1

6 Električni krugovi stalnih jednosmjernih struja

U ovom poglavlju će se analizirati električni krugovi stalnih jednosmjernih struja. Pod

pojmom električni krug, podrazumjeva se skupina tijela i sredina, koja predstavlja

zatvoren put za električnu struju.

Prostor unutar kojeg se pomjera električni naboj, često se formalno označava terminom

strujno polje. Kretanja elektrona i jona u strujnom polju, u osnovi su vrlo složena, jer se

isti neprestano sudaraju sa elementarnim česticama materije, koje im stoje na putu, tokom

pomenutog kretanja. Prisutni su i međusobni sudari električnih naboja , naročito u

uslovima kada odsustvuje djelovanje stranog električnog polja, jer je tada nivo

haotičnosti, u kretanju električnih naboja vidno izraženiji. Stoga se pristupa promatranju

usrednjenog kretanja električnih naboja, koji se nađu u elementarnom dijelu fizičkog

volumena ∆V, tokom elementarnog vremenskog intervala ∆t i to tako da se uvede srednja

makroskopska brzina pomjeranja električnih naboja, za svaku vrstu električnih naboja

ponaosob (u slučaju da su električni naboji predstavljeni samo pozitivnim i negativnim

jonima, tada se uvode srednje brzine v+ i v- , koje su kontinualne funkcije koordinata i

vremena u opštem slučaju). Ukoliko se za sve tačke promatranog prostora, u svakom

vremenskom trenutku, može konstatovati da je srednja makroskopska brzina kretanja

električnih naboja nepromjenljiva, tada se takvo strujno polje naziva stacionarnim

strujnim poljem

U teoretskoj elektrotehnici, najčešće se ravnopravno tretiraju sve tri vrste električnih

struja, dakle kondukcione električne struje ili struje provodnosti, zatim struje

dielektričnog pomjeraja, kao i konvekcione električne struje.

Pošto aktuelna tehnička praksa, u prvi plan postavlja struje provodnosti, drugim dvjema

vrstama električnih struja, preostaje uglavnom akademski značaj.

Ukoliko je električna struja, odnosno usmjereno pomjeranje električnog naboja u

provodnim tijelima, organizovano pod dejstvom električnog polja, onda se govori o

kondukcionim električnim strujama.

Kretanje električnih naboja uzrokovano mehaničkim silama, dovodi do pojave

konvekcionih struja. Dakle konvekcione električne struje su struje, koje se uspostavljaju

prenošenjem električnih naboja putem elementarnih naelektrisanih čestica ili tijela, koja

su u kretanju. Za razliku od kondukcionih električnih struja, kod kojih je gustina

električne struje proporcionalana jačini električnog polja E, kod konvekcionih električnih

struja, koje se po pravilu uspostavljaju u vakumu ili pak u gasovima, tokom slobodnog

kretanja električnih naboja pod uticajem stranog električnog polja E, ne postoji direktna

proporcionalnost između brzine kretanja električnih naboja i vektora stranog

elektrostatskog polja (kretanje električnih naboja je jednoliko ubrzano, pošto ne postoji

otpor sredine, stoga je u ovom slučaju prisutna proporcionalnost između vektora ubrzanja

električnog naboja i vektora jačine električnog polja).

U vakumu, pod pretpostavkom da je zapreminska gustina električnih naboja ρ , pri čemu

se ti isti električni naboji kreću brzinom v , moguće je pokazati da postoji veza između

gustine konvekcione struje Jkonv i te brzine v, definisana relacijom :

Jkonv = ρ· v (6.1)

2

Tokom analize dielektrika, konstatovano je da se pod pojmom idealnog dielektrika

podrazumjeva dielektrik u čijoj strukturi ne postoje nikakvi slobodni električni naboji,

koji bi mogli izazvati kondukcione, ili konvekcione električne struje. Ova konstatacija

odmah omogućava i posve validan zaključak da je specifična provodnost takve

dielektrične sredine jednaka nuli.

Fizičko stanje prostora u dielektriku, u uslovima djelovanja stranog električnog polja, kao

što je već poznato, opisana je vektorom dielektričnog pomjeraja.

Nije teško zaključiti da svaka promjena vektora električnog polja, dovodi i do promjene

vektora električnog pomjeraja, koja se fizikalno manifestuje tako, što kroz neku

elementarnu vektorsku površ ds = n o · ds , tada očigledno naknadno protiče, odnosno

prostorno se pomjera, izvjesna količina električnog naboja dq. To nadalje znači, da kroz

tu površinu ds , tada protiče i električna struja. Ta struja se naziva strujom dielektričnog

pomjeraja. Za razliku od struja provodnosti, koje mogu egzistirati proizvoljno dugo i pri

konstantnom električnom polju, struje dielektričnog pomjeraja mogu postojati samo

tokom intervala promjene električnog polja, u funkciji vremena.

Nije teško pokazati da se, vektor gustine struje dielektričnog pomjeraja Jpom , može

dovesti u vezu sa vektorom dielektričnog pomjeraja D , na način iskazan relacijom (6.2),

d D

Jpom = ——— (6.2)

d t

Posljednja relacija očigledno naglašava da, ako se vektor dielektričnog pomjeraja u

okolini analizirane tačke mijenja ne samo po intenzitetu, nego i po pravcu i po smjeru,

tada vektor gustine struje dielektričnog pomjeraja, više nije orijentisan kao i vektor

dielektričnog pomjeraja D, jer on usklađuje vlastitu orijentaciju, sa orijentacijom, kojoj

teži priraštaj vektora dielektričnog pomjeraja ∆ D, kada ∆ t → 0.

Za kvantitativno opisivanje električne struje, uobičajno se koristi termin jačina električne

struje. U tom smislu, jačina električne struje (i) koja prolazi kroz neku površinu ds,

određena je količnikom elementarne količine električnog naboja dq, koja protekne kroz tu

površinu, tokom elementarnog intervala vremena dt i veličine tog elementarnog intervala

vremena dt.

∆ q dq

i = lim —— = —— (6.3)

∆t→0 ∆ t dt

Saglasno gornjoj definiciji, električna struja je skalarna veličina. Mada su skalarne

veličine potpuno određene ukoliko se poznaje samo vrijednost tog skalara, u slučaju

električne struje, zbog efikasnijih proračuna električnih krugova, važno je poznavati i

kakav je smjer električne struje, odnosno smjer pomjeranja električnog naboja, u odnosu

na odabranu referentnu veličinu.

U tom smislu se definiše vektor gustine električne struje J , kao vektor čiji je intenzitet

određen količnikom elementarne jačine struje di , što prolazi kroz elementarnu površinu

ds, koja stoji normalno na pravac toka te struje, a pravac i smjer vektora J je podudaran

sa kretanjem pozitivnog električnog naboja u proizvoljno maloj okolini tačke, za koju se

upravo i određuje vektor gustine električne struje J.

3

U opštem slučaju, vektor gustine električne struje J, zaklapa sa jediničnim vektorom

pozitivne normale na površ ds, vektorom no , neki ugao α, te se veličine obuhvaćene

prethodnom definicijom vektora gustine električne struje J, mogu povezati i pomoću

relacije (6.4)

d i = J · d s = J · no ds = J· cos α · ds (6.4)

Jačina struje ( i ), koja protiče kroz neku konačnu površinu s , uz pomoć relacije (6.4),

može se odrediti pomoću odnosa definisanih sa (6.5 )

i = ∫s

J ds (6.5)

pri čemu, samo pod uslovom da je gustina električne struje, u svim tačkama površi s iste

vrijednosti, kao i da je položaj tog vektora u odnosu na jedinični vektor pozitivne

normale na površ s, nepromjenjen, u svim tačkama te površi s, relacija (6.5) se može

prevesti i u oblik (6.6):

i = J · cos α · s (6.6)

Kada je vektor gustine struje J normalan na površ s, odnosno kada on sa jediničnim

vektorom pozitivne normale na površ s, zaklapa ugao α = 0, tada važi još jednostavniji

odnos između ovih veličina, jer je tada električna struja određena relacijom:

i = J·s (6.7)

Posljednja relacija se može vrlo efikasno koristiti u slučajevima linijskih provodnika, čija

je dužina mnogo veća od njihovog poprečnog presjeka, i to samo onda kada kroz njih

teče električna struja, koja se ne mjenja sa vremenom.

Električna struja, koja se po svom intenzitetu i smjeru ne mijenja tokom vremena, naziva

se stalnom jednosmjernom strujom. Ovu struju treba razlikovati od pojma jednosmjerne

struje, koja ima samo stalan smjer tokom svih vremenskih intervala, ali joj se intenzitet

mijenja tokom vremena (ovakve struje se dobijaju često iz ispravljačkih sklopova, kod

kojih proces filtriranja električne struje nije dovoljno kvalitetno proveden)

U razmatranjima koja predstoje, analizirati će se po pravilu stalne jednosmjerne struje.

Jedinica mjere, za intenzitet električne struje, je amper (A) (Andre Marie Amperè, 1775-

1836, francuski fizičar)

1(C)

1 (A) = —— (6.8)

1 (s)

Tokom posmatranja provodnog tijela proizvoljnog oblika, kroz koje je uspostavljen tok

stalne jednosmjerne struje, može se uočiti da postoje zatvorene linije (linije koje nemaju

ni svoj početak ni svoj kraj), kod kojih je u svakoj njihovoj tačci vektor gustine električne

struje podudaran sa tangentom na tu liniju u toj tačci. Takve linije se nazivaju strujnim

4

linijama, dok dio prostora ograničen strujnim linijama, unutar kojeg je ista jačina

električne struje, nosi naziv strujna tuba.

Očigledno funkcija, pomoću koje se strujne linije opisuju u prostoru, odlikuje se i

matematičkom osobinom neprekidnosti

6.1 Veza između vektora gustine električne struje i vektora jačine električnog polja,

Ohmov zakon u integralnom i diferencijalnom obliku

Na osnovu prethodno uvedenih pojmova može se zaključiti da su intenzitet električne

struje i gustina električne struje makroskopske veličine, kojim se kvantitativno izražavaju

odnosi uspostavljeni u strujnom polju.

Ukoliko se formira relacija, koja povezuje vektor gustine električne struje J sa

zapreminskom gustinom pokretljivih električnih naboja N* i njima pridruženom

makroskopskom srednjom brzinom njihovog pomjeranja vs , a potom i relacija koja

povezuje tu istu brzinu sa vektorom jačine električnog polja E, moguće je doći i do

relacije, koja povezuje vektor jačine električnog polja E i vektor gustine električne struje

J . U elektrotehnici je ta relacija poznata kao Ohmov zakon u vektorskom obliku, ili pak

kao Ohmov zakon u diferencijalnom obliku (Georg Simon Ohm,1789-1854, njemački

fizičar).

Neka je sa N* označena zapreminska gustina pokretljivih električnih naboja, sa e njihov

pojedinačni električni naboj, a sa vs makroskopska srednja brzina njihovog pomjeranja.

Tokom vremenskog intervala dt , kroz elementarnu površ ds, koja je upravna na pravac

kretanja tih električnih naboja , prođu svi oni električni naboji, koji se zateknu u

zapremini (v · dt · ds), dakle ( N*· v · dt · ds ). Množenjem tog broja, sa iznosom

naelektrisanja pojedinačnog električnog naboja e, dobija se ukupna količina električnog

naboja dq, koja u opisanim uslovima, tokom vremenskog intervala dt, prođe kroz

elementarnu površ ds.

dq = ( N*· vs · dt · ds )· e (6.9)

Uzimajući u obzir činjenicu da količnik (dq / dt ) određuje jačinu struje di, koja protekne

tokom vremenskog intervala dt, kroz elementarnu površ ds, na osnovu relacije (6.9) se

dobija da je vektor gustine te električne struje J , moguće izraziti i u formi predočenoj sa

(6.10).

dq

—— = ( N*· vs · ds ) · e = J·ds ; J =( N* · vs ) · e (6.10)

d t

Ukoliko u procesu pomjeranja električnih naboja učestvuje više vrsta električnog naboja

(pozitivni i negativni joni, te elektroni) svaki od njih sa različitim zapreminskim

gustinama pokretljivih električnih naboja, ali i sa različitim makroskopskim srednjim

brzinama njihovog pomjeranja, tada je vektor gustine električne struje, definisan

relacijom.

J = ( N1* · v 1s ) · e1 + ( N2* · v 2s ) · e2 + ···· (6.11)

5

Metalne provodnike odlikuje relativno slabo protivljenje, organizovanju, usmjerenog

pomjeranja električnih naboja. Metali imaju kristalnu strukturu, pri čemu su elektroni

pozicionirani na spoljnjim ljuskama, vrlo labavo vezani za matične atome, te se relativno

slobodno kreću unutar ostataka kristalne rešetke, koju formiraju ostaci atoma, dakle joni.

U odsustvu djelovanja stranog električnog polja, pomjeranje električnih naboja je

haotično i dominantno određeno temperaturom materijala, koji se analizira (uslijed

toplotne energije, koja zavisi od nivoa apsolutne temperature, kristalna rešetka metala

osciluje. Razmjena energije između rešetke i slobodnih elektrona, vrši se putem fonona,

kvanta toplotne energije, koji su uvedeni po analogiji sa fotonima-kvantima svjetlosne

energije. Pratioc ove izmjene energije jeste termičko kretanje elektrona). Termičko

kretanje elektrona, stoga ne rezultira pomjeranjem elektrona duž provodnika, zbog čega

je unutar elementarne zapremine metala, sveukupno pomjeranje električnih naboja

jednako nuli.

Kada se struktura provodnika izloži djelovanju stranog električnog polja, haotičnom

termičkom kretanju električnih naboja, superponira se uređeno pomjeranje električnih

naboja, uzrokovano djelovanjem tog polja. Ako su ti električni naboji elektroni, strano

električno polje djeluje na njih električnom silom, usljed čijeg dejstvom se ti elektroni

pomjeraju u smjeru suprotnom od smjera djelovanja električnog polja. Kretanje elektrona

u ovakvim uslovima je rezultantno kretanje nastalo slaganjem kretanja usljed djelovanja

stranog električnog polja i termičkog kretanja. Bez obzira što je termičko kretanje mnogo

izražajnije, ipak dolazi i do korekcija u kretanju električnih naboja u odnosu na situaciju

kada nema djelovanja stranog električnog polja. Makroskopski gledano registruju se

pomjeranja električnih naboja u pravcu djelovanja stranog električnog polja, konstantnom

srednjom brzinom. Da bi se sagledao niz uzročno posljedičnih veza u ovom procesu, koji

omogućava da se uspostavi relacija (6.12 )

vs = η· E (6.12)

povoljno je posmatrati kretanje elektrona između dva uzastopna sudara sa kristalnom

rešetkom, ili nekom drugom preprekom, postavljajući u prvi plan analize, efekte

djelovanja stranog električnog polja. Označi li se sa λ srednja dužina slobodnog puta

elektrona, između dva uzastopna sudara, a sa τ vremenski interval koji određuje

vremenski razmak između ta dva uzastopna sudara, uz uzimanje u obzir i da je brzina

termičkih kretanja vt >> vs , pri čemu je sa vs označena srednje brzine usmjerenog

pomjeranja električnih naboja, proizilazi da je u takvim uslovima: (τ · vt = λ ) .

Ubrzanje elektrona između dva uzastopna sudara, određeno je prema relaciji: F = - e ·E ,

odakle slijedi da je : (me · a = e· E ). Maksimalna brzina vm , koju nakon vremena τ

dostiže elektron, zbog njegovog jednoliko ubrzanog kretanja, određena je relacijom:

F e· E

v m = a · τ = —— · τ = —— · τ (6.13)

me me

S obzirom da pri svakom sudaru sa kristalnom rešetkom, ili pak nekom drugom

preprekom, elektroni predaju stečenu kinetičku energiju toj prepreci (ona se degradira u

6

toplotu), srednja početna brzina elektrona neposredno nakon sudara je jednaka nuli, što

opet daje za pravo da se makroskopska srednja brzina pomjeranja elektrona vs , poveže sa

maksimalnom brzinom pomjeranja elektrona, neposredno prije novog sudara vm , putem

relacije: (vs = vm / 2 ). Uzimajući to u obzir, relacija (6.13) , sada se može pisati i u formi

iskazanoj sa (6.14):

e·τ

vs = —— · E = η· E (6.14)

2·me

Koeficijent proporcionalnosti η naziva se pokretljivost elektrona i on zavisi od vrste

provodnika i od temperature. Pri sobnoj temperaturi, on se za metale kreće u rasponu od

0,001 pa do 0,12 (m/s) /(V/m), (za bakar ovaj koeficijent iznosi 0,003 (m/s) /(V/m), a za

sivi kalaj oko 0,12 (m/s) /(V/m)). Sa porastom temperature termičko kretanje se intezivira,

pa srednje vrijeme između dva uzastopna sudara τ se smanjuje, odnosno koeficijent

pokretljivosti elektrona η opada.

Joni se pod uticajem stranog električnog polja kreću na sličan način kao i slobodni

elektroni, ali znatno sporije od slobodnih elektrona u metalima, pošto je njihova masa

znatno veća (joni u rastvorima su sastavljeni od jonizovanih atoma, atomskih grupa, koje

su uz to još i hidratizovane – zbog vezanja za određeni broj molekula vode). Pokretljivost

jona zavisi od nivoa njihove koncentracije u analiziranoj sredini, kao i od temperature te

sredine. Da bi se mogla upoređivati pokretljivost, slobodnih elektrona u metalima i

pokretljivost jona unutar odgovarajuće supstance, u nastavku teksta u tabeli broj 6.1,

navode se relevantni podaci za pokretljivost nekih jona.

Tabela 6.1

Vrsta jona

Pokretljivost jona

(m /s) /(V/m)

H+ 0,003370 · 10-4

K+ 0,000657 · 10-4

Na+ 0,000419 · 10-4

OH- 0,001810· 10-4

Cl- 0,000680· 10-4

Slobodni elektroni i joni raspolažu određenim električnim nabojem, koji se pod dejstvom

stranog električnog polja pomjera i to tako da se slobodni elektroni i negativni joni

pomjeraju u smjeru, koji je suprotan od smjera djelovanja električnog polja. Pozitivni joni

se nasuprot tome, pomjeraju upravo u smjeru djelovanja stranog električnog polja. Sva

ova kretanja električnih naboja, ostvarena u uslovima djelovanja stranog električnog polja,

tumače se kao kondukcione električne struje, ili struje električne provodnosti. U tehničkoj

praksi se uglavnom koristi pravilo, po kojem je smjer električne struje određeno smjerom

pomjeranja pozitivnih električnih naboja, odnosno smjerom djelovanja električnog polja.

Ovako utvrđen smjer električne struje, često se naziva i tehničkim smjerom električne

struje.

7

Istovremeno uvažavanje relacija (6.10) i (6.14), omogućava da se lako formira relacija

(6.15), putem koje je direktno iskazana povezanost vektora jačine električnog polja E i

vektora gustine električne struje provodnosti J .

e2 · τ

J = ( N* · vs · e ) = N* · —— · E = σp · E (6.15)

2·me

Veličina σp , za većinu materijala, koji se koriste u elektrotehnici, je skalar (postoje

također i materijali, za koje se veličina σp mora predstaviti u formi tenzora, jer je kod tih

materijala vrijednost ovog parametra, izrazito ovisna o smjeru i pravcu djelovanja stranog

električnog polja). Ovim skalarom se po pravilu izražavaju pojedinačne električne

osobine tih materijala i on nosi naziv specifična električna provodnost materijala.

Njegova recipročna vrijednost, ima naziv specifična električna otpornost i formalno se

označava simbolom ρR .

Jedinica mjere, za specifičnu električnu provodnost, izvedena je iz relacije (6.15) i

iskazana relacijom:

Am-2

—— = (Ωm)-1

Vm-1

Analogno tome jedinica mjere za specifičnu električnu otpornost je (Ωm).

Provodnici, kod kojih je moguće uspostavljanje direktne proporcionalnosti između

vektora gustine električne struje i vektora jačine električnog polja, nose naziv linearni

provodni materijali.

Tokom analize električnih krugova po pravilu se zahtjeva određivanje vrijednosti

električnih struja u svim dijelovima električnog kruga, kao i električnih napona između

pojedinih dijelova električnog kruga. Na ovaj način se stvaraju pretpostavke za detaljniju

analizu funkcionalnih karakteristika električnog kruga, uključujući i proračune poput

bilansa električnih snaga unutar tog kruga.

Ohmov zakon, iskazan u formi zapisanoj sa (6.15), nije pogodan za takve analize, pošto u

sebi ne sadrži ni električne napone, ni električne struje, nego neke druge fizičke veličine,

poput vektora E i J . Da bi se prevazišao naznačeni prividni nesklad, u praktičnim

aplikacijama, se vrlo često susreće jedan drugi oblik Ohmovog zakona, oblik koji

proizilazi iz interpretacije Ohmovog zakona u integralnom obliku, a za koji je polazna

tačka, opet izraz (6.15).

Da bi se došlo do Ohmovog zakona u integralnom obliku, povoljno je posmatrati u

odabranom provodniku vrlo tanka strujna tuba, poprečnog presjeka ds1, koji pri tome

može biti i promjenljiv duž tube.Neka ta strujna tuba nosi oznaku 1. Fokusira li se

potom pažnja samo na elementarni dio te tube, dužine dl , tada se može na osnovu

relacije (6.15), i njenog množenja upravo sa veličinom dl, pisati da je:

ds1 E · dl σp = J · dl =( J · dl ) · —— (6.16)

ds1

8

Kolinearnost vektora J i dl , odnosno vektora E i dl , omogućava da se posljednja

relacija transformiše u nešto jednostavniji oblik (6.17),

ds1 E · dl = ( J · dl ) · ——— (6.17) σp· ds1

Uvažavajući činjenice da jačina struje dI1, kroz presjek ds, (dI1 = J · ds1), mora ostati

ista u svim presjecima tube 1, kao i da je proizvodom E · dl praktično određen električni

napon dU, između krajeva elementarnog dijela tube 1, dužine dl, relacija (6.17) se može

predstaviti i u obliku (6.18):

dl

dU = ρR · — · dI1 (6.18)

ds1

Objedinjavajući sve ovakve elementarne slučajeve, duž cijele dužine l, razmatrane strujne

tube 1, moguće je uspostaviti vrlo značajnu vezu između električne struje tube 1 i

električnog napona U, koji vlada između krajeva strujne tube 1:

U = dI1 R

1l

dl

dsρ∫ = (dI1 )·R

1st (6.19)

Veličina R1st = R

1l

dl

dsρ∫ nije ništa drugo, do električni otpor strujne tube1, čija je dužina l.

Struja dI1, sada se može eksplicitno izraziti u ovisnosti od električnog otpora strujne tube

1, R1st i električnog napona U , koji vlada između njenih krajeva, pomoću relacije:

U

dI1 = —— (6.20)

R1 st

Jačina ukupne električne struje I , pri čemu je I ≈ dI1+ dI2 + dI3 +···, koja se usmjerava

kroz analizirani provodnik poprečnog presjeka s, gdje je s definisano relacijom s = ds1+

ds2+ ds3+·····, dobija se očigledno integriranjem izraza (6.20) po svim strujnim tubama,

koje su locirane unutar poprečnog presjeka provodnika s.

Kod tankih linijskih provodnika, poprečni presjeci na njihovim krajevima, najčešće su i

ekvipotencijalne površi sa električnim potencijalima V1, odnosno V2. U tom kontekstu se

onda pokazuje i da je jačina električne struje I, koja se uspostavlja kroz takve

provodnike, direktno proporcionalna električnom naponu U, koji vlada između njegovih

krajeva.

Koeficijent te proporcionalnosti, označava se sa 1/R , pri čemu se, novouvedenom

parametru R. pridružuje naziv električni otpor razmatranog provodnika.

9

Kod tankih linijskih provodnika, homogene strukture, sa specifičnom električnom

otpornošću ρR , čija je dužina l, a poprečni presjek s, električna otpornost provodnika se

određuje pomoću izraza :

l

R = ρR —— (6.21)

s

Za specifičnom električnom otpornošću ρR, u tehničkoj praksi se kao jedinica mjere, po

pravilu koristi veličina ( Ωmm2/m ), koja očigledno nije potpuno dimenziono usaglašena.

Objašnjenje za ovakav izbor, se uglavnom povezuje sa evidentnom dimenzionom

razlikom, veličine poprečnog presjeka provodnika, koja se obično mjeri i izražava u mm2

i dužine tog provodnika, koja se mjeri i izražava u metrima.

Na slici broj 6.1 prikazani su svi relevantni parametri, koji su sadržani u Ohmovom

zakonu, bilo da je on dat u diferencijalnom (vektorskom ) obliku, koji obično preferiraju

fizičari i interpretatori teoretske elektrotehnike, ili je pak isti zakon, izražen pomoću

pojednostavljenog izraza, koji se izvodi iz njegovog integralnog oblika, a za koji se po

pravilu opredjeljuju inženjeri, pri vlastitim proračunima električnih krugova.

Slika broj 6.1 Primjena Ohmovog zakona na tanki pravolinijski provodnik dužine l i

konstantnog poprečnog presjeka s, protjecan stalnom jednosmjernom

strujom I

Električni otpor metalnih provodnika je uglavnom konstantne vrijednosti na

temperaturama, koje su bliske 20º C.

10

Preciznije govoreći, specifični električni otpor metalnih provodnika, mijenja se u

ovisnosti o iznosu ambijentalne temperature, u skladu sa zakonitošću izraženom putem

relacije (6.22) :

ρ2 = ρ1· ( 1 + α· (Ө2 - Ө1)) (6.22)

Pri tome, sa simbolom ρ2, označen je specifični električni otpor metalnog provodnika pri

temperaturi Ө2, a sa simbolom ρ1, označen je specifični električni otpor metalnog

provodnika pri temperaturi Ө1. S obzirom da se u tabelarnim podacima električnih

karakteristika metalnih provodnika, po pravilu susreće vrijednost njihovog specifičnog

električnog otpora pri temperaturi od Ө1 = 20º C , onda se relacija (6.22) koristi za

određivanje specifičnog električnog otpora metalnog provodnika, pri nekoj drugoj

temperaturi Ө2 .

U tabeli 6.2, navedeni su podaci o specifičnim električnim otpornostima metala, koji se

često susreću u elektrotehnici.

Tabela 6.2

Vrsta materijala Temperatura

u º C

Specifični električni

otpor u ( Ωmm2/m )

Temperaturni koeficijent

α u Ω/Ωº C

Srebro 0 0,015 0,004

Bakar, elektrolitički 0 0,0154 0,0041

Bakar, elektrolitički 20 0,0175 0,0043

Aluminijum 20 0,02873 0,004

Konstantan 18 0,49 ± 0,00001

Ugljen 20 5-7 -0,0008

Temperaturni koeficijent α, kod metalnih provodnika, pri značajnijim promjenama

temperature nije više konstantan, jer i sam postaje nova funkcija trenutne vrijednosti

temperature samog metala (na visokim temperaturama, ti temperaturni koeficijenti se

značajnije povećavaju).

S druge strane je primjećeno, da na vrlo niskim temperaturama, (preciznije rečeno pri

tačno određenoj vrijednosti temperature, koja je bliska temperaturi apsolutne nule) kod

nekih metala, nastupa vrlo strmo smanjivanje specifičnog električnog otpora, zbog čega i

električni otpor tih metala, tada postaje izuzetno mali.

Takva se temperatura naziva, kritičnom temperaturom za električnu otpornost ( za olovo

ona iznosi oko 7,2 º K, za živu 4,22 º K , a za kalaj 3,71 º K) .

Sama pojava, koja se manifestuje putem ovako radikalnog smanjivanja električne

otpornosti metalnih provodnika, u fizici i elektrotehnici se naziva supraprovodljivost.

6.2 Serijsko i paralelno spajanje električnih otpornika

Glavne karakteristike elemenata električnih krugova opisuju se nizom električnih veličina,

kao što su: električna snaga, koju oni mogu odavati ili pak angažirati-odnosno preuzeti na

11

sebe, zatim električna struja, kojom se mogu opteretiti, ili pak koju mogu odavati ostalim

elementima električnog kruga, potom električni napon, koji mogu elementi održavati

između svojih krajeva, ili pak preuzeti na vlastite priključne stezaljke, pri čemu sve te

veličine moraju ostati u iznosima, koji ne remete normalno funkcionisanje svih dijelova

električnog kruga.

Uspostavljene vrijednosti tih električnih veličina, pored konstruktivnih i strukturnih

karakteristika pojedinih elemenata, u značajnoj mjeri predodređuju: njihov aktivni

električni otpor R, pripadajuća im električna kapacitivnost C i vlastita im električna

induktivnost L.

U električnim krugovima stalne jednosmjerne struje, električni kapacitet se pojavljuje ili

kao prateća karakteristika upotrebljenih elemenata, ili pak kao namjenski uveden element

električnog kruga, kada je to po pravilu realizovano u formi električnog kondenzatora.

Električni kondenzatori u osnovi blokiraju tok stalne jednosmjerne struje, te se oni u

električnim krugovima stalnih jednosmjernih struja i napona, ponašaju kao otvoren

prekidač, odnosno prekid grane u kojoj se isti nalaze . Oni dakle u ovakvim električnim

krugovima pružaju beskonačan električni otpor uspostavljanju električne struje kroz

granu električnog kruga u kojoj se nalaze (jasno ovo se odnosi samo na ustaljena stanja, a

ne i na kratke intervale opterećavanja i rasterećavanja kondenzatora, kada kratkotrajno

postoje i električne struje punjenja, odnosno pražnjenja kondenzatora )

Električni induktivitet je element električnog kruga, koji najizrazitije demonstrira

inerciona ponašanja u električnom krugu (inženjeri vole reći da je ponašanje induktiviteta

u elektrotehnici, vrlo slično ponašanju mase tijela u mehanici).

U električnim krugovima stalnih jednosmjernih napona i struja, induktivitet se ponaša

kao kratkospojnik, dakle ne pruža nikakav otpor električnoj struji. Električne prigušnice,

kao namjenski konstruisani elementi sa velikom vrijednošću električnog induktiviteta, u

električnim krugovima stalnih jednosmjernih napona i struja, obično se koriste da umanje

nivo valovitosti električne struje, u izlaznim blokovima ispravljačkih uređaja.

Kako i u električnim krugovima stalnih jednosmjernih struja i napona i električni

kondenzatori i električne prigušnice, pružaju električni otpor – istina u ovakvim

krugovima, njihovo ponašanje je praktično ekstremno - to se za električni otpor

provodnika R, kojim se on opire uspostavljanju električne struje kroz vlstitu strukturu,

koristi još precizniji termin od onog koji je uveden u prethodnom poglavlju. U tom

kontekstu se, ova veličina u elektrotehnici, vrlo često označava kao aktivni električni

otpor.

Da bi neki potrošač električne energije, kod kojeg je dominantna električna osobina

izražena posredstvom njegovog aktivnog električnog otpora, pravilno bio upotrebljen,

potrebno je, pored vrijednosti njegovog električnog otpora u omima, poznavati i

električnu snagu koju je on u stanju preuzimati dovoljno dugi interval vremena, te nivo

preciznosti njegove električne otpornosti, odnosno koliko je tačno predviđeno moguće

odstupanje od navedene osnovne vrijednosti električnog otpora ( primjer pravilno

navedenih podataka, za aktivni električni otpor, je recimo slijedeći: 10 Ω, ±5%, 5 W)

Aktivni električni otpor može biti dizajniran na različite načine, najčešće ovisno o

namjeni uređaja čiji je on sastavni dio.

Na slici broj 6.2 prikazano je više varijanti aktivnog električnog otpora, otpornosti 65 Ω .

Pošto u svakoj kutiji postoje dvije priključne stezaljke, izvor električne energije, koji

treba da energetski napoji ove kutije, nema nikakav uvid šta je u njihovoj unutrašnjosti.

12

Ukoliko je izvor električne energije realizovan u formi idealnog naponskog izvora, za

stalni jednosmjerni napon od 130 V (idealni naponski izvor ima sposobnost da između

svojih krajeva uspjeva održavati stalan jednosmjerni napon, bez obzira kolikom

električnom strujom bio opterećivan - takav izvor očigledno ima nultu vrijednost

unutrašnjeg električnog otpora izvora), tada će u svim slučajevima izvor biti opterećen i

sa stalnom jednosmjernom strujom I = 2 A.

Svaki od aktivnih električnih otpornika sa slike broj 6.2 predviđen je, da pri njegovom

priključenju na navedeni idealni naponski izvor, pretvara u toplotu električnu snagu od

oko 260 W. ( P = R · I2, odnosno P = U· I )

Slika broj 6.2 Razlićite verzije izvedbe aktivnog električnog otpora od 65 Ω

Na slici 6.2.a je prikazana, 28 cm duga otporna žica, od legure hroma i nikla, promjera

Ф = 0.1 mm , slika 6.2.b prikazuje zavojnicu-svitak, od 314 m lakirane bakarne žice,

promjera Ф = 0.4 mm, slika 6.2.c prikazuje spoj dva otpornika od 70 Ω i jednog

otpornika od 30 Ω, slika 6.2.d prikazuje žarulju od 120 V, 220 W s volframovom niti,

dok slika 6.2.e predstavlja rastvor KCl u čaši sa sa elektrodama odgovarajućih dimenzija

i odgovarajućeg razmaka između njih.

Da bi se ostvarila željena vrijednost aktivnog električnog otpora, često se pristupa

međusobnom povezivanju više otpora, kako je to učinjeno i na slici 6.2.c. Međusobni

13

spojevi elementarnih otpornih elemenata, međutim mogu biti i vrlo zamršeni, što je

vidljivo i na slici broj 6.5.

Za pravilno određivanje ekvivalentnog aktivnog električnog otpora kojim se može

nadomjestiti djelovanje, prikazanog složenog spoja elementarnih aktivnih električnih

otpora , u odnosu na ostatak električnog kruga, korisno je u prvoj iteraciji rješavanja tako

postavljenog problema uočiti, koji su otpornici međusobno povezani u serijsku vezu, a

koji su u međusobnoj paralelnoj vezi.

Treba se podsjetiti da su pri serijskoj međusobnoj vezi, električni otpornici opterećeni

električnom strujom istog intenziteta, te da preuzimaju na sebe električne napone,

određene vrijednostima električnih otpornika i uspostavljene električne struje, saglasno

Ohmovom zakonu, što je jasno vidljivo i sa slike broj 6.3 ( Uj = I·Rj ). Pri paralelnoj

vezi električnih otpornika, oni bivaju izloženi istoj vrijednosti električnog napona, a

struje kroz pojedine otpornike opet se određuju u skladu sa Ohmovim zakonom, kao što

to i pokazuju relacije izvedene za slučaj sa slike broj 6.4. Na osnovu strukture ostvarenih električnih veza na električnoj šemi sa slike broj 6.3 važe

odnosi:

VA - VB = I · R1, VB – VC = I · R2 , VA – VC = I · ( R1+ R2) = I · Rek, Rek = ( R1+ R2)

Slika broj 6.3 Serijski spoj aktivnih električnih otpornika i računanje vrijednosti

ekvivalentnog aktivnog električnog otpora

Pri paralelnom povezivanju aktivnih električnih otpora, kao što je to prikazano na slici

broj 6.4, važe slijedeći odnosi:

V V 1 1 1 1 R1 + R2

I = I1+I2 = — + — = V · ( — + — ) = V·(Rek )-1; (Rek )

-1 = — + — = ———

R1 R2 R1 R2 R1 R2 R1·R2

14

Slika broj 6.4 Paralelni spoj aktivnih električnih otpornika i računanje vrijednosti

ekvivalentnog aktivnog električnog otpora

Na slikama broj 6.5 i broj 6.6, prikazani su složeniji spojevi aktivnih električnih

otpornika i procedure koje treba uvažavati, kada se određuje, njima ekvivalentni aktivni

električni otpor.

Slika broj 6.5 Složeni spoj aktivnih električnih otpornika i procedura određivanja,

ekvivalentnog električnog otpornika za ovakav spoj

15

Slika broj 6.6 Složeni spoj aktivnih električnih otpornika sa poznatim konkretnim

vrijednostima električnih otpora