6 Diferencias Finitas Para Resolver Edo

H. Scaletti - Mtodos Numricos: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 6 - 1

6. Mtodos de Diferencias Finitas para la

Solucin de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

6.1. Introduccin

En muchos problemas de ciencia e ingeniera se plantean ecuaciones diferenciales

ordinarias (EDO). Por ejemplo, ( )yxfy ,= con la condicin inicial ( ) cay = . No siempre es factible hallar una solucin analtica de tales ecuaciones. En este captulo se

revisan procedimientos numricos de solucin de EDO basados en la aproximacin de

los operadores de derivacin por diferencias finitas. Tales procedimientos son tambin

aplicables cuando se tienen sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden, como

por ejemplo:

( )yfy ,t=& (6.1a) con condiciones iniciales:

( ) cy =0t (6.1b) e incluso ecuaciones de orden superior: ( )yyyxfy = ,,, , que con algunos cambios de variables pueden siempre convertirse en un sistema de ecuaciones diferenciales de

primer orden. As:

3

22

yzxz

zyxy

++==

con condiciones iniciales ( )( ) 10

00

==

z

y y

( )( ) 00

10

==

z

y

es equivalente a:

vz

uy

yvxv

zuxu

==

++==

3

22

con condiciones iniciales

( )( )( )( ) 00

10

10

00

====

v

u

z

y

Aunque la primera parte de este captulo se refiere directamente al caso de las

ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, la seccin 6.3 trata de

procedimientos especficos para el importante caso de sistemas de ecuaciones

diferenciales de segundo orden. La seccin 6.5 se refiere a problemas de valor frontera,

un tema que con otros mtodos se trata tambin en captulos siguientes.

6.2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

6.2.1 Mtodo de Euler

Este es el mtodo ms simple para resolver EDO de primer orden ),( yxfy = con cay =)( . El intervalo entre a y b se divide en subintervalos habitualmente iguales, de

longitud h , de modo que hnaxn += . Haciendo cy =0 se determinan sucesivamente L4321 yyyy que son aproximaciones a los valores exactos

L)()()()( 4321 xyxyxyxy Para ello )( ixy se aproxima por ( ) hyyhy iii = +1 , de donde resulta la frmula de recursin:


( )iiii yxfhyy ,1 +=+ (6.2) Este mtodo es aplicable en situaciones en las que f podra ser una funcin bastante complicada, o podra ser el resultado de operaciones y decisiones no expresables por

una simple frmula, pero se presenta aqu un caso muy simple, con propsitos

didcticos.

Supngase que: yy = con condicin inicial 1)0( =y . La solucin exacta es en este caso conocida: xey = . Empleando el mtodo de Euler: ( ) iiii yhyhyy +=+=+ 11 . Con dos distintos intervalos 2.0=h y 1.0=h se obtienen:

Solucin exacta Solucin con 2.0=h Solucin con 1.0=h

i ix ( ) ixi exy = iy ifh Error iy ifh Error

0 0 1.000 1.000 0.200 0 1.000 0.100 0

1 0.1 1.105 1.100 0.110 -0.005

2 0.2 1.221 1.200 0.240 -0.021 1.210 0.121 -0.011

3 0.3 1.350 1.331 0.133 -0.019

4 0.4 1.492 1.440 0.244 -0.052 1.464 0.146 -0.023

5 0.5 1.649 1.610 0.161 -0.039

6 0.6 1.822 1.728 -0.094 1.771 -0.051

Se observa que el error es aproximadamente proporcional a h y que en este caso crece

con x .

El error de truncacin local, es decir el error introducido en cada paso, es de ( )2hO . Sin embargo, como el nmero de pasos que se realizan para integrar la EDO en un intervalo

dado es inversamente proporcional a h , el error global o total es de ( )hO . Tambin aqu podra emplearse la extrapolacin de Richardson:

[ ] ( )2)2,(),(2)( hOhxyhxyxy + Esta expresin sera correcta para una extrapolacin pasiva, es decir la que se hace

para mejorar algunos resultados y tpicamente no en cada paso. En cambio, una

extrapolacin activa, sera aquella que se realiza en cada paso, utilizndose los valores

as mejorados en los sucesivos pasos del proceso. En ciertos casos la extrapolacin

pasiva puede ser ms conveniente, por ser numricamente ms estable. Para el

ejemplo anterior, con extrapolacin pasiva se obtiene:

ix ( ) ixi exy = )2.0,(xy )1.0,(xy )2.0,()1.0,(2 xyxy Error

0.2 1.221 1.200 1.210 1.220 -0.001

0.4 1.492 1.440 1.464 1.488 -0.004

0.6 1.822 1.728 1.771 1.814 -0.008

La solucin de la ecuacin ),( yxfy = depende de la condicin inicial cay =)( . Se tiene as como solucin una familia de curvas o trayectorias ),( cxy , que en el intervalo de inters pueden ser convergentes o divergentes. Esta es una caracterstica de la

ecuacin diferencial, no del procedimiento numrico empleado en su solucin. Los


errores de redondeo o de truncacin producen un cambio de trayectoria (y pueden

entonces verse como equivalentes a resolver un problema con condiciones iniciales algo

distintas). Las figuras bosquejan soluciones numricas obtenidas para el caso en que

las trayectorias divergen, en el que los errores tienden a acumularse; lo contrario ocurre

cuando las trayectorias son convergentes.

Para nxx = el error acumulado en la solucin numrica est dado por: )( nnn xyy =

))()(()( 111 nnnnnn xyxyyy = +++

Para el mtodo de Euler: ),(1 nnnn yxfhyy =+

Por otro lado, de la expansin en series de Taylor:

L+++=+ )()()()(2

21

1 nnnn xyhxyhxyxy

Se tiene que:

( )21 ))(,()()( hOxyxfhxyxy nnnn +=+ Remplazando en la primera expresin:

[ ] ( )21 ))(,(),( hOxyxfyxfh nnnnnn += +

Pero: L++=

==

)(

))(())(,(),(

nxyynxx

nnnnnn y

fxyyxyxfyxf

Y por el teorema del valor medio:

==

==

==

yxx

n

yxx

nnnnnnnn y

f

y

fxyyxyxfyxf ))(())(,(),(

De donde:

+

==

+

ynxx

nn y

fh11

Si h es suficientemente pequeo y

==

ynxxy

fes negativa el mtodo de Euler es adecuado.

Si en cambio si 0> yf el error crece y el proceso slo podra funcionar si el intervalo fuera suficientemente pequeo. Tal es el caso del ejemplo precedente, pero no el del

ejemplo siguiente. Considrese la ecuacin xyxy 2)(1000 2 += con 0)0( =y . Es fcil verificar que la solucin exacta es 2xy = , pero con el mtodo de Euler se obtienen:

k kx )( kxy ky k

0 0 0 0 0

1 0.01 0.0001 0 -0.0001

2 0.02 0.0004 0.0012 0.0008

3 0.03 0.0009 -0.0064 -0.0073

4 0.04 0.0016 0.0672 0.0656

5 0.05 0.0025 -0.5880 -0.5905


Los resultados muestran oscilaciones tpicas de una inestabilidad numrica. Reduciendo

h no se elimina la inestabilidad; se requiere ms bien cambiar de mtodo.

Algunas alternativas, no siempre mejores, se presentan en las secciones siguientes.

6.2.2 Mtodos de Runge Kutta

Estos mtodos son, como el mtodo de Euler, de paso simple. Es decir, slo se requiere

conocer ny para determinar 1+ny . Las frmulas de Runge Kutta requieren evaluar

),( yxf en diversos puntos apropiadamente ubicados en el intervalo [ ]hxxx nnn +=+1, , ponderndose los resultados de modo de obtener un error de truncacin del mayor orden

posible.

Considrese el caso en que ),( yxf se calcula en dos puntos en el intervalo [ ]1, +nn xx :

),(),(

),(

1 yhxfhyxfhyy

yxfhyy

nnnnn

nnn

+++=+=

+

Siendo

( )2)(),(),( hOy

fyy

x

fhyxfyhxf

nyynxx

n

nyynxx

nnn ++

+=+

==

==

Pero ),( nnn yxfhyy = , por lo que se obtiene:

( )321 ),(),()( hOyf

yxfx

fhyxfhyy

nyynxx

nn

nyynxx

nnnn +

+

+++=

==

==+

Por otro lado, expandiendo )( hxy n + en series de Taylor: ( )3221 )()()()( hOxyhxyhxyhxy nnnn +++=+

Pero: 1)( ++ nn yhxy

nyynxx

nn

nyynxx

n

nnnnn

nn

y

fyxf

x

fxy

y

f

x

y

x

f

x

yy

yxfxyxfxy

yxy

==

==

+

+

=

=

),()(

),())(,()(

)(

Sustituyendo estas expresiones e identificando coeficientes se obtienen:

21

1

==+

Con un error de truncacin local de ( )3hO y global de ( )2hO . De las infinitas alternativas de seleccin para tres son las ms comunes:

La frmula del punto medio:

),(

),(2

21

1 yhxfhyy

yxfh

yy

nnn

nnn

++=

+=

+

El mtodo de Heun, tambin conocido como Euler modificado:


[ ]),(),(2

),(

1 yhxfyxfh

yy

yxfhyy

nnnnn

nnn

+++=

+=

+

Puede anotarse que si f no fuera funcin de y este mtodo equivale a evaluar la integral:

+

+ +=1

1 )(nx

nxnn dxxyyy

por el mtodo de los trapecios.

El mtodo de Ralston:

( )( )

( )232131114

343

2

1

,

,

kkhyy

hkyhxfk

yxfk

nn

nn

nn

++=

++==

+

Anlogamente, pueden obtenerse frmulas con un error de truncacin local de ( )4hO y global de ( )3hO :

( )( )( )

( )321611213

121

21

2

1

4

2,

,

,

kkkhyy

hkhkyhxfk

hkyhxfk

yxfk

nn

nn

nn

nn

+++=++=

++==

+

o bien: ( )( )( )

( )3141123

232

3

131

31

2

1

3

,

,

,

kkhyy

hkyhxfk

hkyhxfk

yxfk

nn

nn

nn

nn

++=

++=

++==

+

Si f fuera independiente de y las expresiones precedentes equivalen al mtodo de Simpson.

El mtodo comnmente denominado de Runge Kutta es un proceso con error global de

( )4hO : ( )( )( )( )

( )432161134

221

21

3

121

21

2

1

22

,

,

,

,

kkkkhyy

hkyhxfk

hkyhxfk

hkyhxfk

yxfk

nn

nn

nn

nn

nn

++++=++=

++=

++==

+

Que tambin coincide con la regla de Simpson en el caso en que f no es funcin de y :

[ ])()(4)(6

)( 21

1

1 hxfhxfxfh

dxxyyy nnnnx

nxnn ++++=

++

Como ejemplo de aplicacin de este mtodo, considrese la ecuacin diferencial:

21

)( yxy +=


con condicin inicial 41.0)4.0( =y . Trabajando con 4.0=h , las operaciones en un paso seran:

( )( )( )( )

( ) 934848.0934438.041.022285805.1))292443.041.0()4.04.0((,

10823.1))174218.041.0()2.04.0((,

09087.1))18.041.0()2.04.0((,

9.0)41.04.0()(,

432161

1

34

221

21

3

121

21

2

1

21

21

21

21

21

=+=++++==+++=++=

=+++=++=

=+++=++=

=+=+==

+ kkkkhyy

hkyhxfk

hkyhxfk

hkyhxfk

yxyxfk

nn

nn

nn

nn

nnnn

Otro mtodo de Runge Kutta de cuarto orden (global) es el mtodo de Gill:

( )( )( )( )

( )432161132

122

14

221

121

21

3

121

21

2

1

)22()22(

)22(2,

)22()12(,

,

,

kkkkhyy

hkhkyhxfk

hkhkyhxfk

hkyhxfk

yxfk

nn

nn

nn

nn

nn

+++++=

+++=

+++=

++==

+

Y muchas otras alternativas son posibles.

6.2.3 Estimacin del Error y Control del Paso

Al utilizar los procedimientos de paso simple descritos en las secciones precedentes, el

intervalo h puede ajustarse en forma automtica. Esto puede ser necesario al integrar

ecuaciones cuya solucin vara lentamente en algunas regiones y muy rpidamente en

otras. Lo primero es poder estimar el error al integrar las ecuaciones con un cierto

intervalo.

Supngase que se resuelve una ecuacin diferencial con un procedimiento de Runge

Kutta de cuarto orden (global) empleando un intervalo h2 . La solucin, que en lo que sigue se denomina hy2 , tendra un error de orden

4)2( h . Si paralelamente se obtuviera la solucin con intervalo h , en lo que sigue hy , sta tendra un error de orden

4)(h . Podra entonces eliminarse el trmino dominante del error haciendo una extrapolacin

(pasiva). Para cada abscisa:

1515

16 22 hhh

hhcorregido

yyy

yyy

+=

=

Los resultados as obtenidos tendran un error de orden 5)(h . Ntese que si se hiciera una extrapolacin activa habra que considerar el orden del error local.

Una alternativa ms conveniente sera aprovechar los resultados parciales al usar un

proceso de orden m para determinar otra con un proceso de orden 1+m . Por ejemplo, en el procedimiento de Runge - Kutta Cash Karp se emplean las frmulas de cuarto

orden (global):

)( 61771512

4594125

3621250

137837

1 kkkkhyy nn ++++=+

Y de quinto orden (global):

)( 641

533614277

42965552513

33844857518

1648278252

1 kkkkkhyy nn +++++=+


Que solamente requieren seis evaluaciones de la funcin:

( )( )( )( )( )( )hkhkhkhkhkyhxfk

hkhkhkhkyhxfk

hkhkhkyhxfk

hkhkyhxfk

hkyhxfk

yxfk

nn

nn

nn

nn

nn

nn

54096253

411059244275

313824575

2512175

1552961631

87

6

42735

32770

225

15411

5

356

2109

1103

53

4

2409

1403

103

3

151

51

2

1

,

,

,

,

,

,

++++++=

+++=

+++=

+++=

++==

6.2.4 Mtodos de Paso Mltiple

Los mtodos tratados anteriormente permiten determinar 1+ny conociendo nicamente el valor de la funcin en el punto inmediatamente precedente. Como alternativa a estos

mtodos de paso simple pueden plantearse mtodos de paso mltiple en los que el

clculo de 1+ny requiere utilizar L21 nnn yyy .

Un mtodo de este tipo resulta al aproximar y en la ecuacin ),( yxfy = por una diferencia central, con lo que se tiene:

),(211 nnnn yxfhyy += +

Este es el mtodo explcito del punto medio (en ingls conocido como leapfrog), un

mtodo de doble paso, puesto que la expresin para obtener 1+ny requiere 1ny e ny .

Algunas ventajas y desventajas de los mtodos de pasos mltiples con relacin a los

mtodos de un solo paso pueden citarse:

Para el mismo nmero de evaluaciones de la funcin ),( yxf se tiene un mayor orden en el error de truncacin. As por ejemplo, el mtodo explcito del punto medio

tiene un error local de ( )3hO , contra ( )2hO en el mtodo de Euler, an cuando ambos requieren una sola nueva evaluacin de la funcin ),( yxf en cada paso.

Se presentan dificultades para arrancar el proceso, no siendo suficiente conocer 0y sino adems uno o ms valores adicionales L21 yy . Estos valores deben obtenerse con un procedimiento distinto, de orden igual o mayor que el mtodo de

paso mltiple a emplearse.

Es en general difcil (aunque no imposible) cambiar el intervalo de integracin, h (lo cual, en cambio, no es ningn problema en los mtodos de paso simple). Esto

podra reducir la relativa eficiencia de los mtodos de pasos mltiples.

La inestabilidad numrica es un problema ms frecuente en los mtodos de paso mltiple que en los mtodos de paso simple. ste y otros temas relacionados se

revisan en la seccin 6.2.5.

Entre los mtodos de paso mltiple que se encuentran en la literatura estn los mtodos

explcitos de Adams Bashfort:

)( 1231211 knknnnnn ffffhyy ++ +++++= L

Y los correspondientes mtodos implcitos de Adams Moulton:

)( 123121101 +++ ++++++= knknnnnnn fffffhyy L


En estas expresiones nf denota ),( nn yxf . Los coeficientes pueden obtenerse considerando que:

dxxyxfdxx

yxyxy

hnx

nx

hnx

nxnn

++

+ == ))(,()()( 1

Y aproximando ),( yxf por un polinomio de interpolacin escrito en trminos de diferencias finitas hacia atrs:

)( 3832

125

21

1 L++++=+ nnnnnn ffffhyy (A-B)

)( 13

241

12

121

121

11 L+= +++++ nnnnnn ffffhyy (A-M)

Por otro lado, pueden escribirse expansiones en series de Taylor, obtenindose las por identificacin de coeficientes. As, para la expresin explcita con 1=k :

)( 1211 + ++= nnnn ffhyy

))()(()()( 21 hxyxyhxyhxy nnnn +++

+++ )()()( 1 nnn xyhxyhxy ( )L++ )()()( 2212 nnn xyhxyhxyh

( )32221 )()()()()()( hOxyhxyhxyhxy nnnn +++++ Comparando con:

( )3221 )()()()( hOxyhxyhxyhxy nnnn +++=+ Se tiene que: 121 =+ y 2

12 = , de donde: 2

31 = y 2

12 = , es decir:

)3(2 11 +

+= nnnn ffh

yy

Algunos resultados similares se listan a continuacin. El error de truncacin local es de

( )2+khO y el global de ( )1+khO : Mtodos de Adams Bashfort (explcitos):

k )( 1231211 knknnnnn ffffhyy ++ +++++= L

0 nnn fhyy +=+1 Euler

1 )3( 12

11 + += nnnn ffhyy

3 )9375955( 321241

1 + ++= nnnnnn ffffhyy

Mtodos de Adams Moulton (implcitos):

k )( 123121101 +++ ++++++= knknnnnnn fffffhyy L

0 11 ++ += nnn fhyy Euler inverso

1 )( 121

1 nnnn ffhyy ++= ++ Crank Nicholson (regla trapezoidal)

3 )5199( 211241

1 ++ +++= nnnnnn ffffhyy


6.2.5 Procedimientos Predictor Corrector

El error de truncacin de una frmula implcita de este tipo es siempre menor que el error

del correspondiente proceso explcito del mismo orden. Excepto en el caso trivial en que

la funcin ),( yxf es lineal, la solucin de la(s) ecuacin(es) que definen el proceso implcito requiere iterar. Con tal fin, se utiliza como primera aproximacin el resultado

obtenido con la frmula explcita (predictor). Esta aproximacin se refina utilizando

repetidamente la correspondiente frmula implcita (que en este contexto se denomina

corrector). Por ejemplo:

),()0( 1 nnnn yxfhyy +=+

),( )( 11)1(

1i

nnni

n yxfhyy ++++ +=

El superndice se refiere en este caso a la iteracin. Pueden, por supuesto, plantearse

mtodos Predictor Corrector en los que las expresiones empleadas no sean las de

Adams Bashfort Moulton. Tal es el caso del mtodo de Milne (un procedimiento

dbilmente estable, que no se recomienda): Error local

Predictor: )22( 2134

3)0(1 + ++= nnnnn fffhyy ( ))(54514 vyhO

Corrector: )4( 1)(13

11

)1(1 +

++ +++= nn

inn

in fffhyy ( ))(5901 vyhO

Supngase, por ejemplo, la ecuacin: 2xyy = con condicin inicial 2)0( 0 == yy . Se ha obtenido (con algn otro mtodo) 198980.1)1.0( 1 = yy .

Con el predictor )3( 121)0(

1 + += nnnn ffhyy se tiene:

[ ][ ] 380921.10)198980.1(3.005.0198980.1

)()(305.02

200

2111

)0(2

=+=

=++= yxyxyy

y luego con el corrector (en este caso la regla trapezoidal, tambin conocida como

mtodo de Crank Nicholson):

)( 121

1 nnnn ffhyy ++= ++ se tiene:

[ ][ ] 675923.1)198980.1(1.0)380921.1(2.005.0198980.1

)()(05.022

211

2)0(221

)1(2

=+=

=++= yxyxyy

Y en forma similar:

590923.1

590923.1

587923.1

)4(2

)3(2

)2(2

=

=

=

y

y

y

El proceso es en este caso convergente. La solucin exacta es en este caso

)1(2 2xy += , de donde 077923.1)2.0( =y

Si el intervalo de integracin, h , es demasiado grande, se observan importantes

diferencias entre la aproximacin inicial obtenida con el predictor, )0( 1+ny , y el valor corregido, )( 1

kny + . En tal caso la convergencia es lenta, e incluso podra no producirse.

Por otro lado, diferencias insignificantes implican que h es innecesariamente pequeo.


6.2.6 Consistencia, Estabilidad y Convergencia

Al emplear una ecuacin de diferencias en lugar de la ecuacin diferencial, se introducen

errores de truncacin en cada paso.

Por ejemplo, en el mtodo de Euler, la expresin:

L+++=+ )(2

)()()(2

xyh

xyhxyhxy

se remplaza por:

),(1 nnnn yxfhyy +=+

tenindose un error de orden 2h . A esto deben agregarse los errores debidos a la

aritmtica imperfecta del ordenador.

Evidentemente no es posible determinar estos errores, pero si pueden hacerse algunas

estimaciones.

Al emplear un mtodo numrico para resolver EDO, se espera que ste sea

convergente, lo que significa que al trabajar con intervalos, h , cada vez ms pequeos,

las soluciones deben aproximar cada vez ms a la solucin exacta. Para que el

procedimiento numrico sea convergente debe ser consistente y estable.

Consistencia significa que en el lmite 0h la ecuacin de diferencias que define el mtodo numrico resulta formalmente la ecuacin diferencial. Refirindose nuevamente

al mtodo de Euler, que puede escribirse:

h

yyyxf nnnn

= +1),(

se observa que:

)()()(

0n

nn

hxy

h

xyhxyLim =

+

Si en cambio se escribiera, por ejemplo, ),(21 nnnn yxfhyy +=+ no habra consistencia.

Para que el procedimiento numrico sea convergente no es suficiente que sea

consistente. Se requiere adems que sea estable. Un mtodo es estable cuando los

errores de truncacin y de redondeo, al propagarse durante el proceso, son siempre

pequeos en comparacin con la solucin exacta.

CONSISTENCIA + ESTABILIDAD CONVERGENCIA

Alternativamente, podra decirse que un mtodo es estable si, para condiciones iniciales

tpicas y siempre que los errores de truncacin y de redondeo sean pequeos, se tiene

convergencia.

Un ejemplo de inestabilidad numrica

Para una observacin inicial sobre el tema de estabilidad, considrese la ecuacin

diferencial yy = , con condicin inicial 1)0( =y , cuya solucin exacta es xey = . El mtodo de Euler podra ser apropiado en este caso. Sin embargo, supngase que se

emplea la regla explcita del punto medio:


( )nnnn yxfhyy ,211 += + con intervalo 1.0=h , es decir:

nnn yyy 2.011 = +

Para iniciar el proceso no es suficiente conocer 1)0(0 == yy . Se requiere adems 1y . Supngase que se calcula 96035418837904.01.01 ===

eey h , con 13 cifras significativas correctas. Trabajando con aritmtica de doble precisin se obtienen:

i ix ( )ixy iy ( )iii xyye =

0 0.0 1.000000 1.000000 0.000000

1 0.1 0.904837 0.904837 0.000000

2 0.2 0.818731 0.819033 0.000302

3 0.3 0.740818 0.741031 0.000213

. . .

97 9.7 0.000061 -1.199394 -1.199455

98 9.8 0.000055 1.325440 1.325385

99 9.9 0.000050 -1.464482 -1.464532

100 10 0.000045 1.618337 1.618291

La solucin exacta es exponencialmente decreciente, como se indica en lnea gruesa en

la figura siguiente. Sin embargo, el procedimiento produce los resultados que se

presentan en lnea ms delgada. Despus de aproximadamente 5=x se obtienen valores con signos alternados, con amplitud cada vez mayor (que podra llegar a rebasar

el nmero mximo que puede almacenarse). Esto es una inestabilidad numrica.

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0 2 4 6 8 10 12x

y(x)

Si se reduce h o se aumenta el nmero de cifras en los cmputos el problema puede

posponerse, pero no evitarse. A qu se debe esta inestabilidad?

Considrese la ecuacin diferencial:

yy =

para la cual el mtodo explcito del punto medio resulta:


nnn yhyy += + 211

Esta es una ecuacin de diferencias lineal de orden 2. Definiendo h= , la ecuacin caracterstica es:

rr += 212

con las races:

( ) ( )42212

12

1 11 +++=++= Or

12

1

rr =

Al comparar la primera de estas expresiones con la expansin en series:

( )43612

211 ++++= Oe

se concluye que:

( )4361

1 += Oer

nxhnnn eeer ==1

( ) ( ) nxnnnn err = 11 12 y en consecuencia:

( ) nxnnxnnn eCeCrCrCy ++= 212211 1 La solucin de la ecuacin de diferencias tiene dos modos componentes, el primero de

los cuales corresponde a la solucin correcta, mientras que el segundo no debera

existir. En teora se debera tener 11 =C y 02 =C , de modo que nx

n ey , pero no es

as, ni siquiera al iniciarse el proceso. Efectivamente, para el caso 1.0== h , los valores iniciales hacen que:

1210 =+= CCy 1.0

22111=+= erCrCy

de donde, trabajando en doble precisin:

( ) ( ) 51211.02 10947469.7 = rrreC y suponiendo que las operaciones siguientes se efectuaran con una aritmtica

infinitamente precisa:

( ) 365645.110947469.7 1.0100510022 = erC

Ntese que este resultado es similar al error observado para 10=x . Por otro lado, an cuando inicialmente se tuviera 02 =C , los errores numricos introduciran la componente extraa. El factor ( )n1 explica la alternancia de signos del error. El procedimiento no funciona para negativo, porque en ese caso el modo extrao ( ) xn eC 21 tiende a crecer, mientras que la solucin xeC 1 es decreciente. Sin embargo, si sirve para el caso (poco prctico) en que es positivo y la solucin es exponencialmente creciente.

Regin de estabilidad absoluta


Puede obtenerse valiosa informacin con relacin al comportamiento de un mtodo

numrico de solucin de EDO al observarse cmo funciona con una ecuacin de la

forma yy = , donde es una variable compleja, con condicin inicial 1)0( =y . Con referencia a esta ecuacin, se define la regin de estabilidad absoluta de un mtodo

numrico como el lugar geomtrico de los h para los que la solucin es finita cuando n . Esto es equivalente a decir que las races de la ecuacin caracterstica

satisfacen 1ir .

Para 0h se requiere que una de las races sea igual a 1 (esto es un requisito para que el mtodo sea consistente). Sin embargo, si dos o ms races tienen mdulo igual a

1 el mtodo es dbilmente estable y con frecuencia tiene problemas numricos. Este es

el caso del mtodo explcito del punto medio, del que se trat en el acpite anterior.

Considrese, por ejemplo, el mtodo de Euler:

( )nnnn yxfhyy ,1 +=+ que aplicado a la ecuacin yy = resulta:

( ) nnnn yhyhyy +=+=+ 11 La solucin de esta ecuacin de diferencias es de la forma nn ry = . Al sustituir esta solucin en la ecuacin de diferencias se obtiene la ecuacin caracterstica:

hr +=1

La regin de estabilidad absoluta queda definida por: 11 + h . Esta es el rea dentro de una circunferencia de radio 1 y con centro en (-1,0):

Regin de estabilidad absoluta - Euler

-2

-1

0

1

2

-3 -2 -1 0 1 2

Re h

Im h

Puede concluirse que el mtodo de Euler es apropiado para integrar ecuaciones cuya

solucin es exponencialmente decreciente ( 0


La regin de estabilidad absoluta, en la que 1r , es en este caso la regin externa al crculo de radio 1 y con centro en (1,0).

Regin de estabilidad absolutaEuler Inverso

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2 3

Re h

Im h

El mtodo de Euler inverso sera apropiado para el caso en que la solucin es

oscilatoria, amortiguada o no. No debera emplearse para integrar ecuaciones cuya

solucin es exponencialmente creciente, ya que por consideraciones de estabilidad

requerira un paso grande, lo que estara en conflicto con los objetivos de precisin.

Todos los procesos de Runge Kutta del mismo orden tienen la misma regin de

estabilidad absoluta. Por ejemplo, considrese un proceso de segundo orden, mtodo

de Heun, tambin llamado Euler modificado:

( )( ) ( )[ ]yxfyxfhyyyxfhyy

nnnnn

nnn

,,2

,

11 ++ ++=

+=

que aplicado a la ecuacin yy = resulta:

( )( )[ ] ( )[ ] nnnnnn

nnn

yhhyhyyh

yy

yhyhyy

221

1 12

1

++=+++=

+=+=

+

y por lo tanto : ( )2211 hhr ++= . La condicin 1r es satisfecha por todos los puntos dentro del elipsoide que se muestra en la figura siguiente:

Regin de estabilidad absolutaRunge Kutta - Segundo Orden

-2

-1

0

1

2

-3 -2 -1 0 1

Re h

Im h


Otros mtodos de Runge Kutta de segundo orden, como el mtodo del punto medio o el

mtodo de Ralston, tienen exactamente la misma ecuacin caracterstica y por lo tanto la

misma regin de estabilidad absoluta.

Para el clsico mtodo de Runge Kutta:

( )( )( )( )

( )432161134

221

21

3

121

21

2

1

22

,

,

,

,

kkkkyy

kyhxfhk

kyhxfhk

kyhxfhk

yxfhk

nn

nn

nn

nn

nn

++++=++=

++=

++==

+

se obtienen en este caso:

( )( )( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) nn

n

n

n

n

yhhhhy

yhhhhk

yhhhk

yhhk

yhk

42413

612

21

1

3412

21

4

241

21

3

21

2

1

1

1

1

1

++++=

+++=

++=

+==

+

Y resulta:

( ) ( ) ( )42413612211 hhhhr ++++=

La expresin es la misma para cualquier otro mtodo de Runge Kutta de cuarto orden

(global): La regin de estabilidad absoluta es aquella dentro del lmite indicado en la

figura siguiente:

Regin de estabilidad absolutaRunge - Kutta 4o Orden

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-3 -2 -1 0 1

Re (h)

Im (h)

Las mismas ideas pueden tambin aplicarse a mtodos de pasos mltiples. Por

ejemplo, para la regla explcita del punto medio, a la que se hizo referencia al inicio de

esta seccin:

( ) nnnnnn yhyyxfhyy +=+= + 2,2 111 se obtienen las races de la ecuacin caracterstica:


( )( )2121 hhr += y para tener 1ir se requiere que h sea imaginaria pura, en el rango entre i y

i+ . Debe observarse que este mtodo es dbilmente estable, porque para 0h se tiene 121 == rr .

Un mejor mtodo de pasos mltiples es la regla trapezoidal o mtodo de Crank

Nicholson:

( ) ( )[ ]11211 ,, +++ ++= nnnnnn yxfyxfhyy que para el caso yy = resulta:

( )1211 ++ ++= nnnn yyhyy

de donde:

( ) ( )hrh += 2121 11

y por lo tanto se requiere que: 11

1

21

21

+

=h

hr

, es decir ( ) 0Re h .

6.3. Mtodos para EDO de Segundo Orden

Las ecuaciones diferenciales de segundo orden siempre pueden rescribirse como un

sistema de ecuaciones de primer orden. Sin embargo, es ms eficiente emplear

mtodos ms especficos, como los que se describen a continuacin.

6.3.1 Runge Kutta

Para resolver EDO de la forma ),,( yyxfy = , con condiciones iniciales 0)( yay = e

0)( yay = se encuentran en la literatura modificaciones de los mtodos de Runge Kutta como, por ejemplo, el proceso de cuarto orden (global):

( )( )( )( )

( )( )[ ]321611

432161

1

3321

4

221

181

21

21

3

121

181

21

21

2

1

22

,,

,,

,,

,,

kkkyhyy

kkkkyy

kykhyhyhxfhk

kykhyhyhxfhk

kykhyhyhxfhk

yyxfhk

nnn

nn

nnn

nnn

nnn

nnn

++++=

++++=++++=

++++=

++++=

=

+

+

6.3.2 Mtodo de Diferencia Central

Este procedimiento se basa en sustituir las derivadas por sus aproximaciones con

diferencias centrales. As al resolver:

( )tfkuum =+&&

se puede aproximar la segunda derivada con: 2

11

)(

2

t

uuuu nnnn

+= +&&

de donde resulta: ))(()(

22

11 nnnn uktfm

tuuu += + .

Este mtodo puede tambin escribirse en la forma sumada:


( ) nnn kutfum =&&

tuuu nnn += + &&&&21

21

tuuunnn

+=++

211

&

cuya interpretacin fsica es simple.

Cuando la ecuacin es de la forma: ( )tfkuucum =++ &&& conviene aproximar la primera derivada mediante:

t

uuu nnn

= +

211&

Y no con una diferencia hacia atrs, que a primera vista podra parecer una mejor

eleccin. Esta consideracin se relaciona con el tema de estabilidad, que se trata ms

adelante. Con la aproximacin antes mencionada se obtiene:

( ) 12212 2)()(2

2)(+

=

+

nnnnu

t

c

t

mu

t

mktfu

t

c

t

m

6.3.3 Mtodo de Newmark

La familia de mtodos de Newmark se basa en aproximaciones de la forma:

( )[ ]11 1 ++ ++= nnnn uutuu &&&&&&

( ) ( )[ ]12121 ++ +++= nnnnn uututuu &&&&&

El caso con 21= y 61= corresponde a suponer que u&& (la aceleracin) vara linealmente en el intervalo. Aparentemente esa eleccin sera mejor que 21= y 41= (lo que fsicamente se interpretara como suponer una aceleracin constante promedio).

Sin embargo, esta ltima eleccin es ms apropiada, tambin por consideraciones de

estabilidad, a las que se hace referencia ms adelante.

Al remplazar las aproximaciones en:

( )1111 ++++ =++ nnnn tfukucum &&&

se obtiene:

11

++ = nn fuk

donde:

camakk 10 ++=

) 54132011 nnnnnnnn uauau(ac)uauau(amff &&&&&& ++++++= ++

y los coeficientes 70 aa L son:

20 )(

1

ta

=

ta

=

1 ta

=

1

2

12

13 =

a 14 =

a

= 225

ta

( )= 16 ta ta = 7

Finalmente se pueden determinar los nuevos valores de u& y u&& mediante:

1761

32101

++

++

++=

=

nnnn

nnnnn

uauauu

uaua)u(uau

&&&&&&

&&&&&


6.3.4 Estabilidad y Precisin

Todos los mtodos para resolver EDO de segundo orden pueden ser escritos en la

forma:

nnn fbuAu +=+1 donde nu representa ahora el conjunto de resultados que describen la respuesta en el paso n . Por ejemplo, para el mtodo de diferencia central:

n

n

n

n

n

ft

t

u

ut

t

t

t

u

u

+

+

+

+

=

+

0

1

)(

01

1

1

1

)(2 2

1

2

1

Los errores se comportan en forma anloga, pudiendo demostrarse que:

nn A=+1

y por lo tanto, para que los errores se reduzcan (es decir, para que el mtodo sea estable) se requiere que:

1mx)( = i A

En esta expresin )(A es el radio espectral y los i son los valores caractersticos de A . Para el caso en que 0= y se utiliza el mtodo de diferencia central, la condicin

1)( A se cumple cuando:

T

t = 2

Se dice entonces que el mtodo de diferencia central es condicionalmente estable. Si

t excede el lmite antes indicado se produce una inestabilidad numrica. El lmite corresponde a algo ms que tres puntos por perodo, lo que sin embargo resulta

insuficiente para tener buena precisin. Con 10/Tt = se introducen errores del orden de 3% en cada paso, mientras que con 20/Tt = los errores son del orden de 1%.

Para la familia de mtodos de Newmark pueden tambin obtenerse las condiciones de

estabilidad:

2)5.0(25.0

50.0

+

Con una apropiada seleccin de los parmetros (lo habitual es 21= y 61= ) se tiene un procedimiento incondicionalmente estable, es decir estable para cualquier seleccin

de t . Nuevamente, el intervalo de integracin est limitado por la precisin.

Dos procesos a los que tambin se hace referencia en la literatura son los mtodos de

Houbolt y de Wilson. Ambos mtodos son tambin (para una seleccin apropiada de sus

parmetros) incondicionalmente estables, pero acumulan mucho ms errores que el de

Newmark de aceleracin constante y por tanto no son tan convenientes.

6.4. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

6.4.1 Integracin Directa

Cuando las EDO son no lineales, y en consecuencia no es factible la descomposicin

modal a la que se hace referencia en la seccin siguiente, cabe la posibilidad de integrar

directamente las ecuaciones en su forma original. Las expresiones son prcticamente


las mismas usadas para el caso de una sola ecuacin diferencial, excepto que todas las

operaciones son realizadas con matrices. As, por ejemplo, para resolver el sistema de

EDO de primer orden:

),( yfy x=

Podra emplearse el mtodo de Runge Kutta de cuarto orden:

( )( )( )( )

( )432161134

221

21

3

121

21

2

1

22

,

,

,

,

kkkkyy

kyfk

kyfk

kyfk

yfk

++++=++=

++=

++==

+ h

hhx

hhx

hhx

x

nn

nn

nn

nn

nn

(como es habitual, las minsculas en letras negritas denotan matrices columna).

Anlogamente, para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden:

( )tfuKuM =+&& podra emplearse el mtodo de diferencia central:

( ) nnn t uKfuM =&& tnnn += + uuu &&&&

21

21

tnnn

+=++

211 uuu &

El mtodo de diferencia central es particularmente eficiente para el caso de EDO no

lineales si la matriz M es diagonal (una aproximacin frecuente en ingeniera). Puede

anotarse que en el caso de ecuaciones no lineales no requiere obtenerse K

explcitamente, sino ms bien el producto uK (lo que puede ser notoriamente ms fcil).

Otra posibilidad para resolver ecuaciones de la forma 1111 ++++ =++ nnnn fuKuCuM &&& sera el mtodo de Newmark, en el que 1+nu se obtiene de:

11

++ = nn fuK

ULCMKK =++= 10 aa

) 54132011 nnnnnnnn aa(a)aa(a uuuCuuuMff &&&&&& ++++++= ++

y luego:

tttttt

ttttttt

aa

aaa

++

++

++=

=

uuuu

uuuuu

&&&&&&

&&&&&

76

320 )(

Los coeficientes 70 aa L son los mismos de la seccin 6.3.3.

Al resolver EDO no lineales el mtodo de Newmark, en la forma antes descrita, requerira

una nueva factorizacin ULK = en cada paso. El proceso podra mejorarse descomponiendo K en dos partes y pasando los trminos no lineales al segundo

miembro, como parte de 1

+nf .

6.4.2 Descomposicin Modal

Cuando el sistema de ecuaciones diferenciales es lineal, y particularmente si las

matrices que definen el sistema de ecuaciones diferenciales son simtricas, el

procedimiento ms eficiente se basa en la descomposicin modal. Para mostrar en que


consiste la descomposicin modal, supngase que se tiene el sistema de ecuaciones

diferenciales:

)(tfAxxB =+&

Las matrices A y B son simtricas (y muy frecuentemente definidas positivas). La descomposicin modal emplea los vectores caractersticos

obtenidos de:

iii BA =

Estos vectores constituyen una base completa, y por lo tanto la solucin )(tx puede siempre expresarse como una combinacin lineal de los referidos vectores:

= jjat )(x

Ntese que, siendo las matrices A y B constantes, los vectores caractersticos

no son funcin de tiempo. Sin embargo, las componentes no pueden en general ser

constantes, puesto que la solucin no los es. Por lo tanto:

= jj tat )()( &&x

Al sustituir las expresiones anteriores en el sistema de ecuaciones diferenciales se tiene:

)(taa jjjj fAB =+ &

Conviene ahora recordar las condiciones de ortogonalidad:

rsrs = B*

rsrrs = A*

Para simplificar la presentacin, se ha supuesto que los vectores caractersticos estn

normalizados respecto a la matriz B .

Al pre multiplicar las ecuaciones por

:

)(taa j

jj

j fAB =+ &

Se observa que la mayor parte de los productos que se tienen en cada suma son cero.

Slo son distintos de cero aquellos en los que los dos ndices i,j son iguales. En

consecuencia se obtienen ecuaciones desacopladas, independientes para cada

componente )(ta j :

)(taa iii f=+&

Por otro lado, si las condiciones iniciales son 0)0( xx = , entonces:

== jja )0()0(0 xx

y por lo tanto, al premultiplicar por B

:

0)0( xB

ia =

Resolver n de estas ecuaciones desacopladas es mucho ms fcil que resolver un solo

sistema de ecuaciones diferenciales de orden n (puede aqu hacerse un paralelismo con

el caso de ecuaciones algebraicas). Adems, en muchas situaciones prcticas se

observa que las componentes )(ta asociadas a los mayores valores caractersticos son


poco importantes, y pueden despreciarse. Por ello, se justifica plenamente el trabajo de

determinar previamente los valores caractersticos.

Las ecuaciones desacopladas puede resolverse con algunos de los procedimientos

numricos tratados en la seccin 6.2. Por ejemplo, si los valores caractersticos fueran

negativos podra emplearse el mtodo de Euler. En el caso en que las funciones )(tf son simples podra tambin pensarse en una solucin analtica. Obtenidas cada una de

las componentes como funcin de tiempo, puede regresarse a la expresin:

= jjat )(x para hallar la solucin )(tx .

Un caso frecuente es aquel en el que )()( 0 tgt ff = y la funcin )(tg est definida por una coleccin de valores numricos correspondientes a valores t uniformemente espaciados. En un intervalo cualquiera puede hacerse la aproximacin: btatg +=)( , de donde, para cada una de las ecuaciones desacopladas se tiene:

)(0 btaaa

iii +=+ f& Cuya solucin puede obtenerse fcilmente (sumando la solucin homognea teC y la particular, de la forma BtA + ):

Conociendo ia al inicio del intervalo, puede obtenerse la constante C y calcularse entonces el valor de ia al finalizar el intervalo. El proceso se repite anlogamente para los sucesivos intervalos.

Cabe anotar que este procedimiento es incondicionalmente estable. En realidad, sera

exacto si la funcin fuera efectivamente lineal por intervalos. La aproximacin est en

haber descrito la funcin )(tg con un nmero finito de valores numricos, a partir de los cuales se est interpolando linealmente.

Las mismas ideas pueden aplicarse a sistemas lineales de ecuaciones diferenciales de

segundo orden: fuKuCuM =++ &&& . En este caso podran primero determinarse los valores y vectores caractersticos del problema: MK 2= . Aqu se ha supuesto que K y M son no slo simtricas, sino tambin definidas positivas, por lo que los 2= son positivos.

Nuevamente, la solucin puede escribirse como una combinacin lineal de los vectores

caractersticos (que en lo que sigue se han supuesto normalizados respecto a M ):

= jj tat )()(u Los vectores caractersticos satisfacen las condiciones de ortogonalidad:

rsrs = M*

rsrrs =2* K

Pero, salvo en algunos casos particulares, no podra afirmarse algo similar con la matriz

C . Sin embargo, hay aplicaciones en que la inclusin del trmino uC & es slo un artificio para introducir disipacin en las ecuaciones lineales, que realmente podra

haberse considerado con una K variable, dependiente de u . En este contexto, podra introducirse directamente la disipacin en las ecuaciones desacopladas, no siendo

necesario determinar la matriz C :


)(2 2 taaa iiiii f=++ &&&

Estas ecuaciones pueden tambin ser resueltas numricamente, por procedimientos

tales como el mtodo de diferencia central o el mtodo de Newmark de aceleracin

constante.

En el caso frecuente en el que )()( 0 tgt ff = , estando )(tg definida por una coleccin de valores numricos a intervalos constantes, puede seguirse un procedimiento similar al

descrito antes para ecuaciones diferenciales de primer orden.

6.4.3 Consideraciones Adicionales

En el acpite 6.3.4 se mencion que al resolver una ecuacin diferencial de segundo

orden el intervalo est controlado por precisin y no por estabilidad. La situacin es

diferente cuando se resuelven grandes sistemas de EDO. Los comentarios siguientes

parecieran referirse a sistemas de EDO lineales, pero realmente son tambin aplicables

a ecuaciones no lineales, que pueden ser linearizadas localmente.

Al integrar directamente un sistema de EDO se estn haciendo operaciones equivalentes

a integrar las ecuaciones desacopladas; simplemente el sistema de referencia es

distinto. El procedimiento ser estable cuando el intervalo de integracin cumpla las

condiciones de estabilidad con todos y cada uno de los modos componentes. Por lo

tanto, para un mtodo como el de la diferencia central:

=

mn

mx

Tt

2

Cuando se tiene un comportamiento no lineal los perodos T tienden a crecer (y los tienden a reducirse), por lo que la estimacin del t sobre la base de las condiciones iniciales es en general suficiente.

Por otro lado:

mx L21

y habitualmente al cumplir la condicin de estabilidad se tendrn cientos y tal vez miles

de puntos por perodo para los modos asociados a las menores frecuencias, que son los

importantes en la respuesta. En resumen, al resolver grandes sistemas de EDO con un

procedimiento condicionalmente estable, satisfacer la condicin de estabilidad implica

que se tiene tambin precisin.

En cambio, al emplear un mtodo incondicionalmente estable es la precisin la que

siempre controla el intervalo de integracin. ste debe escogerse de modo que se

integren con suficiente precisin todos aquellos modos cuya participacin en la

respuesta es significativa.

Considere el sistema de ecuaciones diferenciales 0Auu =+&& en la que la matriz A es:

=

5.2005.199

5.1995.200A

Los valores caractersticos de la matriz A son 1211 == y 400222 == .

Supngase que las condiciones iniciales son:


=

99.0

01.1)0(u

=0

0)0(u&

En este caso es fcil obtener la solucin exacta:

ttu 20cos1

101.0cos

1

1

+

=

El primer modo, con 11 = y 21 =T es el importante en la solucin. La contribucin del segundo modo, con 202 = y 10/2 =T es comparativamente pequea.

Supngase ahora que se usa el proceso de diferencia central:

21

21

21

1 ++

+

+=

+==

nnn

nnn

nn

t

t

uuu

uuu

Auu

&

&&&&

&&

con condiciones iniciales

=

99.0

01.10u y

=+=0

0)0( 02

12

1 uuu &&&& t

Para integrar apropiadamente el primer modo sera suficiente considerar un t del orden de 3.020/1 T . Sin embargo, es el segundo modo, poco importante en la respuesta, el que en este caso controla la estabilidad. Se requiere reducir el intervalo,

de modo que: 1.0//2 22 ==>1 ,

como ocurre tpicamente al resolver grandes sistemas de ecuaciones diferenciales.

-1000

-500

0

500

1000

0 2 4 6 8 10

t

u

Resultados obtenidos con 1001.0=t

-2

-1

-1

0

1

1

2

0 2 4 6 8 10

t

u

Resultados obtenidos con 09.0=t

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6 Diferencias Finitas Para Resolver Edo