6 FIR数字滤波器设计 - home.ustc.edu.cn

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6 FIR数字滤波器设计


6.1 线性相位FIR滤波器的幅频特性



线性相位FIR滤波器的频率响应

)( )()()( ωθωω ω jN

n

njj eHenheH ==∑−

=

−1

0

群延迟均为常数( )d 1=

d 2Nθ ω

τω

−= −

)()( ωω jeHH ±=

1( ) ( ) ( 1 )2

N h n h N nθ ω ω−= − = − −，

1( ) ( ) ( 1 )2 2

N h n h N nπθ ω ω−= − ± = − − −，或

幅频特性：


滤波器幅频特性

)(

偶数

奇数镜像对称

NN

nh


)(

偶数

奇数镜像反对称

NN

nh

4种情况：


⑴ h(n) 偶对称，N 奇数

∑=−

=

21

0

N

nnnaH cos)()( ωω

)()(2

10

−=

Nha

211

2

12 −=−

−= N nnNhna ... 2 )()( ，，，，




关于kπ偶对称，可用来逼近的滤波器类型没有限制

ω2π 3π 4ππ

)(ωH



h(n) 偶对称，N=11


∑=

−=2

1 2

1N

nnnbH )(cos)()( ωω

)()( nNhnb −=2

2 2 ... 2 1 Nn ，，，=


⑵ h(n) 偶对称，N 偶数



关于2kπ偶对称，关于(2k+1) π奇对称

必有H[(2k+1) π]=0，不可用来逼近高通和带阻滤波器

)(ωH

ω

2π 3π 4ππ



h(n) 偶对称，N=10


∑−

=

=21

1

N

nnncH sin)()( ωω

)()( nNhnc −−

=2

12 2

1 ... 2 1 −= Nn ，，，


⑶ h(n) 奇对称，N 奇数

[email protected]

)(ωH

0 2π π ω


3π 4π

关于kπ奇对称，必有H(kπ)=0，仅可用来逼近带通滤波器



h(n) 奇对称，N=11


∑=

−=2

1 2

1N

nnndH )(sin)()( ωω

)()( nNhnd −=2

2 2 ... 2 1 Nn ，，，=


⑷ h(n) 奇对称，N 偶数

[email protected]

)(ωH

0 2π π ω


3π 4π

关于2kπ奇对称，关于(2k+1) π偶对称

必有H(2kπ)=0，不可用来逼近低通和带阻滤波器



h(n) 奇对称，N =10


6.2 傅立叶级数法设计FIR滤波器（窗函数法）



一、基本设计方法

对hd(n)截取有限长度，形成h(n)

给定Hd(ejω)导出hd(n)

1( ) ( ) d2

j j nd dh n H e e

n

π ω ω

πω

π −=

−∞ < < ∞

∫

基于频域特性的解析表达与窗函数


以低通滤波器逼近为例

| |( )

0

jj c

de

H eαω

ω ω ω− ≤= 其他


( ) sin ( )1( )2 ( )

c

c

j n cd

nh n e dn

n

ω ω α

ω

ω αωπ π α

−

−

−= =

−−∞ < < ∞

∫)(nhd

nα


对hd(n)用单边矩形窗截取，

sin ( )( ) ( ) ( )=( )

0 ... 1

cd R

nh n h n W nn

n N

ω απ α

−= ⋅

−= −，，


1 0 1( )

0 R

n NW n

≤ ≤ −= 其他



( )h n

nαN-1

)(nhd

nα



12

Nα −=h(n)关于α偶对称

h(n)

n12N − +12

N

N为偶数 N为奇数

h(n)

n12

N −

对低通滤波器，N取为奇数或偶数均可1

2Nα −=

12

Nα −=


h(n)的频率响应

( )1( ) ( ) [ ] d2

j j jd RH e H e W e

πω θ ω θ

πθ

π−

−= ∫

( )jRW e θ

θ

NNππ 2 2−

( )jdH e θ

cc ωω −θ



ω

θ


Nπ4

0( ) ( )j jH e H eω

肩峰

ω过冲


①因为截短，产生过渡带，宽度为窗函数的主瓣宽度。对矩形窗，

Nπω∆ 4=

②增加N，可使过渡带变得陡峭，但不能改变肩峰（过冲）幅度大小。Gibbs效应。




0 0.5 1

0

1

M = 7

frequency in pi units

Inte

grat

ed A

mpl

itude

Res

pons

e

0 0.5 1

0

1

M = 21


Inte

grat

ed A

mpl

itude

Res

pons

e

0 0.5 1

0

1

M = 51


Inte

grat

ed A

mpl

itude

Res

pons

e

0 0.5 1

0

1

M = 101


Inte

grat

ed A

mpl

itude

Res

pons

e


二、窗函数的影响

过渡带的宽度：同窗函数的主瓣宽度

肩峰（过冲）幅度：取决于窗函数的旁瓣

窗函数的选取原则：

1）主瓣窄，使过渡带陡峭

2）旁瓣低，减小肩峰（过冲）幅度


窗函数的使用原则：

1）低旁瓣窗函数，大的止带衰减。

2）增加系统复杂度N ，降低过渡带宽度



2ωωcω

1ω

1

0

11 δ−

2δ

( )H ω

若δ1 = δ2 ，则

一般设计要求：通带截止频率 ω1，带内起伏 δ1 止带起始频率 ω2，最小衰减 δ2

过渡带宽△ω根据设计要求推断计算ωc

1 2cωω ω ∆≈ + 或 2 2c

ωω ω ∆≈ −

[email protected]ωω ∆+

ωcω

2cωω ∆−

1

0

1 δ+

δ−

( )H ω

中国科学技术大学 29


本课程简化约定：通带截止频率ω1为肩峰频点止带起始频率ω2为过冲频点

则，过渡带宽为窗函数主瓣宽度△ω

最小阻带衰减： 20lgδ通带起伏： 20lg 1 )δ+(

1 2cωω ω ∆≈ + 或 2 2c

ωω ω ∆= −



常用窗函数

窗函数主瓣宽度旁瓣电平

(dB)阻带衰减

(dB)通带起伏

(dB)矩形 4π/N -13 -21 0.7三角 8π/N -25 -25 0.5

Hanning 8π/N -32 -44 0.05Hamming 8π/N -42 -53 0.02Blackman 12π/N -57 -74 0.002


三、设计要点

滤波器指标1）通带截止频率；2）阻带衰减；3）过渡带宽

基本步骤1）根据阻带衰减指标，选择窗函数WR(n)2）根据设计要求，确定ωc3）根据过渡带宽，确定系统阶数

4）设计频率响应解析表达式，计算hd(n)


ωπ∆

= kN

∞<<∞−= ∫− neeHnh njjdd d )()( ω

ππ

π

ωω

2

1

( ) ( ) ( ) 0 1d Rh n h n W n n N= ≤ ≤ −5）窗函数截取hd(n)

1 / 2cω ω ω≈ + ∆



0 20 40 60-0.1

0

0.1

0.2

0.3Ideal Impulse Response

n

hd(n

)

0 20 40 600

0.5

1

Hamming Window

n

w(n)

0 20 40 60-0.1

0

0.1

0.2

0.3Actual Impulse Response

n

h(n)

0 0.20.3 1

50

0

Magnitude Response in dB


Deci

bels

Hamming窗，低通



Blackman窗，带通

0 20 40 60-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Ideal Impulse Response

n

hd(n

)

0 20 40 600

0.5

1

Blackman Window

n

w(n

)

0 20 40 60-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Actual Impulse Response

n

h(n)

0 0.2 0.35 0.65 0.8 1

60

0



Dec

ibel

s



Kaiser窗，带阻

0 10 20 30 40-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Ideal Impulse Response

n

hd(n

)

0 10 20 30 400

0.5

1

Kaiser Window

n

w(n

)

0 10 20 30 40-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Actual Impulse Response

n

h(n)

0 1/3 2/3 1

60

0



Dec

ibel

s


6.3 频率抽样设计方法



一、基本方法——DFT法基于频域取样定理

给定频率响应Hd(ejω) ，进行等间距取样，

则

或

)( )()( kjdk

N

jd

NeHeHkHπ

πω

ω 2

2 ===

[ ] ∑−

=

==1

0

21 N

k

nkj NekHN

kHnhπ

)()(IDFT)(

)()( ∑−

=−

−

−

−=

1

01 2

1

1 N

kkj

N

NezkH

NzzH π

1 1 0 −= Nn ，，，

1 1 0 −= Nk ，，，


二、频率响应的逼近

∑−

=

−−−

−⋅=

1

0

21

2

2N

k

Nkj

Njj

Nk

ekHeN

NeH

)sin()(

sin)( πω

ω πωω


滤波器的频率响应

频率取样与内插函数的组合

——H(K)对内插函数加权


)( ωjd eH

1

ω


理想低通滤波器

1

kH )(

k

频域取样：0～2π，N＝33

0.5π π 2π

1−N



eH jω )(lg20

ω

dB 20−

2 Nπ 过渡带

最小衰减不足20 dB，过渡带宽2π/33


形式上：

取样点之间的频率响应通过内插函数得到

原理上：

理想低通的冲激响应序列在时域上无限长无论 N 多大，也不能满足频域取样定理



改进思路：修改|Hd(ejω)|，展宽过渡带


k

kH )(

非零点

2/N

——改变逼近对象，降低逼近要求


改进后的频率响应

止带最小衰减 > 20 dB


)(lg ωjeH20

ωdB 20−

4 Nπ 过渡带dB 40−

过渡带展宽1倍，至4π/33


形式上增加了非零点取样，抵消通带内的内插

函数。

原理上修改后的|Hd(ejω)|，频率变化减弱，时域

序列能量随时间减少。以降低逼近要求，来换取降低逼近误差。



三、优化考虑

1）增加过渡带非零点取样点，改善止带衰减特性。

2）提高取样点数（增加 N），压缩过渡带。

3）优化非零点取值，选择H1，H2，使止带衰减最大。


)( ωjd eH

1

ω

1H2H


H1与H2分别是对应频率点内插函数的系数

H(ejω)是H1，H2的线性函数。

设Hd(ejω)是低通，通带至第M-1个采样点截止，则


), ,(sin

)( 21212 HHfe

N

N

eHNjj ω

ωωω −−=


' '

1

0

1( ) ( )1 2

2 1( ) ( )2 1

1

( )( )sin( )2

1sin( ) sin( )2 2

2 1sin( ) sin( )2 2

( )sin( )2

kjM N

k

M Mj jN N

N M N Mj jN N

kjN N

k N M

H k ef kN

H e H eM MN N

H e H eN M N M

N N

H k ekN

π

π α π β

π β π α

π

ω π

ω π ω π

ω ωπ π

ω π

−−

=

+− + − +

− − − −− + − +

−−

= −

• =−

+ ++− −

+ +− − − −− −

+−

∑

∑




kH )(

N-1

H1 H1

H2 H2

k


过渡带非零点过渡带宽止带衰减

无 -16 dB

1 -43 dB

2 -65 dB

Nπ2

Nπ4

Nπ6




低通滤波器：ωp=0.2π， ωs=0.3π

0 0.20.3 1

0

0.5

1

Frequency sample： M=20

Frequency（pi）

Hr(k

)

0 5 10 15 20-0.1

0

0.1

0.2

0.3Impulse Response

n

h(n)

0 0.20.3 1

0

0.5

1

Magnitude Response

Frequency（pi）

Hr(w

)

0 0.20.3 1-60

-40

-20

0

Magnitude Response

Frequency（pi）

db



过渡带1点展宽，未优化

0 0.20.3 1

0

0.5

1


Frequency（pi）

Hr(k

)

0 10 20 30 40-0.1

0

0.1

0.2

0.3Impulse Response

n

h(n)

0 0.20.3 1

0

0.5

1

Magnitude Response

Frequency（pi）

Hr(w

)

0 0.20.3 1-60

-40

-20

0

Magnitude Response

Frequency（pi）

db



过渡带1点展宽，优化

0 0.20.3 1

0

0.5

1


Frequency（pi）

Hr(k

)

0 10 20 30 40-0.1

0

0.1

0.2

0.3Impulse Response

n

h(n)

0 0.20.3 1

0

0.5

1

Magnitude Response

Frequency（pi）

Hr(w

)

0 0.20.3 1-60

-40

-20

0

Magnitude Response

Frequency（pi）

db



过渡带2点展宽，未优化

0 0.20.3 1

0

0.5

1


Frequency（pi）

Hr(k

)

0 20 40 60-0.1

0

0.1

0.2

0.3Impulse Response

n

h(n)

0 0.20.3 1

0

0.5

1

Magnitude Response

Frequency（pi）

Hr(w

)

0 0.20.3 1-60

-40

-20

0

Magnitude Response

Frequency（pi）

db



过渡带2点展宽，优化

0 0.20.3 1

0

0.5

1


Frequency（pi）

Hr(k

)

0 20 40 60-0.1

0

0.1

0.2

0.3Impulse Response

n

h(n)

0 0.20.3 1

0

0.5

1

Magnitude Response

Frequency（pi）

Hr(w

)

0 0.20.3 1-60

-40

-20

0

Magnitude Response

Frequency（pi）

db


6.4 FIR滤波器的等波纹逼近



一、基本原理

幅度响应优化设计：

带内误差最少

过渡带最窄

系统阶数最低

在通带和止带内分别进行等波纹逼近，

[ ])()()( ωωω dHHE −=

{ })(maxmin)( ωωω

EEA∈

=最大误差极小化


)(ωH11 δ+

1

11 δ−

2δ

2δ−ω




线性相位FIR滤波器幅度特性的一般表达：

)()()( ωωω PQH =

P(ω)表达为r个余弦谐波函数之和，

∑−

=

=1

0

r

nnnaP ωω cos)(~)(


h(n)对称性 N奇偶性 Q(ω) P(ω)

偶对称奇数 1

偶对称偶数

奇对称奇数

奇对称偶数

)cos(2

ω

)sin(ω

)sin(2

ω

∑−

=

21

0

/)(

cos)(~N

nnna ω

∑−

=

12

0

/

cos)(~N

nnnb ω

∑−

=

23

0

/)(

cos)(~N

nnnc ω

∑−

=

12

0

/

cos)(~N

nnnd ω

线性相位4种情况下 Q(ω)与P(ω)的定义


设计目标

使加权逼近误差函数为等波纹，Chebyshev 逼近

这里， )()()(ˆ )()()(ˆ ωωωωωω QHHQWW dd =⋅= ，


选择一组系数使{ })(~ na

)]()(ˆ)[(ˆ)]()()[()(

ωωω

ωωωω

PHW

HHWE

d

d

−=

−=

{ })(maxmin)( ωωω

EEA∈

=



解的存在性：交替定理

P(ω)是的Chebyshev逼近的充要条件：

E(ω)在中，至少有r+1的极值点

{ωi，i=1，2，.......，r+1}，使

)(^

ωdHA∈ω

|)(|max|)(|r ......, 2, 1, )()( 1

ωωωω

ωEE

iEE

Ai

ii

∈

+

==−=

r 是用于逼近的余弦谐波函数的个数


E(ω)的极值由两部分组成：

H(ω)的极值点

E(ω)独有的极值点，H(ω)的频率边界点


( )ωH11 δ+

1

11 δ−

2δ

2δ−ω

H(ω)的极值点

H(ω)的频率边界点



极值点分析：4 种线性相位 FIR 滤波器

h(n)对称性 N奇偶性 H(ω)的余弦个数极点数Ne

偶对称奇数 ≤

偶对称偶数 ≤

奇对称奇数 ≤

奇对称偶数 ≤

21+N

2N

21−N

2N

21+N

2N

21−N

2N


结论：

若 H(ω) 是由 r 个余弦函数组成，则最多提供 r个极点

交替定理要求 r 个余弦函数和至少有r+1个极点

r 个可能极点由 H(ω) 提供，其余极点由 E(ω) 提供

幅度值每变换一次，在边界上能提供 2 个极值点

特别地，E(ω)取满它所有可能有的极点数目时：最多波纹滤波器（超波纹滤波器）设计



带通误差函数 E(ω) 提供 4 个边界极点

ω

5 3 1

6 4 2

9 7

10 8

)(ωH

9 7 5 3 1

10 8 6 4 2

ω

)(ωE



二、最多波纹滤波器设计

以低通滤波器为例

系统阶数 N通带起伏 δ1止带起伏 δ2通带截止频率ωc止带起始频率ωs


截止频率ωc ，止带起始频率ωs不易精确实现


h(n) 偶对称，N 奇数

最多波纹设计，误差函数 E(ω) 有个极值

其中 H(ω) 取满个极值

221++N


21+N

H(ω)

ωc ωs

ω


极值点分配

通带

止带

clω ωωωω == 0 321 ，，，，

πωωω == +++2

5 21 Nlsl ω ，，，

截止频率ωc的与止带频率ωs的顺序位置：

+

⋅=2

5Nl c

πω



逼近方程（）个

−=

−=+=

∑

∑∑

1

12

1

1

1

1

δω

δωδ

nna

nnana

lcos)(~

cos)(~)(~

=−

−==

∑

∑∑

−

=

+

+

20

22

21

21

1 δ

δωδω

N

n

n

l

l

na

nnanna

)(~)(

cos)(~cos)(~

通带

止带


221++N



⑴ πωN == +251 0 ，ω

⑵ ωc，ωs不是H(ω)的极值点；

⑶其余 -2个极值点方程：21+N



=

=

−∑

∑

0

0

1

2

lnna

nna

ω

ω

ωω

ωω

cos)(~dd

cos)(~dd

通带

止带

=

=

+

+

∑

∑

0

0

23

2

N

l

nna

nna

ω

ω

ωω

ωω

cos)(~dd

cos)(~dd


N+1个未知数，

解法1，用数值迭代法，求解非线性方程组，解出，得到最优逼近的滤波器

解法2，Lagrange 多项式内插，避免非线性方程求解，用 Lagrange 多项式逼近，

求各极值点，解出

{ } )(~ na

)(ωH

N+1个非线性方程

232

2

10 +

−Nω

Naa ,...,,)(ˆ,...,)(ˆ ω

{ } )(~ na


最多波纹法优化的意义：

指标 N，δ1 和δ2按要求实现

调整ωc与ωs的位置，过渡带宽优化，

最窄 ——ωc与ωs不要求精确实现




ωc ωs

ωc ωs

H(ω)

ω

H(ω)

ω


三、Remez交换算法

设计条件：滤波器阶数N，边界频率 ωc，ωs，

频带权重W(ω)原理：通带、止带等波纹逼近

目标：以多项式近似

确定极值频率点系统函数)(ωH

ωπωω sc




误差方程

≤≤

≤≤=πωωωωKW

s

c

)(

1

01ω

极值点数 r 由滤波器阶数 N 决定

在极值点上的误差

)()]()(ˆ[)(ˆ)( δωωωω kkkdkk PHWE 1−=−=

k=0，1，……，r

)]()(ˆ)[(ˆ)]()()[()(

ωωω

ωωωω

PHW

HHWE

d

d

−=

−=


算法过程：

①极值频率点初值：均匀分布

slω ω=+1

)]([ 1++−

= rlcs

c

ωωπω

{ }rll ωωω 21 ，，， ++


通带 { }lωωω 10 ，，， cl ωω =

止带



∑

∑

=

=

−

−= r

k k

k

r

kk

k

k

d

Pd

P

0

0

ωω

ωωω

coscos

)coscos

()(

②形成关于P(ω)的多项式内插公式和逼近误差δ

∏≠= −

=r

kii ik

kd0 coscos

1ωω

)(ˆ)()(ˆ

k

k

kdk WHP

ωδω 1−

−= ∑

∑−

=

−

=

−=

1

0

1

0

1r

n k

kk

r

nkdk

Wd

Hd

)(ˆ)(

)(ˆ

ω

ωδ



③在密集的频率点上计算误差公式

)]()(ˆ[)(ˆ ωωω PHWE d −=其中P(ω)为多项式内插公式

若有频率点ωj 使得 |E(ωj)|>δ则选取ωj 作为新的极值频率点，返回①

直至极值频率收敛，迭代完成

迭代过程中，与保持不变

④根据多项式内插公式P(ω)求出{a(n)}a）IDFT；b）求解线性方程

slω ω=+1cl ωω =


四、算法讨论

1）Remez算法处理不要求ω=0, π为极值点

不是最多波纹滤波器

2）对给定的N，ωc，ωs及W(ω)，将有一个

最小的、不可事先设置的等波纹逼近误差δ过渡带 ωs-ωc，事先确定，可设置

3）通带与止带间的误差分配由权重W(ω)调节


≤≤

≤≤=πωωωωKW

s

c

)(

1

01ω 通带波纹Kδ

止带波纹δ


4）限定条件下的优化

滤波器阶数N，带内误差，过渡带

最多波纹算法

带内误差与 N 给定，算法选择过渡带，使之最窄

Remez算法

过渡带与 N 给定，算法选择带内误差，使之最小

其他算法

误差与过渡带同时给定， N 最小



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2傅立叶频谱特性曲线

频率w

频响

Hw

通带截止频率：ωp=0.2π阻带截止频率：ωs=0.3π通带衰减：Rp=0.25阻带衰减：As=50

N=47


阻带截止频率：ωs=0.65π通带截止频率：ωp=0.70π阻带衰减：As=50通带衰减：Rp=0.50

N=810 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


频率w

频响

Hw


阻带截止频率：ωs1=0.3πωs2=0.7π通带截止频率：ωp1=0.35πωp2=0.65π阻带衰减：As=60通带衰减：Rp=0.25

N=105

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


频率w

频响

Hw


通带截止频率：ωp1=0.25πωp2=0.75π阻带截止频率：ωs1=0.35πωs2=0.65π通带衰减：Rp=0.50阻带衰减：As=60

N=490 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


频率w

频响

Hw

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6 FIR数字滤波器设计 - home.ustc.edu.cn