Embed Size (px)
Citation preview
ทฤษฎี�เบื้�องต้ นของความน�าจะเป็�น
สมบื้�ต้�ของความน�าจะเป็�น
P(E E ) = P(E ) + P(E ) - P(E E )1 2 1 2 1 2
P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(A B) P(A B) P(B C) P(A B C)
สมบื้�ต้�บื้างป็ระการของความน�าจะเป็�น
สามารถหาความน่าจะเป็�น่โดยใช้�สมบั�ติ�บัางป็ระการของความน่าจะเป็�น่ได�
ผลการเร�ยนร! ท�"คาดหว�งรายคาบื้
ต้�วอย�างท�" 1 หย�บื้ไพ่� 1 ใบื้จากส)าร�บื้จงหาความน�าจะเป็�นท�"ได ไพ่�ร!ป็ A หร�อ โพ่แดง
ว�ธี�ท)า
E1
= {Aดอกจ�ก , Aข าวหลามต้�ด , A โพ่แดง , Aโพ่ด)า } ด�งน�น n(E1
) = 4ความน�าจะเป็�นท�"ได ไพ่�ร!ป็ A ค�อ 1
4P(E ) =
52
E 2 แทนไพ่�โพ่แดง
ความน�าจะเป็�นท�"ได ไพ่�ร!ป็โพ่แดง ค�อ แทนไพ่�ร!ป็ A ท�" เป็�นไพ่�โพ่แดง ม� 1 ใบื้ ด�งน�น
1 2E E 1 2n E E =1
ความน�าจะเป็�นท�"ได ไพ่�ร!ป็ A ท�"เป็�นไพ่�โพ่แดง ค�อ 1 2
1P E E =
52
2
13P(E ) =
52
ไพ่�หน-"งส)าร�บื้ม� 52 ใบื้ ด�งน�น 52n(S) =
ม� 13 ใบื้ ด�งน�น n(E )=132
ต้�อหน าถั�ดไป็
1n(E )n(S)
1 2n(E E )n(S)
1 2 1 2 1 2P(E E ) = P(E ) + P(E ) - P(E E ) จาก4 13 1
52 52 52
16 4
52 13
2
13P(E ) =
52
1
4P(E ) =
52 1 2
1P E E =
52จากท�"หา
ใช้ สมบื้�ต้�ของความน�าจะเป็�นในการหา
1 2P E E
ต้�วอย�าง จากการส)ารวจใบื้ลงทะเบื้�ยนของน�กเร�ยนช้�น ม.6 ของโรงเร�ยนแห�งหน-"ง จ)านวน 100
คน พ่บื้ว�า ม�น�กเร�ยน 60 คน เล�อกเร�ยน คณิ�ต้ศาสต้ร2 25 คน เล�อกเร�ยนภาษาอ�งกฤษ
15 คน เล�อกเร�ยนภาษาเยอรม�น 15 คน เล�อกเร�ยนท�งคณิ�ต้ศาสต้ร2 และภาษาอ�งกฤษ
7 คนเล�อกเร�ยนท�งคณิ�ต้ศาสต้ร2 และภาษา เยอรม�น 8 คนเล�อกเร�ยนท�งภาษาอ�งกฤษ
และภาษาเยอรม�น 3 คนเล�อกเร�ยนท�ง 3 ว�ช้า
ถั าส4�มใบื้ลงทะเบื้�ยนข-นมา 1 ใบื้ จงหาความน�าจะเป็�นท�"จะได ใบื้ลงทะเบื้�ยนของน�กเร�ยนท�"เล�อกเร�ยนคณิ�ต้ศาสต้ร2
หร�อภาษาอ�งกฤษ หร�อภาษาเยอรม�นจากโจทย2ก)าหนดให E1 แทน น�กเร�ยนเล�อกเร�ยนว�ช้าคณิ�ต้ศาสต้ร2
E2 แทน น�กเร�ยนเล�อกเร�ยนว�ช้าภาษาอ�งกฤษE3 แทน น�กเร�ยนเล�อกเร�ยนว�ช้าภาษาเยอรม�น
จะได
n )=60(E1 n(E )=252 n(E )=153n(E E )2 = 151 n(E E )= 71 3 n(E )= 82 E3
1n(E )= 32 3E E ติอหน่�าถ�ดไป็
จากโจทย2 จะได n(S) , 100 n(E1
) = 6 0 , n(E2
25) = , n(E3
15) = ,
1 2 1 3 2 3 1 2 3n(E E ) = 15 , n(E E ) = 7 , n(E E ) = 8 , n( E E E ) = 3
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 P( E E E ) = P(E ) + P(E ) + P(E ) - P(E E ) - P(E E ) - P(E E ) + P( E E E )
n(S))n(E1 2n(E )
n(S)3n(E )
n(S)
1 2n(E E )n(S)
3E2n(E )n(S)
1 3n(E E )n(S)
1 2 3n(E E E )n(S)
60
100
25
100 15
100
15
100
7
100
8
100
3
100
60 25 15 15 7 8 3
100
73
100
แบื้บื้ฝึ7ก ท�กษะท�" 4
ทฤษฎี�เบื้�องต้ นของความน�าจะเป็�น
1. หย�บื้ไพ่� 1 ใบื้จากส)าร�บื้จงหาความน�าจะเป็�นท�"ได ไพ่�ร!ป็ A หร�อ โพ่แดง
1 2 1 2 1 2P(E E ) = P(E ) + P(E ) - P(E E )
4 13 1
52 52 52
16
52
ไพ่� A ม� 4 ใบื้
ไพ่�โพ่แดง ม�13 ใบื้
ไพ่�ร!ป็ A ท�เป็�นโพ่แดง ม� 1
ใบื้
ไพ่�หน-"งส)าร�บื้ม� 52 ใบื้ ด�งน�น 52n(S)=
4
13
ต้�วอย�าง จากการส)ารวจใบื้ลงทะเบื้�ยนของน�กเร�ยนช้�น ม.6 ของโรงเร�ยนแห�งหน-"ง จ)านวน 100
คน พ่บื้ว�า ม�น�กเร�ยน 60 คน เล�อกเร�ยน คณิ�ต้ศาสต้ร2 25 คน เล�อกเร�ยนภาษาอ�งกฤษ
15 คน เล�อกเร�ยนภาษาเยอรม�น 15 คน เล�อกเร�ยนท�งคณิ�ต้ศาสต้ร2 และภาษาอ�งกฤษ
7 คนเล�อกเร�ยนท�งคณิ�ต้ศาสต้ร2 และภาษา เยอรม�น 8 คนเล�อกเร�ยนท�งภาษาอ�งกฤษ
และภาษาเยอรม�น 3 คนเล�อกเร�ยนท�ง 3 ว�ช้า
ถั าส4�มใบื้ลงทะเบื้�ยนข-นมา 1 ใบื้ จงหาความน�าจะเป็�นท�"จะได ใบื้ลงทะเบื้�ยนของน�กเร�ยนท�"เล�อกเร�ยนคณิ�ต้ศาสต้ร2
หร�อภาษาอ�งกฤษ หร�อภาษาเยอรม�นจากโจทย2ก)าหนดให E1 แทน น�กเร�ยนเล�อกเร�ยนว�ช้าคณิ�ต้ศาสต้ร2
E2 แทน น�กเร�ยนเล�อกเร�ยนว�ช้าภาษาอ�งกฤษE3 แทน น�กเร�ยนเล�อกเร�ยนว�ช้าภาษาเยอรม�น
จะได
n )=60(E1 n(E )=252 n(E )=153n(E E )2 = 151 n(E E )= 71 3 n(E )= 82 E3
1n(E )= 32 3E E ติอหน่�าถ�ดไป็
จากโจทย2 จะได n(S) , 100 n(E1
) = 6 0 , n(E2
25) = , n(E3
15) = ,
1 2 1 3 2 3 1 2 3n(E E ) = 15 , n(E E ) = 7 , n(E E ) = 8 , n( E E E ) = 3
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 P( E E E ) = P(E ) + P(E ) + P(E ) - P(E E ) - P(E E ) - P(E E ) + P( E E E )
n(S))n(E1 2n(E )
n(S)3n(E )
n(S)
1 2n(E E )n(S)
3E2n(E )n(S)
1 3n(E E )n(S)
1 2 3n(E E E )n(S)
60
100
25
100 15
100
15
100
7
100
8
100
3
100
60 25 15 15 7 8 3
100
73
100
3.1 P(A B)
P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
20 15 6 29
60 60
3. ก)าหนดให P(A) = P(B) = และ P(A B) = แล ว
1
3
1
4
10
1
จากส!ต้ร
1
3
1
4
1
10
B
จากส!ต้ร
PA B =P(A)+P(B)-P(A B)
10 3
30
7
30
P(A B )
P(A B) =P(A)-P(A B)มาช้�วยในการค)านวณิจะ
สะดวก ด�งน�น
P(A B )=?3.2 ก)าหนดให
1 1 1P(A)= P(B)= P(A B)=3 4 10
ถ�าค าน่วณจากส"ติรด�งกล่าวทำ าได�ล่ าบัาก จ%งติ�องใช้� ความร" �เร&'อง เซติทำ)'วา A B=A-B=A-(A B)
1
10
1
3
A B
P(A B )=?
P(A B) = 1 - P(A B)
291
60
31
60
3.3 ก)าหนดให
1 1 1P(A)= P(B)= P(A B)=3 4 10
ใช้ ความร! เร�"อง เซต้ท�"ว�า A B=(A B)
จากสมบั�ติ�ความน่าจะเป็�น่ทำ)'วา
P(A)=1-P(A)จาก
29
3.1 P(A B)=60
ด�งน�น
4. ก)าหนดให P(A) = P(B) = และ P(A B) = แล ว1
3
1
21
5
4.1 P(A B )
P(A B) = 1 - P(A B)
11
5
4
5
(A B)=(A B)
4.2 P(A B )
P(A B) = 1 - P(A B)
191
30
11
30
A B=(A B)
P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
1 1 1 19
3 2 5 30 จากโจทย2
1 1 1
P(A)= ,P(B)= ,P(A B)=3 2 5
4.3 P(A B)
P(B - A) = P(A B) - P(A)
19 1
30 3
9 3
30 10
A ∩B=B∩A =B-A
เน�"องจาก
B-A=(B A)-Aด�งน�น
U
B AB A(B A)-A
4.4 P(A B )
P(A - B) = P(A B) - P(B)
19 1
30 2
4 2
30 15
4.5 P(A B)
P(A B) = P(A ) + P(B) - P(A B)
2 1 3
3 2 10
26 13
30 15
1P(A)=1-
3
4.6 P(A B )
P(A B ) = P(A) + P(B ) - P(A B )
1 1 2
3 2 15
21
30
1P(B)=1-
2
5. ให A และ B เป็�นเหต้4การณิ2ท�"ไม�เก�ดร�วมก�น และม� P(A) = P(B) = จงหา
2
3
1
4
1. P(A B)
2. P(A B )
0
2= P(A) =
3
A B =A-B
3. P(A B)
4. P(A B )
1= P(B) =
4
P(A B) = 1 - P(A B)
1 0 1
A B=B-A
6. ก)าหนดให A , B และ C ไม�เก�ดร�วมก�นท�งหมด โดยท�" P(A) = P(B) = และ P(C) = จงหา
1
2
1
6
1
3
1. P(A B)
P(A B) = P(A) + P(B)1 1
2 3
3 2 5
6 6
2. P(A B C)
P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) 1 1 1
2 3 6
1
7. ให A และ B เป็�นเหต้4การณิ2ท�"ไม�เก�ดร�วมก�น และม�ค�า P(A) = และ P(A B) = แล ว2
3
1
21. P(B)
2. P(A B)
2 1
3 2
4 3 1
6 6
P(B) = P(A B) - P(A)
P(A B) = 0
8. โยนล!กเต้9า 2 ล!ก 1 คร�ง ก)าหนดเหต้4การณิ2ด�งน� A เป็�นเหต้4การณิ2ท�"ล!กเต้9าข-นแต้ มรวมเป็�น 7 และ B เป็�นเหต้4การณิ2ท�"ล!กเต้9าข-นแต้ ม 4 อย�างน อย 1 ล!ก
n(s) = 36
n(A) = 6
n(B) = 11
A = { ( 1 , 6 ) , ( 2 , 5 ) , ( 3 , 4 ) , ( 4 , 3 ) , ( 5 , 2 ) , ( 6 , 1 ) }
B = { ( 4 , 1 ) , ( 4 , 2 ) , ( 4 , 3 ) , ( 4 , 4 ) , ( 4 , 5 ) , ( 4 , 6 ) , ( 1 , 4 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 4 ) , ( 5 , 4 ) , ( 6 , 4 ) }
1. P(A)6 1
36 6 2. P(B)
3. P(A B)
4. P(A B)
n(A)=
n(S)
n(B)=
n(S)11
36A∩B = { (3,4) , (4,3) }
ด�งน่�*น่ n(A∩B) = 2
n(A B)=
n(S)
2 1
36 18
= P(A) + P(B) - P(A B)
6 11 2
36 36 36
15
36
