesos.
JUEGOS Y SÍNTESIS (Páginas 116 y 117)
Información para el docente• Pese a que, en general, las estrategias para resolver problemas varían y dependen mucho
del problema que se esté abordando, una estrategia muy utilizada en geometría es realizarun dibujo y suponer el problema ya resuelto, poniendo en él la información que se tiene.Es importante que los(as) alumnos(as) aprecien que es posible hacer un dibujo sin tenertodos los datos, y este esquema les ayudará a encontrar aquellos que faltan.
• Es conveniente, tanto en los problemas que se plantean como en los que están propuestospara los(as) alumnos(as), puedan recordar y considerar los ejemplos vistos anteriormente.
Actividades complementarias• Reforzar en los(as) alumnos(as) que adecuen sus propios mecanismos para resolver, pero
se debe repasar a través de un ejemplo una sistemática de trabajo, es decir, que leancomprensivamente los problemas, seleccionen la información pertinente, respondan laspreguntas intermedias que pueda haber y den, finalmente, la respuesta a la pregunta que elproblema plantea.
ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS (Páginas 114 y 115)
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IndicadorNº de
preguntaRespuesta
Criteriode logro
Remediales/ sugerencias de profundización
Calcularperímetro y áreade triángulos.
1
2
C
C
2 / 2 • Realizar ejercicios en los cuales los y las estudiantesobtengan el área y perímetro de figuras geométricasque estén dibujadas y donde se señalen las medidasnecesarias para obtenerlas.
• Realizar ejercicios en donde los y las estudiantesresuelvan problemas escritos de obtener el área yperímetro de figuras geométricas.
¿QUÉ APRENDÍ? (Páginas 120 a 123)
Calcularperímetros defigurascompuestas porcuadrados,triángulos yrectángulos.
3
8
9
10
B
P=50 cm
A= 102 cm2
P= 36 cm
2 / 2 • Realizar ejercicios en los cuales los y las estudiantesobtengan el perímetro de figuras compuestas dadosu dibujo y las medidas necesarias para calcularlo.
• Profundizar en este tipo de ejercicios calculandoperímetros de figuras más complejas, que esténcompuestas, por ejemplo, por 2 cuadrados, 1 rectángulo y 3 triángulos.
Calcular áreas defigurascompuestas porcuadrados,triángulos yrectángulos.
4
5
6
11
12
13
C
B
B
A = 45 cm2
P = 36 cm
A = 64 cm2
4 / 6 • Realizar ejercicios en donde los y las estudiantesobtengan el área de figuras compuestas dado sudibujo y las medidas necesarias para calcularla.
• Profundizar en este tipo de ejercicios calculando elárea de figuras más complejas, que estén compuestas,por ejemplo, por 2 cuadrados, 1 rectángulo y 3 triángulos.
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UNIDAD 3 | PERÍMETRO Y ÁREA
IndicadorNº de
preguntaRespuesta
Criteriode logro
Remediales/ sugerencias de profundización
Analizarvariaciones enáreasy perímetros.
7
14
B
a. 900 cm
b. 74 cm y
148 cm
2 / 2 • Realizar ejercicios en donde los y las estudiantespuedan resolver situaciones sencillas de variaciones,en donde el aumento o disminución sea el doble, elcuádruplo, etc.
• Profundizar en ejercicios en donde los y lasestudiantes resuelvan situaciones de variaciones, endonde el aumento o disminución sea en lenguajefraccionario, es decir, la mitad, la tercera parte, etc.
Resolverproblemas queinvolucrancálculos de áreasy perímetros.
15
16
240 árboles
La caja 2
• Realizar ejercicios en los cuales los y las estudiantesresuelvan problemas sencillos en donde se mezclenel perímetro y área de figuras.
• Profundizar en ejercicios en donde los y lasestudiantes resuelvan problemas en que involucrenfiguras tridimensionales (cuerpos geométricos), lascuales tengan que relacionar con sus caras el área yperimetro.
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Evaluación de la unidad Material fotocopiable
NOMBRE: CURSO: FECHA:
Marca la alternativa correcta en las siguientes preguntas.
1. ¿Cuál de las alternativas es mayor que 20 dam?
A. 0,2 hm
B. 200 m
C. 3.000 cm
D. 0,35 km
2. Para transformar 30 hm2 en cm2, debemos multiplicarpor:
A. 10.000.
B. 100.000.000.
C. 10.000.000.
D. 1.000.000.
3. Francisco ha hecho marcas en un poste cada 5 cm.Si ya ha hecho 40 marcas, ¿cuál es la altura enmilímetros de la última marca?
A. 200 mm
B. 2.000 mm
C. 20 mm
D. 20.000 mm
4. El lado de un triángulo equilátero mide 8 m.Un cuadrado tiene igual perímetro, por lo que su ladomide:
A. 12 m
B. 6 cm
C. 4 cm
D. 8 cm
5. ¿Cuál de las siguientes medidas de largo y ancho nocorresponden a los de un rectángulo de área igual a60 m2?
A. 10 m y 20 m
B. 4 m y 15 m
C. 3 m y 20 m
D. 5 m y 12 m
6. En una pared que mide 2 m de alto y 3 m de anchose quieren poner azulejos cuadrados de 15 cm x 15 cm.¿Cuántos azulejos son necesarios, aproximadamente?
A. 100 azulejos
B. 150 azulejos
C. 200 azulejos
D. 300 azulejos
7. ¿Cómo se puede expresar el perímetro del triángulode la figura?
A. 2x + 7
B. x + 14
C. 3x
D. 21
8. El perímetro de un rectángulo es 32 dm. Si su anchomide 4 dm, ¿cuánto mide su largo?
A. 12 dm
B. 16 dm
C. 24 dm
D. 28 dm
x
7
x
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9. El terreno de la casa de Jorge es un rectángulo de20 m de largo por 12 m de ancho. El de la casa deFelipe, un cuadrado cuyo lado mide 15 m. ¿Cuántomayor es el perímetro de la casa de Jorge?
A. 4 m
B. 10 m
C. 12 m
D. 20 m
10. Un triángulo cuyo perímetro es 25 dm se une a uncuadrado cuyo perímetro es 32 dm, por un lado deigual medida en ambos como se muestra en la figura.¿Cuál es el perímetro de la nueva figura?
A. 40 dm
B. 41 dm
C. 57 dm
D. 49 dm
11. Calcula el área de la siguiente figura
A. 44 cm2
B. 50 cm2
C. 56 cm2
D. 100 cm2
12. Tomando la misma figura del ejercicio anterior, calculasu perímetro.
A. 40 cm
B. 50 cm
C. 80 cm
D. 100 cm
13. 15. El perímetro de un rectángulo es igual al de uncuadrado cuyo lado mide 13 cm. Si el ancho delrectángulo mide 10 cm, ¿cuánto mide su largo?
A. 13 cm
B. 16 cm
C. 20 cm
D. 32 cm
14. El perímetro de un rectángulo es 60 m. Si la medidade cada lado se multiplica por 2 y luego se le suma 3 m a cada lado, el nuevo perímetro será:
A. 144 m
B. 126 m
C. 132 m
D. 188 cm
15. Las medidas de los lados de un cuadrado semultiplicaron por 3, y su perímetro ahora es de 180 cm. ¿Cuánto medía originalmente cada uno de suslados?
A. 5 cm
B. 15 cm
C. 30 cm
D. 60 cm
3 cm
2 cm
5 cm
3 cm 3 cm 4 cm
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4Intr
od
ucc
ión
Las
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tan
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umno
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Sin
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dian
tes,
y ge
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| 73 |
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| 74 |Santillana Bicentenario
Esquema de la unidad
Información para el docente• Previo al uso de porcentajes, las fracciones decimales, fracciones con denominador: 10, 100,
1.000, etc., constituyen una forma “objetiva” de expresar grandes cantidades o pequeñascantidades, como parte de un total. Por ejemplo, en el caso del agua dulce en la Tierra, dadoel enorme volumen del que estamos hablando (siendo a su vez una cantidad muy pequeñacomparándola con la cantidad de agua salada) resulta poco adecuado utilizar cantidadesnuméricas, puesto que se pierde la posibilidad de dimensionar tal cantidad. Por lo que expresaresta información por lenguaje fraccionario facilita un tanto la comprensión.
PÁGINAS DE INICIO (Páginas 130 y 131)
Sugerencias metodológicas
FRACCIONES
OrdenSimplificación
Operaciones
Adición ysustracción Multiplicación
Amplificación
Clasificación
Fraccionesde unidades de medidas
Representación en larecta numérica
Comparación decantidades
Númerosmixtos
Fraccionesimpropias
Fraccionespropias
Interpretada comomaterial continuo(parte de un todo)
Interpretada comomaterial discreto
(parte de unconjunto deelmentos)
Fraccionesequivalentes
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UNIDAD 4 | LAS FRACCIONES
IndicadorNº de
preguntaRespuesta
Logradocon
Remediales/ sugerencias de profundización
Interpretar yrepresentarfracciones deforma gráfica.
1
2
3
4
5
6
11
12
13
Construcción
Construcción
Construcción
Construcción
Construcción
Construcción
7 / 9 • Presentar a los y las estudiantes ejercicios en loscuales ellos tengan que dividir enteros en partesiguales, ya que un error frecuente de los alumnos yalumnas, es dividir un entero, en las partes que indicael denominador, pero que estas no sean iguales.
• Trabajar con los y las estudiantes en actividades enlas cuales se trabaje con material discreto, es decir,con elementos de un conjunto. Se propone no dejarde lado esta interpretación, pues limita el conceptode fracción y su interpretación.
Representarfracciones en larecta numérica.
7
8
9
10
No es correcta
Correcta
Correcta
No es correcta
3 / 4 • Se propone que los alumnos y alumnas trabajen enequipos, poniendo en común sus procedimientospara representar fracciones en la recta numérica. Estetrabajo en equipo es importante, ya que asociarpuntos de la recta numérica con fracciones, es unahabilidad matemática poco desarrollada.
Interpretarinformaciónexpresada enfracciones en laresolución deproblemas.
14
15
16
17
20
30
2 / 4 • Trabajar con los y las estudiantes distintas situacionesen las cuales deban interpretar el resultadopresentado en forma fraccionaria. Es importante quelos alumnos y alumnas sepan responder de formaclara lo que se les pide.
• Se propone trabajar con problemas en los cuales los ylas estudiantes deban realizar más de una operaciónpara responder a lo pedido.
¿QUÉ RECUERDO? (Páginas 132 y 133)
28
13
1100
6828
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| 76 |Santillana Bicentenario
Información para el docente• En cursos anteriores los(as) alumnos(as) ya habrán visto fracciones y se habrán familiarizado
con su uso, por lo que es esta la oportunidad de repasar aquellos contenidos y hacerhincapié en los nombres de los términos (numerador y denominador), que nos permitiránabordar con mayor claridad los análisis y operaciones posteriores.
• Es importante presentar a los y las estudiantes las dos interpretaciones de fracción comorelación parte-todo, ya que usualmente esta representación de fracciones solo se asocia unaparte del entero, y no así a elementos de un conjunto. Recordar que la fracción puede serinterpretada, entre otras, como relación parte-todo material continuo (parte de un entero)e interpretada como parte-todo material discreto (parte de un total de elementos). Es decir,que dividamos un total en partes iguales y consideremos algunas de ellas, y por otro queconsideremos algunos elementos de un conjunto, respectivamente.
Información para el docente• Es importante recordar a los alumnos y alumnas que los números mixtos son expresiones
fraccionarias que nos ayudarán a visualizar y trabajar de forma más directa con los enterosy sus partes. Por esta razón, se propone que el docente pueda mencionar frecuentemente,que de una fracción impropia (numerador mayor que el denominador) se puede obtener laconversión de un número mixto. Esta aclaración constante puede facilitar la idea que elnúmero mixto está compuesto por números enteros y fracciones.
• Resulta curiosa la resistencia que generan las fracciones y los números mixtos en los alumnos
y alumnas, una vez que conocen los números decimales; tienden a asumir que las fracciones
no representan números sino “operaciones por realizar”, y rara vez escriben , sino que
suelen optar por 1,75. Lo curioso es que, en el lenguaje habitual, no decimos “compraré uno
coma setenta y cinco kilogramos de pan”, sino que se usa el número mixto – “compraré un
kilogramo tres cuartos de pan”. Conviene hacer esta relación para acostumbrar a los(as)
alumnos(as) que esta no es una forma incompleta de representar cantidades, sino
perfectamente válida y refrendada en nuestro lenguaje habitual.
Actividades complementarias• No conviene que mecanicen el proceso de transformación de número mixto a fracción y
viceversa. Pese a que pueden haberlo visto antes, conviene proponer un método de justificaciónpara el procedimiento a utilizar. Se puede aprovechar, además, de ejercitar y practicar unmétodo de división poco habitual, pero intuitivo, por sustracciones sucesivas.
LECTURA Y ESCRITURA DE FRACCIONES (Páginas 134 y 135)
NÚMEROS MIXTOS (Páginas 136 y 137)
341
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UNIDAD 4 | LAS FRACCIONES
• Si queremos determinar, por ejemplo, a qué número mixto corresponde la fracción , y haydificultades para realizar la división, podemos plantear la tarea como, ¿cuántos quintos podemosobtener de 27? Lo natural para averiguarlo sería restar 5 todas las veces que podamos,sucesivamente. Tenemos que:
27 – 5 = 22 22 – 5 = 17 17 – 5 = 12 12 – 5 = 7 7 – 5 = 2
Haciendo un recuento, observamos que se pudo restar cinco veces y nos sobran dos unidades.
Esta forma, de obtener cuántos quintos están contenidos en 27, puede resultar un poco más
natural que realizar la división directamente, pese a que es la conclusión natural a la queesperamos que lleguen los(as) alumnos(as).
• Una vez realizado lo anterior, es más fácil comprender la transformación de número mixto afracción. De todas formas, es preciso que se reflexione a partir de la pregunta: ¿cuántos quintostiene un entero? (o el numerador que corresponda). A partir de esa pregunta es un tanto másevidente el por qué debemos multiplicar el denominador por el número de enteros, en elprocedimiento de convertir un número mixto a fracción. Es muy recomendable que, cuando serealicen estos procedimientos de transformación, antes de utilizar directamente el algoritmo,realicen la reflexión del proceso que están siguiendo y su justificación.
Errores frecuentes o posibles dificultades • En ocasiones, por utilizar la fórmula sin entender el por qué funciona, los(as) alumnos(as)
confunden la multiplicación y la adición. Así, en lugar de aplicar el algoritmo correctamente,escriben por ejemplo;
Siendo lo correcto:
Se recomienda utilizar colores para visualizar de mejor forma la conversión de un númeromixto a fracción. Es decir, que en el número mixto, el numerador tenga un color, eldenominador otro color y, el número entero otro color. De esta forma, al utilizar la fórmulade conversión a fracción impropia, se asocian con los colores respectivos.
25
3 + 5 • 253 =
25
275
3 • 5 • 253 =
25
3 • 5 + 253 = =
15 + 25
175=
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Información para el docente• Si bien el apoyo gráfico es muy útil para constatar la equivalencia de fracciones, esta solo
se entiende cabalmente a partir de la amplificación y simplificación, por lo que serecomienda abordar previamente, o en conjunto, este contenido.
Actividades complementarias• El método de multiplicar cruzado, para verificar si dos fracciones son equivalentes, pese a ser
efectivo, es muy poco intuitivo y no relaciona los contenidos, por lo que no está de más analizarsu validez, o deducirlo para no caer en una mecanización que no buscamos. Para ello, se sugierela siguiente actividad
Considerar las fracciones y , representadas en las siguientes gráficas (cada cuadrado
entero tiene las mismas dimensiones), comprobar gráficamente si son equivalentes.
Observemos que es posible “simplificar” algunas divisiones, de modo que cada cuadrado estédividido en el mismo número de partes.
Nuevamente observemos, que ambos cuadrados están divididos en cuatro partes, no de la
misma forma pero sí equivalentes. Y en ambos se han considerado tres de las cuatro partes
iguales. Una de las conclusiones de este procedimiento, es que es los(as) alumnos(as) verifiquen
que numéricamente las fracciones ya eran equivalentes, y ambas pertenecen a la clase de
equivalencia del , donde una se amplificó por 2 y la otra fracción se amplificó por 3.
Para verificar la equivalencia de las fracciones gráficamente, de la fracción con las fracciones
y , se borran algunas de las líneas de la gráfica, lo que podría explica una simplificación.
Por lo tanto, agregar más líneas correspondería a una amplificación.
FRACCIONES EQUIVALENTES (Páginas 138 y 139) Y
AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN (Páginas 140 y 141)
68
68
912
34
34
912
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UNIDAD 4 | LAS FRACCIONES
Es importantísimo concluir de esta actividad, que dos fracciones son equivalentes si, amplificando
o simplificando una de ellas o a ambas, se obtiene la misma fracción.
Respecto de la actividad anterior, no está de más aclarar que, de “eliminar” algunas líneas
divisorias, debe hacerse en todo el entero. Es decir, en el caso de los , convertimos cada
uno de los octavos en cuartos. Por lo tanto, se deben “eliminar” todas las líneas de los octavos,
en todos los cuartos del entero.
Por ejemplo, se grafica la fracción .
No se pueden eliminar líneas divisorias para transformar en cuartos o en medios, pues nosobliga a juntar una parte pintada con otra que no lo está. Esta imposibilidad la asociamos con lairreductibilidad de la fracción, es decir, que no podemos dividir el cinco y el ocho por un mismonúmero.
Explicitar también, que cuando se quiere obtener una fracción irreductible, simplificamos por elmáximo común divisor del numerador y el denominador, de modo que no sea posible seguirsimplificando. Si bien no es un análisis del máximo común divisor el que se pretende hacer, esbueno que los(as) alumnos(as) distingan que, cuando dos números “tienen como divisor comúnal 1” la fracción no se puede seguir simplificando, y por lo tanto es irreductible.
• Una investigación interesante para los(as) alumnos(as) sería el sistema de numeración babilónicoy, de manera especial, su uso de la base sesenta para utilizar un número con una gran cantidadde divisores. Es obra de este pueblo el sistema sexagesimal y, como también el uso de sesentaminutos para dividir una hora, lo que trae consigo una gran cantidad de fracciones, de las cualesutilizamos pero de manera muy pobre, comparada con el potencial que tendría.
Por ejemplo.
1. Se puede sugerir a los(as) alumnos(as), primero, mencionar las fracciones de hora más
comúnmente utilizadas (un cuarto de hora, media hora, tres cuartos de hora, etc.), teniendo
presente que corresponden a , y , respectivamente.
2. Luego, se puede pedir que expresen como fracción ciertas cantidades de minutos, de uso
frecuente (5 minutos, 10 minutos, 20 minutos, 25 minutos, etc.), pero que no expresamos
usualmente como fracción. En lo posible, plantearlo en alguna completación de frases como:
“Nos vemos en diez minutos (un sexto de hora) más”.
1560
3060
4560
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| 80 |Santillana Bicentenario
Errores frecuentes o posibles dificultades • Suele ocurrir que los(as) alumnos(as), confunden la acción simplificar fracciones, dividir por
un mismo número numerador y denominador, con las acción de sustraer el mismo número
a numerador y denominador. Por ese motivo, simplifican fracciones como
restando 3 al numerador y al denominador, obteniendo , siendo lo correcto, es
simplificar la fracción por 3, resultando así . Conviene verificar que si incurren en
este error es solo por una confusión (muy frecuente cuando recién se familiarizan con este
contenido) o realmente no están comprendiendo el sentido de la acción de simplificar.
IndicadorNº de
preguntaRespuesta
Logradocon
Remediales/ sugerencias de profundización
Leer y escribirfracciones.
1
2
A
D
2 / 2 • Se propone trabajar con distintas interpretacionesde fracciones, material continuo (fracción comoparte de un entero) y material discreto (fraccióncomo parte de un conjunto de elementos), paraque los alumnos y alumnas asocien la lectura yescritura de fracciones a distintas situaciones.
• Resolver ejercicios en los cuales se de la fracción, ylos y las estudiantes escriban el cómo se leen lasfracciones dadas.
Clasificarfracciones comopropias, igual a launidad eimpropias yescribir estasúltimas comonúmero mixto yviceversa.
3
4
5
6
A
B
D
C
3 / 4 • Trabajar con los alumnos y alumnas ejercicios tipo, enlos cuales sepan clasificar fracciones.
• Es importante que los y las estudiantes sepan clasificar
fracciones, y posteriormente sepan interpretar el
resultado, ya que la fracción, por ejemplo: es
impropia y se puede interpretar como un kilogramo y
un cuarto de kilogramo (1 kilogramo y 125 gramos).
A diferencia de , que es una fracción propia, se
puede interpretar como 750 kilogramos.
¿CÓMO VOY? (Páginas 142 y 143)
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366
923
54
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UNIDAD 4 | LAS FRACCIONES
IndicadorNº de
preguntaRespuesta
Logradocon
Remediales/ sugerencias de profundización
Identificarfraccionesequivalentes,obteniéndolasmedianteamplificación ysimplificación.
7
8
9
C
C
B
2 / 3 • Se propone trabajar ejercicios, en los cuales losalumnos y alumnas puedan obtener fácilmente elnúmero por el cual deben amplificar o simplificaralguna fracción, para encontrar la fracciónequivalente.
• Trabajar con los y las estudiantes ejercicios en loscuales se den fracciones “grandes”, y se pidasimplificarlas hasta llegar a su fracción irreductible.
Resolverproblemas deaplicación.
10 Sí, pues ambasfracciones sonequivalentes.
1 / 1 • Pedir a los(as) alumnos(as) que escriban en palabrasalgunas fracciones a su elección. Luego, que entreguenesta escritura a un compañero(a), que debe leer yescribir numéricamente la fracción.
• Para este tipo de situaciones, se propone trabajar
con varios contextos cotidianos y sus
interpretaciones, según corresponda. Ya que de
100 lápices, se interpreta de forma distinta que
de kilogramo de queso.
Información para el docente• Una vez abordados los contenidos de amplificación, simplificación y equivalencia de fracciones,
la comparación de estas no debiera dificultar. Sin embargo, se propone trabajar este contenidosiempre con apoyo gráfico. Este recurso, es más natural utilizarlo con fracciones que tienen elmismo denominador, pues solo basta observar cual entero (dividido en partes iguales) es elque considera más partes, para determinar la fracción que es mayor. La representación gráficapara fracciones con distinto denominador, es un tanto más compleja, pues primero tenemosque obtener las fracciones equivalentes, para recién poder representarlas gráficamente deforma más fácil, y así compararlas.
• Es importante que se plantee a los y las estudiantes los siguientes pasos a seguir para lacomparación de fracciones:
1º Obtener fracciones equivalentes a las fracciones dadas, donde ambas tengan el mismo
denominador.
2º Comparar los numeradores de las fracciones obtenidas.
COMPARACIÓN DE FRACCIONES (Páginas 144 y 145)
14
14
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| 82 |Santillana Bicentenario
Actividades complementarias• Plantear a los(as) alumnos(as) las siguientes actividades.
Resuelve.
1. Una pizza se va a repartir entre cinco amigos, en partes iguales. Sin embargo, han llegadoahora dos amigos más. Si se reparten la pizza en partes iguales, entre todas las presentes:
a. ¿Comerán más o menos pizza? Justifica.
b. ¿Qué parte de la pizza comerá cada uno? Justifica.
Se propone que los(as) alumnos(as) realicen la gráfica de las pizzas (antes y después dellegados los dos amigos), y escriban las fracciones que representan lo que comerá cada uno.
Antes Después
Es bastante evidente, al mirar las gráficas, que en el primer caso comerán más pizza que enel segundo. Sin embargo, debe buscarse que los(as) alumnos(as) puedan justificar que estose debe a que, mientras en menos partes iguales se divida la pizza (o la gráfica), más comecada uno.
No será difícil extender esto a numeradores mayores que uno. Se sugiere plantear, paraesta situación, la siguiente actividad.
Si Raúl come dos (tres, cuatro, etc.) pedazos de la pizza dividida en 5 partes iguales, y Pablocome la misma cantidad de pedazos pero de la dividida en 7 partes iguales. ¿Quién comiómás pizza?
Nuevamente, la idea será que los(as) alumnos(as) observen que cada pedazo de la primerapizza es “más grande” que cada pedazo de la segunda pizza, por lo que Raúl come más.
• Para comparar las fracciones de distinto numerador y denominador, se puede proponer alos(as) alumnos(as) la siguiente secuencia.
15
17
UNIDAD4 14/9/09 12:19 Page 82
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UNIDAD 4 | LAS FRACCIONES
¿Cuál de las dos fracciones es mayor? (cada rectángulo grande es de igual medida)
Con los dibujos no es tan fácil determinarlo, por lo que buscamos dividir ambos rectángulosen igual cantidad de partes iguales. Si dividimos el que está separado en novenos, podrá quedardividido en 18, 27, 36, 45… partes iguales. En tanto, si dividimos el que está separado en docepartes, podrá quedar dividido en 24, 36, 48, 60… partes iguales.
Notamos que ambos pueden quedar divididos en 36 partes iguales, ya que 36 es el mínimocomún múltiplo de 9 y 12. Por lo tanto, el entero que está divido en novenos, lo dividimosnuevamente en cuatro partes iguales y, el que está divido en doceavos, lo podemos volver adividir en tres partes iguales. Estas divisiones, se muestran en las siguientes gráficas.
Como ambas tienen igual denominador, la fracción mayor es , ya que el numerador esmayor.
Esta actividad, puede trabajarse con los(as) alumnos(as) pidiéndoles que experimenten condistintas formas de dividir el rectángulo. Como es una actividad experimental, los y las estudiantesintuitivamente dividirán cada entero en cualquier parte de él, y en distintas cantidades de partescada entero. Lo importante es que los alumnos y alumnas puedan percatarse primero, que todaslas partes que resulten de dividir el entero deben ser iguales; y, segundo, que puedan concluir quelo más eficiente es obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores, para no tener quedividir en cantidades excesivas de partes iguales cada entero.
49
512
1636
1636
1536
UNIDAD4 14/9/09 12:19 Page 83
| 84 |Santillana Bicentenario
Información para el docente• Cuando hablamos de ordenar números, las idea más intuitiva es la de disponerlos de
izquierda de derecha siguiendo la idea de asociar lo mayor con lo que está ubicado a laderecha y lo menor con lo que está ubicado hacia la izquierda. Esta idea, un tanto intuitiva,también se cumple al asociar a puntos de la recta fracciones.
• Al “ubicar fracciones en la recta numérica”, ya se está trabajando con el número racional.No es menor, enfatizar que:
- el concepto de fracción está ligado a variadas interpretaciones, tales como: razones,probabilidad, división, medición, relación parte-todo (material continuo y discreto),porcentajes, fracción de un número, etc. Cada una de las situaciones planteadasanteriormente, se pueden representar por una fracción, en la cual numerador ydenominador tienen un determinado significado, según sea la interpretación trabajada. A medida que se trabaja, de forma progresiva, todas estas interpretaciones se vanenriqueciendo e integrando el concepto de fracción.
FRACCIONES Y RECTA NUMÉRICA (Páginas 146 y 147)
• Conjuntamente con lo anterior, es posible justificar el procedimiento de “multiplicar cruzado”,
para comprobar la equivalencia de dos fracciones. En efecto, algún(a) alumno(a) podrá
deducir que basta amplificar la fracción por 12 y, la segunda fracción por 9, de modo
de obtener fracciones equivalentes de denominador 108. De igual forma, podemos extender
esta deducción a dos fracciones cualquiera: y , con b y d distintos de cero.
Al amplificar la primera por d y la segunda por b, se obtiene:
y
• De todos modos, y pese a la eficacia de este método, conviene que los y las estudiantes sean
capaces de utilizar alguna otra estrategia que sea fruto de haber comprendido antes la
amplificación y simplificación de fracciones para obtener fracciones equivalentes.
Por ejemplo, si queremos comparar las fracciones y , amplificamos la primera fracción
por 51, y la segunda fracción por 37. Como se puede apreciar, los números resultantes son
bastantes grandes, y puede resultar muy complicado. También, resultaría un tanto complicado
encontrar el mínimo común múltiplo de 37 y 51 (51·17 = 867), por el ámbito numérico del
producto. Tal vez, conviene más, en un caso como este, constatar que 20 representa una
parte de 37 mayor que lo que representa 16 de 51, por lo que la primera fracción es mayor.
Naturalmente, técnicas como esta suponen una compresión más acabada de las fracciones
que los métodos vistos.
adbd
49
512
ab
cd
cbbd
2037
1651
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UNIDAD 4 | LAS FRACCIONES
- Por otro lado, se tiene que cuando se logra abstraer el símbolo , de las interpretaciones,y lo utilizamos solo como el símbolo , con el cual se puede operar aritméticamente yse puede ubicar en la recta numérica, es cuando estamos trabajando con el númeroracional, pues si bien vemos dos numerales en su expresión , este corresponde a unúnico número, pues su ubicación en la recta numérica es única. Esta representación enla recta numérica, constituye el primer paso hacia esta asimilación entre una fracción y unnúmero racional.
• Respecto a la asociación de una fracción con puntos de una recta numérica, los(as)alumnos(as) podrán constatar que la asignación de una unidad es arbitraria. En el caso de una:
- Fracción propia: se divide la recta numérica en tantas partes iguales como indique eldenominador. La última división realizada, es la que corresponde a la unidad. Luego, desdela primera división en la recta, se avanza tantas partes iguales como lo indica el numerador.
Ejemplo
Para ubicar la fracción .
Primero, se divide la recta numérica en 8 partes iguales (como lo indica el denominador).
Desde la primera división, contamos 5 partes (como lo indica el numerador). Luego,hemos ubicado la fracción .
- Fracción impropia: se divide la recta numérica en tantas partes iguales como lo indica eldenominador y, se marca la primera unidad. A partir de esta unidad (hacia su derecha)se divide la recta numérica nuevamente en tantas partes iguales como lo señalada endenominador y así nuevamente, hasta ubicar la fracción pedida.
Ejemplo
Ubicar en la recta numérica .
Se divide la recta numérica en 10 partes iguales. La décima división hecha, corresponde a launidad. A partir de esta última división, se divide la recta numérica en las mismas 10 partesiguales anteriores, esta última división corresponde a la segunda unidad. Ahora, desde laprimera división, se avanzan 13 partes (lo que señala el numerador). Se ha ubicado, lafracción .
Como ya se ha insistido, la selección de estas unidades es arbitraria, y puede servir esteejercicio para que los(as) alumnos(as) constaten que una fracción corresponde a unarepresentación, independiente de la unidad que se haya escogido.
• En las actividades propuestas en estas páginas, actividades 11 a 14, se pide ubicar dos fraccionesen la recta numérica y compararlas. Poner especial atención a que las fracciones propuestasson tales que se puede obtener fácilmente la fracción equivalente, con el mismo denominador,lo que facilita el trabajo propuesto. Es interesante, que los alumnos y las alumnas, piensen enqué procedimiento pueden utilizar si desean ubicar dos fracciones con denominadoresdistintos, donde uno de ellos no sea múltiplo del otro, por ejemplo 4 y 6. Lo más probable esque intenten por la estrategia ensayo y error, esta forma de trabajo ayudará a que logrendeducir que se necesita obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores, parasimplificar su ubicación en la recta numérica.
aba
b
ab
58
58
1310
1310
UNIDAD4 14/9/09 12:19 Page 85
| 86 |Santillana Bicentenario
Información para el docente• Es importante mencionar que “fracciones de unidades de medida” se relaciona con la fracción
como operador. Esta interpretación de fracción es una instrucción la cual dice:
“se multiplica por el numerador y, luego, se divide por el denominador” o viceversa,
“se divide por el denominador y, luego, se multiplica por el numerador”.
De ambas formas, se llega al resultado pedido. Si bien es un tanto mecánica esta forma detrabajar la fracción como operador, es una buena estrategia de trabajar con los alumnos yalumnas, ya que lo importante en el contenido de unidades de medida, no es la fracción comooperador, si no más bien, la equivalencia que se da entre, por ejemplo, de hora con 15minutos.
- En este ejemplo, la fracción como operador, se utiliza en los siguiente:
de hora � de 60 minutos � · 60
Se divide por el denominador�60 : 4 = 15
Se multiplica por el numerador �15 · 1 = 15
Luego, de hora equivale a 15 minutos.
- De la otra forma:
de hora � de 60 minutos � · 60
Se multiplica por el numerador �60 · 1 = 60
Se divide por el denominador � 60 : 4 = 15
Luego, de hora equivale a 15 minutos.
• Para el tema de estas páginas, el docente debe manejar las equivalencias que existen entre
las unidades de medidas correspondientes.
- ¿A cuántos gramos equivale de kilogramo?
Para responder, se debe tener en cuenta que 1 kilogramo equivale a 1.000 gramos. Luego,
se resuelve así:
de kilogramo� de 1.000 gramos
Luego, resolvemos� · 1.000
Se multiplica por el numerador�1.000 · 3 = 3.000
Se divide por el denominador�3.000 : 4 = 750
Luego, de kilogramos equivalen a 750 gramos.
FRACCIONES DE UNIDADES DE MEDIDA (Página 148 y 149)
14
14
14
14
14
14
14
14
14
34
34
34
34
34
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| 87 |
UNIDAD 4 | LAS FRACCIONES
Información para el docente• La adición y sustracción de fracciones suele ser un contenido de difícil comprensión para
los(as) alumnos(as), por lo que el trabajo con los contenidos previos a estas páginas, talescomo representación gráfica de fracciones, amplificación de fracciones, simplificación defracciones y fracciones equivalentes son fundamentales para un trabajo significativo para losy las estudiantes.
• Los alumnos y alumnas ya han trabajo con la adición y sustracción de fracciones con igual
denominador, por lo que ya saben que solo estas fracciones se pueden sumar o restar
directamente. Por esta razón, se propone que al presentar sumas y restas de fracciones con
distinto denominador, se tenga presente de forma inicial la representación gráfica del cómo
sumar fracciones con denominador distinto. Por ejemplo, pedirles que grafiquen la suma
de + . Al pedirles este trabajo, los y las estudiantes debieran percatarse que no pueden
graficar la suma, ya que estas tienen distinto denominador. De aquí podría surgir la
necesidad de igualar denominadores, obteniendo el mínimo común múltiplo entre ellos.
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES (Páginas 150 a 153)
• Es interesante que los(as) alumnos(as) constaten que, cuando deseen calcular un número
mixto de una unidad de medida pueden:
- Convertir el número mixto a fracción impropia y luego calcular.
- Asociar directamente, el entero del número mixto, con las unidades correspondientes y
luego, calcular solo la fracción. Por ejemplo, si queremos calcular de metro,
consideramos que un metro tiene 100 centímetros, por lo que tendremos
300 centímetros (equivalente a los 3 enteros del número mixto) más la fracción.
Para obtener la equivalencia de la fracción de metro, realizamos lo siguiente:
� La fracción de metro equivale a 40 centímetros.
Luego, sumamos las cantidades obtenidas�300 cm + 40 cm = 340 cm
Por lo que concluimos que de metro equivale a 340 centímetros.
253
25
12
13
3
25
25
25
· 100 = 2 · 20 = 40
UNIDAD4 14/9/09 12:19 Page 87
| 88 |Santillana Bicentenario
Actividades complementarias• A los(as) alumnos(as) más aventajados, se les puede plantear la conveniencia o no de
simplificar las fracciones antes de sumar o restar. En ocasiones, simplificar ayuda a calcular
fácilmente el mínimo común múltiplo, pero en otras se convierte en un paso innecesario.
Por ejemplo, en la siguiente adición:
Observamos que el mínimo común múltiplo entre los denominadores es 24, por lo que se
debe amplificar la primera fracción por 2. En cambio, si la simplificamos hasta obtener la
fracción irreducible se tiene la fracción , y el mínimo común múltiplo entre 3 y 8 continúa
siendo 24, lo que nos haría amplificar por 8 la fracción nuevamente, es decir, se habrá
simplificado y luego, vuelto a amplificar.
Naturalmente, simplificar antes de resolver la operación nos puede permitir calcular más
fácilmente el denominador común, pero no siempre es necesario. Más que enseñarlo como
técnica, es conveniente valorar cuando los(as) alumnos(as) realicen razonamientos de este
tipo, pese a que con ello se “salten pasos”.
• Una observación interesante es que, en algunos casos, es posible realizar la adición y
sustracción de números mixtos sin convertirlos a fracción. Esto sucede cuando las partes
fraccionarias tienen igual denominador. Por ejemplo:
Sumamos las partes enteras de ambos números mixtos y luego, las fracciones que tienen
igual denominador. Esto resulta .
Por cierto, en la adición anterior, rápidamente pudimos obtener su resultado, ya que la
parte fraccionaria del resultado ( ) es una fracción propia. En caso de no ser así, observa
como se puede resolver.
Por ejemplo, considerar que la fracción es resultado de una adición. La parte
fraccionaria , es una fracción impropia, por lo que es mayor que un entero ( equivale
a un entero sobrando 3 partes iguales). Luego, el entero de esta fracción, se le suma a la
parte entera del número mixto, resultando así 8 enteros. Y en la parte fraccionaria se anota
lo que “sobró de ”, es decir .
Luego, =
412
38+
+153
354
45
45
7
857
358
858
585
85
35
7
13
UNIDAD4 14/9/09 12:19 Page 88
Errores frecuentes o posibles dificultades • Una interpretación errónea, pero frecuente, es pensar que se deben sumar los numeradores
y los denominadores, respectivamente. Este tipo de error, puede tener su raíz en que los ylas estudiantes ya saben sumar número naturales, y estos se suman “hacia el lado”. Parasubsanar este error, se propone enfatizar con sus alumnos y alumnas, que si bien en unafracción se ven dos números, se está trabajando con uno solo, por lo tanto hay que trabajarcon la fracción como un todo. Este error, también se puede deber a que se haya vistomultiplicación de fracciones, donde multiplican los términos. Para evitarlo, se puede plantearverbalmente la situación, por ejemplo:
Al leer esta expresión, se tiene que “tres quintos más un quinto es igual a…”. Parecerá muynatural que, al sumar quintos, obtenemos quintos, y por ende que tres quintos más unquinto será igual a cuatro quintos. Recálquese aquí que nunca sumamos los denominadores.
| 89 |
UNIDAD 4 | LAS FRACCIONES
+35
15
Actividades complementarias o tareas• Además de realizar la actividad propuesta en estas páginas, o de no ser posible construirla
(es conveniente conseguir los plásticos sugeridos) justificar la fórmula utilizando el área de
un rectángulo.
• Es importante que los(as) alumnos(as) simplifiquen las fracciones previamente a multiplicarlas,
de manera de no trabajar con números demasiado grandes. Conviene también que se
acostumbren a expresar su resultado como fracción irreducible. Para los(as) alumnos(as) que
les cueste el manejo numérico, se les puede proponer que, al multiplicar, no escriban el
producto directamente, sino que primero escriba la multiplicación, a fin de poder encontrar
los factores comunes y así poder simplificar.
Como ejemplo de lo anterior, consideremos el producto . Si realizamos la multiplicación
obtendremos , lo cual puede resultar un poco difícil de simplificar para los(as)
alumnos(as), o al menos un tanto largo el procedimiento.
Sin embargo, si solo expresamos la multiplicación, es fácil obtener los factores comunes.
Vemos que existe el factor común 5 entre 15 y 25, y el factor 7 entre 21 y 28. Podemos, por
ende, simplificar previamente estos términos:
· = · = · =
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES (Páginas 154 y 155)
2125315
700
1528·
21 25
15 28
21 28
15 25
3 4
3 5
9 20
UNIDAD4 14/9/09 12:19 Page 89
| 90 |Santillana Bicentenario
Actividades complementarias o tareas• Se sugiere repasar las deducciones realizadas en esta unidad, comprobando que las
relaciones hayan sido comprendidas y que los(as) alumnos(as) sean capaces de reconstruir
las explicaciones de los procesos realizados.
• Puede ser interesante repasar los ejercicios y problemas que hayan realizado y, a modo de
puesta en común, buscar que los(as) alumnos(as) expliquen con sus palabras sus métodos
de resolución, poniendo atención especialmente a la secuencia de pasos que siguen.
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES (Páginas 160 y 161)
Errores frecuentes o posibles dificultades • La multiplicación de fracciones, como ya se ha planteado, suele hacer que los(as)
alumnos(as) se confundan con la adición, ya que se multiplica numerador por numerador,y denominador por denominador. Este procedimiento confunde a los alumnos y alumnas,pues cuando se suman fracciones, también lo hacen sumando numerador con numeradory denominador con denominador.
Ejemplos de procedimientos erróneos.
1. Adición de fracciones de igual denominador � + = =
2. Adición de fracciones de distinto denominador � + = =
Corregir estos errores, poniendo énfasis que al sumar fracciones, si bien hay un algoritmoque siempre resulta, la base de ese procedimiento, es que para adicionar o sustraerfracciones se deben obtener las fracciones equivalentes, con igual denominador, a lasfracciones originales. Solo así, se obtienen fracciones que se pueden sumar o restar.
• La interpretación de la multiplicación de fracciones es compleja puesto que nos saca de la
interpretación clásica de que la multiplicación es solo una adición iterada. En efecto,
interpretamos que 5 · 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3, es decir, sumamos cinco veces el tres.
Pero, ¿qué puede significar · ? ¿Sumar un tercio veces?
La justificación de los procedimientos de alguna manera obliga a dar un pequeño salto en
la interpretación de la multiplicación. Este contenido, multiplicación entre dos números
fraccionarios, se puede comenzar trabajando como el área de un rectángulo, cuyos lados
miden lo indicado por dichos fracciones. Y luego, obtener el área como la multiplicación
de la medida del ancho por la del largo.
• Si los(as) alumnos(as) se acostumbran a la mecanización, puede que en este caso
“multipliquen cruzado”, algo que ya han hecho. Será el énfasis que se haga en comprender
el proceso el que evite este error.
58
67
45
6 + 47 + 5
13
45
45
1012
28
5 + 28 + 8
716
UNIDAD4 14/9/09 12:19 Page 90
| 91 |
UNIDAD 4 | LAS FRACCIONES
¿QUÉ APRENDÍ? (Páginas 164 a 167)
IndicadorNº de
preguntaRespuesta
Criteriode logro
Remediales/ sugerencias de profundización
Multiplicarfracciones endistintoscontextos.
9
10
16
C
C
de litro
2 / 3 • Trabajar con los alumnos y las alumnas, ejercicios enlos cuales lo esencial sea el procedimiento que seutiliza para multiplicar fracciones, y no así suinterpretación.
• Ejercitar problemas, en los cuales se multipliquenmás de dos fracciones, en las cuales se debasimplificar de forma cruzada, para que el resultadoobtenido sea la fracción irreductible.
Sumar y restarfracciones endistintoscontextos.
7
8
14
15
17
18
C
B
2 alfajores
4 kg o kg
8 kg o kg
le sobran 4
5 / 6 • Trabajar ejercicios en los cuales los y las estudiantesrepasen los métodos para adicionar y sustraerfracciones, verificando esencialmente quecomprendan la necesidad de igualar denominadores.
• Es importante trabajar problemas de resolución, enlos cuales los y las estudiantes deban dar respuestaresolviendo sumas y restas de fracciones con igual ydistinto denominador.
Calcularfracciones deunidades demedida delongitud, masa ytiempo.
4
5
6
C
D
C
3 / 3 • Trabajar ejercicios en los cuáles sea fácil observar si alos y las estudiantes les dificulta este contenido por undesconocimiento de las unidades utilizadas, o aproblemas de operatoria. Si la dificultad es laoperatoria se propone, profundizar en elprocedimiento de trabajar la fracción como operador.
Ordenar ycompararfracciones yrepresentarlas enla recta numérica.
1
2
3
11
12
13
B
C
C
Construcción
Construcción
Amboscomieron 2
alfajores
4 / 5 • Pedir a los y las estudiantes que representen fraccionessimples en una recta numérica. Por ejemplo, fraccionescomo , , ; en las cuales solo tengan que dividir larecta numérica en partes iguales como indica eldenominador. Luego, proponer fracciones cuyonumerador sea mayor que uno. Y, posteriormentetrabajar con fracciones impropias. Una vez que losalumnos y alumnas, ya sepan representar fracciones enla recta, una vez ubicadas en la recta, pedirlescompartir sus procedimientos para determinar quéfracción es mayor, menor o igual que otra.
916
14
18
658
12
42
14
15
18
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| 92 |Santillana Bicentenario
Evaluación de la unidad Material fotocopiable
NOMBRE: CURSO: FECHA:
Marca la alternativa correcta en las siguientes preguntas.
1. ¿Entre qué fracciones se ubica la fracción ?
A. y
B. y
C. y
D. y
2. Para preparar una pintura, se mezcla de litro de
diluyente por cada litro de pintura. Para de litros
de pintura se necesitan:
A. de litro de diluyente.
B. de litro de diluyente.
C. de litro de diluyente.
D. de litro de diluyente.
3. Un carpintero demora de día en reparar un mueble.
Otro, demora de día. ¿Cuántas horas más se tarda
el primero que el segundo?
A. 2 horas
B. 3 horas
C. 4 horas
D. 1 hora
4. ¿Cuál de estas expresiones no es equivalente con la
fracción ?
A. 1 C.
B. 1 D.
5. El resultado de la operación + + es igual a:
A.
B.
C.
D.
6. En un curso de 36 alumnos, optó por un taller de
deportes, por el de música y el resto por uno de
manualidades. ¿Cuántos alumnos optaron por el taller
de manualidades?
A. 5 alumnos
B. 12 alumnos
C. 6 alumnos
D. 8 alumnos
7. ¿Cuánto resulta 4 + 6 - 2 ?
A. 8
B. 9
C. 10
D. 8
8. ¿Cuáles son las fracciones representadas, respectivamente?
A. y C. y
B.1 y 1 D. 1 y 2
1936
23
23
1318
23
2227
1318
2027
79
59
13
25
45
310
15310
15
910
312
912
14
68
312
912
14
34
12
13
14
22241613622362224
103
712
14 7
2
768622878
781416
2124
158
6032
2
UNIDAD4 14/9/09 12:19 Page 92
| 93 |
9. Solo utilizando las divisiones de este segmento
¿Qué fracción no puede ubicarse aquí?
A.
B.
C.
D.
10. Un muro de tres metros está pintado de tres colores:
1 metros con color rojo, 60 centímetros de
color azul y el resto de color verde. ¿Qué fracción
del muro está pintada de color verde?
A. 1
B.
C. 1
D.
11. De 80 huevos que tenía, vendí de ellos, comí 30 y el resto se perdieron. ¿Cuántos se perdieron?
A. 18 huevos
B. 20 huevos
C. 12 huevos
D. 16 huevos
12. Si a es un número cualquiera, distinto de cero, ¿cuálde estas fracciones no puede ser equivalente a ?
A. C.
B. D.
13. ¿Cuánto resulta · ?
A.
B.
C.
D.
14. ¿Cuál de las siguientes secuencias de expresiones estácorrectamente ordenada?
A. ➜ ➜ ➜
B. ➜ ➜ ➜ 1
C. ➜ ➜ ➜
D. ➜ ➜ ➜
15. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor que ?
A. 1
B.
C. 1
D.
16. ¿Cuánto resulta 2 · 3 ?
A. 6
B.
C. 8
D. 8
16
592334
14
115
25
15100
15100
2360
a60
25a
45a
72a
920
415
5536
35
25
23
3652
81208
1613
8479
1225
4827
2429
529
35
23
65
56
27
59
78
13
512
67
710
811
35
23
65
56
2330
529
4850
45
10
UNIDAD4 14/9/09 12:19 Page 93
| 94 |Santillana Bicentenario
17. A Don Antonio le pagan de dólar por cada
kilogramo de metal que vende. Si ha logrado reunir
7 kg, ¿cuánto le pagarán en total por ello?
A. 7
B.
C. 2
D.
18. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor, y cuál es
la diferencia entre ellas?
A. La roja es mayor, por
B. La amarilla es mayor, por
C. La roja es mayor, por
D. La amarilla es mayor, por
19. ¿Cuál de las siguientes sumas es mayor?
A. +
B. +
C. +
D. +
20. En un curso hay 17 mujeres y 15 hombres. Si a finalde año se retiran del curso 3 hombres y llegan 5 mujeres, ¿qué fracción del curso representan loshombres ahora?
A.
B.
C.
D.
21. ¿Cuál de las siguientes fracciones es la mayor?
A.
B.
C.
D.
22. ¿Qué fracción está representada en la recta?
A.
B.
C.
D.
23. ¿Qué fracción es equivalente a ?
A. C.
B. D.
29
524
18381324
178
15
4950
14
3940
13
13
58
2930
12
6173861113
1920
29
340
340
37
27
57
17
47
57
67
17
57
107
1014
514
75
210
UNIDAD4 14/9/09 12:19 Page 94
| 95 |
24. Al simplificar se obtiene:
A.
B.
C.
D.
25. La fracción irreductible de es:
A.
B.
C.
D.
26. Al multiplicar dos fracciones impropias el producto es
siempre:
A. menor que los factores.
B. mayor que los factores.
C. menor que uno de los factores y mayor que el otro.
D. No se puede determinar.
27. El cálculo de - + es:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
28. 8. El valor de + · es igual a:
A.
B. 1
C.
D. 2
29. El resultado de es igual a:
A.
B. 35
C.
D.
30. Al amplificar la fracción por 2 se obtiene unafracción:
A. propia.
B. impropia.
C. igual a la unidad.
D. igual a dos unidades.
31. Leo tiene un juego de bloques de colores. Tres dieciochoavos de las piezas son azules, dos sextosde ellas son verdes y tres sextos de ellas son rojas. ¿De qué color de pieza tiene menos?
A. Rojas
B. Azules
C Verdes
D. Rojas y verdes
2128
304015205434
18
343774
150200
74
25
14
24
2814
32
17
214
94
135
115
745
32
( )- :13
73
UNIDAD4 14/9/09 12:19 Page 95
| 96 |Santillana Bicentenario
5Intr
od
ucc
ión
Los
núm
eros
dec
imal
es t
iene
n m
últip
les
usos
en
la v
ida
cotid
iana
, sin
em
barg
o su
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ejo
no r
esul
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iem
pre
senc
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ara
los(
as)
alum
nos(
as).
Mat
emát
icam
ente
, la
ope
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aria
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ias
dere
solu
ción
aso
cian
dola
a la
ope
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s op
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mer
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Util
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par
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ones
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stra
ccio
nes,
mul
tiplic
acio
nes
y di
visio
nes
con
núm
eros
dec
imal
es p
ositi
vos.
•Fr
acci
ones
dec
imal
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UNIDAD 5 14/9/09 12:20 Page 97
| 98 |Santillana Bicentenario
Esquema de la unidad
Información para el docente• Al igual que en la unidad anterior (Las fracciones) es preciso que los(as) alumnos(as) se
encuentren familiarizados con distintas unidades de medida, de manera que sus fracciones ysubdivisiones puedan ser utilizadas por ellos(as) y adecuadamente interpretadas. Porejemplo, el uso de décimas y centésimas de segundo es distinto a utilizar décimas ocentésimas de minuto, puesto que un minuto se divide no en cien segundos, sino en sesenta.
• Si bien los números decimales suelen contextualizarse más que las fracciones en la vidacotidiana, es conveniente que los(as) alumnos(as) trabajen indistintamente con ellos en suexpresión fraccionaria equivalente. Es decir, que los y las estudiantes puedan trabajar en laoperatoria de números decimales –adición, sustracción y multiplicación– como también ensus expresiones fraccionarias equivalentes, esto permitirá a los alumnos y alumnas tenerdistintas estrategias para resolver determinados ejercicios.
• En esta unidad, es importantísimo que los contenidos de la unidad de fracciones hayan sidocomprendidos, y que los(as) alumnos(as) los apliquen en sus interpretaciones y operatoria,ya que constantemente se estará revisando la equivalencia entre un número decimal y suexpresión fraccionaria.
• Para contextualizar los números decimales y aproximarlos a situaciones cercanas a lasvivencias de los alumnos y alumnas, se pueden mencionar los siguientes ejemplos:
PÁGINAS DE INICIO (Páginas 170 y 171)
Sugerencias metodológicas
NÚMEROS DECIMALES
Cantidadesno enteras
Unidadesde medida
Fraccionesdecimales
Operaciones
Adición ysustracción
Multiplicación
Orden
Ubicaciónen la recta
Comparaciónde sus cifras
Divisionesno exactasde enteros
UNIDAD 5 14/9/09 12:20 Page 98
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UNIDAD 5 | LOS NÚMEROS DECIMALES
- sus calificaciones, estas en su mayoría son expresadas como un número decimal.
- los tiempos realizados por los deportistas en los últimos Juegos Olímpicos de Beijing.
- la estatura de cada uno de los alumnos y alumnas expresadas en metros.
- Etc.
IndicadorNº de
preguntaRespuesta
Logradocon
Remediales/ sugerencias de profundización
Interpretarinformaciónutilizandofracciones.
1
2
3
B
B
D
2 / 3 • Trabajar con los y las estudiantes distintasinterpretaciones de fracción en situaciones variadas,como por ejemplo, parte de un entero.
• Presentar ejercicios en los cuales deban interpretarfracciones dado un problema escrito, para que los ylas estudiantes, trabajen en variados registros deinformación.
Representarfracciones en larecta numérica.
4 Construcción 1 / 1 • Presentar a los alumnos y alumnas, fraccionessimples para que las asocien con puntos en la rectanumérica. La idea de esta actividad es querecuerden, que una unidad se divide en tantaspartes iguales como lo indica el denominador, yluego, desde la primera división, se ”avanzan” tantasdivisiones como el numerador señala.
• Complejizar la actividad anterior, con fraccionesimpropias y número mixtos. Pedir a los y lasestudiantes que puedan verbalizar losprocedimientos utilizados para representarfracciones en la recta numérica.
Dividir númerosnaturales con unao más cifras.
5
6
7
8
Cociente: 3
Resto: 1
Cociente: 4
Resto: 4
Cociente: 16
Resto: 7
Cociente: 164
Resto: 8
3 / 4 • Presentar ejercicios en los cuales los alumnos yalumnas puedan dividir sin mayor dificultad, pararecordar lo que se define por cociente y lo que sedefine por resto.
• Trabajar con los alumnos y alumnas, ejercicios en loscuales el cociente sea un número de más de 2 cifrasy, sepan identificar que el resto debe ser un númeromenor que el divisor.
¿QUÉ RECUERDO? (Páginas 172 y 173)
UNIDAD 5 14/9/09 12:20 Page 99
| 100 |Santillana Bicentenario
Información para el docente• Cuando se presenten las divisiones del cubo, considerado este como unidad, debe ponerse
énfasis en que el cubo es el que se va dividiendo, primero en 10, luego nuevamente en 10 y, luego, 10 partes iguales nuevamente. Es importante que los y las estudiantes no seconfundan en considerar, por ejemplo, las décimas (“base del cubo”) o milésimas (“cubitos”)como la unidad de referencia, recordar, que el cubo es la unidad.
• Prestar especial atención al ejercicio 4, de la sección Practica.
La imagen que debiera aparecer es la siguiente:
El cubo que representa a la unidad, no tendría por qué estar dividido en milésimas, si ladécima no está dividida. En caso que hiciéramos todas las divisiones, los(as) alumnos(as)perfectamente pueden confundir la expresión que se busca.
Errores frecuentes o posibles dificultades • Como se planteó en la unidad de fracciones, resulta arbitrario lo que se considera como
referente de un entero, por lo tanto, la interpretación de fracciones también debe hacersesegún el referente considerado. La reflexión anterior es esencial para que los alumnos yalumnas no presenten dificultades en el trabajo de estas páginas, pues, para los númerosdecimales, se han vuelto a definir nuevos referentes para el análisis. El nuevo referente es uncubo, lo que representa al entero o a la unidad, de este referente se consideran los décimos,centésimos y milésimos.
• Prestar especial atención al ejercicio 5 de la página 175, ya que están los recuadros paracompletar con un número mixto. Sin embargo, según la representación gráfica, su expresióndecimal es equivalente a 0,1 más 0,01 y 0,01, que fraccionariamente corresponde a unafracción propia y no a un número mixto.
Lo que está representado, de acuerdo a la convención adoptada en esta unidad, sería elnúmero decimal 0,12.
Escrito como fracción corresponde a que, forzadamente, corresponde al número
mixto . Probablemente, muchos(as) alumnos(as) tenderán a interpretarlo como
, que podría ser válido pero no es correcto, pues aquí, por lo que significa la placa
completa, no es el entero sino un décimo.
FRACCIONES DECIMALES Y NÚMEROS DECIMALES (Páginas 174 y 175)
12100
12100
210
0
1
la unidad décima centésima milésima
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| 101 |
UNIDAD 5 | LOS NÚMEROS DECIMALES
Información para el docente• Si los(as) alumnos(as) han comprendido anteriormente la lectura y escritura de números
naturales, la lectura y escritura de este tipo de números resultaría una extensión de ello.
• En general, la lectura de números decimales se hace de una manera similar a la misma lecturade números naturales. Así, una nota 5,7 suele leerse como “cinco coma siete” y no como“cinco enteros siete décimos”. Conviene, de todos modos, hacer que realicen la lectura deesta segunda manera para asegurarse de que comprenden el valor posicional de sus cifras.
Actividades complementarias• Puede ayudar a los(as) alumnos(as) en la lectura de los números decimales, hacer una extensión
explícita del sistema decimal posicional a las divisiones de la unidad, con la ayuda de un ábaco.
El número representado es: 365,12.
Solo hemos agregado cifras “a la izquierda” de la unidad, representando sub-unidades de ella.Nuevamente, una argolla puesta en una barra equivale a diez argollas puestas en la barrainmediatamente siguiente.
Conviene que vean, ayudados por esto, que todo número tiene su representación decimal,agregando una coma y tantos ceros como queramos.
Errores frecuentes o posibles dificultades • Puede ocurrir que, al igual que en la lectura de números naturales, a los(as) alumnos(as) les
cueste interpretar la ausencia de décimas, cuando tenemos centésimas. Por ejemplo, en elnúmero 3,04, pueden interpretar que la décima ha sido omitida, y tomar el cuatro comodécima. Puede llevar a confusión la regla, muchas veces aprendida, de que “los cerosdespués de la coma tienen valor”
LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS DECIMALES (Páginas 176 y 177)
DM UM C D U De Ce
UNIDAD 5 14/9/09 12:20 Page 101
| 102 |Santillana Bicentenario
Información para el docente• Como se mencionó al principio de la unidad, se necesitará que los(as) alumnos(as) identifiquen
y sepan trabajar con unidades de medida y sus equivalencias, tal como se hizo en la unidadanterior, al utilizar fracciones de unidades de medida. De cualquier modo, se utilizarán solounidades que se dividen en décimos y centésimos.
• Es probable que los(as) alumnos(as) deseen obviar la operatoria de fracciones, y plantear deinmediato que 0,36 metros corresponde a 36 centímetros. De todos modos, es conveniente querealicen la operación indicada, de manera de repasar el contenido y asegurar una mejor comprensión.
Actividades complementarias• Puede resultar interesante, como se planteó al principio de la unidad, proponer a los(as)
alumnos(as) algunos ejemplos de unidades de tiempo (esta unidad de medida se divide en 60
y no en 10 ó 100). Por ejemplo, una persona demora 3,2 horas en realizar una tarea, es muy
probable que interpreten que el tiempo total corresponde a 3 horas y 2 minutos o 3 horas y
20 minutos, sin reparar en el significado de los de hora. Aquí cobra especial importancia la
operatoria y el procedimiento a realizar, puesto que si realizan la multiplicación, concluirán
que, en realidad, Naturalmente, el 0,2 equivale a de hora, es decir, 12 minutos. el mismo
problema puede aplicarse utilizando minutos, y calculando décimas de minuto.
• Un problema para los(as) alumnos(as) más aventajados será la interpretación de 3,25 horas.
En este caso, la simplificación no es tan directa como en los casos anteriores, y puede ocurrir
que los(as) alumnos(as) deseen transformar a minutos la hora, y estos en décimas. Será útil
asociar este problema a los de fracciones no decimales y su relación con los números. En
nuestro caso, la asociación evidente que vendrá será la de con , que de manera
cotidiana se asocia a 15 minutos.
• El uso de las unidades de medida y números decimales puede servir para justificar la adición deceros luego de la última cifra decimal significativa. Habiendo revisado en el sistema métrico decimal,las equivalencias y transformaciones, queda claro que, por ejemplo, 3,2 metros equivale a 3 metrosy 2 decímetros, o 20 centímetros, o 200 milímetros. Por lo mismo, se deduce que:
3,2 = 3,20 = 3,200
Es decir, podemos agregar los ceros, o quitarlos si no son necesarios.
LOS NÚMEROS DECIMALES EN LA VIDA DIARIA (Páginas 178 y 179)
14
15
210
25100
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UNIDAD 5 | LOS NÚMEROS DECIMALES
Errores frecuentes o posibles dificultades • Es posible que, extendiendo el contenido de orden en los números naturales, los(as)
alumnos(as) piensen que, en el caso de los números decimales, también será mayor el quetenga más cifras, y lleguen así a conclusiones erradas, como que 25,32 < 23,578. Puederesultar más fácil para los(as) alumnos(as), en principio, igualar el número de cifras decimales,agregando los ceros que correspondan, como se vio anteriormente.
RELACIÓN DE ORDEN (Páginas 180 y 181)
Información para el docente• De modo similar a la ubicación de fracciones en la recta, puede resultar difícil para los(as)
alumnos(as) dividir una unidad ya establecida en diez o cien partes iguales. En general, serásimple si se trata de ubicar las fracciones asociadas a un medio (representación decimal,0,5), pero no si queremos ubicar, por ejemplo, 2,7. Se sugiere que en principio los(as)alumnos(as) utilicen unidades de medida ya comunes, pro ejemplo, ubicando cada unidadcada diez centímetros, para facilitar las subdivisiones.
• Respecto a lo anterior, nótese que en la mayoría de los cuadernos cuadriculados, lascuadrículas miden 7 milímetros por lado. Utilizar esta medida en la recta numéricacomplicará su división.
• Puede resultar más práctico, al igual que en la unidad de fracciones, fijar primero lasmedidas y luego ubicar las unidades. Por ejemplo, si queremos ubicar el número 2,3, serámejor tomar una medida fija y copiarla 30 veces.
Ubicar el 0 al inicio, luego, cada 10 espacios ubicar las unidades de la parte entera, paraluego contar 3 espacios a partir del 2 y ubicar el número 2,3.
Este método se dificulta si queremos ubicar números que tengan centésimas, pero nomayores que si utilizamos unidades ya definidas.
Actividades complementarias• Se puede proponer a los(as) alumnos(as) ubicar en la recta números como 2,5 y 1,75. Para
ello, puede ocurrir que busquen utilizar el método “tradicional”, es decir, marcar todas lasdivisiones. Pero puede ser interesante que los(as) alumnos(as) puedan abreviar y ubicarsolo los medios o cuartos. Si bien con esto se adelantan en el contenido, no deja de serinteresante que lleguen a este tipo de deducciones.
REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA (Páginas 182 y 183)
0 1
10 veces
2 2,3 3
10 veces 10 veces
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| 104 |Santillana Bicentenario
IndicadorNº de
preguntaRespuesta
Logradocon
Remediales/ sugerencias de profundización
Relacionar lasfraccionesdecimales consus respectivosnúmerosdecimales, yviceversa.
1
2
D
C
1 / 2 • Trabajar con los alumnos y alumnas ejerciciossimples donde solo deban identificar una fraccióndecimal (contenido que ya ha sido trabajo en launidad 4 de este texto) con su número decimalcorrespondiente.
• Realizar ejercicios, en los cuales se realice elproceso inverso a la actividad anterior, es decir, seda la expresión decimal y se les pide que obtengansu expresión fraccionaria correspondiente. Luego, sies posible, que obtengan la fracción irreductible.
Comprender cuáles el valorposicional de lascifras de unnúmero decimal.
3
4
5
C
A
C
2 / 3 • Se propone trabajar con los y las estudiantes, paraidentificar el valor posicional de un número,problemas en los cuales se grafique una tabla simplecon los valores posicionales de la parte entera y laparte decimal de un número.
• Plantear ejercicios en los cuales se les pida a losalumnos y alumnas que identifiquen la posición delnúmero según sea la pista entregada. Por ejemplo,marcar con rojo en el número 3,24 la posición de lascentésimas. Luego, preguntar: ¿a cuántas milésimasequivale el número?
Establecer unorden adecuadoentre losnúmerosdecimales.
6
7
8
B
B
Construcción, 0,09 0,1
0,11 0,98
2 / 3 • Se propone dibujar una recta numérica, para queinicialmente los alumnos y alumnas puedanrepresentar números en la recta, y así verificar cuálesson mayores o menores.
• Trabajar con los alumnos y alumnas, problemasescritos donde se les pregunte indirectamente, elorden de determinadas cantidades. Por ejemplo: siCarlos va al supermercado a comprar xx kilogramosde pan, xx kilogramos de queso y xx kilogramos dejamón, ¿de qué llevó más cantidad? ¿y menos?
¿CÓMO VOY? (Páginas 184 y 185)
UNIDAD 5 14/9/09 12:20 Page 104
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UNIDAD 5 | LOS NÚMEROS DECIMALES
Información para el docente• El algoritmo para sumar números decimales es básicamente el mismo que para los números
naturales. Sin embargo, conviene hacer nuevamente la interpretación de este algoritmo parareforzar la idea del valor posicional de las cifras.
Para ello, se puede proponer la adición 3,45 + 5,76 y realizarla mediante descomposiciónaditiva, cifra por cifra, es decir:
3 unidades + 4 décimas + 5 centésimas + 5 unidades + 7 décimas + 6 centésimas
= (3 + 5) unidades + (4 + 7) décimas + (5 + 6) centésimas
= 8 unidades + 11 décimas + 11centésimas
Luego, convertimos los subtotales:
= 8 unidades + 11 décimas + 11centésimas
= 8 unidades + 1 unidad + 1 décima + 1 décima + 1 centésima
= 9 unidades + 2 décima + 1 centésima
= 9,21
• Para la sustracción se recomienda, también, realizar este procedimiento, especialmente para loscasos en que una de las cifras es 0, por ejemplo, 3,02 – 1,3. En tal caso, cobra especialimportancia que completen el número de decimales y realicen la descomposición aditiva:
3 unidades + 0 décimas + 2 centésimas – 1 unidad – 3 décimas – 0 centésimas
= 2 unidades + 10 décimas + 2 centésimas – 0 unidad – 13 décimas – 0 centésimas
= 1 unidad + 20 décimas + 2 centésimas – 0 unidad – 13 décimas – 0 centésimas
= (1 – 0) unidades + (20 – 13) décimas + (2 – 0) centésimas
= 1 unidad + 7 décimas + 2 centésimas
= 1,72
Errores frecuentes o posibles dificultades • Es preciso que los(as) alumnos(as), concienzudamente, apliquen el algoritmo de la adición
completando los decimales correspondientes para escribir ambos números con igualcantidad de cifras decimales. Un error frecuente al respecto es no interpretarcorrectamente este número de cifras.
• Un ejemplo de lo anterior es, por ejemplo, la adición 3,29 + 1,6. Dado que en losnúmeros naturales no nos preocupamos de la cantidad de cifras, y comenzamos por laderecha, puede ocurrir que sumen las seis décimas con las nueve centésimas. Una vez quedominen el significado de la adición de números decimales podrán operar directamente,manteniendo las centésimas y solo sumando las décimas y la parte entera de los números.
• De la misma manera, se suelen cometer errores en la sustracción, que pueden sersubsanados si los(as) alumnos(as) logran comprender correctamente la descomposición
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS DECIMALES (Páginas 186 a 189)
UNIDAD 5 14/9/09 12:20 Page 105
| 106 |Santillana Bicentenario
Información para el docente• Al igual que como se mencionó anteriormente, conviene justificar el algoritmo de la
multiplicación mediante la descomposición aditiva, de modo que sean capaces decomprenderlo y aplicarlo debidamente en caso de confusiones:
¿Cuánto resulta 4 · 3,81?
Se multiplicará como suma iterada, es decir, se sumará 4 veces el número 3,81.
= (3 unidades + 8 décimas + 1 centésimas) + (3 unidades + 8 décimas + 1 centésimas) + (3 unidades + 8 décimas + 1 centésimas) + (3 unidades + 8 décimas + 1 centésimas)
= (3 + 3 + 3 + 3) unidades + (8 + 8 + 8 + 8) décimas + (1 + 1 + 1 + 1) centésimas
= 4 · 3 unidades + 4 · 8 décimas + 4 · 1 centésimas
= 12 unidades + 32 décimas + 4 centésimas
= 12 unidades + 3 unidades + 2 décimas + 4 centésimas
= 15 unidades + 2 décimas + 4 centésimas
= 15,24
A partir de la explicación y la descomposición aditiva es posible que comprendan que elproducto tendrá tantas cifras decimales como el factor decimal que estamos usando, motivopor el cual podemos usar el algoritmo mecánicamente utilizado, es decir, obviar la coma,multiplicar como si se tratase de números naturales, y luego mover la coma decimal, dederecha a izquierda, tantas cifras decimales como cifras decimales tengan los factores.
• Pese a que no es contenido de esta unidad, es conveniente saber que la multiplicación,cuando extendemos su definición a los números racionales y a los reales, debe definirsecomo una operación propiamente tal, sin interpretarla como una suma iterada.
Se revisó ya que al multiplicar fracciones, como · , pierde sentido hacer preguntascomo: ¿debemos sumar “dos tercios” veces cinco medios? Claramente, no se trata de eso.Por cierto, el asunto se hace más complejo si nos preguntamos por el resultado de lamultiplicación. Intentar un algoritmo basado en la multiplicación de los números naturales notiene sentido, y solo es posible definir la multiplicación utilizando las fracciones. Llegamos adefinir la multiplicación como una operación propiamente tal, sin vincularla a la interpretacióncotidiana.
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES POR UN NÚMERO NATURAL (Páginas 190 y 191)
23
59
UNIDAD 5 14/9/09 12:20 Page 106
| 107 |
UNIDAD 5 | LOS NÚMEROS DECIMALES
Información para el docente• Nuevamente, conviene justificar el procedimiento para la división apoyándonos, esta vez, en
la interpretación gráfica. Para ello, podemos utilizar el ejemplo 7 : 4, representándolo de lasiguiente manera.
Lo natural sería, es asociar la división con un reparto equitativo, es decir, repartir los sietecuadrados en cuatro partes iguales. De los 7 cuadrados, se reparten 4 y sobran 3 de ellos.
Dado que no podemos repartir tres cuadrados (que sobraron del repartir en 4 partesiguales) en cuatro partes iguales, los subdividimos en diez partes cada uno, obteniendo asítreinta décimas, que procedemos nuevamente a repartir equitativamente en cuatro partesiguales. De esta repartición, corresponden siete décimas a cada una, y sobran dos de ellas.
DIVISIÓN NO EXACTA (Páginas 192 y 193)
Actividades complementarias• Puede proponer a los(as) alumnos(as), como alternativa para comprender la multiplicación
y su algoritmo, la transformación previa del número decimal a fracción. Por ejemplo:
4 · 2,18 = 4 · = · = = = 8,72
Quizás este procedimiento, un poco más extendido, permite comprender mejor por quéal multiplicar un número natural por un decimal, el resultado tendrá tantos decimalescomo el factor decimal, además de permitir repasar los contenidos anteriores.
218100
218100
4 · 2181 · 100
872100
41
UNIDAD 5 14/9/09 12:20 Page 107
| 108 |Santillana Bicentenario
Información para el docente• Si bien es cierto que toda fracción podemos expresarla como un número decimal, no es
cierto que todo decimal podamos expresarlo como fracción; es el caso de los númerosirracionales. Por otra parte, es importante tener claro, que en estas páginas se trabajará condecimales finitos, sin embargo, conviene aclarar, que no son los únicos tipos de decimalesque existen, pues en el curso que viene, se trabajará con decimales infinitos.
• Se plantea, como último ejercicio, que saquen conclusiones respecto a la división por 9.Los(as) alumnos(as) podrán apreciar que, al dividir cada natural menor que nueve por nueve,se obtiene un decimal infinito periódico, con período igual al numerador. En esta ocasión,solo servirá para poder vislumbrar una regla que se estudiará mucho más adelante, debiendomantenerse hasta ahora solo como una curiosidad numérica.
• Según el ejercicio 14, de página 195, podría resultar interesante llegar a pensar que,
= 0,99999... = 0,9
DE FRACCIONES A NÚMEROS DECIMALES (Páginas 194 y 195)
Las dos décimas restantes las dividimos nuevamente en diez partes iguales, yrepartimos las centésimas. De las centésimas, repartimos cinco de ellas a cada parte,sin que sobre ninguna.
Con lo cual concluimos que 7 : 4 = 1,75.
Recomendamos que esta deducción se realice antes de explicar el algoritmo, demodo que cobre sentido para los(as) alumnos(as).
99
UNIDAD 5 14/9/09 12:20 Page 108
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UNIDAD 5 | LOS NÚMEROS DECIMALES
Pero, claramente, la fracción con numerador y denominador iguales corresponde a la unidad.Si se desea investigar más al respecto se sugiere visitarhttp://es.wikipedia.org/wiki/0,9_periódico, especialmente el foro de discusión.
Actividades complementarias• En algunos casos, particularmente cuando se trata de fracciones cuyos denominadores solo
tienen como factores primos el 2 ó 5, puede ser más conveniente amplificarlas
adecuadamente de forma de obtener un denominador que sea una potencia de diez. Por
ejemplo, las fracciones:
puede ser más útil, en lugar de hacer la división, amplificarlas convenientemente,
obteniendo:
Luego su transformación a número decimal es más simple.
• De igual manera, se recomienda prestar atención si los(as) alumnos(as) son capaces de
desarrollar algunas estrategias para simplificar las fracciones y llegar a números más simples,
que no siempre coincidirán con el numerador y el denominador de la fracción irreductible.
Por ejemplo, al convertir a número decimal , pueden notar que 256 es divisible por
cuatro, lo que les permitiría simplificar y obtener una fracción de denominador
1.000, .
Información para el docente• Al igual que en la unidad anterior (de fracciones) la calidad de la síntesis que puedan realizar
los(as) alumnos(as) está directamente relacionada con la relación que hagan entre los
contenidos de la unidad y su capacidad de apreciar su secuencia. Conviene, por otra parte,
que comparen con la síntesis de la unidad de fracciones, aprovechando de recalcar las
relaciones entre ambos contenidos.
• Como se ha dicho durante la unidad, para los(as) alumnos(as) puede ser más familiar el uso
de decimales que el de fracciones, pero aspiramos a que puedan manejar ambas
representaciones por igual. Si es necesario repasar algunos de los contenidos al sintetizar,
se recomienda que sea utilizando ejemplos cotidianos de uso de decimales.
JUEGOS Y SÍNTESIS (Páginas 200 y 201)
75100
3751.000
52100
2241.000
42100
35100
461.000
2564.000
34
38
1325
28125
2150
720
UNIDAD 5 14/9/09 12:20 Page 109
| 110 |Santillana Bicentenario
¿QUÉ APRENDÍ? (Páginas 204 a 207)
IndicadorNº de
preguntaRespuesta
Criteriode logro
Remediales/ sugerencias de profundización
Plantear yresolverproblemascontextualizadoscon númerosdecimales.
8
11
12
13
C
233,33 kg
414 m3
55,452 km
3 / 4 • Pedir a los(as) alumnos(as) que, siguiendo elesquema de los ejercicios resueltos y las estrategiasde resolución de problemas, revisen sus respuestasy las elaboren nuevamente.
Realizarcorrectamentelas cuatrooperacionesbásicas, connúmerosdecimales.
3
4
5
6
9
10
B
D
B
C
30,2 kWh$ 3.383
287,18
5 / 6 • Repasar los procedimientos vistos en la unidad, yrealizar nuevamente los ejercicios paso a paso.
• Realizar los ejercicios sin algoritmos, sino que apartir de un procedimiento más básico (multiplicarmediante iteración de la adición por ejemplo)justificar los algoritmos y aplicarlos nuevamente.
Ordenarnúmerosdecimales.
7 A 1 / 1 • Explicar el procedimiento seguido para ordenar losnúmeros, paso a paso y reconociendo los valoresposicionales de las cifras.
Reconocer eidentificarunidadesdecimales.
1
2
C
C2 / 2 • Pedir a los(as) alumnos(as) que expliquen el proceso
seguido para leer el número (si este fuera el error).• Pedirles que “nombren” cada cifra de acuerdo a su
posición, para detectar sus valores respectivos.
UNIDAD 5 14/9/09 12:20 Page 110
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UNIDAD 5 | LOS NÚMEROS DECIMALES
Responde.
1. Paula mide 1,75 metros. ¿Cuántos centímetros mide?
2. Una película tiene una duración de 2,4 horas. ¿Cuántos minutos dura la película?
3. Andrea viajó por distintas regiones de Chile durante 45 días. ¿Cuánto tiempo, en meses,
viajó? (considerar 1 mes de 30 días)
4. Desde Santiago a Viña del mar un bus se demora 1 hora y 30 minutos, como mínimo.
¿Qué número decimal corresponde a este tiempo?
5. para hacer galletas se necesitan 0,6 kilogramos de harina, 0,125 kilogramos de mantequilla
y 0,25 kilogramos de azúcar. ¿Cuánto es la masa de todos los ingredientes juntos?
6. Un comerciante tiene 60 kilogramos de té y los envasa en paquetes de 0,25 kilogramos.
¿Cuántos paquetes obtiene?
7. Gustavo tiene un listón de madera de 4,5 metros y lo corta en 14 trozos de igual tamaño.
¿Cuál es la medida de cada trozo?
8. La altura de cada piso de un edificio es de, aproximadamente, de 2,49 metros. En la azotea
del edificio hay una antena de 2,75 metros. ¿A qué altura está la punta de la antena, si el
edificio tiene 12 pisos?
ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS
UNIDAD 5 14/9/09 12:20 Page 111
| 112 |Santillana Bicentenario
Evaluación de la unidad Material fotocopiable
NOMBRE: CURSO: FECHA:
Marca la alternativa correcta en las siguientes preguntas.
1. El número 30,03 se lee:
A. treinta enteros tres décimas.
B. tres enteros tres milésimas.
C. treinta enteros tres centésimas.
D. tres enteros tres centésimas.
2. ¿Cuál de las siguientes fracciones representa al número
4,05?
A.
B.
C.
D.
3. El valor de la expresión - 0,21 - es:
A. 0,34
B. 0,15
C. 0,49
D. 0,05
4. De lunes a viernes, José camina 0,72 km cada día parair a su escuela. El viernes, sin embargo, pasó a la casade un amigo y caminó 0,35 kilómetros más. ¿Cuántocaminó en total en la semana?
A. 3,41 kilómetros
B. 3,95 kilómetros
C. 3,59 kilómetros
D. 5,35 kilómetros
5. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es equivalente a2,36?
A.
B. 2
C.
D.
6. ¿Cuál de las siguientes secuencias está en el orden
correcto?
A. 0,27 ➜ ➜ 0,278 ➜ 0,29
B. 0,23 ➜ ➜ 0,241 ➜ 0,306
C. 0,5 ➜ ➜ 0,578 ➜
D. 0,207 ➜ 0,216 ➜ 0,301 ➜ 0,3
7. ¿Cuánto resulta 5 · 6,209?
A. 30,045
B. 31,45
C. 30,45
D. 31,045
8. ¿Cuál de los siguientes números tiene una diferenciamenor que una décima con 1,38?
A. 1,27
B. 1,28
C. 1,29
D. 1,49
45100450100405
1.000
405100
1920
14
1450
625
45100
7401.000
5925
185011850
23610
UNIDAD 5 14/9/09 12:20 Page 112
| 113 |
9. Braulio compró en la ferretería tres tubos de
0,125 kg de pegamento, medio kg de clavos, de
kg de cemento y dos paquetes de 600 gramos de
pasta de pulir. ¿Cuánto peso tuvo que cargar?
A. 2,825 kilogramos
B. 1,825 kilogramos
C. 1,725 kilogramos
D. 2,725 kilogramos
10. Un conejo pesa 3,45 kg. Si durante los últimosmeses ha subido 0,36 kg cada mes, ¿cuánto pesabahace cuatro meses?
A. 4,89 kilogramos
B. 2,01 kilogramos
C. 2,1 kilogramos
D. 2,89 kilogramos
11. El resultado de la adición 2,36 + 1,58 puedeexpresarse como:
A.
B.
C.
D.
12. Silvana practica salto alto desde que estaba enquinto básico. Ahora que está en octavo logra saltar1,44 metros. El año pasado saltaba 8 centímetrosmenos, que era el doble de su mayor marcacuando empezó a saltar. ¿Cuánto saltaba en quintobásico?
A. 0,64 metros
B. 0,76 metros
C. 0,68 metros
D. 0,62 metros
13. Isabel utilizó de metro de tela para hacer un
adorno. Lucía usó 0,73 metros, Paulina
76 centímetros y Catalina de metro.
¿Cuál de las siguientes proposiciones es incorrecta?
A. Catalina usó más genero que todas.
B. Lucía usó menos género que Isabel.
C. Paulina usó menos género que Isabel.
D. Lucía fue la que usó menos género.
14. ¿Cuánto resulta 1,52· 0,3 ·100?
A. 456
B. 4.560
C. 4,56
D. 45,6
15. Mariana debe tomar, por consejo del médico, 3 botellas de 0,37 litros de agua por día. Pero enlugar de eso, ha tomado 4 botellas de 0,28 litros deagua cada día. Entonces:
A. ha tomado justo la cantidad recomendada.
B. ha tomado 0,01 litros más de lo recomendado
C. ha tomado 0,01 litros menos de lo recomendado.
D. ha tomado 0,1 litros más de lo recomendado.
16. ¿Qué valores pueden tomar las letras A y B en lasiguiente operación, de modo que el resultado seacorrecto?
A · 10 – B = 10,6
A. A = 1,78; B = 7,2
B. A = 17,8; B = 72
C. A = 3,5; B = 25,4
D. A = 4,29; B = 32,4
39410
384100
19750
19250
34 7
8
34
UNIDAD 5 14/9/09 12:20 Page 113
| 114 |Santillana Bicentenario
17. ¿Cuál es el número decimal que está representado?
A. 1,2
B. 0,8
C. 12
D. 1,02
18. ¿Cuál es el número decimal que está representado?
A. 0,9
B. 0,8
C. 0,75
D. 0,4
19. En la siguiente recta, ¿cuáles son los posibles valoresde A y B?
A. A = 1,9, B = 2,4
B. A = 1,7, B = 2,5
C. A = 1,5, B = 3,3
D. A = 1,1, B = 4
20. Dado la siguiente recta numérica, ¿qué númerodecimal no puede ubicarse entre las fraccionesrepresentadas?
A. 0,75
B. 0,5
C. 0,125
D. 0,6
21. El número decimal 0,012 se lee:
A. doce décimos.
B. doce centésimos.
C. doce milésimos.
D. un entero dos décimos.
22. ¿Cómo se lee el número 52,47?
A. Cincuenta y dos, cuarenta y siete décimos.
B. Cincuenta y dos, cuarenta y siete milésimos.
C. Cincuenta y dos, cuarenta y siete centésimos.
D. Cincuenta y dos, cuarenta décimos.
23. El número “veinte enteros dos milésimos” es:
A. 2,02
B. 20,02
C. 20,002
D. 20,0002
24. La expresión es equivalente a:
A. 0,111…
B. 0,222…
C. 0,444…
D. 0,999…
0 1
A 2,1 B
10
29
12
34
UNIDAD 5 14/9/09 12:20 Page 114
| 115 |
25. El resultado de 2,45 + 1,96 es:
A. 4,41
B. 21,05
C. 22,05
D. 22,15
26. El resultado de 11,47 – 9,63 es:
A. 1,84
B. 1,92
C. 2,24
D. 2,68
27. El resultado de (0,1 – 0,01) + (1,2 – 0,5) es:
A. 0,79
B. 0,89
C. 1,03
D. 1,23
28. ¿Qué valor continúa en la secuencia?
0,2 0,5 0,8 ______
A. 0,11
B. 1,1
C. 1,3
D. 1,5
29. ¿Cuál es el factor que falta para que el resultado de
la multiplicación sea 4,5?
0,5 · ______ = 4,5
A. 4
B. 6
C. 8
D. 9
30. La expresión 2,048 · 0,01 es equivalente a:
A. 20,48 · 0,1
B. 204,8 · 1,0
C. 0,2048 · 0,1
D. 0,2048 · 1.000
31. Claudia obtuvo un 6,3 en la prueba de matemática y
José obtuvo un 6,8. ¿Cuántas décimas más obtuvo
José?
A. 0,5 décimas
B. 0,8 décimas
C. 3 décimas
D. 5 décimas
32. Si la temperatura máxima de un día fue 17,5 ºC y lamínima alcanzó 8,3 ºC, ¿cuánto vario la temperaturaese día?
A. 8,2 ºC
B. 9,2 ºC
C. 12,9 ºC
D. 25,8 ºC
33. Roberto pesa 60,4 kg y su hermano, 8,9 kg menos.¿Cuánto pesan juntos?
A. 69,3 kg
B. 71,8 kg
C. 111,9 kg
D. 129,7 kg
34. Don Pablo tenía en su bodega 48,25 kg de arroz.Consumió 12,75 kg y el resto lo vendió a $ 12.000 elkilogramo. ¿Cuánto dinero obtuvo por la venta?
A. $ 153.000
B. $ 240.000
C. $ 426.000
D. $ 579.000
UNIDAD 5 14/9/09 12:20 Page 115
| 116 |Santillana Bicentenario
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UNIDAD6 14/9/09 12:21 Page 117
| 118 |Santillana Bicentenario
Esquema de la unidad
Información para el docente• La actividad propuesta permitirá que los(as) alumnos(as) interpreten, a partir de datos
significativos, como sus alturas, la información que proporcionan los gráficos, es decir, queno entregan solo información directa, sino que también permiten establecer relaciones entrelos datos presentados, en este caso, la relación entre edad y altura. El uso de gráficos no solose justifica por querer presentar la información de forma más atractiva, sino presentar lo quedifícilmente puede verse solo con la tabla.
Actividades complementarias• Orientar a los(as) alumnos(as) en el análisis del gráfico, ya que es posible que la pregunta les
resulte demasiado abierta. Para ello, en clases se puede analizar en conjunto otro gráfico ydeterminar algunas conclusiones. De cualquier manera, esto se realizará en el transcurso dela unidad.
PÁGINAS DE INICIO (Páginas 210 y 211)
Sugerencias metodológicas
Azar
Las posibilidades deun experimento
Posibilidadseguridad
imposibilidad
Tabla Gráficos Variables
Cualitativas CuantitativasPictograma
Línea
Barra
Interpretan lainformación
ESTADÍSTICA PROBABILIDAD
Datos
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UNIDAD 6 | DATOS Y AZAR
IndicadorNº de
preguntaRespuesta
Logradocon
Remediales/ sugerencias de profundización
Organizar,obtener ycompararinformaciónutilizandodiferentes tiposde tablas.
1
2
3
7
8
A
B
D
B
A
3 / 5 • Realizar ejercicios en que los alumnos y alumnas leandatos desde tablas, dados en forma explícita oimplícita.
• Para profundizar se propone trabajar con tablas endonde los y las estudiantes puedan inferirinformación de estas y responder preguntas deanálisis.
Organizar,obtener ycompararinformaciónutilizando gráficosde barras.
4
5
6
9
A
C
B
C
3 / 4 • Se propone trabajar con gráficos que traten temas deinterés para los alumnos y las alumnas, y de estaforma incentivar la obtención de información degráficos de barras.
• Para profundizar, trabajar con los y las estudiantesgráficos de barras en donde puedan inferirinformación mediante preguntas de análisis.
¿QUÉ RECUERDO? (Páginas 212 y 213)
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Información para el docente• La lectura de la información y su posterior presentación en tablas constituye el primer paso
de esta unidad. Es preciso que los(as) alumnos(as) puedan leer literalmente la información,traspasarla a datos numéricos y luego organizarla teniendo en cuenta las relaciones que sehan declarado, tales como “la mitad”, “aumento”, etc. Para comenzar, se han propuestorelaciones fácilmente traducibles desde el lenguaje natural al lenguaje matemático.
• La lectura e interpretación del gráfico permite a los(as) alumnos(as) explicitar las relacionesdadas en ellos además de detectar los datos que muestran, y es preciso que puedanverbalizar las conclusiones de lo que puedan observar.
Tareas• Sugerir a los(as) alumnos(as) realizar las siguientes actividades
Lee atentamente y responde.
1. Seleccionar información dada en medios de comunicación escritos, construir una tablaque incluya datos explícitos y completar con aquellos que falten o parezca pertinenteagregar.
2. Con la información extraída anteriormente, construir una tabla y su gráfico, o bien, si soloesta dado el gráfico o la tabla, completar las dos cosas, de manera que la informaciónquede adecuadamente organizada, dibujada y redactada, verificando la coherencia entrelos tres aspectos.
Errores frecuentes o posibles dificultades • En general, las dificultades en este aspecto tienen que ver con el bajo nivel de comprensión
lectora que manifiestan los(as) alumnos(as), ya que complejiza una interpretación eficientede los datos. Lo anterior se puede reforzar por medio de una lectura sistemática de diversosejemplos de gráficos y tablas.
Información para el docente• La sistematización del proceso de construcción de tablas permite, por una parte, que los(as)
alumnos(as) ordenen el procedimiento a seguir en la selección y organización de lainformación y, por otra, que se familiaricen con términos que serán utilizados, como fila,columna, frecuencia, etc.
• Conviene prestar atención al proceso de conteo de los datos, notando que no siempre lainformación se entregará de manera numérica. Más adelante se verá el pictograma, comouna forma de representar frecuencias absolutas, pero en este caso nos interesa ver que la
INFORMACIÓN PRESENTADA EN GRÁFICOS Y TABLAS (Páginas 214 y 215)
CONSTRUCCIÓN Y LECTURA DE TABLAS (Páginas 216 y 217)
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información, en primera instancia, puede presentarse mediante dibujos, líneas que indicanconteo, etc.
• Hay que tener siempre presente que, a pesar de que la construcción de una tabla es unproceso principalmente mecánico, esta es utilizada para organizar la información con el finde extraer conclusiones.
Actividades complementarias• Pedir a los(as) alumnos(as) que realicen en el curso otra encuesta relacionada con
preferencias sobre música, medios de transporte, uso del tiempo libre, etc. Siguiendo lospasos definidos en la página 217 del texto del alumno. Construir con la información, unatabla de doble entrada y luego elaborar conclusiones atingentes a los resultados obtenidos.
• Para profundizar, trabajar con las siguientes actividades.
Responde.
1. En el mundo existen 198 países, los que se distribuyen entre cinco continentes, de lasiguiente manera: África 54, América 36, Asia 43, Europa 49, Oceanía 16. Pedir a los(as)alumnos(as) que construyan una tabla de frecuencia simple.
2. En una encuesta realizada a 90 personas se preguntó sobre preferencia de equipos defútbol, lo que dio el siguiente resultado: Colo Colo, hombres 20, mujeres 18; Universidadde Chile, hombres 24, mujeres 10; Universidad Católica, hombres 10, mujeres 8. Indicara los(as) alumnos(as) que construyan con estos datos una tabla de doble entrada.
Información para el docente• Los gráficos que se presentan aquí no tienen mayor dificultad en su elaboración, y
precisamente el construirlos correctamente constituye la más efectiva forma de aprender aleerlos e interpretarlos.
• Es importante comentar a los(as) alumnos(as) que los gráficos buscan mostrar visualmenteuna impresión de las preferencias de la realidad, pese a que no basta en ocasiones solo conla primera, pues hay que realizar una interpretación. En el caso del pictograma, se añade unrecurso adicional, ya que capta una idea inmediata no solo de los datos, sino también deaquello a lo que hace referencia.
• Es conveniente explicitar a los(as) alumnos(as), que la forma misma de construcción de ungráfico explica, además las relaciones que muestra, la tendencia de la variable graficada. Enel caso del gráfico de barras comparadas, se puede construir poniendo una columna paralelaa la otra, lo que permite comparar la información y además las proporciones respecto altotal.
CONSTRUCCIÓN Y LECTURA DE GRÁFICOS (Páginas 218 a 221)
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Ganancias de un bazar en cuatro meses
Enero $ 120 000
Febrero $ 115 000
Marzo $ 188 000
Abril $ 155 000
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Actividades complementarias• Proponer a los(as) alumnos(as) construir los tres gráficos presentados en la unidad, a partir
de una tabla dada. Esta actividad permitirá que visualicen las ventajas o limitaciones de cadaforma de representación, e incluso, lo improcedentes que resultan algunos gráficos en casosdeterminados.
Actividades complementarias• El programa Excel permite construir de manera rápida y eficiente todos los tipos de gráficos
más usuales, como complemento a la construcción manual ya realizada. Conviene quelos(as) alumnos(as) hayan comprendido plenamente la construcción de gráficos de formamanual antes de realizar esta actividad.
• Al realizar gráficos con un programa como Excel, no pueden corregirse las distorsiones quese provocan cuando los datos son demasiado dispersos. En ese caso, puede ocurrir que unacolumna de un gráfico de barras aparezca casi imperceptible, puesto que la columna del datocon mayor frecuencia es demasiado “grande”. Por ello, debe cuidarse que las tablas que seutilicen en la construcción de gráficos no presenten demasiada distracción. De todos modos,puede ser conveniente usar una tabla de este tipo para que el efecto sea visto por los(as)alumnos(as), y puedan valorar el programa, pero a la vez ser conscientes de la necesidad deuna interpretación para complementar lo que se puede realizar con el computador.
TareasRespondan.
1. Proponer a los(as) alumnos(as) que a partir de la siguiente tabla construyan un gráfico debarras en Excel.
2. Presentar a los(as) alumnos(as) la siguiente tabla, que representa una encuesta que serealizó a un curso, para saber el lugar donde viven. Proponerles que construyan un gráficoutilizando el programa Excel.
CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICOS EN EXCEL (Páginas 222 a 225)
Tipo de vivenda Casa de un piso Casa de dos pisos Departamento
Cantidad de niños 15 25 13
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UNIDAD 6 | DATOS Y AZAR
IndicadorNº de
preguntaRespuesta
Logradocon
Remediales/ sugerencias de profundización
Leer informaciónpresente endistintos tipos detabla.
1
3
D
C
2 / 2 • Buscar información en diarios, revistas, noticias, yorganizar la información recabada en tablas defrecuencias simples y de doble entrada, para que losalumnos y alumnas puedan leer distintos tipos deinformación.
• Se sugiere, para profundizar, que los y las estudiantesbusquen sus noticias escritas, reportajes, para quepuedan representar la información en tablas defrecuencias.
Asociar yrelacionar unatabla con larepresentaciónde ella en ungráfico.
2
4
A
C
2 / 2 • Se propone repasar con los y las estudiantescorrespondencias de tablas y sus respectivos gráficos.Una forma de establecer correspondencias esmostrar el por qué una tabla corresponde a ungráfico y viceversa. Fundamentar la opción.
• Para profundizar, realizar ejercicios en donde losalumnos y alumnas construyan sus propias tablas ygráficos, y así se pueden ir descubriendo posiblesrelaciones entre ellas.
Interpretar lainformaciónpresente endistintos tipos degráficos
5 C
1 / 1 • Con el mismo gráfico, realizar otro tipo de pregunta.Por ejemplo, ¿entre qué años hubo la mayor alza?,¿entre qué años hubo la mayor disminución?, etc.
• Para profundizar, se propone trabajar con variosgráficos que muestren la misma información, dondese puedan extraer diversas preguntas de análisis.
Resolverproblemas queinvolucran elmanejo de lainformación.
6 Hombres: 45.
Mujeres: 30
1 / 1 • Trabajar distintos tipos de noticias en donde los(as)alumnos(as) puedan interpretar información simple,dada en gráficos y tablas, en lenguaje estadístico.
¿CÓMO VOY? (Páginas 226 y 227)
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Información para el docente• El tipo de variable que se esté trabajando tendrá directa relación con el tipo de gráfico que
se utilice para ilustrar los datos.
• Conviene aclarar a los(as) alumnos(as) que, en ocasiones, las variables cualitativas secodifican usando números; un caso que ejemplifica lo anterior ocurre cuando se le preguntaa alguien por su número telefónico, la respuesta no se relaciona con una cantidad, sino conun código, que no tiene sentido interpretar de manera cuantitativa. También al llenar unformulario, muchas variables se codifican poniendo números para las distintas opciones.
• En el caso de las variables cualitativas, se cuenta directamente la frecuencia de cada valor. Enel caso de las cuantitativas, también nos interesa el valor que toma la variable; sin embargo,interesa contar la cantidad de veces que dicha variable se repite. Lo importante aquí,esencialmente, es distinguir la frecuencia del valor que puede tomar la variable. Como; porejemplo, determinar el promedio de las alturas de los alumnos de un curso, podemosmedirlos a todos, pero a la hora de tabular la información, contaremos la cantidad de vecesque se repite un valor dado.
• Conviene mencionar a los(as) alumnos(as), que las variables cuantitativas discretas enocasiones son promediadas, obteniendo valores que en la realidad no pueden tomar. En elcaso del número de hermanos de cada alumno(a), se trata de una variable de este tipo, peroel promedio puede ser, por ejemplo: 2,2. Si bien no se aborda todavía el promedio comocontenido de este nivel, se les puede comentar que es como un indicador que sirve dereferencia y es muy usado en deportes (promedio de goles de un equipo).
• Se puede utilizar la distinción que se realiza entre variable discreta y continua, para poderhacer la distinción entre estos dos tipos. Técnicamente, decimos que un conjunto escontinuo cuando entre dos valores cualquiera siempre existe otro valor intermedio entreellos (por ejemplo, en los números decimales siempre entre dos de ellos puede intercalarseotro). En cambio, un conjunto es discreto, cuando existen elementos consecutivos, es decir,no siempre es posible intercalar valores entre dos valores cualesquiera (como es el caso delos números enteros y los naturales). Esta definición, si bien es más exacta, resulta muyimprecisa, puesto que en la vida cotidiana es arbitrario decir que existe un valor intermedioentre dos cualesquiera. Si consideramos, por ejemplo, la altura de una persona, es arbitrariodecir si utilizaremos solo centímetros, milímetros, décimas de milímetro, o centésimas, o asísucesivamente. De hecho, puede objetarse que en la vida real no existe lo continuo, por lainexactitud de los instrumentos.
Tipos de variables (Páginas 228 y 229)
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Tipo 1 Tipo de variable
a. Mes del año en que nacieron
b. Nivel de estudio de una persona
c. Opinión respecto a alguien (Buena – regular – mala)
d. Color de pelo
e. Equipo favorito
f. Comuna en la que vive
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UNIDAD 6 | DATOS Y AZAR
Actividades complementariasResponde.
1. Presentar a los(as) alumnos(as), en una tabla los siguientes conjuntos de variables.
• Guiar la actividad para que los(as) alumnos(as) identifiquen el tipo de variable de cada grupo,y luego establecer que algunas variables inducen a un orden, es decir, pese a ser cualitativasse puede plantear una cardinalidad y otras variables en que esto no es posible.
Información para el docente• Analizar tablas y gráficos para obtener conclusiones puede ser muy complejo, y depende
fundamentalmente del tipo de información que se estén buscando. Es importante quelos(as) alumnos(as) definan “pasos a seguir”, los suficientes para obtener conclusiones; aunasí, será necesario guiar la actividad a través de preguntas que orienten a los(as) alumnos(as)en la búsqueda de conclusiones atingentes. Dado que ya han tenido que construir tablas apartir de gráficos, y viceversa, la tarea no debería ser compleja, puesto que se trata decomplementar ambas cosas.
• Es posible observar que, en muchos casos, los gráficos no están graduados desde el cero, loque puede provocar una distorsión entre los datos reales y la impresión que daoriginalmente. Conviene verificar primero la forma de graduar la información y luegoocuparse de la interpretación numérica de los datos.
TareasRespondan.
1. Pedir a los(as) alumnos(as) que busquen, en medios de comunicación escritos, gráficosque representen información. Luego tendrán que analizar el gráfico de acuerdo a losdatos representados y exponer sus conclusiones al resto de sus compañeros(as).
2. Recopilar la información de puntajes de los equipos de fútbol chilenos que juegan enprimera división. Indicarles a los(as) alumnos(as) que confeccionen una tabla, para luegoseleccionar el gráfico que mejor represente los datos encontrados, y por último que lodibujen.
ANÁLISIS DE TABLAS Y GRÁFICOS (Páginas 230 y 231)
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Errores frecuentes o posibles dificultades • Es posible que los(as) alumnos(as) presenten dificultades en la percepción de los indicadores
que realmente son necesarios, o conclusiones que verdaderamente sean significativas, ya queestos dependen exclusivamente del contexto donde la información fue extraída. Conviene,por ello, que los gráficos y las tablas sean de fácil interpretación, y en contextos significativospara los(as) alumnos(as), de modo que no manifiesten confusión al momento de seleccionarlos indicadores que son necesarios, y así establecer conclusiones atingentes.
• Es posible observar que, en muchos casos, los gráficos no están graduados desde el cero, loque puede provocar una distorsión entre los datos reales y los que muestran una idea oaproximación de los datos originales. Conviene verificar junto a los(as) alumnos(as) la formaen que se graduará la información y luego ocuparse de la interpretación numérica de los datos.
Información para el docente• En la vida cotidiana, existen muchas palabras relacionadas con el concepto de probabilidad
que resultan equívocas en su uso. En esta unidad se centrará en formalizar algunosconceptos relacionados con este concepto. En primer lugar, se plantea la probabilidad comolo contrario a la certeza respecto a la ocurrencia de un suceso; por ejemplo, decimos queun suceso es probable cuando puede o no puede ocurrir, según los distintos grados en queeste juicio se realiza. En relación a este punto, es bueno aclarar que tanto un suceso segurocomo un suceso imposible tienen probabilidad ocurrir, pero se suele designar comoprobables los sucesos que no son ni seguros ni imposibles.
• La única forma de determinar la probabilidad de un suceso será comparando con otro quetenga igual cantidad de casos totales. Esto constituye, por cierto, la forma más intuitiva decomprender el concepto, siendo utilizado en juegos y situaciones cotidianas.
• El hecho de distinguir un suceso poco probable de uno imposible es claro matemáticamente,pero ciertamente en la vida cotidiana tiende a verse como lo mismo. En el caso del ejemploexpuesto en la página 234 del texto del alumno, se suma además que un hecho “pocoprobable” pasa también por la comisión de un error que, en vista de las reglas del juego yla experiencia que se supone en los jugadores, asoma como imposible.
Actividades complementarias• El ejemplo del juego del gato permite analizar algunos otros juegos en los cuales se puede
determinar una estrategia ganadora, es decir, una secuencia de jugadas que, si se hace encada paso la jugada correcta, hace imposible perder. Por cierto, puede plantearse que unaestrategia ganadora hace que sea muy improbable perder.
Plantear a los(as) alumnos(as) las siguientes situaciones.
1. Juegan dos personas. El que empieza debe decir un número cualquiera del 1 al 10. El otrojugador le suma al número que dijo su oponente otro número del 1 al 10, y asísucesivamente, por turnos. Gana el que primero llega al 100.
PROBABILIDAD EN LA VIDA COTIDIANA (Páginas 232 a 235)
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2. Plantear a los(as) alumnos(as) la siguiente pregunta: ¿Cuál será la estrategia ganadora?
3. El juego puede realizarse hasta que los(as) alumnos(as) puedan descubrir la estrategiaganadora. Pedirles que registren por escrito sus jugadas, de manera que detectenregularidades.
Solución del juego: el jugador que logre decir 89, ciertamente habrá ganado, pues obligará aque el otro, a lo más pueda decir 99 y a lo menos 90, lo que obliga a perder en la siguientejugada. A la vez, decir 78 asegura poder decir 89, 67 asegura decir 78, y así sucesivamente,de 11 en 11, por lo que si el primer jugador dice 1, y no comete errores, ganará (nóteseque siempre en los números dichos, la cifra de las unidades siempre excede en 1 a la cifrade las decenas).
• Para profundizar estos contenidos se propone trabajar con la siguiente actividad.
Responde.
1. En una tómbola están los números del uno al diez, y se saca un número. Gana si adivinancuál va a salir.
Se puede mostrar a los alumnos que hay diez posibilidades, y solo una para ganar.
Si ahora se tratara de sacar nueve números, y acertar a todos, puede parecer a losalumnos que es más difícil ganar. Sin embargo, se puede plantear que el problema ahoraes equivalente a apostar al número que no saldrá. Es decir, acertar a un número de dieztiene igual probabilidad de ganar que apostar a nueve de diez.
2. Para profundizar un poco más la medida de la probabilidad, puede mantenerse fijo elnúmero de casos favorables, pero aumentar los totales. Para ello, proponer a los(as)alumnos(as) un concurso en el que se gana acertando un número del uno al diez, otroacertando un número del uno al veinte, hasta el treinta, y así sucesivamente. Resulta igualde natural decir que, en la medida que los casos posibles aumentan, la probabilidaddisminuye si se mantiene fija la ganancia con un acierto. No deben mezclarse todavía loscasos en que se varía tanto el número de posibilidades de ganar y el de posibilidadestotales, pues requiere un conteo que es más complejo; lo importante es que visualicenestas dos posibilidades.
Errores frecuentes o posibles dificultades • El ejemplo del juego del gato puede prestarse para juicios bastante complejos, ya que el
suceso descrito (que Pedro gane) pasa porque María cometa un error extremadamenteobvio, tanto, que en realidad el problema es determinar que tan probable es que lo cometa.
• Explicar a los(as) alumnos(as) que el tipo de probabilidad definida en esta unidad es“objetiva”, es decir, atendiendo exclusivamente a las posibilidades que otorga la naturalezade un experimento. Mencionarles que existe otro tipo de probabilidad, “subjetiva”, queestudia la variación de las probabilidades tomando en cuenta información adicional, porejemplo, la destreza de un jugador, situación que es muy difícil de cuantificar. Los términoscomo imposible, seguro, etc., se definirán exclusivamente en términos objetivos.
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Información para el docente• Se plantean en las páginas del texto del alumno algunos ejercicios que permiten sistematizar
el manejo de la información, presentando la alternativa de la igualación de escalas. Si bienresulta más directo leer inmediatamente los datos desde los gráficos (y, de hecho, seráseguramente la forma en que lo harán) conviene que vean la utilidad de que los gráficos seencuentren en la misma escala para poder ser comparados. En realidad, es la oportunidadpara advertir que en ocasiones puede distorsionarse la información presentada en losgráficos, variando su escala.
• Se espera que durante la unidad se haya trabajado con los(as) alumnos(as) la realizaciónpaso a paso de los problemas. Aunque en ocasiones parezca redundante e innecesario,anotar convenientemente a qué corresponde la información que se está manejando es loque permite estructurar los pasos y luego permite a los(as) alumnos(as) distinguir cuándolos datos son relevantes o no y, si es necesario, rehacer la parte del camino errónea oinnecesaria, sin que sea preciso repetir todo el proceso.
ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS (Páginas 238 y 239)
Información para el docente• Al revisar el proyecto grupal, conviene rescatar que las estimaciones de altura, tanto de
hombres y mujeres, se toman a partir de varios datos y, de alguna manera, se convierten enla altura que “probablemente” alcanzarán al llegar a determinada edad. En cursos siguientesse verá la relación entre la frecuencia relativa y la probabilidad.
• No puede calcularse o determinarse con la misma precisión que, en un juego, la probabilidadde alcanzar una altura determinada, pero sí puede llegarse a un resultado esperado.
TareasInvestiga.
1. Muchas estadísticas se usan de esta manera para estimar cómo se darán losacontecimientos en diversos ámbitos; se puede pedir a los(as) alumnos(as) queinvestiguen, por ejemplo, cuando hablamos de un año “seco” o “lluvioso”, se comparacon un año “normal”, que no es más que el promedio de los últimos años. Por ende,varios años secos hacen que una región se considere como seca, pese a que la situaciónpueda luego variar.
JUEGOS Y SÍNTESIS (Páginas 240 y 241)
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UNIDAD 6 | DATOS Y AZAR
Errores frecuentes o posibles dificultades • Un error frecuente es que los(as) alumnos(as) al construir un gráfico no tienen claro qué tipo
utilizarán para representar la información. Conviene que los(as) alumnos(as) distingan, en elcaso de los gráficos, que su tipo y construcción depende del tipo de variable que estemosanalizando, y por otro lado, de la intencionalidad de lo que se quiere mostrar. La segunda parte(la intencionalidad) se abordará en cursos posteriores, mientras que el que hace referencia altipo de variable es bastante inmediato aunque no por eso evidente para los niños.
• Cuando se resuman los conceptos relativos a probabilidad, se parte en esta unidad de términoscuya interpretación es difusa, por lo que la claridad que se alcance respecto a ellos es crucial.Ante todo, se debe aclarar que en matemáticas, cuando existe una remota posibilidad deocurrencia de un suceso, no puede decirse que este sea imposible, así como un fenómenocuya ocurrencia es muy esporádica o extremadamente poco frecuente pero no por elloimposible. Esto presenta una dificultad de sentido común al ser comparada con la vidacotidiana, puesto que entonces calificamos como imposibles o seguros sucesos quetécnicamente no lo son, pero esto es lo único que posteriormente nos permitirá entregar unamedida para la probabilidad.
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IndicadorNº de
preguntaRespuesta
Criteriode logro
Remediales/ sugerencias de profundización
Obtenerinformación yanalizar tablassimples y dedoble entrada.
1
2
7
C
D
a. Rosas conabono 92, rosassin abono 81,margaritas con
abono 92,margaritas sin
abono 48,claveles conabono 71,claveles sinabono 85
2 / 2 • Realizar actividades en que los y las estudiantespuedan obtener información presente en tablassimples y de doble entrada con información deinterés para ellos. Pedirles que ellos mismosformulen preguntas de análisis para trabajar lainformación dada en tablas.
• Pedir que analicen la información determinando lapertinencia del tipo de tabla que se utilizó. Presentardistintas situaciones y pedirles a los alumnos yalumnas que determinen qué tipo de tabla es en laque mejor se puede representar la información.
¿QUÉ APRENDÍ? (Páginas 244 a 247)
Construir,relacionar einterpretargráficos de barrascomparadas y delíneas.
4
8
9
C
Rosas.
Claveles.
2 / 3 • Realizar una puesta en común, de cuales son lospasos a seguir para la construcción de gráficos debarras comparadas y gráfico de líneas. Es decir, pedira los y las estudiantes que puedan justificar el porqué utilizar en determinado tipo gráfico.
• Construir gráficos de barras comparadas y gráficos delíneas a partir de información presentada en tablas yproblemas escritos. Pedirles que justifíquen el porqué optan por un determinado tipo de gráfico paraalguna determinada tabla o problema escrito.
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UNIDAD 6 | DATOS Y AZAR
Reconocer yclasificar distintostipos de variablesy establecer surango de valores.
3
5
C
B
2 / 2 • Presentar situaciones en donde los y las estudiantespuedan identificar distintos tipos de variables, ypuedan calcular e interpretar el rango de los datos deacuerdo al contexto.
• Pedir a los y las estudiantes que presentensituaciones según la variable estadística y el rango devalores dados. Que interpreten el rango de valor einfieran características que pueden tener los datos enfunción del contexto.
Comprendertérminos ysituacionescotidianas que serelacionan alconcepto deprobabilidad.
6
10
11
D
muy probable -
posibilidad –
cas segura
No es adecuado.
debe decir poco
probable.
2 / 3 • Pedir a los y las estudiantes que inventen situacionesreales en donde se utilicen los conceptos deprobabilidad revisados en la unidad: siempre, seguro,no hay duda, tal vez, probable, posible, improbable,quizás, a veces, imposible, nunca y jamás. Luego, quepuedan relacionar los conceptos dados con lascategorías de:- Certeza total de que un suceso ocurrirá.- No hay certeza de que un suceso ocurrirá.- Certeza total de que un suceso no ocurrirá.
• Presentar diversas situaciones en las cuales elalumno(a) deba determinar es posible o no quepueda ocurrir, pidiendo que justifique su decisión.
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Año Niñas Niños
2005 4 5
2006 7
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Evaluación de la unidad Material fotocopiable
NOMBRE: CURSO: FECHA:
Marca la alternativa correcta en las siguientes preguntas.
1. En el curso de Ximena, el año pasado 2005 había 4 niñas y 5 niños que tenían promedio sobre 6. Parael año 2006, el número de niñas con este promedioaumentó en 4, mientras que hubo 7 niños conpromedio sobre 6.
Con esta información, Ximena construyó la siguientetabla:
¿Cuál es el valor que falta en el recuadro?
A. 4
B. 7
C. 8
D. Ninguno de los anteriores.
2. Respecto a la tabla anterior, podemos decir que:
A. El año 2006 hubo más niñas que niños conpromedio sobre 6.
B. El aumento del número de niños con promediosobre 6 fue mayor que el de las niñas.
C. El año 2006 hubo 11 alumnos y alumnas, en total,con promedio sobre 6.
D. El número total de alumnos y alumnas conpromedio sobre 6 se mantuvo de un año a otro.
3. ¿Qué tipo de gráfico sería más conveniente paragraficar la información de pregunta 1?
A. Gráfico de barras simple.
B. Gráfico de dos líneas.
C. Gráfico de barras comparadas.
D. Alternativa B o C.
4. En el siguiente gráfico se muestran las ganancias queobtuvo José Luis por la venta de jugos naturales,durante los meses de mayores temperaturas.
¿Entre qué par de meses se dio la menor diferenciaen las ganancias de José Luis?
A. Diciembre y enero
B. Enero y febrero
C. Febrero y marzo
D. Diciembre y febrero
5. Respecto al gráfico anterior, ¿cuál fue el rango deganancias de José Luis durante estos meses?
A. $ 1.000
B. $ 2.500
C. $ 3.000
D. $ 5.500
6. Podemos concluir que las ganancias de José Luis:
A. se mantienen regulares durante los meses en quevende.
B. aumentan permanentemente, mes a mes.
C. van aumentando a medida que avanza el verano,y decaen en marzo.
D. suben y bajan mes cada mes, sin un orden.
0
1.000
2.000
3.000
4.000
5.000
6.000
Diciembre Enero Febrero Marzo
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0
5
10
15
20
25
30
35
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
0
5
10
15
20
25
30
35
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
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7. Roberto tiene una caja con fichas numeradas del unoal diez, y con los ojos cerrados va a sacar una deellas. ¿Cuál de estos resultados es más probable queocurra?
A. Sacar un número par.
B. Sacar un número menor que 5.
C. Sacar un número distinto de 3 y de 9.
D. Sacar un número mayor que 4.
8. Durante cinco días de una semana de verano, elrango de las temperaturas máximas de cada día fuede 5 grados. La temperatura más alta se registró elmartes, mientras que la más baja fue el jueves. ¿Cuáles el gráfico que corresponde a esta situación?
A.
B.
C.
D.
9. Las notas de Gabriela durante el primer semestrefueron las siguientes
3,1 – 5,5 – 6,8 – 4,7 – 5,0 – 6,2
¿Cuál fue su rango de notas?
A. 3,1
B. 3,7
C. 6
D. 6,8
10. En el curso de Mariela hicieron dos rifas, una cadames. Para la primera, las niñas vendieron el doble denúmeros que los niños. En la segunda, los niñosvendieron 40 números más que las niñas. En total, sevendieron 360 números. ¿Cuál es la tabla quecorresponde a esta situación?
A.
B.
C.
D.
Primera rifa Segunda rifa
Niñas 80 90
Niños 40 190
Primera rifa Segunda rifa
Niñas 100 85
Niños 50 125
Primera rifa Segunda rifa
Niñas 100 100
Niños 50 140
Primera rifa Segunda rifa
Niñas 120 80
Niños 60 120
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| 134 |Santillana Bicentenario
Evaluación de la unidad Material fotocopiable
11. Gustavo consultó a sus compañeros de colegio porsus preferencias de deportes. Los resultados queobtuvo fueron los siguientes:
Respecto a esta información se puede concluir que:
A. hay más alumnos que les gusta el tenis.
B. el curso que presenta menor diferencia en laspreferencias es el quinto.
C. 80 alumnos prefieren el fútbol.
D. hay 160 alumnos entre los cuatro cursos.
12. Según el gráfico anterior, ¿a cuántos alumnos dequinto y sexto les gusta el tenis?
A. 16 alumnos
B. 29 alumnos
C. 36 alumnos
D. 45 alumnos
13. Si traspasamos a una tabla los datos del gráficoanterior, ¿cuál de las siguientes es la tabla querepresenta la situación?
A.
B.
C.
D.
14. Marcela, Beatriz, Jorge y Samuel obtuvieron lossiguientes puntajes en un juego que repitieroncuatro veces:
¿Cuál es el rango de los puntajes?
A. 4
B. 16
C. 17
D. 21
15. ¿Cuál de los jugadores obtuvo el menor puntaje?
A. Marcela
B. Beatriz
C. Jorge
D. Samuel
16. ¿Quién obtuvo más puntaje en el tercer juego?
A. Marcela
B. Beatriz
C. Jorge
D. Samuel
0
5
10
15
20
25
30
Quinto Sexto Séptimo Octavo
Futbol
Tenis
5º 6º 7º 8ºFútbol 20 25 16 17Tenis 17 12 18 20
1º 2º 3º 4º
Marcela 10 16 21 18
Beatriz 12 13 15 11
Jorge 16 19 10 17
Samuel 21 4 8 19
5º 6º 7º 8ºFútbol 20 20 18 17Tenis 17 12 16 20
5º 6º 7º 8ºFútbol 20 25 18 20Tenis 17 12 16 20
5º 6º 7º 8ºFútbol 20 25 18 17Tenis 17 12 16 20
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17. ¿Cuál de estos casos conviene graficar con un gráficode línea?
A. Los sueldos de 20 personas en una empresa.
B. El número de personas que fueron a ver laspelículas en cartelera de un cine.
C. La cantidad de hombres y de mujeres en un curso.
D. La cantidad de agua caída en cada mes del año.
18. ¿Cuál de estos ejemplos corresponde a una variablecuantitativa continua?
A. El número de televisores por hogar en un edificio.
B. La marca de bebida preferida de un grupo dealumnos.
C. El agua lluvia caída en lo que va corrido del año.
D. La cantidad de láminas que tiene un álbum.
19. ¿Cuál de estos sucesos es más improbable?
A. Sacar una carta de pinta roja en un mazo decartas.
B. Obtener un sello al tirar una moneda al aire.
C. Tomar la misma micro dos veces en un día.
D. Ir al colegio cuatro días en una misma semana.
20. ¿En cuál de los siguientes casos está correctamenteutilizada la palabra imposible?
A. Es imposible que llueva el 3 de febrero en Arica.
B. Es imposible que perdamos el partido.
C. Es imposible que yo tenga más edad que mi papá.
D. Es imposible que un computador barato sea debuena calidad.
Observa el siguiente gráfico y responde.
Cantidad de estudiantes en la enseñanza media deuna comuna
1º medio ����
2º medio �����
3º medio ����
4º medio ��
�: 100 estudiantes
21. ¿Cuál es el curso que tiene la mayor cantidad deestudiantes?
A. 1º medio
B. 2º medio
C. 3º medio
D. 4º medio
22. ¿Cuántos estudiantes tiene el 3º medio?
A. 200 estudiantes
B. 300 estudiantes
C. 400 estudiantes
D. 500 estudiantes
23. ¿Cuántos estudiantes más tiene el 2º medio que el 4º medio?
A. 100 estudiantes
B. 200 estudiantes
C. 300 estudiantes
D. 400 estudiantes
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