5to_Seminario Geometría PRE 2013-2

CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2013 – 2 5to Material de Estudio

CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 1 -

GEOMETRÍA

01. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. La suma de las medidas de las

caras de un ángulo poliedro convexo es menor de 360.

II. En todo ángulo triedro a mayor diedro se opone mayor cara.

III. El ángulo triedro birrectángulo tiene dos ángulos diedros rectos.

A) VFV B) VFF C) VVF D) VVV E) FVV

02. En todo ángulo poliedro convexo demostrar que la suma de las medidas de los ángulos de sus caras es menor que 360.

03. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. En un ángulo triedro la suma de

las medidas de sus caras es menor que 360.

II. En un ángulo triedro la medida de cualquier cara es menor que la suma de las medidas de las otras dos caras.

III. En un ángulo triedro la suma de las medidas de sus ángulos diedros es mayor que 180 pero menor que 540.

A) VVV B) VFF C) FVV D) FFF E) VVF

04. Indique verdadero o falso en I. En un ángulo triedro O-ABC las

caras miden a, b y c; entonces

a b c3

b c a c a b

II. Si las medidas de las caras de un triedro están en progresión aritmética el mayor valor entero de la razón es 59.

III. Si las medidas de las caras de un ángulo triedro están en progresión geométrica entonces la razón es

menor que 1 5

2 2 .

A) FVV B) VFV C) VVV D) FFV E) VVF

05. En un ángulo triedro equilátero, sus caras miden 72. Entonces la medida de uno de sus ángulos diedros es

A) 5 1

arc cos2

B) 3 1

arc cos2

C) 5 1

arc cos2

D) 5

arc cos2

E) 3

arc cos2

06. En un ángulo triedro dos caras miden

80 y 70. Halle la mayor medida representado por un valor entero en la tercera cara. A) 148 B) 149 C) 150 D) 151 E) 152

07. En un triedro dos de sus diedros miden 128 y 142. Calcule la diferencia entre el máximo y mínimo valor entero que puede medir el tercer diedro. A) 71 B) 72 C) 73 D) 74 E) 75

08. En un triedro escaleno las medidas de las caras son números enteros y la suma de las medidas de dos de ellas es 89 veces la medida de la tercera cara. Halle la suma máxima de las medidas de las tres caras del triedro. A) 90 B) 180 C) 270 D) 260 E) 300



09. En el interior de un triedro V-ABC se ubica el punto O, si la suma de las medidas de las caras es P entonces la suma de las medidas de los ángulos OVA; OVB y OVC es

A) P

; P3

B) P

; P2

C) P; 2P D) 2P; 3P

E) 2P

; P3

10. Se tiene el ángulo triedro V-ABC, las

caras AVB, AVC y BVC miden 5

x2

,

x 2

2

y x + 3 respectivamente. Si los

valores de las medidas de las caras son números enteros, entonces la suma de las medidas de dichas caras es A) 8 B) 12 C) 16 D) 20 E) 24

11. En un ángulo triedro O-ABC las caras AOB y BOC miden y . Si

190 210 entonces la cara

AOC puede medir A) 165 B) 170 C) 172 D) 175 E) 180

12. En un triedro O-ABC, demostrar que, para las medidas de los diedros: B + C < 180 + A

13. En un ángulo triedro O-ABC, m AOB m AOC . Si el ángulo

diedro OB mide 50, entonces la

medida del ángulo diedro OC es A) 40 B) 50 C) 60 D) 45 E) 55

14. Dado un ángulo triedro, demuestre que la suma de las medidas de los ángulos diedros exteriores es menor que 360.

15. Se tiene el ángulo triedro O-ABC, las caras AOB, BOC y COA miden 90, 60 y 120, respectivamente. Entonces, la medida del ángulo diedro OA es

A) 1 3cos

4

B) 1 6cos

6

C) 1 2cos

2

D) 1 6cos

3

E) 1 3cos

3

16. Dado un ángulo triedro O-FAG, la

arista OB forma con la bisectriz OM de la cara AOC, un ángulo que mide la mitad de la medida de la cara AOC. Demuestre que la medida del ángulo diedro OB, es igual a la suma de las medidas de los ángulos OA y OC.

17. Las caras de un ángulo triedro O-ABC miden: a = 90; b = 45 y c = 60. ¿Qué

ángulo determina OA con la cara BOC? A) 18 B) 22,5 C) 27,5 D) 30 E) 45

18. En un triedro escaleno, calcule el menor valor entero de la medida del mayor diedro en el triedro. A) 59 B) 61 C) 76 D) 91 E) 121

19. Las caras de un triedro miden 120, 120 y 90 respectivamente. Halle la medida del diedro que forman las caras congruentes.

A) 2

arc cos2

B) 3

arc cos2

C) 1

arc cos2



D) 1

arc cos3

E) 1

arc cos4

20. Se tiene un ángulo triedro V-ABC, en

su interior se tiene un punto V ' y se han trazado perpendiculares a las caras del triedro anterior formando así el triedro V' A 'B'C' . Determine el valor de verdad: I. La intersección de las caras de los

triedros V y V ' es una poligonal hexagonal, donde la suma de las medidas de los diedros es menor a 1 080.

II. El triedro V ' es el triedro polar de V.

III. La arista V'A ' es perpendicular a la cara BVC, entonces la arista VA es también perpendicular a la cara B'V 'C' .

A) VVV B) FFF C) VFV D) FVF E) FFV

21. Dos ángulos triedros AOB y 1 1 1A O B

son polares o suplementarios. Las caras del ángulo triedro AOB son respectivamente congruentes a los ángulos diedros del ángulo triedro

1 1 1A O B . Si la medida de la cara más

pequeña es los 5

7 de la medida de la

cara mayor entonces, la medida de la mayor cara es A) 90 B) 95 C) 105 D) 120 E) 135

22. Si las medidas de las caras de un triedro equilátero son 108 cada uno respectivamente, entonces la medida de su ángulo diedro es

A) 3

arc cos3

B) 5

arc cos2

C) 5

arc cos5

D) 5

arc cos5

E) 5

arc cos2

23. En un ángulo triedro, la medida de

dos diedros es 127 y 173 respectivamente. Si la medida del tercer diedro es entero y menor de 122, entonces dicha medida es A) 119 B) 120 C) 121 D) 118 E) 117

24. Un poliedro tiene 5 caras cuadrangulares, cuatro caras triangulares y algunas caras pentagonales. Si se sabe que la suma de las medidas de los ángulos interiores de todas sus caras es 5 760, entonces el número de caras pentagonales de dicho poliedro es A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 15

25. Un poliedro convexo está formado por m caras que son regiones poligonales de n lados y p caras que son regiones poligonales de n + 1 lados. Si el número de vértices del poliedro es m + p entonces m + n es A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

26. La suma del número de caras, vértices y aristas de un poliedro convexo es igual a 98, además la suma de las medidas de los ángulos interiores de todas las caras es 7 200. Calcule el número de caras. A) 22 B) 24 C) 26 D) 28 E) 30



27. Un poliedro convexo, tiene 33 vértices y está conformado por 8 caras triangulares, 9 caras cuadrangulares y m caras pentagonales. Entonces m es A) 11 B) 10 C) 14 D) 12 E) 9

28. El gráfico representa el desarrollo de la superficie de un poliedro no convexo formado por 3 caras cuadradas y por 6 caras de trapecios isósceles. Determine el número de ángulos poliedros que tiene el poliedro.

A) 13 B) 12 C) 14 D) 10 E) 9

29. Demuestre que en este poliedro no convexo cumple el teorema de Euler C + V = A + 2

30. Un plano pasa por los puntos A y B e intercepta al poliedro dado, entonces la sección que se determina es

A) un hexágono convexo B) un hexágono no convexo C) un pentágono no convexo D) un pentágono no convexo E) un heptágono no convexo

31. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Todos los poliedros regulares

tienen diagonales. II. Solo existen 3 clases de poliedros

regulares que están formado por regiones triangulares equiláteros.

III. Solo existen 5 poliedros regulares. IV. El hexágono regular no puede ser

cara de ningún poliedro regular. A) FVVV B) FVVF C) VFVF D) FVFV E) FFVV

32. Un poliedro no convexo tiene nueve caras, y una sección plana es un heptágono no convexo y equiángulo. Indique el número de aristas. A) 14 B) 18 C) 21 D) 24 E) 27

33. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. La distancia entre 2 aristas

opuestas de un tetraedro regular

cuya arista mide a es a 2

2.

II. La distancia entre 2 caras opuestas de un octaedro regular

cuya arista mide a es a 6

3.

III. El número de diagonales de un icosaedro regular es 100.

A) VFF B) FFF C) FVF D) VVF E) VVV

34. En un octaedro regular de diagonal mide . Entonces, el área total del poliedro que se forman al unir los puntos medios de las aristas del octaedro regular es

A

B



A) 2

3 32

B) 2

3 34

C) 2

3 36

D) 2

3 38

E) 2

3 54

35. En las siguientes proposiciones decir

cuáles son verdaderos y/o falsos: I. Existen poliedros regulares cuyas

caras son regiones hexagonales. II. Solo existen 5 poliedros regulares

y los cinco tienen diagonales. III. Se tiene un tetraedro regular cuya

longitud de su arista es a el área del poliedro regular conjugado es

2a 3

9.

A) FFF B) FFV C) FVV D) VVV E) VVF

36. Indique la proposición verdadera o falsa, sobre los poliedros regulares: I. Solo existen 5 poliedros regulares

convexos. II. En todo poliedro convexo el menor

número de aristas que concurren en cada vértice es tres.

III. El tetraedro es el único poliedro donde se puede inscribir, circunscribir y exinscribir esferas.

A) VVF B) VFF C) VVV D) FVF E) FVV

37. Demuestre que solo existen 5 clases o tipos de poliedros regulares.

38. Indique la verdad de las siguientes proposiciones: I. Se llama poliedros conjugados a

aquellos en que el número de caras de uno es igual al número de vértices del otro.

II. El octaedro regular y el tetraedro regular son poliedros conjugados.

III. El icosaedro regular y el dodecaedro regular son poliedros conjugados.

A) VFF B) FFV C) FVV D) VFV E) VVV

39. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. El poliedro conjugado del

tetraedro regular tiene 6 aristas y 4 vértices.

II. El poliedro conjugado del hexaedro regular tiene por caras triángulos equiláteros y tiene 6 vértices.

III. El dodecaedro y el icosaedro son poliedros conjugados.

A) VFV B) VVF C) VVV D) VFF E) FVV

40. Si la longitud de la arista del octaedro regular mide a unidades. Halle la longitud de la arista del poliedro conjugado inscrito.

A) 5a 2

6 B)

a 2

6 C)

a 2

3

D) 2

a 23

E) a 2

41. En las siguientes proposiciones diga

cuáles son verdaderos y/o falsos: I. Todos los poliedros regulares

tienen centro de simetría y ejes de simetría.

II. Un poliedro es regular si todas sus caras son congruentes.

III. Son poliedros conjugados el octaedro regular con el - hexaedro regular y el dodecaedro regular con el icosaedro regular.

A) VVV B) FVV C) FFV D) FFF E) VVF

42. El gráfico muestra a un icosaedro regular. Calcule la medida del ángulo

que forman AB y PQ .



A) 45 B) 60 C) 72 D) 90 E) 120

43. Un poliedro convexo, está limitado por 6 cuadrados congruentes y 8 triángulos equiláteros. Si todas las

aristas tienen longitud 3 2 u y en

cada vértice concurren el mismo número de aristas entonces el volumen (en u3) del solido limitado por el poliedro es A) 90 B) 100 C) 150 D) 180 E) 200

44. En un tetraedro regular la altura mide h. Entonces el área de una de sus caras es

A) 2h 3

4 B) 2h 3

C) 22h 3

3 D) 23 3

h8

E) 22 2h

9

45. Indique el valor de verdad de las

siguientes proposiciones: I. El hexaedro regular tiene 9 planos

de simetría. II. El hexaedro regular tiene 9 ejes

de simetría. III. El tetraedro regular tiene 6 planos

de simetría. IV. El tetraedro regular tiene centro de

simetría.

A) FVFV B) VVFF C) VFVF D) VVVF E) VVVV

46. El simétrico del hexaedro regular ABCD-EFGH es A'B'C'D' E'F'G'H' . Si la arista del hexaedro mide k, entonces B'D es

A) k 5 B) k 6 C) k 7

D) k 8 E) k 11

47. Se tiene un rectángulo ABCD tal que

2AB = BC, AB'CD' es el simétrico de ABCD respecto al lado AC. Si

BC AD' M y el área de la región rectangular ABCD es igual a S2. Halle

MD'

A)

32S

8 B) 3 3

S8

C) 3 5

S8

D) 3 2

S4

E) 3 3

S4

48. En un tetraedro regular O-ABC, la

distancia entre una de las alturas de las caras y la altura del tetraedro es

2u

7, entonces el área (en u2) de la

región determinada por uno de los planos de simetría es

A) 4 2 B) 5 2 C) 6 2

D) 8 2 E) 12 2

49. Calcule la suma de las áreas de las

regiones determinadas por los los planos de simetría en un hexaedro regular cuya arista mide a.

A) 23a 2 2 1 B) 23a 1 2

C) 23a 2 2 D) 23a 2

E) 29a

P Q

A

B



50. En la figura se tiene un hexaedro regular ABCD-EFGH. Si M, N y R son

puntos medios de las aristas AB , BC

y GC entonces el simétrico del punto F con respecto al plano MNR es

A) AB

B) BC

C) AE D) el vértice A E) el vértice D

51. En un prisma recto de n caras, calcule la suma de las medidas de sus diedros. A) 360 (n – 2) B) 360 (n – 3) C) 360 (n – 4) D) 180 (2n – 1) E) 100 (4n – 1)

52. La base de un prisma recto, cuya altura mide 1 cm, es una región cuadrangular limitada por un rombo cuyos lados miden 2 cm y un ángulo agudo de medida 30. Por un lado de la base se traza un plano secante que forma con el plano de la base un ángulo diedro cuya medida es 60. Entonces, el área (en cm2) de la sección determinada en el prisma por el plano secante es

A) 5 3

3 B)

4 3

3 C)

2 3

3

D) 3

3 E)

3 3

4

53. En un prisma recto ABC-DEF, se

ubica el punto medio P sobre CF . Si

un plano secante que pasa A y P determina dos troncos de prisma de volúmenes equivalente entonces el punto de intersección del plano

secante con la arista BE . A) es el punto B B) es el punto E

C) es el punto medio de BE

D) está a 1

3 de BE

E) está a 2

3 de BE

54. En la figura, se muestran las aristas

horizontal (H), frontal (F) y de perfil (P) de un sólido. Entonces el volumen del sólido (en m3) es

A) 24 B) 36 C) 28 D) 32 E) 30

55. Si un prisma oblicuo tiene A aristas, entonces la suma de las medidas de los diedros determinado entre caras laterales del prisma es A) 60 (A – 6) B) 180 (A – 1) C) 360 (A – 2) D) 120 (A – 3) E) 90 (A – 1)

56. La arista lateral de un prisma oblicuo triangular, mide 15 cm y está inclinada un ángulo que mide 53 respecto del plano de la base; que es una región

triangular equilátera de 42 3 cm de

lado. Entonces el volumen, en cm3, del sólido que determina este prisma es

A B

C

N

R

G H

E F

D

M

H

2m 2m

F

2m

2m

P

2m

2m



A) 24 B) 30 C) 32 D) 33 E) 36

57. En un prisma oblicuo de A aristas, calcule la suma de las medidas de sus ángulos diedros. A) 90 (A – 4) B) 120 (A – 3) C) 60 (A – 1) D) 180 (A – 2) E) 120 (A – 4)

58. En un prisma oblicuo le medida del ángulo diedro que forma el plano de la base con su sección recta es 60 y la altura del prisma es 20 u. Entonces la arista lateral del prisma mide A) 10 u B) 15 u C) 20 u D) 35 u E) 40 u

59. En un prisma triangular regular ABC-DEF se ubican los puntos

medios M y N en las aristas DF y BE

tal que AM y CN son ortogonales. Si la altura del prisma mide h, entonces el volumen del sólido determinado por el prisma es

A) 3h 3

4 B) 3h 3 C)

3h 2

2

D) 3h 6

2 E)

3h

3

60. En un prisma triangular regular se

inscribe un hexaedro de caras triangulares regulares y congruentes de modo que sus vértices son los centros de las caras del prisma. Si las aristas básicas del prisma miden “a” unidades, entonces el área total del hexaedro inscrito y el volumen del sólido que limita el prisma es

A) 23a 3

8 y

3a 2

4

B) 23a 3

7 y

3a 2

3

C) 23a 2

5 y

3a 3

3

D) 23a 2

7 y

3a 3

4

E) 2a 2

2 y

3a 3

3

61. En un prisma regular ABC-DEF sus

aristas laterales son congruentes a las aristas de sus bases, luego se ubica

M punto medio de AD . Si AD k ,

entonces la distancia entre BM y DF es

A) k

3 B)

k

2 C)

k 5

3

D) k 3

4 E)

k 2

2

62. En un prisma regular ABCDEF-

GHIJKL, la región BLJ tiene un área

de 220 3 dm , si BH 4

HM 3 y M es el

punto de intersección entre HK y LJ , entonces el volumen del solido limitado por el prisma (en dm3) es

A) 180 3 B) 186 3 C) 189 3

D) 192 3 E) 195 3

63. El gráfico es el desarrollo de un

poliedro cuyas longitudes de sus aristas se miden en cm. Calcule (en cm3) la capacidad del poliedro.

1 1 1

1

2 2

2

2 1 1



A) 5 B) 6 C) 7

D) 8 E) 22

3

64. Indique el valor de verdad de las

siguientes proposiciones: I. Un sólido prismático, es la unión

entre el conjunto de puntos de la superficie del prisma con el conjunto de puntos interiores del prisma.

II. Si las bases de un poliedro formados por superficies de paralelogramos, son superficies rómbicas, entonces el poliedro es un paralelepípedo.

III. Si las caras de un poliedro son regiones poligonales regulares, entonces es un poliedro regular.

A) VFF B) FVF C) FFF D) FVV E) VVV

65. Si las áreas tres de sus caras de un

paralelepípedo rectangular son 28 u , 212 u y 224 u , entonces el volumen

(en u3) del sólido que determina es A) 36 B) 48 C) 52 D) 60 E) 64

66. En un paralelepípedo rectangular recto, las áreas de tres de sus caras son 6 cm2, 9 cm2 y 18 cm2, entonces la capacidad (en cm3), del paralelepípedo rectangular es

A) 12 3 B) 15 3 C) 18 3

D) 24 3 E) 21 3

67. En un paralelepípedo recto ABCD-

EFGH de base rómbica, los diedros

E BD G y F AC H miden 60 y

90 respectivamente. Si la altura del paralelepípedo mide h entonces el volumen del sólido determinado por el paralelepípedo es

A) 35 h

33

B) 34 h

33

C) 32 h

33

D) 3h

33

E) 3h

34

68. Dado el paralelepípedo recto ABCD-

EFGH, donde AB = BC = AE, la m ABC 120 . Calcule la longitud del

menor camino para ir de B hacia F pasando por todas las caras.

A) AB 6 2 B) AB 12 3

C) AB 6 11 3 D) AB 2 3

E) AB 11 6 3

69. En un paralelepípedo recto de base

rectangular ABCD-EFGH, la diagonal FD mide 12 unidades y forma con las aristas EF, FG y BF ángulos cuyas medidas son 60, 45 y 60 respecti-vamente, entonces el volumen en unidades cúbicas del sólido que determina el paralelepípedo es

A) 96 2 B) 144 2

C) 216 2 D) 135 2

E) 384 2

70. Las dimensiones (en u) de un

paralelepípedo rectángulo miden

3x , 2 x 4 y 6 4 x .

Entonces el volumen máximo (en u3) del sólido que limita el paralelepípedo es A) 60 B) 75 C) 80

D) 250

3 E)

256

3



71. En una vasija cuya forma es un

paralelepípedo rectángulo de 72 cm de largo, 25 cm de ancho y 12 cm de altura se vierten 18 litros de agua. ¿A qué distancia del borde llega el agua? A) 3 cm B) 2 cm C) 1,5 cm D) 1 cm E) 0,8 cm

72. El área de la base de un paralelepípedo rectangular es igual a 1 u2 y la longitud de su diagonal es 2 u. Entonces, el volumen máximo (en u3) del sólido limitado por el paralelepípedo es

A) 2,5 B) 2 C) 3

D) 1,5 E) 2

73. Las diagonales de tres caras

diferentes de un paralelepípedo

rectangular miden 61m , 74 m y

85 m . Entonces el volumen (en m3)

limitado por el paralelepípedo rectangular es A) 180 B) 185 C) 210 D) 215 E) 227

74. En un paralelepípedo rectangular el ángulo entre dos diagonales cruzadas de dos caras adyacentes mide 60. Si el área de la superficie total del paralelepípedo es S entonces el volumen del sólido determinado por el prisma es

A) 3S

6 B)

31 S

6 6 C) 3S

D)

3S

2 E)

3S

3

75. En un rectoedro, su diagonal mide

10 cm y determina con la base un ángulo que mide 45 y con una cara lateral un ángulo que mide 30. Calcule

el volumen (en cm3) del sólido determinado por el rectoedro.

A) 120 5 B) 120 3

C) 125 2 D) 125 5

E) 150

76. En un paralelepípedo rectangular la base mide 60 u2, la suma de todas sus aristas es 96 u y la suma de los cuadrados de las tres dimensiones es 200 u2; calcule las tres dimensiones. A) 5u, 12u y 7u B) 6u, 10u y 8u C) 3u, 17u y 8u D) 2u, 30u y 2u E) 9u, 10u y 8u

77. En un paralelepípedo oblicuo sus caras laterales son regiones rómbicas, así como las bases. Si las aristas laterales miden 20 cm y están inclinadas 60 respecto del plano de la base, cuya diagonal menor mide igual que el lado, entonces el volumen (en cm3) del sólido que determina el paralelepípedo es A) 6 000 B) 2 400

C) 2 700 D) 3 200

E) 2 500

78. En un paralelepípedo oblicuo

ABCD- 1 1 1 1A B C D equilátero la arista

mide a y el ángulo triedro 1 1 1A AB D es

un ángulo triedro cuya medida es 60. Entonces el volumen del solido limitado por el paralelepípedo es

A) 3a

22

B) 32a 2

3

C) 3a

32

D) 3a 3

3

E) 32a 3

5

79. Si en un cubo ABCD-EFGH de arista

a, se ubican M, N, P y S en los puntos



medios de AD , DC , EF y EH respectivamente y L y Q son los centros de las caras ABCD y EFGH, entonces el área total del paralelepípedo oblicuo MLND-EPQS es

A) 2a 5 2 B) 2a 5 2

C) 2a

5 22

D) 2a

5 22

E) 2a

3 52

80. En un paralelepípedo ABCD-EFGH,

AD = 10 m, DC = 6 m y AC = 14 m; la proyección ortogonal del vértice E es

el punto medio de AC y las aristas laterales forman con la base un ángulo que mide 30. Calcule el volumen (en m3) del sólido determinado por el paralelepípedo es

A) 50 3 B) 60 3 C) 65 3

D) 70 3 E) 210

81. Un tronco de prisma recto tiene base

triangular equilátera y solo dos aristas laterales de longitudes 6 cm y 4 cm, respectivamente. Si el área lateral es 60 cm2, entonces el volumen del sólido (en cm3) que determina dicho tronco es

A) 24 3 B) 30 3

C) 20 3 D) 36 3

E) 40 3

82. ABCD es un tetraedro en el cual

AB = 6 u, la prolongación de AB es perpendicular a un plano P; Si la proyección de ABCD sobre dicho plano es una región de 20 u2 de área, entonces el volumen (en u3) del solido limitado por ABCD es A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60

83. La base de un prisma recto es un

rombo ABCD cuyas diagonales miden 2a y a. En sus aristas laterales se ubican los puntos A ' , B' ,C' y

D' respectivamente tal que AA' 3a ,

BB' 4a y CC' a .Si AA´

//BB´ //CC´ , entonces el volumen del

sólido limitado por el tronco de prisma cuyas bases son ABCD y A'B'C'D' es

A) 32a B) 34a C) 34a

3

D) 36a E) 38a

3

84. En un prisma triangular regular ABC-

1 1 1A B C de aristas laterales 1AA , 1BB

y 1CC los puntos G y G1 son los

baricentros de las bases ABC y A1B1C1, respectivamente. Se ubica un

punto P en 1GG tal que PG = 5PG1.

Un plano pasa por el punto “P” y por

los puntos medios de las aristas AB y

1 1A C . ¿En qué relación se

encuentran los volúmenes de los sólidos determinados por dicho plano

en el prisma ABC- 1 1 1A B C ?

A) 45

94 B)

49

95 C)

39

85

D) 49

89 E)

27

64

85. En un tronco de paralelepípedo recto

el perímetro de su base rectangular es k1 y la suma de las longitudes de sus aristas laterales es k2. El área lateral del tronco del paralelepípedo recto es

A) 1 2k k

3 B) 1 2k k

4 C) 1 2k k

8

D) 1 2k k

6 E) 1 2k k

10



86. La base de un tronco de prisma

triangular oblicuo, tiene área de 12 u2. Sus aristas laterales están inclinadas 60 respecto a la base y tienen longitudes 3 u, 4 u y 5 u respectiva-mente. Entonces, el volumen (en u3) del sólido limitado por el tronco de prisma es

A) 24 3 B) 23 3 C) 22 2

D) 21 2 E) 20 2

87. En un tronco de prisma triangular

oblicuo, su base es una región triangular cuyas longitudes de sus lados son 13 cm, 14 cm y 15 cm. Si las aristas laterales están inclinadas 53 respecto del plano de la base y sus longitudes suman 10 cm, entonces el volumen (en cm3) del sólido que determina el tronco es A) 214 B) 234 C) 226 D) 224 E) 254

88. En un plano H, está contenido la base de un prisma triangular oblicuo ABC-DEF. Las longitudes de las perpendiculares trazadas desde los vértices D, E y F al plano de la base ABC son h1, h2 y h3. Si el área de la base ABC es S unidades cuadradas, entonces demuestre que el volumen V del sólido limitado por el tronco de prisma triangular oblicuo es

1 2 3

SV h h h

3

89. En un rombo ABCD las diagonales miden a y 2a. Si se trazan las

perpendiculares 1AA 3a ; 1BB 4a

y 1CC a , entonces el volumen del

sólido limitado por el tronco de prisma

1 1 1A B C D ABCD es

A) a3 B) 2a3 C) 3a3 D) 4a3 E) 5a3

90. ABCD es un tetraedro regular cuya arista mide 6 unidades. Se ubican M,

N, P y Q en las aristas AB , AC , CD

y BD respectivamente. Si AM = 4 u y NC = QD = PD = 2u, entonces el volumen (en u3) del solido limitado por el tronco de prisma oblicuo BMQ-CNP es

A) 4 2 B) 4 3 C) 6 2

D) 8 3 E) 8 2

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5to_Seminario Geometría PRE 2013-2