UNIVERSIDAD ESTATAL PENÍNSULA

DE SANTA ELENA

SISTEMA NACIONAL DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN

PROYECTO DE AULA DE MATEMÁTICAS

AUTOR:

JUAN FALQUEZ

JOSUÉ REYES

ALEXANDER MOINA

CARRERA:

INGENIERÍA EN PETRÓLEO

PET 20

TUTOR:

Ing. Carlos Malavé

LA LIBERTAD - SANTA ELENA – ECUADOR

AGOSTO 2015

INTRODUCCIÓN

Las matemáticas a lo largo de la historia han sido vistas como un área de conocimiento realmente extensa y a su

vez complicada para gran parte de la población terrestre. Esto se da generalmente porque cada tema que cubre

esta ciencia, comprende del aprendizaje de leyes o reglas de procesos que se van acumulando poco a poco para

todos estos conocimientos ser aplicados en una sola materia.

Con la finalidad de facilitar las matemáticas para cualquier individuo terrestre, se crea este manual, en el cual se

mostrarán metodologías para realizar de forma más sencilla, rápida y eficaz cada proceso de algún subtema de las

matemáticas.

Este manual está enfocado en el área de cónicas, pero específicamente en tres tipos de cónicas que son las

parábolas, elipses y las hipérbolas.

TÉRMINOS IMPORTANTES

Se necesita saber un grupo de términos para poder comprender y analizar las cónicas, para esto será importante

revisar los siguientes términos:

1. Directriz: Línea equidistante a un número de puntos que conforman a la parábola.

2. Foco: Punto situado en como enfoque (valga la redundancia) para cada punto que conforma la parábola.

LAS CÓNICAS

Las cónicas se le denomina al estudio de las secciones de un cono, el cual, se realiza mediante un corte con un

plano (Plano Cartesiano) en alguna sección del cono y este nos genera distintos tipos de figuras que ocupan una

posición en el plano.

Su estudio se puede dar de diversas formas, una de ellas (como se mencionó anteriormente) es la de los griegos

en la que se usa un plano para realizar cortes del cono y se obtienen las intersecciones del cono. A su vez, se

pueden estudiar de forma más tradicional con el uso de ecuaciones en segundo grado, tomando en cuenta la suma

de valores orientados en el eje “x” y en el eje “y” igualados a cero. Y también se da su estudio a partir de lugares

geométricos, los cuales cumplen cierta propiedad aplicada.

Existen diversos tipos de cónicas, dándole más campo a esta área de las matemáticas. Aquí se incluyen las

siguientes divisiones de las cónicas que son:

1. Circunferencia: La

circunferencia es el lugar geométrico

de un punto “x” y un punto “y” en el

plano equidistante entre a un punto

“C”, creando entre sí el radio “r” de

la circunferencia. 2. Elipse: La elipse es el lugar

geométrico de un punto “x” y un

punto “y”, la cual, la suma de la

distancia de sus focos es constante

3. Hipérbola: La hipérbola es el

lugar geométrico de un punto “x” y

un punto “y”, en la cual la diferencia de distancias entre sus focos es constante.

4. Parábola: La parábola es el lugar geométrico de un punto “x” y un punto “y” equidistantes a una recta

fija denominada directriz y un punto “f” que es el foco.

Lo mencionado anteriormente como una pequeña introducción a lo que son las cónicas para poder empezar

con el punto de enfoque que se tiene propuesto que es la explicación simplificada de las cónicas con

metodologías más simples para el desarrollo de ejercicios propuestos.

PARÁBOLA

Ya sabemos que la parábola consta de un foco y

una directriz que indican según la posición donde

sean situados cuál es la orientación de la

parábola. Esta puede ser orientada de las

siguientes formas:

1. Hacia el arriba (foco por encima de la

parábola; directriz por debajo de la

parábola, descendente-ascendente)

2. Hacia abajo (Foco por debajo de la

parábola; directriz por encima de la

parábola, ascendente descendente)

3. Hacia la derecha (el eje de simetría se da

en el eje “x” con el foco situado en el

lado positivo)

4. Hacia la izquierda (así mismo el eje de

simetría es el eje “x” pero el foco situado en el lado negativo del eje “x”)

Para la parábola, se comprenden un conjunto de fórmulas aplicadas en las cuales se puede llevar acabo la

resolución analítica:

Para las parábolas con Vértice (0, 0)

ECUACIÓN ESTANDAR

𝒙𝟐 = 𝟒𝒑𝒚 ; 𝒚𝟐 = 𝟒𝒑𝒙 Donde el valor de “p” es equivalente al foco. En el eje x (p, 0) ; en el eje y (0, p)

DIRECTRIZ

𝒚 = −𝒑 ; 𝒙 = −𝒑

ANCHO FOCAL

|𝟒𝒑| Este valor para ambos tipos de orientación. El ancho focal se mantiene igual tanto para la parábola con

vértice en (0, 0) y para la parábola con vértice en (h, k).

LONGITUD FOCAL

𝒑 La longitud focal se mantiene igual tanto para la parábola con vértice en (0, 0) y para la parábola con vértice

(h, k)

Parábolas con Vértice (h, k)

ECUACIÓN ESTANDAR

(𝒙 − 𝒉)𝟐 = 𝟒𝒑(𝒚 − 𝒌) ; (𝒚 − 𝒌)𝟐 = 𝟒𝒑(𝒙 − 𝒉) Donde los valores de “h” (punto en el eje x) y los valores de

“k” (punto en el eje y) son las coordenadas del vértice.

FOCO

(𝒉, 𝒌 + 𝒑) Cuando la parábola apunta hacia arriba o hacia abajo.

(𝒉 + 𝒑, 𝒌) Cuando la parábola apunta hacia la izquierda o la derecha.

DIRECTRIZ

𝒚 = 𝒌 − 𝒑 Cuando la parábola apunta hacia arriba o hacia abajo.

𝒙 = 𝒉 − 𝒑 Cuando la parábola apunta hacia la izquierda o la derecha.

EXPLICACIÓN MEDIANTE UN EJERCICIO

HALLAR LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON FOCO (𝟓, 𝟑) Y DIRECTRIZ CON RECTA 𝒙 = −𝟏

1. Se considera que el vértice se encuentra

coordenado entre el foco y la directriz obteniendo

como vértice (𝟐, 𝟑) y el valor de 𝒑 se obtiene del

despeje de los valores del foco considerando la

ecuación 𝒙 = 𝒉 − 𝒑 ; 𝟓 = 𝟐 − 𝒑 ; 𝟓 − 𝟐 = 𝒑 ;

𝒑 = 𝟑

2. Teniendo el valor de 𝒑 = 𝟑, se puede

obtener el valor del ancho focal |𝟒𝒑| = 𝟒𝒑 ;

|𝟒(𝟑)| = 𝟏𝟐

3. Y con esto se reemplazan los valores en la

ecuación estándar siendo esta con desplazamiento

(𝒚 − 𝒌)𝟐 = 𝟒𝒑(𝒙 − 𝒉) y considerando los valores

ubicados (𝒚 − 𝟑)𝟐 = 𝟏𝟐(𝒙 − 𝟐)

ELIPSE

La elipse comprende una constante

a partir de la suma de dos puntos

fijos en el plano, siendo estos puntos

los focos. Al tener una forma

ovalada, la elipse cuenta con un

centro y al igual que la parábola

consta de una orientación tanto

horizontal (focos en el eje x) como

vertical (focos en el eje y).

La elipse cuenta con cuatro puntos

donde intersecta al eje que se le denominan vértices, dando a conocer su eje mayor (donde se concentran sus

focos) que contiene los puntos más alejados al centro y su eje menor que contiene los vértices más cercanos al

centro.

Para la elipse, se comprenden un conjunto de fórmulas aplicadas en las cuales se puede llevar acabo la resolución

analítica:

Elipse con centro (0, 0)

ECUACIÓN ESTANDAR

𝒙𝟐

𝒂𝟐 +𝒚𝟐

𝒃𝟐 = 𝟏 Para el eje “x”; 𝒚𝟐

𝒂𝟐 +𝒙𝟐

𝒃𝟐 = 𝟏 Para el eje “y”

FOCOS

(±𝒄, 𝟎) ; (𝟎, ±𝒄)

VÉRTICES

(±𝒂, 𝟎) ; (𝟎, ±𝒂)

SEMIEJES

"𝒂" Cuando el denominador lleva esta letra, la letra que está en el numerador indica el semieje mayor (eje “x”

o eje “y”).

"𝒃" Cuando el denominador lleva esta letra, la letra que está en el numerador indica el semieje menor (eje “x”

o eje “y”).

RELACIÓN PITAGÓRICA

𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 De esta relación pitagórica se podrá despejar el valor de "𝒄" para poder encontrar los focos.

Elipse con centro (𝒉, 𝒌)

ECUACIÓN ESTANDAR

(𝒙−𝒉)𝟐

𝒂𝟐 +(𝒚−𝒌)𝟐

𝒃𝟐 = 𝟏 Para el eje “x”; (𝒚−𝒌)𝟐

𝒂𝟐 +(𝒙−𝒉)𝟐

𝒃𝟐 = 𝟏 Para el eje “y”

EJE FOCAL

𝒚 = 𝒌 Cuando “x” en la ecuación estándar es numerador de “a”

𝒙 = 𝒉 Cuando “y” en la ecuación estándar es numerador de “a”

FOCOS

(𝒉 ± 𝒄, 𝒌) ; (𝒉, 𝒌 ± 𝒄)

VÉRTICES

(𝒉 ± 𝒂, 𝒌) ; (𝒉, 𝒌 ± 𝒂)

SEMIEJES

"𝒂" Cuando el denominador lleva esta letra, la letra que está en el numerador indica el semieje mayor (eje “x”

o eje “y”).

"𝒃" Cuando el denominador lleva esta letra, la letra que está en el numerador indica el semieje menor (eje “x”

o eje “y”).

RELACIÓN PITAGÓRICA

𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 De esta relación pitagórica se podrá despejar el valor de "𝒄" para poder encontrar los focos.

EXPLICACIÓN MEDIANTEUN EJERCICIO

DETERMINAR LOS VERTICES, FOCOS Y CENTRO PARA GRAFICAR LA SIGUIENTE ELIPSE

(𝑋+1)2

25+

(𝑌−2)2

16= 1

Primero se identifica que tipo de elipse es, siendo esta una elipse desplazada. Luego se determinan los valores

de “a” y “b” para poder obtener los vértices de la misma. Sabiendo que el denominador con un valor mayor es

el de “x”, la elipse será más ancha de derecha a izquierda (o viceversa).

Con esto 𝑎2 = 25 y 𝑏2 = 16 ; extrayendo respectivamente la raíz cuadrada de cada uno de los valores se

obtendrán como resultado √𝑎2 = ±√25 → 𝑎 = ±5 y √𝑏2 = ±√16 → 𝑏 = ±4, ahora se requiere extraer el

centro siendo este los valores que suman y restan a “x” y “y” en la ecuación (−1,2) (los valores llevan el signo

contrario al que llevan en la ecuación.

Para determinar el valor de “c”, se utiliza el teorema de Pitágoras 𝒄 = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 y de esta forma se reemplazan

los valores transformándose la operación en 𝒄 = √𝟐𝟓 + 𝟏𝟔; 𝒄 = ±√𝟒𝟏

Ahora, para determinar los focos y vértices, se suman los valores del centro a los valores de “a”, “b” (para los

vértices, “a” representa el eje x y “b” representa el eje y) y “c” (para los focos) quedando ubicados de esta

forma (ℎ ± 𝑎, 𝑘) → (−1 ± 5, 2) → 𝑣1(4, 2); 𝑣2(−6, 2); (ℎ, 𝑘 ± 𝑏) → (−1, 2 ± 4) → 𝑣3(−1, 6); 𝑣4(−1, −2) y

ahora para el foco (ℎ ± 𝑐, 𝑘) → (−1 ± √41, 2) → 𝑓1(−1 + √41, 2); 𝑓2(−1 − √41, 2) siendo esto un

aproximado de 𝑓1(5.40, 2); 𝑓2(7.40,2)

1. Se sitúan los puntos coordenados

en el plano, siendo primero los

vértices y el centro.

2. Luego para obtener los puntos

precisos por donde pasan los

extremos de la elipse se realiza un

cuadro para sacar coordenadas en

“x” y en “y”

3. Se trazan los puntos para formar

la elipse.

HIPÉRBOLAS

Al igual que la elipse y la parábola, la hipérbola comprende dos puntos fijos

en el plano siendo estos puntos fijos los focos. Estos focos creando una

constante, cabe recalcar que en la elipse se comprende una suma, en la

hipérbola se comprende una diferencia para generar la constante.

Los vértices de la hipérbola, son los puntos donde esta interseca con su eje

focal.

La hipérbola cuenta con dos asíntotas que se intersecan formando el centro

de la misma en su eje focal.

Para la hipérbola, se comprenden un conjunto de fórmulas aplicadas en las

cuales se puede llevar acabo la resolución analítica:

Hipérbolas con centro (𝟎, 𝟎)

ECUACIÓN ESTÁNDAR

𝒙𝟐

𝒂𝟐 −𝒚𝟐

𝒃𝟐 = 𝟏 Para el eje “x”; 𝒚𝟐

𝒂𝟐 −𝒙𝟐

𝒚𝟐 = 𝟏 Para el eje “y”

FOCOS

(±𝒄, 𝟎) ; (𝟎, ±𝒄)

VÉRTICES

(±𝒂, 𝟎) ; (𝟎, ±𝒂)

SEMIEJE TRANSEVERSAL

"𝒂" Siendo este el valor del denominador, el eje transversal se determina de acuerdo a la variable del numerador

(sea “x” o “y”).

SEMIEJE CONJUGADO

"𝒃" Siendo este el valor del denominador, el eje conjugado (al igual que el eje transversal) se determina de

acuerdo a la variable del numerador (sea “x” o “y”).

Hipérbolas con centro (𝒉, 𝒌)

ECUACIÓN ESTÁNDAR

(𝒙−𝒉)𝟐

𝒂𝟐 −(𝒚−𝒌)𝟐

𝒃𝟐 = 𝟏 Para el eje “x”; (𝒚−𝒌)𝟐

𝒂𝟐 −(𝒙−𝒉)𝟐

𝒃𝟐 = 𝟏 Para el eje “y”.

EJE FOCAL

𝒚 = 𝒌 Cuando “x” es el numerador del denominador “a”.

𝒙 = 𝒉 Cuando “y” es el numerador del denominador “b”.

FOCOS

(𝒉 ± 𝒄, 𝟎) Para la hipérbola con orientación horizontal.

(𝟎, 𝒌 ± 𝒄) Para la hipérbola con orientación vertical.

VÉRTICES

(𝒉 ± 𝒂, 𝟎) Para la hipérbola con orientación horizontal.

(𝟎, 𝒌 ± 𝒂) Para la hipérbola con orientación vertical.

RELACIÓN PITAGÓRICA

𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 De esta relación pitagórica se podrá despejar el valor de "𝒄" para poder encontrar los focos.

ASÍNTOTAS

𝒚 = ±𝒃

𝒂(𝒙 − 𝒉) + 𝒌 ; 𝒚 = ±

𝒂

𝒃(𝒙 − 𝒉) + 𝒌

Pasos para trazar la hipérbola

1. Se traza el plano cartesiano ubicando el eje “x” y el eje “y”.

2. Luego se marcan los valores de los vértices como coordenadas conjuntas de manera

que, queden de esta forma (𝒂, 𝒃), (−𝒂, 𝒃), (−𝒂, −𝒃), (𝒂, −𝒃)

3. Se traza un rectángulo, el cual muestra como vértices o esquinas las coordenadas

mostradas en el paso anterior.

4. Luego se trazan las asíntotas de modo que una decreciente pasa por los puntos (−𝒂, 𝒃)

y (𝒂, −𝒃); una creciente que pasa por los puntos (𝒂, 𝒃) y (−𝒂, . 𝒃)

EXPLICACIÓN MEDIANTE UN EJERCICIO

DETERMINAR LOS VERTICES, FOCOS Y ASÍNTOTAS PARA GRAFICAR LA HIPERBOLA 𝒙𝟐

𝟗+

𝒚𝟐

𝟏𝟔= 𝟏

Sabiendo que, los valores de 𝒂𝟐 y 𝒃𝟐 están respectivamente situados en los denominadores y siendo “x” el eje

focal, determinamos los valores de “a” y “b”.

𝒂𝟐 = 𝟗 ; 𝒃𝟐 = 𝟏𝟔 Se hace la respectiva reducción de valores por medio de raíz cuadrada √𝒂𝟐 = √𝟗 ; √𝒃𝟐 =

√𝟏𝟔 Se extrae la raíz cuadrada resultando 𝒂 = ±𝟑 ;𝒃 = ±𝟒

De aquí se procede a buscar el valor de “c” por medio del planteamiento del teorema de Pitágoras 𝒄 = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

reemplazando respectivamente los valores de 𝑎2 y 𝑏2siendo así la ecuación 𝒄 = √𝟗 + 𝟏𝟔 ;𝒄 = √𝟐𝟓;𝒄 = 𝟓

Con esto se ha podido determinar el valor de los vértices y así mismo el valor de los focos siendo estos 𝒗𝟏(𝟑, 𝟎);

𝒗𝟐(−𝟑, 𝟎) y 𝒇𝟏(𝟓, 𝟎);𝒇𝟐(−𝟓, 𝟎) El punto “b” se lo usa como referencia para realizar la gráfica siguiendo los

pasos indicados arriba.

1. Se sitúan los 4 puntos considerando

respectivamente los valores positivos y negativos de

“a” y “b” como puntos en “x” y “y”.

2. Luego de esto se unen los puntos con

segmentos para poder determinar las asíntotas de la

gráfica las cuales pasaran por el punto D y B

(descendente) y el punto C y D (Ascendente)

3. Teniendo realizado esto, se pueden trazar

las dos parábolas que conforma la hipérbola cada

una pasado por los dos valores de “a” cada uno

señalado en la imagen como “Vértice1” y

“Vértice2”.

Bibliografía Demana, F., Waits, B., Foley , G., & Kennedy, D. (2007). Ejercicios de la Sección 8.1. En Prcálculo

Séptima Edición (pág. 1056). Pearson.

Demana, F., Waits, B., Foley , G., & Kennedy, D. (2007). Ejercicios de la Sección 8.2. En Prcálculo

Séptima Edición (pág. 1056). Pearson.

Demana, F., Waits, B., Foley , G., & Kennedy, D. (2007). Ejercicios de la Sección 8.3. En Prcálculo

Séptima Edición (pág. 1056). Pearson.

Demana, F., Waits, B., Foley , G., & Kennedy, D. (2007). Elipses Sección 8.2. En Prcálculo Séptima

Edición (pág. 1056). Pearson.

Demana, F., Waits, B., Foley , G., & Kennedy, D. (2007). Hipérbolas Sección 8.3. En Prcálculo Séptima

Edición (pág. 1056). Pearson.

Demana, F., Waits, B., Foley , G., & Kennedy, D. (2007). Secciones Cónicas y Parábolas Sección 8.1. En

Prcálculo Séptima Edición (pág. 1056). Pearson.

González Ortiz, F. (2004). Proyecto Matex. Obtenido de

http://personales.unican.es/gonzaleof/Ciencias_1/conicas.pdf

Video tutorial en Youtube

https://www.youtube.com/watch?v=NBdLr7H_Gmo