1

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ESTE

Matemticas II

Luis Alberto Cadogan A. Prof. Titular Ingeniero Captulo 6: Cnicas

INDICE

21.CIRCUNFERENCIA.

1.1.Circunferencia con centro en el origen.21.2.Circunferencia con centro desplazado del origen.31.3.Ecuacin general de la circunferencia.41.4.Anlisis para posiciones particulares de la circunferencia.41.4.1.Centro en el origen del sistema cartesiano.41.4.2.Centro sobre el eje X.41.4.3.Centro sobre el eje Y.51.4.4.Circunferencia que pasa por el origen del sistema cartesiano.51.5.Tangente a una circunferencia desde un punto externo.61.6.Eje radical de dos circunferencias.142.CNICAS.193.DEFINICIN GENERAL DE CNICAS.204.PARBOLA.205.ELIPSE.315.1.Ecuacin general de la Elipse.335.2.Radio focal de la Elipse.406.HIPERBOLA.447.APLICACIONES DE LAS CNICAS.577.1.Aplicaciones de la parbola.577.2.Aplicaciones de la elipse.577.3.Aplicaciones de la hiprbola.58

GEOMETRA ANALTICA

1. CIRCUNFERENCIA.

Lugar Geomtrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro. Si consideramos un anillo, el borde del anillo es la circunferencia, si colocamos el anillo sobre un papel y pintamos dentro del anillo la figura plana que aparece sobre el papel es el crculo.

Permetro de la circunferencia es: Cia = .D = 2.Rrea del crculo es: A = .R2.

1.1. Circunferencia con centro en el origen.

La circunferencia con centro en origen del sistema cartesiano y radio igual a R es el Lugar Geomtrico de todos los puntos que satisfacen la condicin de que la suma del cuadrado de la distancia a cada eje coordenado es igual al cuadrado del radio:

LG = {(X; Y)/X2 + Y2 = R2}Circunferencia con centro en el origen y radio = R.

Ejercicio 6.1. Escribir la ecuacin de la circunferencia con centro en el origen y

1.1. Radio R = 5.X2 + Y2 = 25.

1.2. Radio R = 10.X2 + Y2 = 100.

Ejercicio 6.2. Determinar el radio y el Lugar Geomtrico de la ecuacin:2.1. X2 + Y2 = 81.

Circunferencia con centro en el origen y radio R = 9.

2.2. X2 + Y2 = 64.

Circunferencia con centro en el origen y R = 8.Ejercicio 6.3. Encontrar el conjunto de todos los punto P(X; Y) tales que la suma de los cuadrados de las distancias de P a los ejes coordenados sea igual a 36.

Distancia de P(X; Y) al eje Y: X.

Distancia de P(X; Y) al eje X: Y

Suma de los cuadrados de las distancias: X2 + Y2 = 36.

Circunferencia con centro en el origen y radio R = 6.

1.2. Circunferencia con centro desplazado del origen.

Si la circunferencia tiene el centro desplazado del origen del plano cartesiano, en un punto C(h; k), el Lugar Geomtrico de la misma estar dado por el conjunto de puntos: LG = {(X; Y)/(X h)2 + (Y k)2 = R2}.

Circunferencia con centro en C(h; k) y radio R.

La ecuacin de la circunferencia es de segundo grado en X e Y. Pero no toda ecuacin de segundo grado en X e Y corresponde a una circunferencia.

Ecuacin Normal (o Cannica) de la circunferencia:(X h)2 + (Y k)2 = R2.Ejercicio 6.4. Encontrar la Ecuacin de la Circunferencia con centro en el punto C(2; 3) y radio R = 4.

(X 2)2 + (Y 3)2 = 16.

X2 + Y2 4X 6Y 3 = 0.Ejercicio 6.5. Encontrar las coordenadas del centro C(h; k) y el radio R de la circunferencia:

X2 + Y2 3X + 5Y 14 = 0.

Agrupamos los trminos en X e Y:

[X2 3X] + [Y2 + 5Y] 14 = 0.Luego completamos los cuadrados:

.

Coordenadas del centro:

.

Ejercicio 6.6. Encontrar las coordenadas de C(h; k) y R de la circunferencia:

X2 + Y2 + 4X + 8Y 29 = 0.

Agrupamos trminos: (X2 + 4X) + (Y2 + 8Y) 29 = 0.Completamos cuadrados:

(X + 2)2 4 + (Y + 4)2 16 29 = 0

(X + 2)2 + (Y + 4)2 = 49

Coordenadas del centro: C( 2; 4)

R = 7.

1.3. Ecuacin general de la circunferencia.

La ecuacin general de la circunferencia es de la forma: X2 + Y2 + DX + EY + F = 0

Agrupamos los trminos en X e Y y completamos cuadrados:

(X2 + DX) + (Y2 + EY) + F = 0 ( .

, comparamos con la ec. normal:

(X h)2 + (Y k)2 = R2.

Coordenadas del centro en funcin de los coeficientes:

.

Radio de la circunferencia: .

Anlisis del trmino (D2 + E2 4F):

Si (D2 + E2 4F) > 0

R > 0: Circunferencia real.

Si (D2 + E2 4F) = 0

R = 0: Tenemos un Punto en el Plano.

Si (D2 + E2 4F) < 0

R < 0: Circunferencia imaginaria.

1.4. Anlisis para posiciones particulares de la circunferencia.

Analizamos la ecuacin general:

,

y la ecuacin normal:

(X h)2 + (Y k)2 = R2.

1.4.1. Centro en el origen del sistema cartesiano.

Tenemos que h = k = 0 (X2 + Y2 = R2, Ecuacin Cannica de la CIA.1.4.2. Centro sobre el eje X.

Tenemos C(h; 0) ( (X h)2 + Y2 = R2. Desarrollamos esta ecuacin:

.1.4.3. Centro sobre el eje Y.

Tenemos C(0; k) ( X2 + (Y k)2 = R2. Desarrollamos esta ecuacin:

.1.4.4. Circunferencia que pasa por el origen del sistema cartesiano.

La ecuacin debe cumplirse para el Punto de coordenadas O(0; 0):

Para X = Y = 0, tenemos que:

.

. Si en la ecuacin general de la circunferencia: X2 + Y2 + DX + EY + F = 0 el trmino independiente debe ser nulo: F = 0.Ejercicio 6.7. Encontrar el valor de k para que la Ecuacin: X2 + Y2 8X + 10Y + k = 0 represente una circunferencia de R = 7.

Mtodo I: X2 + Y2 8X + 10Y + k = 0, comparamos con la ecuacin general:

X2 + Y2 + DX + EY + F = 0 ( D = 8;E = 10;F = k.

( 4k = 32 (k = 8.

Mtodo II: Completamos cuadrados en X e Y:

(X 4)2 16 + (Y + 5)2 25 + k = 0

(X 4)2 + (Y + 5)2 = 41 k = R2.

41 k = 49

(k = 8.1.5. Tangente a una circunferencia desde un punto externo.

Ejercicio 6.8. Longitud de la recta tangente a una circunferencia desde un punto externo al punto de tangencia. Dada una circunferencia con centro en C(h; k); radio R y la recta tangente a la misma en PT(XT; YT) que pasa por el punto P1(X1; Y1): Calcular la longitud de la tangente desde el punto P1(X1; Y1) al punto de tangencia.

La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

Consideremos el tringulo de vrtices P1PTC: (tringulo rectngulo), donde:

(P1C): hipotenusa; (P1PT) y (PTC): catetos: (P1C)2 = (P1PT)2 + (PTC)2

(P1C)2 = d2 + R2 (d2 = (P1C)2 R2

La longitud de la tangente desde un punto P exterior a la CIA es igual a la raz cuadrada de la ecuacin de la misma con X e Y sustituidas por las coordenadas del punto dado.

Ejercicio 6.9. Dado el conjunto de pares de puntos X e Y que pertenecen al conjunto definido por: {(X; Y): X2 + Y2 + 2X + Y 3 = 0}, Calcular la longitud de la recta tangente que va desde P(8; 4) hasta el punto de tangencia.

Para la ecuacin dada: X2 + Y2 + 2X + Y 3 = 0, tenemos:

h = D/2 = 1;k = E/2 = 1/2;

,

.

d = 9,12.Ejercicio 6.10. Para el tringulo definido por las rectas: L1: 7X Y = 11; L2: X + Y = 15 y L3: 7X + 17Y = 65. Determinar:

10.1. Los vrtices.

Para hallar el vrtice A resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de

L1/L2: ; Para B: L1/L3: B( 2; 3); Para C: L2/L3: C: (32; 17).

10.2. La interseccin (h; k) de las bisectrices de los ngulos interiores del tringulo.

Bisectrices de ngulos interiores del tringulo se interceptan en el incentro.

Punto de interseccin y origen estn al mismo lado de cada recta: Las d son < 0 y por ser radios de la cia inscripta al tringulo son iguales entre si: d1 = d2 = d3

Distancia de (h; k): a L1: ,

a L2 es: ,a L3 es: .

d1 = d2 :

3h + k = 16(1).

d1 = d3 :

4h 7k = 13(2)h = 5k = 1.

.

.

10.3. La Ecuacin de la circunferencia inscripta al tringulo.

Para: C(5; 1) y , tenemos: .

10.4. La Ecuacin de la circunferencia circunscripta al tringulo.

Los valores de X e Y de cada vrtice deben satisfacer a la ecuacin general de la cia:

X2 + Y2 + DX + EY + F = 0.

Para A: D + 29E + 2F = 421.(1)

Para B: 2D + 3E F = 13.(2)

Para C: 32D + 17E F = 1.313. (3)

;

;

.

.

Ejercicio 6.11. Encontrar la ecuacin de la circunferencia circunscripta al tringulo definido por las rectas: L1: X + Y = 8; L2: 2X + Y = 14 y L3: 3X + Y = 22.

L1; L2: A (6; 2).L1;L3: B (7; 1).L2;L3: C (8; 2).

Para A(6; 2):

6D + 2E + F = 40

D = 6

Para B(7; 1):

7D + E + F = 50

E = 4

Para C(8; 2):8D 2E + F = 68

F = 12

X2 + Y2 6X + 4Y 12 = 0(X 3)2 + (Y + 2)2 = 25.

Ejercicio 6.12. Hallar la ecuacin de la circunferencia circunscripta al tringulo de lados:

L1: 2X + Y 8 = 0 L2: X Y 1 = 0L3: X 7Y 19 = 0.

Vrtice A: L1 y L2: A(3; 2). Vrtice B: L1 y L3: B(5; 2). Vrtice C: L3 y L2: ( 2; 3).

3D + 2E + F = 13(1)

5D 2E + F = 29(2)

2D 3E + F = 13(3) D = 8/3; E = 8/3; F = 31/3.

.Ejercicio 6.13. Para el tringulo definido por las rectas: L1; L2 y L3 cuyas ecuaciones son:

L1: 2X 3Y + 21 = 0; L2: 3X 2Y 6 = 0;

L3: 2X + 3Y + 9 = 0.

13.1. Encontrar los vrtices.

L1; L2: A(12; 15). L1; L3: .

L2; L3: C(0; 3).13.2. Determinar las pendientes de cada lado.

;

;

.

13.3. Determinar el tipo de tringulo.

Como , el tringulo es rectngulo.13.4. Verificar que .

;

;

.13.5. Calcular el punto de interseccin de las bisectrices (incentro).

d1 = d2 = d3; las tres son negativas, punto y origen estn al mismo lado de cada recta.

d1 = d2:

h + k = 3(1).

d1 = d3:

k = 2

h = 1.13.6. Encontrar la ecuacin de la circunferencia inscripta al tringulo.

d1 = d2 = d3 = ; C( 1; 2).

(X + 1)2 + (Y 2) 2 = 13.13.7. Determinar las ecuaciones de las mediatrices.

Mediatriz de AB: P Medio: ;Pendiente de la Mediatriz:

.

Mediatriz de AC: P Medio: ;Pendiente de la Mediatriz:

.

Mediatriz de BC: P Medio: ; Pendiente de la Mediatriz: .

Mediatriz de L1: (AB): 12X + 8Y = 95.

Mediatriz de L2: (AC): 2X + 3Y = 30.

Mediatriz de L3: (BC): 12X 8Y = 41.13.8. Calcular el punto de interseccin mediatrices.

Tomamos dos ecuaciones cualesquiera de las mediatrices y resolvemos el sistema.

Punto de interseccin mediatrices: .13.9. Encontrar la ecuacin de la circunferencia circunscripta al tringulo.

Para A:12D + 15E + F = 369(1)

Para B: 30D 8E 4F = 241(2)

Para C: 3E F = 9(3)

D = 9/2;E = 17;F = 60.

.

.Ejercicio 6.14. Para el tringulo de lados: L1: Y = 0; L2: 3X 4Y = 0 y L3: 4X + 3Y = 50. Hallar:

14.1. Los vrtices.

L1/L2: A(0; 0)L1/L3: L2/L3: C(8; 6).14.2. La Ecuacin de las Bisectrices.

X 3Y = 0;

2X + 4Y 25 = 0;

7X Y 50 = 0.

14.3. El Punto de interseccin de las bisectrices.

Mtodo I: resolver el sistema formado por dos ecuaciones de bisectrices: .

Mtodo II: P. de Interseccin de Bisectrices: Centro de la circunferencia inscripta al tringulo. d1 > 0; d2 < 0; d3 < 0. .

;

;

h = 15/2; k = 5/2.14.4. La Ecuacin de la circunferencia inscripta al tringulo.

Centro: C(15/2; 5/2); R = 2,5.

.14.5. La Ecuacin de la circunferencia circunscrita al tringulo.

Para A(0; 0): F = 0. Para B(12,5; 0): . Para C(8; 6) : E = 0.

.Ejercicio 6.15. Encontrar las ecuaciones de las circunferencias que pasen por los puntos: A(1; 2) y B(3; 4) y sean tangentes a la recta: L: 3X + Y 3 = 0.

C(h; k): es el centro de una de las circunferencias; T: es punto de tangencia.

Las distancias: CA = CB = CT = R.Tomamos: CA = CB

(h 1)2 + (k 2)2 = (h 3)2 + (k 4)2

h + k = 5(1)

Tomamos: CA = CT

h2 + 9k2 6hk 2h 34k + 41 = 0(2)

De (1):h = 5 k(3).

(3) en (2):2k2 9k + 7 = 0

k1 = 1

k2 = 7/2.

Para k1 = 1:

h1 = 4

C1(4; 1)

.

CIA1:

.

Para k2 = 7/2:h2 = 3/2

C2(3/2; 7/2)

.

CIA2:

.Ejercicio 6.16. Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasen por los puntos A(2; 3) y B(3; 6) y sean tangentes a la recta: L: 2X + Y 2 = 0.

Solucin: X2 + Y2 26X 2Y + 45 = 0; X2 + Y2 2X 10Y + 21 = 0.Ejercicio 6.17. Encontrar la ecuacin de la CIA que pasa por los puntos P(5; 3); Q(3; 1) y R(6; 2).

Para P:5D + 3E + F = 34(1)

Para Q:3D E + F = 10(2)

Para R:6D + 2E + F = 40(3)

D = 8E = 2F = 12

h = 4; k = 1; R2 = 5.X2 + Y2 8X 2Y + 12 = 0.

(X 4)2 + (Y 1)2 = 5.

Ejercicio 6.18. Hallar el C(h; k) y el Radio de la Circunferencia que pasa por P(1; 1) y es tangente a la recta T: 2X Y 3 = 0 en el punto Q(3; 3).

La tangente a la CIA T: 2X Y 3 = 0 tiene pendiente mT = 2; la perpendicular a ella (N) pasa por el punto de tangencia Q(3; 3) y por el centro C(h; k) de la CIA y tiene pendiente: mN = 1/2; Para hallar su ecuacin usamos los datos: Q(3; 3) y mN:

N: X + 2Y 9 = 0.

La pendiente de la cuerda PQ es mPQ = 1, su punto medio es: XM = 2; YM = 2. La mediatriz de esta cuerda pasa por (2; 2) y por el C(h; k) de la CIA, su pendiente es mM = 1. y su ecuacin ser: L: X + Y 4 = 0.

Tenemos un sistema con dos ecuaciones y dos incgnitas:

X + 2Y = 9(1)

h + 2k = 9(1)

X + Y = 4(2)

h + k = 4(2)

Para h y k tendremos:

h = 1 y k = 5.

R2 = 20.

Ecuacin de la circunferencia: (X + 1)2 + (Y 5)2 = 20.Ejercicio 6.19. Encontrar la ecuacin de la circunferencia que pase por A(0; 0) con R = 13 y centro en C(12; k).

(X h)2 + (Y k)2 = R2

Para el punto A: (12)2 + (k)2 = 169

144 + k2 = 169k = ( 5.

Para C1( 12; 5)tenemos:(X + 12)2 + (Y 5)2 = 169.

Para C2( 12; 5)tenemos:(X + 12)2 + (Y + 5)2 = 169.1.6. Eje radical de dos circunferencias.

Es el lugar geomtrico de los puntos desde los cuales las rectas tangentes a ellas tienen igual longitud. Consideramos la ecuacin de dos circunferencias:

CIA 1:

,

CIA 2:

.

Sea P(X; Y) un punto genrico del eje radical, entonces tenemos: d1 = d2

.

Elevamos al cuadrado y agrupamos:

(D1 D2)X + (E1 E2)Y + F1 + F2 = 0, la ecuacin del Lugar Geomtrico es la Ecuacin de una Recta, de la forma:

AX + BY + C = 0.Ejercicio 6.20. Encontrar la ecuacin de la familia de circunferencias que pasan por los puntos de interseccin de dos dadas.

CIA 1: ,

CIA 2: ; tenemos dos Circunferencias que son secantes.

X2 + Y2 + D1X + E1Y + F1 + K(X2 + Y2 + D2X + E2Y + F2 ) = 0representa la flia de cias ( K ( 1. Para K = 1, tenemos:

(D1 D2)X + (E1 E2)Y + F1 F2 = 0. Ecuacin de la recta que es la cuerda comn a ambas circunferencias.

Ejercicio 6.21. Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por el punto de interseccin de las rectas: L1: 3X + 4Y = 26 y L2: X + 5Y = 4 y tiene el centro en C(0; 1).

Punto de Interseccin entre L1 y L2: X = 6

Y = 2.

Radio: distancia entre C(0; 1) y el punto (6; 2):

.

Ecuacin de la circunferencia pedida:X2 + (Y + 1)2 = 45.

Ejercicio 6.22. Un segmento de recta PQ de longitud 3 cmt se mueve apoyndose tangencialmente sobre la circunferencia: X2 + Y2 4X + 6Y + 9 = 0. Si el extremo P es el punto de tangencia. Cul es el lugar geomtrico que describe el punto Q?.

En la ecuacin de la circunferencia completamos cuadrados:

(X2 4X) + (Y2 + 6Y) + 9 = 0

(X 2)2 + (Y + 3)2 = 4;

h = 2; k = 3; R = 2.

(

PQ2 = (X 2)2 + (Y + 3)2 4 = 9((X 2)2 + (Y + 3)2 = 13

El punto Q describe una circunferencia, cuya ecuacin es:

(X 2)2 + (Y + 3)2 = 13;con centro en: C(2; 3) y radio: .

Ejercicio 6.23. Para el Tringulo de vrtices: A(4; 1) B(2; 1) y C(1; 5), Determinar:

23.1. Punto Medio de cada lado.

PMAB: (3; 0); PMAC: (3/2; 3) ; PMBC: (1/2; 2).23.2. Pendiente de cada lado.

mAB = 1;mAC = 4/5;

mBC = 2.

23.3. Longitud de cada lado.

.

23.4. Ecuacin de la recta de cada lado.

LAB:X Y 3 = 0

LAC: 4X + 5Y 21 = 0 LBC: 2X + Y 3 = 0.

23.5. Ecuacin de las medianas (recta que va del vrtice al punto medio del lado opuesto).

M de A: 2X + 7Y = 15. M de B: 8X + Y = 15. M de C: 5X + 4Y= 15.

23.6. El baricentro (punto de interseccin de las medianas).

; XB = 5/3

; YB = 5/3.23.7. Longitud de cada mediana.

; ; .

23.8. La ecuacin de las bisectrices de los ngulos del tringulo.

Bisect A: X 17Y = 13; Bisect B: 19X 3Y = 41; Bisect C: 41X + 33Y = 124.

23.9. Ubicacin del incentro.

El incentro es el centro de la circunferencia inscripta al tringulo y es el punto de interseccin de las bisectrices.

Mtodo 1: Tomamos dos ecuaciones de las bisectrices y resolvemos el sistema:

P(2,3; 0,9).

Mtodo 2: los tres lados del tringulo son tangente a la circunferencia inscripta, por lo tanto la distancia del centro de la misma (h; k) a cada lado tiene igual valor.

Para el lado AC: d1 < 0Para el lado BC: d2 > 0 Para el lado AB: d3 < 0

d1 = d3:

.

d2 = d3:

.

h = 2,3; k = 0,9.P(2,3; 0,9).

23.10. Ecuacin de la circunferencia inscripta al tringulo.

Dados de la circunferencia inscripta al tringulo:

Centro: .Radio: .

.

23.11. Ecuacin de las mediatrices.

Mediatriz de AB: X + Y = 3. Mediatriz de AC: 10X 8Y = 9.

Mediatriz de BC: 2X 4Y = 7.

23.12. Ubicacin del circuncentro.

Circuncentro: es el punto de interseccin de las mediatrices y es el centro de la circunferencia circunscripta al tringulo. Resolvemos el sistema formado por dos ecuaciones de las mediatrices:

X + Y = 3

(1)

2X 4Y = 7(2)

.23.13. Ecuacin de la circunferencia circunscripta al tringulo.

Tomamos la Ecuacin General de la CIA: X2 + Y2 + DX + EY + F = 0; la cual debe cumplirse para los puntos que son vrtices del tringulo:

Para A(4; 1)

4D + E + F = 17

(1)

Para B(2; 1) 2D E + F = 5

(2)

Para C( 1; 5) D + 5E + F = 26

(3)

Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas, resolvemos por la Regla de Cramer: D = 5/3E = 13/3F = 6.

si completamos cuadrado en X e Y:

.

Datos de la circunferencia circunscripta al tringulo:

Centro: .Radio: .

2. CNICAS.

La interseccin de un plano con la superficie de un cono circular recto que se extiende hacia el infinito a ambos lados del vrtice, forma una figura que se denomina CNICA.

La superficie del cono a cada lado del vrtice se llama hoja o lado del cono.

es el ngulo entre el eje y la generatriz del cono, es el ngulo de conicidad.

: inclinacin del plano (que corta al cono) respecto del eje del cono.

Si = 90: circunferencia (rojo). Se considera un caso particular de elipse.

Si > : elipse (morado).

Si = : parbola (verde).

Si < : hiprbola (azul).

Si el plano pasa por el vrtice del cono, se puede comprobar que:

Cuando > la interseccin es un nico punto (el vrtice).

Cuando = la interseccin es una recta generatriz del cono (el plano ser tangente al cono).

Cuando < la interseccin vendr dada por dos rectas que se cortan en el vrtice. El ngulo formado por las rectas ir aumentando a medida que disminuye, hasta alcanzar el mximo () cuando el plano contenga al eje del cono ( = 0).

3. DEFINICIN GENERAL DE CNICAS.

Una cnica es el lugar geomtrico de los puntos P(X; Y) tal que el cociente entre la distancia desde P a un punto fijo llamado foco F(c; 0), PF, dividido por la distancia de P a una recta fija llamada Directriz, PM, es constante e igual a la excentricidad (e) de la cnica.

La excentricidad de una cnica es el cociente entre la distancia que existe entre un punto genrico (P) de la cnica a un punto fijo llamado foco (F), dividida por la distancia de ese punto (P) a la recta directriz (M punto sobre la directriz):

.

Anlisis de la excentricidad: e

e < 1

La cnica es una elipse (La CIA es un caso de elipse y e = 0).

e = 1

La cnica es una parbola.

e > 1

La cnica es una hiprbola.

El Latus Rectum es la recta perpendicular al eje principal de la cnica que pasa por el foco y sus extremos tocan al Lugar Geomtrico de la cnica.

4. PARBOLA.

Lugar geomtrico de los puntos P(X; Y) que cumplen con la condicin de que su distancia al foco de la parbola F(a; 0) es igual a su distancia a la recta directriz LL: X = a; el foco y la recta directriz equidistan del vrtice de la parbola.

PF = PM.

Ejercicio 6.24. En la figura determinar la ecuacin de la parbola, aplicando la definicin de la misma.

Recta Directriz: LL: X = a.

.

Elevamos al cuadrado ambos trminos:

.

.Ecuacin de la parbola con eje sobre X, vrtice en el origen del sistema de coordenadas; foco en F(a; 0), abertura hacia el lado positivo del eje X. Latus Rectum (Lado Recto) LR = 4a.

Ejercicio 6.25. Determinar la ecuacin de la parbola con eje sobre X, vrtice en el origen, foco en F( a; 0) y abertura hacia lado negativo del eje X.

;

Recta Directriz: LL: X = a.

;

.

Ejercicio 6.26. Determinar la ecuacin de la parbola con eje sobre Y, vrtice en el origen;

26.1. foco en F(0; a), abertura hacia lado positivo del eje Y.

;

.

26.2. foco en F(0; a), abertura hacia lado negativo del eje Y.

;

.

Parbola con vrtice en el origen, eje sobre el eje X:

. Parbola con eje paralelo al eje X, vrtice en V(h; k): .

Abertura hacia + X: ; F:{(h + a); k}; LL: X = h a.

Abertura hacia X: ; F:{(h a); k}; LL: X = h + a.

Ecuacin General de la Parbola:CY2 + DX + EY + F = 0.

Parbola con vrtice en el origen, eje sobre el eje Y:

. Parbola con eje paralelo al eje Y, vrtice en V(h; k): .

Abertura hacia + Y: ; F:{h; (k + a)}; LL: Y = k a.

Abertura hacia Y: ; F:{h; (k a)}; LL: Y = k + a.

Ecuacin General de la Parbola:AX2 + DX + EY + F = 0.

Ejercicio 6.27. Dada la ecuacin de una Parbola: ; hallar Foco; LR y Recta Directriz.

;

;

;

F:(2/3; 0).

Parbola con vrtice en V(0; 0); eje sobre X, mirando hacia X > 0.

El Latus Rectum: LR = 4a = 8/3.

Recta Directriz: LL': X = 2/3.

Ejercicio 6.28. Dada la ecuacin de una Parbola: ; hallar Foco; LR y Recta Directriz.

Foco: 4a = 8;a = 2;

F:(0; 2).

Parbola con Vrtice en V(0; 0); eje sobre Y, mirando hacia Y > 0.

El Latus Rectum: LR = 4a = 8.

Recta Directriz: LL': Y = 2.

Ejercicio 6.29. Hallar la ecuacin de la parbola con foco en F:(0; 4/3) y recta Directriz: LL': Y = 4/3.

Vrtice de la parbola: V:(0; 0); eje sobre Y, mirando hacia Y < 0 ( .

F:(0; a) ( ( .

.

Ejercicio 6.30. Hallar la ecuacin de la parbola con vrtice en V:(3; 2) y foco en F:(5; 2).

V:(h; k) ( h = 3; k = 2. Eje paralelo a X, mirando hacia X > 0: (Y k)2 = 4a(X h)

F:(h + a; k)

3 + a = 5 ( a = 2.LR = 4a = 8.

.Ejercicio 6.31. Encontrar los parmetros de la parbola:31.1. 3X2 9X 5Y 2 = 0.

La ecuacin dada es de la forma: AX2 + DX + EY + F = 0; completar cuadrados en X para tener una ecuacin de la forma: (X h)2 = 4a(Y k);

; Coordenadas del vrtice: h = 3/2; k = 7/4.

.

;

. F{h; (k + a)} (

.

Recta directriz: LL: Y = k a = 13/6;

.

31.2. Y2 4Y + 6X 8 = 0.

La ecuacin dada es de la forma: CY2 + DX + EY + F = 0; completamos cuadrado en Y para tener una ecuacin de la forma: (Y k)2 = 4a(X h): (Y 2)2 = 6(X 2).

k = 2; h = 2 ( V(2; 2)

LR = 4a = 6 ( a = 3/2.

F{(h a); k} ( F(1/2; 2)

LL: X = h + a = 7/2.Ejercicio 6.32. Hallar ecuacin de las parbolas de Foco en F:( 2; 1) y cuyo Latus Rectum es el segmento entre los puntos P1( 2; 2) y P2( 2; 4).

LR = = 4a; la longitud de LR = P1P2 = 6 ( ,

LR es perpendicular al eje de la parbola, el foco le biseca ( k = 1.

Eje paralelo a X, la Ecuacin es de la forma: . Tenemos dos parbolas, una con abertura hacia + X y la otra hacia X.

Parbola con abertura hacia X < 0 ( V1(h1; 1) ( ;

( ( .

.

Parbola con abertura hacia X > 0 ( V2(h2; 1) ( ;

( ( .

.

Ejercicio 6.33. Hallar la ecuacin de las parbolas de foco F:(3; 4) y Latus Rectum es el segmento entre los puntos P1( 1; 4) y P2 (7; 4).

P1( 1, 4) y P2 (7, 4) ( eje paralelo a Y ( Ecuacin: .

LR = 8 = 4a(a = ( 2.F: (3; 4) = F{h; (k ( a)} ( h = 3.

F{3; (k + a)} = F: (3; 4) = F{3; (k a)}

k + 2 = 4 ( k1 = 2

Parbola 1: .

k 2 = 4 ( k2 = 6.

Parbola 2: .

Ejercicio 6.34. Hallar la ecuacin de la parbola cuyo Latus Rectum (LR) es el segmento entre los puntos (3; 5) y (3; 3).

(3; 5) y (3; 3) La posicin de LR indica que el eje de la parbola es paralelo al eje X, entonces la ecuacin de la misma ser: (Y k)2 = ( 8(X h).

LR = 4a = 8. 4a = 8.

Tomamos a > 0:

P/(3; 5):(5 k)2 = 8(3 h) (25 10k + k2 = 24 8h

10k + k2 = 1 8h (1)

P/(3; 3): ( 3 k)2 = 8(3 h) ( 9 + 6k + k2 = 24 8h

6k + k2 = 15 8h

(2)

(1) (2): 16k = 16 ( k = 1; para este valor de k tenemos: h1 = 1.

Para V1:(1; 1)(Y 1)2 = 8(X 1).

Tomamos a < 0:

P/(3; 5):( 5 k)2 = 8(3 h)

10k + k2 = 49 + 8h(1)

P/(3; 3): ( 3 k)2 = 8(3 h) 6k + k2 = 33 + 8h(2)

(1) (2): 16k = 16 ( k = 1; para este valor de k tenemos: h2 = 5.

Para V2: (5; 1)(Y 1)2 = 8(X 5).

Ejercicio 6.35. Determinar la ecuacin de la parbola cuyo vrtice esta sobre la recta:

L: 3X 2Y = 0, su eje es paralelo al eje X, y pasa por los puntos:

P1: (3, 5) y P2: (6, 1).

Eje paralelo a X, su ecuacin es: (Y k)2 = 4a(X h).

Para P1:(3, 5): (5 k)2 = 4a(3 h)25 10k + k2 = 12a 4ah

(1)

Para P2:(6, 1): ( 1 k)2 = 4a(6 h) 1 + 2k + k2 = 24a 4ah

(2)

V(h; k) satisfacen la ecuacin de L: 2k 3h = 0

(3)

(1) (2): 24 12k = 12a

a = k 2

(4)

h y a en (1):11k2 82k + 147 = 0

La ec. tiene dos soluciones: k1 = 3

k2 = 49/11.

Para k1 = 3, calculamos: h1 = 2; a1 = 1; la ecuacin resultante es:

(Y 3)2 = 4(X 2)

Y2 6Y 4X + 17 = 0.

Para X = 3: (Y 3) = ( 2 ( Y1 = 3 + 2 = 5; P1: (3, 5)

Y2 = 3 2 = 1.

Para X = 6: (Y 3) = ( 4 ( Y1 = 3 4 = 1; P2: (6, 1)

Y2 = 3 + 4 = 7.

Para , calculamos: ; ; la ecuacin resultante es:

11Y2 98Y 108X + 539 = 0.

Para X = 3: ( Y1 = 5; P1: (3, 5)

Y2 = 3,9.

Para X = 6: ( Y1 = 1; P2: (6, 1)

Y2 = 9,9.

Ejercicio 6.36. Hallar la ecuacin de la Parbola de Eje horizontal, con Vrtice sobre la recta

L: 7X + 3Y 4 = 0 y pasa por los puntos P1(3; 5) y P2(3/2; 1).

Ec. genrica de la parbola:(Y k)2 = 4a(X h).

Para P1(3; 5) ( 5 k)2 = 4a(3 h)

25 + 10k + k2 = 12a 4ah(1)

Para P2(3/2; 1) (1 k)2 = 4a(3/2 h)

1 2k + k2 = 6a 4ah(2)

V(h; k) satisface la ec. de la recta:

7h + 3k 4 = 0(3)

De la Ec. (3) despejamos h

Restando (1) (2): 12k 6a = 24

a = 4 + 2k

Introducimos h y a en la Ec. (1):

17k2 + 114k + 97 = 0k1 = 1

k2 = 97/17

Para: k1 = 1, calculamos: h1 = 1; a1 = 2

(Y + 1)2 = 8(X 1).

F:{(h + a); k}= F{3; 1}LR = 4a = 8

Y2 8X + 2Y + 9 = 0.

Para:

, calculamos: ;

.Ejercicio 6.37. El cable de suspensin de un puente colgante toma la forma parablica, los pilares tienen una altura de 60 metros separados 500 metros, el punto ms bajo est a 10 metros del puente. Calcular la altura a 80 metros del centro de la parbola.

Colocamos el sistema cartesiano de modo que el eje Y pase por el centro del puente.

Los pilares pasan por los puntos: ( 250; 0) y (250; 0).

El vrtice est en V(0; 10). Como la parbola mira hacia arriba su ecuacin ser:

(X h)2 = 4a(Y k)

h = 0; k = 10

X2 = 4a(Y 10)

Para determinar el valor de a usamos un punto cualquiera de la parbola: por ejemplo

(250; 60) a = 625/2 X2 1250Y + 12500 = 0

para X = 80 m Y = 15,12 m

Ejercicio 6.38. Hallar la altura de un punto de un arco parablico de 18 mts de altura y 24 mts de base, situado a una distancia de 8 mts del centro del arco.

Tomamos el eje X en la base del arco y el origen en el punto medio del mismo; la parbola mira hacia abajo, toca al eje X en los puntos: ( 12; 0) y (12; 0).

Vrtice de la parbola en V(0; 18).

Ecuacin general:

(X h)2 = 4a(Y k)

Para V(0; 18) (

X2 = 4a(Y 18).

Para determinar el valor de a consideramos que la curva pasa por P (12; 0):

144 = 4a(18)

a = 2

X2 = 2(Y 18).

Mtodo II: X2 = 4a(Y 18) a = 2.

X2 = 2(Y 18).

Clculo de la altura del arco para X = 8 m del centro:X2 = 8 (Y 18).

para X = 8Y = 10 m.

El arco simple ms resistente es el de forma parablica.

Ejercicio 6.39. Un arco parablico tiene: Altura = 25 m y Luz = 40 m. Calcular altura del arco a 8 m de su centro.

Tomamos el eje X en la base del arco y el origen en el punto medio del mismo; la parbola, que mira hacia abajo, toca al eje X en los puntos: ( 20; 0) y (20; 0). El vrtice de la parbola estar en V(0; 25). La ecuacin general de la misma ser:

(X h)2 = 4a(Y k) h = 0; k = 25 X2 = 4a(Y 25)

para (20; 0)

a = 4 X2 + 16Y + 400 = 0

para X = 8 m Y = 21 m.

Ejercicio 6.40. Movimiento parablico en el Lanzamiento horizontal desde Y (m) del suelo con velocidad: V (m/s):

Parbola:

Donde: X: distancia horizontal desde el punto de lanzamiento (el alcance del proyectil)

V: velocidad m/s.

g: aceleracin de la gravedad.

Y: altura desde el suelo

Movimiento sobre el Eje X: X = V0.t

Movimiento sobre el Eje Y:

Vector de posicin:

Velocidad:VX = V0

VY = g.t

Angulo:

Alcance:

.

Un objeto es lanzado en lnea recta desde una altura de 3 m, con una velocidad de 50 m/s. Calcular la distancia que alcanzar el objeto.

Aceleracin de la gravedad: g = 9,81 m/s2.

( X = 39,1 m

5. ELIPSE.

Lugar geomtrico de los puntos que cumplen con la condicin de que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos (F y F) es constante e igual a 2a.

PF + PF = 2a.Ejercicio 6.41. Determinar la ecuacin de la Elipse con focos en: F(c; 0) y F( c; 0).

Considerar el punto genrico P(X; Y). Vrtices sobre el eje mayor: V(a; 0) y V( a; 0). Longitud del eje mayor: EM = 2a.

Vrtices sobre el eje menor: v(0; b) y v(0; b). Longitud del eje menor: em = 2b.

Consideramos el tringulo rectngulo de vrtices en: C(0; 0); F(c; 0) y v(0; b), la hipotenusa es a de donde: b2 + c2 = a2. Dado que: PF + PF = 2a:

, Despejamos y elevamos al cuadrado:

EMBED Equation.3

Dividimos por: 4a,

Elevamos al cuadrado ambos trminos:

Dividimos por: (a2 c2) = b2.

Ec. Cannica de la Elipse con centro en el origen de coordenadas, eje mayor sobre el eje X.

Excentricidad: .Latus Rectum:

.

Rectas Directrices:

.Ejercicio 6.42. Determinar la ecuacin cannica de la Elipse con Focos en F(0; c) y F(0; c).

Eje sobre Y; tomamos un punto genrico P(X; Y). Vrtices: V(0; a) y V(0; a). Longitud del eje mayor: EM = 2a.

Vrtices sobre el eje menor: v(b; 0) y v( b; 0). em = 2b.

Consideramos el tringulo rectngulo de vrtices: C(0; 0); F(0; c) y v(b; 0), la hipotenusa del mismo es a de donde: a2 = b2 + c2.

PF + PF = 2a

Elevamos al cuadrado

EMBED Equation.3

Elevamos al cuadrado

Dividimos por: a2b2.

Ec. Cannica de la Elipse con centro en el origen de coordenadas, eje mayor sobre el eje Y.

Elipse con centro en el origen, eje mayor sobre X.

.Rectas Directrices:

. Elipse con centro en el origen, eje mayor sobre Y.

Rectas Directrices:

. Elipse con centro desplazado del origen, eje mayor paralelo a X:

a > bCentro: C(h; k).

Vrtices sobre eje mayor: V[(h ( a); k] Vrtices sobre eje menor: v[(k ( b); h]

Rectas Directrices (LL'):

.

Elipse con centro desplazado del origen, eje mayor paralelo a Y:

a > bCentro: C (h; k)

Vrtices sobre eje mayor:V [h; (k ( a)] Vrtices sobre eje menor: v[(h ( a); k]

Rectas Directrices (LL'):

.

5.1. Ecuacin general de la Elipse.

Es una ecuacin de la forma: AX2 + CY2 + DX + EY + F = 0; donde el sig(A) = sig(C). Es una ecuacin de segundo grado en X e Y. No toda ecuacin de segundo grado en X e Y corresponde a una elipse.Ejercicio 6.43. El sol est en uno de los focos de la rbita ligeramente elptica de la tierra, la excentricidad de la rbita es e = 0,0161, si a = 150 x106 Km; Calcular:43.1. La distancia de separacin mnima (Perihelio)

(c = e.a = 2.415.000 km.Perihelio:a c = 147.585.000 Km.

43.2. La distancia de separacin mxima (Afelio).

Afelio: a + c = 152.415.000 Km.

El planeta se mueve ms rpidamente en el perihelio, y ms lentamente en el afelio.

Ejercicio 6.44. La Luna gira en una trayectoria elptica, con la Tierra en uno de los focos, la longitud del eje mayor es 2a = 768.800 km y la longitud del eje menor de la rbita es 2b = 767.640 km. Calcular la distancia de separacin mxima y mnima entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna.44.1. Distancia de separacin mnima (Perigeo).

Determinacin de los parmetros:

2a = 768.800 km. ( a = 384.400 km.

2b = 767.640 km ( b = 383.820 km.

, c = 21.108 km.

Distancia mnima: Perigeo:

a c = 363.292 km.

44.2. Distancia de separacin mxima (Apogeo):

Distancia mxima: Apogeo:a + c = 405.505 km.

Ejercicio 6.45. Hallar la ecuacin que describa el Lugar Geomtrico de P(X; Y) el cual se desplaza en el plano cartesiano de modo que la suma de las distancias de dicho punto a dos puntos fijos definidos por sus coordenadas: F(4; 2) y F( 2; 2) es permanentemente igual a 8.

PF + PF = 2a

7X2 + 16Y2 14X 64Y 41 = 0

7(X2 2X) + 16(Y2 4Y) 41 = 0

7(X 1)2 7 + 16(Y 2) 2 64 41 = 0

7(X 1)2 + 16(Y 2) 2 = 112

El Lugar Geomtrico corresponde a una Elipse, con Eje paralelo a X.

Centro de la elipse: C(1; 2)h = 1; k = 2; a = 4; b2 = 7.

Distancia focal: 2c = 6c = 3.

.

.

Rectas directrices: LL: ;

.

Ejercicio 6.46. Calcular el Lugar Geomtrico de los puntos P(X; Y) tal que el cociente de distancia de P a F(0; 4) divido por la distancia de P a la recta directriz LL: Y = 25/4, es 4/5.

Distancia:

Distancia:

Definicin general de cnica: < 1 ( Elipse.

.

Ejercicio 6.47. Dada la siguiente ecuacin: 9X2 + 25Y2 = 225. Determinar:

47.1. El Lugar Geomtrico de la misma.

Dividimos por 225:

Elipse: a = 5; b = 3; con E. mayor sobre eje X.

47.2. El semi eje mayor y el semi eje menor.

Longitud del Eje Mayor: EM = 10

Longitud del eje menor: em: 6.47.3. Calcular la excentricidad.

.

47.4. El Latus Rectum.

= 3,6.

47.5. Los Focos.

F(c; 0) ( F(4; 0)F( c; 0) ( F( 4; 0).

47.6. Los vrtices.

V(a; 0) ( V(5; 0)V( a; 0) ( V( 5; 0).

v(b; 0) ( v(3; 0)v( b; 0) ( v( 3; 0).47.7. El Lugar geomtrico corresponde a una funcin o a una relacin.

Utilizando el criterio de la recta vertical se verifica que corresponde a una relacin.

Para cada valor de X corresponden dos valores de Y.

47.8. La simetra con respecto a los ejes y con respecto al origen.

Simetra con respecto a X: 9X2 + 25( Y)2 = 225. Existe simetra con respecto a X.

Simetra con respecto a Y: 9( X)2 + 25Y2 = 225. Existe simetra con respecto a Y.

Sim. con respecto al origen: 9(X)2 + 25(Y)2 = 225. Existe sim. respecto al origen.47.9. Encontrar el Dominio y el Rango.

Dominio:

5 ( X ( 5;

D = [ 5; 5].

Rango:

3 ( Y ( 3;

R = [ 3; 3].

Ejercicio 6.48. Dada la ecuacin: 25X2 + 16Y2 = 400.

48.1. Definir Lugar Geomtrico.

Para la ecuacin: 25X2 + 16Y2 = 400, dividimos por (400):

. Corresponde a una Elipse con centro en el origen; a = 5 y b = 4, eje mayor sobre Y. Eje menor sobre X. La excentricidad: , e = 0,6.

Los Vrtices sobre el eje mayor: V(0; ( 5).

Los Vrtices sobre el eje menor: v(0; ( 4). Los Focos: F(0; ( 3).

El Latus Rectum: . El Dominio: D = [ 4; 4]. El Rango: R = [ 5; 5].

48.2. Anlisis de la simetra.

Existe simetra con respecto al eje X; al eje Y y con respecto al origen.

Ejercicio 6.49. Un segmento AB de longitud igual a 12 se desplaza de forma que A se apoya constantemente sobre Y y B sobre X. Encontrar el lugar geomtrico que describe P(X; Y) situado sobre AB a 8 unidades de A. Para la ecuacin obtenida: Especificar si la misma es una funcin o una relacin. Analizar la simetra de la ecuacin con respecto a los ejes X y Y.

AB = 12 AP = 8

PB = 4

Tomamos el tringulo rectngulo: APP:

Consideraamos los tringulos: APP y PBP son semejantes entre si: ( .

; Elevamos al cuadrado:64 X2 = 4Y2.X2 + 4Y2 = 64 (% 64)

Lugar Geomtrico: Elipse; eje mayor sobre X.

La figura corresponde a una Relacin. Es Simtrica respecto a los ejes coordenados y la origen.

Ejercicio 6.50. Dada la elipse de ecuacin: 9X2 + 16Y2 36X + 96Y + 36 = 0. Hallar:

50.1. Los parmetros de la misma.

Agrupamos trminos en X e Y:9(X2 4X) + 16(Y2 + 6Y) + 36 = 0

Completamos cuadrados:

9(X 2)2 36 + 16(Y + 3)2 144 + 36 = 0

9(X 2)2 + 16(Y + 3)2 = 144(/144)

;h = 2;k = 3; C(2; 3); a = 4 (sobre X); EM = 2a = 8; b = 3 (sobre Y); em = 2b = 6.

; c = 2,6. Excentricidad: .

Vrtices mayores: V{(h a); k}: V( 2; 3); V{(h + a); k}:(6; 3).

Vrtices menores: v{h; (k b}: v(2; 6);

v{h; (k + b}:v(2; 0).

Focos:

F{(h c); k }: F ( 0,6; 3).F{(h + c); k }: F(4,6; 3).

Longitud del latus rectum: = 4,5.

50.2. El Lugar Geomtrico.

50.3. Dominio y Rango.D:[ 2; 6]

R:[ 6; 0]50.4. La simetra con respecto a: Ejes X e Y; al origen.

Simetra con respecto al eje X:9X2 + 16( Y)2 36X + 96( Y) + 36 = 0.

Diferente de la ecuacin original, no existe simetra con respecto al eje X.

Simetra con respecto al eje Y:9( X)2 + 16Y2 36( X) + 96Y + 36 = 0.

Diferente de la ecuacin original, no existe simetra con respecto al eje Y.

Simetra con respecto al origen:9( X)2 + 16( Y)2 36( X) + 96( Y) + 36 = 0.

Diferente de la ecuacin original, no existe simetra con respecto al origen.

Ejercicio 6.51. Dada la elipse de ecuacin: 9X2 + 4Y2 108X 32Y + 244 = 0. Hallar:

51.1. Los parmetros de la misma.

Agrupamos trminos en X e Y:9(X2 12X) + 4(Y2 8Y) + 244 = 0.

Completamos cuadrados:

9(X 6)2 324 + 4(Y 4)2 64 + 244 = 0

9(X 6)2 + 4(Y 4)2 = 144

(/144)

C(6; 4); a = 6(sobre Y); b = 4 (sobre X); , c = 4,5.

Vrtices mayores: V{h; (k a)}, V(6; 2); V{h; (k + a)}, V(6; 10).

Vrtices menores: v{(h b); k }, v(2; 4); v{(h + b); k }, v(10; 4).

Focos: c = 4,5; F{h; (k c) }, F {6; 0,5};F{h; (k+ c) }= F {6; 8,5}.

Excentricidad: .

Latus rectum: = 4,5.

Rectas directrices: LL: ; Y = 4,04;Y = 12,04.

51.2. El Lugar Geomtrico.

D:[2; 10].

R:[ 2; 10].

51.3. La simetra con respecto a Ejes X e Y; al origen.

Respecto a X: 9X2 + 4( Y)2 108X 32( Y) + 244 = 0. No existe simetra.

Respecto a Y: 9( X)2 + 16Y2 36( X) + 96Y + 36 = 0. No existe simetra.

Respecto al origen:9( X)2 + 16( Y)2 36( X) + 96( Y) + 36 = 0. No existe simetra con respecto al origen.

Ejercicio 6.52. Dada la ecuacin: 9X2 + 16Y2 108X + 128Y + 436 = 0. Hallar:

52.1. Los parmetros de la misma.

9(X 6)2 + 16(Y + 4)2 = 144.

.

h = 6; k = 4; C(6; 4);a = 4 (sobre X); b = 3 (sobre Y); , c = 2,6.

Excentricidad; = 0,65. Latus Rectum;= 4,5.

Vrtices: V{(h a); k}, V(2; 4);V{(h + a); k}, V(10; 4) .

v{h; (k b)}, v(6; 7); v{h; (k + b)}, v(6; 1).

Focos:F{(h c); k}, F(3,4; 4); F{(h + c); k}, F(8,6; 4) .

Ecuacin de las directrices(LL): . X = 12,05;X = 0,05.

52.2. Lugar Geomtrico;

D:[2; 10]R:[ 7; 1].52.3. La simetra con respecto a: Ejes X e Y; al origen.

Respecto a X: 9X2 + 16( Y)2 108X + 128( Y) + 436 = 0. No existe simetra.

Respecto a Y: 9( X)2 + 16Y2 108( X) + 128Y + 436 = 0. No existe simetra.

Respecto al origen:9( X)2 + 16( Y)2 108( X) + 128( Y) + 436 = 0. No existe simetra con respecto al origen.

Ejercicio 6.53. Determinar la ecuacin de la parbola cuyo vrtice coincide con el foco de abcisa positiva de la elipse: . Su directriz es: X 1 = 0.

Para la elipse: ; a = 5; b = 3; c = 4

F(4; 0) foco de la elipse y vrtice de la parbola; y considerando la directriz la ecuacin genrica de la parbola es: (Y k)2 = 4a(X h); donde: h = 4; k = 0.

X = h a

1 = 4 aa = 3

Ecuacin pedida de la parbola: Y2 = 12(X 4).5.2. Radio focal de la Elipse.

Es la recta que une el Foco con un punto cualquiera de la elipse.

Ejercicio 6.54. Hallar ecuaciones de los Radios focales de P(2; 3) para la elipse: .

c = ( 2. F(( 2; 0)

Radio Focal PF: P(2; 3) y F(2; 0):

X = 2.

Radio Focal PF: P(2; 3) y F( 2; 0): 3X 4Y + 6 = 0.

Ejercicio 6.55. Calcular puntos de interseccin de las elipses: y .

4X2 + 9Y2 = 36(1)

9X2 + 4Y2 = 36(2)

(1)x9 (2)x4:65Y2 = 180

;

.

Puntos de interseccin:

.

.Ejercicio 6.56. Un arco semi elptico tiene 150 m de luz y 45 m de altura mxima, calcular la altura de dos soportes verticales ubicados en c.

Parmetros: a = 75;

b = 45

c2 = a2 b2;

c = 60.

para X = 60 ( Y = 27.

Ejercicio 6.57. Determinar el lugar geomtrico de los puntos que dividen a las ordenadas de los puntos de la circunferencia X2 + Y2 = 25 en la relacin 3/5.

( ; X = X ( Nueva ecuacin:

; Esta ecuacin corresponde a una elipse.

Ejercicio 6.58. Determinar el lugar geomtrico de los puntos que dividen a las abcisas de los puntos de la circunferencia X2 + Y2 = 36 en la relacin 5/6.

; ( ( Nueva ecuacin:

; Esta ecuacin corresponde a una elipse.Ejercicio 6.59. Determinar el Lugar Geomtrico de P(X; Y) tal que el producto de las pendientes de las rectas que unen P con los puntos fijos A(3; 2) y B( 2; 1) es 6.

6X2 + Y2 + Y 6X = 38

.

Ejercicio 6.60. Determinar la ecuacin de la elipse, cuyos ejes son paralelos a los ejes coordenados y que pasa por: P1( 6; 4); P2(2; 4); P3( 8; 1) y P4(8; 3).

Usamos la Ecuacin general de la elipse: AX2 + CY2 + DX + EY + F = 0, ecuacin con 5 incgnitas, definimos que A = 1, entonces tenemos:

Para P1( 6; 4):16C 6D + 4E + F = 36 (1)

Para P2(2; 4):16C + 2D 4E + F = 4 (2)

Para P3( 8; 1): C 8D + E + F = 64 (3)

Para P4(8; 3): 9C + 8D 3E + F = 64 (4)

Sistema con 4 ecuaciones y 4 incgnitas; para simplificar los clculos hacemos:

(1) (3):

15C + 2D + 3E = 28

(5)

(2) (3):

15C + 10D 5E = 60

(6)

(4) (3): 8C + 16D 4E = 0

(7)

Resolvemos el sistema formado por la ecuaciones (5); (6) y (7) y obtenemos:

C = 4

D = 4

E = 8.

C; D y E en la ecuacin (1)64 + 24 32 + F = 36F = 92.

X2 + 4Y2 4X 8Y 92 = 0.

.

Parmetros: h = 2; k = 1; a = 10; b = 5; c = 8,7; e = 0,87; LR = 5.

Ejercicio 6.61. Hallar la ecuacin de la figura geomtrica que pasa por los centros de las circunferencias que son tangente a:

CIA1: X2 + Y2 = 1

CIA2: (X 2)2 + Y2 = 25.

CASO I: Consideramos P(X; Y) sobre el Centro de la CIA tangente (Azul Radio: R3).

CIA1: C1(0; 0) R1 = 1

CIA2: C2(2; 0) R2 = 5.

R2 = C2P + R3 ( R3 = R2 C2P.

C1P = R1 + R3 ( R3 = C1P R1.

5 C2P = C1P 1

EMBED Equation.3

(

.

CASO II: Consideramos P(X; Y) Centro de la CIA tangente (Azul Radio: R4).

R2 = C2P + R4 ( R4 = R2 C2P.

C1P = R4 R1( R4 = PC1 + R1

5 C2P = PC1 + 1

EMBED Equation.3

(

.

6. HIPERBOLA.

Lugar geomtrico de todos los puntos que cumplen con la condicin de que la resta de su distancia a dos puntos fijos llamados focos es constante e igual a 2a.

PF PF = 2a.

El centro de la Hiprbola est en el origen del plano cartesiano: Focos estn en F(c; 0) y F( c; o); Vrtices del eje mayor, eje real o transversal (eje transverso) estn posicionados en: V(a; 0) y V( a; 0) y Vrtices del eje menor, eje imaginario o conjugado estn posicionados en: v(0; b) y v(0; b).

Consideramos el tringulo rectngulo cuyos vrtices son: C(0; 0); V(a; 0) y v(0; b), la hipotenusa del mismo es igual a c de donde: c2 = a2 + b2.

Latus Rectum:

Excentricidad: .

Ejercicio 6.62. Determinar la ecuacin de la hiprbola de focos: F(c; 0) y F( c; 0).

PF PF = 2a.

EMBED Equation.3

/ 4a

Dividimos por: b2 = c2 a2.

Ec. Cannica Hiprbola, Centro en el origen, eje real sobre X.

Longitud del eje mayor: EM = 2a.

Longitud del eje menor: em = 2b.

Ecuacin de la recta directriz LL:

Latus Rectum:

Ecuacin de las Asntotas (si la ecuacin de la hiprbola la igualamos a cero tenemos una diferencia de cuadrados):

.

Ec. de la Hiprbola, Eje Real paralelo a X, centro desplazado del origen C (h; k):

.

V [(h ( a); k]F [(h ( c); k]

LL': .

Asntotas:

.Ejercicio 6.63. Determinar la ecuacin de la hiprbola de focos: F(0; c) y F(0; c).

Despejamos y elevamos al cuadrado ambos trminos:

EMBED Equation.3

/ 4a

Dividimos por: b2 = c2 a2.

. Ec. De la Hiprbola, Centro en el origen, Eje real sobre Y.

Asntotas:

focos sobre el eje Y

Ec. de la Hiprbola; Eje Real paralelo a Y, centro desplazado del origen C(h; k):

.

V [h; (k ( a)]F [h; (k ( c)]

LL': .

Asntotas:

.

Ecuacin general de la Hiprbola:AX2 + CY2 + DX + EY + F = 0.

sig(A) = sig(C).

Ejercicio 6.64. Para la ecuacin 4X2 64Y2 = 256, Determinar:

64.1. Lugar Geomtrico.Dividimos por 256:

Hiprbola; centro C(0; 0), eje transverso sobre X.

a = 8;

b = 2;

c = 8,2.

64.2. Posicin de los vrtices.V(8; 0);V( 8; 0)v(0; 2);v(0; 2).

64.3. Posicin de los focos. F(c; 0): (8,2; 0)

F( c; 0): ( 8,2; 0).

64.4. La excentricidad.

; e = 1,025.

64.5. Longitud del Latus Rectum.

; LR = 1.

64.6. La ecuacin de las rectas directrices.. X = 7,8X = 7,8.

64.7. La ecuacin de las asntotas.

.

Ejercicio 6.65. Encontrar la ecuacin de la hiprbola con C:(0; 0), eje real sobre Y, y pasa por los puntos P1:(4; 6) y P2: (1; 3).

Ecuacin de la hiprbola:

Para P1:(4; 6):

(

(1).

Para P2:(1; 3):

(

(2).

Resolviendo: (1) 4(2): 12a2 = 3a2b2 ( b2 = 4; a2 = 36/5.

.

.

Excentricidad: ; e = 1,24.

.

Asintotas:

Ejercicio 6.66. Para la ecuacin 64Y2 4X2 = 256, Determinar:

66.1. Figura geomtrica.

Hiprbola; Centro en el origen, eje transverso sobre el eje Y.

a = 2

b = 8

c2 = 68

c = 8,2.

66.2. Posicin de los vrtices.V(0; 2)V(0; 2)v(8; 0)

v ( 8; 0).

66.3. Posicin de los focos.F(0; c): (0; 8,2)F(0; c) : (0; 8,2).

66.4. La excentricidad.

;

e = 4,1.

66.5. La longitud del latus rectum.

LR = 64.

66.6. Ecuacin de las rectas directrices.Y = ( a/e.Y = ( 0,5.66.7. Ecuacin de las asntotas.

focos sobre el eje Y.Ejercicio 6.67. Para la siguiente ecuacin: 49Y2 16X2 = 784 Hallar:

67.1. Vrtices.

V(0; + 4)V(0; 4); v(7; 0) v( 7; 0)

67.2. Los focos.

F(0; 8)

F(0; 8).

67.3. La excentricidad.e = 2.

67.4. Latus Rectum.LR = 24,5.

67.5. Analizar la simetra con respecto a los ejes X e Y.

Ejercicio 6.68. Para la ecuacin . Determinar los parmetros.

a = 4; b = 3;

Vrtices.V: (( a; 0) V: (( 4; 0).

Focos.F: (( c; 0) F: (( 5; 0).

Directrices.

Directrices:

Asntotas.

Ejercicio 6.69. Para cada ecuacin: Analizar la relacin entre a, b y c.

69.1.

a = 4; b = 3; c = 5; LR = 4,5.X4567

Y0(2.25(3.35(4.3

69.2.

a = 4; b = 4,47; c = 6; LR = 10.

X4567

Y0(3.35( 5(6.42

69.3.

a = 4; b = 6,9; c = 8; LR = 24.

X4567

Y0(5.19(7.74(9.95

69.4. 9Y2 16X2 = 144

a = 4; b = 3; c = 5LR = 4,5 V(0; (4) F(0; (5)

Y(4(5(6(7

X0(2.25(3.35(4.3

69.5. 20Y2 16X2 = 320

a = 4; b = 4.472; c = 6LR = 10

Y(4(5(6(7

X0(3.35( 5(6.42

69.6. 48Y2 16X2 = 768

a = 4; b = 6.92; c = 8LR = 24

Y(4(5(6(8

X0(5.19(7.74(12

Ejercicio 6.70. Determinar la ecuacin de la trayectoria de un punto que se mueve de manera que su distancia al punto (5; 0) es:

70.1. 5/4 de su distancia a la recta X 16/5 = 0.

70.2. (5/3) de su distancia a la recta:X 9/5 = 0.

Ejercicio 6.71. Radio focal de la hiprbola: recta que une los focos con un punto de ella. Hallar las ecuaciones de los radios focales de P() para: .

a = 3; b = 4;

c = 5.

PF = 7

PF = 13.

Diferencia entre los radios focales es igual a la longitud del eje mayor.PF PF = 6.

Ejercicio 6.72. Hiprbolas conjugadas: si se cambian los ejes real e imaginario de ambas; para encontrar la ecuacin conjugada de una hiprbola se cambian los signos de los coeficientes de X2 e Y2. Para , encontrar su conjugada.

a = 3;b = 4;c = 5.F[( 5; 0]Asintotas:

.

a = 4;

b = 3;

c = 5.

F[ 0; ( 5]

Asintotas:

.

Ejercicio 6.73. Encontrar el Lugar Geomtrico de los centros de las circunferencias que son tangentes a las circunferencias con centro en C1:( 4; 3) y R1 = 5 y C2: ( 4; 3) y R2 = 2. CIA1: (X + 4)2 + (Y 3)2 = 25

CIA2: (X 4)2 + (Y 3)2 = 4

Existe una circunferencia en el medio de ambas y tangente a ambas con los puntos de tangencia en: PT1: (1; 3) y PT2: (2; 3)CIA3: (X h)2 + (Y k)2 = 1/4

(1 h)2 + (3 k)2 = 1/4.

(2 h)2 + (3 k)2 = 1/4

1 2h + h2 4 + 4h + 4h h2 = 02h = 3

h = 3/2

k = 3Consideramos una circunferencia, genrica, tangente a C1 y C2, con centro en C(X; Y) y radio R:

Escribimos las distancias: C1C = (5 + R)

(1)

C2C = (2 + R)

(2)

Hacemos: (1) (2)

C1C C2C = (5 + R) (2 + R) = 3.

,

Elevamos al cuadrado:

Elevamos al cuadrado:

;

h = 0; k = 3; CH: (0; 3)

;

;c = 4;

;LR = 18,3.

Ejercicio 6.74. La pendiente de la tangente a una hiprbola: b2X2 a2Y2 = a2b2, es: . Demostrar que la tangente en P: (X; Y) biseca al ngulo formado por las rectas que van desde dicho punto a los focos: F(c; 0) y F( c: 0).

c2 = a2 + b2Pendiente de la recta PF:

Pendiente de la recta PF:

Angulo entre dos rectas:

Angulo definido entre PF y la tangente por P(X; Y):

.

Angulo definido entre PF y la tangente por P(X; Y):

tg = tg =

LCDD.

Ejercicio 6.75. Una seal luminosa parte de un punto P(0; 8) dirigindose al foco F(6; 0) de un espejo hiperblico de ecuacin: . Determinar:

75.1. El punto del espejo hiperblico donde incide el rayo.

75.2. La ecuacin de la recta de la trayectoria de la seal luminosa reflejada en el espejo y que se dirige al otro foco F.

Parmetros de la hiprbola: a2 = 16; b2 = 20; c = 6. Focos: F(6; 0); F( 6; 0).

El rayo que sale de P(0; 8) se dirige a F(6; 0) siguiendo la lnea recta PF de ecuacin: 8X 6Y 48 = 0(1).

Para determinar el punto del espejo hiperblico donde incide el rayo resolvemos el sistema de ecuaciones:

8X 6Y 48 = 0(1).(

20X2 16Y2 = 320(2).Y en la Ecuacin (2):19X2 768X + 3.024 = 0

X2 = 36 (se desprecia).

Punto de incidencia sobre el espejo hiperblico:.

Trayectoria del rayo reflejado que pasa por F, recta entre: y F( 6; 0)

20X + 99Y +120 = 0.

Ejercicio 6.76. La recta directriz de una cnica es X + 1 = 0; uno de los focos est ubicado en F(4; 3) y su excentricidad e = 2/3. Determinar:

76.1. La ecuacin de la cnica.

Definicin general de cnicas:

PM = (X + 1)

9(PF)2 = 4(PM)2.

9{(X 4)2 + (Y + 3)2}= 4(X + 1)2.

5(X 8)2 + 9(Y + 3)2 = 180

76.2. El centro de la cnica.

h = 8;

k = 3;

C(8; 3)76.3. La longitud del semi eje mayor y del semi eje menor.

a = 6;

;

c = 4

76.4. Los vrtices; el otro foco y la longitud del latus rectum.

V{(h + a); k} ( V{14; 3}V{(h a); k} ( V{2; 3}

F{(h + c); k} ( F{12; 3}

F{(h c); k}( F{4; 3}

Recta Directriz: X = h + a/e = 17

X = h a/e = 1.

Ejercicio 6.77. Hallar la ecuacin que describa el Lugar Geomtrico de P(X; Y) el cual se desplaza en el plano cartesiano de modo que la resta de distancias del mismo a dos puntos fijos: F(7; 1) y F( 3; 1) es permanentemente igual a 8.

PF PF = 2a

9X2 36X 16(Y 1)2 = 108.

9(X 2)2 16(Y 1)2 = 144.

Lugar Geomtrico: Hiprbola. Eje // X.

a = 4; b = 3; c = 5; h = 2; k = 1; ; .

V{(h + a); k} : {6; 1}V{(h a); k} : { 2; 1}

F{(h + c); k} : {7; 1}V{(h c); k} : { 3; 1}

Rectas directrices: LL:

.

Asntotas:

9X 4Y 14 = 0

9X + 4Y 22 = 0.

Ejercicio 6.78. Dados: P(X; Y); un punto fijo foco F(c; 0) y un punto M de una recta ; Demostrar que el Lugar Geomtrico del cociente de distancias: , es una cnica de excentricidad .

Distancia .

Distancia .

dividimos por (a2 c2)

Elipse: a2 = b2 + c2.(a2 c2) > 0 ( e < 1 (

.

Hiprbola:a2 = c2 b2. (a2 c2) < 0 ( e > 1 (

.

Parbola: se tiene para: c = a ( e = 1PF = PM :

Ecuacin de la Parbola con vrtice en el origen; F(a; 0) abertura hacia el lado positivo de las X y eje sobre el eje X, recta directriz en X = a.

7. APLICACIONES DE LAS CNICAS.7.1. Aplicaciones de la parbola.

Si la parbola est formada por un elemento reflector, tendremos que un rayo de luz que emerge del Foco e incide sobre la parbola se reflejar sobre ella y saldr paralelamente al eje de la misma (perpendicular a la directriz). Los rayos que incidan sobre la parbola paralelos al eje se reflejarn en ella pasando por el foco. Las parbolas se usan en los fenmenos donde interesa hacer converger o diverger un rayo de energa; Antenas parablicas (Un satlite enva informacin a la Tierra, los rayos sern perpendiculares a la directriz por la distancia a la que se encuentra el satlite, al reflejarse en el plato de la antena (blanca, casi siempre) los rayos convergen en el foco, donde se encuentra un receptor que decodifica la informacin), Faros de autos (estn formados por un paraboloide, parbola en 3 dimensiones, de espejos y una bombilla en el foco de este paraboloide), Hornos solares. Los micrfonos de ambiente en algunos deportes tambin tienen forma paraboloidal. En algunas lmparas se puede mover la bombilla del foco y los haces de luz divergirn o convergern.

7.2. Aplicaciones de la elipse.

Para el estudio de las rbitas planetarias se usan ecuaciones de elipses (las orbitas de los cuerpos celestes son elpticas).

La elipse tiene propiedades de reflexin similares a la parbola, si colocamos un emisor de ondas en un foco, estas se reflejarn en las paredes de la elipse y convergern en el otro foco. En medicina se usa el litotriptor para desintegrar "clculos" renales (Litotripsia) por medio de ondas intraacuticas de choque. Se coloca un medio elipsoide lleno de agua pegado al cuerpo del paciente, en un foco se pone un generador de ondas, el otro foco se localiza en los "clculos" al reflejarse las ondas en la superficie de la elipsoide de afuera del paciente todas convergern en el "clculo" y este se desintegra. En las Capillas o galeras de los secretos: estructuras con techos elipsoidales; se puede or a una persona que est en un foco desde el otro foco y las personas que estn entre los dos focos no oirn nada.

7.3. Aplicaciones de la hiprbola.

Las propiedades de reflexin de la hiprbola son anlogas a la elipse. Si se dirige un haz de luz dirigido al Foco (F) de un espejo hiperblico, se reflejar en la hiprbola antes de llegar a l, dirigindose al otro Foco (F). Si colocamos una fuente de luz en F el haz incide sobre la hiprbola y se refleja dando la impresin que proviene de F.

Telescopios: Utiliza la parbola conjuntamente con la hiprbola. El haz incidente llega paralelamente al eje de un espejo parablico, se refleja al foco que coincide con el foco de un reflector hiperblico, y antes de llegar a dicho foco se refleja en el espejo hiperblico llegando al otro foco de la misma, donde est el ocular.

Localizacin del lugar de donde emana una seal: (Un disparo) se tienen tres estaciones de escucha: A; B y C. Las estaciones A y B coinciden con los focos de la hiprbola 1 (H1). Las estaciones B y C coinciden con los focos de la hiprbola 2 (H2), la fuente del sonido (S) est en la interseccin de H1 con H2. Existe una diferencia de las distancias que recorren ambas seales y eso ocasiona una pequea diferencia de tiempo ((T) en la captacin de las seales.

Ecuacin de la hiprbola: PF PF = 2a. Caracterstica de la hiprbola la Diferencia de distancias es constante.Ejercicio 6.79. En un punto S del plano cartesiano se emite una seal en un tiempo T0; se recibe la seal en A en un tiempo TA; en el punto B en un tiempo TB y en C en un tiempo TC. Determinar la posicin de S.

La frmula para Velocidad:

. Para la Distancia recorrida: D = V.T.

La distancia de S a A:

SA = V.(TA T0)(1).

La distancia de S a B:

SB = V.(TB T0)(2).

La distancia de S a C:

SC = V.(TC T0)(3).

Hacemos (1) (2):SA SB = V(TA TB) = K.

Si la Diferencia de distancias es constante tenemos una Hiprbola 1:

SA SB = V(TA TB) = 2a1.

El punto S est sobre la rama de la hiprbola 1 con focos en A y B, con una distancia entre vrtices:

2a1 = V(TA TB).

Hacemos (2) (3): SB SC = V(TB TC) = C = 2a2, Hiprbola 2.

El punto S est tambin sobre la rama de la hiprbola 2 con focos en B y C, con una distancia entre vrtices:2a2 = V(TB TC).

El punto S est en la interseccin de las dos hiprbolas.Ejercicio 6.80. En A; B y C existen estaciones de escucha. C esta a 600 m al este de B y A est a 600 m al norte de B. El sonido del disparo de can ubicado en S llega a A y B simultneamente 1 seg despus de haber sido captado en C. Determinar las coordenadas del can. Ubicar el sistema cartesiano modo que las estaciones B y C estn sobre X, focos de una hiprbola, el origen en la mitad de ambas. Velocidad del sonido 335 m/seg.

Posicin de los focos:B( 300; 0)

C(300; 0)

A( 300; 600).

Frmula de la distancia: D = V.T

SA = V.(TA T0) = SB. (El disparo proveniente de S llega a ambas estaciones en forma simultnea).

Y = 300.

SA SC = V.(TA TC) = V(T) = V(1 seg) = V = 335.

.

X = 262.Coordenadas de S: (262; 300) .

El sistema de navegacin LoRaN (Long Range Navigation) usa las propiedades de reflexin de la hiprbola: se tienen dos estaciones de radio, ubicadas en los focos de una hiprbola, transmitiendo seales que son captadas por naves en el mar. Existe una diferencia en las distancias que recorren ambas seales y existe una pequea diferencia de tiempo en la captacin de las seales. Si el barco sigue una ruta de navegacin que mantenga constante la diferencia de tiempo se mantendr constante la diferencia de distancias y entonces la ruta de navegacin ser una hiprbola cuyos focos coinciden con las dos estaciones de radio. Para cada diferencia de tiempo se tiene una trayectoria hiperblica diferente, cada una llevando al barco a un puerto diferente. Las cartas de navegacin muestran las diferentes rutas hiperblicas correspondientes a diferencias de tiempo distintas.

Ejercicio 6.81. Dos estaciones LoRaN estn separadas 500 km sobre la costa. Un barco registra una diferencia de tiempo de 0,00086 seg entre las seales LORAN.

81.1. Determinar los vrtices de la hiprbola en cuyos focos estn las estaciones LoRan.

El barco navega sobre la rama de una hiprbola cuyos focos coinciden con las posiciones de las estaciones de radio, velocidad de la seal de radio: 300.000 Km/seg.

Diferencia de Distancia = Velocidad.(Diferencia de tiempo) ( D = V.T.

D = (300.000)(0,00086) = 258 km = 2a; la distancia entre vrtices, por la definicin de hiprbola: 2a = 258

a = 129V(129; 0)V( 129; 0) .81.2. Dnde el barco alcanzar la costa si contina sobre la trayectoria hiperblica que corresponda a la diferencia de tiempo arriba citada?.

F(250; 0)F( 250; 0)

El barco llegar a la costa a 250 129 = 121 km de la estacin principal que est en F.

C(h;k)

PT(XT; YT)

P1(X1; Y1)

L1

L2

L3

A(0,5; 14,5)

B(2; 3)

C(32; 17)

L3

L1

L2

A(12; 15)

B(-15/2; 2) 15)

C(0; - 3)

A(1; 2)

B(3; 4)

C(h; k)

T

T

Q(3;3)

P(1;1)

C(h;k)

N

L

P

Q

B(2; 1)

A(4; 1)

C( 1; 5)

B(2; 1)

A(4; 1)

C( 1; 5)

mAB= 1

mAC= 4/5

mBC= 2

P(X; Y)

F(a; 0)

L

M

L

(250; 0)

(250; 0)

(250; 60)

(250; 60)

P(X; Y)

F(c; 0)

F( c; 0)

V(a; 0)

V( a; 0)

V(0; a)

V(0; -a)

F(0; c)

F(0; -c)

X

Y

P

P

A

P(X;Y)

B

X

Y

V(2; 3)

V(6; 3)

C(2; 3)

v(2; 6)

v(2; 0)

V(6; 10)

V(6; 2)

v(10; 4)

v(2; 4)

C(6; 4)

X

Y

Eje mayor de la Elipse

Eje menor de la Elipse

V(75; 0)

V( 75; 0)

v(0; 45)

C1

C2

P

R2

R1

R3

R3

C2

C1

P

V(a; 0)

V(a; 0)

v(0; b)

v(0; b)

F(c; 0)

CIA1

CIA2

CIA Genrica

C1(4;3)

C2(4;3)

C(X;Y)

R1

R

R2

R

F(-c;0)

F(c;0)

P(X; Y)

XXCasB

XXCasA

XXCasC

XXCaS

PAGE

Cap. 6 1

_1422639077.unknown

_1423306619.unknown

_1423367383.unknown

_1423394586.unknown

_1423483626.unknown

_1423487734.unknown

_1423553531.unknown

_1423554326.unknown

_1423555146.unknown

_1423555268.unknown

_1423555109.unknown

_1423553577.unknown

_1423489334.unknown

_1423553503.unknown

_1423489333.unknown

_1423485743.unknown

_1423487436.unknown

_1423486734.unknown

_1423484503.unknown

_1423482253.unknown

_1423482274.unknown

_1423482614.unknown

_1423482683.unknown

_1423482273.unknown

_1423481753.unknown

_1423481939.unknown

_1423395392.unknown

_1423393416.unknown

_1423393553.unknown

_1423393753.unknown

_1423393512.unknown

_1423367523.unknown

_1423367975.unknown

_1423368075.unknown

_1423367829.unknown

_1423367465.unknown

_1423307194.unknown

_1423314560.unknown

_1423314828.unknown

_1423314980.unknown

_1423315914.unknown

_1423314854.unknown

_1423314777.unknown

_1423314343.unknown

_1423314522.unknown

_1423307236.unknown

_1423306876.unknown

_1423307111.unknown

_1423307188.unknown

_1423306944.unknown

_1423306811.unknown

_1423306852.unknown

_1423306631.unknown

_1423142351.unknown

_1423232603.unknown

_1423295948.unknown

_1423306431.unknown

_1423306471.unknown

_1423306333.unknown

_1423306422.unknown

_1423306389.unknown

_1423306151.unknown

_1423293456.unknown

_1423293471.unknown

_1423293307.unknown

_1423229280.unknown

_1423231421.unknown

_1423231618.unknown

_1423229586.unknown

_1423228516.unknown

_1423229145.unknown

_1423142603.unknown

_1423142610.unknown

_1423142588.unknown

_1423139366.unknown

_1423139933.unknown

_1423142262.unknown

_1423142319.unknown

_1423142144.unknown

_1423139836.unknown

_1423139837.unknown

_1423139835.unknown

_1422640758.unknown

_1422896294.unknown

_1422897458.unknown

_1422897501.unknown

_1422897516.unknown

_1422896312.unknown

_1422710373.unknown

_1422710482.unknown

_1422896128.unknown

_1422710447.unknown

_1422641165.unknown

_1422640001.unknown

_1422640558.unknown

_1422639106.unknown

_1288012179.unknown

_1314449486.unknown

_1315813476.unknown

_1317816689.unknown

_1409120322.unknown

_1422591647.unknown

_1422593301.unknown

_1422638328.unknown

_1422638407.unknown

_1422593336.unknown

_1422593442.unknown

_1422592148.unknown

_1422593198.unknown

_1422592075.unknown

_1409120689.unknown

_1422591392.unknown

_1420121677.unknown

_1409120383.unknown

_1333199859.unknown

_1409120132.unknown

_1409120288.unknown

_1333199882.unknown

_1409120015.unknown

_1333199873.unknown

_1318054659.unknown

_1318676505.unknown

_1318054649.unknown

_1317817238.unknown

_1316936513.unknown

_1317640404.unknown

_1317640857.unknown

_1317642341.unknown

_1317816677.unknown

_1317642409.unknown

_1317642132.unknown

_1317640494.unknown

_1316951699.unknown

_1317640282.unknown

_1316951637.unknown

_1316935792.unknown

_1316936463.unknown

_1316936483.unknown

_1316936436.unknown

_1316930591.unknown

_1316931780.unknown

_1316926719.unknown

_1316928700.unknown

_1316925464.unknown

_1314763057.unknown

_1315813257.unknown

_1315813441.unknown

_1315813456.unknown

_1315813413.unknown

_1315812654.unknown

_1315812709.unknown

_1314763081.unknown

_1315812613.unknown

_1314686096.unknown

_1314762039.unknown

_1314763004.unknown

_1314761625.unknown

_1314622583.unknown

_1314685906.unknown

_1314622475.unknown

_1314622582.unknown

_1314622281.unknown

_1314450673.unknown

_1302357181.unknown

_1302958321.unknown

_1304054554.unknown

_1307361459.unknown

_1307361762.unknown

_1308055612.unknown

_1312875462.unknown

_1312875463.unknown

_1308055730.unknown

_1308055531.unknown

_1307361950.unknown

_1307361515.unknown

_1307361738.unknown

_1307361488.unknown

_1306589883.unknown

_1306591425.unknown

_1306591576.unknown

_1306591574.unknown

_1306590023.unknown

_1306589374.unknown

_1306589432.unknown

_1304054709.unknown

_1303558704.unknown

_1304054334.unknown

_1304054392.unknown

_1303560798.unknown

_1303562168.unknown

_1303562294.unknown

_1303558998.unknown

_1302961178.unknown

_1303558641.unknown

_1302958475.unknown

_1302416951.unknown

_1302417062.unknown

_1302941677.unknown

_1302416963.unknown

_1302357361.unknown

_1302357489.unknown

_1302416933.unknown

_1302357393.unknown

_1302357320.unknown

_1288098712.unknown

_1289388226.unknown

_1289827303.unknown

_1289827471.unknown

_1289828474.unknown

_1289828558.unknown

_1289828688.unknown

_1289828518.unknown

_1289828455.unknown

_1289827442.unknown

_1289388709.unknown

_1289394750.unknown

_1289395173.unknown

_1289395175.unknown

_1289394882.unknown

_1289394657.unknown

_1289388403.unknown

_1288099236.unknown

_1288099775.unknown

_1288100141.unknown

_1288100164.unknown

_1288099720.unknown

_1288099266.unknown

_1288099678.unknown

_1288099207.unknown

_1288099225.unknown

_1288099193.unknown

_1288097720.unknown

_1288097977.unknown

_1288098032.unknown

_1288098665.unknown

_1288097985.unknown

_1288097878.unknown

_1288097911.unknown

_1288097855.unknown

_1288012946.unknown

_1288095496.unknown

_1288095786.unknown

_1288095062.unknown

_1288012377.unknown

_1288012497.unknown

_1288012215.unknown

_1272260529.unknown

_1276327577.unknown

_1286608729.unknown

_1287923802.unknown

_1287925679.unknown

_1287927333.unknown

_1287927934.unknown

_1287927283.unknown

_1287924562.unknown

_1287924986.unknown

_1287925566.unknown

_1287925032.unknown

_1287924931.unknown

_1287924467.unknown

_1287924488.unknown

_1287924517.unknown

_1287923894.unknown

_1286619110.unknown

_1286619198.unknown

_1287923601.unknown

_1286619167.unknown

_1286608845.unknown

_1286619044.unknown

_1286608755.unknown

_1286608818.unknown

_1277124523.unknown

_1277298002.unknown

_1277703669.unknown

_1284808343.unknown

_1286608694.unknown

_1277711012.unknown

_1277627248.unknown

_1277627265.unknown

_1277559242.unknown

_1277558820.unknown

_1277128712.unknown

_1277271491.unknown

_1277128787.unknown

_1277125914.unknown

_1277128098.unknown

_1277124344.unknown

_1277124387.unknown

_1277123905.unknown

_1276327709.unknown

_1272523439.unknown

_1272699463.unknown

_1272711221.unknown

_1276327496.unknown

_1276327529.unknown

_1273920945.unknown

_1276327485.unknown

_1273921230.unknown

_1273920899.unknown

_1272712165.unknown

_1272702437.unknown

_1272710886.unknown

_1272702298.unknown

_1272524826.unknown

_1272640853.unknown

_1272699339.unknown

_1272698275.unknown

_1272527483.unknown

_1272640775.unknown

_1272527422.unknown

_1272524245.unknown

_1272261141.unknown

_1272523210.unknown

_1272523392.unknown

_1272523066.unknown

_1272260903.unknown

_1272260957.unknown

_1272260546.unknown

_1254033553.unknown

_1254813373.unknown

_1270906274.unknown

_1271573957.unknown

_1272196501.unknown

_1272260509.unknown

_1271574069.unknown

_1271574136.unknown

_1272195696.unknown

_1271574094.unknown

_1271573994.unknown

_1271573391.unknown

_1271573433.unknown

_1271573326.unknown

_1254813653.unknown

_1257601840.unknown

_1270875504.unknown

_1270875542.unknown

_1258196820.unknown

_1258811764.unknown

_1258811779.unknown

_1258811670.unknown

_1257602655.unknown

_1257601785.unknown

_1257601812.unknown

_1257601727.unknown

_1254813463.unknown

_1254813558.unknown

_1254813430.unknown

_1254143231.unknown

_1254297927.unknown

_1254299731.unknown

_1254300218.unknown

_1254656253.unknown

_1254300266.unknown

_1254299767.unknown

_1254298089.unknown

_1254143631.unknown

_1254143901.unknown

_1254297721.unknown

_1254143692.unknown

_1254143377.unknown

_1254053000.unknown

_1254141303.unknown

_1254142978.unknown

_1254058385.unknown

_1254033892.unknown

_1254040553.unknown

_1254040819.unknown

_1254052975.unknown

_1254040715.unknown

_1254040521.unknown

_1254033853.unknown

_1220100398.unknown

_1222581483.unknown

_1240832285.unknown

_1245652620.unknown

_1253967956.unknown

_1254031960.unknown

_1245652658.unknown

_1245652956.unknown

_1241857637.unknown

_1241857974.unknown

_1240832306.unknown

_1240835998.unknown

_1223909280.unknown

_1223909576.unknown

_1225689491.unknown

_1225542894.unknown

_1223909365.unknown

_1222582769.unknown

_1223909199.unknown

_1222582748.unknown

_1222091406.unknown

_1222523135.unknown

_1222580794.unknown

_1222523251.unknown

_1222522697.unknown

_1222072830.unknown

_1222072968.unknown

_1222073176.unknown

_1222090981.unknown

_1222073076.unknown

_1222072897.unknown

_1222072814.unknown

_1222072824.unknown

_1222072572.unknown

_1207471561.unknown

_1209820573.unknown

_1215254687.unknown

_1220100352.unknown

_1220100361.unknown

_1215255676.unknown

_1215255803.unknown

_1209823903.unknown

_1209823921.unknown

_1209823946.unknown

_1209821054.unknown

_1208064069.unknown

_1208676246.unknown

_1209820124.unknown

_1209820205.unknown

_1208676261.unknown

_1208676306.unknown

_1208676255.unknown

_1208064130.unknown

_1208064251.unknown

_1208064101.unknown

_1208063876.unknown

_1208063963.unknown

_1208063574.unknown

_1207404541.unknown

_1207455596.unknown

_1207470671.unknown

_1207404563.unknown

_1196056541.unknown

_1207404525.unknown

_1196054053.unknown

_1196056504.unknown